Optimasi Multi-Objective pada Pemilihan Portofolio dengan Metode Nadir Compromise Programming

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (13) ( X Print) 1 Optimasi Multi-Objective pada Pemilihan Portofolio dengan Metode Nadir Compromise Programming Ema Rahmawati dan Subchan. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya s.subchan@gmail.com Abstrak Portofolio saham merupakan kumpulan aset yang dimiliki oleh perusahaan maupun perseorangan. Agar tujuan dalam berinvestasi tercapai maka dalam mengelola portofolio saham diperlukan manajemen portofolio. Sedangkan portofolio yang optimal dibentuk dari beberapa kriteria yaitu optimasi resiko, memaksimalkan expected return dan meminimalkan modal investasi. Dalam tugas akhir ini permasalahan optimasi multi-objective diselesaikan dengan menggunakan metode Nadir Compromise Programming. Pada penelitian dianalisis saham yang bergerak pada 5 sektor periode Januari 09 hingga Maret 13. Dari hasil optimasi dihasilkan 11 saham terpilih dengan nilai expected return yang maksimal dengan modal investasi sebesar 78,66. Berdasar Indeks Harga Gabungan (IHSG) diperoleh expected return portofolio yang nilainya lebih besar daripada expected return pasar. Kata Kunci Compromise Programming, multi objective programming, Nadir Compromise Programming, portofolio saham. I. PENDAHULUAN set finansial yang paling menguntungkan dan menjadi Aprimadona di kalangan investor saat ini adalah saham. merupakan salah satu aset finansial yang diperdagangkan di pasar modal. Investasi pada sektor ini menawarkan tingkat keuntungan yang tinggi dibandingkan dengan investasi di sektor aset real, seperti pembelian aset produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan dan lainnya. Namun dalam berinvestasi semakin tinggi tingkat return yang ditawarkan maka semakin tinggi pula tingkat resiko yang dihadapi investor. Sedangkan investor pada umumnya menginginkan return yang maksimal dengan resiko yang minimal, sehingga sebelum menanamkan modalnya investor harus melakukan penelitian dan analisis agar tujuan dalam berinvestasi tercapai. Salah satu cara untuk meminimalkan resiko yaitu dengan melakukan diversifikasi atau penyebaran investasi dengan membentuk portofolio yang terdiri dari beberapa saham. Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset, baik berupa aset finansial maupun aset real yang dimiliki oleh investor [1]. Portofolio disusun untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, sehingga dalam permasalahan optimasi portofolio terdapat fungsi tujuan yang dipertimbangkan investor yaitu memaksimalkan tingkat pengembalian yang diharapkan dan meminimalkan resiko [2]. Teori portofolio modern yang dicetuskan oleh Harry Markowitz (1952), dimana Markowitz memandang pemilihan portofolio sebagai model optimasi yang dikenal dengan model mean-variance dengan melibatkan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return dan meminimumkan resiko [3]. Dalam permasalahan pemilihan portofolio dianalisa bagaimana mengalokasikan modal agar memperoleh keuntungan maksimal dengan resiko yang minimal. Pada penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Putri Ciptaningrum (10) membahas tentang pemilihan portofolio dengan masalah optimasi dengan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return dan meminimalkan resiko dengan menggunakan metode Compromise Programming sehingga didapatkan lima portofolio yang efisien. Pada tugas akhir ini digunakan Nadir Compromise Programming dalam menyelesaikan permasalahan multi-objective pada model optimasi portofolio. Nadir Compromise Programming adalah metode pengembangan dari metode Compromise Programming yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan permasalahan multi-objective, sehingga dapat menentukan portofolio yang optimal dari kumpulan saham. II. METODE PENELITIAN A. Pengumpulan Data Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari Data yang digunakan meliputi data opening price, closing price dan data Indeks Harga Gabungan (IHSG) mulai bulan Januari 09 sampai bulan Maret 13. Data yang digunakan adalah data saham dari perusahaan yang mempunyai data (opening price dan closing price). Perusahaan-perusahaan tersebut dibedakan menjadi lima sektor, yaitu sektor energi dan metal, finansial, jasa, manufaktur dan perkebunan. B. Menghitung Return dan Expected Return Individual Dari hasil perhitungan return, dapat diketahui suatu saham untung atau rugi pada periode tertentu. Setelah diketahui return saham pada masing-masing periode maka dapat dihitung expected return dari suatu saham. C. Menghitung Koefisien Resiko Masing-masing Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan return history asset dengan return pasar menggunakan teknik statistika untuk menghitung kovarian masing-masing saham.

