Aisyah Purnama Dewi. MATEMATIKA WAJIB UNTUK SMA/MA Kelas X Semester 1 EDISI GURU. (Disertai Kunci Jawaban) Berbasis Teori Variasi

Transkripsi

1 Aisyah Purnama Dewi Berbasis Teori Variasi MATEMATIKA WAJIB UNTUK SMA/MA Kelas X Semester 1 EDISI GURU 1 (Disertai Kunci Jawaban)

2 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR Berbasis Teori Variasi Matematika Kelompok Wajib Kurikulum 2013 Untuk Siswa Kelas X SMA/MA Semester 1 Edisi Guru (Disertai Kunci Jawaban) Penulis Pembimbing Penilai Ukuran : Aisyah Purnama Dewi : Dr. R. Rosnawati : Dra. Endang Listyani, M.S Nur Hadi W, M.Eng : 21 29,7 cm LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis Dengan menggunakan Microsoft Office Word

3 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar berjudul Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Berbasis Teori Variasi pada Matematika Kelompok Wajib Kurikulum 2013 Untuk Siswa Kelas X SMA/MA Semester 1 dengan baik. Shalawat beserta salam tak lupa senantiasa tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah membawa kita dari kegelapan menuju cahaya. Bahan ajar berupa LKS dibuat untuk memfasilitasi pembelajaran siswa terutama pada pokok bahasan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear agar siswa dapat mengembangkan diri secara aktif dan maksimal. Adapun LKS ini disusun berdasarkan teori variasi, dimana siswa akan belajar berbasis penemuan konsep matematika dengan mengamati variasi yang diberikan dan mencari pola yang ada. Sehingga siswa dapat menemukan titik-titik kritis dari suatu materi dengan cara berpikir yang telah biasa digunakan siswa dalam kehidupan sehari-hari (membandingkan, mencari pola, menghubungkan, dan menarik kesimpulan). Sebagaimana pepatah Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini belumlah sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharap kritik dan saran demi perbaikan tugas-tugas penulis selanjutnya secara pribadi maupun kebermanfaatan bagi guru sebagai praktisi pendidikan dan siswa sebagai pengguna. Semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat dan dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya. Yogyakarta, Oktober 2015 Penulis, Aisyah Purnama Dewi 3

4 DAFTAR ISI Hal Halaman Judul... Halaman Penulis... i ii Kata Pengantar... iii Daftar Isi... iv LKS 1: Mengenal Sistem Persamaan Linear (SPL) LKS 2: Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) LKS 3: Mengenal & Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) Daftar Pustaka

5 LEMBAR KEGIATAN SISWA MENGENAL SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 1 ini, kamu akan dapat: Menemukan Konsep SPLDV dan SPLTV Menemukan Konsep Solusi pada SPLDV dan SPLTV Menemukan Jenis SPLDV berdasarkan konstanta dan solusinya Pengantar Gambar 1 1 Sistem Komputer Gambar 1 2 Ketua Kelas Pada kehidupan sehari-hari, kita sudah terbiasa menggunakan istilah sistem. Kita menyebut kumpulan komponen yang terdiri dari perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan pengguna (brainware) sebagai sistem komputer. Selain itu, kita sudah terbiasa melihat bagan susunan kepengurusan kelas. Susunan tersebut ternyata juga mewakili suatu sistem yang disebut sistem kerja pengurus kelas. Sistem sendiri merupakan kumpulan komponen-komponen yang saling berkaitan untuk menjalankan fungsi tertentu. Lalu, apa yang dimaksud Sistem Persamaan Linear (SPL) dalam matematika? Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai hal tersebut, lakukanlah kegiatan pada LKS ini. 5

6 1. Menemukan Konsep SPLDV dan SPLTV Aktivitas 1.1 MENEMUKAN KONSEP PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV) (CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh PLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 1 dan 2 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan dan lengkapi tabel 1, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 1 Contoh dan Bukan Contoh PLDV No Contoh PLDV Bukan Contoh PLDV 1 Sebuah bingkai foto memiliki keliling 80 cm. Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika = Terdapat dua bilangan dimana lima kali bilangan pertama sama dengan dua kali bilangan kedua dikurang 10. Misalkan bilangan pertama adalah x dan bilangan kedua adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika 5 = Sebuah bingkai foto memiliki luas 375 cm 2. Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika 2 = 375. Terdapat dua bilangan dimana lima kali bilangan pertama sama dengan kuadrat bilangan kedua dikurang 10. Misalkan bilangan pertama adalah x dan bilangan kedua adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika 5 = 10. 6

7 3 Sebuah atap rumah memiliki sisi berbentuk segitiga sama kaki dengan keliling 17 meter. Sebuah atap rumah memiliki sisi berbentuk segitiga siku-siku dengan keliling 17 meter. Gambar 1 3 Atap Segitiga Sama Kaki Misalkan panjang sisi sama kaki dari segitiga adalah x dan panjang alas dari segitiga adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika 2 + = 17. Gambar 1 4 Atap Segitiga Siku-siku Misalkan panjang sisi pertama dari segitiga adalah x, panjang sisi kedua dari segitiga adalah y, dan panjang sisi ketiga dari segitiga adalah z, maka hubungan x, y, z dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika + + = Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 1 pada tabel 1di atas? Model matematika dari contoh merupakan persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan bukan contoh merupakan bukan persamaan linear karena memuat xy sehingga pangkat tertinggi dari variabelnya adalah2. 2. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 2 pada tabel 1di atas? Model matematika dari contoh merupakan persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan bukan contoh merupakan bukan persamaan linear karena memuat x 2 sehingga pangkat tertinggi dari variabelnya adalah Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 3 pada tabel 1 di atas? Model matematika dari contoh merupakan persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan bukan contoh merupakan persamaan linear dengan tiga variabel. 7

8 4. Jelaskan mengenai pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya. Sebuah persamaan disebut Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) apabila persamaan tersebut linear yakni dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah 1, serta memiliki dua variabel. 5. Nyatakan Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dalam bentuk umum berikut. + = (persamaan) dimana x, y : variabel a : koefisien dari x b : koefisien dari y c : konstanta persamaan. MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV) (GENERALIZATION: Membawa Representasi Lain dari Solusi PLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 3 dan 4 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan persoalan berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Ibu ingin membeli dua jenis buah untuk acara di rumah dengan total berat 5 kg. Buah yang ibu pilih adalah apel dan jeruk. Berapa kemungkinan berat masing-masing jenis buah yang dapat dibeli ibu? 1. Misalkan berat apel adalah x dan berat jeruk adalah y, dapatkah kamu menentukan model matematika dari persoalan di atas? Misalkan berat apel adalah x dan berat jeruk adalah y, maka model matematika dari persoalan di atas adalah + = Isilah tabel berikut dengan mengganti nilai variabel-variabel dari persamaan yang kamu temukan. Berat apel (...) Berat jeruk (...) 0 1 1, , , ,5 3. Nyatakan kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat jeruk sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan. {(0,5),(1,4),(1,5,3,5),(2,3),(4,1),(, ), }. 8

9 4. Gambarlah setiap pasangan variabel x dan y dari tabel berat apel dan jeruk sebagai sebuah titik pada bidang koordinat kartesius di bawah ini. Hubungkan titik-titik tersebut. 5. Berapa banyak kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat jeruk bila dilihat dari grafik yang kamu buat? Jelaskan. Terdapat banyak kemungkinan jawaban karena grafik merupakan garis lurus. 6. Jelaskan mengenai solusi Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dengan katakatamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya. Solusi Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) merupakan himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan. Terdapat banyak kemungkinan solusi dari PLDV. 9

