LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR) UNTUK SISTEM DESKRIPTOR BERINDEKS SATU

Transkripsi

1 LINEAR QUADRAIC REGULAOR (LQR) UNUK SISEM DESKRIPOR BERINDEKS SAU Muhammad Wakhid Mushoa Program Sudi Maemaika Universias Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakara, Absrak Dalam makalah ini dikaji masalah Linear Quadraic Regulaor(LQR) pada inerval waku berhingga unuk sisem deskrirpor berindeks sau Berdasarkan prinsip minimum Ponryagin akan dikonsruksikan persamaan dierensial Riccai unuk masalah LQR ersebu yang berperan pening dalam penyelesaiannyaselanjunya, akan diurunkan eorema yang menyaakan keberadaan solusi masalah LQR pada sisem linear kuadraik Kaa kunci: linear quadraic regulaor, sisem deskripor berindeks sau, persamaan dierensial riccai Pendahuluan Desain kendali opimal pada suau sisem bekerja dengan ujuan mengendalikan sisem ersebu dengan biaya seminimal mungkin Dalam hal sisem disajikan dengan beberapa persamaan dierensial dan ungsi yang menyaakan biaya yang dikeluarkan oleh kendali dinyakaan dalam benuk ungsi kuadraik maka masalah kendali ersebu disebu kendali linear kuadraik Pada umumnya kendali didesain unuk membawa sae dari sisem yang dikendalikan menuju ke sae nol aaupun ke sebuah persekiaran yang sanga deka dengan nol Masalah ini disebu sebagai masalah regulaor Sehingga masalah Linear Quadraic Regulaor dapa dipandang sebagai masalah mencari kendali pada suau sisem linear yang akan meminimumkan biaya pengendalian yang disajikan dalam benuk ungsi kuadraik dengan ujuan pengendalian membawa sae dari sisem ersebu menuju ke sae nol aaupun ke sebuah persekiaran yang sanga deka dengan nol Masalah Linear Quadraic Regulaor merupakan bagian dari masalah kendali opimal yang paling banyak dikaji dan dikembangkan baik dari sisi pengembangan eori maupun aplikasinya Reerensi dari masalah ersebu unuk sisem nonsingular dapa diliha pada Bryson dan Ho (975), Lewis (995), Kirk (998) dan Viner () Makalah ini akan mengkaji desain kendali opimal pada masalah Linear Quadraic Regulaor unuk sisem deskripor berindeks sau Sisem deskripor adalah generalisasi dari sisem biasa (sisem nonsingular) Sisem ini memua persamaan dierensial dan sekaligus persamaan aljabar Banyak permasalahan yang disajikan dalam sisem ini, dianaranya adalah proses-proses kimia (Kumar dan Dauoidis 996), sisem sirkui lisrik (Newcomb 98, Newcomb dan Dziurla 989), sisem ekonomi (Luenberger 977), inerkoneksi anar sisem berskala besar (Luenberger dan Arbel 977, Singh dan Liu 973), sisem pada eknik mesin (Hemami dan Wyman 979), sisem pembangki daya (Sco 979) dan sisem robo (Mills dan Goldenberg 989) Muhammad Wakhid Mushoa

