SOLUSI OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2018

Transkripsi

1 Halaman 1 dari 18 SOLUSI OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 018 BIDANG MATEMATIKA SMP SURABAYA 018

2 Halaman dari 18 SOLUSI OSK SMP 018 Oleh : Miftahus Saidin 1. Diketahui x, y, dan z adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut (x, y, z) memenuhi (3x + y) z = 56 ada sebanyak... A. 6 B. 90 C. 91 D. 18 Jawaban : A (3x + y) z = 56 = 8 x, y, dan z adalah tiga bilangan bulat positif, maka x, y, z 1, akibatnya 3x + y 4. Oleh karena 8 tidak mempunyai faktor ganjil selain 1, maka 3x + y dan z keduamya pasti bilangan genap. Jadi, hanya ada kemungkinan, yaitu : (3x + y) z = > 3x + y = 4 dan z = 4, diperoleh (x, y, z) = (1, 1, ) (3x + y) z = > 3x + y = 16 dan z =, diperoleh (x, y, z) = (1, 13, 1), (, 10, 1), (3, 7, 1)(4, 4, 1), (5, 1, 1) Jadi ada 6 solusi.. Rata-rata usia sepasang suami isteri pada saat mereka menikah adalah 5 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah 1 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama adalah... tahun A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 Jawaban : C Misalkan saat ini usia Ayah, Ibu, Anak pertama, Anak kedua, Anak ketiga, dan Anak keempat (dalam tahun) berturut-turut adalah A, I, A 1, A, A 3, dan A 4. Karena anak ketiga dan keempat kembar maka A 3 = A 4. Rata-rata usia keluarga saat ini adalah 16 tahun, maka A + I + A 1 + A + A 3 + A 4 = 6(16) = 96 A + I + A 1 + A + A 3 = (1)

3 Halaman 3 dari 18 Pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar), maka usia Ayah = (A A 3 ) tahun usia Ibu = (I A 3 ) tahun usia Anak pertama = (A 1 A 3 ) tahun usia Anak kedua = (A A 3 ) tahun usia Anak ketiga = usia Anak keempat = 0 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah 1 tahun, maka Dari persamaan (1) dan () : A A 3 + I A 3 + A 1 A 3 + A A 3 = 6(1) = 7 A + I + A 1 + A 4A 3 = 7... () A + I + A 1 + A + A 3 = 96 A + I + A 1 + A 4A 3 = 7 Selanjutnya A 3 = 4 disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh : Pada saat anak kedua lahir, maka usia Ayah = (A A ) tahun usia Ibu = (I A ) tahun usia Anak pertama = (A 1 A ) tahun usia Anak kedua = 0 tahun. 6A 3 = 4, diperoleh A 3 = 4. A + I + A 1 + A = (3) Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun, maka Dari persamaan (3) dan (4) : A A + I A + A 1 A = 4(15) = 60 A + I + A 1 3A = (4) A + I + A 1 + A = 88 A + I + A 1 3A = 60 4A = 8, diperoleh A = 7. Selanjutnya A = 7 disubtitusikan ke persamaan (3), diperoleh : Pada saat anak pertama lahir, maka usia Ayah = (A A 1 ) tahun usia Ibu = (I A 1 ) tahun usia Anak pertama = 0 tahun A + I + A 1 = (5) Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama lahir adalah 18 tahun, maka A A 1 + I A 1 = 3(18) = 54

