Estimasi Parameter Data Tersensor Tipe I Berdistribusi Loglogistik Menggunakan Maximum Likelihood Estimate dan Iterasi Newton-Rhapson

Transkripsi

1 Estmas Paamete Data Teseso Tpe I Bedstbus Loglogstk Megguaka Maxmum Lkelhood Estmate da Iteas Newto-Rhapso Alfes Fauk Fakultas MIPA, Uvestas Swjaya; emal: alfesfauk@us.ac.d Abstact: Suvval aalyss s oe of the topcs the feld of mathematcs whch deals wth statstcal aalyss of the tme utl the occuece of oe o moe a patcula evet. The puposes of ths study ae to obta the suvval model ad to estmate the paametes of the type I cesoed data whch log-logstc dstbuted. Maxmum lkelhood estmate was used to estmate the ukow paametes. Based o the esults ad dscusso, f the exact values of the paametes γ ad ae aalytcally dffcult to obta, the the umecal appoach by the Newto-Rhapso teato ca be used to appoach the values of both paametes. Keywods: cesoed data, log-logstc dstbuto, maxmum lkelhood estmate, Newto-Rhapso teato PENDAHULUAN A alss suvval adalah aalss megea lamaya waktu hdup suatu subjek pada suatu keadaa tetetu. Data suvval dapat dkataka sebaga data yag beupa waktu hgga tejadya suatu kejada. Data teseso (cesoed data) meupaka data yag sebaga fomas da data tesebut tdak legkap, yag dakbatka oleh bebaga alasa sepet subjek pegamata memlh kelua atau kejada yag damat tdak tejad selama waktu peelta (Lee, 2003). Salah satu jes data teseso adalah data teseso kaa (ght cesoed), yag tebag mejad data teseso kaa tpe I, II, da III. Bebaga mekasme peyesoa utuk data teseso kaa acak da model eges utuk data teseso seta estmas model popotoal hazads dbahas oleh Gjbels (200). Peyesoa tpe I dapat dlakuka apabla subjek-subjek peelta damat pada suatu jagka waktu yag tetap sejak awal waktu pegamata. Cotoh pegguaa seso kaa tpe I pada data suvval adalah ketka seoag peelt g megetahu bagamaa pegauh suatu teap tehadap poses kesembuha pase peyakt kake. Pembea teap dlakuka kepada semua subjek peelta d awal pegamata, sehgga jka dalam jagka waktu pegamata ada yag sembuh akbat teap maka dpeoleh data suvval da subjek yag besagkuta, sedagka jka dalam jagka waktu pegamata tesebut tedapat subjek yag sembuh buka kaea teap yag dbeka atau tedapat subjek yag mash belum sembuh maka subjek-subjek dkategoka sebaga data teseso kaa tpe I. Metode paametk dguaka jka suatu dstbus yag sesua dcocokka dega data atau ketka suatu dstbus dapat dasumska kepada populas da sampel yag dambl. Bebeapa dstbus statstk yag seg dguaka dalam aalss suvval ataa la dstbus webul, ekspoesal, da log-omal. Pegguaa dstbus-dstbus paametk pada data suvval dlakuka oleh Zhao (2008), yag dalam peelta tesebut dlakuka smulas tehadap bebaga betuk data suvval da dbadgka haslya sehgga telhat metode maa yag palg cocok utuk megestmas fugs suvval. Dstbus log-logstk meupaka salah satu dstbus statstk yag dapat dguaka pada data suvval. Bedasaka peelta Beet (983), dketahu bahwa dstbus log-logstk memlk fugs hazad yag tdak mooto, sehgga dstbus cocok dguaka dalam pemodela waktu suvval peyakt. Estmas paamete fugs suvval bedstbus log-logstk dapat dlakuka dega metode Maxmum Lkelhood Estmate (MLE). Sa (20) telah mempelhatka bagamaa megestmas fugs suvval, fugs hazad, da fugs kepadata peluag dega MLE da data teseso Posdg Sema Nasoal MIPA 204, Palembag 2 Oktobe 204 2

