SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL LILYANI SUSANTI
|
|
- Herman Kurniawan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL LILYANI SUSANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Lilyani Susanti NIM G
4 ABSTRAK LILYANI SUSANTI. Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU. Sistem Bonus-Malus adalah salah satu sistem yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi, dalam perhitungan premi risiko berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis. Pada karya tulis ini dijelaskan dua jenis sistem Bonus- Malus yang berbeda, yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Sistem Bonus-Malus klasik menetapkan perhitungan premi risiko bagi setiap pemegang polis hanya berdasarkan frekuensi klaim yang diajukan. Sedangkan sistem Bonus-Malus optimal menetapkan perhitungan premi risiko bagi setiap pemegang polis berdasarkan frekuensi klaim dan ukuran klaim. Kedua sistem Bonus-Malus tersebut dibandingkan, dengan frekuensi klaim dan ukuran klaim diasumsikan masing-masing memiliki sebaran geometrik dan Weibull. Risiko yang dihadapi oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga banyaknya klaim dan ukuran klaim yang akan diajukan setiap pemegang polis pun berbeda-beda. Dicari sebaran posterior dari parameter frekuensi dan ukuran klaim, kemudian parameter tersebut diduga menggunakan metode Bayes, sehingga diperoleh solusi kedua sistem tersebut. Solusi tersebut berupa premi yang akan datang berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis. Kata kunci : Sistem Bonus-Malus, sebaran geometrik, sebaran Weibull. ABSTRACT LILYANI SUSANTI. Bonus-Malus Systems with Geometric Distributed Claim Frequency and Weibull Distributed Claim Severity. Under supervision by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU. Bonus-Malus system is one of systems implemented by an insurance in calculating the risk premium based on claim history from each policyholder. In this work we discussed two different types of Bonus-Malus system namely the classical Bonus-Malus system and the optimal Bonus-Malus systems. The classical Bonus-Malus system sets the risk premium by taking into account only the number of accidents of each policyholder. While the optimal Bonus-Malus system sets the risk premium by taking into account both the frequency and the severity of the claims of each policyholder. Both of the Bonus-Malus systems are then compared, with the number and size of the claims and insured persons are assumed to follow respectively a geometric and a Weibull distributions. The risks faced by each policyholder are different such that the number and size of the claims experienced by each policyholder are also different. F u r t h e r m o r e, posterior distribution of severity and frequency claim parameters is estimated by using Bayes method. Subsequently, solutions of both systems are obtained in term of future premium based on claim history from each policyholder. Keywords: Bonus-Malus systems, geometric distribution, Weibull distribution.
5 SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL LILYANI SUSANTI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
6
7 Judul Skripsi : Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull Nama : Lilyani Susanti NIM : G Disetujui oleh Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2014 ini ialah asuransi, dengan judul Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. bapak Tri Susanto, ibu Tuti Gartini selaku orangtua yang sudah membesarkan, menyayangi, mendidik dan selalu mendoakan penulis, 2. bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I, bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku pembimbing II dan ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku penguji, 3. seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi ilmu dan pengalamannya, 4. seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan semangat dan doanya, 5. Abi, Sinta teman satu bimbingan yang telah memberikan masukan untuk karya ilmiah ini, 6. Resty, Widya, Firi yang telah menjadi pembahas pada seminar tugas akhir ini, 7. sahabat belajar bareng Dinita, Ari, Arli, Widya, Dyah yang telah memberikan doa, motivasi dan keceriaan selama masa kuliah dan penyusunan karya ilmiah ini, 8. teman-teman Matematika 48 terimakasih atas kebersamaannya selama ini, 9. kak Risma yang telah memberikan masukan selama bimbingan berlangsung, 10. kakak-kakak S2 Matematika 51 yang telah memberikan motivasi, 11. semua pihak yang terlibat dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan kghususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 2015 Lilyani Susanti
9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 2 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 8 Penentuan Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus 8 Penerapan Formula Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus 13 SIMPULAN DAN SARAN 16 Simpulan 16 Saran 16 DAFTAR PUSTAKA 17 LAMPIRAN 18 RIWAYAT HIDUP 37
10 DAFTAR TABEL 1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim 13 2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim 7500) 14 3 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim 10000) 15 DAFTAR LAMPIRAN 1 Sebaran frekuensi klaim 18 2 Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim 20 3 Nilai diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation 22 4 Nilai harapan dari sebaran gamma 23 5 Perolehan dengan solusi Bayes 25 6 Fungsi sebaran eksponensial 26 7 Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull 27 8 Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi 29 9 Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim Nilai harapan ukuran klaim Fungsi rekursif dari Premi risiko pada kasus Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi 36
11 PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Asuransi adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah sistem atau bisnis yang merupakan tindakan perlindungan secara finansial untuk properti dari kejadian-kejadian yang tidak dapat diduga, yang melibatkan pembayaran premi secara teratur sebagai ganti polis yang menjamin perlindungan tersebut. Berbagai macam sistem digunakan oleh perusahaan asuransi untuk menarik minat masyarakat, salah satunya adalah sistem Bonus-Malus. Sistem Bonus-Malus adalah penentuan harga premi dalam asuransi yang didasarkan pada riwayat klaim pemegang polis. Dalam sistem ini bonus akan diberikan dalam bentuk pemotongan biaya premi yang harus dibayar apabila tidak ada klaim yang diajukan pada tahun sebelumnya. Sedangkan malus diberikan dalam bentuk penambahan biaya premi apabila ada klaim yang diajukan pada tahun sebelumnya. Menurut Leimare (1998), setiap pemegang polis dari sebuah risk cell akan dibagi berdasarkan kelas Bonus-Malus dan riwayat klaim mereka, yang kemudian akan memodifikasi kelas tersebut ketika perpanjangan polis. Sistem Bonus-Malus yang digunakan biasanya adalah sistem Bonus-Malus klasik, sistem tersebut hanya mempertimbangkan berdasarkan frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Dalam sistem ini pemegang polis yang mendapatkan kerugian kecil atau besar mendapatkan premi yang sama. Sistem ini sudah digunakan di beberapa negara dan beberapa diantaranya sudah dimodifikasi agar dapat disesuaikan dengan kebutuhan penggunaan, seperti yang sudah diteliti oleh Lemaire dan Zi (1994) di dalam jurnalnya yang menggunakan data dari 30 perusahaan yang memberikan jasa asuransi dari berbagai negara yang berbeda. Salah satu kesalahan yang dilakukan perusahaan asuransi dalam sistem ini adalah bila pemberian bonus yang besar tidak diseimbangkan dengan pemberian malus yang sama besar. Hal ini dapat menyebabkan kerugian tidak hanya pada pemegang polis tetapi juga kepada pihak asuransi seperti yang diteliti oleh Ibiwoye et al. (2011). Kesalahan tersebut juga dapat mengakibatkan angka kecelakaan kendaraan tidak menyusut dikarenakan pemegang polis menganggap mendapatkan malus tidak memberikan dampak yang merugikan bagi mereka, seperti yang dikemukakan oleh Mamoudvand et al. (2013). Frangos dan Vrontos (2001) membuat sistem Bonus-Malus optimal, yaitu sistem yang sudah dimodifikasi sehingga bukan hanya frekuensi klaim saja yang digunakan, tetapi besar klaim dimasukkan juga ke dalam perhitungan. Mahmoudvand dan Hassani (2009) melanjutkan penelitian tersebut dengan membuat sistem Bonus-Malus optimal diperumum. Pada penulisan karya ilmiah ini, penulis akan melakukan kajian sistem Bonus-Malus dengan frekuensi klaim berdistribusi geometrik dan ukuran klaim berdistribusi Weibull.