4 Halaman 4 dari 18 A + I A 1 = (6) Dari persamaan (5) dan (6) : A + I + A 1 = 81 A + I A 1 = 54 3A 1 = 7, diperoleh A 1 = 9. Jadi, usia anak pertama saat ini adalah 9 tahun. 3. Diketahui sisi-sisi trapesium adalah 5 cm, 7 cm, 7 cm, dan 13 cm. Pernyataan dibawah ini yang salah adalah... A. Tinggi trapesium = 33 B. Tinggi trapesium = 6 C. Luas trapesium = 10 6 D. Luas trapesium = 9 33 Jawaban : C Hanya ada kemungkinan trapesium yang memenuhi, yaitu trapesium ABCD dan PQRS seperti pada gambar di bawah ini. A 5 B P 7 Q t 7 7 D 4 E 5 F 4 C S x U 6 x T 7 R Tinggi trapesium ABCD =AE = 7 4 = 33. Luas trapesium ABCD = 1 (AB + CD)AE = 1 (5 + 13)( 33) = Ambil titik T pada RS sehingga PT sejajar QR Dari PUT diperoleh : t = 49 (6 x) = x x Dari PUT diperoleh : t = 5 x x x = 5 x, diperoleh x = 1 Tinggi trapesium PQRS =t = 5 1 = 6. Luas trapesium PQRS = 1 (PQ + SR)t = 0 6. Jadi, pernyataan yang salah adalah pernyataan C

5 Halaman 5 dari Bilangan prima p dan q masing dua digit. Hasil penjumlahan p dan q adalah bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit r merupakan perkalian p dan q maka dua nilai r yang mungkin adalah... A. 11 atau 143 B. 169 atau 689 C. 403 atau 989 D. 481 atau 11 Jawaban : C Perhatikan bahwa bilangan prima digit pasti bilangan ganjil sehingga p + q =, 44, 66, 88 Jika p + q =, maka pasangan (p, q) yang memnuhi adalah (11,11) Nilai dari r yang memenuhi adalah 11. Jika p + q = 44, maka pasangan (p, q) yang memenuhi adalah (13, 31) dan permutasinya. Nilai dari r yang memenuhi adalah 403. Jika p + q = 66, maka pasangan (p, q) yang memenuhi adalah (13,53), (19, 47), (3, 43) dan permutasinya. Nilai dari r yang memenuhi adalah 689, 893, dan 989. Jika p + q = 88, maka r bukan bilangan tiga digit. Jadi, jawaban C 5. Nilai sudut x dan y pada gambar berikut 135 y 61 x adalah... A. x = 74 ; y = 104 B. x = 37 ; y = 104 C. x = 74 ; y = 114 D. x = 37 ; y = 106

6 Halaman 6 dari 18 Jawaban : D y x x = > x = 37. y = = Misalkan U n dan S n masing-masing menyatakan suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari suatu barisan. Jika S n = n n n maka U U 4 + U 6 = A. 6 3 B C. 1 D. 1 3 Jawaban : B Perhatikan bahwa : S n = U 1 + U + + U n 1 + U n S n 1 = U 1 + U + + U n 1 U n = S n S n 1 U = S S 1 = = 1 0 = 1. U 4 = S 4 S 3 = = = 0. U 6 = S 6 S 5 = = = 5 3. U U 4 + U 6 = = Jika x dan y adalah bilangan genap dengan x < y, maka bilangan genap yang lebih besar daripada x dan lebih kecil dari pada y ada sebanyak...

7 Halaman 7 dari 18 A. B. y x y x C. y x D. y x Jawaban : A Misalkan x = m dan y = (m + k) dengan k bilangan asli. Bilangan genap yang lebih besar dari x dan kurang dari y adalah (m + 1), (m + ), (m + 3),, (m + k 1) Banyaknya bilangan genap yang lebih besar dari x dan kurang dari y = k 1 = m + k m = (m + k) m = y x. 8. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7 adalah... A. B C. 1 8 D. 1 4 Jawaban : A Bilangan-bilangan dua digit yang bersisa 3 jika dibagi 7 adalah 10, 17, 4, 31, 38, 45, 5, 59, 66, 73, 80, 87, dan 94. Ada bilangan yang digit-digit penyusunnya bilangan prima, yaitu 5 dan 73. Ada sebanyak 90 bilangan digit. Jadi peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7 adalah 90 = Perhatikan grafik berikut ini yang menampilkan profil PT ABC dari sisi jenis kelamin, usia, dan ratarata penjualan per minggu yang dihasilkan oleh stafnya. Diketahui semua staf di bawah 35 tahun adalah pria dan semua staf 45 tahun ke atas adalah wanita. Dua pertiga dari staf berusia tahun adalah pria.

