Pengantar Automata Seluler

Transkripsi

1 B 2 Pengantar Automata Seluler 2.1 Automata Seluler Dua Dimensi Pada umumnya, model penyebaran kebakaran hutan dibagi dalam dua tipe, yaitu model stokastik dan model deterministik. Model stokastik untuk penyebaran kebakaran hutan digunakan untuk memprediksi kemungkinan perilaku api dalam kondisi tertentu berdasarkan percobaan dan data dari loratorium. Sementara itu, model deterministik mengkaji perilaku api saat kebakaran berdasarkan karakteristik api, hutan, dan sekitar hutan serta sistem yang terbentuk di antara ketiganya. Secara matematis, model penyebaran api yang deterministik terbagi ke dalam dua kategori yaitu model vektor dan model automata seluler. Salah satu penggunaan model vektor adalah untuk mengkaji sebaran api dengan meninjau gelombang sebaran api dan temperatur. Sedangkan model automata seluler mengkaji sebaran api dengan aturan yang dide nisikan berdasarkan sistem dinamik yang diskrit dalam dimensi ruang tertentu. Automata seluler (CA) merupakan sistem dinamik diskrit dari sekumpulan sel yang identik. Masing-masing kumpulan sel tersebut memiliki keadaan yang berubah setiap langkah waktu yang diskrit berdasarkan aturan deterministik. CA dua dimensi yang berhingga dapat dide nisikan sebagai suatu ruang A = (C; S; V; f) yang terdiri dari sel-sel identik dengan C = f(a; b); 1 a r; 1 b cg; untuk suatu (r; c) 2 Z, yaitu himpunan bilangan asli. uang sel heksagonal dapat dilihat pada Gambar 2.1. Adapun sel (a; b) dide nisikan sebagai pasangan terurut sel (a; b). Setiap sel (a; b) diasumsikan sebagai keadaan dan 3

2 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 4 merupakan elemen dari suatu kumpulan keadaan, S. Keadaan dari sel (a; b) pada waktu t dide nisikan sebagai s (t). Gambar 2.1: uang Sel Heksagonal. Ketetanggaan sel (a; b) dinyatakan oleh V dan j V j= m, untuk 8 sel (a; b). Adapun V dide nisikan: V = f(a + 1 ; b + 1 ); :::; (a + m ; b + m ) : ( k ; k ) 2 V g: Gambar 2.2: Lingkungan Sel O. Dalam tugas akhir ini, ketetanggaan sel O = (a; b) seperti yang ditunjukkan

3 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 5 pada Gambar 2.2, adalah: V o = fo; N; NE; SE; S; SW; NW; NNE; E; SSE; SSW; W; NNW g: Berdasarkan jenis ketetanggaan tersebut, dide nisikan dua macam ketetanggaan sel (a; b), yaitu: 1. sel tetangga dekat (Gambar 2.2 yang berwarna hijau), V n = fn; NE; SE; S; SW; NW g 2. sel tetangga jauh (Gambar 2.2 yang berwarna jingga), V d = fnne; E; SSE; SSW; W; NNW g: Dalam tugas akhir ini, terdapat indeks pelelan untuk setiap sel tetangga yang akan digunakan untuk perhitungan keadaan tiap sel yaitu (a; b). Indeks pelelan ini dibedakan berdasarkan b genap atau ganjil. Gambar 2.3: Indeks Ketetanggaan: (a) b ganjil dan (b) b genap. Ketetanggaan sel (a; b), dengan b ganjil (Gambar 2.3(a)) adalah V odd (a;b) = f(a; b); (a 1; b); (a; b + 1); (a + 1; b + 1); (a + 1; b); (a + 1; b 1); (a; b 1); (a 1; b + 1); (a; b + 2); (a + 2; b + 1); (a + 2; b 1); (a; b 2); (a 1; b 1)g: (2.1)

