Nilai dan Vektor Eigen

Transkripsi

1 Nilai dan Vekto Eigen Mengingat kembali: pekalian matiks Dibeikan matiks A x dan vekto-vekto u, v, dan w 0 1 u 0 5 A v w u 1 Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dai hasil kali tesebut yang hasilnya adalah vekto yang sejaja dengan vekto semula Jawab: Av v 1 8 u u Aw 1. w Au k u 1 untuk semua k R v dan Av sejaja w dan Aw sejaja u dan Au TIDAK sejaja 1

2 Mengingat kembali: SPL homogen dan deteminan 1. A adalah matiks nxn dan SPL Ax 0 mempunyai penyelesaian tivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? Jawaban: A mempunyai invese. Det(A) 0. A adalah matiks nxn dan SPL Ax 0 mempunyai penyelesaian TIDAK tivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(a)? Jawaban: A tidak mempunyai invese. Det(A) 0 Pekalian vekto dengan matiks A x x λ Ax x x Ax x dan Ax sejaja

3 Pekalian vekto dengan matiks k 5 Au u Av v Aw kw y 8 y y x x x Definisi: Nilai dan Vekto Eigen Definisi: Dibeikan matiks A nxn, vekto tak nol v di R n disebut vekto eigen dai A jika tedapat skala sedemikian hingga Av λv. λ disebut nilai eigen, v adalah vekto eigen dai A yang besesuaian dengan λ. Syaat pelu: v 0 (1) λ 1 () 0 λ 1 (3) -1 λ 0 () λ - 1 3

4 Masalah Vekto Eigen Dibeikan matiks pesegi A, A x sejaja x A x λ x Temukan semua vekto tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skala x (Ax sejaja dengan x). atau Temukan semua vekto tak nol x sedemikian hingga Ax λx untuk suatu skala λ Masalah Nilai Eigen Dibeikan matiks pesegi A. A x λ x x vekto tak nol Temukan semua skala λ sedemikian hingga Ax λx untuk suatu vekto tak nol x. atau Temukan semua vekto skala λ sedemikian hingga pesamaan Ax λx mempunyai penyelesaian tak nol

5 Penyataan-penyataan ekuivalen Jika A matiks pesegi nxn, maka kalimat-kalimat beikut ekuivalen 1. λ nilai eigen A. Tedapat vekto tak nol x sedemikian hingga Ax λx 3. SPL (A λi)x 0 mempuyai solusi tidak nol (non-tivial). λ adalah penyelesaian pesamaan det (A λi) 0 Mencai nilai eigen A sama saja mencai penyelesaian pesamaan det(λi-a) 0 Pesamaan Kaakteistik Jika diuaikan, det (A - λi) meupakan suku banyak bedeajat n dalam λ, p(λ ) λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n- λ n- + + c 1 λ+ c 0 suku banyak kaakteistik Pesamaan det((a - λi) λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n- λ n- + + c 1 λ+ c 0 0 disebut pesamaan kaakteistik A - λi A-λI pesamaan kaakteistik det A-λI λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n- λ n- + + c 1 λ+ c 0 0 Pesamaan dengan deajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matiks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. 5

6 Contoh Mencai semua nilai eigen A 0 1 Mencai semua penyelesaian pesamaan det - λ λ 0 Mencai penyelesaian pesamaan kaakteistik ( - λ )( 1 - λ ) 0 λ, Nilai eigen A adalah 1 λ 1 Posedu: menentukan nilai eigen Dibeikan matiks pesegi A. Nilai-nilai eigen A dapat dipeoleh sebagai beikut: 1. Tentukan pesamaan kaakteistik det((a - λi) 0 tuliskan A dan matiks yang elemen diagonal utamanya dikuangi λ. (Jika dipelukan) uaikan pesamaan kaakteistik ke dalam pesamaan sukubanyak kaakteistik: λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n- λ n- + + c 1 λ+ c Selesaikan pesamaan yang dipeoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen meupakan penyelesaian pesamaan tesebut. 6

