MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan i
Kode MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan + = - 5 6 - - + = BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 00 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan ii
Kode MAT. 0 Persamaan dan Pertidaksamaan Penusun: Drs. R. Sulaiman, MS. Editor: Dr. Manuharawati, MSi. Dra. Kusrini, M.Pd. BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 00 iii MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
Kata Pengantar Puji sukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidaah-na, kami dapat menusun bahan ajar modul manual untuk SMK Bidang Adaptif, akni mata pelajaran Fisika, Kimia dan Matematika. Modul ang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi 00 ang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competenc Based Training). Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 00 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri. Dengan modul ini, diharapkan digunakann sebagai sumber belajar pokok oleh peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar ang diharapkan dunia kerja dan industri. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, akni mulai dari peniapan materi modul, penusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (epertjudgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta diklat SMK. Harapanna, modul ang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar ang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi kerja ang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaa selalu relevan dengan kondisi lapangan. Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banakna dukungan dan bantuan dari berbagai pihak ang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan iv
berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan ang sebesar-besarna kepada berbagai pihak, terutama tim penusun modul (penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menelesaikan penusunan modul ini. Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali kompetensi ang terstandar pada peserta diklat. Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususna peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi ang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMK. Jakarta, Desember 00 a. n. Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan, Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc. NIP 0 675 8 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan v
DAFTAR ISI Halaman Sampul... i Halaman Francis... ii Kata Pengantar... iii Daftar Isi... v Peta Kedudukan Modul... vii Daftar Judul Modul... viii Glosar... i I. PENDAHULUAN A. Deskripsi... B. Prasarat... C. Petunjuk Penggunaan Modul... D. Tujuan Akhir... E. Kompetensi... F. Cek Kemampuan... II. PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Peserta Diklat... 6 B. Kegiatan Belajar... 7. Kegiatan Belajar... 8 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 8 b. Uraian Materi... 8 c. Rangkuman... d. Tugas... 5 e. Tes Formatif... 6 f. Kunci Jawaban Formatif... 7. Kegiatan Belajar... 9 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 9 b. Uraian Materi... 9 c. Rangkuman... d. Tugas... e. Tes Formatif... f. Kunci Jawaban Formatif... MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan vi
. Kegiatan Belajar... 6 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 6 b. Uraian Materi... 6 c. Rangkuman... 0 d. Tugas... e. Tes Formatif... f. Kunci Jawaban Tes Formatif.... Kegiatan Belajar... a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... b. Uraian Materi... c. Rangkuman... 56 d. Tugas... 57 e. Tes Formatif... 58 f. Kunci Jawaban Tes Formatif... 59 5. Kegiatan Belajar 5... 6 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran... 6 b. Uraian Materi... 6 c. Rangkuman... 70 d. Tugas... 7 e. Tes Formatif... 7 f. Kunci Jawaban Tes Formatif... 7 III. EVALUASI... 7 KUNCI JAWABAN EVALUASI... 75 IV. PENUTUP... 76 DAFTAR PUSTAKA... 77 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan vii
PETA KEDUDUKAN MODUL MAT.0 MAT.0 MAT.0 MAT.0 MAT.05 MAT.06 MAT.07 MAT.08 MAT.09 MAT.0 MAT. MAT. MAT. MAT.5 MAT. MAT.6 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan viii
Daftar Judul Modul No. Kode Modul Judul Modul MAT.0 Matrik MAT.0 Logika Matematika MAT.0 Persamaan dan Pertidaksamaan MAT.0 Geometri Dimensi Dua 5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi 6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga 7 MAT.07 Peluang 8 MAT.08 Bilangan Real 9 MAT.09 Trigonometri 0 MAT.0 Irisan Kerucut MAT. Statistika MAT. Barisan MAT. Aproksimasi Kesalahan MAT. ProgramLinier 5 MAT.5 Vektor 6 MAT.6 Matematika Keuangan MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan i
Glossar ISTILAH Persamaan Linier Menelesaikan suatu persamaan Tiga Langkag menelesaikan persamaan linier Pertidaksamaan linier satu peubah Hal-hal ang perlu diperhatikan dalam menelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah Tiga cara untuk meelesaikan persamaan kuadrat Bagaimana bentuk umum persamaan kuadrat KETERANGAN adalah persamaan ang hana memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahna adalah satu. adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernataan ang benar. Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menelesaikan persamaan linear dengan satu peubah, akni: (i) Menambah kedua ruas dengan bilangan ang sama. (ii) Mengurangi kedua ruas dengan bilangan ang sama. (iii) Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan ang sama ang bukan nol. adalah pertidaksamaan ang hana memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahna adalah satu. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan ang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif ang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap. Jika J Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif ang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebalikna cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam ) adalah a b c 0; a0 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Modul ini berjudul Persamaan dan Pertidaksamaan. Modul ini berisi tentang persamaan dan pertidaksamaan linier satu peubah, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, sistem persaman linier dua peubah, dan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat. Materi persamaan linier satu peubah merupakan materi ang pernah diperoleh pada saat di SMP, namun pada modul ini tingkat kesulitan soal dan latihan lebih tinggi. Materi persamaan kuadrat menangkut cara menelesaikan persamaan kuadrat. Ada tiga cara ang dibahas pada modul ini aitu, cara memfaktorkan, cara melengkakan kuadrat, dan cara menggunakan rumus. Cara menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah ang dibahas pada modul ini ada empat aitu, cara grafik, cara eliminasi, cara substitusi, cara kombinasi eliminasi dan substitusi, dan dengan cara menggunakan invers dan determinan matriks. Hasil belajar ang diharapkan setelah mempelajari modul ini adalah Anda mampu:. Menelesaikan persamaan linier satu peubah.. Menelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.. Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah.. Menelesaikan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat. B. Prasarat Untuk dapat memahami modul ini dengan baik, maka materi prasarat ang harus dimiliki adalah Matriks. Pemahaman tentang matriks ang dimaksud adalah tentang kesamaan dua matriks, penjumlahan dan MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
perkalian matriks, menentukan determinan suatu matriks dan menentukan invers suatu matriks. Kemampuan prasarat itu digunakann khususna dalam menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara menentukan determinan dan invers matriks. Sedangkan untuk materi lain pada modul ini tidak memerlukan prasarat, dengan pengertian bahwa bekal awal ang telah dimiliki siswa pada saat di SMP sudah cukup untuk dapat memahami materi lain pada modul ini. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal ang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut.. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun Anda dalam mempelajari modul ini dan kaitanna dengan modul-modul ang lain.. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi ang mendahului merupakan prasarat untuk mempelajari materi berikutna.. Pahamilah contoh-contoh soal ang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan ang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi ang terkait.. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi ang terkait. 5. Jika Anda mempunai kesulitan ang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain ang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda sapat:. Memahami pengertian dan penelesaian persamaan linier satu peubah.. Memahami pengertian dan penelesaian pertidaksamaan linier satu peubah.. Memahami pengetian persamaan kuadrat.. Mampu menelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, menggunakan rumus. 5. Memahami pengertian pertidaksamaan kuadrat. 6. Mampu menelesaikan pertidaksamaan kuadrat. 7. Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat. 8. Menentukan hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat. 9. Menusun persamaan kuadrat jika akar-akarna diketahui. 0. Memahami pengertian persamaan linier dua peubah.. Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik, eliminasi, substitusi, determinan.. Memahami pengertian persamaan linier tiga peubah.. Menelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah dengan cara eliminasi, substitusi, determinan.. Menelesaikan sistem persamaan dua peubah, satu linier dan satu kuadrat. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
E. Kompetensi KOMPETENSI : KESAMAAN DAN KETIDAKSAMAAN PROGRAM KEAHLIAN : program adaptif KODE : MATEMATIKA/MAT 0 DURASI PEMBELAJARAN : 5 Jam @ 5 menit SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR. Menentukan himpunan penelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier Persamaan dan pertidaksamaan linier ditentukan penelesaianna. Persamaan dan pertidaksamaan linier serta penelesaianna. MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN Teliti dan cermat dalam menelesaikan dan menerapkan konsep persamaan dan pertidaksamaan linier. Pengertian persamaan dan pertidaksamaan linier. Penelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier. Menelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditentukan penelesaianna. Persamaan kuadrat disusun berdasarkan akar-akar ang diketahui. Persamaan kuadrat baru disusun berdasarkan akarakar persamaan kudrat lain. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat serta penelesaianna. Akar-akar persamaan kuadrat dan sifatsifatna. Menusun persamaan kuadrat. Teliti dan cermat dalam menelesaikan dan menerapkan konsep persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Penelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Menusun persamaan kuadrat.. Menelesaikan sistem persamaan Sistem persamaan ditentukan penelesaianna. Sistem persamaan linier dua dan tiga variabel. Sistem persamaan dengan dua variabel, satu linier dan satu kuadrat. Teliti dan cermat dalam menelesaikan dan menerapkan konsep sistem persamaan. Penelesaian sistem persamaan linier dengan eliminasi, substitusi, atau keduana MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
F. Cek kemampuan. Ida dan Anis pergi ke perpustakaan sekolah. Mereka membaca buku ang sama. Ida sudah membaca halaman pertama. Banak halaman ang belum dibaca Anis sebanak 9 halaman. Ternata banak halaman ang belum dibaca Ida adalah dua kali banak halaman ang telah dibaca Anis. Berapakah banak halaman buku tersebut. Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a) 5 0 b) ( m ) m ( m ) 0; m -.. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan 5. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat ( m ) ( m ) m 0 mempunai dua akar ang sama. 5. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat a b 0 adalah -5 sedangkan hasilkalina adalah -. Tentukan nilai a b. b 6. Selesaikan sistem persamaan 5 b z 6 7. Selesaikan sistem persamaan z z 0 8. Selesaikan sistem persamaan MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 6
BAB II. PEMBELAJARAN A. RENCANA BELAJAR SISWA Kompetensi : Mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan Sub Kompetensi : - Menentukan himpunan penelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier - Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat - Menelesaikan sistem persamaan Tulislah semua jenis kegiatan ang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasanna kemudian mintalah tanda tangan kepada guru atau instruktur anda. Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar Alasan perubahan Tandatangan Guru MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 7