4 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 6 Ketetanggaan sel (a; b), dengan b genap (Gambar 2.3(b)) adalah V even (a;b) = f(a; b); (a 1; b); (a 1; b + 1); (a; b + 1); (a + 1; b); Keadaan setiap s (t) (a; b 1); (a 1; b 1); (a 2; b + 1); (a; b + 2); (a + 1; b + 1); (a + 1; b 1); (a; b 2); (a 2; b 1)g: (2.2) berubah secara deterministik dalam suatu perubahan waktu yang diskrit. Perubahan setiap keadaan dari sel (a; b) memenuhi suatu fungsi transisi lokal f : S 13! S, yaitu s (t+1) = f(s (t) a+ 1 ;b+ 1 ; :::; s (t) a+ 13 ;b+ 13 ); (2.3) dengan S 13 adalah kumpulan keadaan sel (a; b) dan 12 sel tetangganya. Kon gurasi CA dua dimensi pada waktu t adalah C (t) = s (t), 1 a r, o 1 b c, dan C (0) adalah kon gurasi awal dari CA. Barisan nc (t) 0tk merupakan perubahan kon gurasi CA dua dimensi dari waktu ke nol sampai waktu ke k. Kondisi batas untuk CA dua dimensi yang berhingga bergantung pada pende nisian keadaan sel (a; b). Dalam tugas akhir ini, digunakan kondisi batas nol, yaitu: jika (a; b) =2 f(u; v); 1 u r; 1 v cg maka s (t) = 0: Berdasarkan fungsi transisi lokal untuk s (t+1) dan kondisi batas tersebut, CA dua dimensi yang linear memiliki diskritisasi fungsi transisi lokal yang dide nisikan sebagai berikut: 0 = X s (t+1) (;)2V (a;b) s(t) a+;b+ dengan (a;b) 2 + ; (; ) 2 V dan g :! Z k. 1 A ; (2.4) 2.2 Model Dasar Automata Seluler untuk Penyebaran Api Pada model dasar CA untuk penyebaran api ini hutan dimisalkan sebagai kumpulan sel (a; b) berbentuk heksagonal yang identik. Panjang sisi heksagonal L. Setiap sel area hutan bersesuaian dengan setiap sel CA.

5 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 7 Keadaan sel (a; b) pada waktu t dide nisikan sebagai s (t) area yang terbakar dari sel (a; b) = ; (2.5) total area sel (a; b) di mana total area dari sel heksagonal adalah 3p 3L 2 2 : Dengan demikian, 0 s (t) pada waktu t; jika 0 < s (t) t; dan jika s (t) 1. Jika s(t) = 0, maka sel (a; b) belum terbakar < 1, maka sel (a; b) terbakar sebagian pada waktu = 1, maka sel (a; b) terbakar seluruhnya pada waktu t. Dalam tugas akhir ini, himpunan keadaan S yang dipilih adalah f0; 0:25; 0:5; 0:75; 1g. Automata Seluler yang digunakan dalam kajian ini merupakan CA linear, sehingga keadaan sel (a; b) pada waktu t+1 bergantung linear dengan keadaan tetangga sel (a; b) pada waktu t, sehingga 0 s (t+1) = (t) + X s(t) dimana (a;b) (a;b) (;)2V n a+;b+ + X (a;b) (;)2V d s(t) a+;b+ 1 A ; (2.6) 2 merupakan parameter-parameter ukuran sis setiap sel. Dan fungsi diskritisasi g diberikan oleh: g : [0; 1]! S x 7! g(x) = b4xc 4 : (2.7) Pada bagian selanjutnya akan dibahas parameter yang mempengaruhi penyebaran kebakaran hutan, yaitu kecepatan dan arah angin, topogra, dan tingkat penyebaran api Kecepatan dan Arah Angin (! ) Kecepatan dan arah angin sangat mempengaruhi arah penyebaran api dan besarnya ukuran api pada proses penjalaran api di suatu hutan. Pengaruh angin pada sel (a; b) dari tetangganya dide nisikan: W (a;b) = f! (a;b) ; (; ) 2 V g; dengan!(a;b) 1: Jika tidak ada angin yang bertiup di sel (a; b), maka! (a;b) = 1 untuk setiap (; ) 2 V. Jika angin bertiup dari arah Utara ke Selatan, maka koe sien sel yang berada di bagian utara harus harus lebih besar dari koe sien yang berada di selatannya.

6 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE Topogra (h ) Selain faktor kecepatan dan arah angin, topogra hutan yang terbakar juga mempengaruhi penyebaran api. H (a;b) dide nisikan ketinggian sel (a; b) yang diasumsikan sebagai ketinggian di titik tengah sel (a; b). Pengaruh ketinggian dari sel tetangganya dinotasikan h (a;b), bergantung pada perbedaan ketinggian di antara sel-sel yang terkait: Pengaruh ketinggian sel tetangga dekat, misal sel N dide nisikan: h O N = (H O H N ); (2.8) Pengaruh ketinggian sel tetangga jauh misal sel N N E dide nisikan: h O NNE = 1 4 [(H O H N )+(H N H NNE )+(H O H NE )+(H NE H NNE )]; (2.9) dengan fungsi dari (x) adalah sebagai berikut: 1. jika x > 0, maka (x) > 1; 2. jika x = 0, maka (x) = 1; dan 3. jika x < 0, maka 0 < (x) < 1: Untuk hutan dengan topogra datar (setiap selnya memiliki ketinggian sel yang sama), maka (x) = 1. Akibatnya h (a;b) (; ) 2 V Tingkat Penyebaran Api (r ) = 1 untuk setiap sel (a; b) dan Faktor tingkat penyebaran api dianalogikan dengan vegetasi yang dimiliki oleh hutan. Proses penyebaran api pada kebakaran hutan dengan vegetasi tanaman yang kering akan lebih cepat daripada hutan dengan vegetasi yang basah. Misalkan laju penyebaran api di sel O = (a; b) adalah O dan = maxf (a;b) ; 1 a r; 1 b cg, sehingga O. Terdapat t 0 yaitu waktu yang dibutuhkan satu sel untuk terbakar sepenuhnya.

