PEMODELAN MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN STOCHASTIC GOAL PROGRAMMING

Transkripsi

1 PEMODELAN MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN STOCHASTIC GOAL PROGRAMMING: STUDI KASUS PADA PEMAKAIAN BAHAN BAKAR DI PLTGU PT PJB UP GRESIK. Rina Puspitaningrum Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya Kampus ITS Sukolilo Surabaya Abstrak Ketidakpastian pasokan bahan bakar gas telah menjadi hal yang menganggu pada proses produksi listrik di PLTGU PT PJB UP Gresik. Oleh karena itulah, digunakan bahan bakar minyak HSD untuk mengisi kekurangan pasokan tersebut. Pemodelan untuk mencari komposisi yang tepat antara kedua jenis bahan bakar tersebut dilakukan guna mendapatkan biaya produksi yang minimum dan pemenuhan permintaan beban konsumen serta keuntungan yang maksimum. Pada Tugas Akhir ini digunakan stochastic goal programming (SGP) untuk melakukan pemodelan dengan ketidakpastian atau variabel random seperti kasus yang dihadapi PLTGU. SGP mampu mereduksi masalah stokastik menjadi pemrograman kuadratik dengan kendala-kendala yang linear. Pada pemodelan ini, pembobotannya menggunakan Absolute Risk Aversion. Dari perhitungan yang dilakukan, didapatkan pemakaian bahan bakar minyak HSD sebesar 11,488,000,000 Kcal dan pemakaian gas sebesar 32,248,000,000 Kcal. Dengan komposisi tersebut, semua fungsi tujuan yang ingin dicapai dapat terpenuhi secara optimum. Kata kunci: ketidakpastian, stochastic goal programming, variabel random, pemrograman kuadratik, Absolute Risk Aversion I. PENDAHULUAN Kelangkaan dan ketakteraturan dalam pasokan bahan bakar baik minyak maupun gas telah menjadi berita yang kerap muncul dan cukup mengganggu belakangan ini. Tak hanya mengimbas pada perorangan, perusahaan-perusahaan negara pun tak luput dari kondisi tersebut, tak terkecuali PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembangkitan Gresik (PT PJB UP Gersik). PT PJB UP Gresik merupakan salah satu anak perusahaan dari (PLN) yang bergerak dalam sektor pembangkitan dan menjadi salah satu produsen penghasil listrik yang melayani kebutuhan listrik Pulau Jawa dan Bali. PT PJB memiliki tiga unit pembangkitan, yaitu Pembangkit Listrik Tenaga Uap (PLTU), Pembangkit Listrik Tenaga Gas (PLTG), dan Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap (PLTGU). Pada Tugas Akhir ini, digunakan data sekunder yang didapat dari bagian bahan bakar di unit PLTGU, sehingga masalah yang dibahas hanya mengacu pada persoalan bahan bakar di unit tersebut. Dengan posisinya sebagai produsen listrik, bahan bakar merupakan hal vital yang sangat menentukan pelaksanaan proses produksi pada PLTGU. Ada dua jenis bahan bakar yang digunakan PLTGU PJB, yaitu gas sebagai bahan bakar utama dan minyak HSD (High Speed Diesel) sebagai bahan bakar cadangan. Ketidakpastian pasokan gas menjadikan ketersediaan bahan bakar minyak sebagai bahan bakar cadangan menjadi sangat penting. Pada kasus nonrandom, untuk mengoptimumkan beberapa tujuan tertentu, langsung bisa digunakan deterministic goal programming (DGP). DGP adalah salah satu metode pemodelan matematika yang mampu menyelesaikan kasus pengoptimuman multi-tujuan dengan data-data yang tidak mengandung variabel random, sehingga kurang cocok diterapkan pada kasus ketidakpastian seperti pada masalah bahan bakar di atas Teknik pemodelan awal yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ketidakpastian adalah chance contrained programming (CCP). Namun, Bravo dan Gonzales (2009) menyatakan 1