B. KEGIATAN BELAJAR. Kegiatan Belajar Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Peubah a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: Memahami pengertian persamaan linier satu peubah. Mampu menelesaikan persamaan linier satu peubah. Memahami pengertian pertidaksamaan linier satu peubah. Mampu menelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah. b. Uraian Materi Persamaan Linier Satu Peubah Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penelesaian dari persamaan linier satu peubah. Pengertian Persamaan linier satu peubah adalah persamaan ang hana memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahna adalah satu. Contoh : 7 6, merupakan persamaan linier satu peubah karena peubahna satu (aitu ) dan pangkatna adalah. Contoh : 5, merupakan persamaan linier satu peubah karena peubahna satu (aitu ) dan pangkatna adalah. Contoh : 7 t t, merupakan persamaan linier satu peubah karena peubahna satu (aitu t ) dan pangkatna adalah. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 8
Contoh : 6m 8, bukan persamaan linier satu peubah karena peubahna ada dua (aitu dan m ). Contoh 5: 9 0, bukan persamaan linier satu peubah walaupun peubahna hana satu tetapi pangkat dari peubahna adalah dua. Penelesaian Suatu Persamaan Menelesaikan suatu persamaan artina adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernataan ang benar. Contoh 6: 5 t 6, adalah persamaan linier satu peubah. t merupakan penelesaian persamaan itu karena jika t diganti dengan, maka pernataan 5 ( ) 6 merupakan pernataan ang benar. Sedangkan t bukan penelesaian karena jika t diganti dengan, maka pernataan 5 () 6 merupakan pernataan ang salah. Contoh 7: m 7 m, adalah persamaan linier satu peubah. m 7 merupakan penelesaian persamaan itu karena jika m diganti dengan 7, maka pernataan ( 7) 7 ( 7) merupakan pernataan ang benar. Sedangkan m 5 bukan penelesaian karena jika m diganti dengan 5, maka pernataan 5 t 6 merupakan pernataan ang salah. Cara mencari penelesaian persamaan linier satu peubah Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menelesaikan persamaan linier dengan satu peubah, MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 9
Menambah kedua ruas dengan bilangan ang sama. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan ang sama. Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan ang sama ang bukan nol. Contoh 8: Tentukan penelesaian dari persamaan 7 dan tentukan himpunan penelesaianna! Penelesaian: 7 ( ) 7... (kedua ruas ditambah dengan ) 5 7 5 7... (kedua ruas ditambah ) 5 0 =... (kedua ruas dibagi dengan 5) Himpunan penelesaianna adalah: {}. Contoh 9: Tentukan penelesaian dari persamaan 5 t 7 t dan tentukan himpunan penelesaianna! Penelesaian: 5 t 7 t 5 t 7 t t t dengan t ) t 7... ( kedua ruas ditambah t 7 7 7... (kedua ruas dikurangi 7) t 9 t...(kedua ruas dibagi dengan -) Himpunan penelesaianna adalah: {}. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 0
Contoh 0: Tentukan penelesaian dari persamaan m 8m 7 dan tentukan himpunan penelesaianna! Penelesaian: m 8m 7 m 8m 8m 7 8m...( kedua ruas ditambah dengan 8 m) m 7 m 7... (kedua ruas ditambah ) m...(kedua ruas dibagi ) m Himpunan penelesaianna adalah: { }. Pertidaksamaan linier Satu Peubah Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penelesaian dari pertidaksamaan linier satu peubah. Pengertian Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan ang hana memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahna adalah satu. Contoh : 5 w 7 w 8, merupakan pertidaksamaan linier satu peubah karena banak peubahna satu (aitu w) dan pangkatna adalah. Contoh : n 9, merupakan pertidaksamaan linier satu peubah karena banak peubahna satu (aitu n ) dan pangkatna adalah. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
Contoh : 5 t 7m, bukan pertidaksamaan linier satu peubah karena peubahna dua (aitu t dan m ). Contoh :, bukan pertidaksamaan linier satu peubah walaupun peubahna hana satu tetapi paubahna ada ang berpangkat. Cara mencari penelesaian pertidaksamaan linier satu peubah Hal-hal ang perlu diperhatikan dalam menelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah adalah, a) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan ang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap. b) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif ang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap. c) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif pertidaksamaan menjadi sebalikna. Contoh 5: ang sama dan tidak nol, maka tanda Tentukan penelesaian dari pertidaksamaan 7 8 dan tentukan himpunan penelesaianna! Penelesaian: 7 8 7 8...(kedua ruas dikurangi ) 7 8 7 7 8 7...(kedua ruas ditambah 7)...(kedua ruas dibagi ) Himpunan penelesaianna adalah: { R }. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
Contoh 6: Tentukan penelesaian dari pertidaksamaan t t 7 dan tentukan himpunan penelesaianna! Penelesaian: t t 7 t t t 7 t...(kedua ruas dikurangi t ) 5 t 7 5 t 7...(kedua ruas dikurangi ) 5 t 5 t...(kedua ruas dibagi -5) (perhatikan bahwa ang semula tanda pertidaksamaan karena dibagi dengan bilangan negatif 5, maka tanda pertidaksamaan menjadi.) Himpunan penelesaianna adalah: { t R t }. Contoh 7: Tentukan penelesaian dari pertidaksamaan 6 8 dan tentukan himpunan penelesaianna! Penelesaian: 6 8 8 6...(kedua ruas dikalikan ) 8 8 6 8...(kedua ruas dikurangi 8) 6 7 7 7...(kedua ruas dikurangi 6 ) 7...(kedua ruas dibagi -7) 7 Himpunan penelesaianna adalah: { R 7 }. 7 Langkah pengerjaan tidak harus sama dengan di atas, anda dapat pula menelesaikan dengan langkah ang lain. Berikut ini diberikan cara MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
