Perluasan Geographically Weighted Regression Menggunakan Fungsi Polinomial

Transkripsi

1 Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 17, Hal ISSN: ; e-issn: 58-46X Halaman 15 Perluasan Geograhically Weighted Regression Menggunakan Fungsi Polinomial Toha Saifudin 1, Fatmawati, Nur Chamidah 3 1,,3 Program Studi Statistika, Universitas Airlangga Surabaya tohasaifudin@gmail.com Info Artikel Riwayat Artikel: Diterima: 15 Mei 17 Direvisi: 1 Juni 17 Diterbitkan: 31 Juli 17 Kata Kunci: Geograhically weighted regression Weighted least square Fungsi olinomial Tingkat kesesuaian model ABSTRAK Geograhically weighted regression (GWR) meruakan metode regresi ada data sasial koefisien regresi bervariasi antar engamatan. Dalam GWR, variabel-variabel bebas dan variabel tak bebas dihubungkan menggunakan fungsi linier. Sementara itu, dalam kondisi riil ada banyak kemungkinan kasus data sasial yang menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tak bebas variabel bebas cenderung tidak linier. Pemaksaan dalam menggunakan hubungan linier terhada kasus tersebut bisa jadi meruakan salah satu faktor enyebab rendahnya kesesuaian model GWR. Oleh karena itu dierlukan erluasan fungsi ada model GWR. Tujuan aer ini adalah membuat model erluasan GWR menggunakan fungsi olinomial. Estimasi arameter model erluasan GWR diuraikan menggunakan rosedur Weighted Least Square (WLS). Hasil-hasil numerik berdasarkan studi kasus menunjukkan bahwa erluasan GWR fungsi olinomial menghasilkan tingkat kesesuaian model yang lebih baik dariada GWR klasik. Coyright 17 SIMANIS. All rights reserved. Koresondensi: Toha Saifudin, Program Studi Statistika, FST Universitas Airlangga Surabaya, Kamus C, Jl. Mulyorejo, Surabaya, Jawa Timur, Indonesia tohasaifudin@gmail.com 1. PENDAHULUAN Metode GWR telah diusulkan oleh Brunsdon dkk tahun 1996 [1]. Metode tersebut kemudian menjadi ouler untuk analisis data sasial dalam sejumlah bidang, seerti: geografi, ekonometri, eidemiologi, dan ilmu lingkungan. Dalam model GWR, keberagaman model sasial diekslorasi cara mengakomodasi koefisien regresi yang beragam secara lokal. Dalam erkembangan teori, GWR telah dielajarai secara luas dalam beberaa enelitian. Beberaa contoh erkembangan teori tersebut adalah: GWR dibandingkan metode exansion [5], usulan untuk uji kesesuaian model GWR [9], usulan untuk inferensi GWR berdasarkan maximum likelihood [11], beberaa erluasan GWR untuk model generalized linear [7], embahasan tentang multikolinieritas diantara estimator GWR [13], dan evaluasi model GWR dibandingkan regresi linier global melalui suatu studi simulasi [8]. Di sisi lain terdaat beberaa enelitian yang mengembangkan eneraan GWR dalam berbagai bidang, misalnya: analisis erilaku sekolah menggunakan GWR [6], dan analisis keuasan elanggan kendaraan bermotor di Amerika menggunakan GWR [1]. Uaya erluasan model GWR telah dilakukan oleh beberaa eneliti. Salah satu contoh, model GWR semiarametrik [], [7]. Perluasan tersebut daat diandang sebagai uaya untuk meningkatkan keteatan atau kesesuaian model, karena salah satu faktor yang daat berengaruh ada keteatan atau kesesuaian model adalah bentuk atau fungsi regresi yang digunakan. Dalam kasus nyata data sasial, ada kemungkinan bahwa hubungan antara variabel tak bebas variabel bebas cenderung tidak linier. Selama ini, semua kasus tersebut dimodelkan endekatan linier yaitu GWR. Pemaksaan dalam menggunaan hubungan linier tersebut meruakan salah satu faktor enyebab rendahnya kesesuaian model. Sebagai contoh, engaruh faktor convenience terhada harga erumahan di Laman Prosiding: htt://conferences.uin-malang.ac.id/index.h/simanis