2 bahwa CCP kurang praktis jika diterapkan untuk kasus-kasus yang lebih umum dan rumit. Teknik penyelesaian lain untuk kasus multi-tujuan yang kerap digunakan dewasa ini adalah fuzzy goal programming (FGP) dan stochastic goal programming (SGP). Permasalahan bahan bakar di PLTGU sebelumnya pernah dianalisa menggunakan FGP oleh Sari (2011), tetapi metode tersebut masih memiliki beberapa kekurangan, diantaranya adalah sulitnya mengestimasi membership function dan terlalu banyaknya cara untuk menginterpretasi aturan-aturan fuzzy (Russell & Norvig, 2006). Karena itulah, pada Tugas Akhir ini digunakan metode stochastic goal programming (SGP) untuk menangani masalah yang dialami PLTGU. SGP adalah salah satu cabang matematika yang mampu melakukan pendekatan untuk pemodelan multi-tujuan dengan data-data yang mengandung ketidakpastian, yang pembobotannya berbasis pada Absolute Risk Aversion (Ballestero 2001). SGP memiliki aspek operasional yang hampir sama dengan model mean-varians Markowitz (Bravo & Gonzalez, 2009). SGP juga sangat cocok untuk memodelkan tujuan-tujuan yang saling bertentangan (Munoz & Ruiz, 2009; Ben Abdelaziz et al., 2007), misalnya saja masalah biaya produksi dan keuntungan yang dihubung-kan dengan permintaan beban konsumen seperti dalam Tugas Akhir ini. Ballestero (2001) menyatakan bahwa metode SGP dengan pembobotan adalah cukup umum dan mudah diaplikasikan pada kasus-kasus dalam kehidupan nyata. Proses perhitungannya tidak memerlukan kalkulasi yang rumit karena masalah yang ada telah direduksi ke dalam bentuk kuadratik dengan kendala-kendala linear. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Stochastic Goal Programming SGP merupakan salah satu pendekatan untuk goal programming yang mengandung ketidakpastian, yang pembobotannya dilakukan sesuai dengan keinginan dari para pembuat keputusan dan juga berdasar pada Absolute Risk Aversion (ARA). Seperti model mean-varians (E-V), SGP berbasis pada hipotesis maksimisasi. Ballestero (2001) memformulasikan tujuan dari SGP sebagai berikut: (2.1) dengan adalah fungsi tujuan ke-, adalah variabel keputusan ke-, dan adalah variabel random dari fungsi tujuan ke- dan variabel keputusan ke-. Karena berdasar pada hipotesis maksimisasi, prinsip dari pemodelan ini adalah the more the better, atau semakin besar semakin baik. Pada kenyataanya, ada beberapa tujuan yang mempunyai prinsip the more the worse atau semakin besar semakin buruk, misalnya saja biaya produksi. tersebut bisa dikonversi ke dalam bentuk the more the better dengan mengubahnya menjadi: (2.2) dengan adalah target maksimum yang didapat dari data referensi. Untuk lebih jelasnya, dapat ditinjau kembali konsep-konsep dari berikut ini Fungsi Kegunaan Dalam teori kegunaan, dikenal fungsi kegunaan (utility function), dengan adalah fungsi tujuan. Jika dihubungkan dengan fungsi kegunaan, tujuan bisa didefinisikan sebagai maksimisasi/minimisasi dari: (2.3) Absolute Risk Aversion Risk Aversion adalah sebuah konsep dalam psikologi, ekonomi, dan finansial yang didasarkan pada perilaku manusia yang mengandung ketidakpastian. Perumusan koefisien ARA adalah sebagai berikut: (2.4) Dalam ilmu ekonomi, exponential utility adalah bentuk yang spesifik dari fungsi kegunaan, sering digunakan dalam banyak bidang karena kelebihannya dalam menyelesaikan kasus-kasus yang mengandung resiko. Secara formal, perumusan exponential utility diberikan oleh: (2.5) dengan adalah konstanta positif yang merepresentasikan derajat ARA (Levy, 2006). Dalam Tugas Akhir ini, nilai yang digunakan adalah 1. 2

