Model Sistem dan Metode Estimasi Parameter Rekursif

Transkripsi

1 Bab Model Sise dan Meode Esiasi Paraeer Rekrsif jan Pengajaran jan pengajaran pada bab ini adalah nk eahai cara eodelkan sise nk sise kendali swa-ala dengan eode kadra erkecil, exended leas-sqares, dan insrenal variable Model sise ini berhbngan dengan sise fisik elali proses linierisasi dan diskriisasi dengan enggnakan ransforasi jan ang keda adalah nk epelajari eknik-eknik esiasi paraeer odel sise Hal ini dilengkapi dengan engassikan benk wak diskri nk odel sise dan kedian enggnakan sa algoria esiasi rekrsif nk enghasilkan esiasi paraeer odel Model Sise Unk Esiasi Rekrsif Unk daa idenifikasi dengan enggnakan koper sinal kelaran proses dicplik dan dikanisasi oleh analog-digial converer ADC Hasil pengolahan ini berpa sinal diskri Diassikan bahwa ni aplido dan wak kanisasi kecil aka sinal diskri erseb dapa dianggap sebagai sinal konin Jika pencplikan diakifkan secara periodik dengan wak pencplikan h, aka serangkaian plsa dibangkikan seelah kelar dari ADC seperi erliha pada gabar Sinal erdigialisasi ini kedian diproses oleh koper digial dengan enggnakan algoria erprogra, dan sinal kelaran dihasilkan Jika koper digial dignakan nk engendalikan proses dan sinal analog dibhkan oleh akaor, aka sinal kelaran erhing oleh algoria adi disalrkan elewai digial-analog converer DAC dan diiki oleh divais eroorder-hold oh nk dibah enjadi sinal analog Wak ang diperlkan nk engbah sinal analog enjadi sinal digial aa sebalikna didala srkr sise kendali digial dapa diabaikan, karena nilaina jah lebih kecil dibandingkan konsana wak akaor, sensor, dan proses

2 6 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Diassikan bahwa sise sabil adalah ie invarian dan erlinierisasi, sehingga sise erseb dapa dinaakan oleh persaaan difference a ana na b b abnb nb Dengan endefinisikan operaor backward shif - sebagai aka odel persaaan 3 dapa diekspresikan didala fngsi alih diskri dala benk B G p 3 A dengan A dan B adalah polinoial dala operaor - A B a b b a na b nb na nb 4 nh nh d Conrol algorih d Zero order hold Process Sapler & ADC Sapler & DAC Gabar Sise kendali dengan koper sebagai pengendali cplik daa Sise dinaik epnai respon ang idak sponan erhadap sinal askan ang diberikan, sehingga na fngsi alih pada persaaan 3 jga engandng nsr sa wak nda B G p 35 A Sinal kelaran proses erkr diassikan erkonainasi oleh ganggan n seperi erliha pada gabar n 6

3 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 7 Sinal ganggan erseb diassikan dapa diwakili odel aoregressive oving average ARMA p e c e c e p n d n d n p p 7 dengan e adalah dera ang ak erkr, erdisribsi noral, dan bebas linier ang karakerisasina dinaakan dala { } [ ] { }, cov e e E e e E σ e δ τ τ dengan e σ adalah variansi dan τ δ adalah fngsi ipls diskri,, τ δ τ τ Gabar Model proses dan dera Fngsi alih filer dera ini adalah p p p p e d d c c D C e n G 8 Persaaan 35 dan 38 enghasilkan kobinasi odel proses dan dera e D C A B 9 jan idenifikasi odel proses adalah nk engesiasi paraeerparaeer proses dala polinoial A - dan B - dan paraeer dera C - dan D - dengan berbasiskan sinal askan dan kelaran erkr Sebagai pengeahan a priori diassikan orde odel n a, n b, dan p dikeahi nilaina Ganggan n diassikan sasioner, ai akar-akar D - erleak - B - A - C - D - e

4 8 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif didala ni lingkaran bidang- Jika polinoial D - saa dengan polinoial A - proses aka odel ini diseb sebagai aoregressive oving average exogenos ARMAX B C e A A Model ARMAX epnai benk khss nk C - ang diseb sebagai odel leas-sqares S B e A A Meode Kadra-erkecil Rekrsif Idenifikasi adalah penenan karakerisik dinaik proses secara eksperienal berdasarkan sinal-sinal ang erkr kedala sa odel aeaik jan eode idenifikasi odel ini adalah einikan selisih anara sinal kelaran proses sebenarna dengan kelaran odel aeais Didala sise kendali swa-ala proses idenifikasi ini dilakkan secara on-line, dengan pengerian bahwa koper beroperasi secara on-line dengan proses Seiap peneriaan daa bar langsng diolah oleh algoria erprogra pada seiap periode pencplikan, sehingga sise kendali swa-ala erask kedala kaagori sise wak naa real ie sses Salah sa eode ang paling banak dipakai dala esiasi paraeer adalah eode kadra erkecil leas-sqares Meode kadra erkecil peraa kali diekan oleh seorang aeaikawan Jeran Gass pada abad 8 Oleh Gass eode ini dignakan nk engesiasi orbi plane-plane dari sise aa sra Ini dari eode ini adalah bahwa kecocokan anara odel dengan sise ang akan diidenifikasi diperoleh dengan einikan selisih kadra anara kelaran odel dengan kelaran sise ang diidenifikasi nk sea daa pengaaan J i [ i i ] i i Gabar 3 enggabarkan ide eode ini erliha bahwa anara sise ang diidenifikasi dengan odel ang dignakan erhbng secara pararel Benk skea idenifikasi ini idak cocok dipakai nk sise dinaik, karena benk persaaan iniasi ang diperoleh enjadi non linier Dari gabar 3 sinal kesalahan esiasi epnai benk persaaan:

