MODEL MTEMTIK oleh Ir. Djoko Lukao, M.Sc., Ph.D. Februar 003 Baha kulah Hdraulka Kompuas Jurusa Tekk Spl FT UGM Yogyakara
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM PRKT D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Buku dsusu dega ujua memberka pegeala erhadap model maemak; eruama model maemak umers dega meode deres hgga. Pada bab perama dbahas megea pegera model secara umum uuk kemuda pembaca darahka kepada model maemak umers deres hgga. Pada bab kedua dsajka jes-jes persamaa deresal, persamaa beda hgga sera skema-skema deres hgga yag bayak djumpa pada bdag hdraulka. Pada bab kega djelaska persamaa dasar da persamaa kerja dar alra ak uak uuk salura/suga uggal aau jarga salura/suga. Uuk erba perama pada bula Februar 993, baha yag ercaum dalam buku dujuka uuk pembera dasar-dasar model maemak umers kepada pesera kursus sgka Pegembaga Daerah Rawa. Kursus dseleggaraka oleh PU Ilmu Tekk, UGM. Lama kursus sgka seluruhya adalah 40 jam, sedagka baha yag ercaum dalam buku aka dberka selama 4 jam. Dalam erba kedua da selajuya, buku dguaka uuk megajar dasar-dasar Hdraulka Kompuas pada Program Pascasarjaa Reguler da MPB (Magser Pegelolaa Becaa lam) d Jurusa Tekk Spl FT UGM. Peyusu berharap agar baha kursus bergua. Krk membagu selalu dharapka. Yogyakara, Februar 003 Peyusu Djoko Lukao Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM DFTR ISI halama D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) HLMN JUDUL... PRKT... DFTR ISI... PENDHULUN... Pegera Model... Model kecepaa alra salura erbuka... Model agkua lmbah... 3 Model peelusura waduk ( reservor roug )... 3 Model alra ak uak ( useady low ) pada salura erbuka... 3 a. Persamaa kouas... 3 b. Persamaa momeum... 3 Peyelesaa als... 4 Peyelesaa Numers... 5 PERSMN DIFERENSIL... 7 Beuk-beuk Persamaa Deresal... 7 Meoda Karakersk... 8 Koservas massa alra salura erbuka... 9 Koservas momeum alra salura erbuka... Dskrsas Keadaa lam... 5 Skema-skema Deres Hgga... 7 Dere Taylor... 7 Skema Maju... 7 Skema Mudur... 8 Skema Tegah... 9 Skema Loca-Kaak (Leap-rog)... 0 Skema DuFor-Frakel... Skema Crak-Ncolso... Skema Empa Tk Pressma... Fakor Bobo Waku da Ruag... Skema Ekspls... 3 Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Skema Impls... 3 LIRN TK TUNK PD SUNGI... 5 Cara o-eras Pressma... 5 Skema Empa Tk Pressma... 5 Persamaa kerja beda hgga... 6 Persamaa kouas... 6 Persamaa momeum... 7 SUNGI TUNGGL... 3 Meode Sapua-Gada... 3 Kods wal... 3 Kods Baas... 34 JRINGN SUNGI... 35 Nodal Couy... 35 Rver-low dyamcs... 37 Goverg Equao: Momeum... 37 Goverg Equao: Couy... 37 Workg Equao... 37 The Double Sweep Mehod... 38 Forward Sweep... 38 Dervao o Equao (I-)... 40 Dervao o Equao (I-)... 4 Reur Sweep o calculae dscharge correco... 4 DFTR PUSTK... 44 Model Maemaka Numerk hal. v
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM PENDHULUN Pegera Model D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Secara umum pegera model adalah suau usaha uuk mecpaka suau replka/rua dar suau eomea/perswa alam. da ga jes model yau model sk, model aalog da model maemak. Pada model sk replka/rua ersebu dlaksaaka dega meruka doma/ruag/daerah dmaa eomea/perswa alam u erjad. Trua doma dapa lebh besar aau lebh kecl dbadgka dega doma aslya d lapaga/alam. Kecocoka dar model ergaug dar dar seberapa mugk kesebagua (geomers, kemas, da dams) d alam dapa druka dalam model. Cooh: model bedug, model bagua pelmpah, model karburaor. Pada model aalog replka/rua ersebu dlaksaaka dega megaalogka eomea/perswa alam dega eomea/perswa alam yag la uuk kemuda dbua model skya. Cooh: perswa alra ar aah d bawah bedug druka dega model yag megguaka arus lsrk. Pada model maemak replka/rua ersebu dlaksaaka dega medskrpska eomea/perswa alam dega sau se persamaa. Kecocoka model erhadap eomea/perswa alamya ergaug dar keepaa ormulas persamaa maemas dalam medskrpska eomea/perswa alam yag druka. Cooh: Model kecepaa alra salura erbuka / 3 / V R S (.) dega V adalah kecepaa, adalah koese kekasara Mag, R adalah radus hdraulk, da S adalah kemrga gars eerj. Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Model agkua lmbah C C C U D (.) dega adalah luas ampag basah suga, C adalah koseras lmbah, meujukka waku, U adalah kecepaa reraa ampag lag suga, adalah jarak, da D adalah koese dspers. Model peelusura waduk ( reservor roug ) dv d I( ) O( h) (.3) dega V adalah volume ampuga waduk, I adalah deb yag masuk, O adalah deb yag keluar, sedagka meujukka waku da h meujukka elevas muka ar. Model alra ak uak ( useady low ) pada salura erbuka D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) a. Persamaa kouas q (.4) dega adalah deb alra (m 3 /dek), adalah jarak memajag suga, adalah luas ampag basah (m ), meujukka waku dalam dek, da adalah deb laeral dar sampg kr da kaa suga (m 3 /dek/m). b. Persamaa momeum α y g S α α 0 y g gs 0 (.5) Model Maemaka Numerk hal. 3 q
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM dega α adalah koese koreks kecepaa reraa ampag basah ( koese Corols), g adalah percepaa gravas (m/dek ), S adalah kemrga gars eerj, y adalah elevas muka ar (m). Pada baha pelaha, selajuya model sk da model aalog dak aka dbahas, eap pembaca aka daar kedalam suau pembahasa meuju model maemas. Dalam suau model maemak, uuk megeahu ujuk kerja dar model, maka harus dcar/dhug persamaa-persamaa pembeuk model ersebu. Peyelesaa yag dcar dapa berupa peyelesaa aals maupu umers. Peyelesaa umers adalah peyelesaa akhr yag palg dharapka, eap bayak problem d lapaga yag dak ddapaka peyelesaa aalsya karea komplekya permasalaha yag dhadap. Jka suau permasalaha dak dapa dselesaka secara umers, maka mausa eap berusaha uuk medapaka peyelesaaya secara umers. Peyelesaa aals basaya bersa meerus uuk seluruh doma, sedagka peyelesaa umers bersa dskr; haya berlaku pada k-k huga saja. Pejelasa lebh laju eag kedua peyelesaa dberka pada bab berku. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Peyelesaa als Peyelesaa aals dar suau model maemas adalah peyelesaa yag ddapa dar mapulas aljabar erhadap persamaa dasar sehgga ddapa suau peyelesaa yag berlaku uuk seap k dalam doma yag mejad perhaa. Sebaga cooh adalah agkua lmbah sau dmes yag mempuya persamaa dasar, Pers.(.), uuk ampag suga yag seragam sehgga kecepaa reraa, U, mejad kosa sera koese dspers, D, mempuya la kosa pada doma peyelesaa, maka persamaa dasar berubah mejad C C C U D (.6) Pers.(.6) pada doma yag ak ada baasya mempuya peyelesaa aals sebaga berku: C(, ) M ep 4πD ( U) 4D (.7) Model Maemaka Numerk hal. 4
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM dega M adalah massa lmbah pada waku 0 da 0. Pers.(.7) merupaka persamaa dsrbus ormal, seper dsajka pada Gambar..,0 C,5 berambah aau D lebh besar,0 0,5-3 - - 0 3 Gambar. Peyelesaa aals persamaa Pers.(.6) D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Pada Gambar dsajka dsrbus koseras (C) sebaga ugs dar lokas () uuk kasus () la koese dspers (D) kosa, pada waku () yag berlaa, aau () pada waku yag bersamaa, amu la koese dspers (D) berlaa. Peyelesaa Numers Jka dalam persamaa dasar agkua lmbah, Pers.(.6), eryaa kecepaa reraa berubah sepajag suga aau salura, maka peyelesaa aals, Pers.(.7), dak berlaku lag. Pada permasalaha dak ddapa peyelesaa aalsya. Uuk meyelesaka permasalaha maka basaya dguaka peyelesaa umers dmaa persamaa dasar, Pers.(.), dubah mejad persamaa yag haya berlaku pada k-k ereu ddalam doma peyelesaa. Pegubaha persamaa dasar ersebu dapa megguaka meode eleme hgga ( e eleme ) maupu beda hgga ( e derece ). Model Maemaka Numerk hal. 5