2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (13) ( X Print) 2 D. Merancang Model Optimasi Portofolio Pada tahap ini akan dirancang sebuah model optimasi portofolio. Dalam pembentukan portofolio, investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan resiko dan dana yang minimal. Oleh karena itu fungsi tujuan dari model optimasi portofolio terdiri dari 3 aspek, yaitu resiko, expected return dan modal investasi. Sedangkan fungsi kendala untuk model optimasi portofolio ini adalah koefisien resiko, jumlah proporsi dana yang diinvestasikan, serta batas atas dan batas bawah dana yang diinvestasikan E. Menentukan Proporsi Dana Pada tahap sebelumnya, didapatkan model optimasi pada portofolio adalah multi-objective. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut maka pada tahap ini digunakan Nadir Compromise Programming. Pada tahap ini juga didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham dengan Nadir Compromise Programming. Dengan didapatkan proporsi dana masing-masing saham pada lima sektor, maka didapatkan portofolio yang optimal. III. PENGOLAHAN DATA A. Perhitungan Return dan Expected Return Hasil dari investasi berdasar return yang diperoleh dalam periode waktu tertentu, sedangkan data yang dibahas pada penelitian ini adalah harga saham mulai dari bulan Januari 09 sampai dengan Maret 13. Pengembalian itu sama dengan perubahan nilai saham dalam kurun waktu tertentu dibagi dengan nilai awal saham. Tabel 3.1 Nilai Expected Return Masing-Masing EE(RR) EE(RR) ANTM 0, TLKM 0, ITMG 0, HEXA 0, PGAS 0, AKRA 0, INCO 0, INDF 0, PTBA 0, KLBF 0, BBRI 0, MYOR 0, BBNI 0, UNVR 0, BMRI 0, ASII 0, BBCA 0, LSIP 0, UNTR 0, AALI 0,0352 Tabel 3.1 merupakan hasil yang diperoleh dari perhitungan nilai expected return dari masing-masing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan : EE(RR ii ) = EE RR jj jj =1 (1) B. Perhitungan Koefisien Resiko Sebelum menghitung koefisien resiko masing-masing saham, terlebih dahulu dihitung return pasar atau tingkat pengembalian pasar. Return pasar diwakili oleh Indeks Harga Gabungan (IHSG). Sedangkan koefisien resiko didapatkan dengan membandingkan kovarian saham-return pasar dengan varian return pasar. Tabel 3.2 Nilai Kovarian -Return Pasar CCCCCC(RR ii RR mm ) CCCCCC(RR ii RR mm ) ANTM TLKM ITMG HEXA PGAS AKRA INCO INDF PTBA KLBF BBRI MYOR BBNI UNVR BMRI ASII BBCA LSIP UNTR AALI Tabel 3.2 merupakan hasil yang diperoleh dari perhitungan nilai kovarian saham-return pasar dari masing-masing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan : RR jj EE(RR ii ) RR mmmm EE(RR mm ) CCCCCC RR ii RR mm = jj =1 (2) Sedangkan untuk menghitung varian pasar menggunakan persamaan : RR mmmm EE(RR mm ) 2 σσ 2 mm = jj =1 (3) Sehingga dari persamaan (3) didapatkan nilai varian pasar adalah Setelah diketahui nilai varian return pasar dan kovarian antara masing-masing saham dengan return pasar, maka dapat dihitung koefisien resiko masing-masing saham. Tabel 3.3 Nilai Koefisien Resiko Beta (ββ) Beta (ββ) ANTM TLKM ITMG HEXA PGAS AKRA INCO INDF PTBA KLBF BBRI MYOR BBNI UNVR BMRI ASII BBCA LSIP UNTR AALI Tabel 3.3 merupakan hasil nilai koefisien resiko masingmasing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan : ββ ii = CCCCCC RR ii RR mm σσ 2 (4) mm