5 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 9 n Proses - B - A - Model - ^ B - ^ A - ^ - kesalahan Opiasi Gabar 3 Skea idenifikasi proses secara pararel B 3 A e Hbngan anara paraeer dari polinoial B - dan paraeer dari polinoial A - adalah non linier, dan enlikan dala solsi iniasi fngsi krieria Una dibhkan eode ang ri nk enelesaikanna, conohna adalah seperi eode perograan dinaik Oleh karena i dipakai benk skea lain seperi ang erliha pada gabar 4 - B - A - n ^ B - - ^ A - Gabar 4 Skea idenifikasi berdasarkan kesalahan prediksi Benk persaaan kesalahanna adalah

6 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif nb na nb nb na na nb b b na a a b b b a a B A 4 Dianara paraeer-paraeer ang akan diesiasi erliha eiliki hbngan ang linier, sehingga edahkan dala encari persaaan penelesaianna Persaaan resid di aas erpakan persaaan kesalahan prediksi, ai anara kelaran proses ang bar dengan kelaran proses erprediksi sa langkah kedepan - - kesalahan prediksi pengkran bar - prediksi sa langkah kedepan 5 Kesalahan ini dapa disebabkan karena kelaran sise ang erkonainasi dera dan jga akiba kesalahan esiasi paraeer Persaaan kelaran erprediksi [ ] b b a a nb na nb b b na a a nb na nb na M M 6 dengan [ ] nb na 7 adalah vekor daa dan [ ] nb na b b a a 8 adalah vekor paraeer Sekarang diassikan sise elah berjalan nk,,,, dengan

7 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif ax{n a,n b } 9 Maka erdapa persaaan ang epnai benk ang dapa direpresenasikan sebagai persaaan vekor dengan M M O M M M O M M M M 3 Fngsi krieria sekarang erpakan perkalian vekor dengan vekor ransposna J 4 Dengan engraikan definisi vekor pada persaaan kedala persaaan 4 diperoleh persaaan

8 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif J 5 Miniasi fngsi krieria J 6 enghasilkan benk persaaan esiasi paraeer P 7 dengan P adalah ariks varians ang didefinisikan sebagai [ ] P 8 Conoh Sebah proses dinaik ang idak dikeahi diidenifikasi dengan enggnakan odel b a a Daa pengkran dari sinal askan dan kelaran proses diberikan pada abel beriki ini: Dengan enggnakan eode kadra erkecil, enkanlah nilai paraeer proses ang idak dikeahi! Solsi Persaaan odel dilis kebali kedala benk perkalian vekor [ ] b a a

9 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 3 erliha bahwa kelaran proses berganng kepada nilai sebelna hingga sapai kali pencplikan Dengan deikian isi vekor kelaran bar dapa dilai dari pencplikan keiga dan ariks berisi Dengan enggnakan persaaan 7 nk enghing nilai paraeer ang dicari, aka b a a Krieria Evalasi Esiaor Disaping eode kadra-erkecil ang sering dignakan dala idenifikasi sise, jga dikenal eode lain seperi algoria exended leas-sqares, inrenal variable, dan axi likelihood Unk engeahi eode idenifikasi erbaik aka diperlkan indikaor kinerja sebagai acan nk engevalasi hasil kaslias esiasi Di bawah ini adalah 3 definisi ang dijadikan bahan acan nk engevalasi esiaor Definisi : Unbiased Pada beberapa kali esiasi akan diperoleh vekor paraeer odel proses hasil esiasi ang berbeda Esiaor diseb nbiased jika nilai raa-raa dari vekor paraeer eresiasi saa dengan nilai vekor paraeer sebenarna } { } { E E 9

10 4 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Gabar 5 Krieria esiasi ang nbiased Definisi : Effisien Esiaor dinilai efisien, jika nilai kovarian kesalahan esiasi nk sebah odel proses ang diberikan ang berdasarkan kepada daa pengkran askan dan kelaran proses adalah inial, arina idak ada esiaor lain ang sanggp eberikan nilai kovarian kesalahan esiasi lebih kecil lagi dibawah kondisi berik ini C ~ ~ E{ } in 3 Gabar 6 Krieria efisiensi esiaor

11 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 5 Gabar 7 Krieria konsisensi esiaor Definisi 3: Konsisen Dengan berabahna daa pengkran aka kovarian kesalahan esiasi enjadi lebih kecil Unk nilai esiasi bergerak enj nilai sebenarna ~ li, li ~ ~, dengan C 3 Unk nilai esiasi endekai nilai sebenarna Hal ini berari bahwa peningkaan jlah daa nk esiasi jga eperbaiki hasil esiasi Conoh Dikeahi sa proses ang akan diidenifikasi epnai fngsi alih 5 v 97 Silasikan sise ini dengan enggnakan progra ban MAAB jika sise diberikan askan berpa sinal psedo rando binar signal PRBS dengan jlah pencplikan sebanak Sinal ganggan v adalah sinal dera pih e ang erapis oleh lowpass filer: v e 9