7 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 9 Kasus Tetangga Dekat Terbakar Penuh Jika seluruh ketetanggaan sel O belum terbakar, tetapi hanya satu tetangga dekat dari sel O yang telah terbakar penuh, misalkan sel N. Asumsi yang digunakan adalah api bergerak seperti pada Gambar 2.4 sehingga t 0 = p 3 L. Gambar 2.4: Penyebaran api dari tetangga ke sel O Setelah waktu t 0, jarak yang telah dilalui api adalah r = O t 0 = p 3 O L: (2.10) Akibatnya terdapat 2 kasus yaitu ketika r L dan r > L : 1. Jika r L, maka p 3 O L L, dan O p 3 3 0: Gambar 2.5: Penyebaran dari tetangga dekat (N) ke sel O untuk kasus r L: Dapat dilihat pada Gambar 2.5, area yang terbakar pada sel O setelah

8 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 10 waktu t 0 adalah area terbakar = O p3 L2 + 2 O : (2.11) Oleh karena itu, tingkat penyebaran api (r) dari sel N ke sel O adalah r O N = area terbakar total area sel O = 2p 3 9 p3 + 2 O : (2.12) 2. Jika r > L, maka L < p 3 O L, dan 0:57735 p 3 3 < O 1. Gambar 2.6: Penyebaran dari tetangga dekat (N) ke sel O untuk kasus r > L: Dapat dilihat pada Gambar 2.6, area yang terbakar pada sel O setelah waktu t 0 adalah area terbakar = p 3 O L2 1 + sin 6 dengan = arcsin 2 O + 3 O ; (2.13) dan 6 O < 2, yang merepresentasikan perbedaan vegetasi pada hutan heterogen tidak terlalu signi kan. Oleh karena itu, tingkat penyebaran api (r) dari sel N ke sel O adalah r N O area terbakar = total area sel = 2 O 1 + sin p 3 O : (2.14) Kasus Tetangga Jauh Terbakar Penuh

9 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE 11 Jika seluruh ketetanggaan sel O belum terbakar, tetapi hanya satu tetangga jauh dari sel O yang telah terbakar penuh, misalkan sel NNE, maka setelah waktu t 0, api menjalar melalui garis batas (border line) antara tetangga dekat N dan NE dan memberikan pengaruh pada sel O dengan waktu t 0 O = L maxf N ; NE ; dan akibatnya jarak yang telah dilalui api adalah g r = O (t 0 t 0 O) = p 3! 1 O L: maxf N ; NE g Gambar 2.7: Penyebaran dari tetangga jauh (NNE) ke sel O. Dapat dilihat pada Gambar 2.7, area yang terbakar pada sel O setelah waktu t 0 adalah area terbakar = 3 2 OL 2 p 3! 2 1 : (2.15) maxf N ; NE g Oleh karena itu, tingkat penyebaran api (r) dari sel NNE ke sel O adalah r NNE O area terbakar = total area sel = 2p p 3 3O 27 O maxf N ; NE g! 2 : (2.16) Untuk hutan homogen, maka (a;b) = untuk setiap sel (a; b). Akibatnya r O N = 1 dan ro NNE = 0:216.

10 BAB 2. PENGANTA AUTOMATA SELULE Fungsi Transisi Lokal Berdasarkan hasil perumusan parameter-parameter yang telah diperoleh sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa fungsi transisi lokal dari automata seluler berbentuk heksagonal untuk memprediksi proses penyebaran api pada kebakaran hutan adalah sebagai berikut: 2 s (t+1) = 1 44 X 4 di mana jika (; ) 2 V n, dan jika (; ) 2 V d, (;)2V! (a;b) h(a;b) r(a;b) s(t) a+;b+ 3 5 ; (2.17) h (a;b) = (H (a;b) H (a+;b+) ); (2.18) h (a;b) = 1 4 [(H (a;b) H (a+ + ;b+ + )) + (H (a+ + ;b+ + ) H (a+;b+) ) + (H (a;b) H (a+ ;b+ ) ) + (H (a+ ;b+ ) H (a+;b+) )]; (2.19) dan r (a;b) = 8 >< >: 2 p 3 27 p 3(a;b) 2 p 3 (a;b) 9 dengan = arcsin 2 (a;b) 3 (a;b) 2 maxf (a+ + ;b+ + ) ; (a+ ;b+ ) g, jika (; ) 2 Vd ; p3 + (a;b), jika (; ) 2 V 2 n dan p 3 (a;b) ;, lainnya 2 (a;b) 1 + sin 6 + p 3 (a;b) 6 dan (a;b) < 2. (2.20)