MODEL KELUARGA SPLINE POLINOMIAL TRUNCATED DALAM REGRESI SEMIPARAMETRIK

Transkripsi

1 I Nyoma Budataa, Model Keluaga SPle MODEL KELUARGA SPLINE POLINOMIAL TRUNCATED DALAM REGRESI SEMIPARAMETRIK (Model of Tucated Polyomal Sle famly Semaametc Regesso) I Nyoma Budataa Juusa Statstka FMIPA-ITS Kamus ITS, Keuth, Sukollo, Suabaya ABSTRAK Dbeka data beasaga ( x t, y ) ' megkut model eges semaametk y = x m( t ) ε, t [ a b], da hubuga ataa x, t, da y dasumska β,, =,,...,. Vaabel eso y behubuga aametk dega vaabel edkto x = (x, x,...,x )' da behubuga oaametk dega vaabel edkto t. Betuk kuva eges m dasumska tdak dketahu, temuat d dalam uag Sobolev W [ a b], da β = ( β,..., β ) R aamete yag tdak dketahu. Estmas kuva eges mˆ da βˆ deoleh da memmumka Pealzed Least Suae (PLS) : b ( ( ( )) ( ) y x β m t γ m ( t )) dt, utuk seta m W [ a, b] = a, dega γ > aamete eghalus. Bebeaa metode seet Reoducg Keel Hlbet Sace (RKHS) da Gateaux seg dguaka utuk meyelesaka otmas PLS. Walauu metode RKHS da Gateaux memlk kelebha, teta metode memeluka egetahua matematka yag elatf tgg da memlk teestas Statstk khusus, yag sult daham oleh bayak eggua Statstka. Dalam tulsa, dbeka edekata keluaga sle olomal tucated utuk megestmas mˆ da βˆ. Pedekata memuya teestas Statstk yag mudah da sedehaa, dsamg tdak memeluka egetahua matematka yag tgg. Selajutya, dbeka alkas model keluaga sle olomal tucated utuk meduga ola hubuga semaametk ataa oduks Bllet ada suatu eusahaa bes baja dega vaabel oses oduks da baha baku Bllet yag beola aametk lea, seta dega lama waktu megejaka Bllet yag beola oaametk. Kata kuc: Sle, Keluaga Sle, Reges Semaametk, eges Noaametk. Abstact We ae gve data ots ( x t, y ) semaametc egesso model y ' = x β m( t ) ε, t [ a b], ad the elato betwee x, t, ad y assumed to follow,, =,,...,. Resose vaable y has aametc elato wth edcto vaable x = (x, x,...,x )' ad o-aametc elato wth edcto vaable t. Regesso cuve m s assumed ukow Sobalev sace W [ a b] = β,..., β R s the ukow aamete. Ths estmato of ad ( ) egesso cuve mˆ da βˆ s obtaed by mmzg Pealzed Least Suae (PLS) : b ( ( ( )) ( ) y x β m t γ m ( t) ) dt, fo each m W [ a, b] = a, ecso aamete. Some methods such as RKHS (Reoducg Keel Hlbet Sace) ad Gateaux ae feuetly 55

