temperatur T di pusat bola setelah t detik sebagai : T(t) = 100 ( sinλ ) ( ) n =

Transkripsi

1 2.1 PENDAHULUAN Untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam model. Dalam beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan; akan tetapi, lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga teknik analisis matematika murni tidak dapat memberikan solusi. Contoh Sebuah bola baja berjari-jari 1cm dibakar merata sampai mencapai temperatur 100 C. Bola ini kemudian disimpan di dalam ruang pendingin dengan temperatur 0 C. Dengan anggapan ada perambatan panas, maka konduksi panas dapat dinyatakan dalam persamaan fungsi untuk temperatur T di pusat bola setelah t detik sebagai : T(t) = 100 ( sinλ ) ( ) 2 t n τ n exp λ = n 8 n 1 λ i adalah akar positif persamaan : cos λ = 1 2λ (2.2) Untuk mencari T(t) pada t tertentu di tengah bola perlu dicari harga λ dari persamaan (2.2); dan penyelesaian dengan cara analitik tidak berguna. Tanya: Apakah yang dimaksud dengan menentukan x sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) = 0? Jawab: Secara geometri ini berarti mencari suatu titik dengan f(x) tepat memotong absis x, sehingga f(x) = 0. Jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong absis x, maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda (Gambar 2.1). f(a) y (2.1) y = f(x) a b f(b) x Gambar 2.1 Tinjauan interval [a,b] dalam penentuan akar fungsi f(x). Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 1

2 Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari nilai x = λ yang memberikan nilai f(λ) = 0, sebagai berikut : 1. Bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval. 2. Apabila f(m) = 0 berarti x = m; bila tidak, dicari posisi nilai m apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b]; yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda : jika f(a) dan f(m) berbeda tanda, berarti λ di [a,m] jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama, berarti λ di [m,b]. Proses pembagian sub-interval dapat diulangi sampai ditemukan nilai λ yang memberikan f(λ) = 0. Gambar 2.2 menjelaskan proses pembagian sub-interval. 2.2 METODE BISECTION dan REGULA FALSI Metode numerik untuk mendapatkan harga x untuk f(x) = 0 seperti uraian di pasal 2.1 disebut METODE BISECTION. Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari. Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a) f(b) < 0. Apabila terpenuhi syarat tersebut, berarti terdapat akar fungsi dalam segmen tinjauan. Jika tidak demikian, kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a) f(b) < 0. Dengan rumusan m = (a+b)/2, diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10-6 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila f(a)*f(m) < 0, dan mengganti a = m bila f(a) f(m) > 0; proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan. f(a) y [f(a) x f(m)<0] a (a=m) [f(a) x f(m)>0] (b=m) b f(b x Gambar 2.2 Penentuan nilai tengah m interval metode Bisection Metode Bisection adalah salah satu kelas metode Pengelompokan, karena prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan kelompok akar. Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi penentuan nilai x. Misalnya, tidak digunakannya ukuran relatif f(a) dan f(b), karena umumnya jika f(a) < f(b) dalam nilai mutlaknya, maka akar persamaan akan terletak lebih dekat ke f(a), seperti dijelaskan di Gambar 2.2. Salah satu cara efektif mendapatkan nilai m ini adalah menghubungkan f(a) dan f(b) dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan absis x merupakan nilai m, seperti dijelaskan pada Gambar 2.3. Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 2

3 Penetapan m ini dikenal dengan cara REGULA FALSI dan algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan : (b a) f(b) m = a f(b) f(a) f(a) λ b a m f(b Gambar 2.3 Penentuan nilai m dari perpotongan garis lurus melalui dua titik. Proses dengan cara ini memberikan perhitungan yang lebih cepat dibandingkan dengan metode Bisection, walaupun pada kasus yang khusus dapat juga terjadi proses cantelan, baik pada a ataupun b, yang memperlambat perhitungan. Pada algoritma, proses memang dihentikan jika dicapai nilai mutlak f(m) < 10-6, tetapi untuk kecermatan hasil, kriteria ini belum cukup. Dengan memperhatikan dua sifat kurva seperti pada Gambar 2.4, maka syarat kecermatan yang tepat adalah (a) y y f(a) f(a) a b x a b x f(b) f(b) (a). harga mutlak [a (b). harga mutlak f (m) < 10-6 baru - b baru ] < 10-6 Gambar 2.4 Syarat lengkap kecermatan. Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 3