3 2.1.3 Model Mean-Varians Model mean-varians (E-V) adalah dasar dari SGP. Perbedaan paling mendasar di antara keduanya adalah bahwa E-V hanya menyelesaikan persoalan dengan satu tujuan, sementara SGP mampu menyelesaikan kasus-kasus multi-tujuan. Formulasi SGP dapat ditulis sebagai berikut: dengan kendala: atau (2.6) (untuk tujuan dengan prinsip the more the better ), (2.7) (untuk tujuan dengan prinsip the more the worse ), (2.8) bersama dengan kendala-kendala lain yang mungkin dan kondisi taknegatif dari tiap variabel, dengan adalah target atau level aspirasi dari. adalah vektor baris dari variabel keputusan, dengan dan adalah matriks transpos dari. Matriks variabilitas didapat dari penjumlahan matriks kovarians, yaitu matriks kovarians dari fungsi tujuan ke-. (2.9) dengan dan adalah bobot gabungan yang komponen-komponennya adalah sebagai berikut: dan sebagai bobot preferensi dari pembuat keputusan untuk masing-masing tujuan dan dan adalah koefisien ARA untuk masing-masing tujuan. 2.2 Matriks Kovarians Dalam teori probabilitas, matriks kovarians adalah matriks yang elemen pada posisi dan -nya merupakan kovarians antara elemen kedan ke- dari vektor random (disebut juga vektor dari variabel random) (Higham, 2002). Jika vektor kolom adalah variabel random, masing-masing dengan varians terbatas, maka matriks kovarians pada baris ke- dan kolom ke- adalah kovarians sehingga didapatkan: (2.10) (2.11) 2.3 Matriks Hessian Dalam matematika, matriks Hessian adalah matriks kuadrat dari turunan kedua parsial dari suatu fungsi (Binmore & Davies, 2007). Diberikan fungsi kuadrat bernilai real. Jika dituliskan ke dalam notasi matriks, didapatkan bentuk sebagai berikut (2.12) dengan adalah matriks Hessian, adalah vektor kolom yang mewakili persama linear dari, dan adalah matriks transpos dari. Dan jika semua turunan kedua parsial dari ada, maka matriks Hessian dari adalah dengan adalah operator turunan yang berkaitan dengan argumen ke-. Sehingga matriks Hessian dapat ditulis menjadi: ) (2.13) Pada Tugas Akhir ini, matriks Hessian berguna dalam penyelesaian masalah pemrograman kuadratik menggunakan salah satu fitur dari Matlab, yaitu quadprog. 2.4 PLTGU PT PJB UP Gresik Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap (PLTGU) adalah salah satu unit pembangkitan yang ada di PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembangkitan Gresik, atau yang lebih dikenal dengan nama PT PJB UP Gresik. PLTGU itu sendiri memiliki tiga unit produksi, yaitu blok 1, blok 2, dan blok 3 (Permana, Ramadhani, & Prasetyo, 2008). 3

4 III. METODOLOGI PENELITIAN 1. Tahap Persiapan - Identifikasi Permasalahan - Studi Literatur 2. Tahap Pengumpulan Data 3. Tahap Pengolahan Data dan Pembuatan Model - Mendefinisikan Fungsi - Menganalisa Konstanta - Merumuskan Fungsi 4. Tahap Formulasi Model dengan SGP - Menentukan Bobot - Menghitung Matriks Kovarians - Memformulasikan Model Mean-Varians 5. Tahap Penyelesaian Masalah dengan Matlab 6. Tahap Penarikan Kesimpulan 7. Tahap Penyusunan Laporan IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN 4.1 Menentukan Permasalahan Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembangkitan Gresik (PLTGU PT PJB UP Gresik) adalah salah satu unit pembangkitan dari Perusahaan Listrik Negara (PLN) yang terletak di provinsi Jawa Timur. Ada dua jenis bahan bakar yang digunakan PLTGU PJB, yaitu gas sebagai bahan bakar utama dan minyak HSD (High Speed Diesel) sebagai bahan