10 Aktivitas 1.2 MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh SPLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 5 dan 6 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan Tabel 2 dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 2 Contoh dan Bukan Contoh SPLDV No Contoh SPLDV Bukan Contoh SPLDV 1 Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp ,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga kotak tahu seharga Rp ,-. Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp ,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga buah tempe seharga Rp ,-. 2 Terdapat sebuah persegi panjang dengan keliling 38 cm. Panjang persegi panjang sama dengan tiga kali lebarnya ditambah 3. Terdapat sebuah persegi panjang dengan keliling 42 cm. Luas persegi panjang tersebut adalah 84 cm Isilah tabel berikut dengan model matematika dari Tabel 2. Model Matematika Contoh SPLDV 1 Misalkan harga satu ikat bayam adalah x dan harga satu kotak tahu adalah y, maka model matematika dari persoalan di atas adalah 2 + = 9000 dan + 3 = Misalkan panjang persegi panjang adalah x dan lebar persegi panjang adalah y, maka model matematika dari persoalan di atas adalah = 38 dan 2 = Model Matematika Bukan Contoh SPLDV Misalkan harga satu ikat bayam adalah x, harga satu kotak tahu adalah y, dan harga sebuah tempe adalah z, maka model matematika dari persoalan di atas adalah 2 + = 9000 dan + 3 = Misalkan panjang persegi panjang adalah x dan lebar persegi panjang adalah y, maka model matematika dari persoalan di atas adalah = 38 dan =

11 2. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh 1 pada tabel di atas? Model matematika dari contoh 1 terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama yaitu x,y, sedangkan bukan contoh terdiri dari dua persamaan linear dengan tiga variabel yaitu x,y,z. 3. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh 2 pada tabel di atas? Model matematika dari contoh terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama yaitu x,y, sedangkan bukan contoh terdiri dari sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan tidak linear dengan variabel yang sama yaitu x,y. 4. Jelaskan mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan katakatamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan himpunan beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang saling berkaitan. 5. Nyatakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dalam bentuk umum berikut. dimana x, y : variabel a, d : koefisien dari x b, e : koefisien dari y c,f : konstanta persamaan. + = (persamaan 1) + = (persamaan 2) Aktivitas 1.3 MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Perhatikan contoh persoalan sehari-hari mengenai Sistem Persamaan Linear berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Sebuah keluarga memiliki tiga orang anak, yakni anak pertama yang bernama Ara, anak kedua yang bernama Bara, dan anak terakhir yang bernama Dara. Jumlahan umur Ara, 11

12 Bara, dan Dara adalah 20 tahun. Selisih umur Ara dan Dara sama dengan umur Bara, sedangkan jumlahan umur Ara dan Bara sama dengan empat kali umur Dara. 1. Buatlah model matematika dari persoalan di atas. Nyatakan setiap persamaan dalam bentuk yang seragam. Misalkan umur Ara dari segitiga adalah x, umur Bara adalah y, dan umur Dara adalah z, maka hubungan x, y, z dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika + + = 20, = 0, dan + 4 = Persoalan di atas merupakan contoh persoalan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Jelaskan pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan bahasamu sendiri. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan himpunan beberapa Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV) yang saling berkaitan. 3. Nyatakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV) dalam bentuk umum berikut. dimana x,y,z a,e,i b,f,j c,g,k d,h,l + + = (persamaan 1) + + = h (persamaan 2) + + = (persamaan 3) : variabel : koefisien dari variabel x :koefisien dari variabel y : koefisien dari variabel z : konstanta persamaan. 12

13 2. Menemukan Konsep Solusi pada SPLDV dan SPLTV Aktivitas 2.1 MENEMUKAN KONSEP SOLUSI PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (CONTRAST: Membandingkann Contoh dan Bukan Contoh Solusi SPL; GENERALIZATION: Menampilkan Representasi Grafik dari Solusi SPL) Perhatikan Tabel 3 dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 3 Solusi dan Bukan Solusi SPL No SPL Bukan Solusi SPL Solusi SPL 1 Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp ,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga kotak tahu seharga Rp ,-. Harga satu ikat bayam dan satu kotak tahu adalah...dan... 2 Sebuah keluarga memiliki tiga orang anak, yakni anak pertama yang bernama Ara, anak kedua yang bernama Bara, dan anak terakhir yang bernama Dara. Jumlahan umur Ara, Bara, dan Dara adalah 20 tahun. Selisih umur Ara dan Dara sama dengan umur Bara, sedangkan jumlahan umur Ara dan Bara sama dengan empat kali umur Solusi dari SPLDV di samping bukanlah (2500, 3500). Harga satu ikat bayam bukanlah Rp ,- dan harga satu kotak tahu bukanlah Rp ,-. Solusi dari SPLDV di samping bukanlah (1000, 7000). Harga satu ikat bayam bukanlah Rp ,- dan harga satu kotak tahu bukanlah Rp ,-. Solusi dari SPLTV di samping bukanlah (10, 5, 3). Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut bukanlah 10 tahun, 5 tahun, dan 3 tahun. Solusi dari SPLTV di samping bukanlah (12, 5, 3). Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut Solusi dari SPLDV tersebut adalah (2000, 5000). Harga satu ikat bayam adalah Rp ,- dan harga satu kotak tahu adalah Rp ,-. Solusi dari SPLTV di samping adalah (10, 6, 4). Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut adalah 10 tahun, 6 tahun, dan 4 tahun. 13

14 Dara. Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut adalah...,..., dan... tahun. bukanlah 12 tahun, 5 tahun, dan 3 tahun. 1. Mengapa pasangan berurutan (2500, 3500), (1000, 7000) bukanlah solusi dan (2000, 5000) ialah solusi dari SPL 1 pada tabel 3 di atas? Pasangan berurutan (2500, 3500) dan (1000, 7000) bukanlah solusi dari SPL 1 karena tidak memenuhi semua persamaan linear dari SPLDV ketika disubtitusikan nilainya ke persamaan. Pasangan berurutan (2000, 5000) adalah solusi dari SPL 1 karena memenuhi semua persamaan linear dari SPLDV ketika disubtitusikan nilainya ke persamaan. 2. Jelaskan pengertian solusi SPLDV dengan melengkapi kalimat di bawah ini. Solusi SPLDV adalah nilai x, y yang memenuhi seluruh persamaan linear dari SPLDV. Solusi dari SPLDV dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan x dan y yaitu (x, y) atau juga dapat dinyatakan dengan himpunan penyelesaian, HP = {(x, y)}. 3. Mengapa pasangan berurutan (10, 5, 3) dan (12, 5, 3) bukanlah solusi dari SPL 2 pada tabel 3 di atas? Pasangan berurutan (10, 5, 3) dan (12, 5, 3) bukanlah solusi dari SPL 2 karena tidak memenuhi semua persamaan linear dari SPLTV ketika disubtitusikan nilainya ke persamaan. 4. Jelaskan pengertian solusi SPLTV dengan melengkapi kalimat di bawah ini. Solusi SPLTV adalah nilai x, y, z yang memenuhi seluruh persamaan linear dari SPLTV. Solusi dari SPLTV dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan x, y, z yaitu (x, y, z) atau juga dapat dinyatakan dengan himpunan penyelesaian, HP = {(x, y, z)}. 5. Buatlah grafik dari SPLDV pada tabel di atas, lalu tentukan posisi (2500, 3500), (1000, 7000) dan (1000, 5000). (Buatlah grafik dengan mencari titik potong persamaan dengan sumbu x dan y) 14

