Regresi Spline untuk Pemodelan Bidang Kesehatan: Studi tentang Knot dan Selang Kepercayaan

Transkripsi

1 5 Regres Sple... (Netty Herawat) Regres Sple utuk Pemodela Bdag Kesehata: Stud tetag Kot da Selag Kepercayaa Sple Regresso Modellg for Health Problem: Study of Kot ad Cofdece Iterval Netty Herawat Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Lampug ABSTRACT Ths artcle amed to study about kot ad cofdece terval for health scece usg sple oparameterc regresso. The study used smulato ad real data. The result showed that umbers of kot should be placed accordg to the quatl varable order to get a good estmato of the data fucto. I addto, cofdece terval usg bayesa ad bootstrap method gave o dfferet result for a small sample sze whereas for a bg sample sze bootstrap gave arrower terval. Keywords : Kot, cofdece terval, sple regresso PENDAHULUAN Aalss regres merupaka salah satu alat statstk yag bayak dguaka utuk megetahu hubuga atara dua varabel atau lebh. Msalka dberka data {(x, y ) =,,...,}, t R, y R da hubuga atara t da y dasumska megkut model regres y= f( x) + ε, t [ ab, ], =,,, () dega f (x ) adalah fugs regres da ε adalah sesata acak yag dasumska berdstrbus ormal, depede dega la tegah ol da ragam σ. Ada dua metode yag dapat dguaka utuk meaksr fugs f (x ), yatu metode regres parametrk da metode regres oparametrk. Metode regres parametrk aka sesua ka betuk fugs f (x ) dketahu. Tetap ka fugs f (x ) tersebut tdak dketahu betukya, maka metode regres oparametrk lebh sesua dguaka. Dalam hal fugs f (x ) haya dasumska termuat dalam suatu ruag fugs tertetu, dmaa pemlha ruag fugs tersebut basaya dmotvas oleh sfat kemulusa (smoothess) yag dmlk oleh fugs f (x ) tersebut. Beberapa pedekata oparametrk yag cukup populer dalam megestmas fugs f (x ) atara la Sple (Wahba 99, Takezawa 6), da peduga Kerel (Hardle 99). Pada pedekata o-parametrk, pegepasa (fttg) kurva regres dlakuka dega memperhatka peubah respo Y secara terbatas d sektar x pada selag tertetu, tdak pada keseluruha pegamata x. Pada peduga kerel fugs f(x ) dmuluska dega megguaka pembobota terhadap varabel respo Y d sektar x. Utuk memuluska f (x ) perlu dlakuka pemlha badwdth yag optmal. Pada Sple pedekata dlakuka pada segmetas x utuk membagu fugs f(x ) dega membag pegamata x berdasarka ttk-ttk x yag dsebut kot. Pedekata merupaka pecewse polyomal, yatu polomal yag memlk sfat tersegme pada selag x yag terbetuk oleh ttk-ttk kot (Wag & Yag 9). Fugs f (x ) kemuda dduga secara lokal pada selag-selag tersebut, da kemuda dterpolas sepaag keseluruha pegamata x dega pedekata kuadrat terkecl yag terpealt (Pealzed Least Square). Pealt yag dguaka adalah pealt pada kekasara/kemulusa fugs dugaa yag dgka. Tulsa bertuua utuk meetuka kot da peempataya serta selag kepercayaa bayes da bootstrap dega regres sple pada pemodela data kesehata. Sple Sple adalah potoga polomal order r. Ttk bersama dar potoga-potoga tersebut dsebut dega kots. Sple order r dega kots pada ζ,...,ζ k dberka dalam fugs S dega betuk (Eubak 988, Schumaker 7).