2 Makalah ini disajikan dengan runuan alur sebagai beriku Seelah pendahuluan, bagian kedua dari makalah ini menyajikan rumusan masalah yang akan diselesaikan, yaiu mencari kendali opimal pada masalah Linear Quadraic Regulaor unuk sisem deskripor berindeks sau Pada bagian ini juga dipaparkan ransormasi masalah Linear Quadraic Regulaor dari sisem deskripor ke sisem nonsingular Selanjunya pada bagian keiga akan dikonsruksikan persamaan dierensial Riccai yang dibuuhkan dalam mencari kendali opimal dengan memanaakan hasil ransormasi bada bagian sebelumnya Bagian keempa adalah bagian ini dari makalah ini Pada bagian ini disajikan eorema yang memberikan eksisensi solusi dari masalah Linear Quadraic Regulaor erakhir, bagian kelimamenyajikan conoh numerik yang menggambarkan aplikasi dari sebagian eori yang elah dipaparkan pada bagian-bagian sebelumnya Rumusan Masalah Ex Ax Bu, x x () dengan Diberikan sisem deskripor, R n r E A n r, rank E n, R n B r m Vekor u s adalah kendali yang diberikan oleh desainer kendali pada sisem () Masalah yang ingin diselesaikan dalam makalah ini adalah masalah Linear Quadraic Regulaor yaiu mendesain kendali u s pada sisem () yang akan meminimalkan ungsi ongkos kuadraik J u x Qx u Ru d x Q x, () dengan mariks-mariks Q, R dan Q adalah mariks simeri dan diasumsikan mariks R mempunyai invers Selanjunya dikarenakan kendali u s yang didesain meminimalkan ungsi ongkos () maka kendali u s disebu kendali opimal dan dilambangkan dengan u s Sisem () dikaakan regular jika de E A Sisem () mempunyai solusi unuk seiap nilai awal yang konsisen jika dan hanya jika sisem () regular (Dai 989) Jika sisem () regular maka berlaku eorema ransormasi benuk kanonik Weiersrass beriku eorema (Ganmacher, 959)Jika sisem deskripor () regular maka erdapa X X X Y Y Y sedemikian sehingga dua mariks nonsingular dan I n A Y EX N dan Y AX I (3) r dengan A adalah mariks dalam benuk Jordan yang elemen-elemennya nilai-nilai eigen dari A, I k adalah mariks idenias dan N adalah mariks nilpoen juga dalam benuk Jordan Jika sisem () regular, maka solusi dari sisem () berbenuk (Engwerda dan Salmah 9) Muhammad Wakhid Mushoa

3 x Xx X x dengan X X X, dan, X, Y Y Y J Js x e x e Y s ds n k i i d, i i x I X x, R n Y r n, X Jurnal Konvergensi, R n Y r n x N Y d nilai awal bagi persamaan di aas diberikan oleh k i i d Ir X x N Y i i d Bilangan k adalah deraja kenilpoenan mariks N Yaiu bilangan bula k dengan k k sia N and N Indeks dari sisem deskripor () dinyaakan dengan deraja kenilpoenan k dari mariks N Jika mariks E nonsingular maka dideinisikan sisem ersebu berindeks nol Selanjunya berdasarkan eorema di aas, dengan mendeinisikan variabel sae yang baru x x x R r, maka sisem () dapa diulis sebagai I x A x n : X Y Bu x I r x (4) aau x A x Y Bu, n x Ir Y Bu (6) Y Bu x, x x I X x (5) x R n dengan x dan X x Sedangkan ungsi ongkos () dapa diulis sebagai x J u x x X QX u Ru d x Q x x (7) Berdasarkan hubungan (6), ungsi ongkos (7) dapa disajikan sebagai Muhammad Wakhid Mushoa 3

4 X QX X QX Y B B Y X QX x J u x u B Y X QX Y B u u Ru d x Q x Q V x x u d x Q x u V R (8) Dengan demikian masalah LQR (,) ekuivalen dengan masalah LQR (5,8) 3 Persamaan Dierensial Riccai Pada bagian ini akan dikonsruksikan persamaan dierensial Riccai yang memegang peranan pening dalam menenukan eksisensi solusi dari masalah LQR (,) aau LQR (5,8) ransormasi masalah LQR sisem deskripor (,) ke dalam masalah LQR sisem nonsingular (5,8) yang elah berhasil dilakukan mengakibakan meode pengkonsruksian persamaan dierensial Riccai pada masalah LQR sisem deskripor dapa menggunakan meode pengkonsruksian persamaan dierensial Riccai pada masalah LQR sisem nonsingular Unuk kepeningan ersebu, dibenuk ungsi Hamilonian (Lewis 995) Q V x H x u A x Y Bu V R u x Qx u V x x Vu u Ru A x Y Bu (9) Berdasarkan prinsip maksimum Ponriagyn (Lewis 6) syara perlu penyelesaian opimal masalah di aas adalah i H x A x Y Bu ii H Qx Vu A, Q x x iii H V x Ru B Y aau u Ru V x B Y Dengan mengasumsikan mariks R mempunyai invers diperoleh u R V x B Y () 4 Muhammad Wakhid Mushoa

