RANCANG BANGUN PROGRAM PENGEDITAN KURVA B-SPLINE MULTIRESOLUSI BERBASIS WAVELETS

Transkripsi

1 RANCANG BANGUN PROGRAM PENGEDITAN KURVA B-SPLINE MULTIRESOLUSI BERBASIS WAVELETS Naik Suciati, Jurusa Tekik Iformatika, FTIF, ITS L.Y. Stefaus, Fakultas Ilmu Komputer, UI aik@its-sby.edu ABSTRAK Peelitia ii meyusu represetasi multiresolusi utuk kurva B-splie kubik yag megiterpolasi titik-titik uug dega basis wavelets. Represetasi multiresolusi ii diguaka utuk medukug beberapa tipe pegedita kurva, yaitu peghalusa kurva dega tigkat resolusi kotiyu utuk meghilagka detail-detail kurva yag tidak diigika, pegedita betuk keseluruha kurva dega tetap mempertahaka detaildetailya, perubaha detail-detail kurva tapa mempegaruhi betuk keseluruhaya, da pegedita satu bagia tertetu dari kurva melalui maipulasi secara lagsug terhadap titik-titik kotrolya. Utuk megui kemampua represetasi multiresolusi dalam medukug empat tipe maipulasi kurva tersebut, disusu program pegedita kurva dega megguaka bahasa pemrograma Visual C++ pada komputer Petium 33 MHz, memori 6 Mbyte, sistem operasi Widows 95, ligkuga pegembaga Microsoft Developmet Studio 97 da pustaka Microsoft Foudatio Class. Dari hasil ui coba program diketahui bahwa represetasi multiresolusi memberika dukuga yag sagat baik terhadap tipe-tipe pegedita seperti yag disebutka di atas. Represetasi multiresolusi tidak membutuhka memori peyimpa ekstra selai dari yag diguaka utuk meyimpa titik kotrol. Dari hasil ui coba program megguaka ratusa titik kotrol, algoritma berala cukup cepat da memadai berkaita dega tututa komuikasi iteraktif atara user da program. Kata kuci : B-Splie, Wavelet, Multiresolusi.. PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Kostruksi da maipulasi kurva merupaka salah satu bidag utama dalam grafika komputer. Kurva dimafaatka utuk memodelka obyek-obyek dalam duia yata yag berbetuk tak beratura tetapi mulus [BAR87]. Utuk mere-presetasika kurva biasaya diguaka splie, yaitu suatu fugsi yag terdiri dari beberapa potoga fugsi poliomial yag digabug meadi satu. Jika fugsi poliomial yag diguaka berderaat satu, maka aka meghasilka kurva liier sepotog demi sepotog. Represetasi kurva dega megguaka splie berderaat satu ii memerluka peyimpaa seumlah besar koordiat titik supaya didapatka betuk yag cukup akurat. Selai itu, maipulasi iteraktif sulit dilakuka. Pedekata yag lebih umum adalah megguaka splie berderaat lebih tiggi dari satu karea membutuhka peyimpaa koordiat titik yag lebih sedikit da memudahka maipulasi iteraktif [FOL90]. Paradigma umum dalam pegedita kurva meyataka bahwa maipulasi kurva seharusya bisa dilakuka secara lagsug dalam suatu ligkuga pegedita iteraktif [SCH95]. Program-program drawig biasaya meyediaka operasi-operasi primitif utuk meggambar kurva B-splie. Demikia uga dega paket Computer Aided Desig (CAD), umumya meyediaka alat-alat utuk meracag kurva da permukaa. Utuk medapatka betuk yag diigika, user memidahka titik-titik kotrol dega batua mouse. Suatu represetasi kurva yag baik seharusya memugkika pegedita, peghalusa da aproksimasi kurva yag fleksibel. Suatu represetasi kurva seharusya medukug halhal sebagai berikut [FIN96]: a. kemampua megubah betuk keseluruha dari suatu kurva dega tetap mempertahaka detail-detail halusya, b. kemampua megubah detail-detail kurva tapa mempegaruhi betuk keseluruhaya, c. kemampua megedit kurva yag memugkika satu bagia tertetu dari kurva