2 Halaman 16 -ISSN: ; e-issn: 58-46X Taiei, Taiwan menunjukkan engaruh yang cenderung tidak linier [4]. Contoh lain, ada emodelan tingkat kerawanan kejadian demam berdarah dengue di Surabaya berdasarkan model regresi logistik sasial, dieroleh hasil yang kurang memuaskan, yang ditengarai karena endekatan fungsi linier yang digunakan kurang sesuai untuk kasus tersebut [3]. Termotivasi oleh hal-hal di atas, tujuan aer ini adalah membuat model erluasan GWR menggunakan endekatan fungsi olinomial. Selanjutnya, estimasi arameter model erluasan GWR akan diuraikan menggunakan rosedur Weighted Least Square (WLS). Potensi erluasan model GWR menggunakan endekatan fungsi olinomial ini akan dikaji melalui studi kasus berdasar ada hasilhasil numerik ukuran kesesuaian model.. MODEL GWR KLASIK Menurut beberaa referensi, seerti [7] dan [9], model GWR dibentuk membuat koefisien regresi linier bervariasi secara lokal dalam bentuk y i = j=1 β j (u i, v i ) x ij + ε i, i = 1,,, n, (1) (y i, x i1, x i,, x i ) adalah nilai observasi variabel tak bebas y dan variabel-variabel bebas x 1, x,, dan x di lokasi (u i, v i ) dalam area geografis yang diamati, β j (u i, v i ), j = 1,,, adalah arameter atau koefisien regresi di (u i, v i ), dan ε i, i = 1,,, n, adalah galat model yang diasumsikan berdistribusi Normal rata-rata dan variansi σ yang biasanya dinyatakan ε i ~N(, σ ). Untuk membedakan model erluasannya, dalam aer ini enulis menyebut model (1) sebagai model GWR klasik. Model tersebut daat mengakomodasi koefisien interse memilih x i1 = 1, untuk i = 1,,, n. Untuk suatu lokasi (u, v ) yang diberikan dalam area geografis yang diamati, misalkan d i meruakan jarak antara lokasi (u, v ) lokasi (u i, v i ). Parameter regresi dalam model (1) di lokasi (u, v ) daat diestimasi secara lokal metode weighted least square (WLS), yaitu meminimumkan jumlah kuadrat galat terboboti dalam bentuk n (y i j=1 β j (u, v ) x ij ) i=1 K h (d i ) () terhada β j (u i, v i ), K h ( ) = K( ) untuk K( ) adalah fungsi kernel yang diberikan, dan h adalah h bandwidth. Penyelesaian masalah WLS menghasilkan estimator β j (u, v ) untuk j = 1,,, di lokasi (u, v ). Dalam bentuk matriks, estimator arameter regresi daat dinyatakan dalam bentuk β (u, v ) = [β (u 1, v ), β (u, v ),, β (u, v )] T = [X T W(u, v ) X] 1 X T W(u, v ) y, (3) x 11 x 1 x 1 x X = [ 1 x x ], y = (y 1, y,, y n ) T, x n1 x n1 x n1 (4) dan W(u, v ) = diag[k h (d 1 ), K h (d ),, K h (d n ) ] (5) adalah matrik embobot. Dengan menerakan estimasi tersebut ada setia lokasi (u i, v i ), i = 1,,, n, daat dieroleh vektor nilai estimasi untuk variabel tak bebas y di n lokasi (u i, v i ), i = 1,,, n sebagai berikut: y = (y 1, y,, y n) T = L y, (6) L = T x 1 [X T W(u 1, v 1 ) X] 1 X T W(u 1, v 1 ) T x [X T W(u, v ) X] 1 X T W(u, v ) (7) T [ x n [X T W(u n, v n ) X] 1 X T W(u n, v n )] dinamakan hat matrix, dan x T i = (x i1, x i,, x i ) adalah baris ke-i dari matriks X dalam ersamaan (4). Berdasarkan hat matrix L, vektor residual daat dinyatakan sebagai ε = y y = (I