12 6 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Ar varian sinal ganggan v sedeikian, sehingga sinal kelaran epnai noise-o-raio sebesar %, dan % var var v Progra silasi: %,% %Creae a PRBS signal ; signrandn,; %Silae he process A [ -97]; B [ 5]; filerb,a,; % Add % and % op disrbances v filer,[ -9],randn,; v v/sdv*sqr*sd; v; v v/sdv*sqr*sd; v; % Esiae s order ARX odels harx arx[ ],[ ]; harx arx[ ],[ ]; % Silaion of he odels h idsi,harx; h idsi,harx; % Calclae sep responses sp; SP filerb,a,onessp,; SP idsionessp,,harx; SP idsionessp,,harx; % Plo odel fi k:; figre; sbplo, plok,,'r--',k,h,'b-'; ile'fi of s order ARX odel'; axis[ -8 8]; xlabel'saples'; sbplo, plok,,'r--',k,h,'b-'; ile'fi of s order ARX odel'; axis[ -8 8]; xlabel'saples'; % Plo sep responses figre; k:sp; sbplo, plok,sp,'r--',k,sp,'b-'; ile'sep responses of he process dashed and of ARX odel, % noise'; xlabel'saples'; sbplo, plok,sp,'r--',k,sp,'b-'; ile'sep responses of he process dashed and of ARX odel, % noise'; xlabel'saples';

13 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 7 Gabar 8 Perbandingan krva kelaran sise dengan kelaran odel Gabar 9 Kelaran sise dan odel nk askan fngsi sep

14 8 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Dari hasil silasi erliha bahwa odel ang diperoleh dari hasil idenifikasi dengan algoria kadra erkecil ckp baik enir karakerisik sise eraa nk nilai variansi dera pih ang idak besar Meode Kadra-erkecil Rekrsif Benk persaaan 7 adalah esiaor paraeer non rekrsif, diana paraeer eresiasi diperoleh hana seelah selrh pengkran daa dilakkan Agar esiaor dapa dignakan dala sise kendali swa-ala, aka benk persaaanna hars dibah enjadi ieraif, sehingga paraeer odel proses dapa diperbahari seiap periode pencplikan nk seiap perolehan daa bar Unk esiaor dengan enggnakan daa dari wak ke epnai benk persaaan [ ] 3 Pada wak diperoleh daa pengkran ang bar dari proses, sehingga dapa didefinisikan M 33 M 34 Persaaan esiasi paraeer pada wak sekarang epnai benk [ ] 35 Sk ang berada pada bagian invers dapa diraikan kebali enr persaaan 36

15 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 9 [ ] M 36 Dengan cara ang saa sk sisa dari persaaan 35 dapa dilis kebali enjadi [ ] M 37 Unk enghindari wak kopasi ang besar pada persaaan esiasi paraeer akiba adana sk invers, aka diperlkan cara nk eperbahari invers ariks Mariks kovarian pada wak berdasarkan persaaan 8 dapa dilis kebali dala benk [ ] P 38 Invers ariks ini pada wak adalah P P 39 Dengan eanfaakan eorea invers ariks ea A D DA B C A A BCD A dan eneapkan, P A, C B D eberikan persaaan P P I P P 4 Unk sise dengan sa-askan-sa-kelaran SISO sk invers pada persaaan 4 eberikan hasil skalar Dengan deikian persaaan nk eperbahari ariks kovarian idak lagi engandng sk invers

16 3 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif angkah selanjna adalah eba persaaan esiasi paraeer berganng kepada hasil esiasi sebelna Persaaan 35 dilis kebali enjadi B P 4 B P dengan B 4 B B Dengan endefinisikan e sebagai kesalahan prediksi 43 dan ensbsisikan kedala persaaan 4 eberikan persaaan B B 44 Sbsisi persaaan 44 kedala persaaan 4 diperoleh persaaan P γ 45 dengan γ adalah vekor pengkoreksi Dengan deikian persaaan esiasi dapa dilis kebali enjadi [ ] γ 46 Karena pencplikan dilai dari wak aka persaaan 43, 4, dan 46 dilis kebali enjadi 47 P P I P P 48

17 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 3 [ ] γ 49 Unk elai algoria rekrsif dipilih harga awal vekor paraeer dan ariks kovarian P αi dengan α adalah konsana ang bernilai inggi ilai ekspekasi ariks P proporsional erhadap ariks kovarian paraeer eresiasi E σ { P } cov[ Δ ] 5 dengan σ E { } Conoh 3 Unk conoh carilah nilai paraeer odel proses ang idak dikeahi dengan enggnakan eode kadra-erkecil rekrsif dengan harga awal: P I dan! Solsi Agar vekor daa dapa diisi seprna dengan daa ang ersedia, aka algoria rekrsif bar dapa dijalankan pada pencplikan keiga ilai awal ariks kovarian dan vekor paraeer eap idak berbah Balah progra silasi dengan MAAB nk enapilkan esiasi paraeer, nilai diagonal ariks kovarian, dan nilai kelaran prediksi sa-langkah-kedepan hingga Dari daa ang diberikan dibenk abel daa proses pada seiap pencplikan:

