KATA PENGANTAR. Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat bagi penyusun sendiri khususnya, dan bagi para pembaca yang budiman umumnya

Transkripsi

1 i

2 ii

3 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat dan karunia-nya,sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini dengan lancar, serta dapat menyelesaikan modul tepat pada waktu yang telah di tentukan. Penyusun menyadari bahwa terlaksananya ini berkat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami ucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada Ibu Dian selaku dosen mata kuliah bahan ajar matematika yang telah membantu dan membimbing kami dalam pembuatan modul ini dan teman teman yang telah mendorong kami untuk menyelesaikan modul ini. Penyusun sangat memahami bahwa apa yang telah di dapatkan selama pembuatan modul belumlah seberapa. Penyusun menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penyusun harapkan demi kesempurnaan modul ini. Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat bagi penyusun sendiri khususnya, dan bagi para pembaca yang budiman umumnya Tulungagung, Desember 2015 Tim Penyusun iii

4 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI iii iv PM 1 BILANGAN BULAT 2 Pendahuluan 2 Kegiatan Belajar 1 Menemukan Konsep Bilangan 4 Tes Formatif 6 Kunci Jawaban Tes Formatif 6 Rangkuman 7 Latihan 7 Kegiatan Belajar 2 Operasi Bilangan Bulat 9 Tes Formatif 17 Kunci Jawaban Tes Formatif 17 Rangkuman 18 Latihan 19 Kegiatan Belajar 3 FPB Dan KPK 20 Tes Formatif 27 Kunci Jawaban Tes Formatif 27 Rangkuman 28 Latihan 28 Kegiatan Belajar 4 Perpangkatan Bilangan Bulat 29 Tes Formatif 33 Kunci Jawaban Tes Formatif 34 Rangkuman 34 Latihan 35 Kegiatan Belajar 5 Pola Bilangan Bulat 36 Tes Formatif 43 iv

5 Kunci Jawaban Tes Formatif 44 Rangkuman 45 Latihan 45 Kegiatan Belajar 6 Menemukan konsep bilangan Pecahan 46 Tes Formatif 50 Kunci Jawaban Tes Formatif 50 Rangkuman 51 Latihan 51 Kegiatan Belajar 7 Bilangan Rasional 52 Tes Formatif 53 Kunci Jawaban Tes Formatif 53 Rangkuman 54 Latihan 54 SOAL EVALUASI MPM 1 55 MPM 2 BENTUK ALJABAR 58 Pendahuluan 58 Kegiatan Belajar 1 Mengenal Bentuk Aljabar 60 Tes Formatif 62 Kunci Jawaban Tes Formatif 62 Rangkuman 63 Latihan 63 Kegiatan Belajar 2 Mengenal Suku Pada Bentuk Aljabar 64 Tes Formatif 65 Kunci Jawaban Tes Formatif 65 Rangkuman 66 Latihan 66 Kegiatan Belajar 3 Operasi Hitung Pada Aljabar 67 Tes Formatif 68 v

6 Kunci Jawaban Tes Formatif 69 Rangkuman 69 Latihan 70 Kegiatan Belajar 4 Perkalian Bentuk Aljabar 71 Tes Formatif 75 Kunci Jawaban Tes Formatif 76 Rangkuman 77 Latihan 78 Kegiatan Belajar 5 Pembagian Bentuk Aljabar 79 Tes Formatif 80 Kunci Jawaban Tes Formatif 80 Rangkuman 82 Latihan 82 Kegiatan Belajar 6 Memahami Cara Menyederhanakan Aljabar 83 Tes Formatif 86 Kunci Jawaban Tes Formatif 86 Rangkuman 88 Latihan 89 SOAL EVALUASI MPM 2 90 MPM 3 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL 93 Pendahuluan 93 Kegiatan Belajar 1 Bentuk Aljabar 95 Tes Formatif 97 Kunci Jawaban Tes Formatif 97 Rangkuman 98 Latihan 98 Kegiatan Belajar 2 Operasi Bentuk Aljabar 100 Tes Formatif 103 vi

7 Kunci Jawaban Tes Formatif 104 Rangkuman 104 Latihan 104 Kegiatan Belajar 3 Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel 106 Tes Formatif 108 Kunci Jawaban Tes Formatif 109 Rangkuman 110 Latihan 110 Kegiatan Belajar 4 Menyelesaikan Persamaan Linear satu Variabel 112 Tes Formatif 114 Kunci Jawaban Tes Formatif 114 Rangkuman 115 Latihan 116 Kegiatan Belajar 5 Masalah Nyata Yang Berkaitan Dengan Persamaan Linear Satu Variabel 117 Tes Formatif 118 Kunci Jawaban Tes Formatif 119 Rangkuman 120 Latihan 120 Kegiatan Belajar 6 Masalah Nyata Yang Berkaitan Dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 122 Tes Formatif 123 Kunci Jawaban Tes Formatif 123 Rangkuman 124 Latihan 124 SOAL EVALUASI MPM MPM 4 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL 129 Pendahuluan 129 Kegiatan Belajar 1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 131 vii

8 Tes Formatif 132 Kunci Jawaban Tes Formatif 132 Rangkuman 132 Latihan 133 Kegiatan Belajar 2 Menentukan Penyelesaian SPLDV 134 Tes Formatif 138 Kunci Jawaban Tes Formatif 138 Rangkuman 142 Latihan 142 Kegiatan Belajar 3 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 144 Tes Formatif 148 Kunci Jawaban Tes Formatif 148 Rangkuman 149 Latihan 149 Kegiatan Belajar 4 Mencari Daerah Penyelesaian Dari SPLDV 150 Tes Formatif 151 Kunci Jawaban Tes Formatif 152 Rangkuman 153 Latihan 153 SOAL EVALUASI MPM MPM 5 HIMPUNAN 156 Pendahuluan 156 Kegiatan Belajar 1 Konsep Himpunan Dan Notasinya 158 Tes Formatif 159 Kunci Jawaban Tes Formatif 162 Rangkuman 164 Latihan 165 Kegiatan Belajar 2 Penyajian Himpunan 167 viii

9 Tes Formatif 169 Kunci Jawaban Tes Formatif 170 Rangkuman 172 Latihan 172 Kegiatan Belajar 3 Himpunan Kosong, Himpunan Nol, Himpunan Semesta 174 Tes Formatif 176 Kunci Jawaban Tes Formatif 176 Rangkuman 177 Latihan 178 Kegiatan Belajar 4 Diagram Venn 179 Tes Formatif 182 Kunci Jawaban Tes Formatif 184 Rangkuman 187 Latihan 187 Kegiatan Belajar 5 Himpunan Bagian 189 Tes Formatif 193 Kunci Jawaban Tes Formatif 194 Rangkuman 195 Latihan 195 Kegiatan Belajar 6 Himpunan Antar Himpunan 196 Tes Formatif 198 Kunci Jawaban Tes Formatif 198 Rangkuman 199 Latihan 199 Kegiatan Belajar 7 Operasi Himpunan 201 Tes Formatif 211 Kunci Jawaban Tes Formatif 211 Rangkuman 212 Latihan 214 ix