5 Selanjunya dideinisikan and cosae x A x Y Bu yang akan menghasilkan persamaansae Qx Vu A, Q x () Berikunya dengan menggunakan meode sweep akan dicari persamaan dierensial Riccai unuk masalah LQR (5,8) sebagai beriku Diasumsikan K x dengan K Q () (3) urunkan persamaan (3) erhadap variabel dihasilkan K x K x, (4) Subsiusikan persamaan () (3 )ke dalam persamaan (4) dihasilkan Qx V R V x B Y K x A K x K x K A x Y B R V x B Y K x, K Q Persamaan (5) dapa pula diulis sebagai K x A K x K A x K Y Bx Vx R K Y B V R B Y K V Q, K Q B Y K x V x Qx, K Q Dikarenakan persamaan (6) berlaku unuk semua nilai awal K A K K A (5) (6) x maka diperoleh Persamaan (7) adalah persamaan dierensial Riccai yang diurunkan dari syara perlu penyelesaian opimal masalahlqr (5,8) 3 Eksisensi Solusi Seelah berhasil dikonsruksikan persamaan dierensial Riccai pada masalah LQR, beriku disajikan eorema eksisensi solusi dari masalah LQR (,) yang ekuivalen dengan (5,8) eorema Diberikan masalah Linear Quadraic Regulaor (,) yang ekuivalen dengan (5,8) Masalah ersebu mempunyai solusi unuk seiap nilai awal x jika dan hanya jika persamaan dierensial Riccai (7) mempunyai solusi simeri K (7) pada Muhammad Wakhid Mushoa 5

6 , Jika masalah LQR ersebu mempunyai solusi maka solusi ersebu adalah unggal dan kendali opimal eedback ersebu berbenuk u R V x B Y K x (8) Dalam srukur lingkar erbuka, benuk kendali (8) adalah u R V x B Y K, x (9) dengan mariks memenuhi persamaan ransisi, A Y BR V B Y K,,, I Lebih lanju, nilai opimal yang diberikan oleh kendali opimal J u x K x u adalah () Pembukikan dari eorema di aas dilakukan dengan beberapa langkah beriku Perama, akan diunjukkan bahwa jika persamaan dierensial Riccai (7) mempunyai solusi simeri maka masalah LQR (,) aau (5,8) mempunyai solusi pada, Buki eorema, bagian Menggunakan hubungan d x K x d x K x x K x, d maka ungsi ongkos (8) dapa diulis sebagai Q V x d u d V R J u x u d x K x d x K x x Q K x Q V x d J u x u x K x d u d V R x K x x Q K x Kemudian, dengan menggunakan persamaan (5) dan (7), inegrand dari persamaan di aas dapa diulis sebagai (keerganungan erhadap waku dihilangkan) Q V x d x u x Kx u R V x B Y Kx R u R V x B Y Kx V R u d Akibanya, ungsi ongkos (8) dapa disajikan dengan persamaan 6 Muhammad Wakhid Mushoa