18 3 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Pencplikan 3: Vekor daa 3 [ ] prediksi dengan enggnakan persaaan 47: Menghing kesalahan [ ] Karena sebel pencplikan 3 idak dilakkan esiasi paraeer, aka P P Dengan deikian nilai bar ariks kovarian P3 dengan enggnakan persaaan 48 adalah: P P P I 3 3 P 3 Jadi nilai esiasi paraeer berdasarkan persaaan 49 adalah 3 P3 3 3 Pencplikan 4: Vekor daa 4 [ ] seperi pada pencplikan keiga, aka diperoleh: Dengan cara ang saa 4 9 P Progra silasi: >> v; >> signrandn,; >> e v*randn,; >> h idpol[ -9 9],[ ]; >> sih,[ e]; >> iddaa,;

19 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 33 >> alpha e3; >> labda ; >> [h,h,p,phi]rarx,:,[ ], ff,labda,eros3,,alpha*ee3; >> hea,: h; cov:,:,p; hah; >> for k : [h,h,p,phi] rarxk,:,[ ],'ff',labda,h',p,phi; heak,: h; cov:,:,k p; hak h; >> end Gabar 5 dan 6 eperlihakan hasil silasi krva esiasi paraeer, eleen diagonal ariks kovarian, dan sinal prediksi sa-langkah-kedepan Dala silasi diassikan nilai sebenarna dari proses adalah: a -9, a 9 dan b Dala pengkran idak erdapa dera ang engkonainasi kelaran proses Unk kass diana proses adalah noise-free, aka algoria kadra-erkecil rekrsif eberikan hasil ang nbiased erhadap nilai paraeer proses ang sebenarna, seperi erliha pada gabar aas Hasil kecocokan krva anara krva kelaran proses sebenarna dengan kelaran prediksi sa-langkah-kedepan eperka pernaaan erseb, seperi erliha pada gabar Gabar aas Krva esiasi paraeer, bawah diagonal ariks kovarian

20 34 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Gabar Krva perbandingan anara sinal kelaran proses dengan kelaran prediksi sa-langkah-kedepan Conoh 4 Dikeahi sa proses ang akan diidenifikasi epnai fngsi alih 5 v 5 7 Silasikan sise ini dengan enggnakan progra ban MAAB jika sise diberikan askan berpa sinal psedo rando binar signal PRBS dengan jlah pencplikan sebanak Sinal ganggan v adalah sinal dera pih e ang erapis oleh lowpass filer: 8 v e Ar varian sinal ganggan v sedeikian, sehingga sinal kelaran epnai noise-o-raio sebesar %, dan % var var v %,% Progra silasi: echo off, clear, clc nier 3; orde;

21 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 35 ; ha3; Sp7; % Creae he PRBS signal and rando signal idinp,'prbs'; randn'sae',; e randn,; %Silae he process A [ -5 7]; B [ 5]; C [ -8 8]; p filerb,a,; v filerc,a,e; ve v/sdv*sqrha*sdp; pve; iddaa,; % Esiae an ARX odel alpha e3; labda ; [h,h,p,phi] rarx,:,[ ],'ff',labda,eros4,,alpha*ee4; hea,: h; cov:,:,p; hah; for k : [h,h,p,phi] rarxk,:,[ ],'ff',labda,h',p,phi; heak,: h; cov:,:,k p; hak h; end k:-; figre; plok,hea:,,'r',k, ones,*-5,'r:'; hold on, plok,hea:,,'b',k, ones,*7,'b:'; plok,hea:,3,'',k, ones,,':'; plok,hea:,4,'g',k, ones,*5,'g:'; Gabar Esiasi nilai paraeer odel proses seiap ierasi

22 36 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Gabar 3 Kecenderngan penrnan nilai eleen diagonal ariks kovarian 3 Efek Harga Awal Unk engipleenasikan algoria esiasi rekrsif didala idenifikasi odel proses, erdapa da paraeer penalaan esiaor ang hars dienkan pada saa inisialisasi, ai harga awal vekor paraeer odel dan ariks kovarian P Penenan keda paraeer penalaan ini akan sanga erkai dengan knowledge ang diiliki oleh seorang engineer erhadap proses ang akan diidenifkasi Jika seorang engineer idak eiliki a priori knowledge, ai pengeahan sebelna akan proses ang akan dikendalikan baik berpa srkr odel proses apn odel proses ang dirnkan berdasarkan peodelan fisik berdasarkan firs principle, aka harga awal dari keda paraeer penalaan erseb dapa dienkan sebagai dan P αi, dengan α nilai ckp besar α> ilai α ang besar engindikasikan bahwa odel awal esiaor eiliki ingka keidakpasian ang inggi disebabkan keidakersediaan pengeahan sebelna akan proses Jika peodelan fisik sdah dilakkan sebel engipleenasikan algoria idenifikasi, diana odel linier awal diperoleh dengan enrnkan odel nonlinier proses dan kedian disederhanakan elali proses linierisasi, aka odel fisik ini diaskkan kedala esiaor sebagai odel awal proses ilai paraeer α dieapkan ckp kecil α<, nk engrangi perbahan esiasi paraeer proses

