BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab aka mejelaska megea beberapa ladasa teor utuk meerapka regres oparametrk yatu regres oparametrk Sple kuadratk da Thel.. Dervatf Defs. Spegel (986 :58 ) Msalka y f (x) adalah fugs da c berada pada doma f. Dervatf fugs f pada c dyataka dega f '( c), maka f ( c x) f ( c) f '( c) lm x 0 (.) x Jka la lmtya ada. Teorema. (Atura Rata) Fugs f da g fugs-fugs yag mempuya dervatf, maka fugs komposs f g juga mempuya dervatf. Jka y f (u) da u g(x), maka dervatf y ( f g)( x) f ( g( x)) dy dx Bukt : dy du (.) du dx y x y u. u x Jka u g(x) mempuya dervatf, maka u 0 bla x 0 6

2 u lm u lm x. x 0 x 0 x u (lm x)(lm ) x 0 x 0 x du 0. dx 0 Jad, y lm x x y u (lm )(lm ) x 0 u x 0 0 x Sehgga dy dx dy du du dx. Itegral Tak Wajar Defs.3 Basu.(986 : 8) Itegral tak wajar adalah suatu tegral yag salah satu atau kedua harga lmt batas tegralya adalah tak berhgga utuk suatu harga x dalam terval [a,b] sehgga, b a b f ( x) dx lm f ( x) dx (.3) a a b f ( x) dx lm f ( x) dx (.4) b a Apabla lmt d ruas kaa ada da tak berhgga, maka dkataka tegral tak wajar yag bersagkuta koverge da memlk la yag terhgga tu. Jka 7

3 tdak, tegral tersebut dsebut dverge. Jka 0 f ( x) dx da 0 f ( x) dx koverge maka dkataka f ( x) dx koverge dega la : 0 f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx (.5) 0.3 Ekspektas da Varas Varas berpera petg dalam aalss regres sple kuadratk. Oleh karea tu, aka dbahas dasar teor tetag varas. Defs.4 Ba (99 : 67) Jka adalah varabel radom kotu dega fugs destas probabltas f(x), maka la ekspektas dar ddefska sebaga berkut : E ( ) xf ( x) dx (.6) Jka la tegral ada maka dkataka koverge absolut, jka tdak maka dkataka la E() tdak ada. Jka varabel radom dega fugs destas probabltas f(x), a da b suatu kostata, g(x) da h(x) fugs real dega doma eleme dar maka : [ ag( ) bh( )] ae[ g( x) ] be[ h( )] E Defs.5 Ba (99:73) Varas dar varabel radom ddefska sebaga : Var [ ] ( ) E ( µ ) E E ( ) µ E( ) µ, µ E( ) ( ) ( E( )) 8

4 Jka varabel radom, a da b suatu kostata, maka : Var [ ] ( a b) E a ( µ ) a Var ( ).4 Jes Matrks. Matrks Bujur Sagkar Matrks bujur sagkar adalah matrks yag bayak bars da bayak kolomya sama. Pada matrks bujur sagkar, eleme-eleme a,...,, a a dsebut sebaga eleme dagoal. Cotoh : a a A a a a a a a a (.7) dega bayakya bars bayakya kolom. Matrks Idettas Matrks dettas adalah matrks bujur sagkar yag eleme-eleme pada dagoal utama berla satu da eleme luar dagoalya berla Matrks Smetrk Matrks smetrk adalah matrks bujursagkar yag elemeya smetrs secara dagoal, dapat juga dkataka bahwa matrks smetrs adalah matrks yag trasposeya sama dega drya sedr. 4. Matrks Dagoal Matrks dagoal adalah adalah matrks bujursagkar yag semua eleme d luar dagoal utamaya ol 9