7 Contoh: Menentukan nilai eigen Dibeikan matiks pesegi A Tentukan pesamaan kaakteistik det(a - λi) 0 1 λ 1 1 det( A λi ) det 0 3 λ λ (1 λ ) (3 λ ) 6 + (3 λ ) 3(1 λ ) 0. Ubahlah pesamaan kaakteistik ke dalam pesamaan sukubanyak kaakteistik: 3. Selesaikan pesamaan di atas untuk mempeoleh nilai-nilai eigen (1 λ) (3 λ) (3 λ) 0 Nilai-nilai eigen A: λ( λ )(3 λ) 0 λ 1 0 λ λ 3 3 Nilai eigen matiks diagonal Dibeikan matiks diagonal Pesamaan kaakteistik: Nilai-nilai eigen, 6, 5, 1 (meupakan enti diagonal utama) A λ λ 0 0 A λi λ λ ( λ)(5 λ)(6 λ)(1 λ) 0 Nilai-nilai eigen matiks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. 7

8 Bagaimana menentukan apakah suatu skala meupakan nilai eigen? Tentukan apakah, 0, meupakan nilai eigen A. 0 A Jawab: Bentuk det(a-λi) untuk λ, 0,. Jika det(a-λi) 0, maka meupakan nilai eigen, kalau 0, maka bukan nilai eigen. Kunci:, nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 0 det( A I ) det det( A 0 I ) det det( A I) det adalah nilai eigen A 0 bukan nilai eigen A nilai eigen A Kelipatan skala vekto eigen Dibeikan A. Diketahui bahwa x adalah vekto eigen A yang besesuaian dengan nilai eigen. Selidiki apakah 1/x, 10x, 5x juga vekto-vekto eigen A A, 1 1 x 6 1 x x x Ax 6 1 x 1 1 Ax x A(10 x) (10 x) A(10x) (10x) A x λ x A (10) x λ (10) x 8

9 Kelipatan skala vekto eigen A, 1 1 x 6 1 x Ax 6 1 x A( 1 x) 3 6 ( 1 ) x Ax x A(1/ x) (1/ x) A x λ x A (1/) x λ (1/) x Kelipatan skala (tak nol) dai vekto eigen adalah vekto eigen tehadap nilai eigen yang sama Menentukan semua vekto eigen E λ Dibeikan vekto matiks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vekto eigen yang besesuaian dengan λ. Vekto-vekto eigen A yang besesuaian dengan λ 3 dapat dipeoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x 0. Vekto eigen adalah anggota Null(A - λ I) Null(A - λ I) Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x 0 0 Himpunan semua vekto eigen besesuaian dengan λ Null(A - λ I)-{0} 9

10 Ruang Eigen Ruang eigen A yang besesuaian dengan λ tedii atas semua vekto eigen yang besesuaian dengan λ dan vekto nol Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x 0 Null(A - λ I)x 0 Ruang Eigen Eλ Null(A - λ I) E λ Menentukan E λ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x 0 Menentukan uang eigen E λ Dibeikan vekto matiks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ 3. Tentukan semua vekto eigen yang besesuaian dengan λ A A λi SPL (A - 3 I)x x1 0 x1 + x + x3 0 ( A 3 I) x 3 x 3x x x1 + x x Penyelesaian x1 a a, a R x a Himpunan penyelesaian 0 x3 0 1 Himpunan vekto eigen A besesuaian dengan λ 3 : a, a 0, a R 0 10

11 Nilai eigen matiks pangkat Nilai eigen dai A adalah 0,, dan A 1 1 Tentukan nilai eigen untuk A 6 1 1, A, A 1 Dibeikan sembaang matiks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka tedapat vekto tak nol x sedemikian hingga Ax λx kalikan kedua uas dengan matiks A A.Ax A λx A x λ(ax) substitusi Ax dengan λx A x λ x jadi, λ meupakan nilai eigen A Teoema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matiks A, maka λ n adalah nilai eigen A n Nilai eigen matiks singula Misalkan λ 0 meupakan nilai eigen dai A. Maka 0 meupakan penyelesaian pesamaan kaakteistik: dengan menganti λ dengan 0, dipeoleh c0 0. Padahal det(a- λi) 0, dengan λ 0, maka det(a) c0 0. Kaena det(a) 0 maka A tidak mempunyai invese. Sebaliknya, det(a) det(a - λi) dengan mengambil λ 0.Jadi det(a) c0. Jika A tidak mempunyai invese, maka det(a) 0 c0. Sehingga λ 0 meupakan salah satu penyelesaian pesamaan kaakteistik; λ 0 meupakan salah satu nilai eigen dai A. 0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai invese. 11