L)y, (8) dan jumlah kuadrat galat (JKG) adalah JKG = ε Tε = y T (I L) T (I L)y, (9) I adalah matriks identitas orde n. Untuk menentukan nilai bandwidth otimal umumnya digunakan rosedur cross validation (CV). Dalam rosedur CV, skor CV(h) = (y i y (i) (h)) n i=1 (1) digunakan sebagai fungsi obyektif, y (i) (h) adalah nilai estimasi dari y i untuk suatu bandwidth h observasi ada lokasi (u i, v i ) tidak ikut digunakan dalam roses estimasi tersebut. Pilih h sebagai nilai bandwidth otimal, sedemikian hingga Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 17: 15-

3 Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman 17 CV(h ) = min CV(h), h >. (11) 3. MODEL GWR DIPERLUAS MENGGUNAKAN FUNGSI POLINOMIAL Regresi olinomial meruakan sebuah erluasan dari regresi linier menggunakan fungsi olinomial [1]. Dalam regresi olinomial, fungsi regresi dikembangkan sebagai fungsi olinomial orde d dari variabel bebas yang daat dinyatakan sebagai y = β + β 1 x + β x + + β x d + ε. (1) Dalam aer ini, GWR klasik dierluas menggunakan fungsi olinomial cara mengganti hubungan linier ada ersamaan (1) fungsi olinomial, sehingga model menjadi y i = β (u i, v i ) + k=1 f ik (x ik ) + ε i, i = 1,,, n, (13) ε i ~N(, σ ) dan f ik (x ik ) adalah fungsi olinomial dari variabel bebas ke-k. Jika fungsi olinomial d dinyatakan sebagai f ik (x ik )= k j β k,j (u i, v i ) x ik, maka ersamaan (13) aat dinyatakan sebagai j=1 d k j y i = β (u i, v i ) + k=1 j=1 β k,j (u i, v i ) x ik + ε i, i = 1,,, n. (14) Model (14) dinamakan erluasan GWR menggunakan fungsi olinomial. Untuk tujuan kesederhanaan enulisan, selanjutnya enamaan model tersebut disingkat menjadi GWRPol. Dalam format matriks, model (14) daat dinyatakan sebagai T y i = x i β ol (u i, v i ) + ε i, i = 1,,, n, (15) dan x i T = (1 x i1 x i1 x i1 d 1 xi x i x i d ), (16) β T ol (u i, v i ) = ( β (u i, v i ) β 1,1 (u i, v i ) β 1, (u i, v i ) β 1,d1 (u i, v i ) β,1 (u i, v i ) β, (u i, v i ) β,d (u i, v i ) ). (17) Untuk suatu lokasi (u, v ), β T ol (u, v ) daat diestimasi meminimumkan fungsi jumlah kuadrat galat n T (y i x i β ol (u, v )) i=1 K h (d i ), (18) terhada masing-masing elemen vektor β ol (u, v ), K h (d i ) adalah sama seerti yang tertulis di ersamaan (). Misalkan matriks observasi ditulis sebagai X ol = 1 x 11 x 11 x 11 d 1 1 x 1 x 1 x 1 1 d 1 x1 x 1 x 1 x x x, (19) xn x n x ] n [ 1 x n1 x n1 x n1 dan vektor arameter di suatu lokasi (u, v ) ditulis sebagai β T ol (u, v ) = ( β (u, v ) β 1,1 (u, v ) β 1, (u, v ) β 1,d1 (u, v ) Misalkan β,1 (u, v ) β, (u, v ) β,d (u, v ) ). () β Tol (u, v ) = ( β (u, v ) β 1,1 (u, v ) β 1, (u, v ) β 1,d1 (u, v ) β,1 (u, v ) β, (u, v ) β,d (u, v ) ), (1) menotasikan estimator untuk arameter ada ersamaan (), maka enyelesaian masalah kuadrat terkecil ada ersamaan (18) di lokasi (u, v ) daat dinyatakan sebagai β Tol (u, v ) = [X ol T W(u, v )X ol ] 1 X ol T W(u, v )y, () y dan W(u, v ) masing-masing seerti ada ersamaan (4) dan (5). Dengan menerakan rosedur estimasi tersebut ada setia lokasi (u i, v i ), i = 1,,, n, daat dieroleh vektor nilai estimasi model GWRPol untuk variabel tak bebas y di n lokasi sebagai y ol = (y 1, y,, y n ) T = C y, (3) Perluasan Geograhically Weighted Regression