diubah melalui maipulasi secara lagsug terhadap titik-titik kotrolya, d. kemampua melakuka tigkat peg-halusa kotiu, yag dapat meg-hilagka detaildetail yag tidak diigika dari suatu kurva. Forsey da Bartels [FOR88] meyusu suatu hierarchical B-splie utuk megatasi masalah a) di atas, yaitu pegedita betuk keseluruha dari suatu permukaa dega tetap mempertahaka detailya. Mereka merepresetasika kurva yag sama pada beberapa tigkat resolusi melalui peyusua himpua titik kotrol yag sesuai pada setiap tigkat Racag Bagu Program Pegedita Kurva B-Splie Multiresolusi

2 resolusi. Mereka medeskripsika suatu metode utuk megaproksimasi secara rekursif suatu represetasi kurva hirarkhis ke dalam sekumpula data, dega aproksimasi pertama adalah aproksimasi palig kasar da selautya memperhalus aproksimasi tersebut. Represetasi yag disusu oleh Forsey da Bartels ii tidak berkaita dega suatu fugsi basis tertetu, sehigga utuk satu betuk kurva tidak diami adaya represetasi hirarkhis yag uik. Kostruksi ii mirip dega ide proses filter bak yag diguaka dalam aalisa multiresolusi. Tetapi ada satu perbedaa petig. Jika represetasi hirarkhis dari suatu kurva disusu megguaka formulasi Forsey da Bartels, maka aka terdapat seumlah tak berhigga represetasi yag mugki utuk kurva yag sama. Semetara itu, ika represetasi hirarkhis dari suatu kurva disusu megguaka proses filter bak seperti dalam aalisa multiresolusi, maka represetasi yag dihasilka adalah uik [FIN96]. Wavelet merupaka alat matematis yag dapat diguaka utuk meyusu aalisa multiresolusi [MAL89]. Aalisa multi-resolusi memugkika aalisa terhadap suatu fugsi pada beberapa tigkat resolusi. Kurva yag diekspresika dega m titik kotrol dapat diaproksimasi ke dalam tigkat resolusi yag lebih redah dega titik kotrol, melalui proses filterig. Karea m >, maka ada beberapa detail yag hilag selama proses filterig. Wavelet meam-pug detail-detail yag hilag selama proses filterig tersebut ke dalam d titik kotrol. Proses pemisaha kurva dega m titik kotrol ke dalam kurva resolusi lebih redah dega titik kotrol da detail-detail d titik kotrol, disebut dekomposisi [FIN96]. Proses dekomposisi ii dilakuka secara rekursif utuk meghasilka hirarki kurva multiresolusi..2 Masalah Dalam peelitia ii dibagu suatu sistem pegedita kurva multiresolusi berbasis wavelet yag diharapka dapat meyediaka suatu keragka kera yag medukug empat sifat di atas (a -d). Yag meadi permasalaha dalam tesis ii adalah: bagaimaa meyusu represetasi kurva multiresolusi berbasis wavelet bagaimaa meyusu metode maipulasi kurva dega memafaatka represetasi kurva multiresolusi berbasis wavelet bagaimaa membagu program dega struktur data da algoritma yag sesuai utuk maipulasi kurva multiresolusi berbasis wavelet..3 Batasa Masalah Represetasi kurva dibatasi pada eis kurva B- splie kubik yag megiterpolasi titik-titik uug (utuk selautya aka disebut kurva B-splie KI), yaitu kurva B-splie kubik seragam dega kot-kot pada uug kurva memiliki multiplisitas 4 [BAR87][FIN96]. Kurva B-splie kubik seragam adalah kurva yag dibetuk dega megguaka fugsi-fugsi basis yag berupa fugsi poliomial berderaat 3 dega kotiuitas C 2 pada oit (titik temu atara dua segme kurva yag beruruta) da memiliki dereta kot berarak sama. Peragkat luak dibuat dega megguaka bahasa pemrograma Visual C++ pada komputer Petium 33 MHz, memori 6 Mbyte, sistem operasi Widows 95, ligkuga pegembaga Microsoft Developmet Studio 97 da pustaka Microsoft Foudatio Class. 