Pengantar Proses Stokastik

Transkripsi

1 : Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.

3 2. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikuti oleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswa angkatan Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah angkatan Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS?

4 3. Bono berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok. Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa jika Bono hendak keluar dari penjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yang akan membawa Bono bebas. Diasumsikan bahwa Bono memilih pintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut 0.2, 0.5, dan 0.3. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan Bono untuk bebas?

5 4. JB hendak melakukan penipuan. Di tangannya dia menyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zeta calon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sang pemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JB kemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapa peluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya dan muncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B?

6 5. Seekor tikus terperangkap dalam sebuah maze. Terdapat dua arah yang harus dipilih oleh tikus tersebut. Jika ia memilih arah kanan, maka ia akan berkeliling di dalam maze selama 3 menit dan kembali ke posisinya semula. Jika ia memilih arah kiri, maka dengan peluang 1 3 ia akan bebas setelah 2 menit berkeliling dan dengan peluang 2 3 ia akan kembali ke posisinya semula setelah 5 menit berkeliling. Asumsikan bahwa ia akan memilih arah kiri atau kanan dengan peluang yang sama, berapa menit yang diharapkan tikus tersebut untuk bebas?

7 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1. Misalkan LS kejadian mengasuransikan lebih dari satu mobil dan Sp kejadian mengasuransikan sports car. Diketahui P(LS) = 0.7, P(Sp) = 0.2, P(Sp LS) = 0.15, maka P(Sp) = P(Sp LS)P(LS) + P(Sp LS c )P(LS c ) 0.2 = (0.15)(0.7) + P(Sp LS c )(0.3) Jadi, P(Sp LS c ) = Akibatnya, P(Sp c LS c ) = 1 95 Jadi, 300 = P(Sp c LS c ) = P(Sp c LS c ) P(LS c ) = 205 (0.3) =

8 2. Misalkan: SMT : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah SMT PSM : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah PSM PPS : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah PPS MD12 : kejadian mahasiswa mengundurkan diri dan angkatan 2012 Maka P(SMT ) = , P(PSM) =, P(PPS) = P( 12 SMT ) = 0.5, P( 12 PSM) = 0.6, P( 12 PPS) = 0.7 P( 12 ) = P( 12 SMT )P(SMT ) + P( 12 PSM)P(PSM) + P( 12 PPS)P(PPS) ( ) 50 = ( ) ( ) 100 =

9 Setiap mahasiswa punya peluang yang sama untuk mengundurkan diri, artinya P( 12 ) = P(MD12). P(PPS MD12) = P(PPS MD12) P(MD12) = P(MD12 PPS)P(PPS) P(MD12) = = 1 2

10 3. Misalkan X : waktu rata-rata untuk bebas P 1 : memilih pintu 1 P 2 : memilih pintu 2 P 3 : memilih pintu 3 maka E(X P 1 ) = 2 + E(X ) E(X P 2 ) = 3 + E(X ) E(X P 3 ) = 0

11 Sehingga E(X ) = E(X P 1 ) P(P 1 ) + E(X P 2 ) P(P 2 ) + E(X P 3 ) P(P 3 ) E(X ) = (2 + E(X )) (3 + E(X )) (0.3) E(X ) = E(X ) E(X ) E(X ) = E(X ) 0.3E(X ) = 1.9 E(X ) = jam

12 4. Misalkan K 1 : koin baik (MB) K 2 : koin tidak baik (MM) P(K 1 M) = P(K 1 M) P(M) P(M K 1 ) P(K 1 ) = P(M K 1 ) P(K 1 ) + P(M K 2 ) P(K 2 ) = = 1 3

13 P(K 1 MM) = P(K 1 MM) P(MM) P(MM K 1 ) P(K 1 ) = P(MM K 1 ) P(K 1 ) + P(MM K 2 ) P(K 2 ) = = P(K 1 MMB) = P(K 1 MMB) P(MMB) P(MMB K 1 ) P(K 1 ) = P(MMB K 1 ) P(K 1 ) + P(MMB K 2 ) P(K 2 ) = = 1

14 5. Misalkan N : menyatakan jumlah menit yang dibutuhkan tikus untuk bebas L : menyatakan arah kiri yang dipilih oleh tikus R : menyatakan arah kanan yang dipilih oleh tikus maka P(L) = P(R) = 1 2 E(N) = E(N L)P(L) + E(N R)P(R) = E(N L) E(N R)1 2 = 1 [ (2) + 2 ] (5 + E(N)) 3 = 5 21 E(N) E(N) = [3 + E(N)] 2

15 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.