4 Untuk menghindari masalah yang mungkin terjadi bagi perilaku persamaan yang tidak dapat dilacak, perlu pembatasan tinjauan interval sesuai dengan sifat fungsi. Hal ini penting dalam teknik numerik untuk memperoleh solusi nyata. Sebagai penjelasan, jika cot x = 1/(2x). yang bila akan dicari besaran x persamaan ini, bentuk persamaan diubah menjadi f(x) = tan x - 2x = 0, (2.3) maka dengan mengabaikan akar x = 0 yang bukan solusi persamaan dasar, terlihat bahwa metode Bisection atau Regula Falsi tidak akan memberikan solusi. Hal ini perlu disadari bahwa fungsi f(x) bukan fungsi kontinu untuk nilai kelipatan ganjil dari π/2, seperti dijelaskan di Gambar 2.5. y y=tanx y=2x x π/2 π 3π/2 Gambar 2.5 Fungsi periodik y = tan x diskontinu pada kelipatan ganjil π/ Algoritma Program Algoritma program untuk metode Bisection a). Tentukan a, b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Periksa apakah f(a) x f(b) > 0; jika ya, keluar dari progam karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. c). Hitung nilai m = (a + b)/2 d). Jika nilai mutlak (b-a) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. e). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. f). Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m. g). Kembali ke langkah (c). Algoritma program untuk metode Regula Falsi a). Tentukan a, b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Periksa apakah f(a) x f(b) > 0; jika ya, keluar dari progam karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. c). Hitung nilai m = a - f(b) x (b - a) / [f(b) - f(a)]. d). Jika nilai mutlak (m-a) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 4

5 e). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. f). Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m g). Kembali ke langkah (c) Bagan Alir Program Dalam mempersiapkan program sumber, algoritma dijabarkan dalam bentuk bagan alir yang dapat dilihat pada dua bagan berikut ini Bagan Alir Metode Bisection MULAI DEFINISIKAN FUNGSI Baca a, b, tol, iter_max Iter = 0 Fa = F(a) Fb = F(b) Fa * Fb > 0 ya tidak iter = iter +1 m = (a + b)/2 Fm = F(m) Tulis Fa * Fb > 0 1 m-a < tol iter > iter_max Ya Tidak ya b = m Fb = Fm Fa * Fm < 0 tidak a = m Fa = Fm Tulis hasil m, F(m) 1 SELESAI Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 5

6 Bagan Alir Metode Regula Falsi MULAI DEFINISIKAN FUNGSI Baca a, b, tol, iter_max Iter = 0 Fa = F(a) Fb = F(b) Fa * Fb > 0 ya tidak iter = iter +1 m = a - Fb*(b-a) (Fb - Fa) Fm = F(m) Tulis Fa*Fb > 0 1 m-a <tol iter>iter_max ya tidak ya b = m Fb = Fm Fa*Fm<0 tidak a = m Fa = Fm Tulis hasil m, F(m) 1 SELESAI Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 6

7 2.3 METODE ITERASI Bentuk lain metode penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan, yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini, mulai x 0 (perkiraan awal), x 1, x 2,..., x k, akhirnya konvergen pada λ, yaitu x k cukup dekat pada λ menurut tingkat kecermatan yang diinginkan. Metode perkiraan awal untuk satu variabel disebut METODE ITERASI TUNGGAL. Dalam hal ini fungsi f(x) ditulis sebagai : f(x) = x - g(x) = 0, sehingga λ = g(λ), (2.4) kemudian x k+1 = g(x k ), k = 0,1,2,... (2.5) Persamaan (2.4) dan (2.5) merupakan rumusan iterasi. Contoh Untuk mendapatkan akar persamaan x 3-3x - 20 = 0, langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah persamaan dalam bentuk f(x) = x - g(x). Perubahan ini dapat dilakukan melalui empat cara : (i). x - (3x + 20) 1/3 = 0 (ii). x - (x 3-20)/3 = 0 (iii). x - 20/(x 2-3) = 0 (iv). x - (3 + 20/x) 1/2 = 0 Dengan menggunakan bentuk pertama dapat dinyatakan rumusan : x k+1 = (3x k + 20) 1/3, k = 0,1,2,... dan dengan perkiraan awal x 0 = 5, diperoleh x 0 = 5 x 1 = (3 * ) 1/3 = x 2 = (3 * ) 1/3 = x 3 = x 4 = ; x 5 = x 6 = ; x 7 = Karena nilai x sudah konstan pada harga , dilakukan pemeriksaan harga f(x). Diperoleh f(3.0809) = Jika simpangan kesalahan ini dapat diabaikan, maka harga x = merupakan solusi. Metode iterasi yang diuraikan ini disebut CARA PENDEKATAN BERURUT. Secara geometri yang dilakukan adalah menemukan perpotongan dua kurva y = x dan y = g(x), seperti pada Gambar 2.6. Terlihat mudah mendapatkan akar persamaan dengan proses tersebut, bila dipahami benar y y = x y = g(x) x Gambar 2.6 Geometri fungsi f(x) = x - g(x) Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 7

8 perilaku fungsi. Jika diamati tiga cara penulisan f(x) sebagai x - g(x) : (ii). x - (x³ - 20) / 3 = 0 (iii). x - 20/ (x² - 3) = 0 (iv). x - (3 + 20/x) 1/2 = 0, dan menggunakan perkiraan awal x 0 = 5, maka seri besaran x k, k = 0,1, 2,, memberikan hasil seperti tercantum dalam Tabel 2.1. Tabel 2.1 Hasil perhitungan metode Iterasi. k Cara ii Cara iii Cara iv (tidak banyak manfaatnya untuk dilanjutkan) Dari contoh hitungan dapat dilihat bahwa cara iterasi tidak selalu dapat digunakan. Guna mengetahui pada awal proses bahwa metode ini dapat dipakai, perlu diperiksa bentuk fungsi. Sajian grafik bentuk fungsi cara ii - iv adalah seperti pada Gambar g(x)=(3+20/x) 0.5 g(x)=(x 3-20)/3 y=x g(x)=20/(x 2-3) Gambar 2.7 Sajian fungsi y = g(x) cara (iii) dan (iv) Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 8