23 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 37 ang drasis, disebabkan karena esiaor sdah eiliki odel awal ang baik Gabar 4 ennjkkan hasil esiasi silasi nilai paraeer a dan b ang idak dikeahi erhadap harga awal ariks kovarian ang berbeda erliha bahwa nk nilai α ang besar nk harga awal paraeer akan cepa konvergen nk endekai nilai paraeer proses sebenarna Gabar 4 Pengarh harga awal P erhadap konvergensi esiasi 3 Meode Esiasi Unk Proses ie-varing Pada beberapa proses eren nilai paraeer odel berbah erhadap wak Perbahan nilai paraeer erseb disebabkan oleh fakor inernal aa eksernal dengan wak Biasana penebabna diakibakan linierisasi proses di sekiar iik kerja nk perbahan sinal ang kecil Karena erjadina perpindahan iik kerja enebabkan karakerisik non linier endoinasi sifasifa proses Jika sifa keidaklinieran idak sanga doinan dan perbahan iik kerja laba, aka karakerisik proses seperi ini dapa direpresenasi oleh persaaan difference dengan paraeer ang berbah erhadap wak 3 Peboboan Eksponensial Dengan Fakor Pelpa Konsan Jika pada eode kadra-erkecil sandar sea daa diperlakkan saa, arina baik daa bar apn daa ang sdah laa epnai bobo ang saa Jika paraeer proses berbah, aka daa proses ang laa sebenarna sdah idak valid lagi, karena daa erseb idak ewakili karakerisik proses

24 38 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif ang bar Hal ini ang enjelaskan alasan kenapa algoria kadra-erkecil sandar idak ap enjejaki perbahan nilai paraeer proses ilai ariks kovarian jga engecil seiring dengan berabahna wak, diana ingka kepercaaan akan odel proses berabah dan ingka keidakpasianna berkrang Keika erjadi perbahan nilai paraeer proses, nilai eleen ariks kovarian idak ckp besar nk eberikan fakor pengkoreksi ang eadai, sehingga ingka adapasina sanga laba Prinsip dasarna adalah dengan enerapkan konsep fakor pelpa, diana daa laa ang ewakili karakerisik sise sebel berbah lai dilpakan, dan lebih eniikberakan pada daa bar ang dikr dari sise seelah erjadi perbahan karakerisik Mekanise pelpa hars secara perlahan-lahan elpakan daa laa Fngsi krieria pada persaaan sekarang diabah fakor bobo ang bernilai eksponensial nk seiap daa J i i λ i λ [ i i ] 5 i i dengan λ adalah fakor pelpa Daa bar akan epnai bobo ang paling inggi ilai bobo i akan berkrang secara eksponensial seiring dengan berabahna wak Daa laa sediki dei sediki akan dilpakan, dan algoria lebih encrahkan perhaian kepada daa bar Algoria esiasi rekrsif dengan fakor pelpa ini adalah [ ] γ 5 P γ 53 λ P [ I γ ] P P 54 λ Pengarh fakor pelpa λ dapa dikenali secara langsng dari persaaan invers ariks kovarian P λ P P - proporsional erhadap ariks inforasi { } E{ } E P σ σ Fakor pelpa λ hars dieapkan sebagai berik:

25 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 39 λ kecil isal λ9, jika kecepaan perbahan paraeer besar aa dera idak erlal besar λ besar isal λ98, jika kecepaan perbahan paraeer kecil aa dera besar Algoria esiasi paraeer dengan fakor pelpa konsan sanga cocok nk proses dengan perbahan paraeer kecil dan askan ckp ereksiasi Jika paraeer proses knosan, hasil ang baik dapa diperoleh jika dera ang epengarhi proses idak erlal besar Masalah bar ibl jika λ< dan askan idak ckp ereksiasi Maka nilai P- berkrang karena, aa eleen P berabah secara konin dan idak erkendali blow p Karena vekor pengkoreksi adalah γ P aka esiaor enjadi sanga sensiif Ganggan kecil aa kesalahan nerik enebabkan perbahan esiasi paraeer ang iba-iba Esiaor enjadi idak sabil Siasi ini dapa diaai dengan sise kendali adapif Dengan deikian eksiasi askan hars dionior aa fakor pelpa hars erpakan fngsi wak Conoh 5 Dikeahi sa proses ang idak dikeahi epnai benk odel leassqares dengan benk persaaan difference adalah e dengan variansi dera sebesar Seelah pencplikan ke nilai paraeer proses berbah Benk proses ang bar adalah 4 5 e Balah progra dala MAAB nk ensilasikan respon kelaran proses dengan askan berpa sinal acak dan nk enapilkan krva hasil esiasi dengan enggnakan algoria RS dengan fakor pelpa λ9 dan P I, dan Solsi Progra silasi: >> echo off >> signrandn,; e *randn,; >> h idpol[ -5 7],[ 5]; >> h idpol[ - 4],[ 5]; >> sih,[ e];