15 6. Berdasarkan grafik SPLDV yang kamu buat, dimanakah letak solusi SPLDV dan bukan solusi SPLDV tersebut? Solusi SPLDV terletak pada kedua garis pembentuk SPLDV, sedangkan bukan solusi SPLDV terletak hanya di salah satu garis pembentuk SPLDV maupun tidak di kedua garis SPLDV. 15

16 3. Menemukan Jenis SPLDV Berdasarkan Konstanta dan Solusinya MENEMUKAN JENIS SPLDV BERDASARKAN KONSTANTANYA Perhatikan Tabel 4 di bawah ini dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. (SEPARATION: Membuat salah satu komponen tetap yakni koefisien variabel dan membuat komponen lain bervariasi yakni konstanta persamaan) Tabel 4 SPLDV Homogen dan Non-Homogen No SPLDV Homogen SPLDV Non-Homogen = = 0 Aktivitas = = = = 0 3 = = = = 0 = + 3 = Berdasarkan tabel di atas, apakah SPLDV Homogen? SPLDV Homogen adalah salah satu jenis SPLDV yang semua konstanta persamaannya bernilai 0 secara bersamaan. 2. Tentukan bentuk umum SPLDV Homogen berdasarkan pengertian SPLDV yang kamu buat pada nomor sebelumnya. + = 0 + = 0 dimana x, y : variabel a, c : koefisien dari x b, d : koefisien dari y 3. Berdasarkan tabel di atas, apakah SPLDV Non-Homogen? SPLDV Homogen adalah salah satu jenis SPLDV yang semua konstanta persamaannya tidak bernilai 0 secara bersamaan. 16

17 4. Bentuk umum dari SPLDV Non-Homogen adalah + = + = dimana x, y : variabel a, c : koefisien dari x b, d : koefisien dari y e,f : konstanta persamaan dengan nilai tidak sama dengan 0 secara bersamaan. SOLUSI SPLDV HOMOGEN Perhatikan Tabel 5 berikut dan jawablah pertanyaan di bawah ini. (FUSION: Menggabungkan dua aspek kritis, yakni jenis SPLDV berdasarkan konstantanya dan konsep solusi) Tabel 5 Solusi SPLDV Homogen No SPLDV Bersolusi Trivial SPLDV Bersolusi Non-Trivial = = 0 Solusi SPLDV adalah (0, 0). 2 = 3 4 = Solusi SPLDV adalah (0, 0) = = Solusi SPLDV adalah (0, 0). Aktivitas = = 0 Solusi SPLDV adalah (0, 0), (2, 1), (-1, 1/2 ), dsb. = 3 = 3 Solusi SPLDV adalah (0, 0), (1, -3), (-2, 6), dsb. 1 2 = = Solusi SPLDV adalah (0, 0), (3, -2), (-3, 2), dsb. 1. Berdasarkan tabel di atas, apakah yang dimaksud SPLDV Homogen bersolusi trivial? SPLDV Homogen bersolusi trivial solusinya hanyalah (0,0). adalah SPLDV Homogen yang 17

18 2. Berdasarkan tabel di atas, apakah yang dimaksud SPLDV Homogen bersolusi nontrivial? SPLDV Homogen bersolusi non-trivial solusinya banyak. + = 0 3. Jika terdapat SPLDV + = 0 dengan a 1,a 2,b 1,b 2 adalah koefisien dari variabel x,y, kapankah solusi SPLDV tersebut trivial? SPLDV Homogen tersebut akan bersolusi trivial jika. adalah SPLDV Homogen yang + = 0 4. Jika terdapat SPLDV + = 0 dengan a 1,a 2,b 1,b 2 adalah koefisien dari variabel x,y, kapankah solusi SPLDV tersebut non-trivial? SPLDV Homogen tersebut akan bersolusi non-trivial jika =. GRAFIK SPLDV HOMOGEN (GENERALIZATION : Membawa Representasi Grafik) Perhatikan Tabel 5 pada bagian sebelumnnya. Buatlah grafik dua SPLDV bersolusi trivial dan dua SPLDV bersolusi non-trivial dari Tabel 5.(Petunjuk: buatlah grafik persamaan dengan menentukan dua titik dari masing-masing persamaan) No Grafik SPLDV Bersolusi Trivial Grafik SPLDV Bersolusi Non-Trivial 1 18

19 2 1. Berdasarkan grafik pada tabel 5 di atas, kapankah sebuah SPLDV Homogen akan memiliki solusi trivial? (Hubungkan dengan gradien) SPLDV Homogen akan memiliki solusi trivial jika gradien kedua garis pembentuk SPLDV tidak sama. 2. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Homogen akan memiliki solusi non-trivial? (Hubungkan dengan gradien) SPLDV Homogen akan memiliki solusi non-trivial jika gradien kedua garis pembentuk SPLDV sama, sehingga kedua garis berhimpit. SOLUSI SPLDV NON-HOMOGEN (FUSION: Menggabungkan dua aspek kritis, yakni jenis SPLDV berdasarkan konstantanya dan konsep solusi) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 7, 8, dan 9 pada Tes Pemahaman Awal berdasarkan konsep koefisien dan konstanta SPLDV dengan tepat. Perhatikan tabel jenis SPLDV Homogen berikut dan isilah titik-titik di bawah ini. Tabel 6 Solusi SPLDV Non-Homogen No SPLDV Bersolusi Tunggal = = = = 7 3 = = 5 11 SPLDV Bersolusi Banyak = = = = 18 = = SPLDV Tidak Memiliki Solusi = = = = 4 = =

20 + = 1. Jika terdapat SPLDV dengan a + = 1,a 2,b 1,b 2 adalah koefisien dari variabel x,y dan c 1,c 2 adalah konstanta persamaan, kapankah solusi SPLDV tersebut tunggal? SPLDV tersebut akan bersolusi tunggal jika. + = 2. Jika terdapat SPLDV dengan a + = 1,a 2,b 1,b 2 adalah koefisien dari variabel x,y dan c 1,c 2 adalah konstanta persamaan, kapankah SPLDV tersebut memiliki solusi banyak? SPLDV tersebut akan bersolusi banyak jika = =. + = 3. Jika terdapat SPLDV dengan a + = 1,a 2,b 1,b 2 adalah koefisien dari variabel x,y dan c 1,c 2 adalah konstanta persamaan, kapankah SPLDV tersebut tidak memiliki solusi? SPLDV tersebut tidak memiliki solusi jika =. GRAFIK SPLDV NON-HOMOGEN (GENERALIZATION: Membawa Representasi Grafik) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 7, 8, dan 9 pada Tes Pemahaman Awal berdasarkan grafik SPLDV dengan tepat Perhatikan Tabel 6 pada bagian sebelumnya. Buatlah grafik masing-masing satu SPLDV bersolusi tunggal, banyak, dan tidak memiliki solusi dari Tabel 6.(Petunjuk: buatlah grafik persamaan dengan menentukan dua titik potong pada sumbu x dan y dari masing-masing persamaan) 1 Grafik SPLDV Bersolusi Tunggal 20

21 2 Grafik SPLDV Bersolusi Banyak 3 Grafik SPLDV Tidak Memiliki Solusi 1. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi tunggal? SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi tunggal jika garis pembentuk SPLDV berpotongan di satu titik. 2. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi banyak? SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi banyak jika garis pembentuk SPLDV berhimpit. 21