7 J u R V x B Y Kx R u R V x B Y Kx x K x Berdasarkan persamaan di aas didapa J x K x kesamaan akan erjadi jika u dipilih pada persamaan (8) Jurnal Konvergensi unuk semua u dan Unuk membukikan arah sebaliknya dari eorema di aas, diasumsikan bahwa masalah LQR (,) aau (5,8) mempunyai solusi rayekori dari sae yang dihasilkan oleh kendali dari ongkos minimum yang dihasilkan oleh kendali diunjukkan bahwa jika, nilai minimum, u dengan x, u dan u adalah J x adalah nilai Selanjunya akan J x ada unuk sembarang nilai awal maka erdapa J x dari masalah opimisasi Q V x u V R () J u x u d x Q x dengan kendala sisem dinamik x s A x s Y Bu s x x (), Kemudian dengan mengasumsikan bahwa erdapa nilai inimum yang dinyaakan in dengan, in, J x maka dipenuhi J x x P x (3) dengan anpa mengurangi keumuman diasumsikan P adalah mariks simeri Hal di aas akan diunjukkan dengan menggunakan banuan beberapa lemma beriku Lemma (Molinari, 975) Jika suau ungsi V memenuhi idenias parallelogram, V x y V x y V x V y, unuk semua x, y (4) dan unuk seiap y, ungsi W x, y : V x y V x y mempunyai sia, ungsi koninu dalam pada saa (5) Maka kuadraik W x y adalah V x adalah berbenuk in Lemma beriku berguna unuk menunjukkan bahwa, idenias parallelogram (4) Lemma (Engwerda, 5) J x memenuhi Muhammad Wakhid Mushoa 7

8 in in Jika J, x ada maka J, x in in,, J x J x juga ada dan Berdasarkan Lemma di aas dihasilkan akiba beriku Akiba Diasumsikan erdapa nilai inimum pada persamaan () unuk seiap nilai awal Maka, erdapa mariks simeri P sedemikian sehingga in J, x x P x Berdasarkan lemma-lemma dan akiba di aas dapa dikonsruksikan buki arah kanan dari eorema sebagai beriku Buki eorema, bagian Diberikan persamaan dierensial Riccai (7) Berdasarkan eorema undamenal eksisensi dan keunggalan solusi persamaan dierensial erdapa inerval waku maksimal, dengan persamaan dierensial Riccai (7) mempunyai solusi unggal Diasumsikan Dari eorema bagian didapa bahwa pada inerval waku, masalah opimisasi (,) mempunyai solusi yang merupakan solusi minimum Solusi minimum ersebu adalah Dikarenakan hal ini berlaku unuk sembarang nilai awal disimpulkan bahwa P K P erbaas pada x x P x x maka dapa pada inerval waku, Namun dikarenakan K juga harus erbaas pada, maka demikian juga, Hal ini berakiba bahwa persamaan dierensial Riccai (7) juga mempunyai solusi pada suau inerval waku, unuk Sehingga keberadaan inerval, bukanlah inerval yang maksimal Hal ini menunjukkan pengasumsian idaklah epa dan harusnya 4 Conoh Numerik Diberikan masalah Linear Quadraic Regulaor Ex Ax Bu, x x (6) J u x Qx u Ru d x Q x, (7) 8 Muhammad Wakhid Mushoa

9 dengan E, A, B, Q Q, x Menggunakan ransormasi benuk kanonik Weiersrass, dapa dicari mariks nonsingular Y dan X sedemikian sehingga masalah LQR (6,7) ekuivalen dengan x A x Y Bu, x In X x (8) Q V x J u x u d x Q x u V R (9) Q V dengan X Y, X Y, A, V R 3 Subsiusikan mariks-mariks di aas ke dalam persamaan (7) menghasilkan persamaan dierensial Riccai 7 3, K K K K yang mempunyai solusi, R dan K (3) Selanjunya, dengan menggunakan persamaan (8) didapa benuk kendali opimal eedback bagi masalah di aas adalah 55 dan rayekori opimal x diberikan oleh 7 u e x e 7 4 x Gambar kendali opimal u Gambar rayekori opimal Gambar mengilusrasikan kendali opimal yang dilakukan unuk meminimalkan ungsi ongkos (9) erhadap sisem (8), sedangkan Gambar menyaakan Muhammad Wakhid Mushoa 9