9 Dengan meneliti grafik tampak bahwa bagi cara ii dan iii, garis singgung y = g(x) lebih tajam daripada garis singgung y = x dekat nilai akar; sedangkan pada cara i dan cara iv, garis singgung y = g(x) tidaklah setajam garis singgung y = x dekat nilai x = 3. Secara matematika, ini berarti nilai absolut g (x) < 1 di dekat nilai akar. Dengan demikian, konvergensi dari solusi metode iterasi dapat dilacak dari perilaku turunan pertama fungsi. Perhatikan gambar 2.8. Turunan fungsi g (x) berada pada nilai 0 < g (x) < 1 untuk jaminan hasil iterasi konvergen. y y=x y=g(x) x Gambar 2.8 Turunan fungsi g (x) < 1 = y = Algoritma Program Algoritma program dengan metode Iterasi a). Tentukan x o, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung x baru = g(x o ). c). Jika nilai mutlak (x baru - x o ) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). x o = x baru, dan kembali ke langkah (b) Bagan Alir Program Dalam mempersiapkan program sumber, algoritma dijabarkan dalam bentuk bagan alir berikut, dan bagan alir metode ini dapat dilihat pada Bagan Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 9

10 Bagan Alir Metode Iterasi MULAI DEFINISIKAN FUNGSI Baca xo, tol, iter_max Iter = 0 iter = iter +1 xb = G(xo) xb-xo <tol iter>iter_max ya Tidak xo = xb Tulis hasil xb, F(xb) Stop Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 10

11 2.4 METODE NEWTON-RAPHSON Metode yang lebih baik dalam memilih g (x) adalah dengan membuat garis singgung dari f(x) untuk nilai x yang dipilih, dan dengan menggunakan besaran x dari perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru. Metode ini diperlihatkan pada Gambar 2.9. y garis singgung x k x k+1 x f(x) Gambar 2.9 Garis singgung f(x k ) memotong di x k+1. Dari diagram ini terlihat tagensial (garis singgung) f(x) adalah : f(x ( ) k ) f(x ) f' x = k + 1 (x k x k + 1 ) (2.6) f(x ) f' ( x) = k (x k x k + 1 ) (2.7) sehingga x k+1 = x k - f( x k ) / f (x k ), k = 0,1,2,... (2.8) Metode ini dikenal dengan METODE NEWTON-RAPHSON dan merupakan salah satu cara yang paling dikenal dalam metode penyelesaian fungsi f(x) = 0. Keuntungan cara ini adalah sifat konvergensi kuadratik dalam proses iterasi, karena terjadinya koreksi digit ganda di setiap proses. Contoh f(x) = x³ - 3x - 3x - 20, maka f (x) = 3x² - 3 Dengan demikian x k+1 = x k - ( x³ k - 3x k - 20) / (3x² k - 3). Perkiraan awal x 0 = 5 x 0 = 5 x 1 = 3.75 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 11

12 Kekurangan metode ini adalah : a). Harus mencari f (x), dan nilainya mungkin 0. b). Tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen. c). Dalam perhitungan ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen, kecuali nilai perkiraan awal x cukup tepat Konvergensi Metode Newton-Raphson Dengan memperhatikan rumusan x k=1 = x k - f (x k )/f (x k ), k = 0, 1, 2, dan syarat konvergensi g (x) < 1, berarti d f ( ) ( x) f ( x) f" ( x) g' x = x 1 dx f' ( x) = < (2.9) [ f' ( x) ] 2 x = x Apabila nilai turunan fungsi susah didapat, nilai ini dapat didekati dengan harga fungsi dari hasil dua tahapan proses sebelumnya. x k x k+1 x k+2 Gambar 2.10 Penentuan nilai turunan fungsi dengan menggunakan metode Secant. Pada Gambar 2.10, jika nilai x k dan x k+1 telah didapat, maka : x k+ 2 x k+ 1 x k+ 1 x k = atau f ( x k+ 1) ff ( x k ) f ( x k+ 1) x k+ 1 x k x k+ 2 = x k+ 1 f ( x k+ 1) (2.10) f x f x ( ) ( ) k+ 1 Penentuan nilai turunan fungsi dengan cara ini disebut metode SECANT. k Algoritma Program Algoritma program untuk metode Newton-Raphson a). Tentukan x o, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung x baru = x - f(x o )/f (x o ). c). Jika nilai mutlak (x baru - x o ) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). x = x baru, dan kembali ke langkah (b). Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 13