5 5. Matrks Skalar Matrks skalar adalah matrks dagoal yag semua elemeya sama tetap buka ol atau satu. 6. Matrks Deft Postf Matrks A dkataka deft postf bla matrks A merupaka matrks yag smetrk da a j > 0.5 Operas Matrks. Pejumlaha da Peguraga Defs.6 Harvlle (008 : 3) Pejumlaha dua matrks A da B ddefska sebaga jumlaha eleme seletak pada matrks A da B. Msalka A [ ] A dega ukura m x da B [ ] B j A j mempresetaska matrks mempresetaska matrks B dega ukura m x, maka : [ ] A B A j B j Defs.7 Harvlle (008 : 3) Peguraga dua matrks A da B ddefska sebaga peguraga eleme seletak pada matrks A da B. Msalka A [ ] A dega ukura m x da B [ ] B j A j mempresetaska matrks mempresetaska matrks B dega ukura m x, maka : [ A ( B ] [ A B ] A B A ( B) ) j j j j 0

6 Pejumlaha da peguraga sembarag dua buah matrks A da B dapat terjad jka kedua matrks tu mempuya ordo (ukura) yag sama. Jumlah matrks AB adalah matrks yag dperoleh dega mejumlahka elemeeleme dalam matrks A dega eleme yag seletak dalam matrks B. Sedagka peguraga matrks A-B adalah matrks yag dperoleh dega megurag eleme-eleme dalam matrks A dega eleme yag seletak dalam matrks B. Perkala Matrks Pada operas perkala matrks, jumlah kolom dar faktor pertama A harus sama dega julah bars dar faktor kedua B agar dapat dbetuk hasl kal AB A m r Br ABm Defs.8 Harvlle (008 : ) tetag perkala matrks dega skalar Pada koteks matrks da vektor, suatu blaga real k dsebut sebaga skalar. Msalka A [ A j ] mempresetaska matrks A dega ukura m x. perkala matrks A da suatu skalar k ddefska sebaga : [ ] [ ] ka k A j ka j Defs.9 Harvlle (008 : 3) tetag perkala matrks dega matrks Perkala matrks A da B dapat dlakuka bla bayak kolom pada matrks A sama dega bayak bars ada matrks B. Msalka A [ A j ] berukura m x p da B [ B j ] berukura p x maka CAB berukura m x. 3. Traspose Matrks Damaka traspose matrks A ( A ) kolom-kolom pada Ada sebalkya. jka bars-bars pada A dtukar mejad

7 Defs.0 Recer ad Schaalje (008 : 7) Traspose dar matrks A [ ] A j berukura m x ddefska sebaga [ ] [ ] A A j A j yag berukurua x m Beberapa sfat traspose : ) ( A ) A k ) ( A k B) k A ± k B 3) ( ) ka ± ka, dega k adalah skalar sebarag AB 4) ( ) B A Bukt : ) Msalka A [ A j ] berukura m x p da berdasarka defs.0 maka A ( ) [ A ] [ A ] [ A ] A j j j ) Msalka A [ A j ] berukura m x p, [ ] B berukura m x p. k da k adalah skalar, berdasarka Defs.6 da Defs.0 dperoleh ( k A ± k B) [ k A ± k B ] [ k A ] ± [ k B ] j B j [ k A ± k B ] k A ± k B 3) Msalka A [ A j ] berukura m x p, [ B j ] j skalar. Berdasarka Defs.8 da Defs.0 dperoleh ( ka) [ ka ] [ ka ] k[ A ] ka j j j 4) Msalka A [ A j ] berukura m x p, [ B j ] berdasarka sfat Defs.9 da Defs.0 dperoleh j j j j B berukura m x p. k adalah B berukura m x p.

8 p p k kj jk k k k ( AB) A B B A B A 4. Iverse Matrks Jka A adalah matrks bujur sagkar, da jka terdapat suatu matrks B yag ukuraya sama seddmka sehgga AB BA I, maka A dsebut vertble (dapat dbalk) da B dsebut sebaga vers dar A. Jka matrks B tdak dapat ddefska, maka A dyataka sebaga matrks sgular. 5. Trace Matrks Bla A suatu matrks bujur sagkar, maka jumlah usur dagoal matrks A adalah trace dega tr(a), sehgga tr( A) a a... a a Lambag tr adalah sgkata dar trace dalam bahasa ggrs. Jad tr(i )..6 Regres Lear Sederhaa Aalss Regres Lear Sederhaa merupaka aalss regres yag melbatka satu varabel predktor da satu varabel respos. Hubuga atara varabel berkut: y 0 x (.8) dega y adalah varabel respos ke- dega... x adalah varabel predktor ke - dega... 0 adalah kosta yag merupaka perpotoga dega sumbu y adalah koefse regres adalah error radom yag berdstrbus ormal depede dega mea ol da varas σ 3