12 2 Perumusan Masalah Salah satu hal penting bagi sistem Bonus-Malus pada suatu perusahaan asuransi adalah penentuan premi risiko yang berdasarkan pada riwayat klaim pemegang polis tersebut. Terdapat dua sistem Bonus-Malus yang bisa digunakan, yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Pada sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko hanya didasarkan pada frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Sedangkan pada sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko didasarkan pada frekuensi dan ukuran klaim pemegang polis tersebut. Dari beberapa uraian diatas, dapat dirumuskan beberapa masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana menentukan premi pada sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull. 2. Bagaimana perbandingan premi risiko dari kedua sistem tersebut. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi dengan sistem sistem Bonus- Malus klasik dan sistem Bonus-Malus dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dan membandingkan kedua sistem Bonus-Malus tersebut.
13 3 TINJAUAN PUSTAKA Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2014). Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmett dan Stirzaker 1992). Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1., 2. Jika, maka, 3. Jika maka (Grimmett dan Stirzaker 1992). Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi [ ] pada Ω, yang memenuhi: 1., Ω, 2. Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk setiap pasangan, maka (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi : Ω dengan sifat { Ω: ( ) } untuk setiap (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari (Grimmet dan Stirzaker 1992). Catatan: Suatu himpunan bilangan disebut terhitung jika terdiri atas bilangan terhingga atau anggota dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
14 4 Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi [ ] yang diberikan oleh: (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 8 (Sebaran Poisson) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Poisson dengan parameter, jika memiliki fungsi massa peluang: (Hogg et al. 2014). Definisi 9 (Sebaran Geometrik) Suatu peubah acak dikatakan menyebar geometrik dengan parameter, jika memiliki fungsi massa peluang: dengan dan (Hogg et al. 2014). Definisi 10 ( Fungsi Sebaran) Misalkan adalah suatu peubah acak dengan ruang Fungsi sebaran dari peubah acak dinyatakan sebagai (Hogg et al. 2014). Definisi 11 (Fungsi Bessel Termodifikasi) Jika adalah fungsi Bessel termodifikasi dengan indeks, maka adalah solusi dari persamaan differensial : dan dapat direpresentasikan sebagai berikut: (Abramowitz dan Stegun 1964). Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi sehingga fungsi sebaran dapat dinyatakan sebagai dengan [0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang dari (Grimmett dan Stirzaker 1992).
15 Definisi 13 (Sebaran Eksponensial) Suatu peubah acak dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter, jika memiliki fungsi kepekatan peluang: (Ghahramani 2005). Definisi 14 (Sebaran Gamma) Suatu peubah acak dikatakan menyebar gamma dengan parameter dan jika memenuhi fungsi kepekatan peluang: 5 dengan, dan Γ > 0, dimana Γ = (Hogg et al. 2014). Definisi 15 (Sebaran Invers Gauss yang Diperumum (Generalized Inverse Gaussian Distribution)) Suatu peubah acak dikatakan menyebar invers gauss yang diperumum, jika memiliki fungsi kepekatan peluang: dengan dan adalah fungsi Bessel termodifikasi dengan indeks (Tremblay 1992). Definisi 16 (Sebaran Levy) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Levy yang juga disebut sebagai sebaran stabil dengan parameter jika memiliki fungsi kepekatan peluang: (Ni et al. 2014). Definisi 17 (Sebaran Weibull) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Weibull dengan parameter dan jika memiliki fungsi kepekatan peluang: (Gray dan Pitts 2012). Definisi 18 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua peubah acak dan merupakan suatu fungsi [ ] yang didefinisikan oleh: (Grimmet dan Stirzaker 1992).
16 6 Definisi 19 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari dan adalah dan fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak (Grimmet dan Stirzaker 1992). adalah Definisi 20 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang marginal. Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat adalah (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 21 (Nilai Harapan) 1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang maka nilai harapan dari, dinotasikan dengan adalah asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang maka nilai harapan dari adalah asalkan integral diatas konvergen mutlak (Hogg et al. 2014). Definisi 22 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat. Nilai harapan dari dengan syarat adalah (Hogg et al. 2014). Definisi 23 (Fungsi Kemungkinan (Likelihood Function)) Misalkan adalah contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang dengan merupakan realisasi dari peubah acak. Fungsi kepekatan peluang bersama dari (fungsi kemungkinan) adalah: (Hogg et al. 2014).