2. REPRESENTASI KURVA B-SPLINE MULTIRESOLUSI BERBASIS WAVELET Utuk membuat suatu kurva, titik-titik kotrol harus didefiisika terlebih dahulu. Titik-titik kotrol iilah yag aka meetuka betuk dari kurva. Dalam represetasi multiresolusi, titik-titik kotrol dari kurva B-splie KI dimaipulasi sedemikia rupa dega memafaatka fugsi basis wavelets sehigga membetuk hirarkhi titik kotrol. Pada setiap tigkat resolusi, himpua titik kotrol megaproksimasi betuk kurva dega tigkat kedekata tertetu. Represetasi multiresolusi ii disusu utuk medukug empat sifat pegedita kurva seperti yag disebutka pada.. 2. Gambara Umum Ruag B-splie kubik seragam diyataka dega S dega dereta kot ui i,i Z, da arak atar kot sebesar. Notasi Z meyataka himpua bilaga iteger positif. Dalam represetasi multiresolusi, aka disusu ruag B- splie kubik seragam S dega dereta kot berarak 2, Z [CHU92]. Ideks dalam S meyataka tigkat resolusi. Suatu kurva pada resolusi dibetuk dega megguaka 2 3 titik kotrol. Dega demikia kurva pada resolusi palig kasar, yaitu resolusi 0, dibetuk dega megguaka titik kotrol da terdiri dari segme kurva serta memiliki dereta kot berarak. Kurva pada tigkat resolusi dibetuk dega megguaka titik kotrol da terdiri dari 2 segme kurva serta memiliki dereta kot berarak ½. Kurva pada tigkat resolusi 2 2 Volume, Nomor, Juli 2002 :

3 dibetuk dega megguaka titik kotrol da terdiri dari 4 segme kurva serta memiliki dereta kot berarak ¼. Demikia seterusya. Karea fugsi B-splie pada resolusi dega dereta kot berarak 2 uga merupaka fugsi B- splie pada resolusi 2 dega dereta kot 2 2, dimaa, maka terdapat dereta ruag 2 bersarag sebagai berikut : 0 2 S S S. Jika V meyataka ruag L 2 ( R) tertutup dari S L 2 ( R), maka terdapat subruag-subruag B- splie tertutup da bersarag dari berikut [CHU92] : 0 2 V V V. L 2 ( R) sebagai Pada setiap resolusi, kurva yag sama diyataka dega titik-titik kotrol yag berbeda. Misalka C adalah himpua titik kotrol pada resolusi yag diyataka dega vektor kolom c, c, c,, c. Jumlah titik kotrol yag 0 2 m T terdapat dalam C adalah 2 3 m. Utuk meyusu C (aproksimasi dari C dega resolusi satu lebih redah) yag memiliki umlah titik m < m, dilakuka kotrol 2 3 m dega filterig terhadap m titik kotrol dari C. Proses ii dapat diekspresika megguaka persamaa matriks sebagai berikut [FIN96] : C A C (2.) dega A adalah matriks berukura m m. Karea umlah titik kotrol dalam C lebih sedikit dibadig umlah titik kotrol dalam C, maka ada beberapa detail yag hilag selama proses pemfiltera. Detail-detail yag hilag ii ditampug dalam D yag dapat dihitug megguaka persamaa matriks sebagai berikut [FIN96] : D B C (2.2) B adalah matriks berukura ( m m) m. Pasaga matriks A da B disebut filter aalisis. Proses pemisaha C ke dalam versi resolusi lebih redah C da detail D disebut dekomposisi. Da dekomposisi ii bisa dilakuka secara berulag terhadap C, sehigga titik kotrol semula C dapat diekspresika sebagai hirarkhi dari titik-titik kotrol dega resolusi lebih redah C 0, C,, C da detail-detail D 0, D,, D. Proses dekomposisi berulag ii dikeal sebagai filter bak, yag dapat digambarka sebagai berikut : A A A C C C 2 C 0 B B B D D 2 D 0 Jika pasaga matriks A da B dipilih dega cermat, maka titik kotrol awal C dapat direkostruksi kembali dari C da D dega megguaka pasaga matriks P da Q melalui persamaa berikut [FIN96] : C P C Q D (2.3) Matriks P da Q disebut filter sitesis. Proses