2 Jural ILMU DASAR Vol. No.. : S(x) = r k r θ x + ( ) δ x ζ () + = = ( x ζ ),( x ζ ) r da ( x ζ ) = +,( x ζ ) < Sple mempuya sfat : S merupaka potoga polomal deraat r pada setap subterval [ ζ, ζ ] +. S mempuya turua ke (r-) yag kotyu. S mempuya turua ke (r-) yag merupaka fugs tagga dega ttk-ttk lompata pada ( ζ,..., ζ ). Apabla ddefska suatu sple k alam berorde r = m dega ttk-ttk kots pada x,,x yatu sple yag memeuh sfat,, da 3 uga memeuh S adalah polyomal deraat m- dluar terval [x, x ]. S memeuh syarat batas alam (atural boudary codto), yatu s () (a) = s () (b) =, = m,, m- (Gree & Slverma 994). Jka dalam persamaa () dambl la r = 4, maka d peroleh sple kubk yag memeuh syarat berkut: pada setap terval (a,x ), (x, x ),, (x, b), f adalah polomal kubk. Turua pertama da kedua dar f kotyu pada setap x [a,b] dega x ttk kots (Gree & Slverma 994). Sple dalam regres o-parametrk Regres oparametrk sple, dar fugs f sepert pada () sebaga berkut: y= f( x) + ε, t [ ab, ], =,,,. Pemulusa sple aka megestmas fugs f sebaga solus dar masalah optmas yatu dega mecar f ˆ L [ ab, ] yag memmumka umlah kuadrat galat terpealt (pealzed resdual sum of square) sebagamaa persamaa (3) berkut: b '' = a S( f ) = { y f ( x )} + { f ( x)} dx (3) Utuk la >, dmaa L [,] meyataka hmpua fugs-fugs kuadrat tertegral pada terval [a,b]. Suku pertama persamaa (3) adalah kuadrat tegah ssaa (Mea Square Error, MSE). Sedagka suku kedua, yag dbobot dega (parameter pemulus), merupaka pealt kekasara (roughess pealty) yag memberka ukura kemulusa atau kekasara kurva dalam memetaka data, melalu parameter peghalus. Dega kata la, suku kedua aka mempealt kurva dar fugs f. Nla bervaras dar sampa +, ka +, maka pealt medomas persamaa (3) da peduga sple mead kosta. Sebalkya, ka, maka pealt tdak lag ada dalam persamaa (3) da peduga sple megterpolas data. Dega demka, parameter peghalus memaka pera setral dalam megedalka permbaga (trade off) atara ketepata model (goodess of ft) da mulusya peduga. Solus yag dperoleh dar pemulusa sple dega memmumka persamaa (3) dkeal sebaga sple kubk (atural cubc sple atau cubc sple) dega kot pada x,..., x. Dega sudut padag, terpolas sple yag bergatug pada pemlha parameter pemulusa memlk struktur khusus sebaga suatu pedekata yag cocok da pas utuk fugs f dalam model regres oparametrk persamaa (). Fugs Sple berorde ke-m adalah sembarag fugs yag secara umum dapat dsaka dalam betuk: p m s r m f ( x ) = β + ( ) ( ) β X + β X K. r. m. k k + = r= k= (4) dega fugs terpacug sebaga berkut: m ( ) m X K ; X K k k ( X K k ) + = ; X < K k d maa: β = Parameter model. β = Itersep βr = Slope pada peubah X β (m-)k = Slope pada peubah kot ke-k pada Sple ber-orde m X = Peubah peelas ke- K X k = Kot ke-k pada peubah dega orde ke-r X s J =,,, p da k =,,, trucated s = Bayakya kot dalam peubah peelas ke- Utuk fugs sple dega satu peubah peelas, yak =, betuk umumya: m s r m = β + ( ) ( ) β + r β m. k k + r= k= f ( x ) X X K Dar betuk matemats fugs Sple tersebut, dapat dkataka bahwa sple merupaka model polomal yag tersegme (pecewse polyomal ). Haya saa, sple ustru bersfat kotu pada kot-kotya. Kot