10 Kegiatan Belajar 8 Menyelesaikan Masalah Menggunakan Konsep Himpunan 215 Tes Formatif 216 Kunci Jawaban Tes Formatif 216 Rangkuman 217 Latihan 217 SOAL EVALUASI MPM MPM 6 ARITMATIKA 224 Pendahuluan 224 Kegiatan Belajar 1 Harga, Laba, Dan Rugi 226 Tes Formatif 227 Kunci Jawaban Tes Formatif 227 Rangkuman 228 Latihan 228 Kegiatan Belajar 2 Rabat, Pajak, Bruto, Tara, Dan Netto 230 Tes Formatif 233 Kunci Jawaban Tes Formatif 233 Rangkuman 235 Latihan 236 SOAL EVALUASI MPMP MPM 7 PERBANDINGAN 240 Pendahuluan 240 Kegiatan Belajar 1 Menentukan Perbandingan 242 Tes Formatif 244 Kunci Jawaban Tes Formatif 245 Rangkuman 246 Latihan 247 Kegiatan Belajar 2 Jenis-Jenis Perbaningan 248 x

11 Tes Formatif 254 Kunci Jawaban Tes Formatif 254 Rangkuman 256 Latihan 256 Kegiatan Belajar 3 Skala 258 Tes Formatif 260 Kunci Jawaban Tes Formatif 261 Rangkuman 263 Latihan 263 SOAL EVALUASI MPM MPM 8 PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR 271 Pendahuluan 271 Kegiatan Belajar 1 Bilangan Berpangkat 273 Tes Formatif 274 Kunci Jawaban Tes Formatif 275 Rangkuman 275 Latihan 276 Kegiatan Belajar 2 Perkalian Pada Perpangkatan 277 Tes Formatif 279 Kunci Jawaban Tes Formatif 280 Rangkuman 280 Latihan 280 Kegiatan Belajar 3 Membagi Dua Bentuk Perpangkatan 282 Tes Formatif 283 Kunci Jawaban Tes Formatif 283 Rangkuman 283 Latihan 284 Kegiatan Belajar 4 Pembagian Dalam Perpangkatan 285 xi

12 Tes Formatif 286 Kunci Jawaban Tes Formatif 286 Rangkuman 287 Latihan 287 Kegiatan Belajar 5 Notasi Ilmiah 288 Tes Formatif 289 Kunci Jawaban Tes Formatif 289 Rangkuman 290 Latihan 290 Kegiatan Belajar 6 Perpangkatan Bilangan Pecahan 291 Tes Formatif 294 Kunci Jawaban Tes Formatif 294 Rangkuman 295 Latihan 295 SOAL EVALUASI MPMP MPM 9 RELASI FUNGSI 299 Pendahuluan 299 Kegiatan Belajar 1 Pengertian Dan Penyajian Fungsi 301 Tes Formatif 304 Kunci Jawaban Tes Formatif 306 Rangkuman 307 Latihan 307 Kegiatan Belajar 2 Mencari Ciri-Ciri Fungsi 308 Tes Formatif 310 Kunci Jawaban Tes Formatif 311 Rangkuman 312 Latihan 312 Kegiatan Belajar 3 Penyajian Fungsi 313 xii

13 Tes Formatif 316 Kunci Jawaban Tes Formatif 316 Rangkuman 317 Latihan 318 SOAL EVALUASI MPM KUNCI JAWAN SOAL EVALUASI 321 DAFTAR PUSTAKA xiv xiii

14

15 Materi yang dibahas dalam modul pembelajaran matematika ini adalah tentang bilangan bulat dan operasinya serta pengajarannya pada siswa. Selanjutnya uraian materi yang akan dibahas dalam modul pembelajaran matematika ini adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, pola bilangan bulat, menentukan konsep bilangan pecahan (penjumlahan dan pengurangan pecahan, perkalian dan pembagian pecahan) dan bilangan rasional. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten, dan teliti, bertanggung jawab, responsi, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah. 2. Menunjukkan prilaku ini tahu dalam melakukan aktifitas di rumah, sekolah dan masyarakat sebagai wujud implementasi penyelidikan operasi bilangan bulat. 3. Membandingkan dan mengurutkan berbagai jenis bilangan serta menerapkan operasi hitung bilangan bulat dan bilangan pecahan dengan mamanfaatkan berbagai sifat operasi. 4. Menggunakan pola dan generalisasi untuk menyelesaikan masalah. 5. Memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perpangkatan bilangan bulat. 6. Memahami dan mengetahui jenis-jenispola bilangan bulat serta mampu menyelesaikan pola bilangan bulat. 7. Memahami konsep dan mampu menyelesaiakan permasalahan tentang bilangan pecahan juga yang berkaitan dengan operasi hitungnya. 8. Memahami bilangan rasional 2

16 Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 3

17 *Kegiatan Belajar 1 Pengertian Bilangan Bulat Kamu masih ingat dengan bilangan bulat bukan? Pada salah satu acara TV seorang pembawa acara mengajak kita untuk mengetahui suhu di beberapa kota. Alat yang biasa digunakan untuk mengukur suhu udara adalah thermometer.bilangan-bilangan yang terdapat pada thermometer terdiri atas bilangan bulat negative, nol, dan bilangan bulat positif. Suhu kota Surabaya 30 C, suhu kota Tokyo yang sedang mengelami musin dingin memiliki suhu menyntuh 0 C, sedangkan di kota Alaska yang mengalami musim dingin dengan cuaca yang ekstrim memiliki temperature dingin mencapi 25 C dibawah titik beku. Dari uraian data di atas dapat kita nyatakan sebagai berikut: Suhu kota Surabaya adalah 30 C Suhu kota Tokya adalah 0 C Suhu kota Alaska adalah -25 C Pada ketinggian 15 m dari permukaan laut, burung burung elang mengintai mangsanya (ikan) pada kedalaman 2 m dari permukaan air laut.pada saat ikan berada dikedalaman 1 m, elang laut itumelakukan gerak meluncur menyambar ikan menggunakan cakarnya. Dalam peristiwa tersebut ikan bergerak dari kedalaman 2 m ke 1 m, sedangka elang bergerak dari ketinggian 15 m ke kedalaman 1 m. Berapa meter turunya elang laut? Berapa m naiknya ikan?jawaban dari pertanyaan-pertanyaan itu dapat diperoleh dengan melakukan pengerjaan hitung bilangan bulat, seperti berikut ini. Bilangan bulat merupakan kumpulan dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negative Bilangan asli : 1, 2, 3, 4, Bilangan nol : 0 Bilangan negatif :, -3, -2, -1 Bilangan bulat dinotasikan dengan Z, Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Bilangan lain yang ada dalam bilangan bulat adalah: Bilangan cacah: C = {0, 1, 2, 3, } 4