4 Halaman 18 -ISSN: ; e-issn: 58-46X C = T T x 1 [X ol W(u 1, v 1 ) X ol ] 1 T X ol W(u 1, v 1 ) T T x [X ol W(u, v ) X ol ] 1 T X ol W(u, v ) T T [ x n [X ol W(u n, v n ) X ol ] 1 T X ol W(u n, v n )] T dinamakan hat matrix dari model GWRPol, dan x i adalah vektor yang tertulis di ersamaan (16) atau baris ke-i dari matriks X ol dalam ersamaan (19). Berdasarkan matriks C, vektor residual daat ditulis sebagai ε ol = y y ol = (I C)y, (5) dan JKG model GWRPol adalah JKG Pol = ε ol T ε ol = y T (I C) T (I C)y, (6) I adalah matriks identitas orde n. (4) 4. STUDI KASUS Sebagai contoh kasus, dalam aer ini digunakan data tingkat artisiasi angkatan kerja wanita 38 kabuaten/kota di Jawa Timur, Indonesia ada tahun 14. Data dieroleh dari BPS roinsi Jawa Timur. Variabel-variabel yang terlibat dalam model antara lain: Tingkat Partisiasi Angkatan Kerja (TPAK) wanita dalam % (Y), enduduk wanita yang berusia tahun dalam % (X 1), enduduk wanita berdasarkan tingkat endidikan terakhir tamat SMA dalam % (X ), dan Uah Minimum Kabuaten/ Kota (UMK) dalam Ruiah (X 3). Diagram encar dan kemungkinan ola garis regresi yang mendekati untuk ketiga variabel bebas X terhada variabel tak bebas Y daat dilihat ada Gambar 1. Secara visual terlihat bahwa variabel X an X 3 cenderung menunjukkan ola hubungan yang tidak linier terhada Y, sedangkan variabel X 1 daat mengambil ola linier mauun tidak linier. Pola tersebut sebagai indikator awal untuk eneraan model GWRPol. Selanjutnya, dalam aer ini dilakukan uji Ramsey RESET untuk menentukan aakah fungsi linier cocok digunakan untuk memodelkan samel. Hiotesis nol menyatakan bahwa data cocok dimodelkan menggunakan fungsi linier, sedangkan hiotesis alternatif menyatakan sebaliknya. Dengan software R, dieroleh nilai statistik uji F-RESET = 4,8518, derajat bebas embilang an derajat bebas enyebut 3, dan -value sebesar,1444. Dengan mengambil tingkat signifikansi α =,5 maka hiotesis nol ditolak dan disimulkan bahwa data tidak cocok dimodelkan menggunakan fungsi linier. Gambar 1. Diagram encar endekatan garis regresi antara x 1 (kiri), x (tengah), dan x 3 (kanan) terhada y Estimasi arameter regresi sasial dalam aer ini menggunakan fungsi embobot kernel Gaussian. Berdasarkan embobot tersebut, dieroleh bandwidth otimal untuk emodelan GWR klasik sebesar,37 nilai CV sebesar 484,158. Selanjutnya untuk emodelan GWRPol, ekserimen dilakukan orde olinomial bagi tia-tia variabel bebas dibatasi maksimum. Ekserimen menghasilkan orde otimal sebesar 1 untuk variabel bebas X 1, dan sebesar untuk masing-masing variabel bebas X an X 3. Pada kondisi demikian, dieroleh bandwidth otimal sebesar,36 dan nilai CV sebesar 1335,769. Evaluasi terhada hasil estimasi model RLG, GWR Klasik, dan GWRPol dilakukan mengamati beberaa ukuran kesesuaian model. Ukuran tersebut diantaranya adalah simangan baku residual, jumlah kuadrat galat, dan koefisien determinasi model. Simangan baku residual menjadi salah satu kriteria kesesuaian model dalam aer ini. Semakin kecil nilai simangan baku residual berarti semakin sesuai model yang digunakan. Residual model atas 38 kabuaten/kota di Jawa Timur yang dihasilkan oleh RLG, GWR Klasik, dan GWRPol daat dilihat ada Gambar. Dari gambar tersebut terlihat bahwa sebaran residual GWRPol cenderung lebih semit dariada residual model yang lain. Hasil erhitungan simangan baku residual untuk Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 17: 15-