penelesaian dengan langkah ang berbeda. Silahkan anda mengamati perbedaanna. Cara Penelesaian: 6 8 8 6...( kedua ruas dikalikan -) 8 8 6 8...(kedua ruas ditambah 8) 6 7 7 7...(kedua ruas ditambah 6 ) 7...(kedua ruas dibagi 7) 7 Himpunan penelesaianna adalah: { 7 }. 7 c. Rangkuman Persamaan linier satu peubah adalah persamaan ang hana memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahna adalah satu. Menelesaikan suatu persamaan artina adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernataan ang benar. Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menelesaikan persamaan linier dengan satu peubah: o Menambah kedua ruas dengan bilangan ang sama. o Mengurangi kedua ruas dengan bilangan ang sama. o Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan ang sama ang bukan nol. Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan ang hana memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahna adalah satu. Hal-hal ang perlu diperhatikan dalam menelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah adalah: MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan ang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif ang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif ang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebalikna. d. Tugas Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan dengan teman anda!. Sebuah kelompok sirkus mempunai 6 harimau, tiga jantan dan tiga betina. a) Jika setiap hari pemilikna memberikan 9 kg daging untuk makanan semua harimau itu dan tiap harimau mendapat bagian ang sama, berapakah berat daging ang dimakan oleh setiap harimau dalam sehari b) Jika tiap singa memakan n kg sehari, dan daging ang dimakan oleh keenam singa itu 5 kg, tulis persamaan ang berkaitan dengan berat daging ang dimakan oleh keenam singa tersebut dalam sehari! c) Jika seekor harimau jantan makan daging dua kali ang dimakan seekor Harimau betina dan daging ang dimakan keenam harimau itu 6 kg, berapa kilogram daging ang dimakan tiap harimau jantan. Ida dan Anis pergi ke perpustakaan sekolah. Mereka membaca buku ang sama. Ida sudah membaca halaman pertama. Banak halaman ang belum dibaca Anis sebanak 9 halaman. Ternata banak halaman ang belum dibaca Ida adalah dua kali banak MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
halaman ang telah dibaca Anis. Berapakah banak halaman buku tersebut e. Tes Formatif. Selesaikan persamaan berikut ini: a. 0 = b. 7 + = - + 0 c. + = - + 5. Tentukan himpunan penelesaian dari setiap persamaan berikut ini! a. 5 = 0 b. q + = q c. r + 6 = r 5 d. + = ( + ) e. ( ) = + 6 f. = + g. ( 7) = 5. Ali dan Udin kakak beradik. Mereka bersepeda dari alun-alun ke rumahna melewati jalan ang sama. Ali bersepeda dengan kecepatan km/jam sedangkan Udin 8 km/jam. Ali tiba di rumahna 5 menit sebelum Udin tiba. Berapa lama Ali bersepeda dari alun-alun ke rumahna. Jumlah tiga bilangan genap ang berurutan adalah 8. Tentukan ketiga bilangan itu! 5. Sebuah mobil dan sepeda motor berjalan bersama dan menempuh jarak ang sama. Kecepatan mobil 60 km/jam sedangkan sepeda motor 5 km/jam. Jika sepeda motor tiba di tempat tujuan jam setelah mobil tiba, berapakah waktu ang diperlukan mobil dan berapa waktu ang diperlukan sepeda motor MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 6
6. Sebuah pabrik roti menggaji semua karawanna Rp 0.000,00 tiap hari. Biaa lain untuk tiap roti adalah Rp 600,00. Harga tiap roti Rp.00,00. Apa ang harus dilakukan agar pabrik itu tidak mengalami kerugian f. Kunci jawaban formatif a) 8 0; 5 b) 9 7; c) 6 ; a) 0; 0 e) ; 0 HP = { -0 } HP = { -0 } b) q 0; q 0 f) ; 6 HP = { 0 } HP = { 6 } c) HP = { - } g) 7 ; 7; d) ; HP = { - } HP = {- }. s = V.t V. t V. t A A U. t A = 8.( t A ) t A = U jam MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 7
. ( ) ( ) 8 ; Jadi ketiga bilangan tersebut adalah, 6 dan 8. 5. 60. t M = 5.( ( t M ) 5.t M = 90 t M 6 jam Jadi waktu waktu ang diperlukan mobil adalah 6 jam dan waktu ang diperlukan sepeda motor adalah 8 jam. 6. Jawaban bisa bervariasi. Contoh jawaban adalah pabrik itu harus memproduksi minimal 00 biji dan laku terjual semuana, karena dengan jumlah itu pengeluaran sama dengan pemasukan. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 8
. Kegiatan Belajar Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat: Memahami pengertian persamaan kuadrat. Mampu menelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. Mampu menelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Mampu menelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus. Memahami pengertian pertidaksamaan kuadrat. Mampu menelesaikan pertidaksamaan kuadrat. b. Uraian Materi Persamaan Kuadrat Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penelesaian dari persamaan kuadrat. Pengertian Persamaan kuadrat (dalam ) adalah persamaan dimana pangkat dari adalah bilangan asli dan pangkat tertinggina adalah. Secara umum persamaan kuadrat (dalam ) berbentuk: a b c 0 ; a 0. Contoh : 6 0, adalah persamaan kuadrat dalam karena pangkat dari adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari adalah. Dalam persamaan di atas a, b dan c 6. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 9
Contoh : m 8 8m, adalah persamaan kuadrat dalam m karena pangkat dari m adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari m adalah. Persamaan kuadrat di atas dapat ditulis sebagai m 8m 0. Dalam hal ini nilai a, b 8 dan c. Persamaan kuadrat m 8 8m dapat pula ditulis sebagai m 8m 0. Contoh : 8 t, adalah persamaan kuadrat dalam t karena pangkat dari t adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari t adalah. Contoh : 5, bukan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi dari adalah. Contoh 5: t 5t 0, bukan persamaan kuadrat karena pangkat dari t ada ang bukan bilangan asli, aitu. Cara menelesaikan persamaan kuadrat Ada tiga cara untuk menelesaikan persamaan kuadrat aitu cara memfaktorkan, cara melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus. Masing-masing cara di atas diuraikan berikut ini.. Cara Memfaktorkan Cara ini didasari oleh sifat perkalian dua bilangan riel. Jika a dan b adalah bilangan riel sehingga a.b=0, maka a=0 atau b=a. Demikian pula sebalikna, jika a atau b adalah nol maka a.b=0. Cara memfaktorkan ini dilakukan dengan merubah persamaan kuadrat sehingga salah satu ruas sama dengan nol. Kemudian merubah ruas ang lain menjadi perkalian dari dua suku ang MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 0