26 4 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif >> sih,[ e]; >> [;]; [;]; >> iddaa,; >> alpha e3; labda 9; >> [h,h,p,phi] rarx,:,[ ],'ff',labda,eros4,,alpha*ee4; >> hea,: h; cov:,:,p; hah; >> for k :4 [h,h,p,phi] rarxk,:,[ ],'ff',labda,h',p,phi; heak,: h; cov:,:,k p; hak h; >> end Dari hasil grafik esiasi pada gabar 5 erliha bahwa algoria RS dengan fakor pelpa ap enjejaki perbahan paraeer proses a dan a, diana nilai raa-raa paraeer proses ang bar endekai nilai paraeer proses ang sebenarna Unk dapa enjejaki perbahan paraeer sise, aka esiaor hars eiliki sifa adapasi erhadap perbahan karakerisik sise, dengan cara eneapkan nilai fakor pelpa λ lebih kecil dari Gabar 6 ennjkkan perbandingan krva kelaran proses dengan kelaran prediksi sa-langkah-kedepan Penipangan erjadi pada, nan seelah algoria RS dengan fakor pelpa ap enghasilkan kelaran ang idenik dengan kelaran proses Gabar 5 Hasil esiasi paraeer nk proses ang berbah

27 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 4 Gabar 6 Respon kelaran proses dengan kelaran prediksi sa-langkah-kedepan Gabar 7 Pengarh nilai fakor pelpa erhadap keapan enjejaki perbahan nilai paraeer proses 4 Meode Exended eas-sqares ES Perasalahan ang dijpai dala idenifikasi sise ang erkonainasi dera dengan variansi dera ang ckp besar dengan enggnakan algoria

28 4 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif kadra-erkecil adalah bahwa esiasi paraeer ang dihasilkan bias dan idak konsisen Hal ini eraa disebabkan oleh faka bahwa odel ARX ang dignakan dala algoria kadra-erkecil engassikan odel dera ang sanga khss ang sanga jarang dijpai dala sise riil, seperi erliha pada gabar 8 di bawah ini ARX odel e B - A - Real process v B - A - Gabar 8 Model ARX engassikan odel dera /A, seenara kelaran proses riil erkonainasi oleh dera pih aa dera warna Bias pada esiasi paraeer epnai ari bahwa paraeer hasil esiasi erdeviasi dari nilai opial aa nilai sebenarna Keidakkonsisenan algoria kadra-erkecil engancng ari bahwa nilai bias erseb idak endekai nilai nol walapn jlah daa ang dignakan endekai ak hingga Gabar 9 enggabarkan keidakkonsisen eode kadra erkecil keika jlah daa ang lebih besar idak eperbaiki kalias esiasi odel Karena konsisensi erpakan sifa esiaor aa ang hars diiliki, beberapa sraegi elah dikebangkan nk enghindari keidakkonsisensi esiasi nk odel ARX Ide dasar ang elaarbelakangi sebagian besar dari pendekaan erseb adalah dengan enjaga sifa linierias pada paraeer odel ARX, karena hal ini erpakan kenngan erbesar ang dapa eba solsi dari perasalahan idenifikasi dapa berpa solsi analiik Salah sa alernaif peecahan perasalahan di aas adalah dengan eilih srkr odel ang lebih seperi odel ARMAX ang epnai hbngan idak linier anar paraeer, dan engebangkan algoria ang dapa engesiasi paraeer idak linier dengan eknik eode kadra-erkecil linier beringka Dala esiasi dengan odel leas-sqares diassikan proses diwakili oleh persaaan A B e 57

29 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 43 Jika proses erkonainasi oleh dera warna odel ang epa dignakan adalah odel ARMAX A B C e 58 dengan polinoial C - secara idak dapa diassikan saa dengan sa Jika proses dengan dera warna diesiasi dengan algoria leassqares sandar, aka esiaor akan eberikan hasil ang bias Gabar 9 Sifa nconsisen dari algoria kadra erkecil dala esiasi paraeer odel dengan kelaran proses erkonainasi oleh dera Unk engesiasi polinoial C - diperlkan daa dera e-,, e-n c Akan eapi {e} adalah dera pih ang idak dapa erkr Hai ang erbaik ang dapa dilakkan adalah enggnakan kesalahan prediksi nk engganikan daa dera ang idak dapa diperoleh Benk persaaan predikor opial nk odel ARMAX adalah B C A C 59 Forla predikor ARMAX akan selal sabil walapn polino A - epnai akar ang idak sabil Hana saja, polino C - hars dijaga nk selal sabil Srkr gala prediksi nk odel ARMAX ini seperi erliha pada gabar, epnai persaaan

30 44 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif A B 6 C C process e C P - A P - B P - v A P - C - C - B - - A - Gabar Model ARMAX dala konfigrasi persaaan kesalahan Perbedaan dengan skea esiasi pada odel ARX adalah bahwa daa askan-kelaran erkr difiler erlebih dahl dengan polino /C - Kesalahan prediksi dapa diekspresikan dala benk ε C A A B B C 6 Dan jika dibah kedala doain wak enghasilkan persaaan diferens seperi persaaan berik a a b b na nb c cnc nc nb na 6 Sinal -i bkan hasil pengkran elainkan hars dikalklasi dari resid sebelna dan esiasi sinal dera e-i ang idak dikeahi Perasalahan idenifikasi odel ARMAX berbasiskan kepada persaaan resid 6 Ada da pendekaan berbeda nk solsi perasalahan erseb Pendekaan peraa berdasarkan kepada perasalahan eknik opiasi nonlinier livariabel Beberapa eode ang dikenal dala eknik opiasi seperi eode ewon, evenberg-marqard, conjgae direcion, Qasi-ewon, dapa dignakan nk eecahkan perasalahan erseb Hana saja wak kopasi ang dibhkan sanga ebebankan perhingan eraa nk aplikasi real ie seperi sise kendali swa-ala