18 1. Bilangan ganjil: J = {1, 3, 5, } 2. Bilangan genap: g = {2, 4, 6, } 3. Bilangan prima: {2, 3, 5, 7, } Himpunan bilang bulat ditulis: Z = {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } Pada garis bilangan Keterangan: Bilangan bulat negatif merupakan kelompok bilangan yang terletak disebelah kiri nol. 2. Pada garis bilangan mendatar, jika bilangan a terletak disebelah kiri b maka a kurang dari b, ditulis a < b atau b> a(dibaca b lebih besar dari a) 3. Untuk a < b maka: perubahan dari a ke b disebut perubahan naik sedangkan perubahan dari b ke a disebut turun. Membandingkan Dua Bilangan Bulat Dengan menggunakan garis bilangankita dapat membandingkan dua bilangan bulat Semakin Kecil Semakin Besar Garis bilangan menunjukkan: -5 < -3-1 < 0 2 > 1-1 > -3 Contoh Jika permukaan air laut dinyatakan dengan 0 meter, tulislah letak suatu tempat yang ditentukan sebagai berikut: a. 175 m di atas permukaan air laut b. 60 m di bawah permukaan air laut 5

19 Penyelesaian : a. 175 m di atas permukaan air laut = = 175 m b. 60 m di bawah permukaan air laut = 0 60 = 60 m 1. Jika menabung dinyatakan bilangan positif, maka mengambil tabungan dinyatakan bilangan negatif. Rudi menebung uang sebasar Rp ,00, pada suatu hari Rudi ingin membeli buku tulis seharga Rp.3.000,00. Berapa sisa tabungan Rudi? 2. Bagaimana menyatakan? a. Suhu 8 C di atas 0 C b. Suhu 2 C di bawah 0 C 3. Bagaimana menyatakan? a. Ketinggian 1500 m di atas permukan laut. b. Kedalaman 750 m di bawah permukaan laut. 4. Berilah tanda <, > atau = dari bilangan berikut: a c b d Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Menabung Rp10.000,00 = Mengambil Rp = Sisa tabungan Rudi = = Jadi sisa tabungan Rudi adalah Rp 7.000,00 2. a. Suhu 8 C di atas 0 C = = 8 C b. Suhu 2 C di bawah 0 C = 0 2 = -2 C 3. a. ketinggian 1500 m di atas permukaan air laut = = 1500 m b. kedalaman 750 m di bawah permukaan air laut = = -750 m 6

20 4. a. -3 < -2 b. -4 < 0 c. -28 < 28 d. -15 > -1 Bilangan bulat merupakan kumpulan dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negative.bilangan asli lebih besar dari bilangan nol, bilangan nol lebih besar dari bilangan negatif, dan bilangan positif lebih besar dari bilangan negatif. 1. Tulislah letak suatu posisi benda-benda berikut dengan bilangan bulat. a. Kapal selam berada 25 m di bawah permukaan air laut. Permukaan air laut sebagai titik 0. b. Pesawat terbang berada pada ketinggian m di atas permukaan air laut. Permukaan air laut sebagai titik Jika nilai siswa lebih dari 60, maka lulus ujian. Berapakah banyak siswa yang lulus dan tidak lulus ujian dari nilai 15 siswa berikut: 70, 65, 50, 40, 75, 80, 70, 75, 65, 55, 45, 50, 60, 55, Urutkan bilangan-bilangan di bawah ini dari yang terkecil. a. -5, 4, -2, 1, 6 b. 20, -21, -41, 11, -15 c. 59, -72, -60, 85, 91 d. -103, 141, -111, 124, Lengkapilah dengan lambang < atau > sehingga menjadi pernyataan yang benar a b

21 c d Misal letak benda di permukaan laut dinyatakan 0 m dan suhunya 0 C. nyatakan pernyataan berikutdalam (x, y) dengan x = letak benda dalam meter dan y = suhu dalam C. a. Suhu air laut pada kedalaman 100 m adalah 15 C. b. Suhu udara di atas permukaan laut setinggi m adalah 17 C 8

22 *Kegiatan Belajar 2 Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Penerapan operasi tambah dan kurang banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masaalah dalam kehidupan sehari-hari.pola bilangan sering memudahkan kita dalam menentukan hasil penjumlahan banyak bilangan, sebagai ilustrasi bagaimana Gauss menggunakan pola bilangan untuk mendapatkan jumlah 99 bilangan asli yang pertama. Perhatikan pola berpikir Gauss Tentukan nilai dari: Penyelesaian: ketika Gauss mendapatkan masalah penjumlahan seperti di atas, sementara teman-temannya berpikir menjumlahkan berurutan dia menggunakan pola pikir menjumlahkan 1 dan 99 didapat nilai 100,menjumlahkan 2 dan 98 didapat nilai 100 dan seterusnya sehingga dia mendapatkan 49 pasang bilangan berjumlah 100 dan tersisa satu bilangan 50. Jadi = 49 x = Penjumlahan dan sifat-sifatnya a. Beberapa cara menjumlahkan 1) Penjumlahan dengan mistar sederhana Misal : 2) Penjumlahan dengan bola bermuatan Bayangkan beberapa partikel listrik bermuatan positif dan negatif, positif merupakan lawan negatif, hal ini berarti satu muatan positif dan satu muatan negatif jika dicampur akan memperoleh bola tidak bermuatan atau nol (0) 9

23 Misal : Bagaimana menjumlahkan -2 dengan 1 atau =? 1. Wadah berisi 2 buah bola 2. Masukkan 1 bola 3. Bola tersebut bercampur denagan salah satu bola akan saling meniadakan (hilang tak bernilai) 4. Sisa 1 bola jadi = -1 b. Penjumlahan dengan garis bilangan Jika menggunakan garis bilangan, maka: 1) Bilangan positif sebagai pergeseran ke kaanan 2) Bilangan negatif sebagai pergeseran ke kiri Misal : =? = =? = = 2 10

24 c. Invers jumlah atau lawan suatu bilangan Lawan (invers jumlah) dan bilangan a adalah (-a) Lawan (invers jumlah) dan bilangan (-a) adalah a Misal : 2 lawannya -2-8 lawannya 8 d. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat 1) Sifat tertutup Artinya sembarang bilangan bulat jika dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat juga. Misal : 8 (bilangan bulat) + (-2) (bil.bulat) = 6 (bilangan bulat) 2) Sifat komutatif Artinya untuk sembarang bilangan bulat a dan b jika dijumlahkan hasilnya sama dengan penjumlahan bilangan bulat b dan a Misal : (-5) + 10 = 10 + (-5) 3) Sifat asosiatif a + b = b + a Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: Misal : (a + b) + c = a + (b + c) (4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7) = = 16 4) Penjumlahan dengan nol Nol (0) disebut unsure identitas penjumlahan, artinya untuk sembarang bilangan bulat a selalu berlaku: Misal : a + 0 = 0 + a = a = 9 (hasilnya sama dengan bilangan itu sendiri) 11