12 Nilai eigen matiks tanspose det(b) det(b T ) (A- λ I) T (A T -λ I) Misalkan λ 0 meupakan nilai eigen dai A, maka det(a- λ I) 0 Kaena matiks dan tansposenya mempunyai deteminan yang sama, maka det(a- λ I) T 0 Kaena (A- λ I) T (A T -λ I), maka det(a T - λ I) 0 Jadi, λ adalah nilai eigen dai A T A dan A T mempunyai nilai eigen yang sama A dan A -1 mempuyai nilai eigen yang sama Diagonalisasi Definisi: Matiks pesegi A dapat didiagonalkan jika tedapat matiks yang mempunyai invese sedemikian hingga P -1 AP D adalah matiks diagonal. Contoh: 5 6 A 3 1 P P 1 P -1 AP D 0 1 A dapat didiagonalkan Matiks diagonal 1

13 Kapan matiks A dapat didiagonalkan? Teoema: Jika A adalah matiks nxn, maka kalimat-kalimat beikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan. A mempunyai n vekto-vekto eigen yang bebas linie Bukti (1) () Dibeikan A a11 a1 L a1n a1 a a n A L M M M an1 an L ann Misalkan A dapat didiagonalkan, maka tedapat matiks P yang mempunyai invese p11 p1 L p1n p11 p1 L p1n p1 p p n P L p1 p p APPD L n M M M M M M pn1 pn L pnn pn1 pn L pnn Sedemikian hingga P -1 AP D matiks diagonal λ1 p11 λ p1 L λn p1n λ1 p1 λ p λn p L n M M M λ1 pn1 λ pn L λn pnn λ1 0 L 0 0 λ 0 D L M M M 0 0 L λn Kapan matiks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P -1 AP D, kalikan dengan P -1, AP PD p11 p1 L p1n p1 p p n PD L M M M pn1 pn L pnn λ1 0 L 0 0 λ 0 L M M M 0 0 L λn λ1 p11 λ p1 L λn p1n λ1 p1 λ p λn p L n M M M λ1 pn1 λ pn L λn pnn uu uu uu λ1 p1 λ p λn p L n a11 a1 L a1n a1 a a n AP L M M M an1 an L ann AP PD, jadi p11 p1 L p1n p1 p p L n M M M pn1 pn L pnn uu uu uu A p1 A p A pn L uu uu uu uu uu uu Ap1 λ1 p1 Ap λ p L Apn λn pn Kaena P mempunyai invese, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Bedasakan deinisi nilai eigen, maka λ 1, λ, λ 3,,λ n meupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vekto-vekto eigen A yang bebas linie (kaena P mempunya invese) Bukti untuk () (1) kejakanlah sebagai latihan untuk mempedalam pemahaman. 13

14 Posedu mendiagonalkan matiks Dibeikan matiks A nxn. Akan dicai P sedemikian hingga PAP -1 D. Posedu 1. Tentukan n vekto eigen A yang bebas linie, misalkan p 1, p, p 3,, p n. Dibentuk matiks P yang kolom-kolomnya adalah p 1, p, p 3,, p n 3. Maiks D P -1 AP adalah matiks diagonal yang enti diagonal utamanya adalah λ 1, λ, λ 3,,λ n dengan λ j adalah nilai eigen besesuaian dengan p j untuk j 1,, 3,, n Contoh: mendiagonalkan matiks Dibeikan matiks A nxn. Akan dicai P sedemikian hingga PAP -1 D. 5 6 A 3 Posedu 1. Tentukan vekto eigen A yang bebas linie. Petama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ 1 dan λ -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vekto eigen besesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x 0. Dipeoleh u u 1 p1 1 p 1. Dibentuk matiks P yang kolom-kolomnya adalah vekto-vekto eigen di atas. 1 P P 1 3. Matiks D P -1 A P adalah matiks diagonal yang enti diagonal utamanya adalah λ 1, λ betuut-tuut D

15 Masalah Diagonalisasi dan masalah vekto eigen Masalah vekto eigen Dibeikan matiks A nxn, apakah tedapat basis di R n tedii atas vekto-vekto eigen? Masalah diagonalisasi Dibeikan matiks A nxn apakah tedapat matiks yang mempunyai invese P sedemikian hingga np -1 AP adalah matiks diagonal? Teoema: A nxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika tedapat n vekto eigen yang bebas linie. Padahal, setiap n vekto yang saling bebas linie di R n meupakan basis R n. Kesimpulan: masalah vekto eigen sama dengan masalah diagonalisasi 15