3 54 Regres Sple... (Netty Herawat) dartka sebaga suatu ttk fokus dalam fugs sple, sehgga kurva yag dbetuk tersegme pada ttk tersebut. Sple orde kem, dapat uga dartka sebaga model polyomal orde ke-m pada tap terval segmeya, yak [Kk,Kk+]. Hal berart, fugs Sple merupaka suatu gabuga fugs polomal, dmaa peggabuga beberapa polomal tersebut dlakuka dega suatu cara yag meam sfat kotutas pada kot-kot. Sple adalah potoga polyomal yag mulus yag mash memugkka memlk sfat tersegme. Msalka f = ( f ( x ),..., f ( x )) adalah vektor la-la fugs f pada ttk-ttk kot x,..., x. Pemulusa sple memberka fˆ sebaga peduga bag f atau la dugaa (ftted value) bag y = ( y,..., y ) T sebaga berkut: ˆ f ( x ) y : : fˆ = = A( ) atau ˆ f = Ay : : fˆ ( x ) y (5) Dega f adalah sple kubk dega kot ˆ pada x,..., x utuk parameter pemulus tertetu. >, da A adalah matrks pemulus yag smetrk-postf-deft da tergatug pada da kot x,..., x, tetap bebas dar y. Pemlha parameter pemulus: metode valdas slag Utuk meduga betuk fugs f, fugs f dasumska mulus da kotu mutlak pada ( m ) [a,b] da f L [ ab, ]}. Idealya aka dplh suatu la yag memmumka fugs keruga L( ), aka tetap dalam regres oparametrk tdak dapat dlakuka secara yata sebab L( ) mash memuat fugs f yag tdak dketahu. Sehgga perlu megestmas data da kemuda estmatorya dmmumka terhadap utuk medapat estmator f yag palg bak (Eubak 988). Salah satu pemlha parameter peghalus adalah megguaka metode valdas slag umum (Geeralzed Cross Valdato dsgkat GCV) yag merupaka modfkas dar metode valdas slag (Cross Valdato dsgkat CV) (Gree & Slverma 994). Metode valdas slag umum cukup popular da dseag karea tdak memerluka pegetahua tetag σ, vara terhadap trasformas (Wahba 99) da mempuya sfat optmal asmptotk. Tuua dar teor estmas adalah mecar suatu estmator yag memmumka fugs resko secara uform, bla dberka ttk data yag dguaka utuk memlh model, maka aka dbag mead dua baga yatu baga pertama terdr dar x ttk data dguaka utuk mecocokka model, baga kedua yatu - x utuk meaksr kemampua predks model. Tuua dar teor estmas adalah mecar suatu estmator yag memmumka fugs resko secara uform, kega deal sult utuk dperoleh, sehgga suatu cara utuk megatasya adalah membatas kelas estmator pada estmator lear, yak estmator yag merupaka fugs lear observas. Dar persamaa (), aggap C(Λ)={f Λ, Λ = hmpua deks } sebaga kelas estmator lear utuk f (x) artya utuk setap, terdapat matrks A( ) berukura sehgga : fˆ = A ( ) y (6) Jka σ dketahu maka optmal dapat dperoleh secara lagsug dar krtera predks kuadrat tegh galat atau fugs keruga yag ddefeska oleh L ( ) = ( f f ) (7) = Dalam hal σ tdak dketahu maka dapat dguaka metode valdas slag umum, utuk medapatka la optmal. Metode valdas slag memlh yag memmumka CV( )= ( [ y f ] ( x)) (8) f = [ ] ( x) adalah f yag memmumka '' { ( )} + { ( )} =. y f x f x dx Sedagka metode valdas slag umum memlh yag memmumka GCV ( ) = ( y f ( t )) a ( ) = = (9) Dar persamaa (9) la yag optmal adalah berkata dega la GCV() yag mmum.