3 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (13) ( X Print) 3 IV. MODEL OPTIMASI PORTOFOLIO A. Perumusan Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Model optimasi portofolio terdiri dari tiga aspek yaitu resiko, expected return dan modal investasi. Sedangkan variabel keputusannya adalah mendapatkan proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham dalam portofolio tersebut.. Pendefinisian variabel keputusannya adalah sebagai berikut : xx 1 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PT. Aneka Tambang xx 2 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PT. Indo Tambangraya Megah Tbk xx 3 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Perusahaan Gas Negara xx 4 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Vale Indonesia Tbk xx 5 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Tambang Batubara Bukit Asam xx 6 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Rakyat Indonesia xx 7 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Negara Indonesia : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank xx 8 xx 9 Mandiri Tbk : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Central Asia Tbk xx 10 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham United Tractors Tbk xx 11 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Telekomunikasi Indonesia xx 12 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Hexindo Adiperkasa Tbk xx 13 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham AKR Corporindo Tbk xx 14 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Indofood Sukses Makmur Tbk xx 15 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Kalbe Farma Tbk xx 16 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Mayora Indah Tbk xx 17 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Unilever Indonesia Tbk xx 18 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Astra International Tbk xx 19 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PP London Sumatra Indonesia Tbk xx : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Astra Agro Lestari Tbk 1. Perumusan fungsi tujuan Penentuan fungsi tujuan portofolio mempertimbangkan tiga aspek yaitu expected return, resiko dan modal investasi yang dirumuskan sebagai berikut : a. Fungsi tujuan optimum resiko Opt ff 1 = ii=1 ββ ii xx ii (5) b. Fungsi tujuan maksimasi expected return Maks ff 2 = EE(RR ii ) xx ii ii=1 (6) c. Fungsi tujuan minimasi modal investasi Min ff 3 = PP ii xx ii ii=1 (7) 2. Perumusan fungsi kendala Dalam memenuhi tujuan optimasi portofolio tersebut ada beberapa kendala, antara lain : a. Fungsi kendala jumlah dana yang diinvestasikan. ii=1 (8) xx ii = 1 b. Fungsi kendala jumlah dana masing-masing sektor. xx 19 + xx = 0.2 (9) c. Fungsi kendala batas bawah dan batas atas dana yang diinvestasikan. 0 xx ii 0,1, untuk ii = 1, 2, 3,, (10) B. Nadir Compromise Programming Sebelum merumuskan kedalam fungsi tujuan Nadir Compromise Programming, maka terlebih dahulu dicari nilai Nadir dari fungsi tujuan maksimum dan minimum, dengan cara mengoptimasi masing-masing fungsi tujuan dengan fungsi kendala yang ada. 1. Nilai ideal dan nadir expected return portofolio Untuk portofolio yang terdiri dari saham, nilai ideal expected return dapat dirumuskan sebagai berikut : Maks xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 19 + xx = xx ii ii = 1,2,3, Dengan ff 2 adalah nilai ideal expected return pada saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ff 2 = Dalam permasalahan multi-objective, nilai Nadir adalah nilai yang berlawanan dengan nilai ideal dan didapatkan dari nilai solusi yang terburuk. Sehingga perhitungan untuk nilai Nadir maksimasi expected return sebagai berikut : Min xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx

4 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (13) ( X Print) 4 xx 19 + xx = xx ii ii = 1,2,3, Dengan ff 2 adalah nilai Nadir expected return pada saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ff 2 = Nilai ideal dan nadir modal investasi Untuk portofolio yang terdiri dari saham, nilai ideal modal investasi dapat dirumuskan sebagai berikut : Min 1370 xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 19 + xx = xx ii ii = 1,2,3, Dengan ff 3 adalah nilai ideal minimasi modal investasi pada saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ff 3 = 5726,5. Sedangkan closing price pada saham disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Closing Price Closing Price Closing Price ANTM 1370 TLKM ITMG HEXA 5600 PGAS 5950 AKRA 5000 INCO 2375 INDF 7450 PTBA KLBF 1240 BBRI 8750 MYOR BBNI 5050 UNVR BMRI ASII 7900 BBCA LSIP 1930 UNTR 180 AALI Sedangkan perhitungan untuk nilai Nadir minimasi dana sebagai berikut : Maks 1370 xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 19 + xx = xx ii ii = 1,2,3, Dengan ff 3 adalah nilai Nadir minimasi modal investasi pada saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ff 3 = Perumusan fungsi tujuan Nadir Compromise Programming Untuk memperoleh suatu solusi kompromis dari ketiga fungsi tujuan adalah dengan menggunakan Nadir Compromise Programming. Perhitungan pada fungsi tujuan Nadir Compromise Programming ini menganggap semua fungsi tujuan mempunyai bobot ww yang sama dan nilai dari pp adalah sama dengan satu. Dengan asumsi pp = 1 dan bobot masing-masing untuk ww 1 = 1/3 (resiko), ww 2 = 1/3 (expected return) dan ww 3 =1/3 (modal investasi). Sehingga model fungsi tujuan Nadir Compromise Programming dapat diformulasikan sebagai berikut [4] : Min [ww 1 (δδ δδ 1 ) + ww 2 ( δδ + 2 ) + ww 3 ( δδ 3 ) ] (11) ff 1 δδ + 1 = 1 ff 1 + δδ 1 = 1 ff 2 δδ + 2 = ff 2 ff 3 + δδ 3 = ff 3 xx 19 + xx = xx ii ii = 1,2,3, δδ ; δδ 1 0 ; δδ ; δδ 3 0 Dengan, WW kk : bobot preferensi tujuan ke-k + δδ kk : variabel deviasi positif ke-k δδ kk : variabel deviasi negatif ke-k ff kk : fungsi tujuan ke-k ff kk : fungsi tujuan ke-k berdasarkan nilai Nadir : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ii xx ii 4. Perhitungan proporsi dana Perhitungan proporsi dana untuk masing-masing saham dapat dirumuskan sebagai berikut : Min [0.333 (δδ δδ 1 ) ( δδ 2 + ) ( δδ3 ) xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx δδ 1 + = xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 19 +

5 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (13) ( X Print) xx + δδ 1 = 1 0,011317xx 1 + 0, xx 2 + 0, xx 3 + 0, xx 4 +0, xx 5 + 0, xx 6 + 0, xx 7 + 0, xx 8 + 0, xx 9 + 0, xx , xx , xx , xx , xx , xx , xx 16 +0, xx , xx , xx 19 +0,0352 xx δδ + 2 = xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x xx xx xx xx xx xx + δδ + 3 = xx 19 + xx = xx ii ii = 1,2,3, δδ ; δδ 1 0 ; δδ ; δδ 3 0 Dengan menyelesaikan model Nadir Compromise Programming tersebut, maka didapatkan nilai deviasi masing-masing fungsi tujuan, yaitu δδ + 1 = δδ 1 = 0, δδ + 2 = dan δδ 3 = Selain itu didapatkan juga proporsi dana yang diinvestasikan pada saham-saham yang terpilih. Hasil propoporsi dana disajikan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2. Proporsi Dana Proporsi Proporsi xx jj xx Dana