13 2.4.3 Bagan Alir Program Dalam mempersiapkan program sumber, algoritma dijabarkan dalam bentuk bagan alir berikut Bagan Alir Metode Newton-Raphson MULAI DEFINISIKAN FUNGSI Baca xo, tol, iter_max Iter = 0 iter = iter +1 Fx=F(xo) F1x=F'(xo) xb =xo-fx/f1x xb-xo <tol iter>iter_max ya Tidak xo = xb Tulis hasil xb, F(xb) SELESAI Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 14

14 Bagan Alir Metode Secant Penyelesaian Numerik Persamaan Non-Linear MULAI DEFINISIKAN FUNGSI Baca xo, x1, tol, iter_max Iter = 0 iter = iter +1 xb =x1- f(x1)*(x1-xo) [f(x1)-f(xo)] xb-xo <tol iter>iter_max ya Tidak xo = xb Tulis hasil xb, F(xb) SELESAI Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 15

15 2.5 NILAI AWAL PERKIRAAN Penyelesaian Numerik Persamaan Non-Linear Dalam hal tidak adanya petunjuk dalam penetapan nilai awal, maka usaha berikut ini dapat dilakukan : Membuat grafik fungsi, lalu diidentifikasikan segmen fungsi yang memotong absis. Membuat tabel harga x and f(x), lalu diidentifikasi nilai x pada perubahan tanda f(x). 2.6 PROGRAM SUMBER Dari rancangan algoritma atau bagan alir, program komputer dapat dikembangkan melalui pembuatan program sumber di dalam bahasa tingkat tinggi PASCAL dan C++. Secara umum terdapat enam kategori utama dari pernyataan dalam program sumber, yaitu : 1. Pernyataan bagi arsip atau file dan record yang akan diproses oleh komputer. 2. Pernyataan untuk data di luar arsip, seperti untuk membuat judul yang perlu bagi dokumentasi. 3. Pernyataan memindahkan data pada satu lokasi memori ke lokasi memori lainnya dalam memori utama komputer. 4. Pernyataan untuk melakukan operasi aritmatik yang disimpan dalam memori utama. 5. Pernyataan logika : proses urut, perbandingan, dan iterasi. 6. Pernyataan membaca data dari memori dampingan ke memori utama atau menuliskan data dari memori utama ke memori dampingan. Pemahaman lebih jauh dalam pemrogramana dapat dibaca pada buku-buku komputer. Lampiran A buku ini mengulas secara umum prosedur pemrograman dalam bahasa TURBO PASCAL dan C Program Sumber untuk Metode Bisection Program berikut menggunakan algoritma metode Bisection untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Program akan dicoba untuk menyelesaikan persamaan : tan (x) - x - 0,5 = DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA C++ // Program 1.1a // Metode Bisection #include <stdio.h> #include <math.h> /* Daftar Variable a = batas bawah b = batas atas tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum */ float a,m,b,f_a,f_m,f_b,tol; int max_iter; Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 16

16 float f(float x) return tan(x) - x - 0.5; void main() int it; float epsilon; printf("batas bawah = "); scanf("%f",&a); printf("batas atas = "); scanf("%f",&b); printf("toleransi = "); scanf("%f",&tol); printf("jumlah iterasi maksimum = "); scanf("%d",&max_iter); it = 0; F_a = f(a); F_b = f(b); if(f_a * F_b > 0) printf(" Nilai F(a) x F(b) > 0\n"); else printf("it. a m b f(a) f(b)"); printf(" do abs[f(b)-f(a)]/2\n"); it = it + 1; m = (a + b) / 2; F_m = f(b); printf("%3d %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.2e\n", it,a,m,b,f_a,f_b,fabs(f_b-f_a)/2); epsilon = fabs(m-a); if(f_a * F_m <= 0) b = m; F_b = F_m; else a = m; F_a = F_m; while(it <= max_iter && epsilon > tol); if(it<=max_iter) printf("toleransi terpenuhi\n"); printf("hasil akhir = %g\n",m); else printf("toleransi tidak terpenuhi\n"); DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA TURBO PASCAL Program 1.1b Metode Bisection Daftar Variable a = batas bawah b = batas atas tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum Var a,m,b,f_a,f_m,f_b,tol : real; max_iter,it : integer; epsilon : real; function f(x : real) : real; f := sin(x)/cos(x) - x - 0.5; End; Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 17

17 write('batas bawah = '); read(a); write('batas atas = '); read(b); write('toleransi = '); read(tol); write('jumlah iterasi maksimum = '); read(max_iter); Penyelesaian Numerik Persamaan Non-Linear it := 0; F_a := f(a); F_b := f(b); if (F_a * F_b > 0) then writeln(' Nilai F(a) x F(b) > 0') else write('it. a m b f(a) f(b)'); writeln(' abs[f(b)-f(a)]/2'); epsilon := tol+1; while((it <= max_iter) and (epsilon > tol)) do it := it + 1; m := (a + b) / 2; F_m := f(m); write(it:3,' ',a:8:5,' ',m:8:5,' ',b:8:5,' '); writeln(f_a:8:5,' ',F_m:8:5,' ',abs(f_b-f_a)/2:4); epsilon := abs(m-a); if(f_a * F_m <= 0) Then b := m; F_b := F_m End else a := m; F_a := F_m End; End; if(it<=max_iter) Then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',m:9:7); End else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); End; End Contoh eksekusi program Eksekusi program dilakukan dalam selang interval [0,1], toleransi 10-7 dan jumlah iterasi maksimum sebanyak 30. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut : Batas bawah = 0 Batas atas = 1 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 30 It. a m b f(a) f(b) abs[f(b)-f(a)]/ e e e e e-02 Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 18

18 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-07 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Dari hasil eksekusi ini didapat hasil x = Hasil ini tercapai setelah iterasi ke Program Sumber untuk Metode Regula Falsi Program dan menggunakan algoritma metode Regula Falsi untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Secara umum program memiliki bentuk yang sama dengan metode Bisection kecuali pada perhitungan nilai m. Program kembali akan dicoba untuk menyelesaikan persamaan : tan(x) - x = DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA C++ // Program 1.2a // Metode Regula Falsi #include <stdio.h> #include <math.h> /* Daftar Variable a = batas bawah b = batas atas tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum */ float a,m,b,f_a,f_m,f_b,tol; int max_iter; float f(float x) return tan(x) - x - 0.5; void main() int it; float epsilon; Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 19

19 printf("batas bawah = "); scanf("%f",&a); printf("batas atas = "); scanf("%f",&b); printf("toleransi = "); scanf("%f",&tol); printf("jumlah iterasi maksimum = "); scanf("%d",&max_iter); it = 0; F_a = f(a); F_b = f(b); if(f_a * F_b > 0) printf(" Nilai F(a) x F(b) > 0\n"); else printf("it. a m b f(a) f(b)"); printf(" do abs[f(b)-f(a)]/2\n"); it = it + 1; m = a - F_a * (b - a) / (F_b - F_a); F_m = f(m); printf("%3d %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.2e\n", it,a,m,b,f_a,f_m,fabs(f_b-f_a)/2); epsilon = fabs(m-a); if(f_a * F_m <= 0) b = m; F_b = F_m; else a = m; F_a = F_m; while(it <= max_iter && epsilon > tol); if(it<=max_iter) printf("toleransi terpenuhi\n"); printf("hasil akhir = %g\n",b); else printf("toleransi tidak terpenuhi\n"); DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam TURBO PASCAL Program 1.2b Metode Regula Falsi Daftar Variable a = batas bawah b = batas atas tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum Var a,m,b,f_a,f_m,f_b,tol : real; max_iter,it : integer; epsilon : real; function f(x : real) : real; f := sin(x)/cos(x) - x - 0.5; End; write('batas bawah = '); read(a); write('batas atas = '); read(b); write('toleransi = '); read(tol); write('jumlah iterasi maksimum = '); read(max_iter); it := 0; F_a := f(a); F_b := f(b); if (F_a * F_b > 0) then writeln(' Nilai F(a) x F(b) > 0') else Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 20

20 write('it. a m b f(a) f(b)'); writeln(' abs[f(b)-f(a)]/2'); epsilon := tol+1; while((it <= max_iter) and (epsilon > tol)) do it := it + 1; m := a - F_a * (b - a)/(f_b - F_a); F_m := f(m); write(it:3,' ',a:8:5,' ',m:8:5,' ',b:8:5,' '); writeln(f_a:8:5,' ',F_m:8:5,' ',abs(f_b-f_a)/2:4); epsilon := abs(m-a); if(f_a * F_m <= 0) Then c := m; F_b := F_m End else a := m; F_a := F_m End; End; if(it<=max_iter) Then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',m:9:7); End else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); End; End Contoh eksekusi program Eksekusi program dilakukan dengan menggunakan data yang sama dengan metode Bisection. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut : Batas bawah = 0 Batas atas = 1 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 30 It. a m b f(a) f(b) abs[f(b)-f(a)]/ e e e e e e e-02 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Dari hasil eksekusi ini didapat hasil x = yang tercapai setelah iterasi ke-7. Dari hasil ini terlihat bahwa dengan menggunakan data yang sama sebagaimana yang digunakan pada metode Bisection, konvergensi hasil perhitungan akan lebih cepat dicapai. Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 21

21 2.6.3 Program Sumber untuk Metode Iterasi Program berikut menggunakan algoritma metode Iterasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Program akan dicoba untuk menyelesaikan persamaan : e x + x 2-3x - 2 =0 atau dalam bentuk lain x - (e x + x 2-2)/3 = 0 Dari bentuk ini diambil fungsi g(x) = (e x + x 2-2)/ DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA C++ // Program 1.3a // Metode Iterasi #include <stdio.h> #include <math.h> /* Daftar Variable x0 = harga awal tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum */ float x0,tol; int max_iter; float g(float x) return (x*x + exp(x) - 2)/3; void main() int it; float epsilon,xb; printf("harga awal = "); scanf("%f",&x0); printf("toleransi = "); scanf("%f",&tol); printf("jumlah iterasi maksimum = "); scanf("%d",&max_iter); it = 0; printf("it. x g(x) f(x)\n"); do it = it + 1; xb = g(x0); epsilon = fabs(xb-x0); printf("%3d %8.5f %8.5f %8.2e\n",it,x0,xb,epsilon); x0 = xb; while(it <= max_iter && epsilon > tol); if(it<=max_iter) printf("toleransi terpenuhi\n"); printf("hasil akhir = %g\n",xb); else printf("toleransi tidak terpenuhi\n"); Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 22