rekostruksi bisa dilihat pada gambar berikut : P P P C 0 C C C Q Q Q D 0 D D Karea titik kotrol semula C dapat direkostruksi dari dereta C 0, D 0, D,, D, maka dereta C 0, D 0, D,, D dapat diaggap sebagai trasformasi wavelets dari titik kotrol C. Agar dapat melakuka trasformasi wavelets dibutuhka pasaga filter aalisis ( A, B ) da filter sitesis ( P, Q ) yag sesuai. Beberapa hal yag perlu dilakuka utuk meyusu filter-filter tersebut adalah :. Pemiliha scalig fuctios ( u) yag meretag V utuk semua dalam [ 0, ]. Scalig fuctios ( u) aka meetuka filter sitesis P. 2. Pemiliha ier product utuk dua fugsi f da g dalam V, yag aka meetuka orm dari fugsi da ruag kompleme orthogoal W dari V di dalam V. 3. Pemiliha wavelets ( u) yag meretag W. Wavelets ( u) aka meetuka filter A da B sitesis Q. Filter-filter aalisis dapat dihitug dega megguaka filter-filter sitesis P da Q. Racag Bagu Program Pegedita Kurva B-Splie Multiresolusi 3

4 2.2 Peyusua Filter Sitesis P Peyusua filter sitesis P sagat tergatug pada pemiliha scalig fuctios. Dega melihat two scale relatios dari scalig fuctios, maka hubuga atara P da, dapat ditulis sebagai berikut : = P (2.4) Artiya, scalig fuctios harus bersifat refiable, sehigga setiap scalig fuctios pada tigkat resolusi - harus dapat diekspresika sebagai kombiasi liier dari scalig fuctios (yag lebih halus) pada tigkat resolusi, utuk semua dalam [,], dega meyataka resolusi awal [FIN96]. Dalam peelitia ii, diguaka kurva B-splie KI, yaitu kurva yag disusu megguaka fugsi basis B-splie KI. Betuk dari kurva ditetuka oleh peumlaha titik-titik kotrol yag dikalika dega fugsi basis B-splie KI. Dega kata lai, kurva yag terbetuk merupaka kombiasi liier dari fugsi basis B-splie KI. Berdasarka peelasa pada 2., diketahui bahwa fugsi basis B-splie KI dapat meghasilka subruag-subruag B-splie tertutup da bersarag dari L 2 ( R) sebagai berikut : 0 2 V V V Dega demikia, sesuai dega defiisi megeai scalig fuctios, maka fugsi basis B-splie KI dapat diguaka sebagai scalig fuctios. C = Jika kita memiliki himpua titik kotrol c, c, c,, c pada resolusi, dega 0 2 m m 2 3, maka fugsi f ( u) yag meyataka kurva B-splie KI, dega u [ 0, ) dapat dihitug sebagai berikut : f ( u) = ( u) C T ( u) adalah matriks baris dega eleme-eleme berupa scalig fuctios, yaitu : ( u) = 0 ( u), ( u),, m ( u). Jumlah scalig fuctios yag meyusu suatu kurva pada resolusi sama dega umlah titik kotrol, yaitu 2 3. Pada tigkat resolusi 0, kurva memiliki scalig fuctios. Pada tigkat resolusi, kurva memiliki scalig fuctios, da seterusya. Peyusua koefisie filter P yag meghubugka atara scalig fuctios pada resolusi dega scalig fuctios pada resolusi - aalog dega pecaria koefisie i,k (l) pada teorema berikut : utuk setiap i = 0,,s ; s Bi, k ( u) i, k ( l) N l, k ( u) l0, (2.5) dega Bi, k ( u) merupaka fugsi basis B-splie dega umlah kot s+k+ (resolusi redah), da N l, k ( u) merupaka fugsi basis B-splie dega umlah kot s++k+ (resolusi tiggi) [FIN96]. Variabel s meyataka ideks terakhir dari fugsi basis (dega ideks pertama dimulai dari 0), variabel meyataka umlah kot-kot baru yag disisipka ke dalam barisa kot lama, da k meyataka orde dari splie. Karea yag diguaka adalah kurva B-splie kubik, maka k=4. Nilai dari koefisie i,k (l) memeuhi recurrece sebagai berikut: w i,r (l)= u i, (l) = 0 lr ir u w u i l i laiya da u i ui r wl r i, r( l) i r l ui ui r u, ( ) i utuk r = 2,3 da 4. Filter sitesis P