17 Definisi 24 (Penduga Kemungkinan Maksimum) Misalkan adalah contoh acak berukuran dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang. Penduga kemungkinan maksimum bagi dinotasikan dengan adalah yang memaksimumkan fungsi likelihood (Hogg et al. 2014). Definisi 25 (Sebaran Prior) Suatu peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan peluang bersama yang dilambangkan dengan dan fungsi marginal dinamakan sebaran prior (Arnold 1990). Definisi 26 (Sebaran Posterior) Misalkan peubah acak memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang bersama yang dilambangkan dengan dan memiliki fungsi kepekatan peluang marginal. Fungsi kepekatan peluang gabungan dari dilambangkan dengan dinamakan fungsi kepekatan peluang dari sebaran posterior, dan dinyatakan dengan 7 (Arnold 1990). Definisi 27 (Fungsi Kerugian) Misalkan adalah suatu peubah acak dengan parameter dan penduga parameternya. Fungsi kerugian (loss function) dari parameter tersebut adalah: dan fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat dari parameter tersebut dinyatakan dengan: (Bain dan Engelhardt 1993). Definisi 28 (Fungsi Risiko) Fungsi risiko adalah nilai harapan dari fungsi kerugian, yang dinyatakan sebagai berikut: [ ] (Bain dan Engelhardt 1993). Definisi 29 (Solusi Bayes) Misalkan adalah suatu parameter dengan penduga parameternya, dengan fungsi kerugian ( ) dan nilai harapan fungsi tersebut [ ( )], dikatakan solusi Bayes jika penduga parameter meminimumkan (Hogg et al. 2014). [ ( ) ] ( )
18 8 Teorema 1 (Sifat Fungsi Bessel Termodifikasi) Misalkan fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap, berlaku dua sifat yaitu : 1., 2. (Lemaire 1995). Bukti Teorema 1 ada pada Lampiran 13. HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan premi risiko pada sistem Bonus-Malus Seseorang yang menjadi pemegang polis suatu perusahaan asuransi diharuskan membayar premi risiko atas klaim yang dibuat, penetapan besarnya premi risiko dihitung berdasarkan sistem yang ada pada perusahaan asuransi tersebut. Salah satu sistem yang digunakan oleh suatu perusahaan asuransi adalah sistem Bonus-Malus. Terdapat dua jenis sistem Bonus-Malus yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Kedua sistem tersebut berbeda, karena hal yang akan mempengaruhi perhitungan premi risiko setiap pemegang polis berbeda pula. Sistem Bonus-Malus klasik Dalam sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi hanya bergantung pada frekuensi klaim.frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga nilai harapan dari banyaknya klaim yang diajukan pun berbeda-beda. Misalkan pada asuransi mobil yang memiliki portofolio yang berbeda (heterogen), setiap pemegang polis memiliki risiko dasar yang tidak sama atas kejadian yang dialaminya. Willmot (1993) menyebutkan bahwa sebaran Poisson campuran memberikan hasil yang baik untuk data frekuensi klaim yang heterogen. Maka pada karya tulis ini digunakan sebaran Poisson campuran sebagai sebaran dari frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis tersebut yaitu sebaran geometrik. Parameter dari frekuensi klaim dilambangkan dengan yang menyebar eksponensial, sehingga frekuensi klaim untuk setiap pemegang polis merupakan sebaran geometrik. Diasumsikan banyaknya klaim yang diajukan dinyatakan dengan yang menyebar Poisson dengan parameter. (1) Dengan menyatakan perbedaan risiko yang mendasari atas klaim dari setiap pemegang polis tersebut. Asumsikan menyebar eksponensial dengan parameter, maka fungsi kepekatan peluangnya adalah: (2)
19 Kemudian sebaran tak bersyarat dari dengan parameter ( ) (diuraikan pada Lampiran 1) adalah: = = = = = = = yang merupakan sebaran geometrik = (3) dengan dan. Misalkan menyatakan banyaknya klaim dari setiap pemegang polis dalamtahun, dengan. Jika total banyaknya klaim yang terjadi dalam tahun adalah maka total banyaknya klaim dalam tahun menyebar Poisson dengan parameter. Untuk menduga parameter dari frekuensi klaim tersebut, digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari kumpulan klaim pemegang polis dalam tahun, dan fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut, karena proporsional dengan sehingga sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim dapat ditulis sebagai: (4) 9 Jika, maka diperoleh (perhitungan pada Lampiran 2), sehingga yang merupakan sebaran gamma. Misalkan penduga parameter atau banyaknya klaim pada tahun adalah. Fungsi kerugian dari penduga parameter itu adalah ( ). Penduga yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian tersebut [ ( )] karena menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu ( ), didapatkan solusi Bayes sama dengan nilai harapan dari banyaknya klaim (dibuktikan pada Lampiran 5): ( ) (6) (5)
20 10 Nilai harapan dari sebaran gamma dibuktikan pada Lampiran 4. Nilai diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation (dijelaskan pada Lampiran 3). Jika diasumsikan premi risiko awal pada saat dinyatakan dengan, maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada tahun, adalah: (7) Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa premi risiko yang harus dibayarkan pada tahun hanya bergantung pada banyaknya klaim yang diajukan setiap pemegang polis. Sistem Bonus-Malus optimal Dalam sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi selain berdasarkan frekuensi klaimtetapi juga berdasarkan ukuran klaim. Ukuran klaim dilambangkan dengan diasumsikan memiliki sebaran eksponensial dan parameter tersebut merupakan nilai dari peubah acak yang memiliki sebaran Levy, maka ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dengan parameter. Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan. Untuk setiap pemegang polis, menyebar eksponensial dengan parameter, fungsi kepekatan peluangnya adalah: (8) dan fungsi sebarannya adalah (dibuktikan pada Lampiran 6):. (9) Sebaran dari adalah Levy yang juga disebut sebagai sebaran stabil dengan parameter yang memiliki fungsi kepekatan peluang: (10) Fungsi sebaran tak bersyarat dari (diuraikan pada Lampiran 7): yang merupakan sebaran Weibull adalah (11) Misalkan dinotasikan sebagai ukuran dari klaim setiap pemegang polis pada frekuensi klaim,. Total ukuran klaim yang terjadi untuk setiap pemegang polis dalam tahun adalah. Fungsi kemungkinannya menyebar eksponensial dengan parameter, (12)
