BAB 2. TRANSFORMASI LAPLACE 2.1 Pengertian Transformasi Latar Belakang Penggunaan Transformasi Contoh Sederhana Penggunaan Transformasi

Transkripsi

1 BAB. TRANSFORMASI LAPLACE. Pegeria Traformai.. Laar Belakag Pegguaa Traformai.. Cooh Sederhaa Pegguaa Traformai. Pegeria Traformai Laplace da ivere Traformai Laplace.. Laar Belakag Pegguaa Traformai Laplace.. Megubah Peramaa Defereial ke kawaa S..3 Traformai Laplace Beberapa Fugi Sederhaa.3 Beberapa Sifa Traformai Laplace.3. Liearia.3. Pergeera dalam.3.3 Pergeera dalam S da ivereya.3.4 Kovolui.3.5 Iegrai.3.6 perkalia dega koaa.3.7 calig.4 Meyeleaika Parial Fracio dari Traformai Laplace.4.. Meode Cover Up.4.. Meode Subiui.4.3. Meode Equae Coefficie.5 Traformai Laplace Uuk Mecari Solui Peramaa Defereial Biaa.6 Cooh Soal & Aplikai Traformai Laplace.7 Meyeleaika Traformai Laplace Dega Baua Malab

2 BAB. TRANSFORMASI LAPLACE. Pegeria Traformai Traformai adalah ekik aau formula maemai yag diguaka uuk megubah repreeai peramaa maemaika dari au beuk ke beuk repreeai yag lai. Adaya raformai megharuka juga adaya ivere raformai, yag melakuka hal yag ebalikya... Laar Belakag Pegguaa Traformai Traformai diperluka ebagai ala bau uuk memecahka peroala maemaika yag rumi. Pegguaa raformai da ivereya dapa diiluraika pada gambar di bawah ii. Permaalaha dalam beuk aal Traformai Solui Traformai ivere Traformai Solui permaalaha dalam beuk aal Gambar. Pegguaa Traformai da Ivereya Terdapa beberapa ipe/jei raformai yag diguaka, ergaug pada peramaa maemaika yag igi dicari peyeleaiaya. Beberapa cooh raformai yag diguaka dalam bidag ekik aara lai :. Traformai Laplace. Traformai Z 3. Traformai Fourier 4. Traformai Wavele 5. DLL Dalam hal ii, Traformai Laplace diguaka uuk memecahka Peramaa Differeial Biaa (ODE, Ordiary Differeial Equaio)... Cooh Sederhaa Pegguaa Traformai Cooh ederhaa pemakaia raformai dalam maemaika adalah pegguaa logarima da ivere-ya, yaiu fugi perpagkaa. Apabila diigika uuk meghiug hail dari : 34 x 5678 apa megguaka kalkulaor, amu dega megguaka abel logarima, maka olui hail perhiuga 34 x 5678 dapa dicari dega mudah.

3 Lagkah perama adalah megubah/lakuka raformai perhiuga 34 x 5678 mejadi logarima bai. Lagkah ke dua adalah meyeleaika kalkulai algorimaya. Lagkah erakhir adalah mecari ivere logarima ( x ), ehigga hail akhir dari ivere logarima ii adalah olui dari 34 x Apabila dikerjaka mejadi : Lagkah ke-. Ubah/raformai ke logarima bai 34 x 5678 => Log (34 x 5678) Lagkah ke-. Seleaika kalkulai algorima. Log (34) + Log (5678) = 3,93 + 3,754 = 6,8455 Lagkah ke-3. Guaka ivere raformai uuk mecari olui dari 34 x Dalam hal ii, ivere raformaiya adalah : x, ehigga : 6,8455 => 6,8455 = Dega megguaka kalkulaor, didapaka jawaba ekak dari 34 x 5678 = Tampak bahwa jawaba yag didapa dega megguaka raformai logarima (da ivere logarima) medekai jawaba ekakya. Perhiuga megguaka raformai Laplace dapa dilakuka ecara lagug melalui pegguaa formula/rumu raformai, da dega megguaka baua abel Traformai Laplace. Pada abel elah dicaumka Traformai Laplace dari beuk-beuk umum Peramaa Differeial Biaa yag erig diguaka. Pegguaa abel Traformai Laplace ii memudahka pecaria olui, karea idak diperluka kalkulai Traformai Laplace dega megguaka rumu raformai.. Pegeria Traformai Laplace Traformai Laplace Y () dari fugi y(), uuk > adalah : Y( ) L{ y( )} e y( ) Traformai Laplace diguaka uuk megubah fugi y() yag berada dalam kawaa waku ke kawaa. Solui dari peramaa difereial didapa dega megubah peramaa difereial (yag merupaka fugi waku) dari kawaa waku ke kawaa dega megguaka raformai laplace, ebagaimaa diujukka pada gambar di bawah.

4 Permaalaha dalam kawaa waku Traformai Laplace Solui Traformai Laplace Ivere Traformai Laplace Solui permaalaha dalam kawaa waku Gambar. Pegguaa Traformai Laplace da Ivereya Rumu Traformai Laplace di aa, apabila diguaka ecara lagug pada permaalaha. maka aka erigkali dijumpai keulia dalam kalkulaiya, ehigga diajurka uuk megguaka baua abel raformai laplace. Pegguaa abel raformai laplace meghidarka dari rumiya perhiuga raformai... Laar Belakag Pegguaa Traformai Laplace Adapu Laar belakag pegguaa Traformai Laplace adalah :. Solui Peramaa Difereial Biaa Liear Homoge melibaka beuk ekpoeial yag relaif cukup uli uuk dikerjaka. Traformai Laplace dapa diguaka uuk megubah peramaa difereial mejadi beuk peramaa aljabar,ehigga meguragi kerumia pegguaa beuk ekpoeial mejadi beuk ekprei peramaa aljabar 3. Solui peramaa dalam beuk aljabar dapa diuli ebagai pejumlaha iapiap kompoeya dega iap kompoe merupaka Traformai Laplace dari beuk ekpoeial... Megubah Peramaa Difereial ke kawaa S Uuk melakuka raformai laplace erhadap peramaa difereial, maka haru diiga erlebih dahulu bahwa : d u v dv du u v dv du u u v v Bila Traformai Laplace adalah : Y( ) L y( ) e y( ), maka Traformai Laplace dari urua (derivaive) perama adalah : L e

5 jika u adalah e da v adalah y, maka : de L e e y y L e y e y L e y e y Jika diaumika bahwa pada aa dibadig dega grafik e, maka e y( ) uuk grafik y() megalami keaika cukup lamba Sehigga : e y e y() y () Beuk di aa dapa diederhaaka mejadi : L e y e y L y() Y ( ) Dari uraia di aa, maka Traformai Laplace dari urua perama ebuah fugi adalah : L Y ( ) y() aau L L y( ) y() Traformai Laplace dari urua kedua uau fugi juga dapa dicari dega cara yag ama. d y ( ) () () L Y y Sedagka raformai Laplace dari urua ke- uau fugi adalah : d y d y Y ( ) () () y() cooh. Ubah peramaa difereial beriku dari kawaa ke kawaa dega megguaka meode Traformai Laplace. d y y L, dega y(), () jawab:

6 Lagkah ke-. Lakuka Traformai Laplace Y( ) L y( ) e y( ) d y L y L d y e y e d y e e y Guaka ecara lagug Traformai Laplace uuk urua kedua, maka didapaka: ( ) () () ( ) Y y Y uu kembali mejadi : ( ) () () Y y Lagkah ke-. Cari Peramaa poliomial Y() dega baua ilai awal y(), () Y ( ) Y () Yag perlu diiga adalah beuk L f ( ) F( ) merupaka Traformai Laplace dari fugi f()...3 Traformai Laplace Beberapa Fugi Sederhaa beriku adalah raformai Laplace dari beberapa fugi. Koaa Traformai Laplace dari ebuah koaa C ( y() = C ), adalah : C C L C e C e C, ehigga C L C. Traformai Laplace fugi y() = L e e e L e

7 ehigga L 3. Traformai Laplace fugi y() = L{ } e e e L{ } e L { } L{ } dega cara yag ama : L { } L{ } L 3 { } L{ } L { } L{ }! ehigga L { } 4. Traformai Laplace fugi ekpoeial, y() = e a a a ( a) L{ e } e e e L{ e } e e a a ( a) ( a) a L{ e } e a a, ehigga a Le { } a 5. Fugi coiu da iu L co L e e i -i L co i i L co i i

8 ehigga L{co } dega cara yag ama, Traformai Laplace dari fugi iu adalah L{i } : Rigkaa Traformai Laplace beberapa fugi erebu dapa diuli dalam abel beriku. Tabel. Traformai Laplace beberapa fugi ederhaa Fugi y() y() = C y() = y() = y() = e a y() = co ω Traformai Laplace Y() C! a y() = i ω.3 Beberapa karakeriik Traformai Laplace Beberapa karakeriik Traformai Laplace aara lai :. Liearia Jika f() da g() adalah ebuah fugi, dega : F( ) L f ( ) e f ( ) da G( ) L g( ) e g( ) maka L cf ( ) cf( ) da L af ( ) bg( ) af( ) bg( ). Pergeera dalam S Jika F( ) L f ( ) e f ( )

9 Maka a a ( a) L e f ( ) e e f ( ) e f ( ) F( a ), ehigga a L e f ( ) F( a ) 3. Pergeera dalam S da ivereya a Jika L e f ( ) F( a ), maka a a L F a e L F e f ( ) ( ) ( ) cooh. Guaka ifa pergeera dalam uuk mecari Ivere Traformai Laplace dari : ( a) jawab : F( a) ( a) F (), ehigga a L F( a) e L F( ), a a L e L e ( a) L ( a) a e 4. Teorema Kovolui Jika Traformai Laplace dari fugi f() da g() adalah F() da G(), dega Maka : F( ) L f ( ) e f ( ), G( ) L g( ) e g( ) L f ( ) g( ) d F( ) G( ) yag diebu ebagai iegral kovolui. Jika ivere Traformai Laplace dari F() da G() adalah f() da g(), dega : L F( ) f ( ), da L G g ( ) ( ) maka ( ) ( ) ( ) ( ) L F G f g d, aau ( ) ( ) ( ) ( ) L F G f g d cooh 3: Guaka eorema kovolui uuk mecari ivere Traformai Laplace dari: ( )

10 jawab : F () ( ), G () ( ), maka f ( ) co, da g( ) i guaka eorema kovolui : ( ) ( ) ( ) ( ) L F G f g d, maka ekpaika mejadi : L co( )i( ) d ( ) L co( )i( ) d ( ) co co i d i i i d Apabila dieleaika mejadi : i ( ) L Jika 5. Iegrai F( ) L f ( ) e f ( ), maka ( ) ( ) L F f d cooh 4: Guaka eorema iegrai uuk mecari ivere dari : Jawab : F( ) f ( ) e ( ) (dari abel), maka : ( ) L ) e d e e ( ) e.4 Meyeleaika Parial Fracio dari Traformai Laplace Di dalam pegguaaya, raformai laplace erigkali melibaka beuk Q () dega bayak fraki, dimaa P() da Q() merupaka uku poliomial. Oleh P () kareaya, erlebih dahulu dipelajari bagaimaa fraki-fraki yag erliba/dihailka diubah ke fraki pecaha (parial fracio) agar didapaka olui dari Peramaa Differeial Biaa, Jadi, erlebih dahulu dipelajari bagaimaa megguaka parial fracio ebelum memecahka Peramaa Differeial Biaa. Megubah Fracio Mejadi Parial Fracio

11 Jika : Q () a a a P( ) ( ) ( ) ( ) dega P( ) ( )( ) ( ) Maka erdapa 3 kemugkia peyeleaia dari P() a. P() akar-akarya riil da berbeda. Tulika maig-maig fakor P(), da ambahka koefiie yag euai (A, B, ) pada bagia pembilag Cooh : A B. 4 3 ( ) ( 3). A B ( )( ) ( ) ( ) Q () a b. P() akar-akarya riil da ama, yaiu. Jika P( ) ( ) Maka uraika mejadi : Q () a a a P k ( ) ( ) ( ) ( k ) Cooh : ak a ( ) ( ) k A B 6 9 ( 3) ( 3) ( 3) c. Jika akar-akarya merupaka bilaga paaga bilaga komplek a bi, a bi, Q() A B a a P a b 3 ( ) ( ) ( 3) ( ) Cooh : ( )( ) 3 A B C ( )( i)( i) ( ) Dari pemecaha fraki di aa, perlu dicari ilai dari koefiie A,B,C da eeruya. Terdapa 3 cara uuk meyeleaika parial fraki di aa, yaiu :. Cover up Rule. Subiui

12 3. Equae coefficie. Meode Cover Up Lagkah peyeleaia parial fraki dega Cover Up adalah : a. Kalika dega -α i b. Subiuika = α i. Jika P() akar-akarya riil da berbeda. cooh 5. Cari Parial fraki dari : ( )( 3) jawab : A B ( )( 3) ( ) ( 3) ( ) B ( ) A ( ) ( 3) ( 3) kalika dega (-), ubiuika =, A A Selajuya kalika dega ( 3) A B ( )( 3) ( ) ( 3) ( ) A 3 ( 3) B ( ) ( ) ubiuika = 3, 4 3 B B Maka diperoleh : ( )( 3) ( ) ( 3) Cooh 6. Cari Parial fraki dari : Jawab: A B ( ) ( ) ( ) Uuk mecari ilai A, kalika peramaa di aa dega, da ubiuika ilai = A B ehigga mejadi : ( ) ( )

13 B : A ( ) ( ) : A A Uuk mecari ilai B, kalika dega ( + ) da ubiuika ilai = - ( ) : ( ) A B : B B Sehigga beuk parial frakiya adalah : ( ) ( ). Jika P() akar-akarya riil da ama cooh 7. Cari Parial fraki dari : 3 4 ( 3 ) jawab : 3 4 ( 3 ) A B C ( ) ( ) ( ) = 3 uuk mecari ilai C, kalika dega ( + ) A( ) B( ) C, ubiuika = C, C Uuk mecari ilai A da B, diguaka meode ubiui. Ambil = da ubiuika ke peramaa. 4 A B C = A + B, 4 A B C. Subiuika C = ehigga 3 4 A B C A B C ambil = : 3 3, kalika dega 8 mejadi : A B C, ubiuika C = 6 4A B, apabila dieleaika aka didapaka : A =, B =, C =. 3 4 ( 3 ) = 3 ( ) ( ) ( ) 3. Jika P() akar-akarya komplek

14 cooh 8. Cari parial fraki dari : ( ) ( ) jawab : karea P() megadug ( + ), maka berika koefiie C + D pada bagia pembilag. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C D ( ) ( ) A B ( ) ( ) ( ) B B (4 ) A B C D ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) 5 A C D Uuk mecari ilai koefiie yag lai (A,C da D), maka diguaka meode ubiui A C D ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) Uuk ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) 4 Uuk A A D 5A D ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) 5 3 A C D A C D A 5C 5D 3 (3 ) (3 ) (3 ) 5(3 ) (3 ) 3 5 A 3C D A C D A 3C D Sehigga : ( ) ( ) 5( ) 5( ) 5( ). Meode Subiui Jika Parial fraki adalah : Q( bi ) P( b ) i a ( b i ) D a ( b i ) a ( b i ) Maka lakuka :. Subiuika = bi, dega i =,,...,. pecahka ilai a, a,..., a

15 A B Cooh 9. Cari ilai koefiie A da B pada : ( ) ( ) jawab : Uuk =, Uuk =, A B A B A B A B (kuragka peramaa da ), Maka didapaka : B B A 6 6 maka ( ) A B C Cooh. Teuka ilai koefii A, B da C pada : ( ) ( ) Jawab : ( ) Guaka aura Cover Up A B C, kalika dega, da ubiuika ilai = ehigga ( ) ( ) C A B ( ) ( ) ( ) B B uuk medapaka ilai C, kalika dega ( + ) A B C ubiuika = -. ( ) ( ) A( ) B( ) C ( ) C C A Oleh kareaya elah kia dapaka : ( ) ( ) Uuk mecari ilai A, maka kia ubuuika ilai yag mudah dikalkulai. Ambil A =, maka : A A ( ) ( ) Peramaa Parial fraki yag kia dapaka oleh kareaya adalah ( ) ( ) 3. Meode Equae Coefficie

16 Lagkah megerjaka parial fraki dega meode ii adalah :. Kalika dega P() dega ehigga mejadi beuk :. Samaka koefiie di rua kaa peramaa dega di rua kiri. cooh. Guaka meode equae coefficie uuk mecari ilai koefiie A da B A B pada : ( ) ( ) jawab :. Kalika dega ( + ), A( ). Uuk koefiie : A+B = B 3. Uuk koefiie : A =, ehigga B = - = A + B + A, => = (A+B) + A cooh. Guaka meode equae coefficie uuk mecari ilai koefiie A, B da A B C C pada : ( )( ) ( ) ( ) jawab :. kalika dega ( + )( + ), ehigga mejadi : A( ) ( B C)( ) ( A B) ( B C) ( A C ). peyamaa koefiie uuk => = A + B, uuk => = B + C, uuk => = A + C maka didapaka : A, B, C Cooh 8 dapa juga dikerjaka dega megguaka meode Equae Coefficie ebagai beriku : A B C D,kalika dega ( - )( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) A B( ) ( ) ( C D) ehigga 3 A A A A B B ( 4 4)( C D )

17 A A A A B B C C C D D D 3 ( A C) ( A B 4 C D) ( A 4C 4 D) ( A B 4 D) 3 A C : maka didapaka : : A B 4C D : A 4C 4D : A B 4D 3 apabila dieleaika, didapa : A 4, B, C 4, D Solui Peramaa Differeial Biaa Megguaka Traformai Laplace Peramaa Diffreial Liear dega beuk : k d y d y k k a a a a y g() dapa dieleaika dega megguaka raformai laplace. Sebagai cooh, kia dapa meyeleaika peramaa difereial : d y. 4 3y, y(), y () d y. 4 4y i( ), y(), y () Pada cooh kau (Peramaa Differeial Liear Homoge), ubah peramaa difereial dega raformai laplace : k k d y k d y k k L Y ( ) () () y() k k Yag juga dapa diuli dalam beuk : k k d y k k k d y k k L Y ( ) y() ()... () uuk memudahka dalam megigaya. Perlu dicermai bahwa pagka dari meuru, edagka urua y megalami keaika. Selajuya, raformaika ke kawaa dega raformai laplace : d y 4 3y d y L( ) L(4 ) L(3 y) { Y( ) y () y()} {4 Y ( ) 4 y()} 3 Y( ) y y Y Y Y (), () ( ) 4 ( ) 4 3 ( ) ( 4 3) Y ( ) 4

18 didapaka : ( 4 3) Y( ) 4 Y( ) 4 Y () ( )( 3) 4 ( 4 3) Dari beuk ii, kia ubah bagia frakiya : Y () 4 A B = ( )( 3) ( ) ( 3) Kalika dega ( - ) A 3 ( 4) B( ) A ( 3) ( 3), ubiui =, kalika dega ( 3), ubiui = 3, uuk medapaka koefiie B. ( 4) A( 3) ( ) ( ) B, = 3, ehigga parial frakiya mejadi: Y () 3 ( ) ( 3) (3 4) (3 ) B, maka B ( 4) ( 3) uuk mecari olui Peramaa Defereial aal, ubah Y() dari kawaa ke kawaa megguaka ivere raformai dega baua abel. Y () 3 ( ) ( 3) L Y () L 3 3 ( ) ( 3) 3 L L ( ) ( 3) 3 y() e e Pada cooh kau ke- (Peramaa Difereial Liear Tak Homoge) : d y 4 4y i( ) d y L( ) L(4 ) L(4 y) L{i( )} Lagug kia ubah ke kawaa dega raformai laplace : { Y ( ) y () y()} {4 Y ( ) 4 y()} 4 Y( ) L{i( )} Dega kodii A

19 y(), y () Y Y Y ( ) 4 ( ) 4 4 ( ) ( ) Y ( ) 5 Sehigga beuk Y() ya adalah : 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Y( ) 5 Y () Guaka parial fracio uuk megubah Y () Y() Y() 5 A B C D E F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5( ) ( ) Y( ) Y( ) Guaka ivere raform uuk medapaka olui akhir Y () L Y () L L Y() L L L L co( ) i( ) y e e Soal-oal A B. ( )( 3) 3 d y 6 8y y() y '()

20 d y y co y(), y '()