dapat dihitug dega mecari ilai i,k (l) melalui peyisipa dereta kot baru di tegah dereta kot lama, sehigga arak atara dereta kot baru meadi setegah dari arak dereta atara kot lama. Utuk meghitug ilai i,k (l), yag diperluka haya iformasi tetag barisa kot pada resolusi - da barisa kot pada resolusi. Hasil akhir dari i,k (l) berupa matriks berukura (umlah scalig fuctios pada resolusi - ) (umlah scalig fuctios pada resolusi ) atau Matriks P merupaka traspose dari matriks i,k (l), karea posisi scalig fuctios pada persamaa (2.4) da (2.5) berbalika. Hasil perhituga filter aalisis P, P 2 da P 3, bisa dilihat di lampira. 2.3 Peyusua Filter Sitesis Q Pemiliha scalig fuctios (u) utuk semua Z da 0 yag meretag V da meetuka filter sitesis P telah dibahas dalam 2.2. Lagkah selautya dalam meyusu represetasi multiresolusi adalah medefiisika ruag W yag merupaka ruag kompleme orthogoal dari V di dalam V. Wavelets adalah fugsi-fugsi yag dipilih sebagai basis dari W. 4 Volume, Nomor, Juli 2002 :

5 Sebagaimaa halya scalig fuctios yag pada 2.2 ditulis dalam betuk matriks baris, sebagai berikut : ( u) = 0 ( u), ( u),, m ( u) maka wavelets uga ditulis sebagai berikut :, ( u) ( u), ( u),, ( u) 0. Jumlah scalig fuctios pada resolusi adalah 2 3 m, da umlah wavelets pada resolusi adalah 2. Karea W adalah ruag kompleme orthogoal dari V di dalam V, maka umlah scalig fuctios pada resolusi + adalah m 2 3. Pemiliha ier product utuk dua fugsi f da g dalam V aka meetuka ruag kompleme orthogoal W dari V di dalam V [FIN96]. Ier product f, g f ( u) g( u) du 0 Wavelets u stadar yag diguaka adalah. (2.6) ( ) yag meretag W dipilih dega batasa sebagai berikut :. Setiap wavelets dalam ( u) orthogoal dega setiap scalig fuctios dalam (u), sehigga k, l 0 utuk semua k da l. 2. Wavelets memiliki dukuga palig kecil (miimal support), sehigga dipilih barisa koefisie wavelets yag memiliki ilai 0 palig bayak (tetapi tidak semuaya 0). Notasi didefiisika sebagai matriks ier product dega setiap eleme (k,l) adalah k, l. Berkaita dega batasa orthogoalitas, maka : = 0. (2.7) Dega megguaka wavelets ( u) yag meretag ruag W, filter sitesis Q dapat ditetuka melalui persamaa matriks yag idetik dega two scale relatios dari wavelets sebagai berikut: = Q. (2.8) Dega mesubstitusika persamaa (2.8) ke dalam persamaa (2.7) didapat : Q = 0 (2.9) Persamaa matriks dega sisi kaa 0 seperti pada (2.9) disebut sistem persamaa homoge. Himpua semua solusi yag mugki disebut ruag ull dari, da kolom-kolom dari matriks Q harus membetuk basis utuk ruag ull ii. Ada bayak kemugkia basis utuk ruag ull. Artiya, terdapat beberapa basis wavelets yag berbeda utuk suatu ruag wavelets W. Oleh karea itu diperluka batasa lai utuk memilih basis wavelets. Dalam peelitia ii, dipilih basis wavelets yag memiliki dukuga palig kecil. Hasil perhituga filter sitesis Q, scalig fuctio pada resolusi, wavelets pada resolusi, da scalig fuctio pada resolusi 2, bisa dilihat di gambar. 2.4 Peyusua Filter Aalisis A da B Peyusua filter-filter aalisis A da B dapat dilakuka dega megguaka filter-filter sitesis P da Q sebagai berikut : P Q. (2.0) Berdasarka defiisi dari relasi dekomposisi, maka hubuga atara filter aalisis A da B dega scalig fuctios da wavelets dapat ditulis sebagai berikut : A B. (2.) Selautya, filter A da B disusu melalui perhituga matriks yag memeuhi relasi ivers sebagai berikut : A P Q B. (2.2) Setelah filter-filter sitesis da aalisis ditetuka, maka represetasi multiresolusi dari kurva B-splie KI dapat dihitug. 2.5 Metode-Metode Maipulasi pada Kurva Multiresolusi Subbab ii membahas tetag beberapa metode maipulasi kurva dega memafaatka represetasi multiresolusi dari kurva B-splie KI, sehigga medukug empat sifat pegedita kurva seperti yag telah disebutka di.. Pembahasa dibagi meadi tiga bagia, yaitu peghalusa, pegedita betuk keseluruha kurva da pegedita detail-detail kurva. Racag Bagu Program Pegedita Kurva B-Splie Multiresolusi 5