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Pada pembahasa selajuka haya djelaska pemakaa meode beda hgga uuk megubah persamaa-persamaa dasar. Pemlha berdasarka permbaga bahwa permasalaha yag aka dbahas adalah permasalaha sau dmes aau permasalaha yag dapa dubah kedalam permasalaha sau dmes, sehgga meode eleme hgga mash belum meujukka kelebhaya dbadgka meode beda hgga. Sela u kosep meode beda hgga lebh dahulu dkeal mausa, segala sesuau yag berhubuga dega sa maemasya elah bear-bear del da dpaham, sehgga memudahka pegealaya. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Model Maemaka Numerk hal. 6
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM PERSMN DIFERENSIL Dalam bab aka djelaska meode beda hgga secara umum. Bab dmula dar klaskas persamaa deresal, kemuda pejelasa megea meode karakersk yag mempuya kekhususa ersedr sehgga dbahas dbaga depa. Cara dskrsas keadaa d lapaga djelaska pada bab berkuya, kemuda dku dega pejelasa berbaga macam skema beda hgga. Beuk-beuk Persamaa Deresal Persamaa deresal paral ler order dua yag sergkal djumpa d lapaga basaya dbag mejad ga jes yau elpk, hperbolk da parabolk. Beuk umum dar persamaa deresal adalah sebaga berku: D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) N N B C D 0 (.) dega koese dhug pada k (,, 3,..., N ) berla,, aau 0. Pada Pers.(.), adalah besara yag dcar da adalah besara bebas. Caaa: dalam Pers.(.) dak erdapa suku. j Pembaga persamaa deresal, Pers.(.), mejad ga jes harus memeuh syara sebaga berku:. Jka seluruh koese mempuya la dak ol da berada sama, maka persamaa deresal adalah elpk. Cooh: alra ar aah uak: h h 0 (.) y dega h adalah gg ekaa ar aah, da y adalah jarak lag da pajag. Model Maemaka Numerk hal. 7
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM. Jka seluruh koese mempuya la dak ol da berada sama kecual haya sau koese, maka persamaa deresal adalah hperbolk. Cooh: gelombag dua dmes: h h y h (.3) dega h adalah gg gelombag, meujukka waku. 3. Jka sau koese (msal j ) berla ol da yag laya mempuya la dak ol da berada sama, da jka koese B j mempuya la dak ol, maka persamaa deresal adalah parabolk. Cooh: alra ar aah ak uak: h h y h (.4) dega h adalah gg ekaa ar aah. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Meoda Karakersk Dalam model maemak meode karakersk sergkal djumpa, sehgga pembahasaya dleakka ddepa. Meode pada prspya adalah melakuka perubaha beuk persamaa dasar dar persamaa deresal parsal mejad persamaa deresal basa, sehgga ddapa keuuga bahwa egras persamaa dasarya mejad lebh mudah. Sebaga cooh aka dbahas persamaa dasar agkua lmbah dega koese dspers dabaka (D 0), sehgga persamaa dasar agkua lmbah, Pers.(.6) berubah mejad: C C U 0 (.5) Model Maemaka Numerk hal. 8
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM d C d C DC dega subsus U, maka dperoleh beuk 0 aau 0. d d D Jad dar sau persamaa deresal parsal, Pers.(.5), dubah mejad, dua persamaa deresal basa yau d DC U da 0 d D (.6) Pers.(.6) jka degraska dega adaa U berla kosa aka dperoleh ( ) Ud U ( ) [ ( ) ( ) ] U (.7) D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Dar Pers.(.7) dapa dkaaka bahwa koseras lmbah pada suau k pada sebuah suga pada suau waku adalah sama dega koseras lmbah pada waku sebelumya d suau k yag berjarak U dsebelah hulu dega adalah selsh waku. Perlu dperhaka ds bahwa peyelesaa dega meode karakersk yag meghaslka Pers.(.7) d aas merupaka peyelesaa aals, karea secara meerus Pers.(.7) berlaku uuk seluruh doma. da beberapa peyelesaa dega meode karakersk yag egrasya dak dapa dhug lagsug seper dalam kasus d aas eap harus dlakuka secara umers, amu demka meode karakersk eap merupaka suau peyelesaa aals. Koservas massa alra salura erbuka Persamaa koservas massa aau koyuas uuk alra ak permae sau dmes dapa djabarka dega perologa sebuah volume korol seper yag erera pada Gambar. Volume korol adalah pas ar yag d-solas dar sekellgya sehgga dapa dama secara rc semua deb yag masuk da keluar. Djau pas ar sepajag seper ampak dalam Gambar. Pada pegalra muka ar bebas daklah perlu sama dega, sehgga perbedaa ersebu dapa dyaaka dalam persamaa sbb: (.8) Model Maemaka Numerk hal. 9
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM dega adalah deb masuk volume korol da adalah deb keluar volume korol, adalah pajag pas volume korol, da adalah kecepaa perubaha la sepajag. y daum Gambar. Volume korol uuk pejabara persamaa kouas D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Dalam Pers.(.8), jka deb lebh bayak yag masuk volume korol ( > ), maka la adalah egap, sedagka jka deb lebh bayak yag keluar volume korol ( > ), maka la adalah posp. Karea sepajag mugk erjad peambaha aau peguraga deb, jad luas ampag basah () pada pas ersebu dapa berubah pula uuk megmbag perubaha deb ersebu. Besarya perubaha ersebu sepajag dapa dyaaka dalam persamaa sbb: (.9) Dalam Pers.(.9), jka deb lebh bayak yag masuk volume korol ( > ), maka la adalah posp, sedagka jka deb lebh bayak yag keluar volume korol ( > ), maka la adalah egap. Jad kedua persamaa d aas, Pers.(.8) da (.9), harus mempuya la yag sama eap berlawaa adaya, sehgga ddapa persamaa koyuas uuk alra dak permae sebaga berku: Model Maemaka Numerk hal. 0
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM 0 (.0) Jka erdapa alra dar sampg sepajag pas, maka Pers.(.0) mejad: q (.4) dega adalah deb alra (m 3 /dek), adalah jarak memajag suga, adalah luas ampag basah (m ), meujukka waku dalam dek, da adalah deb laeral dar sampg kr da kaa suga (m 3 /dek/m). q Koservas momeum alra salura erbuka D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Sela hukum kekekala massa, suau alra ar harus memeuh hukum kekekala momeum. Hukum kekekala momeum yag dyaaka dalam persamaa momeum sebearya adalah pejabara dar gaya-gaya da momeum yag bekerja pada ar dalam volume korol, sehgga meyebabka ar ersebu megalr. Hukum kekekala momeum megaaka bahwa jumlah luks momeum yag masuk da keluar volume korol jumlah gayagaya yag bekerja pada volume korol perubaha momeum ddalam volume korol. Uuk meeragka da meerapka hukum kekekala momeum d aas, maka dguaka lag kosep volume korol seper erlha dalam Gambar 3. V F H W τ 0 F H y dau Gambar 3. Gaya-gaya yag bekerja pada sebuah volume korol. Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Momeum (M) dalam suau volume korol adalah perkala aara massa (m) da kecepaa (V), kalau dyaaka dalam persamaa: M m V sedagka luks momeum adalah perkala aara luks massa (ρv) kal kecepaa, kalau dyaaka dalam persamaa: M ρ VV ρv Jka dguaka aggapa: () alra sau dmes sehgga kecepaa alra uuk seap k pada luas ampag basah sama laya da () rapa massa ρ adalah kosa, maka perubaha momeum ddalam volume korol: ( V ) ( ρ V ) ρ (.) sedagka luks momeum yag masuk da keluar volume korol D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) ( ρv ) ( V ) ρ ρ V ρv (.) Gaya-gaya yag bekerja pada volume korol adalah gaya bera, gaya geseka da gaya hdrosaka. Masg-masg gaya aka dbahas pada bab berku. Jka dpaka aggapa bahwa kemrga dasar salura adalah kecl aau dega perkaaa la sudu (lha Gambar 3) adalah kecl, sehgga 0 cos, maka s cos a a Kompoe gaya bera ar yag medorog ar dapa dyaaka sebaga: W s ρg s ρg a ρgs 0 (.3) dega S 0 adalah sudu kemrga dasar salura. Jka dpaka aggapa bahwa gaya geseka pada alra ak permae mash megku hukum-hukum uuk alra permae, maka gaya geseka dapa dyaaka sebaga Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM gs grs P P ρ ρ τ 0 (.4) dega P adalah kellg basah, τ 0 adalah egaga gesek pada kellg basah, R adalah radus hdraulk ampag basah ( /P), da S adalah gars kemrga eerj. Jka dpaka aggapa bahwa percepaa verkal alra dapa dabaka, maka ekaa dalam alra adalah ekaa hdosaka. Pejabara gaya hdrosaka yag bekerja pada volume korol dperlhaka pada Gambar 4. Gaya hdrosaka yag bekerja pada ampag lag salura dapa dyaaka sebaga (.5) h z z H dz z B z h g F 0 ) ( ) ( ρ sehgga gaya hdrosaka oal adalah h z z h h z z h z z H H H H H H dz z B z h dz z B h g dz z B z h g F F F F F F 0 kos 0 0 ) ( ) ( ampag basah luas ) ( ) ( ) ( ρ ρ D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) suku erakhr ) ( ) ( 0 kos h z z h H dz z B z h g h g F ρ ρ (.6) Uuk salura prsmak suku erakhr dar Pers.(.6) laya medeka ol sehgga dabaka. Uuk salura ak prsmak yag perubahaya B(z) dak medadak, maka suku erakhr merupaka gaya yag meeka pada ddg salura, sehgga ddg salura member reaks yag besarya sama dega arah yag berlawaa (lha Gambar 4). Jad bak uuk salura prsmak Model Maemaka Numerk hal. 3
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM maupu dak, gaya hdrausaka yag bekerja pada volume korol dapa dyaaka sebaga h F H ρ g (.7) dz h-z B(z) z h z y y b (a) Tampag lag volume korol dau D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) V F H B( z) F H (b) Gaya-gaya hdrosaka da gaya ddg salura Gambar 4. Tampag lag, gaya hdrosaka da gaya ddg Jka Pers. (.) s/d (.7) dambahka aka ddapa persamaa momeum sebaga berku ( V ) ( V ) gs 0 gs h g Model Maemaka Numerk hal. 4
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM ( V ) h g S 0 S y yb g S S0 0 0 S 0 (.8) Jka dguaka koese Corols, α, uuk megoreks pemakaa rumus kecepaa alra reraa (V) sehgga mewakl dsrbus kecepaa dseap k ddalam ampag basah alra, maka Pers. (.8) dapa duls sebaga α y g S 0 Sehgga persamaa momeum dalam beukya yag erakhr, yag aka dpaka pada perhuga selajuya, dapa duls sebaga y α α g gs 0 (.5) suku suku suku 4 suku 5 suku 3 D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) dega α adalah koese koreks kecepaa reraa ampag basah ( koese Corols), g adalah percepaa gravas (m/dek ), S adalah kemrga gars eerj, y adalah elevas muka ar (m). Dskrsas Keadaa lam Dalam bab aka dbahas secara umum bagamaa suau kods suga d lapaga ddskrka uuk keperlua model maemak umers. Pada Gambar 5 dsajka suas suga dmaa pada k-k ereu dadaka pegukura ampag da jarakya. Tk-k dsebu k-k huga yag peeuaya harus dbua sedemka rupa sehgga pada saa kalbras model haslya sesua dega daa lapaga. Segala parameer sk dar suga yag bersagkua dwakl oleh parameer sk d k-k huga. Basaya uuk meode beda hgga dmaa persamaaya megadug dskrsas erhadap ruag da waku, maka skema-skema beda hgga lebh jelas jka djelaska dega ks beda hgga seper dsajka dalam Gambar 6. Pada ks beda hgga, besara jaua msalka deb,, elevas muka ar, y, aau Model Maemaka Numerk hal. 5
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM kecepaa ar, V, dgambarka pada ks ersebu, sehgga masg-masg skema dapa djelaska sebaga ugs dar besara jaua uuk ruag,, da waku,, yag berbeda, N k hug - Gambar 5. Suas sebuah suga dega k-k huga D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Baas hulu Baas hlr - N k jaua k eror k awal k baas waku, jarak, besara jaua Gambar 6. Ks beda hgga ruag () da waku () Model Maemaka Numerk hal. 6
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Skema-skema Deres Hgga Bab aka mejelaska beberapa skema yag serg djumpa dalam model umers beda hgga. Pejelasa dar seap skema selalu megguaka skema beda hgga (Gambar.5). Dasar dar seap skema dar meode beda hgga dapa druu dar dere Taylor. Dere Taylor Dere Taylor dalam ara sk dapa darka sebaga berku suau besara jaua pada suau ruag da waku ereu (ruag da waku jaua) dapa dhug dar besara u sedr pada ruag da waku ereu yag mempuya perbedaa kecl dega ruag da waku jaua aau secara maemas dapa dyaaka sebaga: ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( )... (.9)!!! Skema Maju D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Dega megguaka ga suku perama dar ruas kaa dere Taylor, Pers.(.9) dperoleh d d d d ( ) ( ) () ( ) ( )! ( ) ( ) () ( )! derajad sau ( ) ( ) () (.0) Dar Pers.(.0), maka skema maju dsebu mempuya kesalaha derajad sau aau O( ). Dega megguaka ks beda hgga maka skema maju basa duls sebaga dbawah. Beda hgga erhadap ruag: aau (.) Model Maemaka Numerk hal. 7
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM dega -. Pada skema maju ormas pada k hug dhubugka dega ormas pada k hug yag berada ddepaya. - Gambar 7. Ks skema maju Beda hgga erhadap waku dapa dguaka salah sau dar dskrsas d bawah : aau (.) dega D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Skema Mudur d d d d ( ) ( ) ( ( ) ( )! () ( ) ( )! ( ) ( ) () ( ) ( )! ( ) ( ) () ( )! derajad sau () ) () ( ) (.3) Dega megguaka ks beda hgga maka skema mudur basa duls sebaga dbawah. Model Maemaka Numerk hal. 8
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Beda hgga erhadap ruag: aau (.4) dega - -. Pada skema mudur ormas pada k hug dhubugka dega ormas pada k hug - yag berada dbelakagya. - Gambar 8. Ks skema mudur Sedagka beda hgga erhadap waku: aau (.4a) D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) dega Skema Tegah Jka dere Taylor dar Pers.(.0) dkurag dega dere Taylor dar Pers.(.3) aka ddapa skema egah sebaga berku: aau (.5a) ( ) mudur maju uuk mejad Model Maemaka Numerk hal. 9
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM ( ) aau uuk mejad ( ) (.5b) - Gambar 9. Ks skema egah Sedagka beda hgga erhadap waku:, aau (.5c) D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) dega Uuk skema beda hgga egah selajuya pejabaraya dak aka djelaska secara rc, eap haya gars besarya saja, kecual dpadag perlu. Skema Loca-Kaak (Leap-rog) Beda hgga erhadap ruag: (.6) Beda hgga erhadap waku: (.7) Model Maemaka Numerk hal. 0
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM - - Gambar 0. Ks skema loca kaak Skema DuFor-Frakel Beda hgga erhadap ruag: ( ) (.8) Beda hgga erhadap waku: D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Skema Crak-Ncolso - - Gambar. Ks skema DuFor-Frakel (.9) Skema megguaka ekk pemboboa uuk dskrsas waku sekarag ( ) da dskrsas waku yag aka daag ( ) dega cara yag lebh leksbel yau dega megguaka akor pembera waku. Beda hgga erhadap ruag: ( ) (.30) ( ) ( ) Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM dega 0 adalah akor pembera waku. Beda hgga erhadap waku: (.3) Skema Empa Tk Pressma Skema empa k Pressma aka djelaska pada bab erakhr secara rc, karea aka dguaka uuk membagu model maemak umers alra ak uak d suga. Masg-masg skema beda hgga d aas dapa dkelompokka mejad ga keluarga besar yau keluarga skema ekspls, mpls da ekspls-mpls. Uuk pejelasa keluarga skema ekspls da mpls, maka d bawah dsajka cooh dar kedua keluarga ersebu. Sedagka uuk keluarga skema ekspls-mpls coohya dak dberka, karea haya merupaka gabuga dar kedua keluarga ekspls da mpls. Cooh yag erkeal dar skema ekspls-mpls adalah skema empa k Pressma. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Fakor Bobo Waku da Ruag Ide dar skema Crak-Ncolso dega 0 sebaga akor pembera waku, dapa dkembagka secara umum uuk akor pembera ruag dega smbol 0 ψ. Secara vsual akor pembera ersebu dsajka dalam Gambar. (-ψ) - ψ (-) Gambar. Pemboboa uuk waku da ruag ψ plkas pemboboa erhadap ruag daas jka daplkaska pada Skema Mudur Pers. (.4) dperoleh: Model Maemaka Numerk hal.
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM dega -. - ( ) ( ) Sedagka aplkas pemboboa erhadap waku daas jka daplkaska pada Skema Mudur Pers. (.5) dperoleh: dega ( ψ) ψ ( ψ) ψ Uuk skema-skema yag la cara yag serupa dapa dlakuka. Pemboboa secara umum dapa daplkaska seap skema. Uuk aplkas pemboboa erhadap waku dkeal ga jes skema yau. Skema Ekspls yau skema pemboboa ruag dega la 0,. Skema Ekspls yau skema pemboboa ruag dega la, 3. Skema Ekspls-Impls yau skema pemboboa ruag dega la0 < <. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Skema Ekspls Persamaa koyuas 0 aka ddskrka sebaga berku: 0 (.3) Nla seap besara uuk waku yag lalu selalu sudah dkeahu, sehgga dalam Pers.(.3) la aka dhug. Nla ersebu lagsug dapa dhug secara ekspls sebaga berku: ( ) (.33) Skema Impls Persamaa koyuas 0 aka ddskrka sebaga berku: 0 (.34) Model Maemaka Numerk hal. 3
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Dalam Pers.(.34) haya sudah dkeahu, sehgga la besara pada waku sekarag () belum dapa dhug apa meyelesaka persamaa yag serupa uuk k-k huga yag laya. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Model Maemaka Numerk hal. 4
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM LIRN TK TUNK PD SUNGI Pada bab aka dbahas model maemak umers alra ak uak pada salura/suga erbuka. Skema yag aka dpaka ds adalah skema yag bayak dpaka d dua yau skema empa Pressma. Baga perama adalah dskrsas persamaa koyuas da momeum, Pers.(.4) & (.5) dega skema Pressma sehgga ddapaka persamaa kerja. Selajuya persamaa kerja daplkaska uuk membagu model suga uggal da jarga suga. Cara o-eras Pressma Pressma memaka meode deres hgga uuk meyelesaka persamaa dasar alra ak uak d suga. Cara o-eras Pressma dmula dega medeska korelas sbb: D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) dega mewakl sembarag varabel msalka, y, d k-k huga sepajag suga. Subskrp meujukka lokas k-k huga da superskrp meujukka waku dega uuk waku yag elah lalu da uuk waku sekarag. Dega cara, maka varabel yag aka dhug yau draormaska mejad, sedagka merupaka varabel yag elah dkeahu dar huga sebelumya. Skema Empa Tk Pressma Uuk meghug la suau varabel d k-k huga sepajag suga Pressma megguaka empa buah k uuk meghug seap suku pembeuk persamaa dasar alra ak uak d suga. Model Maemaka Numerk hal. 5
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), dega 0 dsebu dega akor pembera waku ( uuk skema mpls, sedagka 0 uuk skema ekspls). Pers.() aka selalu dbuuhka uuk pejabara selajuya. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Persamaa kerja beda hgga Persamaa kouas ( ) ( ) ( ) y b y b 5 Caaa: b y dega b adalah lebar muka ar dalam meer. Model Maemaka Numerk hal. 6
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Subsus Pers.(5) da (6) kedalam Pers.(3) meghaslka ( ) ( ) q y b y b yag dapa duls sebaga 7 G D y C B y q G B D b C B b,,,, dega 8 Pers.(7) dama Persamaa Pas Perama da uuk lebh sgkaya selajuya dsebu PPP. Demka pula halya dega persamaa momeum d bawah aka dubah kedalam beuk serupa PPP. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Persamaa momeum 0 suku 5 suku 4 suku 3 suku suku gs y g α α 9 Pers.(9) aka dubah mejad persamaa kerja yag mempuya beuk: 0 GG DD y CC BB y Persamaa (0) dsebu dega Persamaa Pas Kedua aau selajuya dsebu PPD uuk lebh sgkaya. Karea pajagya pejabara yag aka erjad, maka Pers.(9) aka djabarka uuk masg-masg suku secara erpsah. Hasl akhr dar pejabara koese pegaruh, BB, CC, DD, da GG adalah sebaga berku: Koese adalah jumlah dar: Model Maemaka Numerk hal. 7
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Suku : 0 (95) αb Suku : (96) b 4 α Suku 3: (97) ( y b y b g ) Suku 4: (98) 3 ) )( ( ) ( K dy dk g K K b g β β β Suku 5: (99) Koese BB adalah jumlah dar: BB Suku : (00) BB α D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Suku : (0) BB α Suku 3: (0) Suku 4: BB 0 (03) ) )( ( K g BB β (04) Suku 5: Koese CC adalah jumlah dar: Suku : CC 0 (05) b CC α Suku : (06) 4 b CC α (07) Suku 3: Model Maemaka Numerk hal. 8
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Suku 4: Suku 5: g CC ( by by ) gb CC β ( β ) K K gβ ( ) dk dy 3 K (08) (09) Koese DD adalah jumlah dar: Suku : DD (0) Suku : α DD () Suku 3: DD α () Suku 4: DD 0 (3) D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Suku 5: DD gβ ( ) K (4) Koese GG adalah jumlah dar: Suku : GG 0 (5) Suku : GG α ( ) (6) Suku 3: Suku 4: Suku 5: GG α 4 GG GG g ( ( )( y y) g ( ) β ( β ) K K ) (7) (8) (9) Model Maemaka Numerk hal. 9