4 Jural ILMU DASAR Vol. No.. : Selag kepercayaa peduga sple Dega memadag model sple dalam perspektf Bayesa Wahba (983) megusulka selag kepercayaa utuk peduga bag fugs regres sple sebaga: fˆ ( x ) ± z ˆ σ a ( ) α/ Dega a() adalah usur dagoal utama ke dar matrks A() hasl valdas slag persamaa (6) da zα/ adalah ttk dar sebara ormal. Sedagka ˆ σ dperoleh dar kuadrat tegah galat. Selag kepercayaa dterpretaska sebaga selag kepercayaa bag seluruh kurva dugaa y da buka sebaga selag terval bag peduga ttk. Hal dapat dpaham karea fugs sple yag dhaslka adalah fugs sepaag pegamata x sebagamaa pada model regres parametrk, haya saa a berupa polom yag tersegmetas, da kemuda dmuluska sepaag kurva pula berdasarka satu la pealt pemulus. Utuk memberka peduga selag pada ttk-ttk pegamata, dapat dlakuka dega membuat selag kepercayaa bag dugaa fugs y = f(x) dega dua pedekata. Pertama dega pedekata bayesa, yag memberka selag kepercayaa bayes. Sedagka pedekata la adalah pedekata bootstrap. Melalu bootstrapg pedekata megguaka ragam peduga emprk da memberka selag peduga bag kurva. Selag yag dhaslka dsebut selag kepercayaa bootstrap. Wag & Wahba (995) membadgka beberapa selag kepercayaa Bootstrap dega selag kepercayaa Bayesa utuk regres sple. Mereka meympulka bahwa selag kepercayaa Bootstrap sama bakya dega terval Bayesa dalam hal rata-rata peluag ketercakupa (coverage probablty). Namu selag kepercayaa Bootstrap tampak lebh bak utuk ukura sample kecl. Tpe terval Bootstrap yag dguaka adalah terval bootstrap tpe "percetle-t terval". Bak selag kepercayaa bayesa maupu boootstrap keduaya adalah selag utuk sepaag kurva, buka peduga terval bag setap ttk. METODE Peelta dlakuka dega megguaka data hasl smulas da megguaka data rl. Smulas dlakuka utuk mempelaar tetag peempata da peetua umlah kot yatu dega membagktka data y sebaga peubah respo regres yag kotu da x sebaga peubah bebas. Nla y tergatug pada la x amu tak kotu pada beberapa ttk. Agar memudahka da tetap mempertahaka komplekstas fugs dplh fugs berbass sus dega ketakkotua pada ttk x = {5,, 5}. Fugs yag telah dtetapka, kemuda dduga dega regres o parametrk Sple. Pegepasa regres dlakuka dega program SAS, PROC TRANSREG. Selautya lustras pegguaa regres sple dlakuka pada data pegukura kerapata relatf tulag belakag mausa dar 485 orag d Amerka Utara, tahu 999 (Haste et al. ) da utuk meduga selag kepercayaa dega metode bootstrap da bayesa. Kta aka memodelka kerapata relatf dega peubah usa. HASIL DAN PEMBAHASAN Stud smulas kot da peempataya Gambar memberka plot hubuga x da y dar data hasl smulas. Tampak bahwa terdapat ketakkotua pada ttk-ttk x =5,, da x Gambar. Scater plot X da Y. Y=f(X) takkotu pada x=5, da 5. Pada Gambar, terlhat bahwa hubuga X da Y tampak tdak dapat secara sederhaa dwakl oleh suatu fugs regres parametrk yag ddasarka pada beberapa asums. Demka uga bla kta megguaka regres ler atau pu kudratk kta tdak aka memperoleh fugs bak. Regres ler haya

5 56 Regres Sple... (Netty Herawat) L ear Regress o Quadrat c Regress o Fuct o (a) (b) Gambar. Plot regres parametrk (a) ler R =.7863, (b) polomal kudratk R = mampu meelaska keragama Y sektar 8% saa, sedagka regres kudratk sektar 46% Bla kta megaggap hubuga X da Y dalam polom berderaat 3 atau polomal kubk maka regresya aka meghaslka sebagamaa Gambar 3. Fugs ploomal kubk mampu meelaska keragama Y sektar 5% saa Dscotuous Dervatve Gambar 4. Polom tersegme sple kubk dega kot = 5,, 5 (R =56.66%) Cub c Regresso Fuct o Gambar 3. Plot regres parametrk polomal kubk, R= Gambar da 3 meuukka bahwa pedekata parametrk gagal meduga fugs f(x), karea tdak fleksbel. Berkut aka dtuukka bahwa pedekata segmetas pada pegamata x mampu memberka kepasa model yag lebh bak, melalu peempata kot. Regres sple kubk dega peempata kot Gambar 4 meuukka plot polomal sple kubk yag merupaka fugs umlah terbobot dar satu fugs kosta, satu fugs ler gars lurus, kuadratk, da kubk pada x<5. Fugs polomal kubk yag berbeda pada masgmasg baga x, 5 < x <, < x <5, da 5<x. Fugs sple lebh mulus dar fugs kudratk amu lebh medekat data sebearya darpada regres polom kuadratk, dega R=56.66% Dscotuous Dervatves Gambar 5. Polom sple kubk tersegme dega kot = 5, 5, 5,,,, 5, 5, 5 (R=.95867). Sedagka bla kta dekat dega polom sple kubk tersegme dega kot = 5,5,5,,,, 5,5,5 meghaslka R = %, gars sple sagat medekat data, tetap sedkt kurag mulus pada ttk-ttk kotya (Gambar 5).