2 Bekala MIPA, 5(3), Setembe 5 used to solve the otmzato of PLS. Those methods have advatages but eed mathematcal kowledge ad secal statstcal teetato that touble commo statstcs uses. I ths atcle we use the aoxmato of famly of tucated olyomal sles to estmate mˆ ad βˆ. Ths aoach has easy ad smle statstcal teetato ad does ot eed extesve mathematcal kowledge. The model of tucated olyomal of semaametc e lato betwee Bllet oducto steel factoy wth oducto ocess vaable ad Bllet aw mateal wth lea aametc atte, ad wth eod of Bllet ocessg wth o-aametc atte. Keywods: Sle, sle famly, semaametc egesso, o-aametc egesso.. PENDAHULUAN Dalam aalss eges ola hubuga ataa dua vaabel atau lebh, tdak selalu beola aametk seet lea, kuadatk, kubk da yag laya. Tedaat bayak kasus dmaa ola hubuga ataa vaabel beola o-aametk. Bahka dalam bebeaa kasus yag la, seg hubuga ataa vaabel beola semaametk (Eubak, 988). Dalam eges aametk betuk kuva eges dasumska dketahu. Utuk daat megguaka edekata eges aametk, deluka egetahua masa lalu tetag kaaktestk data yag daat dseldk. Bebeda dega edekata aametk, dalam eges oaametk betuk kuva eges dasumska tdak dketahu. Kuva eges haya dasumska mulus (smooth) dalam at temuat d dalam suatu uag fugs tetetu. Data dhaaka meca sed betuk estmasya, taa degauh oleh fakto subyektftas da eacag eelta (Eubak, 988). Dega demka, edekata eges oaametk memlk fleksbeltas yag tgg. Reges semaametk meuaka gabuga ataa eges aametk da eges oaametk. Model eges semaametk mula bekembag esat sejak Wahba ada tahu 99 memublkaska suatu model hubuga semaametk da egguaa lstk ada egaa baga d Ameka Sekat, yag beola aametk lea dega edaata da beola oaametk dega temeatu. Saat sudah bayak aa eelt yag memfokuska eeltaya dalam eges semaametk, seet He da Sh (996), Sh da L (994), Subaa da Budataa (999; ). Msalka dbeka data beasaga (x, t, y ) da hubuga ataa x, t da y dasumska megkut model eges semaametk: ( ), t [ a, b], =, y = x β m t ε,..., () Vaabel eso y behubuga aametk dega vaabel edkto x = (x, x,...,x )' da behubuga oaametk dega vaabel edkto t. Kuva eges m dasumska temuat d dalam uag Sobolev W [ a b],, dega : ( [ ] ) = b W a, b h; ( m ( t) ) dt < a Paamete β = ( β,..., β )' R tdak dketahu. Tujua utama dalam aalss eges semaametk adalah medaatka estumas utuk kuva eges mˆ da βˆ. Estmas deoleh da memmumka Pealzed Least Suae (PLS) : = b ( ( y x β m( t )) γ ( m ) ( t) ), utuk seta m W [ a, b] a. () Jka dehatka secaa detal osedu estmas dalam eges oaametk da semaametk, seet Keel (Hadle, 99), Deet Otogoal (Eubak, 988), Foue da Wavelets (Atoads, 994), maka telhat dega jelas bahwa edekata-edekata tesebut deoleh dega memodelka (megham) kuva eges yag tdak dketahu dega suatu 56

3 Bekala MIPA, 5(3), Setembe 5 fugs tetetu (fugs keluaga) da masgmasg edekata. Selajutya dlakuka otmas Least Suae (LS) utuk memeoleh estmasya. Memehatka osedu estmas yag dlakuka oleh eelt-eelt d atas, dalam tulsa, dbeka suatu edekata keluaga sle, yatu sle olomal tucated.dega edekata dhaaka deoleh ehtuga matematk da teestas Statstk yag elatf mudah da sedehaa. Poses fees ddasaka ada olomal da otmas yag dguaka adlah LS (tdak otmas PLS). Selajutya, ada baga tulsa, dsajka suatu otmas utuk keluaga sle olomal tucated. Sedagka ada baga 3, dbeka alkas model sle olomal tucated ada data oduks Bllet da suatu eusahaa bes baja, yag beola semaametk.. OPTIMASI KELUARGA SPLINE POLINOMINAL TRUNCATED Sebelum meyajka edekata keluaga sle Polomal tucated dega megguaka otmas LS, telebh dahulu dbeka model umum utuk eges sle. Dbeka model eges semaametk (umum) : y = L m x β ε, =,,..., (3) L meuaka fugsoal lea tebatas ada suatu uag Hlbet H. Sesata adom ε bedstbus deede dega mea ol da vaas σ. Kuva eges m H da P aamete β = ( β,..., β ) R tdak dketahu. Kaea H uag Hlbet maka H daat ddekomoss mejad dect sum da dua uag, yatu uag N da M (Keyzsg, 978) : H = N M, dega uag ull da M = N. Utuk seta m H daat dyataka mejad m = u v, u N da v M. Bedasaka teoema eesetas Resz (Keyzsg, 978), tedaat dega tuggal eesete g H, sehgga : L m =< g, m >, m H, =,,..., Jka dtuls z = y x β maka model eges (3) daat dtuls mejad : z =< g, m > ε, =,,..., Estmas m deoleh bedasaka otmas (Budataa, ) : M m H dega Q = ( z < g, m) γ m = M { Q ( m) γq ( m) } m H ( m) = ( z < g m > ), Q ( m) = =, Pm (4) da P oyeks otogoal H oto M. Peyelesaa otmal (4) adalah suatu fugs yag meuaka aggota uag M. Dega sedkt ejabaa ddaat : Q ( ) ( ) m = z < g m >, = ( m) = = Q = Pm ( ) z < g, v > = Pu Pv Pv Akbatya utuk seta m H belaku : = = ( z < g, m> ) γ Pm ( z < g, v > ), v M I beat fugs aggota H yag memmumka otmas (4) meuaka aggota uag M. Bebeaa metode utuk meyelesaka otmas khusus (4) dalam eges oaametk, telah dbeka oleh bebeaa euls seet Cave da Wahba (979), Budataa, dkk., (997), dega megguaka RKHS. Metode yag sama juga telah dbeka utuk memeoleh estmato eges semaametk sle asal (Subaa da Budataa, 999; wahba, 99; Budataa, 999). Dsamg tu Eubak (988) membeka metode Gateaux utuk memeoleh estmas kuva eges oaametk sle mauu estmato eges semaametksle asal. Walauu RKHS da Gateaux memuya bebeaa kelebha, teta tdak daat dhda metode juga tedaat kelemaha-kelemaha seet memeluka egetahua matematk khusus (aalss Real 56