9 .7 Regres Noparametrk Regres oparametrk merupaka metode statstka yag dguaka utuk megetahu hubuga varabel respos dega varabel predktor berpola parametrk sepert ler, kuadratk, kubk da laya yag tdak dketahu betuk fugsya sehgga regres oparametrk sagat mempertahaka fleksbltas maksudya dapat meyesuaka dr dega karakterst data. Oleh karea tu, estmas kurva regres dapat dlakuka berdasarka pedekata yag tdak terkat pada asums betuk kurva tertetu sepert dalam regres parametrk. Model regres oparametrk secara umum adalah sebaga berkut: y f ( ),,..., (.9) x y adalah varabel respos, x adalah varabel predktor, f(x ) adalah fugs regres adalah error radom yag berdstrbus ormal depede dega mea ol da varas σ. Pemlha fugs basaya dmotvas oleh sfat kemulusa (smoothers) yag dasumska dmlk oleh fugs regres. Data pegamata kemuda dguaka utuk megestmas fugs dega tekk smoothg tertetu..8 Regres Sple Regres Sple adalah regres oparametrk yag medekat ke arah pecocoka data dega tetap memperhtugka kemulusa kurva. Regres mempuya keuggula dalam megatas pola data yag meujukka ak atau turu yag tajam dega melbatka orde da kemugka beberapa ttk kot serta kurva yag dhaslka relatf mulus. Selajutya utuk medapatka model Sple yag terbak maka dperluka estmator Sple yag optmal. Estmator bergatug pada peetua orde da ttk kot tersebut. Krtera yag serg 4

10 dguaka agar orde da ttk kot optmal yatu dega megguaka Geeralzed Cross Valdato (GCV). Berkut pejelasa megea orde, ttk kot da GCV. Orde Regres Sple memugkka utuk berbaga macam orde sehgga dapat dbetuk regres berorde (lear), orde (kuadratk), orde 3 (kubk ) sampa orde tergatug dar pola dataya. Orde yag dmaksud dalam regres Sple adalah orde polomalya.. Ttk Kot Kot sebaga suatu ttk fokus dalam fugs sple, atau serg dsebut parameter peghalus dalam Sple. Regres Sple pada hakekatya merupaka pemlha lokas ttk kot. Utuk medapatka ttk kot maka dapat dlakuka dega cara plot data terlebh dahulu. Setelah tu peetua ttk kot dtetuka dar letak terves pada plot tersebut. 3. Geeralzed Cross Valdato (GCV) GCV merupaka suatu metode utuk memlh model berdasarka ada kemampua predks dar model tersebut. Nla GCV dperoleh berdasarka faktor ttk kot dalam model regres Sple. Semak kecl la GCV maka galat pada model Sple juga aka kecl. Meurut (Eubak : 988) Sple orde q dega kot ξ,...,, ξ ξ k dberka dalam fugs y dega betuk : y q 0 x x.. q x q ( x ξ) q ( x ξ ) q ( x ξ ),,..., q K K q q... (.) 5

11 dega ( ξ q x K ) ( x q ξ K ), jka x ξ K 0, jka x < ξ K adalah parameter model, 0 adalah tersep, q K adalah slope pada peubah x da kot ke-k pada Sple berorde q, x adalah varabel respos, ξ K adalah kot ke-k.9 Estmas Kuadrat Terkecl. Terdapat beberapa metode utuk megestmas parameter dalam model regres, salah satuya adalah metode kuadrat terkecl atau Ordary Least Square. Adapu kelebha dar metode kuadrat terkecl adalah tdak memerluka asums dstrbus sedagka kekuraga metode yatu sagat sestf utuk adaya data outler. Estmas parameter dperoleh dega cara memmalka jumlah kuadrat error. Aka dcar estmas koefse regres utuk model umum regres : Utuk,,..., dmlk model : Y x x... x 0 k k Y x x... x 0 k k (.) dega ( ) 0 E ; ( ) E σ ; E( ) 0 ; s Model d atas dapat dbetuk ke dalam matrks dega s Y (.3) Y Y Y Y k k k 6