6 Jural ILMU DASAR Vol. No.. : D scot uous Fuct o Gambar 6. Sple kubk takkotu, kot = 55, 5, 5,,,,, 5, 5, 5, 5 (R=.989) Kot s Gambar 8. Polomal sple kubk, dega 9 kot (R=.9499). Bla dega sple kubk takkotu dega kot = 55, 5, 5,,,,, 5, 5 5, 5 (Gambar 6), sagat dekat dega data (R=98.9%), amu tdak halus da takkotu. Regres sple kubk dega peempata kot pada quatl Dar hasl d atas dapat dkataka bahwa kta tdak tahu secara past poss kot yag memberka segmetas fugs yag tepat pada ttk ketakkotua. Dega kata la, dalam meduga fugs f (x) kot-kot tdak bsa dtempatka dsembarag tempat. Cara termudah da umum dguaka adalah dega meempatka seumlah kot yag telah dtetapka, pada daerah-daerah yag sesua dega kuatl peubah peelas x. fugs sple yag dhaslka adalah fugs yag kotu, dega parameter pemulus/peghalus yag optmum meurut krtera pemulus kuadrat tegah galat da pealt kekasara sehgga sela mulus uga aka cukup meggambarka betuk data. Utuk tu perlu ddefska bayakya kot yag dguaka. 4 Gambar 7 meuukka sple dega empat buah kot pada kuatlya. Sple dega empat kot teryata tdak bsa meggambarka data dega bak karea haya mampu meeragka sektar 7% dar data. Sple dega sembla kot dtempatka pada desl (Gambar 8). Tampak bahwa sple yag dhaslka hampr medekat data sebearya da mampu meeragka keragama peubah respo y sektar 95% da terlhat mulus dsepaag pegamata x. Dar Gambar 7 da 8 d atas elas bahwa peempata kot da umlah kot sagat mempegaruh pemulusa regres sple. Regres sple pada pegukura tulag belakag mausa Hasl dar stud smulas d atas dterapka pada data pegukura kerapata relatf tulag belakag mausa dar 485 orag (6 perempua da 59 lak-lak) d Amerka Utara, tahu 999 dega peubah usa, meurut geder. Bla kta mecurga terdapat pola yag berbeda atara lak-lak da perempua, kta dapat memutuska utuk memodelkaya secara terpsah. Pertama kta melhat pola tebara data usa dega kerapata tulag meurut es kelam, lak-lak da perempua (Gambar 9). Dar hasl regres sple utuk masg-masg es kelam (Tabel ) ddapat bahwa terdapat perbedaa la mmu pada Geeralzed Cross-Valdato (GCV) Kot s Gambar 7. Sple kubk, dega 4 (R=.696). kot

7 58 Regres Sple... (Netty Herawat) Tabel. Nla GCV optmum utuk kedua model sple. Perempua Lak-lak log(*lambda) GCV log(*lambda) GCV * * Keteraga: * megdkas la GCV mmum Kerapata Tulag Belakag Relatf (spbmd) Usa (age) 4 6 Varable female * agef male * agem Gambar 9. Pola tebara usa terhadap kerapata tulag belakag meurut es kelam, =perempua, =lak-lak..5 Kerapata Relatf Tulag Belakag Usa (age) 4 6 Varable female * agef ft_female * agef male * agem ft_male * agem Gambar. Pegepasa regres sple usa terhadap kepadata tulag belakag, =perempua, =lak-lak.