10 rayekori opimal pada sisem (8) jika menggunakan kendali u unuk mencapai nilai opimal 5 Kesimpulan Dalam makalah ini elah dikaji konsep Linear Quadraic Regulaor (LQR) unuk sisem deskripor berindeks sau Dengan menggunakan benuk kanonik Weiersrass, masalah LQR unuk sisem deskripor dapa dibawa ke dalam benuk LQR sisem nonsingular Hal ersebu mengakibakan persamaan dierensial Riccai yang memegang peranan pening dalam mencari eksisensi solusi masalah LQR ersebu dapa dikonsruksikan menggunakan meode pada sisem nonsingular Selanjunya elah dibukikan pula eorema yang menjamin eksisensi solusi dari permasalahan ersebu Conoh numerik sederhana yang menggambarkan penggunaan eorema yang elah dikonsruksikan elah pula disajikan di akhir makalah ini Namun demikian kajian dalam makalah ini masih erbaas pada sisem deskripor yang berindeks sau Sehingga pengembangan masalah LQR unuk sisem deskripor berorde inggi merupakan obyek peneliian yang masih harus dikaji lebih lanju Muhammad Wakhid Mushoa

11 6 Daar Pusaka [] Bryson, AE dan Ho, Y-C, (975) Applied Opimal Conrol, aylor and Francis, New York [] Dai, L (989) Singular Conrol Sysems, Springer-Verlag, Berlin [3] Engwerda, JC(5) Linear Quadraic Dynamic Opimizaion and Dierenial Games, John Wiley & Sons, Wes Sussex [4] Engwerda, JC dan Salmah, (9) he Open-Loop Linear Quadraic Dierenial Game or Index One Descripor Sysems, Auomaica, vol 45, pp [5] Ganmacher, F, (959) heory o Marices, Chelsea Publishing Company, New York [6] Hemami, H dan Wyman, B F (979) Modeling and Conrol o Consrained Dynamic Sysems wih Applicaion o Biped Locomoion in he Fronal Plane, IEEE ransacions on Auomaic Conrol, vol 4, [7] Kirk, DE, (998), Opimal Conrol heory: An Inroducion, Dover Publicaions, New York [8] Kumar, A dandaouidis, P (996) Sae-Space Realizaions o Linear Dierenial Algebraic-Equaion Sysems wih Conrol-Dependen Sae Space, IEEE ransacions on Auomaic Conrol, vol 4, [9] Lewis, A D he Maximum Principle o Ponryaginin Conrol and in Opimal Conrol, caaan kuliah, ersedia dihp://wwwmasqueensuca/~andrew/ [] Lewis, FL dan Syrmos, VL, (995), Opimal Conrol, John Wiley and Sons, New York [] Luenberger, D G, (977) Dynamic Equaion in Descripor Form, IEEE ransacion on Auomaic Conrol, vol, 3 3 [] Luenberger, D G danarbel (977) Singular Dynamic Leonie sysems, Economerica, vol 45, [3] Mills, J K dan Goldenberg, A A, (989) Force and Posiion Conrol o Manipulaors During Consrained Moion asks, IEEE ransacions on Roboics and Auomaion, vol 5, 3 46 [4] Molinari, BP (977) Solving Polynomial Sisem Using Coninuaion or Scieniic and Engineering Problems, Prenice-Hall, New Jersey [5] Newcomb, R W (98) he Semisae Descripion o Nonlinear ime- Variable Circuis, IEEE ransacions on Circuis Sysems, vol vol 8, 6 7 [6] Newcomb, R W dan Dziurla, B (989) Some Circuis and Sysems Applicaions o Semisae heory, Circuis Sysems Signal Processes, vol 8, 35 6 [7] Singh, S dan Liu, R W (973) Exisence o Sae Equaion Represenaion o Linear Large-Scale Dynamical Sysems, IEEE ransacion Circuis Sysems, vol, [8] Sco, B, (979) Power sysem Dynamic Response Calculaions, IEEE Proceeding, vol 67, 9 47 [9] Viner, RB, () Opimal Conrol, Birkhauser, Boson Muhammad Wakhid Mushoa