bakar cadangan. Ketidakpastian pasokan gas menjadikan ketersediaan bahan bakar minyak sebagai bahan bakar cadangan menjadi sangat penting. Tapi tentu saja, harga minyak yang jauh lebih mahal dibandingkan dengan harga bahan bakar gas adalah masalah yang tidak bisa begitu saja diabaikan karena besarnya biaya produksi adalah salah satu hal pokok yang mempengaruhi keuntungan perusahaan. Selain itu, meningkatnya biaya poduksi akibat komposisi bahan bakar yang kurang tepat tersebut juga akan berimbas pada pemenuhan permintaan beban konsumen. Di sisi lain, PT PJB juga harus tetap memperhitungkan jumlah minyak HSD ideal yang akan digunakan tiap harinya. Penggunaan yang terlampau sedikit juga kurang menguntungkan, mengingat bahwa pengendapan minyak HSD yang terlalu lama pada tangki penyimpanan juga akan berdampak buruk pada kualitas minyak. Keterangan tambahan tentang pemakaian minyak dapat dilihat pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Keterangan kapasitas tangki PLTGU UNIT KAPASITAS TANGKI (liter) DEAD STOCK (liter) KAPASITAS EFEKTIF (liter) =2-3 PLTGU / HSD Receiving Tank 1 20,000,000 1,037,494 18,962, ,000,000 1,025,818 18,974,182 Storage Tank 1 20,000,000 2,725,274 17,274, ,000,000 2,708,964 17,291,036 TOTAL 80,000,000 7,497,550 72,502,450 Konsumsi per hari pada 100% load: 3,200,000 liter Sumber: Bagian Bahan Bakar Unit PLTGU PT PJB UP Gresik 4.2 Pengolahan Data dan Pembuatan Model Pada bab ini dilakukan pengolahan data sekunder dari perusahaan, untuk pada akhirnya dilakukan pemodelan dengan langkah-langkah sebagai berikut Mendefinisikan Fungsi Pada Tugas Akhir ini, penelitian difokuskan pada pengoptimuman komposisi dua jenis bahan bakar pada PLTGU, yaitu minyak HSD dan gas, dengan mempertimbangkan biaya produksi yang minimum, permintaan beban konsumen yang terpenuhi secara maksimum, dan keuntungan yang maksimum. Dihubungkan dengan persamaan 2.1 dan persamaan 2.3, fungsi-fungsi tujuan tersebut didefinisikan sebagai, (4.1) dengan adalah fungsi tujuan ke- dan adalah variabel random dari fungsi tujuan ke- dan bahan bakar. Sementara adalah variabel keputusan dengan adalah jumlah pemakaian bahan bakar minyak HSD (dalam Kcal) dan adalah jumlah pemakaian bahan bakar gas (dalam Kcal). Dihubungkan dengan permasalahan-permasalahan yang dihadapi PLTGU, didapatkan fungsi-fungsi tujuan sebagai berikut. 4

5 1. Fungsi tujuan pertama, yaitu meminimumkan biaya produksi. Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan pertama dapat dituliskan sebagai: (4.2) dengan adalah nilai variabel random dari harga bahan bakar. Hasil analisa dari tujuan pertama menunjukkan bahwa ada kaitan antara harga panas bahan bakar dan biaya produksi. Harga panas bahan bakar merupakan harga bahan bakar tiap satuan energinya, yaitu kalori. Sehingga, jika masing-masing harga bahan bakar tersebut (dalam Rp/Kcal) dihubungkan dengan banyaknya pemakaian tiap bahan bakar (dalam Kcal), didapatkan suatu nilai dari biaya produksi per hari dari perusahaan (dalam Rp). 2. Fungsi tujuan kedua, yaitu memaksimumkan pemenuhan permintaan beban konsumen. Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan kedua dapat dituliskan sebagai: (4.3) dengan adalah nilai variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar. Hasil analisa dari tujuan kedua menunjukkan bahwa produksi beban per pemakaian bahan bakar dapat dikaitkan dengan permintaan beban konsumen. Pemakaian bahan bakar yang sama pada suatu proses produksi tidak selalu menghasikan jumlah beban yang sama. Hal ini dipengaruhi oleh banyak hal, diantaranya adalah keandalan mesin itu sendiri atau kerusakan yang mungkin terjadi pada mesin, yang perhitungannya tidak berpengaruh dalam pemodelan ini. Oleh karena itulah, banyaknya bahan bakar (dalam Kcal) yang dihubungkan dengan hasil produksi beban per pemakaian bahan bakar pada tiap proses produksi (dalam KWh/Kcal) dapat mempengaruhi terpnuhinya permintaan beban konsumen (dalam KWh). 3. Fungsi tujuan ketiga, yaitu memaksimumkan keuntungan. Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan ketiga dapat dituliskan sebagai: dengan (4.4) adalah nilai variabel random dari harga jual beban dengan menggunakan masing-masing bahan bakar. Tabel 4.2 Fungsi tujuan dan variabel randomnya Fungsi Fungsi Pertama Fungsi Kedua Fungsi Ketiga Variabel Random Keterangan variabel random dari harga bahan bakar minyak HSD variabel random dari harga bahan bakar gas variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar minyak HSD variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar gas variabel random dari harga jual beban yang menggunakan bahan bakar minyak HSD variabel random dari harga jual beban yang menggunakan bahan bakar gas Hasil analisa fungsi tujuan ketiga menunjukkan bahwa harga jual beban (dalam Rp/Kcal) bisa dihubungkan dengan biaya produksi (dalam Rp) untuk memaksimumkan keuntungan. Artinya, semakin besar selisih harga jual tersebut dengan biaya produksi, keuntungan dari perusahaan akan semakin besar. Untuk lebih jelasnya, penjabaran variabelvariabel random tersebut dapat dilihat pada Tabel Analisa Konstanta Dari Tabel 4.1 dapat diketahui beberapa konstanta sebagai berikut: 1. Kapasitas tangki HSD di PLTGU adalah sebesar 80,000,000 liter. 2. Nilai dead stock telah ditetapkan oleh perusahaan, dengan batas minimum yang besarnya mencapai 7,491,550 liter. 3. Kapasitas efektif adalah kapasitas tangki dikurangi dengan deadstock. Sehingga, Kapasitas efektif (dalam liter) (4.5) Karena 1 liter = 9, Kcal, jika satuan liter (volume) tersebut diubah ke dalam satuan Kcal (energi), persamaan 4.5 menjadi: Kapasitas efektif 5

6 (4.6) 4. Konsumsi HSD maksimum per hari yang ditetapkan oleh perusahaan berdasarkan data adalah 3,200,000 liter. Jika diubah ke satuan energi, didapatkan: Konsumsi HSD maks (4.7) Konstanta-konstanta tersebut digunakan sebagai nilai ruas kanan dari kendala tambahan Merumuskan Fungsi Pada Tabel 4.2 diperlihatkan keterangan dari variabel-variabel random yang terkait dengan pemodelan ini. Pengolahan data-data tersebut digunakan untuk mendapatkan perhitungan mean yang bisa dilihat pada Tabel 4.4. Dan perumusan selengkapnya dibahas pada sub-sub bab ini. Jika dihubungkan dengan target, fungsifungsi tujuan yang telah didefinisikan pada subsub bab sebelumnya berubah menjadi kendala tujuan, yaitu sebagai berikut: tujuan pertama ( ): biaya produksi (4.8) tujuan kedua ( ): pemenuhan beban konsumen : (4.9) tujuan ketiga ( ): keuntungan (4.10) dengan adalah target dari masing-masing kendala tujuan, seperti dijabarkan pada Tabel 4.3. Dari ketiga persamaan tersebut dapat diketahui bahwa: 1. tujuan pertama memiliki makna bahwa perusahaan ingin mendapatkan biaya produksi yang lebih kecil dari target ; 2. tujuan kedua berarti bahwa perusahaan menginginkan produksi beban yang setidaktidaknya terpenuhi sesuai target ; dan 3. tujuan ketiga berarti bahwa perusahaan menginginkan harga jual beban yang lebih besar dari target. Karena SGP berbasis pada hipotesis maksimisasi, semua kendala tujuan