12 7 k 0 Sehgga dapat juga dtuls sebaga berkut: k k k k Y Y Y 0 dar persamaa (.3) dperoleh Y S Prsp estmas kuadrat terkecl adalah memmumka jumlah kuadrat galat, sehgga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' Y' Y' Y'Y Y ' Y ' Matrks Y' ( )' Y' karea berukura x, maka ( ) ' ' 'Y ' Y'Y ' Y' Y'Y ' ' Estmas dar parameter dperoleh dega meyamadegaka ol hasl dar dervatf atau turua pertama dar jumlah kuadrat errorya, yatu : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y Y Y Y Y

13 ( ) Y Hasl harus memeuh ( ) 0 (.4) Pejabara dar persamaa (.4) sebaga berkut : ( ) 0 Y 0 Y ( ) ˆ ( ) Iˆ ( ) Y Y ( ) Y ˆ (.5) OLS Utuk meujukka bahwa mmum, maka hasl dervatf pertama dar jumlah kuadrat error harus dturuka sekal lag sehgga meghaslka dervatf atau turua kedua, da laya harus lebh besar dar ol. ( ) ( Y Y Y ) ( Y ) Jama bahwa la dar mmum adalah bahwa turua ke dua dar terhadap harus berla postf. Sehgga la aka mmum apabla la lebh besar dar ol. Karea matrks adalah deft postf dega semua usur dagoalya berbetuk kuadrat, maka turua kedua dar ˆ OLS mmum. terhadap berla postf yag berart ( ) Y 8

14 .0 Outler Outler adalah data yag terletak jauh dar data yag laya dalam suatu data. Meurut Barett (98) medefska outler sebaga pegamata yag tdak megkut sebaga besar pola da terletak jauh dar pusat data (dkutp dar Soemart 007). Keberadaa dar pecla aka meggaggu dalam proses megalsa data. Dalam kataya dega aalss regres. Outler dapat meyebabka hal-hal berkut : - Resudual yag besar dar model yag terbetuk - Varas dar data aka mejad lebh besar - Estmas terval aka memlk retag yag lebh besar Meurut Soemart (007) terdapat 3 tpe outler pada aalss regres. yatu sebaga berkut :. Vertcal Outler Merupaka pegamata terpecl pada varabel depede Y tetap tdak terpecl pada varabel depede. Vertcal outler berpegaruh terhadap estmas kuadrat terkecl.. Good leverage pot Merupaka pegamata yag terpecl pada varabel tetap terletak dekat dega gars regres yag berart bahwa pegamata x mejauh tetap y cocok dega gars regres. Good leverage pot tdak berpegaruh terhadap estmas kuadrat terkecl, tetap berpegaruh terhadap feres statstk karea dapat membulka stadard error 9

15 3. Bad leverage pot Merupaka pegamata yag terpecl pada varabel da juga terletak jauh dar gars regres. Bad leverage lebh berbahaya dbadgka vertkal outler, karea memlk pegaruh yag sagat besar pada regres lear klask. Pada statstk, data outler harus dlhat terhadap poss sebara data laya. Metode utuk meetuka batasa dar outler dalam sebuah aalss atara la a. Metode Grafs atau Scatter Plot Metode dlakuka dega cara memplot data megguaka beberapa software statstka. Jka terdapat satu atau beberapa data yag jauh dar pola kumpula data keseluruha maka hal megdkaska adaya outler. Pecla aka ampak memsahka dr dar kumpula sebaga besar data sehgga kelemaha metode adalah keputusa bahwa suatu data merupaka outler sagat bergatug pada peelt sedr. Karea haya megadalka vsualsas grafs. Utuk tu dbutuhka seseorag yag berpegalama dalam megterprestaska plot tersebut. b. Box Plot Metode merupaka yag palg umum yak dega megguaka la kuartl da jagkaua. Kuartl,, da 3 membag sebuah uruta data mejad empat baga. Jagkaua ddefska sebaga selsh kuartl terhadap kuartl 3 atau R (Iterquatl Rage) Q 3 -Q. Data-data outler dapat dtetuka yatu la yag kurag dar.5 x R terhadap kuartl da 0