jj Dana xx 1 xx 11 xx 2 0 xx 12 xx 3 xx 13 0 xx 4 0 xx xx 5 0 xx 15 xx 6 0 xx 16 0 xx 7 xx xx 8 0 xx 18 0 xx 9 xx 19 xx 10 0 xx Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka portofolio optimal terbentuk dari 11 saham, yaitu : a. Sektor Energi dan Metal 1. Aneka Tambang (ANTM), proporsi dana sebesar 2. Perusahaan Gas Negara (PGAS), proporsi dana sebesar b. Sektor Finansial 1. Bank Negara Indonesia (BBNI), proporsi dana sebesar 2. Bank Central Asia Tbk (BBCA), proporsi dana sebesar c. Sektor Jasa 1. Telekomunikasi Indonesia (TLKM), proporsi dana sebesar 2. Hexindo Adiperkasa (HEXA), proporsi dana sebesar d. Sektor Manufaktur 1. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF), proporsi dana sebesar Kalbe Farma Tbk (KLBF), proporsi dana sebesar 3. Unilever Indonesia Tbk (UNVR), proporsi dana sebesar e. Sektor Perkebunan 1. PP London Sumatra Indonesia Tbk (LSIP), proporsi dana sebesar 2. Astra Agro Lestari Tbk (AALI), proporsi dana sebesar Dari hasil proporsi dana saham-saham yang terpilih untuk membentuk suatu portofolio yang optimal, maka dapat dihitung nilai ff 1, ff 2 dan ff 3. ff 1 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +( ) ff 1 = 1 ff 2 = ( xx ) + ( xx ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ff 2 = ff 3 = (1370 ) + (5950 ) + (5050 ) + (11400 ) + (11000 ) + (5600 ) + ( ) + (1240 ) + ( ) + (1930 ) + (18500 ) ff 3 = Dari perhitungan tersebut, maka nilai expected return portofolio optimal adalah Nilai resiko pada portofolio optimal adalah sama dengan satu. Sedangkan modal yang diinvestasikan adalah V. KESIMPULAN Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Model optimasi multi-objective portofolio adalah sebagai berikut : Opt ff 1 = ii=1 ββ ii xx ii Maks ff 2 = ii=1 EE(RR ii ) xx ii Min ff 3 = ii=1 PP ii xx ii ii=1 xx ii = 1 xx 19 + xx = 0.2

6 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (13) ( X Print) 6 0 xx ii 0,1, untuk ii = 1, 2, 3,, 2. Berdasarkan hasil optimasi dari saham yang dijadikan objek penelitian, maka diperoleh 11 saham terpilih untuk membentuk suatu portofolio yang optimal. -saham tersebut adalah sebagai berikut : a. Aneka Tambang (ANTM), proporsi dana sebesar b. Perusahaan Gas Negara (PGAS), proporsi dana sebesar c. Bank Negara Indonesia (BBNI), proporsi dana sebesar d. Bank Central Asia Tbk (BBCA), proporsi dana sebesar e. Telekomunikasi Indonesia (TLKM), proporsi dana sebesar f. Hexindo Adiperkasa (HEXA), proporsi dana sebesar g. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF), proporsi dana sebesar h. Kalbe Farma Tbk (KLBF), proporsi dana sebesar i. Unilever Indonesia Tbk (UNVR), proporsi dana sebesar j. PP London Sumatra Indonesia Tbk (LSIP), proporsi dana sebesar k. Astra Agro Lestari Tbk (AALI), proporsi dana sebesar 3. Dengan menyelesaikan permasalahan optimasi multi-objective menggunakan metode Nadir Compromise Programing diperoleh nilai resiko portofolio adalah satu, expected return portofolio adalah dan modal investasi adalah DAFTAR PUSTAKA [1] Halim, A. 03. Analisis Investasi. Jakarta: Salemba Empat. [2] Ciptaningrum, P. 06. Compromise Programming Untuk Pemilihan Portofolio. Tugas Akhir, Matematika. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [3] Markowitz, H Portfolio Selection.Journal of Finance [4] Amiri, M., Ekhtiari, M dan Yazdani, M. 11. Nadir compromise programming : A model for optimization of multi-objective portfolio problem. Expert Systems with Applications