25 2. Pengurangan dan sifat-sifatnya a. Pengurangan dengan mistar sederhana Bagaiman mengurangkan 5 dengan 3 atau 5 3 =? Bilangan kedua Bagian atas digeser hingga angka 3 dibagian atas sejajar (berimpit) dengan angka 5 dibagian bawah (bagian diam). Angka dibagian bawah yang sejajar dengan nol di bagian atas merupakan hasilnya, aitu 2 b. Pengurangan dengan bola bermuatan Bagaimana mengurangkan bilangan bulat menggunakan bola bermuatan positif dan negatif? Misal : -3 2 =? Bayangkan di dalam kotak terdapat 3 bola dan 2 pasang bola (bermuatan nol) kemudian ambil 2 boah bola hasilnya 5 bola. c. Pengurangan dengan garis bilangan Bagaimana mengurangkan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan? Misal : 2 6 =? Geser ke kanan 2 satuan mulai dari nol, kemudian 6 satuan ke kiri mulai dari ujung pergeseran tadi. 12

26 d. Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat 1) Mengurangi p dengan q sama artinya dengan menambah p dengan lawan dari q.p q = p + (-q) Misal : 1 2 = 1 + (-2) = = 2 + (-1) = = 1 + (-3) = -2 Contoh Harga 1 kg rambutan di pasar Ngemplak 2 bulan yang lalu Rp ,00, karena musim buah rambutan pada saat ini maka harga 1 kg buah rambutan sekarang Rp ,00. Berapa penurunan harga, hitung dengan konsep operasi pada bilangan bulat! Penyelesaian : Harga 1 kg rambutan mula-mula Rp ,00 Harga 1 kg rambutan sekarang Rp ,00 Misal x penurunan harga 1 kg rambutan maka diperoleh persamaan: x = 3000, maka didapat x = , maka x = Jadi penurunan harga rambutan per kg adalah Rp ,00 Contoh Sebuah kapal selam mula-mula berada pada kedalaman 105 meter di bwah permukaan laut. Karena suatu sebab kapal selam bergerak ke dalam sejauh 85 meter. Coba tentukan posisi kapal selam dari permukaan laut dengan penjumlahan bilangan bulat! Penyelesaian : Posisi mula-mula kapal selam 105 m di bawah permukaan laut Bergerak ke dalam 85 m. missal posisi akhir kapal selam adalah h. Kita dapat persamaan: (-85) = h, maka h = -190 Jadi posisi terakhir kapal selam adalah 190 meter di bawah permukaan laut. 13

27 Perkalian Dan Pembagian Bilangan Bulat 1. Perkalian dan sifat-sifatnya a. Arti perkalian 3 x 6 = = 18 5 x 7 = = 35 3 x (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = (-12) Bagaimana dengan -3 x -4 =? Untuk bentuk perkalian di atas gunakan sifat-sifat berikut: 1) Positif x positif = + x + = + (positif) 2) Negatif x negatif = x = + (positif) 3) Positif x negatif = + x = (negatif) 4) Negatif x positif = x + = (negatif) 5) Bilangan bulat x 0 = 0 b. Sifat-sifat perkalian 1) Sifat tertutup Jika a dan b bilangan bulat, maka a x b = bilangan bulat juga 2) Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 0 = 0 3) 1 meerupakan unsur identitas perkalian Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 1 = a (bilangan itu sendiri) 4) Sifat komutatif (pertukaran) Jika a dan b adalah bilangan cacah, maka a x b = b x a 5) Sifat asosiatif (pengelompokan) Jika a, b, dan c adalah bilangan cacah, maka berlaku sifat: 6) Sifat distributif (penyebaran) (a x b) x c = a x (b x c) a x (b ± c) = (a x b) ± (a x c) (a ± b) x c = (a x c) ± (b x c) 14

28 2. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian a. Arti pembagian Misal: 3 x a = 27, berapakah nilai a? Untuk menentukan nilai a, ada dua cara yaitu: 1) Dengan perkalian 3 x a = 27, berarti bilangan berapa yang harus dikalikan dengan 3 menghasilkan 27? Bilangan itu adalah 9 2) Dengan pembagian 3 x a = 27, sama artinya dengan 27 dibagi berapa sama dengan 3?atau 27 dibagi 3 sama dengan berapa? Jawabannya 9 Hal di atas menunjukkan bahwa pembagian merupakan kebalikan dari perkalian Untuk sembarang bilangan asli a, b, dan c selalu berlaku: a : b = c a = b x c Contoh Tentukan nilai p, jika 9 x p = 63 Penyelesaian : 9 x p = 63 p = 63 : 9 p = 7 Contoh Selesikan : Penyelesaian : (sifat distributif) 15

29 (sifat komutatif) Contoh Jika * berarti kalikan bilangan pertama dengan 60, kemudian hasilnya dibagi dengan bilangan ke dua, hitunglah nilai dari: a. 4 * 24 b. 24 * 4 Penyelesaian : a. 4 * 24 b. 24 * 4 Tentunya 4 * 24 = 24 * 4, hal ini menunjukkan bahwa pada operasi * tidak berlaku sifat komutatif b. Pembagian dengan nol Untuk sembarng bilangan cacah a, selalu berlaku 1) a : 0 = ~ (tak terdefinisi) 2) 0 : a = 0, dengan a 0 Pada pembagian berlaku aturan: 1) = + : = = negatif ( ) 2) = : + = = negatif ( ) 3) = + : + = = positif (+) Contoh Jalan yang panjangnya 70 m akan ditanami pohon dengan jarak antar pohon 5 m. Berapa banyak pohon yang dibutuhkan? Penyelesaian : Banyak pohon yang dibutuhkan = 70 : 5 = 14 Jadi banyak pohon 14 batang. 16

30 1. Hari pertama Bu Wilda berdagang di pasar rugi Rp ,00. Hari kedua masih merugi Rp ,00. Pada hari ketiga rugi lagi Rp ,00. Tetapi ia mendapatkan uang di jalanan Rp ,00. Hasil penjualan hari keempat mendapat untung Rp ,00. Berapa jumlah untung atau ruginya Bu Wilda selama 4 hari? 2. Ganti nilai s dengan bilangan yang tepat! a. 9 x (-s) = -54 b. -20 : s = -5 c. s : 14 =-3 3. Tentukan nilai p dengan menggunakan sifat-sifat operasi pada bilangan bulat! a. p x 6 = 89 x ( ) b. (-4 x 62) x p = (-4 x 62) Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Kerugian diibaratkan bilangan negatif dan keuntungan diibaratkan sebagai bilangan positif, maka = ( ) + ( ) = = Jadi untung bu Wilda selama berdagang 4 hari adalah Rp ,00 2. a. 9 x (-s) = -54 b. -20 : s = -5 c. s : 14 = -3 (-s) = -54 : 9 s = -5 x (-20) s = -3 x 14 -s = -6 s = 100 s = -42 s = 6 3. a. p : 6 = 89 x ( ) b. (-4 x 62) x p = (-4 x 62) p : 6 = 89 x x p = -248 p = 0 p = -248 : -248 p = 1 17

31 1. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat a. Sifat tertutup b. Sifat komutatif c. Sifat asosiatif d. Penjumlahan dengan nol 2. Sifat-sifat pengurangan a. p q = p + (-q) 3. Aturan perkalian a. Positif x positif = + x + = + (positif) b. Negatif x negatif = x = + (positif) c. Positif x negatif = + x = (negatif) d. Negatif x positif = x + = (negatif) e. Bilangan bulat x 0 = 0 4. Sifat-sifat perkalian a. Sifat tertutup b. a x 0 = 0 c. unsur identitas perkalian, a x 1 = a d. Sifat komutatif (pertukaran) e. Sifat asosiatif (pengelompokan) f. Sifat distributif (penyebaran) 5. Aturan pembagian a. = + : = = negatif ( ) b. = : + = = negatif ( ) c. = + : + = = positif (+) 18

32 1. Hitunglah pengerjaan hitung berikut ini: a (-7) b (-35) c d. 217 (-127) (-321) x = (- 101). Berapakah nilai x yang memenuhi? 3. Hitunglah : a. -24 x (-11) (-24) x 21 b. (28(-17)) x Diketahui -345 : 5 = m dan 207 : 9 = n tentukan nilai m + n! 5. Hitunglah nilai (320 : 4) : (150 : 15)! 6. Pak Ahmad mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 62 m dan lebar 26 m. berapa kira-kira luas tanah pak Ahmad? 19

33 *Kegiatan Belajar 3 Menentukan Konsep Bilangan Bulat Habis Dibagi Bilangan Bulat Misal 20 : 2 = 10 Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: 20 adalah bilangan yang dibagi, sedangkan 2 adalah bilangan pembagi, dan 10 adalah bilangan hasil pembagian. Dapat dikatakan 2 habis membagi 20 atau 20 hadis dibagi 2. Berdasarkan pembagian diatas ini, kita temukan definisi sebagai berikut: Definisi Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan a dikatakan habis dibagi b dengan b 0 jika ada bilangan bulat k sehingga berlaku a = k x b atau a merupakan kelipatan dari b Contoh Tentukanlah bilangan bulat yang habis membagi 8! Penyelesaian : Bilangan-bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah: 1, karena ada bilangan bulat 8 sehingga berlaku 8 = 8 x 1. 2, karena ada bilangan bulat 4 sehingga berlaku 8 = 4 x 2. 4, karena ada bilangan bulat 2 sehingga berlaku 8 = 2 x 4. 8, karena ada bilangan bulat 1 sehingga berlaku 8 = 1 x 8. Maka bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. 20

34 Menentukan Konsep Faktor-Faktor Bilangan Bulat Perhatikan perkalian bilangan bulat berikut! 12 = 3 x 4, dari perkalian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: 3 adalah bilangan yang dikalikan, 4 adalah bilangan pengali, sedangkan 3 dan 4 faktor dari 12. Berdasarkan kedua contoh perkalian ini, kita temukan definisi berikut. Definisi Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan b dikatakan faktor dari a jika dan hanya jika a habis dibagi b Contoh Tentukanlah bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10! Penyelesaian : Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah: 1, karena 1 merupakan faktor dari 10. 2, karena 2 merupakan faktor dari 10. 5, karena 5 merupakan faktor dari , karena 10 merupakan faktor dari 10. Maka bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10. Menemukan Konsep Bilangan Prima Definisi Bilangan prima adalah bilangan positif yang tepat memiliki 2 faktor bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Misal: 2, 3, 5, 7, 11, 21

35 Faktor Prima Dan Faktorisasi Prima Dari Bilangan Bulat Perhatikan hal berikut! Bilangan-bilangan bulat yang merupakan factor dari bilangan 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10. Faktor dari bilangan 10 yang merupakan bilangan prima, yaitu bilangan 2 dan 5, dapat dinyatakan sebagai berikut. 2 merupakan faktor dari 10 dan 2 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 2 adalah faktor prima dari merupakan faktor dari 10 dan 5 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 5 adalah faktor prima dari merupakan faktor dari 10 dan 1 bukan bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 1bukan faktor prima dari 10. Himpunan yang anggotanya faktor prima dari 10 adalah {2, 5}. Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 12 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor dari bilangan 12 yangmerupakan anggota himpunan bilangan prima, yaitu bilangan 2 dan 3, dapat dinyatakan sebagai berikut: 2 merupakan faktor dari 12 dan 2 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 2 adalah faktor prima dari merupakan faktor dari 12 dan 3 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 3 adalah faktor prima dari 12. Himpunan yang anggotanya faktor prima dari 12 adalah {2, 3}. Definisi Untuk a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Bilangan b disebut faktor prima dari a, dan b merupakan bilangan prima Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari faktor-faktor prima bilangan tersebut. Misal: 6 = 2 x 3 (2 dan 3 adalah bilangan prima) 8 = 2 x 2 x 2 (2 adalaah bilangan prima) 15 = 3 x 5 (3 dan 5 adalah bilangan prima) 22

36 Proses menyatakan suatu bilangan bulat kedalam perkalian faktor-faktor prima bilangan disebut faktorisasi prima. Misal: faktorisasi prima 42 adalah 2 x 3 x 7 faktorisasi prima 80 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2 4 x 5 faktorisasi prima 140 adalah 2 x 2 x 5 x 7 = 2 2 x 5 x 7 Kelipatan Bilangan Bulat kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, kelipatan persekutuan 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, Faktor Persekutuan Dan Kelipatan Persekutuan Bilangan Bulat Faktor-faktor suatu bilangan diberikan sebagai berikut. Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8. Faktor dari 10 adalah 1, 2, 5, 10. Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15. Dari faktor-faktor bilangan di atas ditemukan: Faktor bilangan 8 yang sama dengan faktor bilangan 10 yaitu 1 dan 2. Faktor bilangan 8 yang sama dengan faktor bilangan 15 yaitu 1. Faktor bilangan 10 yang sama dengan faktor bilangan 15 yaitu 1 dan 5. Faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih sering disebut dengan faktor persekutuan bilangan,berdasarkan faktor-faktor bilangan 8, 10, dan 15 di atas kita sebut: Faktor persekutuan bilangan 8 dan 10 yaitu 1 dan 2. Faktor persekutuan bilangan 8 dan 15 yaitu 1. Faktor persekutuan bilangan 10 dan 15 yaitu 1 dan 5. 23

37 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Untuk menentukan sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk dengan syarat anggotakelompok adalah campuran dari siswa kelas 7, 8 dan 9, serta setiap kelompok memiliki banyak anggotayang sama, kita terlebih dahulu menentukan faktor dari bilangan 32, 36, dan 42 Faktor dari 32 adalah bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32 Faktor dari 36 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Faktor dari 42 adalah bilangan 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 21, 42 Kita perhatikan ketiga bilangan memiliki faktor yang sama, yaitu 1, 2. Jadi sebanyak-banyaknya kelompokyang dapat dibentuk adalah 2 kelompok sebab bilangan 2 adalah faktor bersama terbesar yang dimiliki oleh bilangan 32, 36 dan 42. Sehingga dapat ditetapkan bahwa: Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan terbesardi antara faktor-faktor persekutuannya. Contoh Tentukan FPB dari bilangan 72, 48, dan 40. Penyelesaian : Cara I Menentukan FPB melalui penentuan seluruh faktor dari bilangan 72, 48 dan 40. Faktor dari 72 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Faktor dari 48 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48. Faktor dari 40 adalah bilangan 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Faktor Persekutuan dari 72, 48 dan 40 adalah 1, 2, 4, 8 Berarti Faktor Persekutuan Terbesar dari 72, 48, dan 40 adalah 8 Cara II Menentukan FPB melalui penentuan faktor-faktor prima dari bilangan 72, 48 dan 40 atau dengan menggambarkan pohon faktor dari bilangan 72, 48 dan

38 Berdasarkan pohon faktor di atas, bilangan 72, 48 dan 40 dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor primanya 72 = = 2³ 3² 48 = = = = Perhatikan berapa banyak faktor prima yang sama dan dimiliki oleh kedua bilangan itu. Ternyata factor prima yang sama adalah bilangan 2 sebanyak 3. Sehingga FPB dari 72, 48 dan 40 adalah 2 3 = 8 Cara III Menentukan FPB melalui pembagian bilangan 72, 48 dan 40 dengan bilanganbilangan prima. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Setiap bilangan cacah memiliki kelipatan.kelipatan dapat diartikan sebagai perkalian.suatu bilanganuntuk mendapatkan bilangan tertentu dari bilangan yang diberikan.permasalahannya adalah berapa kalilipat suatu bilangan mendapatkan bilangan tertentu, yaitu bilangan-bilangan yang dapat membagi habisbilangan tersebut.untuk lebih memahami kita mencoba memecahkan permasalahan berikut. Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya. 25

39 Contoh Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12! Penyelesaian : Cara I Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,... Kelipatan 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72,... Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 adalah 24, 48,... Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 8 dan 12 adalah 24. Cara II Menentukan KPK sebagai hasil kali faktor-faktor prima dari bilangan 8 dan 12 melalui pohon faktor. 8 = = = = KPK dari 8 dan 12 adalah2 3 3 = 24 Cara III Melakukan pembagian terhadap bilangan-bilangan prima dengan bilanganbilangan prima. Perhatikan langkah-langkah berikut. KPK dari 8 dan 12 adalah = 24 Faktor Persekutuan Terbesar Dan Kelipatan Persekutuan Terkecil Untuk menentukan FPB dan KPK dua bilangan bulat atau lebih dapat dilakukan dengan menyatakan masing-masing bilangan dalam faktorisasi prima. Contoh Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 60! 26

40 Penyelesaian : Faktorisasi prima 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 Faktorisasi prima 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2 2 x 3 x 5 FPB dari 24 dan 60 adalah 2 2 x 3 = 4 x 3 = 12 KPK dari 24 dan 60 adalah 2 3 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = Tentukan faktorisasi prima dari 45! 2. Tentukan faktor dari 12! 3. Tentukan FPB dan KPK dari 12 dan 10! Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Faktorisasi prima dari 45 adalah 3 x 3 x 5 2. Faktor dari 12 adalah: 1, karena 1 merupakan faktor dari 12 2, karena 2 merupakan faktor dari 12 3, karena 3 merupakan faktor dari 12 4, karena 4 merupakan faktor dari 12 6, karena 6 merupakan faktor dari 12 12, karena 2 merupakan faktor dari 12 Maka factor dari 12 adalah 1,2, 3,4, 6, dan Faktorisasi prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3 Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5 = 2 x 5 Maka FPB dari 12 dan 10 = 2 2 x 3 x 5 = 60 Maka KPK dari 12 dan 10 = 2 27

41 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan terbesar di antara faktor-faktor persekutuannya. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya. 1. Tentukan FPB dan KPK dari 30, 45, dan 70! 2. Ayah membeli 12 pensil dan 30 buah buku tulis. Pensil dan buku tulis itu akan dibagikan kepada beberapa anak. Tiap anak harus menerima pensil dan buku tulis dengan jumlah yang sama. a. Maksimal berapa anak yang menerima alat tulis itu? b. Berapa masing-masing pensil dan buku tulis yang diterima tiap anak? 3. Nanda, Burhan, dan Putri les matematika di Bimbel Cerdas. Nanda les setiap 3 hari sekali, Burhan les setiap 2 hari sekali, dan Putri les setiap 4 hari sekali. Ketiga anak les bersama-sama pada hari Sabtu tanggal 4 Agustus Kapan ketiga anak tersebut bisa les bersama-sama lagi? 28

42 *Kegiatan Belajar 4 Berpangkatan Bilangan Bulat Misal : Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Kemudian lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk dengan syarat garis lipatan harus membagi bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Alternatif penyelesaian Buat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Temukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Selanjutnya diskusikan. Banyak lipatan Banyak bidang kertas Pola perkalian = = 2 x = 2 x 2 x Dan seterusnya Pada lipatan kertas pertama diperoleh 2 bidang kertas pada lipatan kedua diperoleh 4 lipatan, untuk selanjutnya dapat dituliskan: = 2 Dibaca dua pangkat satu = 4 Dibaca dua pangkat dua = 8 Dibaca dua pangkat tiga = 16 Dibaca pangkat empat 29

43 = 32 Dibaca pangkat lima = 64 Dibaca pangkat enam Dari pola di atas diperoleh bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang berulang. Definisi Misalkan a bilanagn real dan n bilangan positif, berpangkat jika dan hanya jika = disebut bilangan n faktor Dengan sebagai bilanagn pokok (basis) dan n adalah pangkat. 1. Pangkat Bulat Negatif Definisi Misalkan adalah biangan real dan 0, m adalah bilangan bulat positif` = a. Sifat-1: Jika adalah bilangan real dan 0, madalah bilangan bulat positif maka = Bukti: = = Sebanyak m factor Sebanyak m factor = 30

44 Contoh 4.1 Jika nilai x= -2 dan y= 2 tentukan nilai =... Penyelesaian : = = = 2. Pangkat Nol Definisi Misalkan a adalah bilangan real dan 0, = 1 Untuk lebih memahami definisi 8, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0. = 8 = 27 = 4 = 9 = 2 = 3 = 1 = 1 Perhatikan hasil permangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasilnya pemangkatannya adalah Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif a. Sifat ke-1 Jika adalah bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka = Bukti : x = m faktor n faktor b. Sifat ke-2 Jika a bilangan real dan 0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka = Bukti: = (sesuai definisi) Pada persyaratan sifat-2, Apa arti 0? 31

45 Bagaimana jika = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian Pada sifat-2 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n, ada 3 (tiga) kemungkinan kasus, yaitu (a) m> n, (b) m= n, dan (c) m< n. Kasus (a) m> n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m> n maka m n > 0. Dengan demikian = = ( ) = ( ) (m-n) faktor (m-n) faktor = Jadi =, dengan m, nbilangan bulat positif dan m> n (terbukti) Kasus (b) jika m= n, maka = 1. Untuk pembuktiannya perhatikan sifat-3 berikut. Kasus (c) jika m< n. Coba kamu buktikan sendiri. c. Sifat ke-3: Jika bilangan real dan 0, m dan n adalah bilangan bulat positif dengan m= n, maka = 1. Bukti : =, sebab m = n = = 1 (terbukti) d. Sifat ke-4: Jika abilangan real dan 0, mdan nadalah bilangan bulat positif, maka n = Bukti : 32

46 n = n factor =( )( ) m faktor m factor ) ) m faktor m faktor n faktor m x n fatkor = n = (terbukti) e. Sifat ke-5 : Jika abilangan real dan 0, madalah bilangan bulat positif, maka adalah bilangan real positif dan Bukti: m = Karena mbilangan bulat positif, maka 0, karena m dan > 0, maka berdasarkan sifat 5 berlaku m = = = Ubah ke bentuk sederhana / bentuk perpangkatan: 1.. = 2.. = 3. = 4. = 5. = 33

47 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Ada 2 cara dalam penyelesaiannya: a. = b.. = = x 2. = 3. = 1 4. =.9 = 5. = = 1. bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang berulang, contoh : = sebanyak n kali. 2. Berikut sifat sifat pada bilangan bulat: a. = b. = 1 c. x = d. = e. = 1, jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif juga m = n f. = g. = 34

48 Kerjakan soal berikut: 6.. = 7.. = 8. = 9. = 10. = 35

49 *Kegiatan Belajar 5 Siapkan satu lembar kertas! Dan lakukan hal-hal dibawah ini! 1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah. 3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali. Setelah siswa melakukan kegiatan secara kelompok hasil kerjanya secara lengkap banyaknya lipatan dan banyaknya potongan kertas adalah sebagai berikut. Banyak lipatan kertas Banyak potongan kertas yang terjadi Diskusikan dengan temanmu untuk menjawab pertanyaan berikut ini! 1. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya! 2. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu? 36

50 Alternatif Penyelesaian : 1. Ya, alternatif jawaban untuk pertanyaan bagian a adalah : Banyak lipatan kertas Banyak potongan kertas yang terjadi = = = = = = 64 Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola. 2, 4, 8, 16, 32, 64,..., merupakan salah satu contoh pola bilangan.atau Banyaknya lembaran kertas berikutnya diperoleh dari dua kali banyaknya kertas sebelumnya. Jawaban tidak harus sama dengan ini kamu bisa membuat kalimat sendiri. 2. Jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas, banyaknya lembar kertas adalah 2 8 = 256 lembar *Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut. 37

51 1. Rangkaian keempat dan kelima dari gambar di atas adalah : 2. Pada rangkaian keempat 13 buah dan pada rangkaian kelima 17 buah. Alternatif jawaban siswa menghitung banyaknya persegi pada rangkaian keenam diantaranya adalah : Rangkaian 1, jumlah persegi = (4 x 1) 3 = 1 Rangkaian 2, jumlah persegi = (4 x 2) 3 = 5 Rangkaian 3, jumlah persegi = (4 x 3) 3 = 9 Rangkaian 4, jumlah persegi = (4 x 4) 3 = 13 Rangkaian 5, jumlah persegi = (4 x 5) 3 = 17 Rangkaian 6, jumlah persegi = (4 x 6) 3 = 21 Maka : Pola bilangan yang terbentuk dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, 13, 17, 21, Bilangan 1 merupakan suku pertama,5 merupakan suku kedua, 9 merupakan suku ketiga, dan seterusnya. Untuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturanyang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya. 2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8,... Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya? 38

52 3. Untuk mencari ketiga suku berikutnya pada soal berikut dicari dengan cara berikut. 2,4, 6, 8,,, , 4, 6, 8, 10, 12, 14, Jadi tiga suku berikutnya adalah 10, 12, dan 14. Aturannya adalah dimulai dengan bilangan 2 dan suku-suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2 4. Pola bilangan 1, 3, 9, 27,... Bilangan pada ketiga suku berikutnya adalah 81, 243, 729 Alternatif jawaban : Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 3. Pola Bilangan Segitiga Pernahkah kamu menjumpai pemandu sorak (cheerleader) melakukan atraksinya dalam suatu pertandingan olahraga (misalnya basket)? Seringkali dalam atraksinya mereka membentuk piramida manusia, yaitu saling berdiri di antara pemain-pemainnya, sehingga pada puncaknya hanya berdiri seorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggap bahwa piramida manusia tersebut belum mencapai puncak. Dan sama dengan segitiga yang disusun seperti pada gambar: V Bilangan juga dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga sebagai berikut: 39

53 a. mewakili bilangan 1 b. mewakili bilangan 3 v c. mewakili bilangan 6 v v 1. Apakah piramida manusia itu berbentuk limas? Sebutkan bentukyang tepat untuk menjelaskannya! 2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat dan 3 tingkat? 3. Misalkan satu orang dalam piramida tersebut digambarkan dengan tanda pada suatu piramida. Gambarlah pola banyaknya orang dalam piramida manusia itu. v v v v v v v v Banyaknya tanda pada suatu piramida menunjuk pada ilangan 1, 3, 5,.... Karena bentuknya seperti segitiga, maka pola ilangan itu dinamakan Pola bilangan segitiga. 4. Buatlah tabel untuk menunjukkan banyaknya tingkat dan banyaknya orang dalam piramida itu. (Selesaikan tabel ini dengan mengisi bagian...). Tingkat Banyaknya orang Alternatif jawaban : Tingkat Banyaknya orang Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat? Alternatif Penyelesaian: Banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari banyaknya ingkat yang dimaksud ditambah dengan banyaknya orang sebelumnya. 40

54 Atau banyak orang sebelumnya ditambah dengan tingkat yang mau dibuat. 6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9? Banyaknya adalah 45. Coba kamu diskusikan kenapa bisa dapat 45. Karena bentuk susunan orang adalah berbentuk segitiga maka banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari luas segitiga, yaitu ½ n (n+1), dengan n bilangan asli. Pola Bilangan Persegi Setiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat? Grup ke Banyaknya pesawat baru Jumlah pesawat diangkasa Jika pola penerbangan diatas di lanjutkan berapa banyak pesawat yang diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke-6? Jawab : 9 pesawat dan 11 pesawat 41

55 2. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat? Jawab : 25 pesawat dan 36 pesawat. 3. Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah pesawat yang ada di angkasa? Alternatif Jawaban : grup pesawat dipangkatkan dua akan sama dengan jumlah pesawat diangkasa. 4. Bilangan-bilangan pada kolom jumlahpesawat diangkasa pada tabel di atas merupakan bilangan kuadrat. 5. Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola bilangan kuadrat? = 2 x 2 = = 3 x 3 = = 4 x 4 = 16 Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola bilangan persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi dari kayu-kayu yang diisi dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut. 42