21 Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Untuk menduga parameter dari ukuran klaim tersebut digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun,, dan fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut: (13) 11 ( * ( * atau dapat ditulis sebagai berikut: ( * dengan,,. Persamaan tersebut adalah bentuk dari sebaran Invers Gauss yang diperumum. Dengan mengembalikan ke persamaan (13) didapat: ( ( ) * ( *. (14) Integral pada bagian penyebut dapat diubah ke fungsi Bessel yang representasinya adalah sebagai berikut:, (15) atau representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi (dibuktikan pada Lampiran 8): (16)
22 12 Dengan mengubah integral pada persamaan (14) menjadi bentuk fungsi Bessel, maka sebaran posteriornya adalah: atau ( ) ( * ( ) ( * (17) dengan,,. Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss yang diperumum (Gaussian Inverse Generalized) adalah (diuraikan pada Lampiran 9): [ ]. (18) Karena pada model awal diasumsikan menyebar eksponensial dengan parameter, maka nilai harapan yang diberikan. Dengan mengintegralkan dengan sebaran posterior didapatkan: [ ] ( ( ) ( ) + (19) (lihat Lampiran 10). Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim, maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah: ( ( ( ) ( ) +). (20) Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah: maka fungsi rekursif dari adalah (diuraikan pada Lampiran 11): (21) ( ) (22)
23 Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat ukuran klaim atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus (dijelaskan pada Lampiran 12): 13 ( ). (23) Penerapan formula premi risiko pada sistem Bonus-Malus Sistem Bonus-Malus klasik Misalkan pada suatu perusahaan asuransi, banyaknya klaim diasumsikan menyebar geometrik dengan parameter sebesar 1,25. Dalam perhitungan premi risiko ini digunakan Prinsip Premi Bersih (Net Premium Principle). Asumsikan premi risiko yang harus dibayarkan setiap pemegang polis setara dengan tahun pertama. Misalkan premi risiko pada tahun adalah 100. Jika pemegang polis mengajukan satu klaim di tahun pertama, maka premi risiko yang harus dibayarkan adalah. Seorang pemegang polis dengan klaim di tahun ke-3, premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah. Jika pemegang polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama tahun yang ditetapkan maka ia akan mendapatkan bonus yang cukup tinggi. Sedangkan jika pemegang polis mengajukan banyak klaim pada tahun pertama maka ia akan mendapatkan malus yang cukup tinggi. Pada tabel berikut dapat dilihat perhitungan premi risiko dalam 7 tahun dengan variasi klaim menggunakan persamaan (7) dengan perangkat lunak Microsoft Excel. Tabel 1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim Tahun Banyaknya Klaim Dari Tabel 1 dapat dilihat, bonus akan didapatkan pada tahun pertama oleh seorang pemegang polis yang tidak mengajukan klaim, pemegang polis tersebut akan mendapatkan bonus 44% dari premi risiko awal.
24 14 Sedangkan jika pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka pemegang polis tersebut harus membayar malus sebesar 11% dari premi risiko awal. Sistem Bonus-Malus optimal Misalkan pada perusahaan asuransi seperti di aplikasi sebelumnya, kita gunakan sistem Bonus-Malus yang dalam perhitungan premi risikonya berdasarkan dua komponen yaitu komponen frekuensi dan ukuran klaim. Premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan sistem Bonus- Malus optimal dihitung dengan menggunakan persamaan (20), dan apabila tidak ada klaim yang diajukan atau ukuran klaim premi risiko dihitung dengan menggunakan persamaan (23). Seperti pada aplikasi sebelumnya, frekuensi klaim menyebar geometrik dengan parameter sebesar 1,25. Total ukuran klaim diasumsikan menyebar Weibull dengan fungsi sebaran pada persamaan (11) dan dipilih parameter sebesar 0,05. Total ukuran klaim dipilih sebesar 7500 dan 10000, diambil dua total ukuran klaim yang berbeda untuk membandingkan efek dari total ukuran klim terhadap premi risiko. Dengan ukuran klaim 7500, jika pemegang polis mengajukan satu klaim di tahun pertama, maka ia harus membayar premi risiko sebesar 3079 (lihat Tabel 2), jadi ia mendapatkan malus dari perusahaan asuransi tersebut. Sedangkan jika total ukuran klaim 10000, seorang pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama, ia harus membayar premi risiko sebesar 3556 (lihat Tabel 3), ia membayar malus yang lebih tinggi. Pada Tabel 2 dan 3, dapat dilihat perhitungan premi risiko dari beberapa contoh kasus pemegang polis dengan variasi klaim,, dan total ukuran klaim sebesar 7500 dan 10000, sampai tahun ke-7 menggunakan persamaan (20) untuk dan menggunakan persamaan (23) untuk. Tabel 2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 7500) Tahun Banyaknya Klaim
25 Tabel 3 Sistem Bonus Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 10000) Tahun Banyaknya Klaim Dari kedua tabel di atas dapat dilihat bahwa bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim 7500, jika mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia akan membayar premi risiko yang lebih tinggi dari premi risiko awal. Sedangkan bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim sebesar 10000, jika ia mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia harus membayar premi risiko yang jauh lebih tinggi dari premi risiko awal. Kedua pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim yang berbeda akan sama-sama mendapat bonus dari perusahaan asuransi tersebut, apabila pemegang polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama 7 tahun. Oleh karena itu setiap pemegang polis membayar premi risiko yang berbeda-beda bergantung pada banyaknya klaim dari setiap pemegang polis asuransi tersebut. 15
26 16 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Karya tulis ini telah membandingkan sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal, yang biasa digunakan beberapa perusahaan asuransi seperti perusahaan asuransi mobil. Kedua sistem Bonus-Malus ini memiliki dasar perhitungan premi yang berbeda. Dapat dilihat dari aplikasinya, sistem Bonus-Malus klasik ini bisa dikatakan tidak adil karena perhitungan premi risiko dari setiap pemegang polis tidak bergantung pada ukuran klaim setiap pemegang polis. Sedangkan perusahaan asuransi dengan sistem Bonus-Malus optimal cukup adil karena premi risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi proporsional dengan risiko yang dihadapi. Premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan kerugian kecil dan besar adalah berbeda. Sistem Bonus-Malus ini bergantung pada frekuensi dan ukuran klaim dari setiap pemegang polis. Oleh karena itu, beban premi yang harus dibayarkan pada sistem Bonus- Malus optimal jauh lebih adil dibandingkan dengan sistem Bonus-Malus klasik Saran Penelitian ini memberikan perbandingan antara premi risiko sistem Bonus- Malus klasik dengan sistem Bonus-Malus optimal dengan sebaran frekuensi klaim adalah geometrik dan sebaran ukuran klaim adalah Weibull. Telah dibuktikan bahwa sistem Bonus-Malus optimal memberikan premi risiko yang lebih adil karena sistem ini memperhitungkan besar atau kecil klaim yang diajukan oleh pemegang polis. Pada penelitian ini menggunakan distribusi ukuran klaim Weibull sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan distribusi ukuran klaim lain. Selain itu, penelitian dapat dikembangkan dengan pembagian kelas-kelas sesuai dengan karakteristik pemegang polis, seperti usia, jenis kelamin, pekerjaan sehingga penentuan premi menjadi lebih adil karena karakteristik dari setiap pemegang polis yang berbeda.