5 Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman 19 RLG, GWR Klasik, dan GWRPol masing-masing adalah 5,51; 3,85; dan 3,. Hasil tersebut menunjukkan bahwa simangan baku residual model GWRPol adalah yang aling rendah. Hal ini mengindikasikan bahwa estimasi tingkat artisiasi angkatan kerja wanita kabuaten/kota di Jawa Timur menggunakan GWRPol cenderung lebih baik dariada menggunakan GWR Klasik atauun RLG Variabel residual GWRPol residual GWR residual RLG Nomor Pengamatan Gambar. Residual model RLG, GWR Klasik, dan GWRPol untuk data samel Jumlah Kuadrat Galat (JKG) meruakan kriteria yang umumnya diakai untuk kesesuaian model. Semakin rendah nilai JKG berarti semakin sesuai model yang digunakan. JKG ketiga model atas data tingkat artisiasi angkatan kerja wanita 38 kabuaten/kota di Jawa Timur disajikan dalam Gambar 3. Hasil tersebut menunjukkan bahwa JKG model GWRPol adalah yang aling rendah. Hal ini mengindikasikan bahwa model GWRPol cenderung lebih sesuai dariada GWR Klasik mauun RLG dalam memodelkan hubungan regresi tingkat artisiasi angkatan kerja wanita kabuaten/kota di Jawa Timur. JKG RLG GWR Klasik GWRPol Gambar 3. JKG model RLG, GWR Klasik, dan GWRPol berdasarkan data samel Selain ukuran di atas, kesesuaian model biasanya diukur menggunakan koefisien determinasi yang dinotasikan R. Koefisien determinasi menyatakan ersentase besarnya keragaman reson yang daat dijelaskan oleh model. Semakin besar nilai R berarti semakin baik model yang digunakan dalam menjelaskan keragaman reson. Berdasarkan data samel, nilai R model RLG, GWR Klasik, dan GWRPol masing-masing adalah 18,4%; 56,4%; dan 73,9%. Hal tersebut mengindikasikan bahwa model GWRPol lebih daat menjelaskan variansi tingkat artisiasi angkatan kerja wanita kabuaten/kota di Jawa Timur dariada model GWR Klasik atauun RLG. Secara visual, sloe kenaikan nilai R ari RLG ke GWR Klasik dan dari GWR Klasik ke GWRPol daat dilihat aga Gambar 4. R RLG GWR Klasik GWRPol Gambar 4. Nilai R model RLG, GWR Klasik, dan GWRPol berdasarkan data samel Perluasan Geograhically Weighted Regression

6 Halaman -ISSN: ; e-issn: 58-46X Berdasarkan fakta-fakta tersebut, emodelan GWRPol memiliki otensi untuk menjadi model yang aling layak digunakan diantara tiga model yang ada dalam memodelkan data tingkat artisiasi angkatan kerja wanita kabuaten/kota di Jawa Timur. Meskiun demikian, dari sudut andang statistika masih terdaat ertanyaan besar yaitu aakah daat disimulkan secara statistika bahwa GWRPol signifikan lebih baik dari GWR Klasik mauun RLG dalam memodelkan data tersebut?. Terdaat kelebihan dan kekurangan ada masing-masing model. Biasanya model orde lebih tinggi atau jumlah arameter lebih banyak, daat menggambarkan data lebih baik dariada model orde rendah. Namun model tersebut biasanya memiliki kelemahan ada rumitnya alikasi dan interretasi. Di sisi lain, kelebihan model orde lebih rendah atau jumlah arameter lebih sedikit adalah biasanya mudah dialikasikan dan diinterretasikan. Dalam emilihan model biasanya digunakan rinsi arsimoni, yaitu memilih model sederhana untuk kesederhanaan interretasi. Jika model GWRPol tidak menunjukkan erforma yang signifikan lebih baik dari GWR Klasik, maka GWR Klasik lebih baik diilih karena alasan rinsi arsimoni. Di sisi lain, jika GWRPol menunjukkan erforma yang secara statistika signifikan lebih baik dariada GWR, maka GWRPol lebih baik diilih dan digunakan dalam emodelan. Dengan demikian, masih dierlukan enelitian lanjutan untuk mengkaji uji signifikansi kesesuaian model GWRPol. 