22 3. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen tidak memiliki solusi? SPLDV Non-Homogen tidak memiliki solusi jika garis pembentuk SPLDV sejajar. Latihan Soal Selesaikan persoalan-persoalan berikut sesuai dengan petunjuk pada setiap nomor. 1. Identifikasi sistem persamaan berikut dengan membubuhi tanda ( ) Sistem Persamaan Bukan SPLDV SPLTV Alasan SPL = 2 = SPL tersebut dapat dinyatakan sebagai x+ 0y = 2 0x + y = SPL mengandung sebuah + = 2 persamaan tidak linear, yaitu + = 4 + = 2 atau = = 2 3 = 11 2 = 0 + = 0 2 = 0 + = SPL tersebut terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel SPL tersebut terdiri dari dua persamaan linear dengan tiga variabel SPL mengandung sebuah persamaan tidak linear, yaitu + y = 2 atau = Tentukan nilai a sehingga sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian tak trivial. ( 3) + = 0 + ( 3) = 0. 22

23 Agar sistem persamaan memiliki solusi tak trivial, maka gradien dari persamaan linear pembentuk sistem haruslah sama, =. Sehingga = ( 3)= 1 ( 3) ( 3)( 3)= = 0 = 4 = 2. Maka, nilai a haruslah 2 atau 4 untuk memperoleh sebuah sistem persamaan dengan solusi tak trivial. 3. Buatlah sebuah sistem persamaan linear yang memiliki banyak solusi jika salah satu persamaannya adalah = Jelaskan. Sistem persamaan linear akan memiliki banyak solusi jika = = dengan a, b, d, e adalah koefisien dari variabel x,y dan c,f adalah konstanta persamaan dari. Sehingga untuk membuat sebuah sistem persamaan linear yang memiliki banyak solusi jika salah satu persamaannya adalah = dibutuhkan persamaan lain yaitu = 5 + 4, dimana m adalah konstanta. 4. Buatlah model matematika dari persamaan berikut dan tentukan jenis solusinya tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dahulu. Seorang desainer ingin mencetak hasil desainnya dengan dua jenis kertas, kertas reguler dan mengkilat. Dia pergi ke percetakan dan menemukan dua jenis paket untuk mencetak pada kertas reguler dan mengkilat. Setiap paket menawarkan jumlah pencetakan yang berbeda untuk setiap jenis kertasnya. (Lihat tabel) Harga Reguler Mengkilat Rp , Rp ,

24 Misalkan harga sebuah pencetakan dengan kertas reguler adalah x dan harga sebuah pencetakan dengan kertas mengkilat, maka model matematika dari persoalan di atas adalah = = Dari model di atas kita dapat menemukan bahwa = Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa SPLDV di atas tidak memiliki solusi. Dengan kata lain, kita tidak dapat menentukan harga sebuah pencetakan dengan kertas reguler maupun sebuah pencetakan dengan kertas mengkilat

25 Rangkuman Apa yang telah kamu pelajari? Isilah titik-titik di bawah ini untuk merangkum hal yang telah kamu pelajari melalui LKS ini. 1. Sebuah persamaan dikatakan sebagai PLDV apabila Secara umum, SPLDV adalah Secara umum, SPLTV adalah Solusi dari SPLDV adalah Solusi dari SPLTV adalah Jenis SPLDV berdasarkan konstanta persamaannya terbagi menjadi 2 jenis, yakni... SPLDV... adalah sedangkan SPLDV... adalah SPLDV... akan bersolusi trivial jika... dan akan bersolusi non-trivial jika SPLDV... akan memiliki banyak solusi jika..., akan memiliki solusi tunggal jika..., dan tidak memiliki solusi jika... 25

26 LEMBAR KEGIATAN SISWA MENEMUKAN SOLUSI SPL DENGAN BERBAGAI METODE Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 2 ini, kamu akan dapat: Menemukan Solusi dari SPLDV dan SPLTV dengan Eliminasi, Subtitusi, dan Determinan Menyajikan serta Menyelesaikan Permasalahan Sehari-hari tentang SPLDV dan SPLTV Pengantar Gambar 2 1 Dayung Sampan Dengan mempelajari tentang Sistem Persamaan Linear (SPL) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari, salah satunya masalah tentang kecepatan dayung sampan. Pada LKS 1, kita sudah dapat menggunakan salah satu cara menyelesaikan SPLDV, yakni dengan menggambar grafik. Solusi SPLDV merupakan titik potong dari garis-garis pembentuk sistem persamaan linear. Namun demikian, metode ini tidaklah efektif untuk menyelesaikan SPLDV tertentu. Selain itu, kita juga akan kesulitan untuk membuat grafik SPLTV untuk menentukan titik potongnya. Hal inilah yang mendasari kita untuk mempelajari metode lain untuk menyelesaikan SPLDV maupun SPLTV melalui LKS ini. 26

27 2. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Eliminasi Aktivitas 1.1 MENEMUKAN KONSEP ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (CONTRAST: Membandingkan Metode Eliminasi dan Bukan Metode Eliminasi) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Gambar 2 2 Souvenir Limbah Plastik 1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas? Maya ingin membuat dua jenis souvenir dari limbah plastik untuk dijual pada pekan kewirausahaan, yakni tempat pensil dan tas laptop. Maya pernah bekerja selama tiga jam dan berhasil membuat dua tempat pensil dan satu tas laptop. Pada waktu yang lain, Maya juga pernah bekerja selama 4 ½ jam dan berhasil membuat dua tempat pensil dan dua tas laptop. Misalkan waktu membuat tempat pensil adalah x, waktu membuat tas laptop adalah y, maka model dari persoalan dapat dinyatakan sebagai berikut. 2 + = = 4,5 2. Buatlah grafik dari persoalan di atas. 27

28 3. Dapatkah kamu menggunakan metode grafik untuk mengetahui waktu yang diperlukan untuk membuat tempat pensil maupun tas laptop dengan tepat? Jelaskan. Tidak, karena perkiraan solusi dari SPLDV tersebut adalah pecahan. Sehingga kita akan kesulitan menentukan letak solusi dengan tepat. 4. Aldi ingin membantu Maya untuk menentukan waktu pembuatan sebuah tas laptop. Dia mengatakan, Jika dua tempat pensil beserta satu tas laptop membutuhkan 3 jam untuk dibuat dan dua tempat pensil beserta dua tas laptop membutuhkan 4 ½ jam untuk dibuat, maka waktu pembuatan sebuah tas laptop adalah 4 ½ dikurang 3, yakni 1 ½ jam. Apakah jawaban Andi benar? Jelaskan. Jawaban Aldi benar karena perbedaan persamaan pertama dan kedua hanyalah terletak pada jumlah tas laptop yang dibuat, yakni hanya selisih satu buah. Sehingga cara berpikir Aldi tersebut adalah benar. 5. Jika jawaban Aldi benar, cobalah kaitkan metode yang Aldi gunakan untuk menentukan waktu pembuatan sebuah tas laptop dengan operasi matematika untuk menemukan sebuah metode baru dalam menyelesaikan SPLDV, lalu carilah waktu yang dibutuhkan Maya untuk membuat tempat pensil = 4,5 2 + = 3 = 1,5 _ Jika = 1,5, maka 2 + 2(1,5)= 4,5 2 = 1,5 = 0,75. Sehingga waktu yang dibutuhkan untuk membuat sebuah tempat pensil adalah 0,75 jam, waktu yang dibutuhkan untuk membuat sebuah tas laptop adalah 1,5 jam. 6. Cek kebenaran solusi yang kamu temukan. Solusi dari persoalan di atas adalah (0,75, 1,5). Selanjutnya ganti nilai variabel untuk mengecek kebenaran solusi. Jika (0,75,1,5), maka 2(0,75)+ 2(1,5)= 4,5. (benar) Jika (0,75,1,5), maka 2(0,75)+ (1,5)= 3. (benar) Sehingga dapat disimpulkan bahwa solusi yang ditemukan adalah benar. 7. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode eliminasi. Jelaskan pengertian metode eliminasi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu pada nomor-nomor sebelumnya. Metode eliminasi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPL dengan menghilangkan salah satu variabel guna memperoleh nilai dari variabel 28