22 DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA PASCAL Program 1.3b Metode Iterasi Daftar Variable x0 = harga awal tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum Var x0,xb,tol : real; max_iter,it : integer; epsilon : real; function g(x : real) : real; g := (x*x + exp(x) - 2)/3; End; write('harga awal = '); read(x0); write('toleransi = '); read(tol); write('jumlah iterasi maksimum = '); read(max_iter); it := 0; writeln('it. x g(x) f(x)'); epsilon := tol+1; while((it <= max_iter) and (epsilon > tol)) do it := it + 1; xb := g(x0); epsilon := abs(xb-x0); writeln(it:3,' ',x0:8:5,' ',xb:8:5,' ',epsilon:4); x0 := xb; End; if(it<=max_iter) Then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',xb:9:7); End else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); End CONTOH EKSEKUSI PROGRAM Harga awal = 1 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 20 It. x g(x) f(x) e e e e e e e e-08 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Dari hasil eksekusi ini didapat hasil x = yang tercapai setelah iterasi ke-8. Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 23

23 2.6.4 Program Sumber untuk Metode Newton-Raphson Program berikut menggunakan algoritma metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Program akan dicoba untuk menyelesaikan persamaan : f(x) = e x + x 2-3x - 2 = 0 Turunan pertama fungsi ini adalah : f (x) = e x + 2x DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA C++ // Program 1.4a // Metode Newton-Raphson #include <stdio.h> #include <math.h> /* Daftar Variable x0 = harga awal tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum */ float x0,tol; int max_iter; float f(float x) return x*x - 3*x + exp(x) - 2; float f1(float x) return 2*x exp(x); void main() int it; float epsilon,xb; printf("harga awal = "); scanf("%f",&x0); printf("toleransi = "); scanf("%f",&tol); printf("jumlah iterasi maksimum = "); scanf("%d",&max_iter); it = 0; printf("it. x f(x) epsilon\n"); do it = it + 1; xb = x0 - f(x0)/f1(x0); epsilon = fabs(xb-x0); printf("%3d %8.5f %8.5f %8.2e\n",it,xb,f(xb),epsilon); x0 = xb; while(it <= max_iter && epsilon > tol); if(it<=max_iter) printf("toleransi terpenuhi\n"); printf("hasil akhir = %g\n",xb); else printf("toleransi tidak terpenuhi\n"); Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 24

24 DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA PASCAL Program 1.4b Metode Newton-Raphson Daftar Variable x0 = harga awal tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum Var x0,xb,tol : real; max_iter,it : integer; epsilon : real; function f(x : real) : real; f := x*x - 3*x + exp(x) - 2; End; function f1(x : real) : real; f1 := 2*x exp(x); End; write('harga awal = '); read(x0); write('toleransi = '); read(tol); write('jumlah iterasi maksimum = '); read(max_iter); it := 0; writeln('it. x f(x) epsilon'); epsilon := tol+1; while((it <= max_iter) and (epsilon > tol)) do it := it + 1; xb := x0 - f(x0)/f1(x0); epsilon := abs(xb-x0); writeln(it:3,' ',xb:8:5,' ',f(xb):8:5,' ',epsilon:4); x0 := xb; End; if(it<=max_iter) Then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',xb:9:7); End else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); End CONTOH EKSEKUSI PROGRAM Eksekusi program dilakukan dengan menggunakan harga awal 0, toleransi 10-5, dan jumlah iterasi maksimum sebesar 20. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut : Harga awal = 0 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 20 Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 25

25 It. x f(x) epsilon e e e e-06 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Dari hasil eksekusi ini didapat hasil x = yang tercapai setelah iterasi ke-4. Dapat dilihat bahwa untuk kasus ini penggunaan metode Newton-Rapson memberikan hasil yang lebih cepat daripada metode Iterasi Program Sumber untuk Metode Secant Program berikut menggunakan algoritma metode Secant untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Program kembali akan dicoba untuk menyelesaikan persamaan : F(x) = e x + x 2-3x - 2 = DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA C++ // Program 1.5a // Metode Secant #include <stdio.h> #include <math.h> /* Daftar Variable x0 = harga awal x1 = harga kedua tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum */ float x0,x1,tol; int max_iter; float f(float x) return x*x - 3*x + exp(x) - 2; void main() int it; float epsilon,xb; printf("harga awal = "); scanf("%f",&x0); printf("harga kedua = "); scanf("%f",&x1); printf("toleransi = "); scanf("%f",&tol); printf("jumlah iterasi maksimum = "); scanf("%d",&max_iter); it = 0; printf("it. x f(x) epsilon\n"); do it = it + 1; xb = x1 - f(x1)*(x1 - x0)/(f(x1) - f(x0)); epsilon = fabs(xb-x0); printf("%3d %8.5f %8.5f %8.2e\n",it,xb,f(xb),epsilon); Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 26