masing-masing adalah linier. Untuk lebih jelasna perhatikan contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penelesaian dari persamaan. Penelesaian: 0 ( )( ) 0 ( ) 0 atau ( ) 0 atau Bagaimana cara memfaktorkan Berikut ini adalah langkahlangkah ang dapat dilakukan untuk merubah suatu bentuk kuadrat ke dalam perkalian dua suku ang masing-masing linier. Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat Langkah-langkah: a b c 0 ; a 0. a) Persamaan kuadrat dinatakan dalam bentuk a b c 0 ; a 0. b) Kedua ruas dibagi dengan a sehingga koefisien dari adalah, akhirna persamaan kuadrat semula berbentuk b c 0. c) Tentukan dua buah faktor c kalau dijumlahkan sama dengan b, misalkan dua faktor itu adalah q dan s, maka q s b c ( q)( s) 0, q. s sehingga ( q) 0 atau ( s) 0. c b Jadi penelesaianna adalah q atau s. Contoh : Tentukan penelesaian dari persamaan 0. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
Penelesaian: 0 a) 0 6 0 (kedua ruas dibagi ) b) faktor-faktor -6 kalau dijumlahkan sama dengan adalah dan -. Diperoleh, 0 6 0 6 ( ( ) 0 Sehingga ( ) 0 atau atau. Contoh : Tentukan penelesaian dari persamaan 0. Penelesaian: 0 a) 0 6 8 0 (kedua ruas dibagi, atau dikalikan ) b) faktor-faktor 8 kalau dijumlahkan sama dengan 6 adalah dan. Diperoleh, 6 8 0 ( )( ) 0 Sehingga ( ) 0 atau ( ) 0 atau. Contoh : Tentukan penelesaian dari persamaan 6 0. Penelesaian: 6 0 0 ( 7)( ) 0 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
( 7) 0 atau ( ) 0 7 atau. Jika koefisien bukan, anda dapat langsung memfaktorkan tanpa terlebih dahulu membagi kedua ruas dengan a. Cara memfaktorkan adalah seperti berikut. Menatakan a b c sebagai hasil kali dua bentuk linier, aitu p. r a a b c ( p q)( r s) 0 p. s q. r b q. s c Selanjutna ( p q) 0 atau ( r s) 0 Penelesaianna adalah Contoh 5: q atau p s. t Tentukan penelesaian dari persamaan 6 0. Penelesaian: 6 ( 9)( 7) 0 (7)+(-9)()= Contoh 6: Tentukan penelesaian dari persamaan 0. Penelesaian: 0 ( 8)( ) 0 8 0 atau 0 atau MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
. Cara melengkapkan kuadrat sempurna Bentuk kuadrat sempurna Bentuk disebut bentuk kuadrat sempurna karena dapat dinatakan sebagai kuadrat dari bentuk ang lain, akni = ( ). Demikian pula 6 6 merupakan bentuk kuadrat sempurna karena 6 6 = ( ). Jadi bentuk kuadrat sempurna adalah bentuk ang dapat dinatakan sebagai kuadrat dari bentuk ang lain. Bagaimana cara mengetahui suatu bentuk merupakan bentuk kuadrat sempurna atau bukan Perhatikan bahwa ( a a) a dan ( a a) a. Dengan memperhatikan hal itu dapat disimpulkan bahwa bentuk p q merupakan bentuk kuadrat sempurna jika dapat dinatakan dalam bentuk a a atau a a (konstantana merupakan kuadrat dari setengah koefisien ). Contoh 7: Apakah 6 9 merupakan bentuk kuadrat sempurna Jika a, natakan dalam kuadrat dari bentuk ang lain! Penelesaian: Perhatikan bentuk 6 9 Koefisien adalah 6 dan konstantana adalah 9. Berarti, setengah dari koefisien adalah. Ternata 9 (konstanta) =. Jadi, 6 9 merupakan bentuk kuadrat sempurna. 6 9 ( ). Contoh 8: MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
Apakah merupakan bentuk kuadrat sempurna Jika a, natakan dalam kuadrat dari bentuk ang lain! Penelesaian: ( ). Koefisien dari bentuk ( ) adalah dan konstantana adalah. Berarti, setengah dari koefisien adalah. Ternata (konstanta) = ( ). Jadi, ( ) merupakan bentuk kuadrat sempurna dan Jadi, ( ). ( ) ( ) ( ( )). Dengan demikian merupakan bentuk kuadrat sempurna. Menelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna Cara ini dilakukan dengan mengubah salah satu ruas persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dengam menggunakan sifat a a ( a 0 ), maka persamaan kuadrat dapat ditentukan penelesaianna. Contoh 9: Selesaikan persamaan kuadrat 8 5 0. Penelesaian: Koefisien pada bentuk 8 5 adalah 8, sehingga setengah dari koefisien adalah dan 6. Dengan demikian, bentuk 8 6 merupakan bentuk kuadrat sempurna. Sehingga persamaan kuadrat 8 5 0 dapat dirubah menjadi 8 6 0. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
8 6 0 8 6 Contoh 0: ( ) ( ) atau 5 Selesaikan persamaan kuadrat 0 0. Penelesaian: Koefisien pada bentuk 0 adalah, sehingga setengah dari koefisien adalah - dan ( ). Dengan demikian, bentuk merupakan bentuk kuadrat sempurna. Sehingga persamaan kuadrat 0 0 dapat dirubah menjadi 0 0. 0 0 ( ) 0 8 ( ) 8 9 8 9 9 atau 5 atau MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 6
Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 96 0. Penelesaian: 96 0 00 0 00 ( ) 00 00 0 atau 8 Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 0 7 0. Penelesaian: 0 7 0 0 0 0 5 0 0 5 ( 5) 5 atau 6. Dengan menggunakan rumus Menelesaikan persamaan kuadrat juga dapat dilakukan dengan menggunakan rumus. Penurunan rumus dilakukan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Berikut adalah uraian penurunan rumus itu. Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat a b c 0 ; a 0. Jika kedua ruas dibagi dengan a maka persamaan kuadrat di atas b c ekuivalen dengan persamaan 0. a a MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 7
b c b b b c a b c 0 0 ( ) ( ) 0 a a a a a a b b b c ( ) ( ) a a a a b a b a ac a ( ) b a b ac a ( ) b a ( ) b ac a b [a( )] b ac a b a b ac a b a b ac a b b ac atau a a b a b ac a Secara singkat dapat ditulis, b b ac. a b ac seringkali ditulis dengan D (kependekan dari diskriminan). Sehingga akar-akar persamaan tersebut ditulis, b D. a Jika D= b ac 0, maka persamaan kuadrat a b c 0; a 0 tidak mempunai akar-akar bilangan riel. Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 8 0. Penelesaian: a ; b ; c 8 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 8
, () () ()(8),, 9,, 7. Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat. Penelesaian: 5 0 a ; b ; c 5, () ()( 5) (), 6 80, 96, 5, 9. Contoh 5: Selesaikan persamaan kuadrat 0. Penelesaian: a ; b ; c, ( ) ( ) () ()() MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 9
,, 69 8 8 8,. Pertidaksamaan Kuadrat Pada bagian ini kita akan mendalami cara mencari penelesaian dari pertidaksamaan kuadrat. Pengertian Pertidaksamaan kuadrat (dalam ) adalah pertidaksamaan dimana pangkat dari adalah bilangan asli dan pangkat tertinggina adalah. Contoh : 6 0, adalah pertidaksamaan kuadrat dalam karena pangkat dari adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari adalah. Contoh : m 5m 8 6, adalah persamaan kuadrat dalam m karena pangkat dari m adalah bilangan asli dan pangkat tertinggi dari m adalah. Cara menelesaikan pertidaksamaan kuadrat Langkah-langkah untuk menelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: a) Natakan pertidaksamaan kuadrat ke bentuk salah satu ruas sama dengan nol dan ruas ang lain adalah bentuk kuadrat. b) Tentukan pembuat nol dari bentuk kuadrat itu. c) Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan. d) Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 0