diubah ke dalam prinsip the more the better. Biaya produksi memiliki prinsip the more the worse, sehingga sesuai dengan persamaan 2.2, persamaan 4.8 diubah menjadi:, (4.11) dengan adalah biaya produksi tertinggi yang didapatkan dari data. Permintaan beban konsumen dan keuntungan memiliki prinsip the more the better, sehingga persamaan 4.9 dan persamaan 4.10 tetap. Tabel 4.3 tujuan dan targetnya Pertama Kedua Ketiga Target Keterangan Nilai harapan dari biaya produksi (Tabel 4.2 kolom 5) Nilai harapan dari permintaan beban konsumen (Tabel 4.4 kolom 7) Nilai harapan dari biaya produksi (Tabel 4.5 kolom 7) Tabel 4.4 tujuan dan hasil perhitungan mean dari data Pertama Kedua Ketiga Data dan Nilai Mean Harga Panas Bahan Bakar (Rp/Kcal) Biaya Produksi (10 10 Rp) Produksi Beban/Pemak aian Bahan Bakar (KWh/Kcal) Permintaan Beban (10 10 KWh) Harga Jual Beban (Rp/KWh) Biaya Produksi (10 10 Rp) BBM BBG Perumusan fungsi kendala dilakukan dengan cara menghubungkan masing-masing kendala tujuan - 6

7 yang telah didefinisikan dengan hasil perhitungan mean pada Tabel tujuan pertama: Dihubungkan dengan perhitungan yang telah didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.11 berubah menjadi: (dalam Rupiah) 2 tujuan kedua: Dihubungkan dengan perhitungan yang telah didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.9 berubah menjadi: (dalam KWh) 3. tujuan ketiga: Dihubungkan dengan perhitungan yang telah didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.7 berubah menjadi: (dalam Rupiah) -kendala tambahan: 1. Untuk menghindari posisi kritis, pemakaian bahan bakar minyak tidak dibolehkan melebihi kapasitas efektif. Sehingga, jika dihubungkan dengan persamaan 4.10, didapatkan perumusan sebagai berikut: 2. Pemakaian bahan bakar diharapkan tidak akan melebihi expected value dari pemakaian bahan bakar total. Jika dihubungkan dengan mean bahan bakar total, didapatkan persamaan sebagai berikut: 3. Sesuai dengan data, perusahaan menginginkan pemakaian bahan bakar minyak yang ideal adalah tidak akan melebihi pemakaian HSD maksimum pada persamaan 4.7, sehingga perumusannya dapat dituliskan menjadi: Sehingga, kendala tambahan pertama dan ketiga cukup ditulis sebagai satu persamaan, yaitu: 4. Dan yang terakhir adalah kondisi taknegatif dari tiap-tiap variabel. 4.3 Formulasi Model dengan SGP Sesuai Ballestero (2001), pemodelan SGP didapat dari proses pereduksian masalah stokastik ke dalam bentuk kuadratik dengan kendala-kendala yang linear. Setelah pendefinisian fungsi tujuan dan perumusan fungsi kendala selesai, dilakukan formulasi model menggunakan SGP, yang diawali dengan langkah-langkah sebagai berikut Menentukan Bobot Bobot yang digunakan dihitung menggunakan koefisien ARA. Karena pemakaian bahan bakar gas lebih diutamakan daripada pemakaian bahan bakar minyak HSD, perhitungan ARA pada Tugas Akhir ini dilihat dari perspektif pemakaian bahan bakar gas ( ). Sehingga, berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5, perhitungan koefisien ARA untuk masing-masing fungsi tujuan adalah sebagai berikut: 1. Fungsi tujuan pertama: 2. Fungsi tujuan kedua: 3. Fungsi tujuan ketiga: Pembobotan kedua didapatkan dari preferensi pembuat keputusan. Karena ketiga fungsi tujuan tersebut saling mempengaruhi, maka ketiganya memiliki kedudukan yang sama. Saat biaya produksi diminimumkan, dalam waktu yang bersamaan keuntungan juga harus dimaksimumkan, 7