27 17 DAFTAR PUSTAKA Abramowitz M, Stegun IA Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover. Albrecher H, Constantinescu C, Loisel S Explicit ruin formulas for models with dependence among risks. Insurance: Mathematics andeconomics 48(2): Arnold SF Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Bain LJ, Engelhardt M Introduction to Probability andmathematical Statistics. Ed ke-2. PWS-KENT publishing Company.Boston. Frangos NE, Vrontos SD Design of an optimal bonus malus systems with a frequency and a severity component on an individual basis in automobile insurance. ASTIN Bulletin Ghahramani S Fundamentals of Probability. Ed ke-3. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Gray RJ, Pitts SM Risk Modelling in General Insurance: From Principle to Practice. Cambridge University Press. New York. Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes.Ed ke-2. Clarendon Press.Oxford. New York. Hogg RV, McKean J, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Ibiwoye A, Adeleke IA, Aduloju S Quest for optimal bonus-malus in automobile insurance in developing economies: an actuarial prespective. International Business Research Vol.4 No. 4. Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE Loss Models.John Willey &Sons. New York. Lemaire J Bonus-malus Systems in Automobile Insurance. MA Kluwer Academic Publishers. Boston. Lemaire J Bonus-malus systems : the european and asian approach to merit-rating. The Society of Actuaries. Lemaire J, Zi H A comparative analysis of 30 bonus-malus systems. Astin Bulletin Vol.24No. 2. Mahmoudvand R, Hassani H Generalized bonus-malus systems with a frequency and a severity component on an individual basis in automobile insurance. ASTIN Bulletin 39, Mahmoudvand R, Edalati A, Shokoohi F Bonus-malus system in Iran: an empirical evaluation. Journal of Data Science 11, Ni W, Constantinescu C, Pantelous AA Bonus-malus systems with weibull distributed claim severities. Annals of Actuarial Science 8(2): Tremblay L Using the poisson inverse gaussian in bonus-malussystems. ASTIN Bulletin 22(1): Willmot G Mixed compound distributions. ASTIN Bulletin 16,
28 18 LAMPIRAN Lampiran 1 Sebaran frekuensi klaim Sebaran tak bersyarat dari (banyaknya klaim) adalah dengan mengintegralkan persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh: Dengan memisalkan dan maka: Dengan memisalkan kembali Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini sehingga diperoleh: [ ] [ ] Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh: [ ] [ ]
29 19 Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh [ ] [ ], dengan dan. Maka yang dinyatakan sebagai frekuensi klaim dalam sistem Bonus-Malus ini memiliki sebaran geometrik dengan parameter.
30 20 Lampiran 2 Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim Kita gunakan pendekatan Bayes untuk menduga parameter dari sistem Bonus-Malus klasik yaitu, dengan fungsi struktur posterior dari kumpulan frekuensi klaim pemegang polis dalam tahun,, maka diperoleh sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut : Sebaran awal (prior distribution): Fungsi kepekatan peluang bersama dari total frekuensi klaim adalah dan fungsi kepekatan peluang dari : Sebaran akhir (posterior distribution) : Jika. Dengan memisalkan maka: dan Dengan memisalkan kembali Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini, maka: [ ] [ ]
31 21 Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali, maka: [ ] [ ] Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang dari persamaan di atas, maka : [ ] [ ] Sehingga diperoleh, yang merupakan sebaran gamma. Dengan menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu ( ), diperoleh solusi Bayes: ( ) Sehingga
32 22 Lampiran 3 Nilai diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation Pada karya tulis ini digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk menduga parameter terhadap. Sehingga penduga parameter terhadap adalah : ( + ( + Dengan MLE maka ( + ( + Penduga Bukti: memaksimumkan fungsi likelihood. memaksimumkan fungsi likelihood Sehingga penduga parameter terhadap adalah
33 23 Lampiran 4 Nilai harapan dari sebaran gamma Jika suatu peubah acak memiliki sebaran gamma dengan parameter dan dengan dan, maka nilai harapan dari peubah acak tersebut adalah Bukti :. ( * Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah : Maka, Dimisalkan ; ( * Dengan memisalkan kembali : Gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan tersebut: [ ] [ ]
34 24 Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh : [ ] [ ] Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh : [ ] [ ] Terbukti
35 Lampiran 5 Perolehan dengan solusi Bayes Jika kita menggunakan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function), penduga parameter akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian tersebut. Maka dengan solusi Bayes, penduga parameternya sama dengan nilai harapan dari sebaran posterior parameter tersebut. Bukti: Misalkan suatu peubah acak merupakan sebaran posterior dengan parameter dan nilai penduga parameter adalah. Jika fungsi kerugian kuadratik dinyatakan : [ ] [ ] maka nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik adalah: { [ ] {[ ] Karena { [ ] {[ ] { [ ] [ ] yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik maka dengan turunan fungsi: [ [ ]] [ ] { [ ] [ ] [ ] Terbukti. [ ] [ ] Sehingga diperoleh penduga parameter tersebut sama dengan nilai harapan dari sebaran posterior parameter tersebut., 25
36 26 Lampiran 6 Fungsi sebaran eksponensial Jika suatu peubah acak memiliki sebaran eksponensial dengan parameter, maka fungsi sebaran dari peubah acak adalah : Bukti : Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah : Sehingga fungsi sebaran dari peubah acak adalah : Terbukti.