e) Tentukan penelesaianna sesuai ang dikehendaki pada pertidaksamaan. Untuk lebih jelasna perhatikan beberapa contoh berikut ini. Contoh : Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan 5 6. Penelesaian: 5 6 5 6 0 Pembuat nol dari 5 6 adalah nilai-nilai sehingga 5 6 0. 5 6 0 ( )( ) 0 atau + + + + - - - - + + + + - - Karena daerah ang diminta ang lebih kecil nol, maka ang memenuhi adalah diantara dan. Jadi himpunan penelesaianna adalah { R - < <- } Contoh : Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan 5 0. Penelesaian: Pembuat nol dari 5 adalah nilai-nilai sehingga 5 0. 5 0 ( 7)( ) 0 7 atau - - - - + + + + - - - - - -7 Karena daerah ang diminta ang lebih kecil atau sama dengan nol, maka ang memenuhi adalah lebih kecil atau sama dengan 7 atau lebih besar atau sama dengan. Jadi himpunan penelesaianna adalah { R 7 atau }. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
c. Rangkuman Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam ) adalah a b c 0; a 0. Ada tiga cara untuk menelesaikan persamaan kuadrat aitu cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus. Langkah-langkah menelesaikan persamaan kuadrat a b c 0; a 0 dengan memfaktorkan: Menatakan a b c p. r sebagai hasil kali dua bentuk linier, aitu a a b c ( p q)( r s) 0 p. s q. r b q. s c Selanjutna ( p q) 0 atau ( r s) 0 Penelesaianna adalah q atau p s. t Jika a, maka persamaan kuadrat b c 0 diubah menjadi q s b b c ( q)( s) 0 q. s c sehingga penelesaianna adalah Penelesaian dari persamaan kuadrat q atau s a b c 0; a 0 adalah, b b a ac untuk b ac 0 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
d. Tugas Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan dengan teman anda! Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!. 0. 5 0. 9 5 0. ( m ) m ( m ) 0; m -. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan berikut! 5. 9 6. 5 e. Tes Formatif Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan cara memfaktorkan!. 0 0. 8 0. 5 0 Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna!. 5. 8 0 Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan menggunakan rumus! 6. 7. 0 Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan berikut! 8. ( 5) ( ) 9. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
f. Kunci jawaban formatif. 0 0 ( 6)( 5) 0 6 atau 5. 8 0 ( 7)( ) 0 7 atau. 5 0 ( )( ) 0 atau. 6 ( ) ( ) 0 atau 5. 8 0 9 ( ) atau 6., ( ).().().() 7., ().( ).(.( ) ) ; 8. ( 5) ( ) 0 ( )( ) 0 + + + - - - + + + - MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
9. HP = { R atau }. 9 5 0 ( 5)( ) 0 + + + - - - + + + 5 HP = { R 5 } MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
. Kegiatan Belajar Menusun Persamaan Kuadrat ang diketahui Akar-akarna a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat: Menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Menentukan jumlah akar-akar persamaan kuadrat. Menusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarna. b. Uraian Materi Jenis akar persamaan kuadrat Telah diuraikan bahwa akar-akar dari persamaan kuadrat b D a b c 0; a 0 adalah, a b D. a Jika D>0, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah bilangan riel ang berbeda Jika D=0, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah dua b bilangan riel ang sama aitu. a Jika D<0, maka persamaan kuadrat itu tidak mempunai akar bilangan riel. Contoh : Persamaan kuadrat 5 0 mempunai dua akar riel ang berbeda karena D= (5) ()( ) 7>0. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 6
Contoh : Persamaan kuadrat 6 0 tidak mempunai akar riel karena D= () ()(6) 0<0. Contoh : Persamaan kuadrat 6 9 0 mempunai dua akar riel ang sama karena D= (6) ()(9) 0. Contoh : Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat m m 0 mempunai dua akar riel ang sama. Penelesaian: m m 0 (m ) (m ) 0 Agar persamaan kuadrat itu mempunai dua akar ang sama, maka diskriminanna harus sama dengan nol. D= ( m ) ()(m ) =0. m 8m m 0 m 6m 0 0 m m 5 0 ( m 5)( m ) 0 m 5 atau m. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat Akar-akar dari persamaan kuadrat a b c 0; a 0 adalah b a D, b D. a b Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka diperoleh =-, a c sedangkan jika kedua akar itu dikalikan maka diperoleh. =. a MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 7
Contoh 5: Jika akar-akar persamaan kuadrat 7 0 adalah tentukan: a) + b). c) Penelesaian: b 7 a) + = 7 a c b). = a c) ( ). dan, maka = ( 7) () 5. Contoh 6: Jika akar-akar persamaan 6 6 8 0 adalah dan, tentukan: a) b) Penelesaian: b 6 6 a) 6 a. c 8 6 a b) ( ) = = ( ) = ( 6) ( ) = 8 Jadi, 8. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 8
Menusun persamaan kuadrat ang diketahui akar-akarna Dari uraian sebelumna telah kita ketahui bahwa jumlah akarakar persamaan kuadrat a b c 0; a 0 adalah b =-, a c sedangkan jika kedua akar itu dikalikan maka diperoleh. =. Dari a dua kesamaan itu diperoleh hubungan b a ) dan c a. ). ( ( Jika niali b dan c ini disubstitusikan ke persamaan semua, aitu a b c 0, maka diperoleh a a ) a(. ) 0.Jika kedua ( ruas dibagi dengan a diperoleh a b c 0 ( ) (. ) 0. Dengan demikian persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarna dan adalah ( ) (. ) 0. Contoh 7: Susunlah persamaan kuadrat ang akar-akarna - dan 5. Penelesaian: 7 5 - + = 5 5 5 5 7 8 (- ). ( ) = 5 5 5 8 Jadi persamaan kuadratna adalah 0 atau dapat ditulis 5 5 5 8 0. Contoh 8: Susunlah persamaan kuadrat ang akar-akarna lebihna dari akarakar persamaan 5 6 0. Penelesaian: Misalkan akar-akar persamaan 5 6 0 adalah dan dan misalkan akar-akar persamaan ang diminta adalah dan. Maka MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 9