8 atau saat keuntungan dimaksimumkan, pemenuhan pemintaan beban konsumen juga harus tetap dimaksimumkan dalam waktu yang bersamaan. Oleh karena itu, berdasarkan analisa tersebut, ketiga fungsi tujuan mendapatkan preferensi yang seimbang dari pembuat keputusan, yaitu: Dari persamaan 2.9 diketahui bahwa, sehingga untuk masing-masing fungsi tujuan bisa dilakukan perhitungan bobot gabungan sebagai berikut.. Dari masing-masing matriks kovarians dan pembobotan yang telah didapatkan, dapat dihitung matriks variabilitas dengan menggunakan persamaan 2.11, yaitu: Memformulasikan Model Mean-Varians Setelah pengolahan data selesai, fungsi tujuan dan kendala yang telah dirumuskan dimasukkan ke dalam formulasi stochastic goal programming (SGP) guna mendapatkan penyelesaian yang paling mendekati optimum dari fungsi-fungsi tujuan yang telah didefinisikan. Sesuai dengan persamaan 2.8, dilakukan minimasasi pada Menghitung Matriks Kovarians Hal selanjutnya yang perlu dilakukan pada pemodelan kali ini adalah menghitung matriks kovarians dari masing-masing fungsi tujuan kemenggunakan persamaan 2.10, dengan posisi dan mewakili posisi bahan bakar dalam matriks kovarians. 1. Matriks kovarians Dari data random, dilakukan perhitungan kovarians sesuai dengan persamaan Sehingga, sesuai persamaan 2.11 didapatkan: 2. Matriks kovarians Dari data random, dilakukan perhitungan kovarians sesuai dengan persamaan Sehingga, sesuai persamaan 2.12 didapatkan: 3. Matriks kovarians Dari data random, dilakukan perhitungan kovarians sesuai dengan persamaan Sehingga, sesuai persamaan 2.13 didapatkan: Sehingga formulasi SGP dari pemakaian bahan bakar di PLTGU adalah: dengan kendala (dalam Rupiah) (dalam KWh) (dalam Rupiah) 4.2 Penyelesaian Masalah dengan Matlab Karena fungsi tujuan dari formulasi SGP yang telah didapatkan berbentuk kuadrat, persamaan tersebut harus diubah ke matriks Hessian agar dapat diselesaikan dengan salah satu fitur dalam Matlab, quadprog. Persamaan 4.11 dapat dituliskan sebagai berikut: (4.12) Persamaan 4.12 dapat dituliskan sebagai notasi matriks seperti pada persamaan Sehingga, jika dihubungkan dengan persamaan 2.16, bentuknya berubah menjadi: 8

9 Tabel 4.5 Perbandingan target/batasan dan hasil dengan Fungsi Target/Batasan Hasil adalah matriks Hessian dari, dan mewakili bentuk linear dari Analisa Hasil Pemodelan SGP yang telah didapatkan dihitung dengan menggunkan Matlab dan hasilnya adalah sebagai berikut: Pemakain Bahan Bakar Total Pemakaian Bahan Bakar Minyak Pertama Kedua Ketiga 53,808,874,200 43,736,000,000 29,332,512,000 11,488,000,000 13,110,896,600 10,898,090,600 25,341,600 25,341,700 8,362,716,700 42,501,967,000 (dalam Kcal) (dalam Kcal) Dengan kata lain, komposisi bahan bakar ideal yang diperlukan untuk proses produksi listrik di PLTGU adalah sebesar 11,488,000,000 Kcal untuk minyak HSD dan sebesar 32,248,000,000 Kcal untuk gas. Selanjutnya, masing-masing variabel keputusan yang telah didapatkan dimasukkan ke dalam fungsi-fungsi tujuan dan kendala yang ingin dioptimumkan. 1. pemakaian bahan bakar total Pemakaian BB total (dalam Kcal) 2. tujuan pertama: Biaya produksi (dalam Rupiah) 3. tujuan kedua: Pemenuhan beban (dalam KWh) 4. tujuan ketiga: Keuntungan (dalam Rupiah) Perbandingan antara hasil yang diperoleh menggunakan perhitungan SGP dengan target dan batasan yang ingin dipenuhi dapat dilihat pada Tabel 4.5. V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari hasil perhitungan yang telah didapatkan pada Bab 4, bisa diambil beberapa kesimpulan, di antaranya: 1. Pemodelan SGP untuk permasalahan bahan bakar adalah sebagai berikut: dengan kendala (dalam Rupiah) (dalam KWh) (dalam Rupiah) Dari model tersebut didapatkan perhitungan sebagai berikut: 1. pemakaian bahan bakar Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai sebesar 10,072,874,200 (dalam Kcal). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan 9