4 I Nyoma Budataa, Model Keluaga SPle da aalss Fugsoal) yag elatf tgg. Kaea alasa, He da Sh (996) da Sh da L (994) mecoba membeka edekata keluaga B-Sle utuk memeoleh estmas kuva eges asal. Teta hasl estmas dega B-Sle, juga memuya bebeaa kelemaha, seet kuag jelasya teetas Statstk da tdak meggambaka secaa vsual eubaha elaku kuva ada teval yag bebeda sebaga c khas da edekata sle. Bekut dbeka edekata keluaga sle la, yatu olomal sle tucated. Dega edekata dhaaka kelemaha - kelemaha d atas daat debak. Dbeka suatu betuk bass utuk uag Sle (Schumake, 98) bebetuk : {, t,..., t, ( t K ) I( t K ),...,( t K ) I( t K )}, dega I meuaka fugs dkato :, x D I D ( x) =, x D da K,K,...,K ttk-ttk kots. Ttk kots meuaka ttk eadua besama yag memelhatka tejadya eubaha elaku da fugs sle ada tevalteval yag bebeda. Utuk seta fugs m dalam uag daat dyataka sebaga kombas lea ( t) = θ θt θt θt φ( t K ) It ( K )... φ( t K ) It ( K ), m... utuk φ j, j =,,..., da φ, k =,,..., k kostata bela eal. Model eges () daay dyataka mejad : z utuk j = j t j = k = y k ( t K k ) I ( t K k ) ε θ φ z = y x β deoleh model eges : j = x β θ jt φ k k k = j = k = ( t K ) I ( t K ) ε,,,...,. Dega eyaja matks, deoleh model eges : * y = B x, t θ ε ( ), dega θ = ( β, θ, φ) * da B(x,t) matks beukua x() yag begatug β ada x da t. Estmas β = ( β ) = ( ),..., β, θ θ, θ,..., θ da φ = ( φ,..., φ ) deoleh da meyelasaka otmas LS : ( ) * * M ε ε = M ( ( ) ) ( ( ) ) y B x, t θ y B x, t θ R ; θ R ; φ R β R ; θ R ; φ R (5) Kaea B(x,t) matks ak euh maka dega sedkt ejabaa da megguaka devatf asal deoleh estmas aamete * θ : ˆ ( ˆ ) * θ = βˆ, θˆ, φ = ( B ( x, t) B( x, t) ) B ( x, t) y. Jad estmas kuva eges semaametk, dbeka oleh : ( y x, t) = B( x, t) B ( x, t) B( x, t) ( ) B ( x t)y ˆ E, = A ( x, t)y (6) dega A ( x, t) = B( x, t) ( B ( x, t) B( x, t ) B ( x, t). Matks A(x,t) memuya ea yag sagat etg dalam fees eges semaametk sle. Bedasaka uaa datas, deoleh eyataa bekut : (). Otmas yag dguaka utuk megestmas model keluaga olomal tucated adalah otmas LS (tdak PLS), sehgga secaa matematk mudah da sedehaa. (). Bass sle yag dguaka beua olomal tucated yag memuat ttkttk kots. Akbatya secaa vsual daat dgambaka secaa jelas eubaha elaku da model keluaga sle ada teval-teval yag bebeda, sebaga c khas edekata sle. ().Pedekata dega olomal memuya sfat matematk da Statstk yag bak. (v).estmato keluaga sle olomal tucated meuaka estmato lea dalam obsevas. Sfat lea sagat membatu dalam embagua fees utuk model keluaga sle olomal tucated (Budataa, ). (v). Estmato keluaga sle olomal tucated sebab : meuaka estmato bas, 57