8 Jural ILMU DASAR Vol. No.. : spbmd Pred cted Val ue of spbmd Lower 9%CL ( Bayes a) Upper 9%CL ( Bayes a) Lower 9%CL ( Bootstrap) Upper 9%CL ( Bootstrap) Gambar. Selag kepercayaa bayesa da bootstrap bag regres sple utuk perempua (=59). age spbmd Pred cted Val ue of spbmd Lower 9%CL ( Bayes a) Upper 9%CL ( Bayes a) Lower 9%CL ( Bootstrap) Upper 9%CL ( Bootstrap) Gambar. Selag kepercayaa bayesa da bootstrap bag regres sple utuk lak-lak (=6). age Tabel. Statstk pedugaa regres sple. Nla Dugaa Lak-lak Perempua log(*lambda) Palt pemulus..3 Jumlah Kuadrat Ssa Tr(I-A) DF Model Smpaga Baku.35.43

9 6 Regres Sple... (Netty Herawat) Hal dperkuat oleh hasl statstk pedugaa regres sple (Tabel ) bahwa terdapat perbedaa pada hasl pedugaa umlah kuadrat ssa da palt pemulus. Kepadata relatf tulag belakag perempua tampak mempuya keragama yag lebh redah dbadg lak-lak. Hasl plot regres dsaka pada Gambar. Tampak bahwa pada perempua kepadata relatf lebh cepat meuru dega bertambahya usa, dbadg lak-lak. Pada usa-usa remaa telah terad peurua semetara lak-lak baru megalamya pada awal usa tahu. Gambar da memberka selag peduga bag dugaa ttk regres y=f(x) pada model kerapata tulag belakag terhadap usa bag lak-lak da perempua. Selag kepercayaa bayesa dperoleh berdasarka Wahba (983) dega megguaka pror galat yag meyebar ormal dega rata-rata ol. Sedagka selag kepercaya bootstrap megkut Wag & Wahba (995) dega memberka la ˆ σ dar data pada proses bootstrapg. Pada data kerapata relatf tampak pula bahwa pada ukura sample yag lebh kecl, dalam hal sample lak-lak, selag Bayes da Bootstrap tdak begtu berbeda (Gambar ). Sedagka pada ukura sample yag lebh besar (data perempua), tampak selag bootstrap lebh sempt dar bayesa (Gambar ). KESIMPULAN Regres o parametrk sple merupaka regres tersegmetas yag memberka keleluasaa pada fugs polomal yag berbeda pada tap segme dega pemulus sple utuk memberka kurva sepaag pegamata x. Utuk meduga fugs f (x) sebakya megguaka seumlah kot yag dtetapka da dtempatka pada daerah-daerah sesua dega kuatl peubah peelas x sehgga ddapat dugaa fugs yag optmum pada permbaga kuadrat tegah galat da kemulusa. Dar sedagka hasl peelta megea selag kepercayaa Bayes da Bootstrap tdak begtu berbeda. Pada ukura sample yag lebh besar, tampak selag bootstrap lebh sempt dar bayesa. Ucapa termakash Peelta ddaa DIPA Ula Tahu Aggara 9 melalu Lembaga Peelta Uverstas Lampug DAFTAR PUSTAKA Eubak RL Sple smoothg ad Noparametrk Regresso. Marcel Dekker, Ic., New York. Gree PJ & Slverma BW Noparametrk Regresso ad Geeralzed Lear Models (a roughess pealty approach). Chapma & Hall, New York. Hardle W. 99. Appled No Paramertrk Regresso. Cambrdge Uversty Press, New York. Haste T, Tbshra R & Freedma J.. The Elemets of Statstcal Learg: Data Mg, Iferece,ad Predcto. Sprger Verlag, New York. Slverma BW Desty estmato for statstcs ad data aalyss. Chapma ad Hall, Lodo. Scumacher L. 7. Sple Fuctos: Basc Theory. 3Rd Ed. Vaderblt Uversty, Teessee. Takezawa K. 6. Itroducto to Noparametrcs Regresso. Joh wlley ad Sos. USA. Wahba G. 99. Sple Models for Observatoal Data, SIAM, Phladelpha. CBMS-NSF Regoal Coferece Seres Appled Mathematcs, Vol. 59. Wahba G Bayesa Cofdece Iterval for the Craoss-valdated Smoothg Sple. J. R. Statst. Soc. B. 45 (): Wag Y & Wahba G Bootstrap Cofdece Itervals for Smoothg Sples ad ther Comparso to Bayesa Cofdece Itervals. J. Statstcal Computato ad Smulato. 5. [ole abstract] Wag J & Yag L. 9. Polyomal Sple Sofdece Bads for Regresso Curves. Statstca Sca. 9: