PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN SEBAGAI RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU

Transkripsi

1 PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN SEBAGAI RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU Supadi a a Program Sudi Pedidika Maemaika FPMIPA IKIP PGRI Semarag Jl. Dr. Cipo-Loar No1 Semarag Telp. (04) Fak (04) Abrak Raai Markov waku koiu yag merupaka bagia dari proe okaik. Pembahaa diawali dega pegeria daar yag dipakai ecara umum ermauk eorema da lemma eag peramaa differeial Kolmogorof yag berkaia dega raai Markov waku koiu. Aplikai raai marko v waku koiu dibaha dalam paper ii uuk proe kelahira da kemaia yaiu pada iem M/M/ ( M/M/1) ebagai gambara dari ecara yaa. Kaa kuci : Raai Markov waku koiu, Peramaa Differeial Kolmogorov,. 1. Pedahulua Proe okaik {X(), T} adalah uau baria keadia yag memeuhi kaidahkaidah peluag yag didefiiika ebagai baria peubah acak X(). Himpua T ebagai ruag parameer aau ruag idek dari proe okaik X da himpua emua ilai X() yag mugki ebagai peluag keadaa dari X. Alam emea ii berifa okaik yag memuculka ak higga proe okaik, dega klaifikai proe okaik erai dalam Tabel 1. Daar dari raai markov adalah proe meghiug yag didefiiika ebagai beriku; proe {N(), 0} ebagai proe meghiug apabila N() meyaaka bayakya periiwa yag eradi pada elag waku [0,]. Sedagka {N(), 0} adalah proe Poio bila uau proe meghiug dega waku aar keadia yag beba da berdiribui ekpoeial, era memiliki keaika-keaika yag aioer. Diribui ekpoeial meggambarka diribui waku aara keadia yag alig beba da eradi dega lau yag koa. Tabel 1. Klaifikai proe Markov

2 Parameer Dikri Koiu Ruag Keadaa Dikri Raai Markov dega idek parameer dikri Raai Markov dega idek parameer Koiu Koiu Proe markov dega idek parameer Dikri Proe markov dega idek parameer Koiu Proe markov adalah uau proe okaik dega ifa ika keadaa uuk aa ekarag dikeahui aau diberika maka peluag keadaa dari proe pada waku yag aka daag idak dipegerahui oleh keadaaa pada waku ebelumya. Raai markov adalah proe Markov dega peluag keadaa dikri eapi idek parameerya dapa dikri aau koiu.. Raai Markov waku Koiu Padag uau proe okaik waku koiu {X(), [0, ), R } dega ruag keadaa S berupa himpua bula o egaif. Proe {X(), [0, ), R } dikaaka uau raai Markov dega idek parameer waku koiu ika eiap, 0 da uuk eiap bilaga bula o egaif i,, x(u) da 0 u didefiiika ebagai beriku P (X(+) = X() = i, X(u) =x(u), 0 u ) = P(X(+) = X() = P i () (1) Suau proe okaik {X(), [0, ), R }waku koiu diebu raai markov waku koiu bila proe okak erebu mempuyai ifa Markovia. Sifa Markovia merupaka diribui beryara dari keadaa di waku medaag +, diberika keadaa pada waku aa ii da emua keadaa pada waku lampau, dimaa peluag dari keadaa diwaku medaag + haya bergaug pada keadaa aa ii da idak bergaug pada keadaa pada waku lampau. Jika peluag P (X(+) = X() = i) idak bergaug dari ilai maka raai Markov waku koiu dikaaka mempuyai peluag raii yag homoge aau aioer. Raai Markov waku koiu dikaaka waku homoge ika uuk ebarag ebarag keadaa i. S berlaku da

3 P i (,) = P( X() = X() = i, P( X(-) = X(0 ) = i ) () Pada raai Markov dikeahui bahwa raii dari proe eradi eiap au aua waku. Tidak demikia halya uuk proe Markov. Mialka proe Markov yag dielii berpidah ke keadaa i pada waku 0. Mialka eelah waku kemudia proe maih berada di keadaa yag ama ( peluag raii idak eradi ). Kemudia imbul perayaa berapa peluag proe erebu maih berada di keadaa yag ama elama waku dari pegamaa erakhir. Karea proe Markov maka dega ifa Markoviaya bahwa peluag proe erebu eap berada di keadaa i pada elag waku [, +] adalah peluag beryara proe erebu berada di keadaa i pada elag waku [, +] diberika proe berada di keadaa i pada waku. Aumika bahwa P i (,) koiu di =0 yaiu peluag raii aioer yag didefiiika ebagai beriku 1, i = δ i =limp i()= 0 0, i Raai Markov waku koiu diebu uau proe okaik {X(), [0, ), R } merupaka uau proe Markov bila uuk eiap raii di keadaa i mempuyai ifa: (i). Lamaya proe waku berada di keadaa ke i ebelum melakuka raii ke keadaa lai adalah berdiribui ekpoeial dega parameer ( mial ebu rae ) v i = 1/ i uuk 0 v i da, (ii). Bila proe erebu berpidah ke keadaa dega peluag P i dimaa P i = 1 da P ii = 0 uuk eiap i. Pada keadaa i uuk rae v i = diebu keadaaa ekeika ( iaaeou ae ), dega aumi 0 v i uuk eiap i. Dalam kodii eperi ii maka keadaa i diebu aborbig yaiu bila ekali mauk uau keadaa maka idak perah meiggalka keadaa erebu. Raai Markov waku koiu diebu proe kelahira da kemaia bila (i). Keadaa S = {1,.,3,...} (ii). q i = 0 uuk i- > 1 Dega demikia proe kelahira da kemaia adalah raai markov waku koiu dea ruag keadaa {0,1,,3,...} uuk raii dari keadaa i haya dapa berpidah ke

4 keadaa i-1 aau i+1. Raai markov ii diamaka demikia karea pada proe ii direpreeaika dega uau ukura populai yag berambah au dikareaka au proe kelahira da ebalikya berkurag au diebabka au proe kemaia. (iii). Mial diberika i = q i, i+1 proe kelahira da i=q i, i-1 proe kemaia (iv). Nilai { i, i 0 } diebu rae kelahira da { i, i 1} diebu rae kemaia (v). Karea q i = v i diperoleh v i = i + i da S i P i,i+1 = =1- P + i i i,i-1 3. Peramaa Difereial Kolmogorov Didefiiika peluag dari keadaa ke-i meuu keadaa ke- pada aa i ebagai beriku P i () = P( X(+) = X() = i ) Da mialka proe Poio uuk i, maka peluag dari keadaa i ke meuu keadaa pada aa adalah P i () = P(keadia -i dari paag elag ) = -i () (-i)! Lemma 1. Peluag dari dua aau lebih raii pada aa adalah O() (i). 1-P i() lim = qi 0 (ii). P i() lim = q i, i 0 Lemma. Mialka X(), [0, ), R } raai Markov waku koiu dega ruag keadaa S, rae (q i) i, S dega peluag raii (P i()) i, S. Maka uuk eiap, berlaku P i(+)= P ik ()P k() k=0 Dari Lemma, ika ada da, ehigga P i () > 0 da P i () > 0, maka i alig berkomuikai. Apabila raai Markov irreducible maka P i () > 0, >0, i da. Raai

5 Markov dega peluag raii P i () homoge adalah π lim P i(), S. Uuk raai Markov waku koiu yag irreducible maka π 0, S, ull recure aau raie π 0, S, π 1, poiif recure S Pada raai Markov dikri uuk meeuka apakah raai markov irreducible mempuyai diribui aioer ( pada waku yag lama ) dega memerika π π P, S i i Dega P i peluag raii au lagkah dega π merupaka iem peramaa liier homoge da memberika peyeleaia yag idak uggal. Da ika peyeleaia erebu ada, maka peyeleaia uuk waku yag lama ( paag) aka berdiribui aioer.. Pada raai markov koiu, peluag raii digaika oleh ieia raii yag didefiiika eperi pada Lemma 1. Dega megguaka peramaa Chapma Kolmogorov dapa dieuka diribui peluag pada aa +h. Uuk meeuka diribui peluag di waku +h dapa uga dega megkodiika erhadap keadaa di waku yag elah lalu da di waku medaag, yag ecara beruruuru dega megguaka peramaa Kolmogorof. P' ()= q P ()-v P (), i,, 0 i ik k i i k i P' ()= q P ()-v P (), i,, 0 Da i k ik i k Backward Kolomogorof da peramaa Forward P i(,)= q ik ()P i(,)-q i()p i(), i,, 0 peramaa Backword Kolmogorof k P (,)= q ()P (,)-q ()P (), i,, 0 peramaa Forward Kolmogorof i k ik i k i 4. Diribui Limi da Peramaa Keeimbaga Mialka {X(), [0, ), R} adalah uau proe Markov da mialka pula {E, = 0,1,,...} embedded raai Markov dari proe markvo erebu, yaiu raai Markov yag diuruka dari proe {X(), [0, ), R}. Traii dari {E, = 0,1,,...} merupaka raii dari {X(), [0, ), R} dega idak memperhaika waku aar raiiya.

6 Aumika bahwa raai {E, = 0,1,,...} berifa Ireeducible da poiif recure. Dega aumi erebu maka ada da idak ergaug pada i. P lim P () Uuk medapaka limi P, padag iem peramaa differeial Kolomogorov Forward Pi ()= qkp ik ()-v P i () k Uuk maka dega megubah urua lim da peumlaha diperoleh i lim Pi ()= lim k ik i k k q P ()- v P () q P - v P k k Karea Pi() fugi yag erbaa maka aka koverge ke iik 0, ehigga diperoleh 0 q P -v P aau v P q P, (3) k k k k k k da P 1 (4) Dega demikia diribui peluag limi dari {X(), [0, ), R} ada yaiu P. Nilai P mempuyai ierpreai yaiu ebagai propori waku proe Markov {X(), [0, ), R} berada pada keadaa. Peluag P diamaka uga ebagai peluag aioer karea ika diribui peluag dari keadaa awala ama dega P. Sehigga uuk emua proe aka berada di keadaa dega peluag P, da didefiiika dega vp m ( lau proe meiggalka keadaa ) k q P = ( lau proe memauki keadaa ) k k Dega demikia maka peramaa (3) da (4) dikeal dega peramaa keeimbaga ( balace equaio ) 5. Peerapa Dua Proe Kelahira da Kemaia 1.1 Aria M/M/ Padag aria di loke ebuah bak, dega diagram M/M/ ebagai beriku: SISTEM M/M/ X 1 X() Kedaaga X X... X X Pelayaa mi (,)x

7 Dega aumi : 1. Aria dega erver ecara paralel ( bila ecara eri diebu iem ekueial aau adem ). Pelagga daag ke-eumlah erver megikui proe Poio dega rae 3. Waku aar kedaaga pelagga berdiribui ekpoeial da iid ( idepedece ideic diibuio ) dega mea 1/ 4. Jika ebarag erver beba, maka pelagga dapa lagug dilayai 5. Bila Server edag ibuk, maka pelagga ari ( meuggu dalam gari aria ) 6. Bila erver eleeai melayai pelagga, pelagga meiggalka iem da elauya pelagga berikuya dalam gari aria yag dilayai 7. Waku pelayaa eiap erver berdiribui ekpoeial da iid dega mea 1/ ( mea rae pelayaa ) MialkaX() bayakya pelagga dalam iem pada aa. Uuk iem M/M/, proe {X(), 0} merupaka proe kelahira da kemaia yag didefiika dega :, 1, (=+1,+,... ) =, 0 Dimaa bila, maka emua -pelagga erlayai da bila, maka palig ediki au pelagga meuggu dalam aria. Aka dieuka krieria agar aiical equilibrium ercapai, mialka P(X()=)= p (). Equilibrium ii ercapai pada aa meuu ak higga,

8 ehigga p = lim p (). Nilai p dapa dieuka dega megguaka peramaa keeimbaga, yaiu rae i= rae ou. Uuk ae 0 : p 1 = po p 1 = po Uuk ae 1 : (+i)p1 p i-1 +(i+1)p i+1 Uuk ae 1 maka uuk i 1 (+)p = p +p 1 0 i (+)p = p +3p i 1 (+(-1))p = p +p -1 Peyeleaia eady-ae dari peramaa kelahira da kemaia dega = = =, =, =, =3,..., = =,> Maka ada yaiu / aau <. Peyeleaia umum dari proe kelahira da kemaia : ! p = !, =0,...,, =,+1,... Trafiiic ieia uuk iem adalah rae kedaaga ρ= = maximum rae eleai pelayaa Sehigga peluagya meadi p = (ρ)!, =0,1...,-1, - (ρ) ρ, =,+1,...! Dega kaa lai peluag eady-ae ( aioer ) yaiu p = p 0 1!, =0,1...,-1, 1 p 0, -!