8 Jumlah staf Rata-rata penjualan per minggu (dalam ribuan rupiah) Halaman 8 dari < Usia staf Jumlah Staf Penjualan oleh Staf Pria Penjualan oleh Staf Wanita 500 Pembulatan persentase penjualan oleh staf pria PT ABC terhadap keseluruhan hasil penjualan adalah... A. 81% B. 76% C. 71% D. 66% Jawaban : A Hasil penjualan staf pria = 0 x x /3 x 15 x 3500 = Total hasil penjualan seluruh staf = 0 x x /3 x 15 x /3 x 15 x x x 3500 = Persentase penjualan oleh staf pria = % = 80,9% 81% Diberikan jajar genjang ABCD dengan AB = 10 cm. Titik α P berada di garis diagonal BD dan sebagai titik potong garis BD dan AQ, serta titik Q terletak pada CD dan BP = DP. Panjang DQ adalah... cm A. B C. 4 D. 5

9 Halaman 9 dari 18 Jawaban : D Perhatikan gambar di bawah ini! A φ α B P D Perhatikan bahwa dua sudut pada DPQ dan BAP sama, akibatnya DPQ ~ BAP sehingga berlaku diperoleh DQ = 1 AB = 5 cm. α φ Q C DQ AB = DP BP = Diketahui tabel distribusi nilai siswa kelas A dan kelas B sebagai berikut. Kelas A Nilai Frekuensi Kelas B Nilai Frekuensi Pernyataan berikut ini yang benar adalah... A. Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B B. Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B C. Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B D. Jawaban A, B, dan C salah

10 Halaman 10 dari 18 Jawaban : A Kelas A Nilai (x) Frekuensi(f) f x jumlah Kelas B Nilai (x) Frekuensi(f) f x jumlah Mean nilai kelas A = = 81,111 Median nilai kelas A = 80 Modus nilai kelas A = 80 Mean nilai kelas A = = 80,138 Median nilai kelas A = 80 Modus nilai kelas A = 85 Jadi, median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B. 1. Untuk pada sebuah laci terdapat bebrapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwaran putih adalah 1. Jika banyaknya kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kai berwarna putih adalah... A. 1 B. 15 C. 18 D. 1 Jawaban : B Misalkan p dan h berturut-turut adalah banyaknya kaos kaki putih dan hitam. Peluang terambil kaos kaki putih = 1 maka C p C p+h = 1 p(p 1) (p + h)(p + h 1) = 1 p p = p + ph + h p h

11 Karena h genapa maka h =, 4, 6, 8,. Untuk h = p = Untuk h = 4 p = Untuk h = 6 p = Jadi, nilai minimum dari p = 15. Halaman 11 dari 18 p (h + 1)p + h h = 0 p = h h + 1 (p bukan bilangan bulat. Jadi, tidak memenuhi) (p bukan bilangan bulat. Jadi, tidak memenuhi) = Diketahui F = {9, 10, 11, 1, 13,, 50} dan G adalah himpunan bialangan-bilangan yang angotaanggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan asli berurutan. Anggota G F sebanyak... A. 14 B. 6 C. 9 D. 36 Jawaban : C Penjumlahan tiga atau lebih bilangan asli berurutan dapat ditulis menjadi n n n + k, dengan n bilangan bulat non negatif dan k 3 n n n + k = nk + k(k + 1) = k(n + k 1) Perhatikan bahwa k dan n + k 1 salah satunya genap dan salah satunya harus ganjil, karena k 3 dan n + k 1 5 maka k(n+k 1) tidak mungkin merupakan bilangan prima atau bilangan berbentuk l, l = 1,, 3,. Jadi, G F = {x F x bukan bilangan prima, x juga bukan bilangan berbentuk l, l = 0, 1,, 3, } (G F) c = {11, 13, 16, 17, 19, 3, 9, 31, 3, 37, 41, 43, 47} n((g F) c ) = 13. Banyaknya anggota himpunan = n(f) n((g F) c ) = 4 13 = Kubus ABCD PQRS memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika E adalah titik tengah PQ dan F adalah titik tengah QR maka luas daerah ACFE adalah... cm A. 16 B. 18 C. 3 D. 64