5 Bekala MIPA, 5(3), Setembe 5 ( Eˆ ( y x, t ) = A( x t) E( y) = A ( x, t) [ xβ m( t) ] E, ( t) xβ m Walauu estmato bas, teta tdak bas asmotk (Budataa, ). 3. APLIKASI MODEL KELUARGA SPLINE POLINOMINAL TRUNCATED Pada baga dsajka alkas model semaametk da keluaga sle olomal tucated. Dbeka data oduks Bllet (dalam kg) meuaka oduk bes bataga da suatu eusahaa bes baja (y). Poduks Bllet degauh oleh bebeaa vaabel deede, dataaya HEAT (x h ) oses tetetu dalam oduks Bllet, SCRAP (x s ) bayak baha baku (dalam kg) utuk oduks Bllet POT ( x ) lama waktu (dalam detk) egejaa Bllet dega megguaka lstk. Ig destmas model ola hubuga ataa oduks Bllet dega vaabel deede HEAT, SCRAP da POT. Dambl samel adom sebayak 64 oduks Bllet selama satu mggu. Hubuga ke-emat vaabel dbeka oleh model : y = f x, x, x, =,,..., 64 ( ). h s ε ( ) ε,,,..., 64. y = β x β x m x = h s Kuva m ddekat dega model keluaga sle olomal tucated kuadatk dega dua ttk kots, yatu K da K (K = K ) : m j ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) = θ jx φ x K I x K φ x K I x K j = Utuk medaatka sle otmal elu dlh letak ttk-ttk kots K da K yag otmal dega megguaka geealzed Coss Valdato (GCV) (Budataa,). Fugs GCV dbeka oleh : (, K ) GK = y [ I Ax (, x, x { K, K })] [ I Ax (, x, x { K, K })] h s h s tacei Ax, x, x { K, K } ( [ ( )] ) Model sle otmal bekata dega la fugs G yag tekecl. Tabel meyajka gkasa la GCV utuk bebeaa ttk-ttk kots. Telhat da Tabel, la GCV tekecl adalah G ot (K,K ) = 5383, besesuaa dega ttk-ttk kots : K = 4369 da K = 46 Tabel. Nla GCV model keluaga sle olomal tucated da bebaga ttkttk kots h s y Plot ataa vaabel y dega x dsajka dalam Gamba (a), sedagka lot ataa vaabel y dega x h, da vaabel y dega x s, masg-masg dsajka dalam Gamba (a) da Gamba 3(a). Telhat da Gamba () da Gamba 3(a) bahwa hubuga ataa y dega x h cedeug lea. Demka ula dega hubuga ataa y dega x s juga cedeug lea. Teta lot Gamba (a) memelhatka tdak adaya kecedeuga ola hubuga yag jelas ataa y dega x, sehgga dalam hal sult utuk dmodelka secaa aametk. Bedasaka lot, dcoba model hubuga ataa vaabel eso y dega x h, da vaabel y dega x, x h, x s megguaka model semaametk, dmaa vaabel y dega x behubuga oaametk. Model eges semaametk dyataka sebaga : Ttk-ttk kots K = 4367, K = 464 K = 4368, K = 464 K = 4369, K = 464 K = 437, K = 464 K = 437, K = 464 K = 437, K = 464 K = 4373, K = 464 K = 4374, K = 464 K = 4375, K = 464 K = 4376, K = 464 K = 4377, K = 464 Nla GCV Ttk-ttk kots K =4369, K =46 * K =4369, K =46 K =4369, K =46 K =4369, K =463 K =4369, K =464 K =4369, K =465 K =4369, K =466 K =4369, K =467 K =4369, K =468 K =4369, K =469 K =4369, K =463 Nla GCV 5383 *