37 Lampiran 7 Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull Fungsi sebaran tak bersyarat dari (ukuran klaim) adalah dengan mengintegralkan persamaan (9) dengan (10), sehingga diperoleh: 27 Dimisalkan ( * ( * ( * Karena, Misal ( * Misal: ( * ( ) ( * ( * ( *
38 28 Misalkan juga :, ( ) ( * ( ) ( * ( * Sehingga ( *
39 29 Lampiran 8 Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi Representasi integral alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi adalah : Bukti : ( * Misal Misalkan ( * Terbukti.
40 30 Lampiran 9 Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss diperumum (Generalized Inverse Gaussian) adalah: [ ] [ ] ( *. ( * Misal, ( )
41 Lampiran 10 Nilai harapan dari ukuran klaim Jika misalkan model awal diasumsikan menyebar eksponensial dengan parameter maka nilai harapan yang diberikan. Dengan mengintegralkan dengan sebaran posterior didapatkan: [ ] ( ( ) ( ) ) Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan. Untuk setiap pemegang polis, menyebar eksponensial dengan parameter, fungsi kepekatan peluangnya adalah: 31 Misalkan Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function) untuk menduga parameter dari ukuran klaim tersebut. Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun,, dan fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut: atau ( ) ( * ( ) ( * dengan,,.
42 32 [ ] ( * ( * ( * Misal, ( ( ) ( ) )
43 33 Lampiran 11 Fungsi rekursif dari Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel termodifikasi adalah: maka fungsi rekursif dari adalah : ( ) karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
44 34 Lampiran 12 Premi pada kasus Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim, maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah: ( ( ( ) ( ) +). (20) Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah: (21) maka fungsi rekursif dari adalah (diuraikan pada Lampiran 11): ( ) (22) Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat ukuran klaim atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus. Karena, jika maka ( ) ( ) Pada, bisa diperoleh dari bentuk rekursif dari Premi pada saat ukuran klaim : ( ) ( ( ( ) ( ) atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan ( ) ( ) ), ( ( ( )))
45 35 ( ( )) ( ( *) ( * ( *
46 36 Lampiran 13 Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi Misalkan fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap, berlaku dua sifat yaitu : 1., 2. Bukti: 1. Misalkan 2. Misalkan [ ( * ] ( * [ ] [ ] [ ]
47 37 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang, Banten, pada tanggal 27 Agustus Penulis merupakan putri tunggal dari Bapak Tri Susanto, Ibu Tuti gartini. Tahun 2011, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Bawang Banjarnegara dan diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Penulis tercatat sebagai mahasiswa Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif pada berbagai kegiatan. Penulis tergabung dalam Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan Pesta Sains Nasional pada tahun 2012, Matematika Ria pada tahun 2013 dan 2014 dan IPB Mathematics Challenge pada tahun Selain itu, penulis pernah menjadi asisten mata kuliah Persamaan Differensial Parsial pada tahun 2014 dan Persamaan Differensial Biasa pada tahun Selama masa kuliah, penulis mendapat beasiswa Persatuan Orang tua Mahasiswa (POM) IPB pada tahun 2011 dan 2012, beasiswa Badan Usaha Milik Negara (BUMN) pada tahun 2013 dan beasiswa Yayasan Toyota Astra pada tahun 2014.
ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN BESAR KLAIM BERDISTRIBUSI PARETO BERBASIS C#
1 ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN BESAR KLAIM BERDISTRIBUSI PARETO BERBASIS C# Deni Hartanto, Ro fah Nur Rachmawati, Derwin Suhartono Binus University Jalan KH. Syahdan No. 9
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Asuransi umum adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Asuransi umum adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah sistem atau bisnis yang merupakan tindakan perlindungan secara finansial untuk properti
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN
PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciM-2 PERHITUNGAN PREMI ASURANSI KENDARAAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI PELUANG
M-2 PERHITUNGAN PREMI ASURANSI KENDARAAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI PELUANG Anita Andriani Universitas Hasyim Asy ari Tebuireng, Jombang anita.unhasy@gmail.com Abstrak Asuransi kendaraan bermotor
Lebih terperinciANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI SISTEM BONUS-MALUS PADA NON-LIFE INSURANCE DENGAN DISTRIBUSI POISSON-EKSPONENSIAL
ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI SISTEM BONUS-MALUS PADA NON-LIFE INSURANCE DENGAN DISTRIBUSI POISSON-EKSPONENSIAL David, Ro fah Nur Rachmawati, Derwin Suhartono Universitas Bina Nusantara, Jl. Syahdan No.