2 Alfes Fauk/Estmas Paamete Data Teseso Tpe I Bedstbus... kaa tpe II bedstbus log-logstk, amu belum dbahas utuk data teseso kaa tpe I seta pedekata secaa umekya. Oleh kaea tu, dalam peelta dbahas bagamaa estmas paamete da data teseso kaa tpe I megguaka metode MLE, kemuda dlajutka dega peyelesaa secaa umek megguaka teas Newto-Rhapso. 2 METODE PENELITIAN Secaa gas besa, tahapa-tahapa yag dlakuka dalam peelta adalah:. Meetuka fugs kepadata peluag da fugs hazad da data suvval teseso tpe I yag bedstbus log-logstk. 2. Meetuka γ da megguaka metode MLE da teas Newto-Rhapso. 3. Membeka cotoh peeapa peetua estmato MLE γ da da suatu data suvval teseso tpe I bedstbus log-logstk megguaka pogam bebass Maple 8. 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Model Suvval Bedstbus Log-Logstk Betuk umum fugs kepadata peluag beds-tbus log-logstk adalah f(t, γ, ) = dega paamete γ, > 0, da vaabel waktu t 0. γ t 22 Posdg Sema Nasoal MIPA 204, Palembag 2 Oktobe γt 2, () Bedasaka defs fugs dstbus kumulatf, pes.() dtegalka da 0 sampa t dpeoleh t 0 F t, γ, = f( t, γ, dt = t 0 γ t + γt 2 dt = γ t +γ t. (2) Pes.(2) d atas adalah fugs dstbus kumulatf bedstbus log-logstk, yag selajutya bedasaka hubuga ataa F(x) dega fugs suvval S(x) maka dapat dtetuka betuk umum da fugs suvval bedstbus log-logstk yatu S t, γ, = F t, γ, = γ t = +γ t +γ t (3) Sela fugs suvval da kepadata peluag, tedapat fugs petg laya dalam aalss suvval, yatu fugs hazad h(x). Fugs hazad dtepetaska sebaga kecepata tejadya kejada yag damat da subjek pegamata pada jagka waktu pegamata. Fugs hazad da data bedstbus log-logstk dega paamete γ da dapat dpeoleh dega membag fugs kepadata peluag () dega fugs suvval (3), sehgga ddapat h t, γ, = f t,γ, = γ t S t,γ, + γt 2 = γ t +γ t +γ t Fugs Lkelhood Data Teseso Tpe I Bedstbus Log-Logstk. (4) Data teseso kaa (ght cesoed) tejad apabla semua data teseso dpeoleh setelah waktu pegamata dmula, dega kata la data teseso tejad ketka t 0. Apabla pegamata da semua subjek peelta dmula pada waktu yag sama, msalka pada saat t = 0 da beakh pada waktu t 2 = a, maka pada kasus-kasus tetetu tdak semua waktu suvval da semua subjek peelta dapat dpeoleh. Hal dkaeaka pada selag waktu 0, a kejada yag dgka tdak tejad dsebabka bebaga alasa, yatu subjek memlh kelua da peelta, peyebab tejadya kejada tdak sesua dega peelta, atau kejada tesebut tejad pada waktu t > a. Data yag sebaga fomasya tdak legkap sepet dalam kasus dsebut sebaga data teseso tpe I. Apabla tedapat buah subjek peelta yag damat pada selag waktu 0, a, da da data tesebut tedapat sebayak data teseso tpe I, dega 0 da, Z +, maka waktu suvval da subjek tesebut dapat dotaska mejad t, t 2,, t, t +, t +2 t, d maa