26 x0 = x1; x1 = xb; while(it <= max_iter && epsilon > tol); Penyelesaian Numerik Persamaan Non-Linear if(it<=max_iter) printf("toleransi terpenuhi\n"); printf("hasil akhir = %g\n",xb); else printf("toleransi tidak terpenuhi\n"); DEKLARASI SUMBER PROGRAM dalam BAHASA TURBO PASCAL Program 1.5b Metode Secant Daftar Variable x0 = harga awal x1 = harga kedua tol = toleransi max_iter = jumlah iterasi maksimum Var x0,x1,xb,tol max_iter,it epsilon : real; : integer; : real; function f(x : real) : real; f := x*x - 3*x + exp(x) - 2; End; write('harga awal = '); read(x0); write('harga kedua = '); read(x1); write('toleransi = '); read(tol); write('jumlah iterasi maksimum = '); read(max_iter); it := 0; writeln('it. x f(x) epsilon'); epsilon := tol+1; while((it <= max_iter) and (epsilon > tol)) do it := it + 1; xb := x1 - f(x1)*(x1-x0)/(f(x1) - f(x0)); epsilon := abs(xb-x1); writeln(it:3,' ',xb:8:5,' ',f(xb):8:5,' ',epsilon:4); x0 := x1; x1 := xb; End; if(it<=max_iter) Then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',xb:9:7); End else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); End CONTOH EKSEKUSI PROGRAM Eksekusi program dilakukan dengan menggunakan harga awal dan -0.1, toleransi 10-5, dan jumlah iterasi maksimum sebesar 20. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut : Harga awal = 0 Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 27

27 Harga kedua = -0.1 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 20 Penyelesaian Numerik Persamaan Non-Linear It. x f(x) epsilon e e e e e e-06 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Dari hasil eksekusi ini didapat hasil x = , sama dengan hasil yang didapat dengan menggunakan metode iterasi dan metode Newton-Raphson. Hasil ini tercapai setelah iterasi ke- 6. Walaupun konvergensi hasil perhitungan lebih lambat dibandinggkan dengan penggunaan metode Newton-Raphson, namun metode ini memiliki kelebihan karena tidak memerlukan penentuan turunan fungsi. 2.7 TERAPAN METODE NUMERIK dalam REKAYASA SIPIL Persamaan non-linear sebagai model matematika bagi solusi masalah rekayasa sipil dengan menggunakan metode numerik merupakan salah satu alternatif prosedur pemecahan yang digunakan apabila tidak dimungkin perolehan bentuk closed form dari pemodelan. Lima contoh bentuk penyelesaian numerik persamaan non-linear di dalam bidang truktur, geoteknik, sumber tenaga air, transportasi atau jalan raya, dan manajemen konstruksi berikut ini bertujuan untuk memberi pemahaman mengenai penggunaan terapan metode numerik untuk mencari solusi nyata bagi suatu permasalahan Bidang Teknik Struktur Frekuensi alami dari getaran balok uniform yang terjepit pada salah satu ujungnya dan bebas pada ujungnya yang lain dapat dicari dari persamaan berikut : cos (βl) cosh(βl) + 1 = 0 (a) Perletakan jepit Balok dengan β = ρω 2 /EI l = panjang elemen balok = 1 meter ρ = berat jenis elemen balok = 2.4 x 10 4 ω = frekuensi pribadi balok (sec -1 ) EI = kekakuan lentur balok = 2.5 x 10 6 (b) Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 28

28 Tetapkan nilai β dari persamaan (a), kemudian gunakan nilai β untuk menentukan frekuensi alami balok. Gunakan metode Bisection untuk mencari akar persamaan (a). Penyelesaian Dengan memasukkan nilai l = 1 ke dalam persamaan (a) : cos (β) cosh(β) + 1 = 0 Tulis kembali persamaan dengan variabel bebas x : cos (x) cosh(x) + 1 = 0 Selanjutnya digunakan program dengan memodifikasi bagian definisi fungsi menjadi : return cos(x) * cosh(x) + 1; (C++) atau f := cos(x) * (exp(x) + exp(-x)) / 2 + 1; (Pascal) Maka, eksekusi program dengan batasan interval [7,8] memberikan hasil eksekusi program sebagai berikut : Batas bawah = 7 Batas atas = 8 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 30 It. a b c f(a) f(c) abs[f(c)-f(a)]/ E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-05 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Harga yang didapat dimasukkan ke dalam persamaan (b) untuk mendapatkan nilai frekuensi alami balok : β = ρω 2 /EI EI*β ω = = ρ ω = 28.6 sec *10 * *10 Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 29