29 Aktivitas 1.2 MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN A) (SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel dari elemen lainnya) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Selama perlombaan dayung sampan, seorang peserta mendayung sampan sejauh 1,2 kilometer melawan arus selama 3 jam dan 1,2 kilometer mengikuti arus selama 2 jam. (Lihat ilustrasi di bawah ini). Jika kecepatan arus dianggap konstan, tentukan kecepatan rata-rata sampan ketika di air dan kecepatan arus air. Petunjuk: jarak tempuh (d) sama dengan kecepatan (r) dikali waktu tempuh (t), =. Gambar 2 3 Dayung Sampan 1. Gunakan persamaan berikut untuk membuat model matematika dari persoalan di atas dengan memisalkan x sebagai kecepatan rata-rata sampan dan y sebagai kecepatan arus air. Saat Melawan Arus : Kecepatan rata-rata sampan Kecepatan arus = Kecepatan kayak saat melawan arus Saat Mengikuti Arus : Kecepatan rata-rata sampan + Kecepatan arus = Kecepatan kayak saat mengikuti arus Misalkan x adalah kecepatan rata-rata sampan dan y adalah kecepatan arus. Saat Melawan Arus = 1,2 = 3 = 0,4 Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menemukan kecepatan kayak saat melawan arus adalah 0,4, sehingga model matematika dari kondisi saat kayak melawan arus adalah = 0,4. Saat Mengikuti Arus = 1,2 = 2 = 0,6 Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menemukan kecepatan kayak saat melawan arus adalah 0,6, sehingga model matematika dari kondisi saat kayak melawan arus adalah + = 0,6. 29

30 2. Selesaikan model dari persoalan di atas dengan dua cara pada kolom berikut. (jika memungkinkan) Mengeliminasi x terlebih dahulu Mengeliminasi y terlebih dahulu = 0,4 = 0,4 + = 0,6 _ + = 0,6 + 2 = 0,2 = 0,1 2 = 1,0 = 0,5 = 0,1 = 0,4 + 0,1 = 0,5 = 0,5 = 0,6 0,5 = 0,1 Maka kecepatan rata-rata sampan Maka kecepatan rata-rata sampan adalah 0,5 dan kecepatan arus adalah 0,1. adalah 0,5 dan kecepatan arus adalah 0,1. Kita dapat mengeliminasi x terlebih dahulu dengan operasi pengurangan, sedangkan kita dapat mengeliminasi y terlebih dahulu dengan operasi Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan jenis operasi yang digunakan untuk mengeliminasi salah satu variabel secara langsung. a = = 5 b. 3 5 = = 2 c = 7 = 11 d. 5 4 = 12 5 = 7 a. Gunakan operasi penjumlahan untuk mengeliminasi y terlebih dahulu. b. Gunakan operasi pengurangan untuk mengeliminasi y terlebih dahulu. c. Gunakan operasi penjumlahan untuk mengeliminasi m terlebih dahulu. d. Gunakan operasi pengurangan untuk mengeliminasi m terlebih dahulu. 4. Berdasarkan jawaban pada nomor-nomor sebelumnya, sebutkan operasi yang dapat digunakan pada metode eliminasi. Operasi yang dapat digunakan adalah operasi penjumlahan dan pengurangan. 5. Apa yang perlu diperhatikan untuk memilih operasi dalam mengeliminasi suatu variabel? Hal yang perlu diperhatikan adalah koefisien dari variabel SPLDV. 30

31 MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN B) (SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dari elemen lainnya) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan eliminasi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan SPLDV berikut, lalu jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini = = Selesaikan SPLDV di atas dengan mengeliminasi variabel y terlebih dahulu. Gunakan operasi penjumlahan atau pengurangan untuk melakukannya. Langkah 1 Langkah = = = = = = 42 = 3 Langkah 2 Langkah = 16 = 3 5(3)+ 6 = 3 2 = = = 29 = 2 2. Operasi apa yang kamu gunakan untuk menyelesaikan SPLDV di atas? Operasi penjumlahan berulang sebanyak 3 kali. 3. Dapatkah kamu memandang operasi yang kamu gunakan sebelumnya sebagai operasi lain yang lebih sederhana? Kita dapat memandang operasi penjumlahan berulang sebanyak 3 kali sebagai perkalian dengan Selesaikan kembali SPLDV dengan operasi yang baru saja kamu temukan = = = = = 42 = 3 = 3 5(3)+ 6 = 3 = 2 Sehingga solusi dari SPLDV adalah (3,-2). 31

32 MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN C) (FUSION: Memperhatikan semua elemen SPLDV karena nilai koefisien x saling prima dan nilai koefisien y juga saling prima) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan eliminasi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan SPLDV berikut dan tentukan solusinya dengan eliminasi = = 13 (Petunjuk: gunakan operasi perkalian terlebih dahulu untuk mengeliminasi salah satu variabel) = = = = 39 _ 17 = 51 = 3 = ( 3)= 6 = 2. Sehingga solusi dari SPLDV adalah (2, -3). Aktivitas 1.3 MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 12 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini. Langkah pertama = = = 10 ( ) ( ) ( ) : Eliminasi variabel z terlebih dahulu dari SPLTV Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan (i) dan (ii). Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan (i) dan (ii) dengan persamaan (iv). 32

33 Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan (ii) dan (iii). Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan (ii) dan (iii) dengan persamaan (v). Langkah ke-2 nilai x : Eliminasi variabel y dari SPLDV (iv) dan (v) untuk menemukan Langkah ke-3 diketahui : Temukan nilai dari y dan z menggunakan nilai x yang telah 4. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Subtitusi MENEMUKAN KONSEP SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (CONTRAST: Membandingkan Metode Subtitusi dengan Tingkatan Berbeda) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Persoalan SPLDV 1 Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan. Persoalan SPLDV 2 Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan. Jika pembilang dan penyebut kedua-duanya ditambah 1, maka pecahan itu akan sama dengan. Aktivitas

34 1. Tentukan nilai penyebut dari pecahan pada persoalan SPLDV 1 saat diketahui pembilangnya bernilai 2. Misalkan pembilang pecahan adalah x dan penyebut pecahan adalah y, maka model matematika dari persoalan SPLDV 1 adalah =. Jika y=2, maka kita tinggal mengganti nilai y dengan 2 untuk memperoleh nilai x, sehingga = + 5 =. 2. Buatlah model matematika dan tentukan nilai pecahan pada SPLDV 2 menggunakan metode yang sama dengan metode yang kamu terapkan saat menyelesaikan SPLDV 1. (Petunjuk: buatlah model matematika pada SPLDV 2 serupa dengan model matematika SPLDV 1) Misalkan pembilang pecahan adalah x dan penyebut pecahan adalah y, maka model matematika dari persoalan SPLDV 2 adalah: 5 5 = = 5 = = = = 1 Dengan menggunakan metode yang sama saat menyelesaikan persoalan SPLDV 1, kita dapat mensubtitusikan nilai y dari persamaan pertama ke persamaan kedua. = (2 5)= = 1 = 11. = 11 = 2(11) 5 = 17. Sehingga nilai pecahannya adalah. 3. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode subtitusi. Jelaskan pengertian metode subtitusi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu pada nomor-nomor sebelumnya. Metode subtitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPL dengan mengganti nilai salah satu variabel ke nilai variabel yang lain guna menemukan nilai dari variabel lain tersebut. 34