12 Halaman 1 dari 18 Jawaban : B Perhatikan gambar berikut! S R P E F Q 4 4 D C A 4 dengan pythagoras diperoleh : B 4 AC = AB + BC = = 4 AE = FC = CR + RF = 4 + = 5 EF = EQ + QF = + = ACFE trapesium sama kaki seperti pada gambar berikut E F 5 5 A Dengan pythagoras diperoleh T U C TE = AE AT = 0 = 3 Luas ACFE = 1 (AC + EF)(TE) = 1 (4 + 3)(3 ) = Jika 1 < x < y < 0 maka berlaku A. xy < x y < xy B. xy < xy < x y C. xy < x y < xy D. x y < xy < xy Jawaban : D Perhatikan bahwa : 1 < x < y < 0 < 1 x < y < 1

13 Halaman 13 dari 18 Karena x dan y negatif maka xy positif, akibatnya jika ketiga ruas dari pertidaksamaan di atas dikalikan dengan xy maka tidak merubah tanda dari pertidaksamaan. x y < xy < xy 16. Diketahui grafik fungsi bernilai riil f dan g seperti pada gambar y f y x x g Jumlah semua nilai x yang memenuhi f(x) g(x) = 1 adalah... A. 3 B. 1 C. 0 D. Jawaban : B Fungsi f yang mewakili gambar pada soal adalah x, untuk x 0 f(x) = { x, untuk x < 0 Fungsi g yang mewakili gambar pada soal adalah x, untuk x > 0 g(x) = { x +, untuk x < 0 Fungsi f g yang mewakili gambar pada soal adalah Jika f(x) g(x) = 1 maka x, untuk x > 0 f(x) g(x) = { x 4, untuk x < 0 Untuk x > 0, x = 1, diperoleh x = 1 Untuk x < 0, x 4 = 1, diperoleh x = 3 Jumlah semua nilai x adalah 1 3 = 1

14 Halaman 14 dari Menjelang tahun baru harga sebuah kacamata dipotong (di diskon) dua kali seperti yang dinyatakan pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp ,00 untuk kacamata tersebut. Berapakah harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya? A. Rp ,00 Diskon B. Rp ,00 C. Rp ,00 50% + 10% D. Rp ,00 Jawaban : C Misalkan harga kacamata sebelum di diskon adalah k rupiah maka (100% 50%)(100% 10%)k = (50%)(90%)k = diperoleh k = Jadi, harga kacamata sebelum di diskon adalah Rp , Jika 0 < a < 1 dan grafik fungsi kuadrat y = a(x 1) + a berada dibawah grafik fungsi y = (a + a)(x + 1) a(a + 1), maka nilai x yang memenuhi adalah... A. 0 < x < 3 B. a < x < 3 C. a + 1 < x < 3 D. 3 < x < 3 + a Jawaban : C y 1 = a(x 1) + a berada dibawah grafik y = (a + a)(x + 1) a(a + 1) maka y y 1 > 0 ((a + a)(x + 1) a(a + 1) ) (a(x 1) + a) > 0 a(x (a + 4)x + 3a + 3) > 0 karena a > 0 maka x (a + 4)x + 3a + 3 > 0 (x 3)(x a 1) > 0 faktor-faktornya adalah x = 3 atau x = a + 1. Selanjutnya bisa dicek dengan garis bilangan a + 1 sehingga diperoleh a + 1 < x < Jika n 1 = 3 maka jumlah semua nilai n yang mungkin adalah... n 3n 3 n n A. B. 1 C. 0 D. 1

