CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal Matrices; Change of Basis

6.1. HASIL KALI DALAM

Ingatlah Definisi Hasil Kali dalam Euclidean Perkalian titik Euclidean buah vektor dalam R n yang dinotasikan u.v Jika u=(u 1,u,,u n ), v=(v 1,v,, v n ) adalah vektorvektor dalam R n, maka Euclidean Inner Product u v dinyatakan oleh u v u v u v 1 1... u n v n Pada bab ini u.v dinotasikan juga dalam <u,v>

Definisi Inner Product Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real u, v dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V sehingga aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v dan w dalam V dan semua skalar k. u, v = v, u u + v, w = u, w + v, w ku, v = k u, v u, u 0 and u, u = 0 if and only if u = 0 Semua ruang vektor real V dengan suatu hasil kali dalam disebut suatu ruang hasil kali dalam.

Definisi Inner Product Jika u = (u 1, u,, u n ) dan v = (v 1, v,, v n ) adalah vektor vektor dalam R n, maka ; u,v = u v = u 1 v 1 + u v + + u n v n Mendefinisikan u,v sebagai hasil kali dalam Euclidean pada R n. Jika terdapat w 1, w,, w n sebagai bilangan real positif dan u = (u 1, u,, u n ) dan v = (v 1, v,, v n ) adalah vektor dalam R n, u,v = u. v = w 1 u 1 v 1 + w u v + + w n u n v n mendefinisikan suatu hasil kali dalam Euclidean terboboti dengan bobot w 1, w,, w n. w 1, w,, w n weights/bobot

Example Jika u = (u 1, u ) dan v = (v 1, v ) adalah vektor-vektor dalam R. Tunjukkan bahwa hasil kali dalam Euclidean terboboti u, v = 3u 1 v 1 + u v memenuhi ke-4 aksioma hasil kali dalam. Jawab: 1. u, v = v, u.. w = (w 1, w ) u + v, w = (3u 1 v 1 ) w 1 + (u v )w u + v, w = (3u 1 w 1 + u w ) + (3v 1 w 1 + v w )= u, w + v, w 3.ku, v =3(ku 1 )v 1 + (ku )v = k(3u 1 v 1 + u v ) = k u, v 4. v, v = 3v 1 v 1 +v v = 3v 1 + v. v, v = 3v 1 + v 0. v, v = 3v 1 + v = 0 if and only if v 1 = v = 0. That is, if and only if v = (v 1,v )=0.

Definisi : Panjang dan Jarak dalam Ruang Hasil Kali Dalam Dalam ruang berdimensi n Euclidean dengan titik sebarang u = (u 1, u,, u n ) dan v = (v 1, v,, v n ) maka: Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) suatu vektor u dalam V dinyatakan dengan: Jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinyatakan d(u,v)

Contoh Misal u = (1,0) ; v = (0,1) dalam R dengan hasil kali dalam Euclidean ; d( u, v) u v (1, 1) 1 ( 1) Untuk Hasil Kali Dalam Euclidean terboboti: Didapat

Lingkaran dan Bola Satuan Ruang Hasil Kali Dalam Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka himpunan titik-titik dalam V yang memenuhi bola satuan / lingkaran satuan dalam V. Dalam R an R 3 ini adalah titik-titik yang terletak 1 satuan dari titik asal.

Contoh : Lingkaran dalam R Sketsa lingkaran satuan dalam suatu xy-coordinate system dalam R dengan menggunakan Euclidean inner product u, v = u 1 v 1 + u v Jawab Jika u = (x,y), maka Shg pers. Lingkaran satuan : Dengan mengkuadratkan kedua ruas:

Hasil Kali Dalam by Matriks u1 v1 u v u and v= : : un vn Jika adalah vektor-vektor dalam R n (dinyatakan dalam matriks n1), dan anggap matriks standard A nn invertible, maka : Jika u.v adalah hasil kali dalam Eucl. pada R n ; u, v = Au Av mendefinisikan hasil kali dalam pada R n yang dibangkitkan oleh A

Hasil Kali Dalam by Matriks u, v = Au Av Hasil kali dalam Eucl. u,v bisa ditulis sebagai hasil kali matrik v T u sehingga u, v = Au Av dapat ditulis dalam bentuk alternatif u.v = v T u u, v = (Av) T Au, secara ekivalen, u, v = v T A T Au Hasil kali dalam pada R n yang dibangkitkan oleh matriks identitas nxn adalah hasil kali dalam Euclidean, dan dengan mensubsitusikan A= I didapat: u, v = Iu Iv = u v

Example :Inner Product Generated by the Identity Matrix Untuk hasil kali dalam Euclidean terboboti u, v = w 1 u 1 v 1 + w u v + + w n u n v n adalah hasil kali dalam R n yang dibangkitkan oleh: A diagonal ( w, w,, w 1 n )

Inner Product Generated by the Identity Matrix Hasil kali dalam Euclidean terboboti u, v = 3u 1 v 1 + u v merupakan hasil kali dalam R yang dibangkitkan oleh: 3 0 0 A 1 1 1 1 1 1 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3, v u u v u u v v u u v v v u, u, v = v T A T Au Contoh :

Example : An Inner Product on M Jika U 1 1 u u and V v v u u v v 3 4 3 4 Adalah matriks x, maka definisi hasil kali dalam M Norma matriks U : Bola satuan dalam ruang terdiri dari semua matriks U, x, yang semua anggotanya memenuhi persamaan Dan dengan mengkuadratkannya didapat:

Example : An Inner Product on M Misal : U 1 1 0 and V 3 4 3 maka U, V = 1(-1) + ((0) + 3(3) + 4() = 16