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Flowchart Penelitian Gambar 3.1 Flowchart Diagram 36 37 3.2 Langkah-Langkah Penelitian Metodologi penelitian merupakan tahapan yang harus ditetapkan sebelum melakukan penelitian,
Lebih terperinciANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS-MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRI DAN BINOMIAL-NEGATIF BERBASIS C#.NET
ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS-MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRI DAN BINOMIAL-NEGATIF BERBASIS C#.NET Denny Natanael Wijaya, Ro fah Nur Rachmawati, Derwin Suhartono Universitas
Lebih terperinciPENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciProsiding Statistika ISSN:
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Penaksiran Besar Klaim Optimal Menggunakan Metode Linear Empirical Bayesian yang Diaplikasikan untuk Perhitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor di Indonesia 1 Hilda
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Lebih terperinciRISIKO GEMUK (FAT-TAILED ADRINA LONY SEKOLAH
PENENTUAN BESARNYA PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO YANG BEREKOR GEMUK (FAT-TAILED RISK DISTRIBUTION) ADRINA LONY SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciPEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN
Lebih terperinciPENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA
PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pada era sekarang ini, bahaya, kerusakan dan kerugian adalah kenyataan yang harus dihadapi manusia di dunia, termasuk di Indonesia. Ini menyebabkan kemungkinan terjadi
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. masing-masing individu untuk terhindar dari kerusakan dan kehilangan. Asuransi
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Harta benda pribadi merupakan bagian yang selalu dilindungi oleh masing-masing individu untuk terhindar dari kerusakan dan kehilangan. Asuransi non-life adalah
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN
PENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN (PREMIUM PRICING BASED ON DEMAND FUNCTION AND EQUILIBRIUM POINT IN HETEROGENOUS PORTOFOLIO) Usep
Lebih terperinciSIMULASI TOTAL KERUGIAN ASURANSI MENGGUNAKAN DEDUCTIBLE DAN LIMITED COVERAGE SYAMSUL
SIMULASI TOTAL KERUGIA ASURASI MEGGUAKA DEDUCTIBLE DA LIMITED COVERAGE SYAMSUL DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 2016 PERYATAA MEGEAI SKRIPSI
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciRATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL MIKA NISHIHARA G
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL MIKA NISHIHARA G54103024 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciProsiding Statistika ISSN:
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Distribusi Binomial Negatif-Lindley pada Data Frekuensi Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor di Indonesia Binomial Negative-Lindley Distribution in the Frequency Data
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan diuraikan mengenai beberapa teori dan metode yang mendukung serta mempermudah dalam melakukan perhitungan dan dapat membantu di dalam pembahasan
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. dengan kendala. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut. Teorema 1 R = R (X) didefinisikan oleh
4 III PEMBAHASAN 3.1. Meminimumkan Peluang Keangkrutan (Ruin Proaility) Keijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN Sistem Bonus-Malus adalah sebuah sistem yang terdapat dalam pembayaran premi risiko sebuah asuransi non-life, dengan nilai premi risiko akan disesuaikan dengan sejarah
Lebih terperinciPENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA
PENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN RISMAWATI SIDIK
PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN RISMAWATI SIDIK DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04
Lebih terperinciNILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF
NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN DENGAN METODE AGREGAT YUSUFI ARBI
ANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN DENGAN METODE AGREGAT YUSUFI ARBI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 323-328 ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM Nurul Huda,
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Banyaknya kecelakaan dan bencana yang diakibatkan oleh kelalaian manusia
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Banyaknya kecelakaan dan bencana yang diakibatkan oleh kelalaian manusia sering terjadi yang akibatnya tidak hanya menimpa pelaku kelalaian, akan tetapi juga
Lebih terperinciPREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA
PREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciMENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES
MENAKSIR PARAMETER µ DARI N( µ, ) DENGAN METODE BAYES Hartayuni Saini 1 1 Jurusan Matematika, FMIPA-UNTAD. e-mail: yunh3_chendist@yahoo.co.id Abstrak Untuk menaksir nilai µ dari N(µ, ) umumnya digunakan
Lebih terperinciANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciMODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON ABSTRACT
JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 229-240 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian MODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON Tina
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kebutuhan akan kendaraan pribadi semakin hari semakin meningkat sejalan dengan bertambahnya penduduk. Selain sebagai sarana untuk memenuhi kebutuhan masing masing individu,
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Asuransi merupakan suatu kegiatan pemindahan atau pengalihan risiko untuk mencegah terjadinya kerugian besar yang disebabkan oleh risiko-risiko tertentu. Risiko-risiko
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciPENGGUNAAN VALUE-AT-RISK UNTUK MENGUKUR RISIKO DENGAN MENGGUNAKAN SIMULASI MONTE CARLO YUNDA FITARI
PENGGUNAAN VALUE-AT-RISK UNTUK MENGUKUR RISIKO DENGAN MENGGUNAKAN SIMULASI MONTE CARLO YUNDA FITARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Lebih terperinciPENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN. Rince Adrianti 1, Haposan Sirait 2 ABSTRACT ABSTRAK
PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Rince Adrianti, Haposan Sirait Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Matematika, Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciPERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER
PERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER LATHIFATURRAHMAH SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI TOTAL KERUGIAN AGGREGAT MANFAAT RAWAT JALAN BERDASARKAN SIMULASI