15 Halaman 15 dari 18 Jawaban : C 1 n 1 3n + n 3 1 n = 3 n n = 9 6n 6n n 3 = 8 6n = 4 3n n = 4 diperoleh n = atau n = Jumlah semua nilai n adalah = Perhatikan segitiga ABC dan lingkaran pada gambar dibawah! A F E B D C Jika segitiga ABC sama sisi dengan CD = 6 cm, maka luas daerah lingkaran dalam adalah... A. 16π B. 1π C. 9π D. 4π Jawaban : B Karena ABC sama sisi maka BC = CD = 1. Luas ABC = BC 4 s = 1 keliling ABC = 18 cm = 3 = 36 3 cm. 4 Jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC = r = Luas ABC Luas lingkaran dalam segitiga ABC = πr = 1π. s = = 3 1. Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan x + y = dan x + 3y = 0000 adalah... A. Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp ,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp ,00. Berapakah harga masingmasing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

16 Halaman 16 dari 18 B. Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp ,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp ,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis? C. Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki uang Rp ,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis? D. Seorang siswa membeli sebuah pulpen dan tiga buku tulis seharga Rp ,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp ,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis? Jawaban : D Misalkan harga 1 buah pulpen adalah x rupiah dan harga 1 buah buku adalah y rupiah. Seorang siswa membeli sebuah pulpen dan tiga buku tulis seharga Rp ,00, maka x + 3y = 0000 Dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis seharga Rp ,00, maka x + y = Pada suatu data terdapat 5 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 55. Median dari data adalah 30. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah... A. 40 B. 4 C. 45 D. 50 Jawaban : B Misalkan data diurutkan menjadi x 1 x x 3 x 1 x 13 x 14 x 4 x 5 Rata-rata terbesar yang mungkin dicapai ketika x 1 = x = x 3 = = x 1 = x 13 = median = 30 dan x 14 = x 15 = x 16 = = x 4 = x 5 = data terbesar = 55. Jadi, rata-rata terbesar = = = Perhatikan gambar berikut! y A (0,) B (4,4) x

17 Halaman 17 dari 18 Persamaan garis hasil transformasi rotasi R(O, 180 ) dilanjutkan percerminan y = x terhadap garis AB adalah... A. y = x + 4 B. y = x 4 C. y = x + 4 D. y = x 4 Jawaban : B Persamaan garis pada soal adalah y 4 = x y Jika (x, y) dirotasi R(0, 180 ) maka bayangannya adalah (x, y ) = ( x, y). Jika (x, y ) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah (x, y ) = ( y, x ) = (x, y). Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar dibawah ini! y = x 4 b a (a, b) Titik awal (b, a) Bayangan akhir a a b x b ( a, b) y = x Jadi, x = y dan y = x sehingga persamaan garis menjadi Ekivalen dengan diperoleh y = x 4. Selanjutnya dicerminkan terhadap y= x x x 4. Sebuah wadah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seorang mengambil bola-bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa = y 4 = y 4 pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah...

18 Halaman 18 dari 18 A. B. C D. 1 7 Jawaban : D Peluang terambil bola beda warna dari masing-masing pengambilan adalah 3C1 5 C 1 8C C 1 C 4 1 C 6 C 1 1 C 3 1 C 4 = Semua bilangan riil x yang memenuhi pertidaksamaan x x 5 5 adalah... A. 5 x 14 B. x 6 atau x 14 C. 5 x 6 atau x 14 D. 0 x 6 atau x 14 Jawaban : C x x 5 5 ( x 5 ) 1 0 ( x 5 1)( x 5 + 1) 0 Diperoleh akar-akarnya x = 14 atau x = 6. Ingat bahwa bilangan yang di dalam akar tidak boleh negatif, sehingga x 5 0 x 5. Selanjutnya bisa dicek dengan garis bilangan sehingga diperoleh 5 x 6 atau x