35 Aktivitas 2.2 MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN A) (SEPARATION: Memisahkan variabel tertentu dari aspek lainnya) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Dua kali umur Damar ditambah umur Mayang adalah 27, sedangkan empat kali umur Damar dikurang lima kali umur Mayang adalah 5. Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, tentukan umur keduanya. 1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas? 2. Selesaikan model matematika dari persoalan di atas dengan dua cara (jika memungkinkan) pada kolom berikut. Mensubtitusikan variabel yang mengandung x dahulu Jika 2 + = 27 2 = 27, maka 4 5 = 5 2((2 )) 5 = 5 2((27 )) 5 = = 5 7 = 49 = 7. Sehingga = = 27 = 10. Maka umur Damar adalah 10 tahun dan umur Mayang adalah 7 tahun. Mensubtitusikan variabel yang mengandung y dahulu Jika 2 + = 27 = 27 2, maka 4 5 = 5 4 5(27 2 )= = 5 14 = 140 = 10 Sehingga = 10 2(10)+ = 27 = 7. Maka umur Damar adalah 10 tahun dan umur Mayang adalah 7 tahun. 3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan variabel yang efektif disubtitusikan terlebih dahulu = 10 a. c. 4 8 = = = 3 b. Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, maka sistem persamaan linear dari persoalan di atas adalah 2 + = = = = 5 d = = 9 Poin a: subtitusikan 4 ke salah satu persamaan untuk mencari x. Poin b: subtitusikan ke persamaan pertama untuk mencari y. Poin c: subtitusikan 4 ke persamaan pertama untuk mencari n. Poin d: subtitusikan 3 ke persamaan kedua untuk mencari n. 35

36 4. Secara umum, apa yang perlu diperhatikan untuk memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu? Kita dapat memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu dengan memperhatikan koefisien dari setiap variabel dan memilih variabel yang koefisiennya saling berkelipatan untuk mempermudah perhitungan. MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN B) (FUSION: Memperhatikan semua elemen SPLDV karena nilai koefisien x saling prima dan nilai koefisien y juga saling prima) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan subtitusi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Selesaikanlah SPLDV berikut dengan metode subtitusi = = 12 Jika 3 12 = 9 = = 4 + 3, maka = 12 7(4 + 3)+ 5 = = = 33 = 1. Jika = 1,maka = 4( 1)+ 3 = 1. Sehingga solusi dari SPLDV adalah (-1,-1). Aktivitas 2.3 MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 12 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini. Langkah pertama lainnya = = = 10 ( ) ( ) ( ) : Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan 36

37 Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan (ii) dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan (iv). Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan (iii) dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan (v). Langkah ke-2 : Selesaikan SPLDV dari persamaan (iv) dan (v) untuk menemukan nilai x dan y dengan subtitusi Langkah ke-3 : Temukan nilai dari z dengan nilai x dan y yang telah diketahui 37

38 Latihan Soal Selesaikanlah persoalan-persoalan berikut. 1. Selesaikan sistem persamaan di bawah ini. a. 4 = = 4 b. + = = 2 6 c. 2( )+ 3 2 = 3 = 3 = Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis = 0 dan 5 3 = 0 serta tegak lurus dengan garis = 0. 38

39 3. Jika tiga garis lurus: = 0; = 0; = 0 melalui sebuah titik yang sama, tentukan nilai a. 4. Tentukan solusi dari (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan berikut dan tentukan nilai dari ( + ):. 2 = 2 = = 23 39

40 5. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Determinan (Aturan Cramer) MENEMUKAN KONSEP DETERMINAN MATRIKS 2x2 DIKAITKAN DENGAN SPLDV (SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dan konstanta persamaan dari aspek lainnya) Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. Perhatikan matriks di atas dan Tabel 1. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLDV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. = Tabel 7 Determinan dan SPLDV SPLDV Determinan (D) Determinan X (D x ) Determinan Y (D y ) 4 5 = = 14 = = = 43 Aktivitas = 14 7 = = 140 = = = = = 10 = = = 0 = = =72 = = =48 + = = 6 = = = 0 = = 6 6 = 0 = = 6 6 = 0 1. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum + =, tentukan D. + = = = 2. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk + = umum + =, tentukan. 40

41 = = ce-bf, dengan kata lain untuk mencari nilai D x kita harus mengganti nilai koefisien x pada D dengan konstanta persamaan. 3. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum + = + =, tentukan. MENGAITKAN SOLUSI DARI BENTUK UMUM SPLDV DENGAN DETERMINAN MATRIKS (GENERALIZATION: Merepresentasikan solusi bentuk umum SPLDV dalam bentuk matriks) Perhatikan bentuk umum dari SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. SPLDV bentuk umum = = af-cd, dengan kata lain untuk mencari nilai D y kita harus mengganti nilai koefisien y pada D dengan konstanta persamaan. + = + =, dengan a 1,a 2,b 1,b 2 adalah koefisien variabel x,y dan c 1,c 2 adalah konstanta persamaan. 1. Selesaikan SPLDV di atas menggunakan metode eliminasi atau subtitusi pada kolom di bawah ini. Langkah 1. Langkah 2. + = + = + = + = _ = ( + )( )= ( )( 1) = + = + = + = + = = = Sehingga solusi dari SPLDV di atas adalah (, ) 2. Nyatakan solusi dari SPLDV di atas dalam bentuk untuk mmatriks untuk menemukan sebuah aturan dalam mencari solusi SPLDV yang disebut aturan Cramer. 41

42 = = = = dan = = Aktivitas 3.2 MENEMUKAN KONSEP DETERMINAN MATRIKS 3x3 DIKAITKAN DENGAN SPLTV (SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dan konstanta persamaan dari aspek lainnya) Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. = Perhatikan matriks di atas dan Tabel 2. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLTV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 8 SPLTV dan Determinan SPLTV + = + = + = + = + = = Determinan (D) = = Determinan x (D x ) = = Determinan y (D y ) = =

43 Determinan z (D z ) = = Jika SPLTV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk + + = umum + + =, tentukan D. + + = =. 2. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum + + = + + =, tentukan. + + = = h.dengan kata lain untuk mencari nilai D y kita harus mengganti nilai koefisien y pada D dengan konstanta persamaan. 3. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk + + = umum + + =, tentukan. + + = = h.dengan kata lain untuk mencari nilai D y kita harus mengganti nilai koefisien y pada D dengan konstanta persamaan. 4. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk + + = umum + + =, tentukan. + + = = h.dengan kata lain untuk mencari nilai D z kita harus mengganti nilai koefisien z pada D dengan konstanta persamaan. 43

44 MENGAITKAN SOLUSI DARI BENTUK UMUM SPLTV DENGAN DETERMINAN MATRIKS (GENERALIZATION: Merepresentasikan solusi bentuk umum SPLTV dalam bentuk matriks) Perhatikan bentuk umum dari SPLTV berikut dan isilah titik-titik di bawah ini. Bentuk umum SPLTV + + = + + = + + = dengan,,,,,,,, adalah koefisien variabel x,y,z dan,, adalah konstanta persamaan. 1. Nilai z dari SPLTV di atas adalah ( ) ( ) ( ) ( ) bentuk matriks.,. Nyatakan nilai z dalam h = = 2. Prediksi nilai variabel x dan y berdasarkan aturan yang kamu temukan pada nomor 1. = h = = h =, 44