31 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 45 Pendekaan keda dengan eanfaakan sifa ang diiliki oleh algoria kadra erkecil nan dignakan nk engesiasi paraeer odel nonlinier eknik ini dikenal sebagai eode kadra erkecil beringka Dari aspek kecepaan konvergensi, pendekaan kadra erkecil beringka lebih cepa dibandingkan eknik opiasi nonlinier Hana saja, solsi ang diperoleh dapa erjebak kedala perasalahan lokal inia idak dapa dipecahkan angkah-langkah ang diperlkan penelesaian idenifikasi sise dengan enggnakan algoria exended leas-sqares adalah sebagai berik: angkah i Esiasi odel ARX A - B - - v berdasarkan daa pengkran {, } dengan enggnakan persaaan ARX Φ Φ Φ angkah ii Kalklasi kesalahan prediksi odel ARX ARX A - B - diana B - dan A - dienkan dari ARX angkah iii Esiasi paraeer odel ARMAX a i, b i, dan c i dari persaaan 58 dengan algoria kadra erkecil dengan pendekaan resid odel ARMAX -i ARX -i angkah iv angkah ii dan iii dapa diierasi hingga konvergensi esiasi ercapai Dengan ierasi perbaikan kalias esiasi paraeer odel, eba algoria ES sanga cocok dignakan dala idenifikasi sise dengan dera ang ckp besar Kesalahan prediksi ARMAX akan endekai karakerisik dera pih, ai ncorrelaed dan raa-raa nol, seiring dengan sea inforasi sise ang diperlkan dapa dieksploiasi oleh odel dengan baik Algoria Recrsive Exended eas-sqares RES Algoria rekrsif ES saa dengan algoria leas-sqares sandar ai persaaan 47, 48, dan 49, ang ebedakan hana benk vekor paraeer dan vekor daa dan [ a,, a, b,, b, c,, c ] 63 na nb nc

32 46 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif [,, na,,, nb,,, ] nc 64 ilai sinal kesalahan prediksi ang jga diseb a priori error didala vekor daa dihing rekrsif dengan enggnakan persaaan 5 Oleh karena i akar-akar dari polinoial C - hars erleak didala ni lingkaran bidang Unk epercepa konvergensi esiasi paraeer, na perhingan esiasi enggnakan a poseriori error, diana kesalahan prediksi berbasiskan kepada nilai esiasi paraeer saa sekarang, dibandingkan enggnakan a priori error ang berdasarkan nilai esiasi paraeer sebelna Sinal a poseriori error epnai benk persaaan ~ ϕ 64 Dala perhingan algoria RES vekor daa ang dignakan sekarang berbah enjadi [,, na,,, nb, ~,, ~ ] nc Dibandingkan eode RS, konvergensi esiasi algoria RES lebih laba, khssna pada esiasi paraeer odel dera c i Hal erseb disebabkan oleh faka bahwa selaa prosedr esiasi paraeer diperlkan pendekaan sinal dera pih eraa pada awal ierasi, diana pendekaan dera pih sanga brk ang engakibakan brkna kalias esiasi paraeer a i dan b i Efekna dapa enrnkan konvergensi esiasi angkah-langkah ang diperlkan algoria RES adalah, pada seiap wak diskri : angkah i Benk vekor daa ϕ enggnakan daa bar erkr angkah ii Hing kesalahan prediksi enggnakan ϕ angkah iii Perbahari ariks kovarian P enggnakan ϕ ϕ P P P I λ ϕ P ϕ angkah iv Perbahari vekor paraeer P ϕ

33 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 47 angkah v Hing sinal a poseriori error enggnakan ~ ϕ angkah vi ngg periode wak pencplikan berikna dan langi langkah i Unk conoh 4 dengan variansi dera σ, hasil esiasi ang diperoleh algoria ES jga lebih baik dibandingkan dengan hasil dari algoria kadraerkecil sandar seperi erliha pada gabar ilai raa-raa esiasi paraeer proses berada di sekiar nilai paraeer proses ang sebenarna Progra silasi: >> v; >> signrandn,; e v*randn,; >> h idpol[ -9 9],[ ],[ - 6]; >> sih,[ e]; >> Daa iddaa,; >> na; nb; nc; nk; >> alpha e3; >> [h,h,p] rarx[ ],[na nb nk],'ff',,erosnanb,, alpha*eenanb; >> [h,h,p] rarax[ ],[na nb nc nk],'ff',,erosnanbnc,, alpha*eenanbnc; Gabar Perbandingan respons sep proses dengan odel