6 2.5. Peghalusa Subbab ii membahas tetag metode peghalusa kurva. Yag dimaksud dega peghalusa adalah: utuk suatu kurva pada resolusi yag dibetuk dega m 2 3 buah titik kotrol C, kita bisa meghaluska betuk kurva dega meghilagka detail-detail yag tidak diigika dega melakuka aproksimasi terhadap kurva semula (resolusi ) pada resolusi, dega 0, megguaka m 2 3 buah titik kotrol C. Kebutuha implisit yag lai dari peghalusa adalah kemampua utuk merepresetasika kurva pada resolusi dega kurva yag sama pada resolusi k (yag lebih tiggi) k dega k>, megguaka m 2 3 titik kotrol C k. Tipe peghalusa semacam ii dibutuhka ketika kita igi megedit segme kurva yag lebarya lebih kecil dari segme kurva pada tigkat resolusi (lihat gambar 3). Peyusua kurva pada tigkat resolusi lebih redah dari dapat dilakuka dega meghitug C sebagai berikut [FIN96] : C A A 2. A C. Jadi, persamaa dekomposisi (2.) dikeraka sampai ditemuka titik-titik kotrol pada resolusi yag diigika. Peyusua kurva pada tigkat resolusi lebih tiggi dari dapat dilakuka dega meghitug C k sebagai berikut : 2 C P P P C k k (2.3) Jadi, persamaa rekostruksi (2.3) dikeraka dega ilai D l, l k sama dega 0. Proses ii sama dega melakuka peyisipa dereta kot baru di tegah dereta kot lama, setiap kali tigkat resolusi bertambah. Algoritma ii dialaka sampai ditemuka titik-titik kotrol pada resolusi yag diigika. Setelah titik kotrol pada tigkat resolusi tertetu ditemuka, maka kurva B-splie KI bisa digambar dega megguaka fugsi basis B-splie KI (scalig fuctios) sebagai berikut : f k ( u) k ( u) C k. Dega represetasi kurva multi-resolusi, kita haya dapat meghitug aproksimasi kurva pada resolusi-resolusi diskrit. Jadi, ika meyataka resolusi, maka ilai harus iteger positif. Karea pada resolusi umlah titik kotrol adalah 2 3, maka aproksimasi kurva haya dapat disusu dega umlah titik kotrol 4, 5, 7,, 9, 32 da seterusya. Pada resolusi tiggi, perbedaa umlah titik kotrol pada resolusi dega aproksimasiya pada resolusi - meadi semaki besar, sehigga detail-detail yag masih igi dipertahaka dari kurva asli kemugkia hilag pada kurva aproksimasi. Utuk megatisipasi hal ii, didefiisika resolusi kotiu. Jika = ( berilai iteger positif), maka kurva f ( u) dibetuk megguaka 2 3 titik kotrol yag disusu melalui represetasi multiresolusi. Jika =+ dega 0 ( berilai pecaha positif), maka kurva f ( u) dibetuk megguaka iterpolasi liier atara kurva f ( u) (pada resolusi ) dega kurva f ( u) (pada resolusi +), sebagai berikut [FIN96] : f ( u) ( ) f ( u) f ( u) ( u) C ( u) C. = (- ) Beberapa cotoh peghalusa kurva bisa dilihat di gambar P = P P Volume, Nomor, Juli 2002 :