45 Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan determinan = = 39 Latihan Soal 2. + = 2 = = = = 9 Buatlah model matematika dari persoalan berikut dan selesaikan menggunakan metode yang telah kamu pelajari, baik menggunakan subtitusi, eliminasi, ataupun determinan (aturan Cramer). 1. Angga anak Pak Purwoko memiliki setumpuk kartu. Keseluruhan kartu dapat dipilah menjadi dua bagian menurut bentuknya. Satu jenis berbentuk persegi yang di dalamnya terdapat gambar seekor kerbau dan empat ekor burung. Satu 45

46 jenis lagi berbentuk segitiga yang di dalamnya terdapat gambar seekor kerbau dan dua ekor burung. Lihat gambar berikut. Gambar 2 4 Kartu Persegi dan Segitiga Berapa banyak kartu persegi dan segitiga yang harus diambil dari tumpukan kartu agar jumlah gambar kerbau 33 dan jumlah gambar burung Sebuah perahu yang bergerak searah arus sungai dapat menempuh jarak 46 km dalam 2 jam. Jika perahu tersebut bergerak berlawanan dengan arah arus sungai dapat menempuh jarak 51 km dalam 3 jam. Berapa kecepatan perahu dan kecepatan aliran air sungai? 3. Setiap simbol pada gambar di bawah ini mewakili sebuah bilangan. Jumlah bilangan pada setiap baris terdapat di kolom kanan dan jumlah bilangan setiap kolom terdapat di baris bawah. Tentukan bilangan pengganti simbol-simbol. 46

47 Gambar 2 5 Simbol yang Mewakili Bilangan 47

48 Rangkuman Apa yang telah kamu pelajari? Isilah titik-titik di bawah ini untuk merangkum hal yang telah kamu pelajari melalui LKS ini. 9. Metode eliminasi dalam menyelesaikan SPL adalah Metode subtitusi dalam menyelesaikan SPL adalah Metode determinan (aturan Cramer) dalam menyelesaikan SPL adalah......, dengan aturan sebagai berikut. = = dan = = untuk mencari solusi SPLDV. Sedangkan aturan untuk mencari solusi SPLTV adalah = =, = =, = =. 48

49 LEMBAR KEGIATAN SISWA SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 3 ini, kamu akan dapat: Menemukan Konsep SPtLDV Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV Menyajikan dan Menyelesaikan Persoalan Sehari-hari tentang SPtLDV Pengantar Gambar 3 1 Perumahan Dengan mempelajari tentang Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari. Permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan mempelajari topik ini adalah menyangkut permasalahan sistem linear dengan syarat-syarat tertentu. Salah satunya adalah masalah tentang pembangunan perumahan dengan keterbatasan lahan dan sumber daya. Untuk mengetahui hal ini lebih lanjut, lakukanlah kegiatan pada LKS ini. 49

50 1. Menemukan Konsep SPtLDV Aktivitas 1.1 MENEMUKAN KONSEP PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV) (CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh PtLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 13 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan dan lengkapi tabel 1, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 9 Contoh dan Bukan Contoh PtLDV No Contoh PtLDV Contoh PLDV 1 Keliling bingkai lukisan berbentuk persegi panjang bukanlah 80 cm. Keliling bingkai lukisan berbentuk persegi panjang adalah 80 cm. Gambar 3 2 Lukisan 1 Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika Lama perjalanan udara dari kota A ke kota B ditambah perjalanan darat menuju kota C adalah paling lama 5 jam perjalanan. Misalkan lama perjalanan udara dari A ke B adalah x dan lama perjalanan darat dari B ke C adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika + 5 Gambar 3 3 Lukisan 2 Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika = 80 Lama perjalanan udara dari kota A ke kota B ditambah perjalanan darat menuju kota C adalah 5 jam perjalanan. Misalkan lama perjalanan udara dari A ke B adalah x dan lama perjalanan darat dari B ke C adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika

51 3 Paman harus mengeluarkan uang minimal Rp ,- setiap bulannya untuk dua kali penyuntikan sapi dan satu kali penyuntikan kambing di peternakannya agar terhindar dari penyakit menular. Misalkan jumlah sapi adalah x dan jumlah kambing adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika Paman harus mengeluarkan uang sebesar Rp ,- setiap bulannya untuk dua kali penyuntikan sapi dan satu kali penyuntikan kambing di peternakannya agar terhindar dari penyakit menular. Misalkan jumlah sapi adalah x dan jumlah kambing adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika 2 + = Secara umum berdasarkan pengamatan pada contoh dan bukan contoh PtLDV pada tabel 1, apakah yang membedakan PLDV dan PtLDV? Yang membedakan PLDV dan PtLDV adalah tanda pada model matematikanya. 2. Jelaskan mengenai pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) adalah pertidaksamaan linear yang memiliki dua variabel dengan kemungkinan tandanya antara lain >,<,,. MENEMUKAN SOLUSI (PENYELESAIAN) PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV) (GENERALIZATION: Membawa Representasi Grafik dari Solusi PtLDV) Perhatikan persoalan berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Rita membawa apel dan pir untuk acara di sekolah dengan total berat keduanya kurang dari 12 kg. Berapakah kemungkinan berat buah yang Rita bawa untuk masing-masing jenisnya? 1. Misalkan berat apel adalah x dan berat pir adalah y, buatlah model matematika dari persoalan di atas. Model matematika dari persoalan di atas adalah + < Isilah tabel berikut dengan mengganti nilai variabel-variabel dari pertidaksamaan yang kamu temukan. Apel (x) Pir (y) Nyatakan kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat pir sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi model matematika yang kamu buat. 51

52 {(1,10); (2,8); (3,6); (4,4); (5,2); (6,0); }. 4. Gambarlah setiap pasangan variabel x,y dari tabel berat buah sebagai sebuah titik pada bidang koordinat kartesius di bawah ini. Selain itu, gambarlah garis dari sebuah persamaan yang diperoleh dengan mengubah pertidaksamaan yang kamu temukan sebelumnya menjadi persamaan. 5. Buatlah kesimpulan mengenai PtLDV berdasarkan grafik yang kamu buat. Letak solusi (penyelesaian) dari pertidaksamaan ditinjau dari letak garis adalah di bawah garis + = 12. Solusi (penyelesaian) dari pertidaksamaan di atas berupa daerah yang dibatasi garis + = 12.(Arsirlah daerah bukan penyelesaian sehingga daerah penyelesaian merupakan daerah bersih) 6. Apakah titik-titik pada garis termasuk solusi (penyelesaian) PtLDV? Jelaskan. Titik-titik pada garis bukan solusi SPtLDV karena tanda pertidaksamaannya adalah < yang tidak memuat sama dengan. 52

53 Aktivitas 1.2 MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) (CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh SPtLDV) Perhatikan tabel 1.2 mengenai Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 10 SPtLDV dan SPLDV SPtLDV < 6 10 > 6 < 1 6 SPLDV = 0 + = = 10 + = 6 = 10 = 6 = 1 = 6 1. Apakah perbedaan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dilihat dari model matematikanya? Perbedaan keduanya terletak pada tanda untuk komponen-komponennya. 2. Buatlah kesimpulan tentang Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) menggunakan kata-katamu sendiri. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah sistem yang komponennya terdiri dari pertidaksamaan linear dengan dua variabel. 53