34 48 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Gabar Hasil esiasi paraeer proses dengan RS dan RES 5 Meode Insrenal Variable Pendekaan algoria kadra-erkecil beringka seperi algoria ES eberikan kenngan dala esiasi paraaer odel nonlinier dari aspek wak kopasi ang lebih singka dibandingkan jika hars diselesaikan dengan eknik opiasi an eode dikhsskan nk esiasi odel ARMAX ang epnai hbngan nonlinier dianara paraeer odel Meode lain ang sanga popler dan dah dignakan nk engaasi perasalahan konsisensi dari esiasi odel ARX adalah eode insrenal variable IV Ide ang endasari eode ini adalah dengan engalikan vekor kesalahan prediksi dengan sa ariks Z ang epnai diensi ang saa dengan ariks regressor Φ Seiap kolo ariks Z diseb sebagai variabel insren ang dienkan oleh peakai agar idak berkorelasi dengan dera, sehingga jika sea inforasi sise dapa dieksploiasi odel dengan baik, variabel insren jga idak berkorelasi dengan Hal ini berari bahwa seiap baris dari ariks Z orhogonal erhadap vekor kesalahan prediksi, Z Dengan engalikan persaaan vekor kesalahan prediksi dengan enghasilkan Z Z - Z Φ 65

35 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 49 dan konsekensina Z Z Φ 66 Jika ariks Z non-singlar, ang ewakili sifa askan ang ckp ereksiasi dan peilihan variabel insren ang represenaif, algoria esiasi insrenal variable dinaakan dala persaaan Z Φ Z 67 erliha bahwa algoria IV eiliki persaaan ang sederhana seperi ang diiliki oleh algoria kadra erkecil Yang enjadi perasalahan dala penggnaan eode IV adalah penenan variabel insren agar dapa eperbaiki sifa konsisensi Yang enebabkan erjadina bias esiasi pada algoria kadra erkecil adalah penggnaan daa kelaran erkr pada ariks regressor Kelaran sise sdah berkorelasi dengan dera Hal ini akan eba ariks regressor enjadi ariks singlar Salah sa cara nk enenkan variabel insren adalah dengan enggnakan daa kelaran odel ARX dala skea op error dibandingkan daa kelaran erkr Daa kelaran odel engganikan daa kelaran sise erkr pada ariks regressor seenara daa askan proses diba eap Mariks bar ini ang diseb sebagai ariks Z Algoria lengkap dari eode insrenal variable dapa diliha di bawah ini angkah i Esiasi odel ARX berdasarkan daa pengkran {,} enggnakan persaaan ARX Φ Φ Φ angkah ii Silasikan odel ini nk enghasilkan kelaran odel B A dengan B - dan A - dienkan oleh ARX angkah iii Benk variabel insren n n Z M O M n n n M O M n

36 5 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif angkah iv Esiasi paraeer odel dengan eode IV IV Z Φ Z angkah v Ierasi langkah -4 algoria IV hingga konvergensi ercapai Gabar 3 Perbandingan keiripan odel dengan kelaran proses ang dihasilkan eode S dan IV Gabar 4 Sifa konsisensi eode IV erhadap berabahna jlah daa

37 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif 5 Unk conoh 4 dengan variansi dera σ, hasil silasi odel dengan askan berpa fngsi sep ang diperoleh algoria IV jga lebih baik dibandingkan dengan hasil dari algoria kadra-erkecil sandar seperi erliha pada gabar 3 Hingga ierasi ke-5, eode IV dapa eba keiripan ang lebih baik anara odel dengan kelaran proses Sifa konsisensi eode IV jga lebih baik dibandingkan eode kadra-erkecil Seperi erliha pada gabar 4, eode IV dapa eperbaiki keiripan odel dengan proses nk perolehan daa esiasi ang lebih banak Meode Recrsive Insrenal Variable RIV Algoria RS secara enghasilkan esiasi paraeer ang idak konsisen dari nilai paraeer proses sebenarna seperi ang dihasilkan oleh algoria kadra erkecil Seperi ang sdah dijelaskan pada bagian sebelna, salah sa eode ang dapa engaasi perasalahan keidakkonsisenan adalah eode insrenal variable Dengan adana variabel insren nk enghindari ariks regressor agar idak enjadi singlar, aka benk rekrsif dari algoria insrenal variable adalah γ P γ e P ϕ P λ I γ ϕ P λ 68 Variabel insren dienkan oleh kelaran odel agar bebas linier erhadap dera dengan [ n ] n 69 [ a a na b b ] na nb nb 7 Penggnaan odel bebas IV dapa enebabkan perasalahan kesabilan karena odel ini berbasis kepada esiasi paraeer ang erepresenasikan lp dala lp Perasalahan ang dijpai ini enebabkan aplikasi eode RIV idak erlal skses dala prakis

38 5 Bab : Meode Esiasi Paraeer Rekrsif Penggnaan odel bebas ini jga eba selaa beberapa kali ierasi peraa esiasi algoria RIV, paraeer eresiasi a i dan b i idak akra ang disebabkan odel bebas ang diiliki asih eiliki nsr keidakpasian ang inggi Unk engaasina, algoria RS dignakan selaa fasa awal esiasi Algoria RS dijalankan selaa beberapa periode pencplikan, isalkan 4n, hingga esiasi paraeer erliha sdah sabil Gabar 6 Hasil perbandingan esiasi odel dengan RS dan RIV