29 2.7.2 BidangTeknik Transportasi Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut : M T R 2 R R = + M (a) 2 2 ( R + T ) 1/2 dengan R = jari-jari kurva jalan T = jarak tangensial = m M = ordinat tengah = m Hitunglah berapa nilai R dengan menggunakan metode iterasi. Penyelesaian Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui ke persamaan (a) didapat : 2 R R = /2 ( R ) Tulis kembali persamaan dalam variabel bebas x sebagai berikut: 2 x x = /2 (x ) Selanjutnya digunakan program dengan memodifikasi bagian definisi fungsi sebagai berikut: return x*x / sqrt(x*x ) (C++) g := x*x / sqrt(x*x ) (Pascal) Program dieksekusi dengan memberikan harga awal xo =125. Hasil eksekusi program adalah : Harga awal = 125 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 30 It. x g(x) f(x) E E E E E E E E E E E E E E E-02 Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 30

30 E E E E E E E E E E E-04 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Panjang jari-jari kurva jalan adalah : R = m Bidang Teknik Sumber Daya Air Koefisien gesek untuk aliran turbulen dalam sebuah pipa diberikan dalam persamaan berikut : 1 e 9.35 = *log + 10 f D Re f (a) dengan f = koefisien gesek aliran R e = bilangan Reynolds e = kekasaran pipa D = diameter pipa Hitunglah nilai koefisien gesek untuk dua kasus berikut ini : D = 0.1 m e = R e = 3 x 10 4 D = 0.1 m e = R e = 5 x 10 6 Penyelesaian Tulis kembali persamaan dalam bentuk : e 9.35 f = *log 10 +, maka D Re f metode yang paling cocok digunakan adalah metode iterasi. 2 Kasus (i) Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan akan didapat : f = *log f = *log *10 * f f 2 2 Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 31

31 Tuliskan dalam variabel bebas x, maka akan diperoleh persamaan berikut : x = *log x Dengan program 2.6.3, setelah memodifikasi definisi fungsi, hasil eksekusi program adalah: Harga awal = 1 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 20 It. x g(x) f(x) E E E E-08 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Maka nilai koefisien gesek untuk kasus (i) adalah : f = Kasus (ii) Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan akan didapat : f = *log *10 * f = *log f Tulis fungsi dalam variabel bebas x akan diperoleh persamaan berikut: x = *log x Dengan program 2.6.3, dengan memodifikasi bagian definisi fungsi, diperoleh hasil eksekusi program berikut : Harga awal = 1 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 20 It. x g(x) f(x) E E E-10 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Nilai koefisien gesek untuk kasus (ii) adalah : f = f Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 32

32 2.7.4 Bidang Geoteknik Untuk menghitung kedalaman pemancangan dinding turap baja dapat digunakan rumusan berikut: K P D 3 - K A (H + D) 3 = 0 (a) dengan K A = koefisien tegangan aktif tanah = tan 2 ( ϕ/2) K P = koefisien tegangan pasif tanah = tan 2 ( ϕ/2 ) H = tinggi dinding turap K a D = kedalaman pemancangan ϕ = sudut geser dalam tanah Dengan menggunakan metode Newton-Raphson, D K p hitunglah kedalaman pemancangan dinding turap bila diketahui H = 15 m dan ϕ = Penyelesaian Hitung K A dan K P : K A = tan 2 (45 - ϕ/2) = tan 2 (45-28/2); K P = tan 2 (45 + ϕ/2) = tan 2 ( /2) = = H Kedua parameter ini dimasukkan ke persamaan (a) : K P D 3 - K A (H + D) 3 = D (15 + D) 3 = 0 Tulis kembali persamaan dalam variabel bebas x sebagai : x (15 + x) 3 = 0 maka turunan fungsi adalah : f (x) := x (15 + x) 2 = 0 Selanjutnya gunakan program dengan modifikasi pada definisi fungsi : Fungsi f(x) : return * x * x * x * (15 + x) * (15 + x) * (15 + x); (C++) f : = * x * x * x * (15 + x) * (15 + x) * (15 + x); (Pascal) Fungsi f (x) : return * x * x * (15 + x) * (15 + x); (C++) f1 : = * x * x * (15 + x) * (15 + x); (Pascal) Hasil eksekusi program adalah: Harga awal = 10 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 20 It. x f(x) epsilon E E E E E E E-06 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Kedalaman pemancangan yang diperlukan adalah : D = m Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 33

33 2.7.5 Manajemen Konstruksi Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaan produksi dalam satu hari sebagai berikut : C = N N N N 2 dengan C = biaya per hari N = jumlah komponen yang diproduksi Hitunglah jumlah optimal komponen yang diproduksi sehingga biaya produksi menjadi minimum. Penyelesaian Biaya minimum turunan pertama dari persamaan biaya harus nol.. Ini berarti : C (N) = N N N = 0 Nyatakan kembali persamaan dalam varibel bebas x : x x x = 0 Maka, menghitung akar persamaan dengan program 1.5 setelah modifikasi pada definisi fungsi adalah: return /(x * x) / (x * sqrt(x)) * x; (C++) f : = /(x * x) / (x * sqrt(x)) * x; (Pascal) yang memberikan hasil eksekusi program : Harga awal = 100 Harga kedua = 90 Toleransi = Jumlah iterasi maksimum = 10 It. x f(x) epsilon E E E E-04 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Jumlah produksi optimal dalam satu hari adalah : N = 94 buah Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab II hal. 34