3 Alfes Fauk/Estmas Paamete Data Teseso Tpe I Bedstbus... tada adalah smbol bag data yag teseso tpe I. Data-data teseso yag kejadaya melebh waktu a, la waktu suvvalya adalah t = a, sehgga la-la t +, t +2,, t juga te- letak dalam selag 0, a. Dasumska bahwa setap waktu suvval adalah kejada yag salg bebas, sehgga fugs kepadata peluag besama bedstbus log-logstk da buah data dega ( ) data teseso tpe I dpeoleh dega megalka peluag besama da data tak teseso = f( t, γ, ) dega peluag besama da data teseso =+ S( t, γ, ). Jka dlhat da sudut padag bahwa γ da adalah vaabel seta t adalah paamete, maka fugs kepadata peluag besama dsebut sebaga fugs lkelhood, yag dlambagka dega L γ,, sehgga dpeoleh L γ, = = f( t, γ, ) =+ S( t, γ, ) = γ t = + γ t 2 +γ t =+. (5) Fugs lkelhood (5) dapat dtepetaska sebaga ukua kemugka utuk mempeoleh suatu hmpua spesfk da waktu-waktu suvval t, t 2,, t, t +, t +2,, t, dega dbeka paamete-paamete γ da. Peetua Estmato Paamete γ da Metode dalam MLE adalah meemuka estmato da paamete-paamete yag memaksmumka fugs lkelhoodya, dega kata la meemuka paamete-paamete yag memlk kemugka tebesa utuk medapatka waktu-waktu suvval t, t 2,, t, t +, t +2,, t. Apabla dambl logatma atual (l) da fugs lkelhood (5) da dlambagka dega L L γ,, maka ddapatka L L γ, = l L γ, = = l f t, γ, + l S(t, γ, ) = l γ t = + l =+ + γ t 2 =+ +γ t = = l γ + = l + l t = 2 = l + γ t + =+ l =+ + γ t = l γ + l + = l t 2 = l + γ t =+ l + γ t. (6) Jka la estmato da paamete memaksmalka fugs log-lkelhood (6), maka estmato tesebut juga memaksmalka fugs lkelhood (5). Lagkah petama medapatka la estmato maksmum da pesamaa log-lkelhood (6) adalah meuuka pes.(6) tehadap γ da, kemuda haslya dsamaka dega ol sehgga ddapatka da L L γ, L L γ, = + = γ 2 = l t t = +γ t 2γ t =+ = 0, (7) t l t = +γ t γ +γ t t l t =+. (8) +γ t Nla estmato da γ da, yatu γ da, dapat dpeoleh dega meyelesaka sstem pes.(7) da (8) secaa smulta. Pemeksaa apakah estmato γ da yag dpeoleh da pes.(7) da (8) meupaka estmato yag memaksmumka pesamaa log-lkelhood (6) adalah dega memeksa tuua kedua da pes.(6) kuag da ol atau tdak setelah dsubsttuska dega γ da. Jka laya kuag da ol maka estmato-estmato yag dpeoleh meupaka estmato yag maksmum atau seg dsebut sebaga MLE, sebalkya estmato tesebut buka MLE. Betuk umum tuua kedua da pes.(6) tehadap γ da betuut-tuut adalah da 2 L L γ, 2 = γ 2 2 t 2 t 2 = +γ t 2 =+ (9) +γ t 2 2 L L γ, 2 = 2 2γ t l t l t t 2 γ l t l t +γ t +γ t 2 = γ t l t l t t 2 γ l t l t =+ +γ t. (0) +γ t 2 Posdg Sema Nasoal MIPA 204, Palembag 2 Oktobe

4 Alfes Fauk/Estmas Paamete Data Teseso Tpe I Bedstbus... Peyelesaa Secaa Numek Peetua estmato paamete γ da dega meyelesaka sstem pes.(7) da (8) secaa smulta sult dlakuka dega caa aaltk, oleh kaea tu pedekata umek dapat djadka sebaga caa alteatf. Metode umek yag dguaka ds adalah teas Newto-Rhapso, yatu suatu posedu teas umek yag dapat dguaka utuk meyelesaka bak pesamaa maupu sstem pesamaa olea. Lagkah petama teas Newto-Rhapso utuk meyelesaka sstem pesamaa olea (7) da (8) adalah dega memsalka pes.(7) dega f γ, da pes.(8) dega f 2 γ,. Selajutya, dtetuka matks Jacoba J da sstem pes.(7) da (8) yag bebetuk J = f γ, f 2 γ, f γ, f 2 γ,. () Lagkah bekutya adalah meetuka la estmas awal da paamete γ da, yatu γ o da o, sedemka sehgga f γ o, o da f 2 γ o, o laya medekat ol. Dmsalka ves da matks Jacoba () adalah J yag bebetuk J = b b 2 b 2 b 22, (2) da la estmas paamete γ da pada teas ke-k dmsalka γ k da k dega k =,2,, m, seta f k = f k (γ k, k ) da f 2 k = f 2 k (γ k, k ) adalah la fugs f da f 2 pada teas ke-k, maka apoksmas da paamete γ da pada teas ke-k + dbeka oleh γ k+ = γ k (b k f k + b k 2 f k 2 ) da (3) k+ = k (b k 2 f k + b k 22 f k 2 ). (4) Iteas yag dlakuka dmula da la estmas awal γ o da o, selajutya teas bejala meg-kut pes.(3) da (4) yag pada kemuda teas dapat behet ketka f da f 2 sagat dekat dega ol atau pada saat selsh ataa dua teas yag beuuta hamp sama dega ol, bahka pegheta teas tekadag cukup subjektf kaea dapat dhetka pada teas ke-m yag maa la m telah dtetuka d awal. Cotoh Peeapa Model yag dkembagka ds adalah model suvval da data teseso tpe I bedstbus loglogstk. Msalka tedapat 30 data suvval yag dasumska megkut dstbus log-logstk, yatu: 50, 56, 65, 66, 73, 77, 84, 86, 87, 9, 40, 40*, 53, 77, 8, 9, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*, 200*. Smbol * data tesebut adalah data teseso kaa tpe I. Megguaka pogam yag telah dbuat dega softwae Maple 8, la estmato MLE da data tesebut dtetuka dega teas Newto-Rhap-so. Bedasaka pehtuga tesebut, la estmato MLE utuk kedua paamete γ da adalah γ = da = KESIMPULAN Peetua estmato γ da da data teseso kaa tpe I bedstbus log-logstk dega MLE dlakuka dega meyelesaka sstem pesamaa olea (7) da (8) secaa smulta. Kedua pesamaa tesebut memuat atmatka da fugs-fugs yag umt, sepet otas sgma, polomal, da fugs logatma atual (l) sehgga peyelesaa secaa aaltk sult dlakuka. Iteas Newto-Rhapso dapat dguaka sebaga alteatf peyelesaaya. Bedasaka cotoh peeapa yag telah dlakuka, metode teas Newto-Rhapso cukup efektf da cepat dalam peetua la γ da. 24 Posdg Sema Nasoal MIPA 204, Palembag 2 Oktobe 204

5 REFERENSI Alfes Fauk/Estmas Paamete Data Teseso Tpe I Bedstbus... [] Beet, S., 983, Log-Logstc Regesso Models fo Suvval Data, Joual of the Royal Statstcal Socety, vol. 32 (2): 65-7 [2] Gjbels, I., 200, Cesoed Data, Wley Itedscplay Revews: Computatoal Statstcs, vol. 2 (2): [3] Lee, T., Elsa, da Wag, W., Joh, 2003, Statstcal Methods fo Suvval Data Aalyss 3 d ed., Joh Wley & Sos, Hoboke [4] Sa, D.R., 20, Aalss Suvval utuk Data Teseso Tpe II Megguaka Model Dstbus Log- Logstk, Tugas Akh, FMIPA, Uvestas Nege Yogyakata, Yogyakata [5] Zhao, G., 2008, Nopaametc ad Paametc Suvval Aalyss of Cesoed Data, Thess, Faculty of The Gaduate School, Uvesty of Noth Caola, Geesboo Posdg Sema Nasoal MIPA 204, Palembag 2 Oktobe