16 la yag lebh dar.5 x R terhadap kuartl 3. Rumus kuartl sedrr adalah sebaga berkut : ( * ) Q dega 4 kuartl. utuk kuartl bawah. utuk meda. 3 utuk kuartl atas jumlah data Sedagka ukura lagkah ddefska sebaga.5 kal dar selsh kuartl atas da kuartl bawah. Dbawah skema detfkas outler megguaka boxplot c. Stadardzed resdual Resdual ke- ddefska : eˆ yˆ y (.5) Stadardzed resdual ke- : (.6) eˆ s e MSE, ˆ e MSE k (.7)

17 MSE adalah rata-rata resdual kuadrat. MSE dsebut stadard error. Stadard error merupaka ukura kebaka model regres yag basa dguaka utuk membadgka model regres satu dega yag la. Stadard error megukur besarya varas model regres. Semak kecl laya semak bak model regres. d. Cook s Dstace Metode dperkealka oleh Cook dega rumus sebaga berkut : D h ( h ) e kmse (.8) dega h adalah eleme-eleme dagoal dar matrk H da k adalah bayakya varabel respos sepert terlhat pada rumus berkut : Yˆ ˆ [( ' ) ( ' ) ' Y ] ' Y HY dega H ( ' ) ' (.9) Sehgga dapat dkataka outler apabla la cooks dstace lebh dar 4/ dega adalah jumlah observas.. Tekk Smoothg Tekk smoothg adalah tekk pemulusa yag basa dguaka utuk meghaluska suatu data dalam aalss rutu waktu. Utuk melakuka smoothg terhadap suatu data, la masa lalu dguaka utuk medapatka la

18 yag dhaluska utuk tme seres. Tujua dar smoothg adalah utuk membuag varabeltas dar data yag tdak memlk efek sehgga cr-cr dar data aka tampak jelas. Smoothg dar data pegamata {( )} Y pedekata dar rata-rata respos m pada regres, adalah Y m( ),,,..., Jka fugs regres m(.) dyak smooth maka observas pada ttk-ttk dekat aka memuat formas tetag la m(.) pada, sehgga dega megguaka rata-rata lokal dapat dpadag sebaga dasar pemkra dar tekk-tekk smoothg. Secara formal prosedur ddefska sebaga : dega { W ( x),,.., } mˆ ( x) W ( x), adalah barsa pembobot da m ( ) meyataka estmator dar m(x). Jka { W ( x),,.., } ˆ x y ˆ x, postf da utuk semua x,berlaku W ( x) y maka m ( ) adalah estmas kuadrat terkecl pada ttk x. Hal dkareaka m ˆ ( x) adalah solus mmum dar W ( x)( y θ ) terhadap θ yak m W ( x)( y θ ) W ( x) ( y mˆ ( x) ) θ. Autokorelas Autokorelas terjad akbat adaya hubuga berutu dar galat model. Maksud dar hubuga berutu adalah hubuga yag terjad atara resdual pada satu pegamata dega pegamata la pada varabel yag sama. 3

19 Hubuga berutu tersebut megakbatka galat tdak depede atau salg bebas. Hal tersebut dapat melaggar asums galat model. Oleh karea tu utuk meguj apakah dalam suatu model regres terdapat korelas atara kesalaha pada perode t dega kesalaha pada perode t- (sebelumya) megguaka uj autokorelas. Defs. (Hake ad Wche, 005 :60) Autokorelas adalah korelas atara varabel lag pertama atau lag perode selajutya dega drya sedr. Nla dar korelas atau dsebut dega koefse korelas ( γ k ) adalah autokorelas atara data asl (Y t ) dega (Y t-k ) yag ddefska oleh Hake ad Wche (005:6) ( Y )( ) t Y Yt k Y ( Yt Y ) t k γ, k 0,,,.. (.0) k dega t γ k koefse autokorelas utuk lag ke k Y la rata-rata varabel Y Y t data asl Y data utuk lag ke k t k.3 Krtera Kelayaka Model Kelayaka model regres berkata dega seberapa dekat jarak atara data hasl predks dega data yag sebearya. Ada beberapa krtera berbeda yag dguaka utuk membadgka kelayaka model atara model regres Thel dega regres Sple. Krtera tersebut adalah Mea Absolut Devato (MAD), Mea Square Error (MSE), da Mea Absolute Precetage Error (MAPE). 4