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Caaa: dalam persamaa-persamaa daas, drepreseaska dega da drepreseaska dega, dega adalah seap varabel yag ada dalam persamaa-persamaa daas. D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Model Maemaka Numerk hal. 30
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM SUNGI TUNGGL Meode Sapua-Gada Persamaa kerja dar meoda sapua-gada adalah Pers. (7) da (0) uuk,,n dega varabel ak dkeahu adalah y da uuk D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb),,N. Dega demka erdapa N varabel ak dkeahu dega (N ) N persamaa, sehgga uuk meyelesaka ssem persamaa ler, Pers. (7) da (0) mash dbuuhka ambaha persamaa. Dua persamaa ambaha ersebu ddapa dar dua kods baas hulu da hlr. Uuk memula huga dbuuhka pula kods awal berupa y da uuk,,n. Ssem persamaa ler d aas dapa dselesaka dega sembarag lear solver karea beukya secara umum dapa duls sebaga []{ } {B}. Teap peyelesaa geeral dega lear solver package basaya membuuhka memor yag besar da waku yag dbuuhka uuk meyelesaka persamaa d aas rela lama. Oleh karea u d s aka dbahas salah sau cara peyelesaa apa megguaka mark yau meoda sapua-gada yag aka djelaska d bawah.. Elmas dar Pers. (7) da (0) meghaslka: y L y M N (3). Dajuka suau korelas sbb: E y F (3) 3. Subsus Pers. (3) da (3) kedalam Pers. (7) aka meghaslka persamaa berbeuk dega E y F Model Maemaka Numerk hal. 3
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM L ( C DE ) E (33.a) B M ( C DE ) N ( C DE ) DF G F (33.b) B M ( C DE ) L ( DD) ( ) D C( DD) ( CC D (33.c) M B( DD) ( BB) D C( DD) ( CC D (33.d) N D( GG) ( DD) G C( DD) ( CC D (33.e) D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) Tampak d aas bahwa Pers. (3) s/d (33) mempuya hubuga recursve dmaa koese pegaruh, E da F, laya ergaug dar la E da F, sehgga koese pegaruh dapa dhug uuk masg-masg k-k huga,, asalka koese pegaruh uuk elah dhug erlebh dahulu. Ilah yag dsebu dega sapua ke hlr dmaa E da F hargaya dhug dar kods baas hulu, kemuda semua koese pegaruh yag laya dapa dhug dega Pers. (33). Dsampg u koese pegaruh yag la yau L, M, N dhug uuk seap k-k huga. Koese aka dguaka pada sapua ke hulu yag aka djelaska d bawah. Seelah semua koese pegaruh erhug, maka aka dlakuka sapua ke hulu dmaa y N da N dhug dar kods baas hlr. Seelah u y da uuk seap k-k huga dapa dhug mudur kearah hlr dega Pers. (3) da (3). Uuk memperjelas kosep dar meoda sapua-gada, maka baga alrya dperlhaka pada Gambar 4. Kods wal Seper elah djelaska d aas, uuk memula huga sapua-gada, dperluka kods awal yag berupa la y da uuk seluruh pajag suga aau uuk s/d N. Model Maemaka Numerk hal. 3
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM LGORITM 'SPUN-GND' UNTUK SLURN TUNGGL Kods wal: y, uuk,,n Loop uuk waku 0,,T Hug E, F dar Kods Baas Hulu SPUN KE HILIR Loop sepajag salura,,n- Hug, B, C, D, G da, BB, CC, DD, GG Hug da smpa L, M, N Hug da smpa E, F D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) SPUN KE HULU Hug y N, N dar Kods Baas Hlr Loop sepajag salura N-,, Hug da smpa y y Hug y L y M N Hug E y F Gambar 4. Baga lr Meoda Sapua-gada Model Maemaka Numerk hal. 33 y
Baha Kulah Laboraorum Hdraulka, JTS FT UGM Kods Baas Dua kods baas masg-masg d hulu da hlr salura dbuuhka uuk melegkap persamaa damk da koyuas, sehgga da y uuk,,n dapa dhug uuk seap me sep. Kods baas harus dsesuaka beukya sehgga sesua dega Pers. (3). Beuk umum persamaa kods baas adalah sebaga berku: α y β γ uuk da N (34) Uuk memula sapua ke hlr dbuuhka la E da F yag dperoleh dega membadgka Pers. (34) dega Pers. (3) sehgga ddapa hubuga E α da β β F (35) γ dega α, β, da γ laya ddapa dar kods baas hulu. Uuk memula sapua ke hulu, dpaka Pers. (34) da (3) uuk la N yag dapa duls sebaga berku: D:\My Documes\Publkas\Model Maemaka\Model Maemak.doc (75Kb) α N y N β N N γ N (36) N E N y N F N (37) dega megguaka Pers. (36) da (37) dapa dhug la y N da N sebaga berku: γ βf N y N (38) α βen da N dapa dhug dar Pers. (37) seelah y N erhug dar Pers. (38). Nla α N, β N, da γ N ddapa dar kods baas hlr, sedagka E N da F N ddapa dar sapua ke hlr. Model Maemaka Numerk hal. 34