diperoleh hubungan = + dan = +. Persamaan ang diminta adalah ( ) (. ) 0. + =( + )+=5+=9.. =( +)( +) =. + ( + ) + = 6+(5) + = 0. Jadi, persamaan kuadrat ang diminta adalah 9 0 0. Contoh 9: Susunlah persamaan kuadrat ang akar-akarna enam kali akar-akar persamaan 6 0. Penelesaian: Misalkan akar-akar persamaan 6 0 adalah dan dan misalkan akar-akar persamaan ang diminta adalah dan. Maka diperoleh hubungan = dan =. Persamaan ang diminta adalah ( ) (. ) 0. + = ( + ) = ( + ) = ( ) = 6. =( ) ( ) =. = ( ) = 6 Jadi, persamaan kuadrat ang diminta adalah 0 atau dapat ditulis 0. c. Rangkuman Jika diskriminan (D= b ac ) suatu persamaan kuadrat adalah positif, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah bilangan riel ang berbeda MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 0
Jika diskriminan (D= b ac ) suatu persamaan kuadrat adalah nol, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah dua bilangan riel ang sama aitu b. a Jika diskriminan (D= b ac ) suatu persamaan kuadrat adalah negatif, maka persamaan kuadrat itu tidak mempunai akar bilangan riel. Jumlah akar persamaan kuadrat a b c 0; a 0 adalah =- b c, sedangkan hasil kalina adalah. =. a a Persamaan kuadrat ang akar-akarna dan adalah ( ) (. ) 0. d. Tugas Kerjakan soal-soal berikut secara individu, jika ada kesulitan diskusikan dengan teman anda!. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat (8m ) m 6m 5 0 mempunai dua akar ang sama.. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat ( m ) ( m ) m 0 mempunai dua akar ang sama.. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat a b 0 adalah 5 sedangkan hasil kalina adalah 6. Tentukan nilai a dan b. e. Tes Formatif. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari setiap persamaan kuadrat berikut ini! a) 6 0 b) 7 0 c) p q r 0 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
d) a b c 0. Jika akar-akar persamaan 6 8 9 adalah p dan q, tentukan: a) p q b) ( p )( q ) c) p q q p. Jika akar-akar persamaan 9 0 adalah u dan t, tentukan: a) persamaan kuadrat ang akar-akarna t u dan u t b) persamaan kuadrat ang akar-akarna ( u ) dan ( t ) c) persamaan kuadrat ang akar-akarna ( u ) dan ( t ) f. Kunci jawaban formatif Misalkan akar-akar persamaan a) d) adalah dan, maka: 6. a) + = ;. = 7 b) + = ;. = - q r c) + = ;. = p p. d) + = b ;. = p q ; p. q a) c a q p 6 = p q p. q b) ( p )( q ) = pq ( p q) () 0 8 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
() ( ) p q p q ( p q) pq 9.() c) = 8 q p p. q p. q. u t 9; u. t Misalkan akar-akar persamaan ang baru adalah dan. u t u t ( u t) ut ( 9).() a) + = 79 t u u. t ut u t. =. t u Persamaan kuadrat ang dimaksud adalah 79 0 b) + = ( u ) (t ) ( u t) 6 =.(-9)+6 = -. = ut 6( u t) 9.() 6( 9) 9 Persamaan kuadrat ang dimaksud adalah 0 c) + = u t ( u t) ut = ( 9).() 75. = u t ( u t ) = ( ut ) [( u t) ut] = [( 9).()] 5 Persamaan kuadrat ang dimaksud adalah 75 5 0 MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
. Kegiatan Belajar Sistem Persamaan Linier (SPL) Dua Peubah Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat: Memahami pengertian persamaan linier dua peubah. Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik. Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara eliminasi. Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara substitusi. Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan menggunakan determinan. Uraian Materi Persamaan linier dua peubah Pengertian Persamaan ang memuat dua peubah, pangkat peubahna adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu disebut persamaan linier dua peubah. Contoh : a) 5 9 adalah persamaan linier dua peubah dalam dan. b) 7 s t t 7 adalah persamaan linier dua peubah dalam s dan t. c) u v 5 5u 6v adalah persamaan lnier dua peubah dalam u dan v. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan
d) 5, bukan persamaan linier dua peubah, karena ada suku perkalian antara dan. e) 5 5, bukan persamaan linier dua peubah karena ada suku pembagian antara dan. f) p q 6 0 bukan persamaan linier dua peubah karena pangkat dari p adalah. Sistem persamaan linier dua peubah Pengertian Dua atau lebih dari persamaan linier dua peubah ang berlaku secara serentak disebut sistem persamaan linier dua peubah. Untuk menotasikan persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak digunakann notasi. Berikut ini adalah contoh sistem persamaan linier dua peubah. Contoh : Contoh : u v 7 6u u 7v 5 u Menelesaikan Sistem persamaan linier dua peubah Pengertian Menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah artina adalah mencari nilai pengganti dari setiap peubah sehingga jika peubah pada setiap persamaan diganti dengan nilai ang dimaksud, maka persamaan itu berubah menjadi kalimat ang bernilai benar. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
Contoh : 0 ; adalah penelesaian dari sistem persamaan linier, karena jika pada kedua persamaan di atas peubah diganti dengan 0 dan diganti dengan, maka diperoleh dua pernataan: a) (0) b) ( 0) (), dan kedua pernataan tersebut adalah benar. Contoh 5: u 5 ; v bukan penelesaian dari sistem persamaan linier u v 7 6u, karena jika pada kedua persamaan di atas peubah u 7v 5 u u diganti dengan 5 dan v diganti dengan -, maka diperoleh dua pernataan: a) (5) ( ) 7 6(5) b) (5) 7( ) 5 (5) Pernataan a) bernilai salah, karena ruas kiri sama dengan 9 sedangkan ruas kanan sama dengan 7. Pernataan b) bernilai benar. Karena ada pernataan ang salah, maka u 5 ; v bukan penelesaian sistem persamaan linier u v 7 6u. u 7v 5 u Cara Menelesaikan Sistem persamaan linier dua peubah Empat cara berikut dapat dilakukan untuk menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah, aitu: cara grafik, cara eliminasi, cara substitusi dan menggunakan determinan. Tiap cara tersebut diuraikan berikut ini.. Cara Grafik Penelesaian dari suatu persamaan linier dua peubah dapat dipandang sebagai pasangan bilangan riel. Pasangan bilangan riel dapat MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 6
