MODUL PRAKTIKUM ALJABAR LINIER

Transkripsi

1 2012 MODUL PRAKTIKUM ALJABAR LINIER LABORATORIUM MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM NIVERSITAS NEGERI GORONTALO

2 KATA PENGANTAR Penuntun Praktikum dirancang untuk memberikan tuntunan kepada para mahasiswa Matematika,MIPA atau pengguna Matematika yang sedang mempelajari dan menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan suatu sistem software matematis yaitu Maple. Di dalam penuntun ini telah disediakan Algoritma Umum yang memberikan langkah-langkah secara sistematis dan praktis untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan Maple, juga dilengkapi dengan contoh soal dan penyelesaiannya serta Latihan praktikum. Cakupan pembahasan dalam Penuntun ini meliputi Pengenalan Maple, Penulisan Matriks, Operasi Dasar Matriks, dan Solusi Persamaan Linear dengan berbagai metode. Setiap saran dan kritik yang berguna untuk perbaikan dan pengembangan penuntun ini akan diterima dengan senang hati. Gorontalo, November 2012 Lab. Komputer Matematika,UNG

3 BAB I PENGENALAN MAPLE 1.1 Sekilas tentang MAPLE Maple adalah perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu sistem komputer aljabar yang mampu menyelesaikan persamaan dalam bentuk solusi numerik dan simbolik. Maple dibuat oleh Wateloo Maple Software (WMS) yang cikal bakalnya berasal dari para peneliti dari University of Wateloo, Canada, di tahun Maple merupakan Computer Algebra System (CAS) yang dapat memanipulasi pola, prosedur, dan perhitungan algoritma, baik untuk analisis maupun sintesis. Hasil perhitungan Maple mampu menjadi solusi matematika dengan metode numerik dan simbolik. Di dalamnya terdapat simbol, sintak, dan semantik mirip seperti bahasa pemrograman. Maple mampu menyajikan Pemrosesan simbolik dan visualisasi. Visualisasi persamaan matematika dapat disajikan dalam berbagai variasi grafik simulasi modeling, bahkan animasi. Semuanya dapat dengan mudah dilakukan. Maple berjalan pada system operasi keluarga Windows dan cukup mudah untuk digunakan. Perintah-perintah seperti cut, copy, dan paste bias menggunakan hotkey seperti di Windows. Sebelum masuk ke perintah-perintah yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah, khususnya untuk Aljabar Linier, terlebih dahulu kita harus memahami lingkungan Maple. 1.2 Bagian-Bagian MAPLE a) Menu Bar, seperti File, Edit, dll, pada bagian paling atas. b) Toolbar berisi ikon yang akan digunakan dalam Maple.

4 c) Worksheet atau Lembar kerja. d) Palettes adalah digunakan untuk mempermudah dalam menulis di worksheet

5 e) Prompt biasanya muncul di worksheet sebagai penanda bahwa maple siap menerima perintah. 1.3 Aturan Penulisan MAPLE a. Aturan Dasar MAPLE Setiap akhir baris perintah harus diakhiri dengan tanda titik koma (;) dan untuk eksekusi perintah digunakan tombol enter. Selanjutnya dalam Maple setiap perintah akan berbentuk perintah( ); perintah disini menyesuaikan perintah yang digunakan. Didalam kurung berisi permasalahan matematika dan parameter yang diperlukan. b. Aturan Penulisan Matematika dengan MAPLE Operasi Penulisan Biasa Penulisan Maple Penjumlahan + + Pengurangan - - Perkalian x * Pembagian : atau / / Pangkat 2b 3 2*b^3 Pi pi Akar Pangkat Dua sqrt(9) Nilai Mutlak abs(9) Pendefinisian f(x)=2x+3 f(x):=2*x+3 c. Matematika dengan MAPLE 1. Pada Maple Worksheet Environment, tuliskan ekspresi : > 7+2; 2. Setiap perintah pada Maple haru diakhiri dengan semicolon (;). Tanda colon (:) hanya akan menghasilkan sementara. > hasil:=3^2+5: > hasil;

6 3. Maple bekerja dengan hirarki operasi scientific seperti layaknya aturan-aturan yang baku. > 3+3*4+5^2; 4. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik perkalian, penguraian maupun pemfaktoran. > (x+y)^4; > expand(%); Tanda % menunjukan hasil yang terakhir (last output) versi sebelumnya. Expand menunjukan penguraian perkalian aljabar. 5. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik perkalian, penguraian maupun pemfaktoran. > P:=x^2+3*x+2; > Q:=x+1; > simplify(p/q); 6. Untuk menghitung dalam bentuk pecahan desimal, ketik evalf( ) 7. Perintah Sqrt menunjukkan akar, misal Penentuan faktor suatu fungsi. misal akar-akar x dari fungsi p = x + 2x 3 9. Apabila dimasukkan nilai x =4, ketik subs x 10. Ekspresi pembagian polynomial dan penyederhanaannya, misal q = 2 + 2x 3 x 1

7 π 11. perintah subs, eval, dan evalf misal sin x, x= Perintah solve, misal sin x = Perintah fsolve, misal sin x = Fungsi Khusus 15. Perintah expand dan combine, 16. Mengenakan suatu nilai, misal untuk suatu nilai x= 4

8 2 Apabila f = e x, 2 Jika r= x 17. Memanggil suatu nilai, Fungsi juga dapat ditulis dalam bentuk :