5. KESIMPULAN Berdasarkan data tingkat artisiasi angkatan kerja wanita 38 kabuaten/kota di Jawa Timur tahun 14, identifikasi awal menunjukkan ada hubungan tidak linier diantara beberaa variabel bebas terhada variabel tak bebas. Berdasarkan kriteria simangan baku residual, JKG, dan R aat disimulkan secara emiris bahwa GWRPol lebih sesuai digunakan dariada GWR Klasik atauun RLG untuk kasus tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa GWRPol memiliki otensi sebagai model yang lebih baik dariada GWR klasik jika terdaat indikasi hubungan tidak linier dalam data samel. Namun untuk daat menyimulkan secara statistika bahwa GWRPol signifikan lebih baik, dierlukan enelitian lanjutan untuk mengkaji uji kesesuaian model GWRPol. REFERENSI [1] Brunsdon, C., Fotheringham A.S., & Charlton, M. Geograhically Weighted Regression: A Method For Exloring Satial Nonstationarity. Geograhical Analysis. 1996; 8(4): [] Brunsdon, C., Fotheringham A.S., & Charlton, M. Some Notes on Parametric Significance Tests for Geograhically Weighted Regression. Journal of Regional Science. 1999; 38(3): [3] Chamidah, N., Saifuddin, T., dan Rifada, M. The Vulnerability Modeling of Dengue Hemorrhagic Fever Disease in Surabaya Based on Satial Logistic Regression Aroach, Alied Mathematical Sciences. 14; 8(8): [4] Chiang, Y-H, Peng, T-C, & Chang, C-O. The nonlinear effect of convenience stores on residential roerty rices: A case study of Taiei, Taiwan. Habitat International. 15; 46: 8 9. [5] Fotheringham, A.S., Charlton, M.E., & Brunsdon, C. Geograhically Weighted Regression: A natural evolution of the exansion method for satial data analysis. Environment and Planning A. 1998; 3: [6] Fotheringham, A.S., Charlton, M.E., & Brunsdon, C. Satial Variation in School Performance: a Local Analysis Using Geograhically Weighted Regression. Geograhical & Environmental Modelling. 1; 5(1): [7] Fotheringham A.S., Brunsdon C., & Chartlon M. Geograhically Weighted Regression: The Analysis Of Satially Varying Relationshis. John Wiley and Sons, USA.. [8] Harris, P., Fotheringham, A.S., Creso, R., & Charlton, M. The Use of Geograhically Weighted Regression for Satial Prediction: An Evaluation of Models Using Simulated Data Sets. Math GeoSci. 1; 4: [9] Leung, Y., Mei, CL., & Zhang, WX. Statistical Tests for Satial Nonstationarity based on The Geograhically Weighted Regression Model. Environment and Planning A. ; 3: 9 3. [1] Mittal, V., Kamakura, W.A., & Govind, R. Geograhic Pattern in Customer Service and Satisfaction: An Emirical Investigation. Journal of Marketing. 4; 68: [11] Paez, A., Uchida, T., & Miyamoto, K. A general Framework for Estimation and Inference of Geograhically Weighted Regression Models:. Satial Association and Model Secification Tests. Environment and Planning A. ; 34: [1] Rawlings, J.O., Pantula, S.G., & Dickey, D.A. Alied Regression Analysis: A Research Tool, nd Edition. Sringer-Verlag New York, Inc., USA [13] Wheeler, D., & Tiefelsdorf, M. Multicollinearity and Correlation Among Local Regression Coefficients in Geograhically Weighted Regression. Journal of Geograhical Systems. 5; 7: Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 17: 15-