Example : An Inner Product on P Jika p = a 0 + a 1 x + a x dan q = b 0 + b 1 x + b x adalah sembarang dua vektor dalam P, hasil kali dalam pada P : p, q = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a b Norma polinom p relatif terhadap hasil kali dalam adalah; p p, p a a a 1/ 0 1 Bola satuan dalam ruang ini terdiri dari semua polinom p dalam P yang koefisien-koefisiennya memenuhi p = 1, dan dengan mengkuadratkan didapat: a 0 + a 1 + a =1

Theorema 6.1.1 Beberapa Sifat Hasil Kali Dalam: Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, maka: 0, v = v, 0 = 0 u, v + w = u, v + u, w u, kv =k u, v u v, w = u, w v, w u, v w = u, v u, w

Sifat Hasil Kali Dalam Contoh: 0, v = v, 0 = 0 u, v + w = u, v + u, w u, kv =k u, v u v, w = u, w v, w u, v w = u, v u, w

6. Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam

Just Remind : DOT PRODUCT

Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz; Sifat Panjang; Jarak Dalam Ruang Hasil Kali Dalam Teori Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, maka Teori Sifat Panjang Dalam Ruang Hasil Kali Dalam Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam V dan k adalah sebarang skalar, maka: u 0 u = 0 if and only if u = 0 ku = k u u + v u + v (ketidaksamaan segitiga)

Properties of Distance Teori Jarak Dalam Ruang Hasil Kali Dalam Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam V dan k adalah sebarang skalar, maka: d(u, v) 0 d(u, v) = 0 if and only if u = v d(u, v) = d(v, u) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) (Ketidaksamaan segitiga)

Sudut Antar Vektor Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz dapat digunakan untuk mendefinisikan sudut dalam ruang hasil kali dalam berdasarkan hubungan θ adalah sudut antara u dan v dimana u, v cos and 0 u v

Sudut Antar Vektor Contoh: Anggap R 4 memiliki Euclidean inner product. Tentukan cosinus sudut antara u dan v dimana u = (4, 3, 1, -) ; v = (-, 1,, 3).

Orthogonality Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebut ortogonal jika u, v = 0. Contoh: Jika M memiliki hasil kali U 1 1 0 1 and V 0 0 0 maka u dan v orthogonal karena U, V = 1(0) + 0() + 1(0) + 1(0) = 0.

Example : Orthogonal Vectors in P Anggap P mempunyai hasil kali dalam dimana p = x and q = x. 1 p, q p( x) q( x) dx 1 Maka p q 1 1/ 1 1/ 1/ p, p xxdx x dx 1 1 1 1/ 1 1/ 1/ 4 q, q x x dx x dx 1 1 3 pq, xx dx x dx 0 1 1 1 1 3 5 karena p, q = 0, vektor-vektor p = x dan q = x ortogonal relatif terhadap hasil kali dalam.

Teorema Phytagoras Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka

Example Jika p = x dan q = x orthogonal relatif terhadap hasil kali dalam P. 1 pq, p( x) q( x) dx 1 Dari contoh sebelumnya didapat: 16 p+ q ( ) ( ) 3 5 3 5 15 Yang dapat dicek dengan integral secara langsung: 1 p+ q p+ q, p+ q ( x x )( x x ) dx 1 1 1 1 3 4 16 x dx x dx x dx 0 3 5 15 1 1 1

Orthogonality Semua himpunan vektor-vektor di dalam ruang perkalian dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang beda didalam himpunan tersebut ortogonal.

Komplemen Orthogonal Jika V adalah suatu bidang yang melalui titik asal R 3 dengan hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan semua vektor yang ortogonal terhadap setiap vektor dalam V membentuk garis L yang melalui titik asal yang tegak lurus dengan bidang V. Garis dan bidang disebut komplemen ortogonal satu sama lain. Anggap W adalah suatu subruang dari suatu hasil kali dalam V. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor dalam W vektor u dalam V orthogonal terhadap W; dan Himpunan semua vektor dalam V yang ortogonal terhadap W disebut komplemen ortogonal dari W.

Sifat Komplemen Orthogonal Jika W adalah subruang dari suatu ruang hasil kali dalam berdimensi terhingga V, maka: W (W perp : komponen orthogonal dari suatu sub ruang W) adalah sub ruang dari V. Satu-satunya vektor dimana W dan W adalah 0; Komplemen ortogonal dari W adalah W yaitu (W ) = W. Karena W adalah W adalah komplemen orthogonal satu sama lain maka W adalah W adalah komplemen-komplemen orthogonal

Kaitan Geometris, Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Kosong Jika A adalah mn matrix, maka : Ruang Kosong A & Ruang baris A adalah komplemen-komplemen ortogonal dalam R n berkenaan dengan Euclidean inner product. Ruang Kosong A T & Ruang Kolom A adalah komplemen-komplemen ortogonal dalam R m berkenaan dengan Euclidean inner product.

Equivalent Statements If A is an mn matrix, and if T A : R n R n is multiplication by A, then the following are equivalent: A isinvertible. A x = 0 has only the trivial solution. The reduced row-echelon form of A is I n. A is expressible as a product of elementary matrices. A x = b is consistent for every n1 matrix b. A x = b has exactly one solution for every n1 matrix b. det(a ) 0. The range of T A is R n. T A is one-to-one. The column vectors of A are linearly independent. The row vectors of A are linearly independent. The column vectors of A span R n. The row vectors of A span R n. The column vectors of A form a basis for R n. The row vectors of A form a basis for R n. A has rank n. A has nullity 0. The orthogonal complement of the nullspace of A is R n. The orthogonal complement of the row of A is { 0}.