6 I Nyoma Budataa, Model Keluaga SPle 59

7 Bekala MIPA, 5(3), Setembe 5 Tabel. Estmas model semaametk keluaga sle olomal tucated. Paamete β β θ θ φ φ Estmas βˆ = 3,46 βˆ θˆ θˆ =.365 = 36,56 =,6948 φˆ =,8749 φˆ =,77396 Tabel meyajka gkasa eatmas aamete model semaametk da keluaga sle olomal tucated. Model estmas semaametk keluaga sle olomal tucated dbeka oleh : ( xh, xs, x ) = 3,46xh,365xs 36, 56x,6948x,8749( x 4369) I( x 4369).77396( x 46) I( x 46) Eˆ y Estmas ola hubuga oduks Bullet secaa asal dega vaabel edkto x dbeka dalam Gamba (b), beua model keluaga sle olomal tucated kuadatk dega dua ttk kots yatu K = 4369 da K = 46. Estmas ola hubuga oduks Bllet secaa asal dega vaabel edkto x h dbeka dalam Gamba (b), beola aametk lea. Sedagka, Estmas ola hubuga oduks Bllet secaa asal dega vaabel edkto x s dbeka dalam Gamba 3(b), yag juga beola aametk lea. Dafta Pustaka Atoads, A., Gegoe, G. ad Mackeagu, W., 994, Wavelets Methods fo Cuve Estmato, Joual of the Ameca Statstcal Assocato., 89, Budataa, I.N, Subaa, ad Soejoet, Z., 997, Weghted Sle Estmato, Bullet of the Iteatoal Statstcal Istute, 5, Budataa, I.N, 999, Estmato Sle Tebobot Dalam Reges Semaametk, Majalah Ilmu Pegetahua da Tekolog (IPTEKS),, 3-9. Budataa, I.N, a, Metode U, GML, CV da GCV Dalam Reges Noaametk Sle, Majalah Ilmah Hmua Matematka Idoesa (MIHMI), 6, 85-9 Budataa, I.N, b, Otmas da Poyeks Dalam Reges Noaametk Sle, Majalah Bekala Matematka da Ilmu Pegetahua Alam (BIMIPA)- Uvestas Gadjah Mada,, Budataa, I.N, a, Reges Noaametk da Semaametk Seta Pekembagaya, Makalah Pembcaa Utama ada Sema Nasoal Alum Pasca Sajaa Matematka Uve stas Gadjah Mada, Yogyakata. Budataa, I.N, b. Estmas Paametk da Noaametk Utuk edekata Kuva Reges, Makalah Pembcaa Utama ada Sema Nasoal Statstka V, Juusa Statstka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam, Isttut Tekolog Seuluh Noembe (ITS), Suabaya. Budataa, I.N, 4, Sle : Hstos, Motvas, da Peaya Dalam Reges Noaametk, Makalah Pembcaa Utama ada Kofees Nasoal Matematka XII, Juusa Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam, Uvestas Udayaa (UNUD), Deasa. Cave, P. ad Wahba, G., 979, Smoothg Nose Data wth Sle Fuctos, Numesche Mathematcs, 3, Hadle, W., 99, Aled No-aametk Regesso, Cambdge Uvesty Pess, New Yok. He, X. ad Sh, 996, Bvaated teso Poduct B-Sle a Patly Lea Model Lea, Joual of Multvaate Aalyss, 58, 6-8. Keyszg, E., 978, Itoductoy Fuctoal Aalyss wth Alcato, Joh Wley ad Sos, New Yok. 6

8 I Nyoma Budataa, Model Keluaga SPle Subaa ad Budataa, I.N., 999, Weghted Sle Estmato a Patally Lea Models, Pocedgs of the SEAMS-GMU Iteatoal Cofeece 999 o Mathematcs ad Its Alcatos, 6-7. Wahba G., 99, Sle Models fo Obsevaso Data, SIAM Pesylvaa. 6