Pengantar Proses Stokastik

Transkripsi

1 Diskusi 1: Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 215

2 Latihan 1 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 1 1. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F (x) 2. Diketahui fungsi peluang: 2x, x 1 2 f (x) = 3 4, 2 < x < 3, x yang lain. f (x) = c(4x 2x 2 ), < x < 2 Hitung E(X ) pada P ( 1 2 < X < 3 2).

3 Latihan 1 3. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 5 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

4 Latihan 1 4. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 1% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang: f X (x) = x(4 x), < x < 3 9 Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y! Tentukan ekspektasi dari Y!

5 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 1 1. Pertama, cek apakah fungsi tsb merupakan fungsi peluang 1/2 2x dx dx = [ x 2] [ ] 1/ x 2 = = 1 a. Nilai P ( X > 1 4) adalah ( P X > 1 ) ( = 1 P X 1 ) 1/4 = 1 2x dx 4 4 = 1 [ x 2] 1/4 = = 15 16

6 Latihan 1 b. F (x) nya adalah Untuk x < x x F (x) = f (t)dt = dt = Untuk x 1 2 F (x) = Untuk 1 2 < x < 2 x F (x) = f (t)dt = dt + 1/2 x dt + 2t dt + = + [ x 2] 1/2 + = 1 4 2t dt = x 2 x 1/2 dt

7 Latihan 1 Untuk 2 x 3 F (x) = Untuk x > 3 F (x) = dt + 1/2 2t dt + = + [ t 2] 1/2 + + dt + 1/2 [ 3 4 t 2t dt + = + [ x 2] 1/ /2 ] x x dt dt 2 = x 3 2 = 3 4 x /2 ] 3 [ 3 4 t 2 3 dt x 4 dt + 3 dt + = = 1

8 Latihan 1, x < x 2, x 1 2 Jadi, F (x) = 1 4, 1 2 < x < x 5 4, 2 x 3 1, x > 3

9 Latihan 1 2. Pertama, tentukan c berdasarkan sifat x f (x) dx = 1 2 c(4x 2x 2 )dx = [ 2cx cx 3 ] 2 = 1 8c 16 3 c = c = 1 c = 3 8 Jadi, kita mempunyai f (x) = 3 8 (4x 2x 2 ) = 3 2 x 3 4 x 2

10 Latihan 1 E(X ) = = 3/2 1/2 x ( 3 2 x 3 ) 4 x 2 dx = [ 1 2 x x 4 ] 3/2 1/2 = /2 1/2 3 2 x x 3 dx

11 Latihan 1 3. Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang (peluang sukses), maka X B(52,.5) Banyaknya yang tidak datang adalah 5%x52 = 2.6 sehingga peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang adalah jika paling sedikit ada 2 orang yang tidak datang yaitu P(X 2) = 1 [P(X = ) + P(X = 1)] ( ) ( ) 52 = 1 (.5) (.95) (.5) 1 (.95) 51 1 =.74

12 Latihan 1 4. Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, maka nilai yang mungkin untuk Y adalah dan ekspektasi Y adalah E(Y ) =. = 1 1 Y = min{x, 1} 3 x f X (x) dx + x = x(4 x) 9 1 dx + 1.f X (x) dx 3 1 x(4 x) 1. dx 9

13 Latihan 2 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 2 1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 7 % pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 2 % mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.

14 Latihan 2 2. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikuti oleh 5, 75, dan 1 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 5, 6, dan 7 persen-nya adalah mahasiswa angkatan 212. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah angkatan 212. Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS?

15 Latihan 2 3. JB berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok. Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa jika JB hendak keluar dari penjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yang akan membawa JB bebas. Diasumsikan bahwa JB memilih pintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut.5,.3, dan.2. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan JB untuk bebas?

16 Latihan 2 4. JB hendak melakukan penipuan. Di tangannya dia menyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zeta calon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sang pemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JB kemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapa peluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya dan muncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B?

17 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 2 1. Misalkan LS kejadian mengasuransikan lebih dari satu mobil dan Sp kejadian mengasuransikan sports car. Diketahui P(LS) =.7, P(Sp) =.2, P(Sp LS) =.15, maka P(Sp) = P(Sp LS)P(LS) + P(Sp LS c )P(LS c ).2 = (.15)(.7) + P(Sp LS c )(.3) Jadi, P(Sp LS c ) = Akibatnya, P(Sp c LS c ) = 1 95 Jadi, 3 = P(Sp c LS c ) = P(Sp c LS c ) P(LS c ) = 25 (.3) =.25 3

18 Latihan 2 2. Misalkan: SMT : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah SMT PSM : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah PSM PPS : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah PPS MD12 : kejadian mahasiswa mengundurkan diri dan angkatan 212 Maka P(SMT ) = , P(PSM) =, P(PPS) = P( 12 SMT ) =.5, P( 12 PSM) =.6, P( 12 PPS) =.7 P( 12 ) = P( 12 SMT )P(SMT ) + P( 12 PSM)P(PSM) + P( 12 PPS)P(PPS) ( ) 5 = ( ) +.7 ( ) 1 =

19 Latihan 2 Setiap mahasiswa punya peluang yang sama untuk mengundurkan diri, artinya P( 12 ) = P(MD12). P(PPS MD12) = P(PPS MD12) P(MD12) = P(MD12 PPS)P(PPS) P(MD12) = = 1 2

20 Latihan 2 3. Misalkan X : waktu rata-rata untuk bebas P 1 : memilih pintu 1 P 2 : memilih pintu 2 P 3 : memilih pintu 3 maka E(X P 1 ) = 2 + E(X ) E(X P 2 ) = 3 + E(X ) E(X P 3 ) =

21 Latihan 2 Sehingga E(X ) = E(X P 1 ) P(P 1 ) + E(X P 2 ) P(P 2 ) + E(X P 3 ) P(P 3 ) E(X ) = (2 + E(X )).5 + (3 + E(X )).3 + (.2) E(X ) = E(X ) E(X ) E(X ) = E(X ).2E(X ) = 1.9 E(X ) = 9.5 jam

22 Latihan 2 4. Misalkan K 1 : koin baik (MB) K 2 : koin tidak baik (MM) P(K 1 M) = P(K 1 M) P(M) P(M K 1 ) P(K 1 ) = P(M K 1 ) P(K 1 ) + P(M K 2 ) P(K 2 ) = = 1 3

23 Latihan 2 P(K 1 MM) = P(K 1 MM) P(MM) P(MM K 1 ) P(K 1 ) = P(MM K 1 ) P(K 1 ) + P(MM K 2 ) P(K 2 ) = = P(K 1 MMB) = P(K 1 MMB) P(MMB) P(MMB K 1 ) P(K 1 ) = P(MMB K 1 ) P(K 1 ) + P(MMB K 2 ) P(K 2 ) = = 1

24 Dasar-dasar Probabilitas Ross, Sheldon M. 27. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.