20 . MAD (Mea Absolute Devato) Megukur ketepata atau kelayaka dega merata-rata kesalaha dugaa. MAD palg bergua ketka orag yag megaalsa g megukur kesalaha ramala dalam ut yag sama sebaga deret asl. MAD merupaka la total absolut dar forecast error dbag dega data. Atau yag lebh mudah adalah la kumulatf absolut error dbag dega jumlah observas. Berkut rumus utuk meghtug MAD: MAD. MSE (Mea Squared Error) Mea squared error basa dsebut juga galat peramala. Masg-masg kesalaha atau ssa dkuadratka. Kemuda djumlahka da dbag dega jumlah observas. Pedekata megatur kesalaha peramala yagbesar karea kesalaha-kesalaha tu dkuadratka. Suatu tekk yag meghaslka kesalaha mugk lebh bak utuk salah satu yag memlk kesalaha kecl tap kadag-kadag meghaslka sesuatu yag sagat besar. Berkut rumus utuk meghtug MSE: MSE e 3. MAPE (Mea Absolute Percetage Error) MAPE adalah Nla Tegah Galat Presetase Absolut. Rata-rata persetase kesalaha kuadrat merupaka pegukura ketelta dega cara persetase kesalaha absolute. MAPE dhtug dega meemuka kesalaha absolut e t 5

21 setap perode, kemuda membagya dega la observas pada perode tersebut da kemuda mecar rata-rata presetase absolut. Berkut rumus meghtug MAPE : PE MAPE F dega PE (00).4 Ideks Harga Saham Gabuga Ideks harga adalah suatu agka yag dguaka utuk melhat perubaha megea harga dalam waktu da tempat yag sama ataupu berlaa. Ideks harga saham merupaka dkator utama yag meggambarka pergeraka harga saham. Ideks Harga Saham Gabuga (IHSG) merupaka deks yag meujukka pergeraka harga saham secara umum yag tercatat d bursa efek Idoesa da mejad acua tetag perkembaga saham d pasar modal sebab pergeraka IHSG aka mempegaruh skap para vestor apakah aka membel, meaha atau mejual sahamya. Bursa efek Idoesa berweag megeluarka da tdak memasukka satu atau beberapa perusahaa yag tercatat dar perhtuga IHSG, agar IHSG dapat meggambarka keadaa pasar yag wajar. Ada beberapa faktor yag mempegaruh perubaha harga saham sepert jumlah uag beredar, produk domestk bruto (PDB), suku buga, la tukar mata uag, tgkat flas, da la-la..5. Iflas Iflas merupaka keadaa megkatya harga-harga secara umum da terus-meerus. Hal aka meuruka mat vestor utuk bervestas pada suatu perusahaa. Jka mat vestor utuk bervestas pada perusahaa 6

22 turu, maka terjad peurua terhadap harga-harga saham perusahaa. Hal dapat meyebabka IHSG meuru. Boedoo (996:6 ) medefska flas merupaka kecederuga dar harga-harga utuk ak secara umum da terus meerus da terdapat dua jes flas yag djabarka Bedoo dataraya : ) Demad Iflato Demad Iflato yatu flas yag tmbul karea permtaa masyarakat terhadap komodt-komodt hasl produks d pasar barag. Jes Iflas serg dsebut dega flas mur. ) Cost-Push Iflato Cost-push flato yatu flas yag tmbul karea keaka baya produks. Iflas dtada dega keaka harga serta turuya jumlah produks. Keadaa tmbul dmual dega adaya peurua dalam peawara baya produks. Keaka produks terbsebut aka meakka harga da meuruka jumlah produks. 7