10 SGP telah menghasilkan penghematan bahan bakar total sebesar 18.72%. 2. pemakaian bahan bakar minyak Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai sebesar 17,844,512,000 (dalam Kcal). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan penghematan bahan bakar minyak sebesar 60.84%. 3. tujuan pertama Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai sebesar 2,212,806,000 (dalam Rupiah). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan penurunan biaya produksi sebesar 16.88%. 4. tujuan kedua Pada Tabel 4.6, dapat diketahui selisih nilai yang sangat kecil, yaitu hanya sebesar 100 (dalam KWh). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah memenuhi permintaan beban konsumen secara opti-mum, yaitu sebesar %. 5. tujuan ketiga Pada Tabel 4.6, dapat diketahui selisih nilai sebesar 34,139,250,300 (dalam Rupiah). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan peningkatan keuntungan sebesar %. Secara umum, pemodelan SGP yang dilakukan berjalan dengan baik karena telah mampu memenuhi target dan batasan dari semua fungsi kendala. 5.2 Saran Saran-saran yang ingin disampaikan penulis, diantaranya: 1. Pada pemodelan ini, hanya digunakan tiga fungsi tujuan dengan beberapa kendala tambahan. Dengan melakukan analisa lebih dalam pada permasalah di PLTGU, diharapkan praktikan selanjutnya mampu mememukan faktorfaktor lain yang mempengaruhi proses produksi tersebut, sehingga pemodelan berjalan dengan lebih baik dan akurat. 2. Pada Tugas Akhir ini, hanya digunakan dua jenis pembobotan yaitu ARA dan preferensi dari pembuat keputusan. Sangat diharapkan praktikan berikutnya mampu mengaplikasikan pembobotan lain yang lebih akurat namun sederhana. DAFTAR PUSTAKA Bagian Bahan Bakar PLTGU Laporan Harian Pemakaian Bahan Bakar PLTGU. Gresik: PT PJB UP Gresik. Ballestero, E., Stochastic goal programming: A mean-variance approach. European Journal of Operational Research, 131, Ben Abdelaziz, F., Aoni, B. & El Fayedh, R., Multi-objective stochastic programming for portfolio selection. European Journal of Operational Research, 177, Binmore, K., & Davies, J., Calculus Concepts and Methods. Cambridge: Cambridge University Press. Bravo, M. & Gonzales, I., Applying stochastic goal programming: A case study on water use planning. European Journal of Operational Research, 196, Higham, N. J., Computing the nearest correlation matrix a problem from finance. IMA Journal of Numerical Analysis, 22, Munoz, M. M. & Ruiz, F., ITSMO: An interval reference point-based method for stochastic multiobjective programming problems. European Journal of Operational Research, 197, Permana, N., Ramadhani, D. P. E. & Prasetyo, E., Sistem pengaman elektris pada generator PLTGU PT PJB Unit Pembangkitan Gresik (Kerja Praktik). Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Levy, H., Stochastic Dominance: Investment Decision Making under Uncertainty. New York: Springer. Russell, S. & Norvig, P., Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Chapter Diakses dari tanggal 29 Mei Sari, N. E., Optimasi penggunaan bahan bakar unit PLTGU dengan menggunakan metode fuzzy goal programming (Tugas Akhir). Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. 10