dipandang sebagai koordinat titik pada bidang datar. Persamaan linier dua peubah dapat dipandang sebagai persamaan garis lurus. Himpunan penelesaian dari persamaan linier tersebut dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar ang dilalui oleh garis tersebut. Dengan demikian, penelesaian dari sistem persamaan linier dua peubah dapat dipandang sebagai titik-titik ang dilalui oleh kedua garis. Untuk lebih jelasna berikut diberikan langkah-langkah untuk menelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik. a) Gambarlah (pada bidang koordinat) grafik garis lurus ang menatakan himpunan penelesaian dari masing-masing persamaan. b) Tentukan titik potong kedua garis tersebut (jika ada). Koordinat titik potong itulah merupakan pasangan penelesaian dari sistem persamaan ang dimaksud. Untuk lebih jelasna perhatikan contoh berikut. Contoh 5: Tentukan penelesaian sistem persamaan linier 70.000 dengan 80.000 cara grafik. Penelesaian: a) Kita gambarkan grafik masing-masing persamaan dengan bantuan tabel sebagai berikut. + = 70.000 + = 80.000 0 70.000 0 0.000 5.000 0 80.000 0 b) Dengan pertolongan titik-titik itu digambar grafik kedua persamaan tersebut pada bidang koordinat Cartesius sebagai berikut. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 7
Y 80.000- + = 80.000 70.000-60.000-50.000-0.000-0.000-0.000- (0.000, 0.000) 0.000- + = 70.000 0.000 0.000 60.000 80.000 X Pada gambar di atas, kedua garis berpotongan di titik (0.000, 0.000). Jadi penelesaian sistem persamaan tersebut adalah 0. 000 ; 0.000. Contoh 6: Selesaikan sistem persamaan linier 6 dengan cara grafik. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 8
Y + = 6 - - X - = - - - Penelesaian: Kedua garis tersebut berpotongan di titik (0,). Jadi (0,) adalah satu-satuna penelesaian dari sistem persamaan linier tersebut. Jadi penelesaianna adalah 0 ;. Contoh 7: Selesaikan sistem persamaan linier Penelesaian: Y dengan cara grafik. + = - 5 6 - X - + = MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 9
Kedua garis tersebut sejajar (tidak ada titik potongna). Oleh karena itu tidak ada penelesaian dari sistem persamaan linier tersebut. Contoh 8: Selesaikan sistem persamaan linier 8 dengan cara grafik. Penelesaian: Y - = - 5 6 - X - - - = 8 - -5 Grafik kedua garis tersebut berimpit. Oleh karena itu setiap titik pada garis tersebut memenuhi kedua persamaan. Jadi ada tak terhingga banakna penelesaian dari sistem persamaan linier dengan dua peubah tersebut. Contoh 9: Tentukan dua buah bilangan ang jumlahna 6 dan selisihna. Penelesaian: Misalkan : bilangan pertama : bilangan kedua MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 50
Sistem persamaan linier ang sesuai dengan permasalahan di atas adalah: 6 Grafik masing-masing persamaan tersebut adalah: Y 7 6 5 + = 6 (5, ) - 5 6 - X Kedua garis berpotongan di titik (5,). Jadi kedua bilangan itu adalah 5 dan. - - = - -. Cara Eliminasi Mengeliminasi artina adalah menghilangkan. Cara eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu peubah. Dengan demikian, persamaan ang semula terdiri dari dua peubah akhirna MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
menjadi satu peubah. Selanjutna dapat ditentukan penelesaianna. Untuk lebih jelasna, perhatikan contoh berikut ini. Contoh 0: Tentukan penelesaian dari sistem persamaan 8 eliminasi. Penelesaian: dengan cara Untuk mengeliminir peubah dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan dan mengalikan kedua ruas persamaan ke dua dengan kemudian mencari selisihna. 6 8 6 9 - maka. Untuk mengeliminir peubah dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan dan mengalikan kedua ruas persamaan ke dua dengan (tetap) kemudian menjumlahkanna. 9 8 8 + maka. Penelesaian sistem persamaan di atas adalah ;. Contoh : Tentukan penelesaian dari sistem persamaan 5 6 5 dengan cara eliminasi. Penelesaian: Untuk mengeliminir peubah dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan dan mengalikan kedua ruas persamaan ke dua dengan 5 kemudian mencari selisihna. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
5 6 5 0 50 5 0 5 55 5 maka 5. Untuk mengeliminir peubah dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan (tetap) dan mengalikan kedua ruas persamaan ke dua dengan kemudian mencari selisihna. Penelesaian sistem persamaan di atas adalah ;. 5 6 5 5 6 5-6 - Penelesaian sistem persamaan di atas adalah ; 5.. Cara Substitusi Mensubstitusi artina adalah menggantikan. Cara substitusi dilakukan dengan cara mencari nilai salah satu peubah pada suatu persamaan kemudian menggantikan nilai itu pada persamaan ang lain. Cara ini lebih efisien jika dilakukan untuk menelesaikan sistem persamaan linier ang peubahna ada ang berkoefisien. Untuk lebih jelasna, perhatikan contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penelesaian dari sistem persamaan 8 dengan cara substitusi. Penelesaian: Dari persamaan pertama diperoleh. Kemudian nilai ini digantikan pada pada persamaan ke dua, sehingga diperoleh persamaan ( ) 8. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
8. Nilai ini kita gantikan pada nilai pada persamaan, sehingga diperoleh () atau. Contoh : Tentukan penelesaian dari sistem persamaan dengan cara substitusi. Penelesaian: Dari persamaan ke dua diperoleh. Kemudian nilai ini digantikan pada pada persamaan pertama, sehingga diperoleh persamaan ( ). 7 8 7 7. Nilai ini kita gantikan pada nilai pada persamaan, sehingga diperoleh () atau. Catatan: Sering kali dalam menelesaikan suatu SPL digunakann cara eliminasi dan substitusi sekaligus pada suatu soal. Cara ang demikian dinamakan cara kombinasi eliminasi dan substitusi.. Menggunakan determinan Cara ini didasari oleh konsep matriks, khususna perkalian matriks dan invers suatu matriks. Bentuk umum sistem persamaan linier dua peubah (dalam dan ) adalah: a b c d p q MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 5
Sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam perkalian matriks a b p. = c d q a b p Jika dimisalkan A=, X= dan B=, maka sistem c d q persamaan linier a b p dapat ditulis dengan A.X = B. Menelesaikan c d q sistem persamaan tersebut berarti kita mencari matriks X. Jika matriks A puna invers ( ad bc 0) maka diperoleh A ( A. X ) A. B ang ekuivalen dengan X A B. Dengan demikian kita peroleh penelesaianna. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut. a b d b Perlu diingat kembali bahwa jika A=, maka A c d ad bc c a jika ad bc 0. Contoh : Tentukan penelesaian dari sistem persamaan 8 dengan cara menggunakan determinan. Penelesaian: A, X=, B. 8 A 9 Sehingga X 8 Dengan demikian penelesaianna adalah ;. Contoh : Tentukan penelesaian dari sistem persamaan s t 0 s dengan cara menggunakan determinan. MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan 55