MODEL DISTRIBUSI TOTAL KERUGIAN AGGREGAT MANFAAT RAWAT JALAN BERDASARKAN SIMULASI Puspitaningrum Rahmawati, Bambang Susanto, Leopoldus Ricky Sasongko Program Studi Matematika (Fakultas Sains dan Matematika,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperinciPENENTUAN PREMI DAN CADANGAN MANFAAT PADA BEBERAPA JENIS ASURANSI JIWA DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA SITI RAHMATUL THAIBAH
PENENTUAN PREMI DAN CADANGAN MANFAAT PADA BEBERAPA JENIS ASURANSI JIWA DENGAN MEMPERHITUNGKAN BIAYA SITI RAHMATUL THAIBAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciBAB 4 ANALISIS, SIMULASI, DAN PEMBAHASAN. Pendekatan Bayes dalam mengestimasi parameter digunakan dalam fungsi kerugian
BAB 4 ANALISIS, SIMULASI, DAN PEMBAHASAN 4.1 Analisis 4.1.1 Model Quadratic Error Loss Function Pendekatan Bayes dalam mengestimasi parameter digunakan dalam fungsi kerugian untuk mengukur kerugian yang
Lebih terperinciPemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang
Statistika, Vol. 17 No. 1, 45 51 Mei 2017 Pemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang Indah permatasari, aceng komarudin mutaqin, lisnur wachidah Program
Lebih terperinciPENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA
PENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciKAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK DATA OVERDISPERSI HENDRA GUSTRA
PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK DATA OVERDISPERSI HENDRA GUSTRA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciPERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT INDAH ROSLIYANA G
PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT INDAH ROSLIYANA G54103035 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pertumbuhan ekonomi Indonesia yang semakin meningkat dan dikuti oleh majunya pemikiran masyarakat dalam usaha perniagaan membuat maraknya usaha asuransi akhir-akhir
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992)
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciPENAKSIRAN PARAMETER µ DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI SUNARTO URJOYO PURBA
PENAKSIRAN PARAMETER µ DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI SUNARTO URJOYO PURBA 09083005 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA SKRIPSI RAINI MANURUNG
1 PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA SKRIPSI RAINI MANURUNG 110823011 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU
v PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Jumlah penduduk Indonesia yang tergolong besar, bahkan berada diurutan keempat dunia dengan jumlah penduduk terbesar tentu sangat berpotensi bagi perkembangan bisnis
Lebih terperinciPenerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Penerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999 1 Anjalina Kusumawardhani, 2 Aceng Komarudin Mutaqin, 3 Lisnur Wachidah
Lebih terperinciPemodelan Data Curah Hujan Menggunakan Proses Shot Noise Modeling Rainfall Data Using a Shot Noise Process
Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Pemodelan Data Menggunakan Proses Shot Noise Modeling Rainfall Data Using a Shot Noise Process 1 Novi Tri Wahyuni, 2 Sutawatir Darwis, 3 Teti Sofia Yanti 1,2,3 Prodi
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI PELI SUKARSO
PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI PELI SUKARSO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI
SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciPREDIKSI CADANGAN KLAIM ASURANSI DENGAN METODE BORNHUETTER-FERGUSON M IQBAL HIBATULLAH
PREDIKSI CADANGAN KLAIM ASURANSI DENGAN METODE BORNHUETTER-FERGUSON M IQBAL HIBATULLAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR. Oleh: LIA NURLIANA
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Oleh: LIA NURLIANA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciMANAJEMEN RISIKO DI PERUSAHAAN BETON (STUDI KASUS UNIT READYMIX PT BETON INDONESIA) MUAMMAR TAWARUDDIN AKBAR
MANAJEMEN RISIKO DI PERUSAHAAN BETON (STUDI KASUS UNIT READYMIX PT BETON INDONESIA) MUAMMAR TAWARUDDIN AKBAR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciSIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES.
SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES Skripsi) Oleh ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. banyak orang agar mau menjadi pemegang polis pada perusahaan tersebut. Salah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perusahaan asuransi menawarkan berbagai produk untuk menarik minat banyak orang agar mau menjadi pemegang polis pada perusahaan tersebut. Salah satu produk asuransi
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2014
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga distribusi generalized gamma dengan metode generalized moment ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar
Lebih terperinciPENGARUH SERTIFIKASI GURU TERHADAP KESEJAHTERAAN DAN KINERJA GURU DI KABUPATEN SUMEDANG RIZKY RAHADIKHA
1 PENGARUH SERTIFIKASI GURU TERHADAP KESEJAHTERAAN DAN KINERJA GURU DI KABUPATEN SUMEDANG RIZKY RAHADIKHA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL SKRIPSI SUMI SRIARDINA YUSARA
ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL SKRIPSI SUMI SRIARDINA YUSARA 100823018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciPEMODELAN DAN SIMULASI UNTUK MENGETAHUI KEBANGKRUTAN PERUSAHAAN ASURANSI BERDASARKAN UKURAN KLAIM
ISSN : 2355-9365 e-proceeding of Engineering : Vol.4, No.2 Agustus 2017 Page 3025 PEMODELAN DAN SIMULASI UNTUK MENGETAHUI KEBANGKRUTAN PERUSAHAAN ASURANSI BERDASARKAN UKURAN KLAIM Nanda Putri Mintari Prodi
Lebih terperinciESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD TESIS Oleh JEMONO 117021005/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI BAYES
Lebih terperinciBAB 7 DISTRIBUSI-COMPOUND DAN GENERALIZED SPASIAL MUHAMMAD NUR AIDI
7.1. Pendahuluan BAB 7 DISTRIBUSI-COMPOUND DAN GENERALIZED SPASIAL MUHAMMAD NUR AIDI Pada bab sebelumnya, penyebaran spatial (konfigurasi spasial) dimana ditunjukan sebagai ragam sampel quadran. Bab ini
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENDUGAAN CADANGAN KLAIM ASURANSI DENGAN METODE PEMISAHAN ZAHRA ZAFFIRA SABILA RAHMAH
PENDUGAAN CADANGAN KLAIM ASURANSI DENGAN METODE PEMISAHAN ZAHRA ZAFFIRA SABILA RAHMAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN
Lebih terperinciPENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005
1 PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005 2 SURAT PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul
Lebih terperinciEstimasi Hazard Rate Temporal Point Process
Vol. 9, No.1, 33-38, Juli 2012 Estimasi Hazard Rate Temporal Point Process Nurtiti Sunusi 1 Abstrak Point process adalah suatu model stokastik yang dapat menerangkan fenomena alam yang sifatnya acak baik
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. beberapa konsep dan teori yang berkaitan dengan penduga parameter distribusi GB2
5 II. LANDASAN TEORI Dalam proses penelitian penduga parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika. Berikut ini akan dijelaskan beberapa konsep
Lebih terperinci