54 6. Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV Aktivitas 2.1 MENENTUKAN DAERAH PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) I (GENERALIZATION: Membawa Representasi Grafik dari SPtLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 14 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan Persoalan Sehari-hari mengenai Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Seorang arsitek ingin membangun perumahan dengan dua tipe rumah, yakni tipe rumah modern minimalis dan tipe rumah tradisional jawa pada sebidang tanah dengan luas m 2. Untuk membangun rumah modern minimalis dibutuhkan tanah seluas 80 m 2 dan untuk membangun rumah tradisional jawa dibutuhkan tanah seluas 100 m 2. Arsitek tersebut berencana untuk membuat paling banyak 120 unit. Gambar 3 4 Rumah Modern Minimalis Gambar 3 5 Rumah Tradisional Jawa Bantulah arsitek menentukan banyaknya rumah bertipe modern minimalis dan rumah bertipe tradisional jawa yang dapat dibuat, serta gambarlah daerah penyelesaiannya. 1. Bagaimanakah model matematika dari persoalan di atas? Misalkan x adalah jumlah rumah modern minimalis dan y jumlah rumah tradisional Jawa, maka model matematikanya adalah atau , 0 0, 0 2. Gambarlah grafik berdasarkan model matematika yang telah kamu temukan sesuai dengan keterangan pada tabel di bawah ini. (Arsirlah daerah bukan penyelesaian) 54

55 Grafik Pertidaksamaan 1 Grafik Pertidaksamaan 2 Grafik Pertidaksamaan 3 Grafik SPtLDV 3. Buatlah kesimpulan mengenai kemungkinan jawaban dari persoalan berdasarkan grafik yang kamu buat. Kemungkinan jawaban yang dapat ditemukan terletak pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis = 500, dan garis + = 120. MENENTUKAN DAERAH PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) II (SEPARATION: Membuat salah satu komponen tetap yakni koefisien variabel serta konstanta pertidaksamaan dan membuat komponen lain bervariasi yakni tanda pertidaksamaan) Tentukan setiap daerah penyelesaian dari SPtLDV pada nomor 1 di bawah ini dan jawablah pertanyaan pada nomor lainnya berdasarkan pengamatan pada nomor Gambarlah daerah penyelesaian dari setiap sistem pertidaksamaan di bawah ini. 55

56 a. + < 2 3 = 6 b. + < 2 3 < 6 c

57 d e

58 f Aktivitas 2.2 MENENTUKAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) DARI LUKISAN DAERAH PENYELESAIANNYA (FUSION: Menggabungkan berbagai aspek kritis dari SPtLDV) Perhatikan grafik berikut dan tentukan SPtLDV dari grafik tersebut dengan menjawab pertanyaan pada setiap nomor di bawah ini. 58

59 1. Daerah bersih pada grafik di atas dibatasi oleh 3 garis, yaitu garis a, garis b, garis c, dan garis d. a. Bagaimanakah persamaan dari garis c yang melalui titik A dan B? Persamaan garis a adalah = 2 + = 0. b. Buatlah pertidaksamaan yang mewakili daerah di bawah garis c. Petunjuk: (i) Lihat daerah penyelesaian berada di bawah (-) atau di atas (+); (ii) Tinjau tanda di depan y pada bentuk umum + = ; (iii) Kalikan tanda pada poin i dan ii. Bila hasil kalinya positif, maka tanda pertidaksamaannya dan bila negatif, maka tanda pertidaksamaannya. Daerah penyelesaian ada di bawah berarti (-) dan tanda di depan y adalah (+), sehingga hasil kali kedua tanda adalah (-). Oleh karena itu, tanda pertidaksamaannya adalah dan pertidaksamaannya adalah c. Bagaimanakah persamaan dari garis a yang melalui titik B dan C? Persamaan garis b adalah = + = 9. d. Buatlah pertidaksamaan yang mewakili daerah di bawah garis a. Daerah penyelesaian ada di bawah berarti (-) dan tanda di depan y adalah (+), sehingga hasil kali kedua tanda adalah (-). Oleh karena itu, tanda pertidaksamaannya adalah dan pertidaksamaannya adalah + 9. e. Bagaimanakah persamaan dari garis b yang melalui titik C dan A? 59

60 Persamaan garis c adalah = 2 = 3. f. Buatlah pertidaksamaan yang mewakili daerah di atas garis b. Daerah penyelesaian ada di bawah berarti (+) dan tanda di depan y adalah (-), sehingga hasil kali kedua tanda adalah (-). Oleh karena itu, tanda pertidaksamaannya adalah dan pertidaksamaannya adalah Bagaimana Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) yang membentuk daerah bersih pada grafik di atas? (1) (2) + 9 (3) 2 3 (4) 0, 0 Latihan Soal Selesaikan persoalan-persoalan berikut sesuai dengan petunjuk pada setiap nomor. 1. Lukislah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. a. 0 5,1 6, b. 2, , 2 6,

61 c. 0 d. ( + )( + 2) 0 61

62 2. Buatlah sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya berbentuk persegi panjang jika diketahui titik sudut persegi panjang adalah (-3, 0), (-3, 2), (-6, 0), dan (-6, 2). SPtLDV yang terbentuk adalah

63 3. Misalkan kamu pergi ke sebuah pemancingan yang memiliki dua jenis ikan untuk dipancing, yaitu ikan nila dan gurameh. Pemancingan tersebut memiliki peraturan tertentu untuk setiap pengunjungnya, dimana kamu tidak boleh menangkap lebih dari 15 ikan nila per harinya, tidak boleh menangkap lebih dari 10 ikan gurameh per harinya, dan tidak boleh menangkap lebih dari 15 ikan per harinya. a. Buatlah model matematika dari persoalan di atas dan lukislah daerah penyelesaiannya. Misalkan x adalah jumlah ikan nila dan y adalah jumlah ikan gurameh, 15 maka model matematika yang terbentuk adalah 10, dimana nilai + 15, 0. b. Gunakan grafik untuk mengetahui apakah kamu boleh menangkap 11 ikan nila dan 9 ikan gurameh dalam sehari. Jelaskan. Kita tidak dapat menangkap 11 ikan nila dan 9 ikan gurameh dalam sehari karena kita dibatasi oleh garis + 15 dimana kita tidak dapat menangkap lebih dari 15 ikan dalam sehari. 4. Sebuah percetakan foto memiliki fasilitas self-service dimana pengunjung dapat memilih jenis pencetakan dan mencetak fotonya sendiri melalui komputer yang disediakan. Setiap jenis pencetakan dihargai Rp.8.000,- setiap lembarnya. Jumlah gambar yang dapat dicetak pada setiap jenis pencetakan dapat dilihat pada gambar di bawah ini. 63

64 Gambar 3 6 Jenis Cetakan A Gambar 3 7 Jenis Cetakan B a. Kamu ingin mencetak minimal 16 foto dengan sembarang ukuran dan berharap tidak menghabiskan lebih dari Rp ,- untuk biaya pencetakan. Buatlah model matematika dan lukislah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari situasi ini. Misalkan banyaknya pencetakan A adalah x dan banyaknya pencetakan B adalah y, maka model matematika yang terbentuk adalah atau + 6., 0, 0 b. Dapatkah kamu memperoleh 12 foto dari pencetakan jenis A dan 6 foto dari pencetakan jenis B dengan situasi yang sama? Jelaskan. Jika kita mencetak 12 foto dari pencetakan jenis A dan 6 foto dari pencetakan jenis B, berarti kita mencetak tiga kali pencetakan A dan tiga kali pencetakan jenis B, dengan kata lain (3,3). Karena ketika disubtitusikan ke SPtLDV memenuhi, maka kita dapat melakukan pencetakan tersebut, 64