9 Da dega megguaka hubuga =0 p =1 uuk dari 0 meuu ak higga diperoleh 1 p 0, apa rafficieia !! - π = 1+ p =0 (ρ) (ρ) Jika π = p π = 0 =0 = =0 1!! ρ - 1 =, dega raffic ieia -1 (ρ) ρ +!!(1-ρ) 1 maka iem idak koverge uuk eady ae (ρ)! ρ -1 π 0 (ρ)! 0, =0,1,,... π, =,+1,... Peluag emua - erver ibuk pada ebagia waku ( ermauk peluag kedaaga pelagga ari yaiu = -1 p0 P(X x) p (-1)! -1 (-1)!(-) Raa-raa bayakya pelagga dalam aria adalah = 3 p0 L Q= (-)p 3...! p0! 1 ( 1)!( ) Raa-raa bayakya pelaggga dalam iem adalah

10 1 1 L p p p p p (-)p = = = = 0 = = = = = 1 = p p L Q = 3 (-1) p ( ) 1+ ( )+ ( ) ( ) + +L -1 0 Q! 3! (-1)! (-1)!(-) -1 p 1 ( )p ( ) p +L! (-1)!(-) (-1)! = Q Q (- ) Q 0 0! (-1)!(-) L ( )p ( ) L Q ( )p 0 ( )!! (-) L ( ) 0 Uuk waku ari ebarag pelagga adalah P(X=0) = p 0 +p p -1 = 1 P(X ) Bila X >0 maka fugi kepadaa peluagya adalah p0 -(-)x f (x)= e, x 0 (-1)! Mea waku ari yaiu Q 0 (-1)(-) p Da mea waku uggu dalam iem diperoleh W = W Q + 1/ 1. Aria M/M/1 SISTEM Bayakya pelagga dalam iem (4) Bayakya pelayaa (5)

11 Dega kema iem M/M/1 ebagai beriku: Ipu : (1) da (3) Ukura efekivia : () da (4) Variabel Kepuua : parameer (5) da (6) Aumi : (i). Padag iem aria dega au erver dimaa pelagga daag berdaarka uau proe Poio dega lau. Mialka T= waku aar kedaaga pelagga berdiribui ekpoeial da iid,maka P(T ) = 1- e -, 0 (ii). Mea waku aar kedaaga adalah 1/ (iii). Waku pelayaa uuk eorag pelagga berdiribui ekpoeial. Mialka S= waku pelayaa, da = mea rae pelayaa ( bayakya pelayaa per aua waku), maka E(S) = 1/ = mea waku pelayaa, da P(S ) = 1-e -, 0 (iv). Mialka A()= bayakya kedaaga pada elag waku [0,], maka (v). Mialka L() = bayakya pelagga dalam iem ( dalam aria da dalam pelayaa) pada waku, Pedekaa Saiical Equilibrium

12 Uuk iem M/M/1, proe i = q i,i-1 merupaka uau proe Markov. Jika aiical equlibrium ercapai maka p = lim p (), ehigga aka diperoleh: Uuk ae 0 : p 1 = p0 p 1 = p0 Uuk ae 1 : Uuk ae : (+) p -p p p p p p p 0 0 (+)p 1-p p p p p p p Uuk ae : 1 p p p, 0 p p Uuk meyeleaika iem ii diperluka hubuga yaiu maka diperoleh hubuga i 0 p 1.Mialka = /, i i i 0 0 i 0 i 0.p 1 ρ.p 1 Da dega ormaliai didapaka p 0 = 1- = 1- p 0 da p = p 0 adalah peluag waku idle, edagka (1- ), 1, dega adalah peluag waku ibuk. Dega demikia maka aiical equilibrium ercapai bila = / < 1. Jika <1, maka ekpeai bayakya pelagga pada iem aria adalah i i i 0 i 0 i 0 L=E[L()] i.pi i.p.ρ = p ρ i.p.ρ Da p ρ + = p 1-ρ (1-ρ) (1-ρ) = 1-ρ - N Var[L()] (-L) π = 0 (1-ρ) ρ Mialka E(R) meyaaka ekpeai waku repo ebarag pelagga. Dega megguaka Lile Formula ( L= W) yaiu ae dari raa-raa bayakya pekeraa dalam