7 2 Q Q Q Q Gambar. Hasil perhituga filter P da Q. (a) Scalig fuctios pada resolusi. Dari atas ke bawah berturutturut,,,,. (b) Wavelets pada resolusi. Dari atas ke bawah berturut-turut,. (c) Scalig fuctios pada resolusi 2. Dari atas ke bawah berturut-turut,,,,,, titik kotrol C, dimaa C C C. Pegedita titik kotrol pada resolusi aka mempegaruhi (megubah) titik kotrol pada resolusi yag lebih tiggi, tetapi perubaha tersebut diusahaka utuk tidak mempegaruhi (megub ah) dereta detail D, D,, D 0. Hal iilah yag meyebabka betuk kurva secara keseluruha berubah, tetapi detail-detail halus dari kurva tetap dipertahaka. Titik kotrol pada resolusi aka berubah meadi C C C. Nilai C dapat Racag Bagu Program Pegedita Kurva B-Splie Multiresolusi 7

8 (a) Kurva dega resolusi 6 (b)aproksimasi kurva (a) (c) Aproksimasi kurva (a) dega resolusi 5 dega resolusi 4.8 (d) Aproksimasi kurva (a) dega resolusi 4.3 (e) Aproksimasi kurva (a) dega resolusi 4 Gambar 2. Cotoh peghalusa kurva. Gambar (a) Kurva dega resolusi Gambar (b) Kurva yag sama dega (a) tetapi (5 titik kotrol). diyataka dalam resolusi 5 (35 titik kotrol). Gambar(c) Megedit titik-titik Gambar (d) Kurva yag sama seperti kurva(c) kotrol dari kurva 6.2 (b). dega titik-titik kotrol yag tidak ditampakka. Gambar 3. Cotoh pegedita satu bagia tertetu dari kurva 8 Volume, Nomor, Juli 2002 :

9 Gambar (a) Gambar (b) Kurva dega resolusi 6. Aproksimasi kurva pada (a) dega resolusi. Gambar (c) Gambar (d) Hasil pegedita terhadap kurva Resolusi kurva dikembalika ke resolusi pada Gambar (b). semula, yaitu 6. Gambar 4. Cotoh pegedita betuk keseluruha kurva Gambar (a) Kurva dega resolusi 5 (35 titik kotrol). Gambar (b) Kurva dega detail gerigi reggag mirig ke kaa Gambar (c) Gambar (d) Kurva dega detail gerigi rapat mirig ke kaa Kurva dega detail gerigi regggag mirig ke kiri. Gambar (e) Kurva dega detail gerigi rapat mirig ke kiri Gambar (f) Kurva dega detail gerigi reggag tegak. Gambar 5. Cotoh-cotoh pegedita detil kurva Racag Bagu Program Pegedita Kurva B-Splie Multiresolusi 9

10 dihitug megguaka algoritma rekostruksi sebagai berikut [FIN96] : C C C C P P P C. Selautya kurva pada resolusi, dihitug dega : f ( u) ( u) C. Beberapa cotoh pegedita betuk keseluruha kurva bisa dilihat di gambar Pegedita Detail-Detail Kurva Subbab ii membahas tetag maipulasi terhadap represetasi multiresolusi kurva sehigga memugkika perubaha detail-detail kurva tapa mempegaruhi betuk keseluruhaya. Misalya, suatu kurva f ( u) pada resolusi dega titik kotrol C memiliki represetasi multiresolusi yag terdiri dari dereta C, C,, C D 0, D,, D 0 da dereta. Pegedita detail-detail kurva dapat dilakuka dega meaikka resolusi kurva meadi resolusi s, dimaa s>. Selautya dereta D, D,, D s yag semula berilai 0, diisi dega ilai-ilai tertetu sesuai dega eis karakter kurva yag diigika. Pegisia ilai pada dereta D, D,, D s iilah yag memugkika perubaha detail-detail kurva tapa mempegaruhi betuk kurva secara keseluruha. Pegamata terhadap hubuga atara ilai-ilai dalam dereta D, D,, D s dega betuk kurva memugkika peyusua pustaka detail C s yag baru bisa dihitug utuk kurva. Nilai melalui proses rekostruksi mulai dari resolusi. Selautya kurva pada resolusi s, dihitug dega : f s ( u) s ( u) C s. Beberapa cotoh pegedita detail-detail kurva bisa dilihat di gambar KESIMPULAN DAN SARAN 3. Kesimpula a. Represetasi multiresolusi dari kurva B-splie kubik yag megiterpolasi titik-titik uug dega basis wavelets memberika dukuga yag sagat baik terhadap 4 tipe pegedita seperti yag telah disebutka di.. b. Algoritma rekostruksi da dekomposisi wavelets yag melakuka perhituga megguaka filter sitesis P da Q memiliki kompleksitas O(m), dega m adalah umlah titik kotrol pada