9 BAB II MATRIKS 2.1 Penulisan Matriks Ada beberapa cara yang digunakan untuk penulisan matriks dalam maple antara lain: a) Mengunakan palettes Klik tab Matriks pada bagian palettes sehingga muncul tampilan berikut: Ketikkan jumlah baris dan kolom pada bagian rows dan columns sesuai dengan yang dibutuhkan. Setelah itu akan muncul tampilan worksheet berikut: Ganti m 1,1 m 1,2, m 2,1, m 2,2 dengan angka-angka yang dibutuhkan. b) Mengetik Langsung Caranya dengan mengetikkan perintah pada prompt yaitu: > Atau >

10 Cara kedua hanya bisa digunakan untuk matriks yang ukurannya di atas 3x3 2.2 Operasi dalam Matriks Maple sudah menyediakan bayak paket (packages) yang bisa digunakan untuk membantu komputasi kita, karena dialamnya sudah disediakan function atau perintah yang bisa langsung digunakan. Satu paket yang ditujukan untuk Aljabar linear adalah Paket linalg. Secara umum, untuk memanggil paket, digunakan perintah with(nama_paket). a. Operasi Dasar Matriks Untuk penjumlahan dan pengurangan matriks kita akan menggunakan paket linalg dengan perintah evalm(). 1. Gunakan paket linalg yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear dengan mengetikkan: > with(linalg): 2. Definisikan dua buah matriks dengan ordo yang sama, Misalnya: > > 3. Untuk penjumlahan dan pengurangan perintahnya: > P+Q; > evalm(p+q); Atau menggunakan perintah evalm() 4. Sedangkan untuk operasi perkalian perintahnya: > evalm(p&*q); > evalm(p.q); atau

11 b. Determinan Sama seperti operasi dasar matriks, untuk determinan kita juga menggunakan paket linalg. Langkah langkahnya sebagai berikut: 1. Gunakan paket linalg yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear dengan mengetikkan: > with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks, Misalnya: > 3. Untuk Determinan perintahnya: > det(p); c. Transpose Matrik Langkahnya sebagai berikut: 1. Gunakan paket linalg yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear dengan mengetikkan: > with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks, Misalnya: > 3. Untuk Transpose perintahnya: > transpose(p); d. Adjoin Langkahnya sebagai berikut: 1. Gunakan paket linalg yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear dengan mengetikkan: > with(linalg):

12 2. Definisikan sebuah matriks, Misalnya: > 3. Untuk Transpose perintahnya: > adj(p); e. Invers Langkahnya sebagai berikut: 1. Gunakan paket linalg yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear dengan mengetikkan: > with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks, Misalnya: > 3. Untuk mencari invers perintahnya: > inverse(p);

13 BAB III SISTEM PERSAMAAN LINIER 3.1 Mencari Solusi Persamaan Linier a. Invers Matriks Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik atau dapat dicari inversenya, maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = A -1 b. A dapat dibalik (det (A)0). Contoh: Perhatikan persamaan linear berikut: x+ 3y+ 5z= 9 5x+ 2y+ 3z= 3 2x+ 6z= 17 Dalam Bentuk matriks persamaan ini dapat di tulis sebagai Ax=b, dimana: x 9 A= x y b 3 = = z 17 Penyelesaian persamaan linier di atas dapat diselesaikan dengan maple. > restart: > with(linalg): > A:=Matrix([[ 1, 3, 5 ], [ 5, 2, 3 ],[ 2, 0, 6 ]]); > det(a); > b:=vector[column]([ 9, 3, 17 ]);

14 > INV_A:=inverse(A); > Solusi:=evalm(INV_A&*b); b. Metode Cramer Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linier dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det (A)0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik, solusinya adalah det( A1 ) det( A2 ) det( An ) x1 =, x2 =,... xn = det( A) det( A) det( A) di mana An adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-n dari A dengan entri-entri pada matriks. Contoh: Penyelesaian: Perhatikan persamaan linear berikut: x+ 3y+ 5z= 9 5x+ 2y+ 3z= 3 2x+ 6z= 17 > restart: > with(linalg): > with(linearalgebra): > soal:={x+3*y+5*z=9, 5*x+2*y+3*z=3, 2*x+6*z=17}; > p:=genmatrix(soal,[x,y,z],flag); > M:=Matrix(3, 4, {(1, 1) = 2, (1, 2) = 0, (1, 3) = 6, (1, 4) = 17, (2, 1) = 1, (2, 2) = 3, (2, 3) = 5, (2, 4) = 9, (3, 1) = 5, (3, 2) = 2, (3, 3) = 3, (3, 4) = 3});

15 > A:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]); > A_1:=SubMatrix(M,[1,2,3],[4,2,3]); > A_2:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,4,3]); > A_3:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,4]); > x:=det(a_1)/det(a); > y:=det(a_2)/det(a); > z:=det(a_3)/det(a); c. Metode Gauss Jordan Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss ( ) dengan melakukan mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan. Contoh 3: Dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan: x+ y+ 2z= 9 2x+ 4y 3z= 1 3x+ 6y 5z= 0

16 Penyelesaian: > restart: > with(linalg): > with(linearalgebra): > Gauss:={x+y+2*z=9,2*x+4*y-3*z=1,3*x+6*y-5*z=0}; > A:=genmatrix(Gauss,[x,y,z],flag); > addrow(a,1,2,-2); > addrow(%,1,3,-3); > mulrow(%,2,1/2); > addrow(%,2,3,-3); > mulrow(%,3,-2); > addrow(%,3,2,7/2); > addrow(%,3,1,-2);

17 > addrow(%,2,1,-1); > gausselim(a); > gaussjord(a);