13 iem aria dalam eady-ae adalah ama dega perkalia rae kedaaga da raa-raa waku repo, maka ρ E(N)=.E(R) E(R) E(N) 1-ρ ρ / 1/ 1 = = (1-ρ) /(1-/) 1-ρ - Karea E(R) = W + E(S), maka diperoleh W= E(R)-E(S) = Da L Q =W (-) 1/ 1 1-(1-ρ) ρ - = 1-ρ (1-ρ) (1-ρ) (-) Dimaa W meyaaka ekpeai dari waku uggu ebarag pelagga S meyaaka ekpeai waku pelayaa eorag pelagga L Q meyaaka ekpeai bayakya pelagga yag megari 6. Sudi Kau Dua Proe Kelahira da Kemaia Suau kompuer di Laboraorium raa-raa meerima 30 periah iap mei, da diaumika periah-periah erebu megikui proe Poio. Kompuer erebu megeraka periah dega diipli aria FCFS ( fir come fir ervice) da waku pegeraa au periah berdiribui ekpoeial dega mea 1/40 mei. Bila pihak laboraorium igi meigkaka pelayaa kompuer erebu maka dapa dilakuka dega dua aleraif yaiu : (i). Membeli au kompuer yag ama dega kompuer yag lama (ii). Meggai kompuer lama dega au kompuer baru dega kemampua meyeleaika 50 pekeraa alam au mei. Dari kau diaa dapa diperoleh iformai yaiu : Aleraif (i) merupaka iem M/M/, yaiu dega peramaa keeimbaga : 1 p = k k ρp k-1 0 da i=0 P =1 i Maka diperoleh k+1 1= P 0 +ρp 0 + ρ P 0 + ρ P ρ P k Karea rafic ieia dari

14 rae kedaaga ρ = = maximum rae eleai pelayaa Maka diperoleh k+1 3 ρ P 0[1+ρ +ρ +ρ ρ +... ] P ρ Sehigga diperoleh Po yaiu peluag waku idle (idak ibuk) yaiu P 0 1 ρ 1 1 ρ 1 ρ 1 ρ Dega rafic ieia ρ = = da P (50) Raa-raa bayakya periah dalam aria adalah ( ) (30)(50)(0.6) L Q= (-1)!(-) ( 1)!( 50 30) Raa-raa bayakya periah dalam iem adalah ρ (0.3) E[L]= = ρ 1 (0.3) Raa-raa waku repo dari au periah adalah E[R]= = (1-ρ ) Dega raa-raa waku uggu au periah adalah W ( ) = P (-1)(-) Q 0 Da raa-raa waku uggu iem yaiu W = W Q +1/ = = Dega demikia diperoleh L = W = 30( ) = Aleraif (ii) merupaka iem M/M/1, dega rafic ieia da raa-raa paag aria periah yag haru dieleaika kompuer erebu beruru uru adalah 30 ρ = da L= 30 E[L]= = Sedagka raa-raa waku repo dari au periah adalah periah

15 1 1 E[R]= = 0.1 mei Da raa-raa waku uggu dari au periah yaiu 30 W= mei (-) 40(40 30) Sehigga diperoleh raa-raa bayakya periah yag megari yaiu L Q = 30(0.075) =.5 Dega demikia ika dierapka dari kedua aleraif erebu diaa maka lebih baik memilih parameer ukura kualia pelayaa uuk iem M/M/, yaiu dega meambah au kompuer yag ama dega kompuer yag lama. 7. Keimpula Dari raai Markov waku koiu dapa dikeahui da dipelaari ifa (kelakua) uau proe okaik eelah proe erebu berala dalam elag waku yag paag maupu igka. Sehigga dapa diklaifikaika da di berika perlakua ( reame) yag epa erhadap permaalaha dari uau proe okaik yag ada. Peramaa differeial Kolmogorof merupaka iem uuk medapaka diribui peluag di waku +h dega megkodiika erhadap keadaa di waku-waku medaag da ebelumya. Dafar Puaka Geza Scay, 007, Iroducio o Probabiliy wih Saiical Aplicaio, Birkhauer, Boo Ro, M. Sheldom, 000, Iroducio o Model Probabiliy, Joh Wiley & So, Ic Ro, M. Sheldom, 1986, Sochaic Proce, Joh Wiley & So, Ic Taylor, M. Howard ad Karli, Samuel, 1975, A Fir Coure i Sochaic Procee, Academic Pre, Ic Zaawiak, T. ad Brzeziak, Z, 003, Baic Sochaic Procee, Spriger