resolusi dega m 2 3, sebab struktur matriks P da Q bersifat sparse/arag sehigga elemeelemeya bayak yag berisi 0. c. Dari hasil ui coba megguaka ratusa titik kotrol, algoritma berala cukup cepat da memadai berkaita dega tututa komuikasi iteraktif atara user da program. d. Dari segi kebutuha memori peyimpa, represetasi multiresolusi cukup efisie karea tidak membutuhka memori peyimpa ekstra selai dari yag diguaka utuk meyimpa titik kotrol. e. Pada eis pegedita satu bagia tertetu dari kurva melalui maipulasi secara lagsug terhadap titik-titik kotrolya, ika pegedita dilakuka pada tigkat resolusi yag semaki redah, maka bagia dari kurva yag berubah aka semaki besar. Misalya, pemidaha satu titik kotrol pada kurva dega resolusi 0 aka meyebabka perubaha pada seluruh betuk kurva, sedagka pemidaha satu titik kotrol pada kurva dega resolusi 5 aka meyebabka perubaha pada satu bagia kecil dari kurva. f. Pegamata lebih auh terhadap hubuga atara betuk kurva dega dereta koefisie detail dari represetasi multiresolusi, memugkika bertambah-ya umlah eis karakter kurva yag bisa dimasukka ke dalam pustaka detail. g. Agar dapat melakuka tipe pegedita kurva seperti yag disebutka pada poi a, kurva yag aka diedit harus memiliki titik kotrol berumlah 2 3, dega meyataka resolusi kurva da berilai iteger positif. Hal ii merupaka keterbatasa dari represetasi multiresolusi. 3.2 Sara a. Utuk megatasi keterbatasa yag disebutka pada poi g, perlu dilakuka pra-pemrosesa terhadap kurva (khususya kurva yag tidak memiliki umlah titik kotrol 2 3 ) sebelum dilakuka peyusua represetasi multiresolusi. Pra-pemrosesa ii memaipulasi titik kotrol sedemikia rupa sehigga didapatka betuk kurva yag sama tetapi diyataka megguaka 2 3 titik kotrol. Pra-pemrosesa bisa dilakuka megguaka metode peyisipa kot dega dereta kot yag arakya tidak seragam/sama (o-uiform kot sequece). b. Pada peelitia ii, peyusua repre-setasi multiresolusi utuk kurva haya dilakuka berkaita dega peyusua represetasi titik kotrol secara hirarkhis. Peelitia ii bisa dikembagka dega peambaha sifat-sifat lai dari kurva seperti wara, ketebala da tekstur. 0 Volume, Nomor, Juli 2002 :

11 c. Hasil-hasil memuaska yag didapat dari represetasi multiresolusi utuk kurva ii bisa diperluas pada represetasi multiresolusi utuk permukaa. 4. DAFTAR PUSTAKA [BAR87] Bartels, R. H., Beatty, J. C., da Barsky, B. A. A Itroductio to Splies for use i Computer Graphics ad Geometric Modelig. Morga Kauffma Publishers [CHU92] Chui, C. K. A Itroductio to Wavelets. Academic Press [DAU92] Daubechies, I. Te Lectures o Wavelets. Society for Idustrial ad Applied Mathematics. Philadelphia [FAR90] Fari, G. Curves ad Surfaces for Computer Aided Geometric Desig. Academic Press [FIN96] Fikelstei, A da Salesi, D. H. Multiresolutio Curves. Compu-ter Graphics Proceedigs. SIGGRAPH [FOL90] Foley, J., Va Dam, A., Feier, S., da Hughes, J. Computer Graphics Priciples ad Practice. Addiso Wesley [FOR88] Forsey, D. R. da Bartels, R. H. Refiemet Hierarchiral B-Splie. Computer Graphics, Vol. 22, No. 4, ACM Press, halama Agustus 988. [MAL89] Mallat, S. G. A Theory for Multiresolutio Sigal Decom-positio: The Wavelet Repre-setatio. IEEE Trasactio O Patter Aalysis ad Machie Itelligece, Vol., No. 7, hal , Juli 989. [SCH95] Schroder, P. Wavelets i Computer Graphics. Proceedigs of the IEEE, Vol. 84, No. 4, halama April 996. Racag Bagu Program Pegedita Kurva B-Splie Multiresolusi