56 v Rangkain 1 R. 2 R. 3 R. 4 Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola? Tuliskan pola itu. Ya, karena bilangan 2, 6, 8, 12, dan 20 berhubungan dengan bentuk persegi panjang, maka pola bilangan ini disebut atau dinamakan pola bilangan persegi panjang. Pola Bilangan Segitiga Pascal Dinamakan pola segetiga pascal karena ditemukan oleh Blaise Pascal Bilanga dari baris ke 2 adalah hasil penjumlahan dari dua bilanagn pada baris ke Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11,...bilangan yang ke-50 adalah 43

57 3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,..54, 64, 75, dan seterusnya dan sterusnya 2. 1 = 2 x = 2 x = 2 x 3 1 Dari pola diatas maka bilangan yang ke-50 = 2 x 50-1 = = 1 x 1 4 = 2 x 2 9 = 3 x 3 16 = 4 x 4 Jadi bilangan ke-30 = 30 x 30 =

58 Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek pada bilangan bulat.berikut beberapa pola pada bilangan bulat: 1. Pola segitiga Berbentuk segitiga, dan memiliki pola bilangan bulat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, Pola persegi Bilangan yang membentuk pola persegi 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, Pola persegi panjang Bilangan yang membentuk pola persegi panjang 2, 6, 12, 20, Pola segitiga pascal Bilangan yang membentuk pola segitiga pascal yaitu bilanganbilangan pada segitiga pascal 1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11,...bilangan yang ke-50 adalah 3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah 4. Tentukan banyaknya lingkaran pada pola yang ke-25 pada pola persegi panjang 45

59 *Kegiatan Belajar 6 Definisi Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam bentuk, a dan b bilangan bulat, b 0 dan b bukan faktor dari a. Penjumlahan Pecahan Misalkan a, b, c, dan d bilangan bulat dengan b 0 dan d 0. Jika a b dan c d adalah pecahan maka a b +c d = ad bc bd Contoh =... Penyelesaian : = = Pengurangan Pecahan Contoh =... Penyelesaian : 46

60 1-4 5 = = 1 5 Perkalian Bilangan Pecahan Contoh x 2 =... 3 Penyelesaian : = = 9 x 2 3 = 18 3 = 6 1. Perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa dan sebaliknya. Untuk lebih mudah memahami bagaimana cara mengalikan bilangan asli dengan sebuah pecahan atau perkalian sebuah pecahan dengan bilangan asli, perhatikan masalah-masalah berikut. Terdapat enam buah gelas yang akan diisi air sampai penuh. Ternyata setiap gelas hanya dapat memuat 1 liter air. Berapa liter air yang 10 dibutuhkan untuk mengisi keenam gelas tersebut? Banyak air yang dibutuhkan adalah = = = = 6 x 1 10 = 6 10 Jadi banyak air yang dibutuhkan 6 10 liter 47

61 Contoh x 3 =... 4 Penyelesaian : perhatikan gambar berikut: Berdasarkan gambar diatas 3 x 3 = = = 9 = Bilangan asli dengan bilangan campuran Sifat Untuk a, b, dan c bilangan asli, berlaku: a. a x = a x b c b. x a = b x a c c. 1 x = x 1 = 3. Perkalian Pecahan Biasa dengan Pecahan Biasa Contoh x 1 4 =... Penyelesaian : 2 3 x 1 4 = 1 x 2 3 x 4 =

62 Pembagian Pecahan Bu Vera memiliki 5 potong roti. Roti tersebut akan dibagikan pada 3 orang anaknya dan tiap anak mendapat bagian yang sama. Berapa potong yang diperoleh tiap anak? Alternatif Penyelesaian Banyak roti yang dimiliki Bu Vera adalah 5 potongbanyak anak Bu Vera adalah 3 orangkarena tiap anak mendapat bagian yang sama, maka banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 5 : 3 =.? Perhatikan gambar berikut Berdasarkan gambar di atas, banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah = = 5 = Cara memperoleh: 5 : 3 = ( ) : 3 = ( 3 : 3 ) + ( 2 : 3 ) = = Beberapa sifat yang perlu dicermati 1. Setiap pecahan dibagi 1 hasilnya pecahan itu sendiri 2. Setiap pecahan memilii kebalikan 3. Setiap pecahan dikalikan dengan kebalikannya hasilnya 1 4. Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah pecahan, maka hasilnya adalah kebaliakan pecahan itu. 49

63 Kerjakan Soal berikut : 1. + = = 3. - = 4. - = 5. 2 : = Kunci Jawaban Tes Formatif 1. = 2. = 3. = 4. =- 5. x = x = 50

64 1. Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam bentuk, a dan b bilangan bulat, b 0 dan b bukan faktor dari a. 2. Berikut beberapa konsep pada operasi bilangan pecahan: a. + = b. a x = c. x a = d. = x 1 = Kerjakan Soal berikut : 1. + = = 3. - = 4. - = 5. 2 : = 51

65 *Kegiatan Belajar 7 Definisi Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a, a dan b bilangan bulat dan b 0. b Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a b, a dan b bilangan bulat dan b 0. Perhatikan difinisi diatas,untuk a dan b bilangan bulat serta b yang dihasilkan a jika: b 0, bilangan apa 1. a = 0 2. a = b 3. a > b, a dan b memiliki faktor prima 4. a < b, a dan b memiliki faktor prima 5. a > b, a kelipatan dari b 6. a < b, a faktor dari b Penyelesaian 1. Jika a = 0, Jika a = 0 ( tentu b 0 ) Maka a = 0, kita ambil sembarang nilai b, maka perhatikan b b 0 = 0, 0 = 0; 0 = 0; 0 = 0; Maka a selalu menghasilkan bilangan 0 b 2. a = b silahkan coba sendiri dan simpulkan 52

66 3. a > b, a dan b memiliki faktor prima perhatikan : 2 3, 3 7, 7 11 Maka a selau menghasilkan bilangan pecahan biasa b 4. a < b, a dan b memiliki faktor prima silahkan coba sendiri dan simpulkan 5. a > b, a kelipatan dari b 4 2 = 2, = 3,10 2 = 5 Maka selalu menhailkan bilangan bulat 6. a < b, a faktor dari b silahkan di coba sendiri dan simpulkan bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a, dengan a dan b b bilangan bulat dan b 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a, dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Seperti bilangan 3, 5 b, 7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional. 1. Ubah dalam bentuk pecahan 0, Ubahlah bentuk desimal dari 3. Ubah dalam bentuk desimal 4. 0, ubah dalam bentukpecahan Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 0,125 = = 2. 3 : 2 = 0, : 7 = 0,

67 4. 0,333 = 1 angka yang di ulang berarti x = 0,333 10x = 3,333-9x = -3 X= Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk, a dan b bilangan bulat dan b 0.bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk, dengan a dan b bilangan bulat dan b 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk, dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Seperti bilangan 3, 5, 7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional. Nyatakan dalam bentuk pecahan! , Nyatakan dalam bentuk desimal

68 SOAL EVALUASI MPM 1 1. Hsil dari 45 + (-35) = a. 80 b. -85 c.85 d : x 12 = a. 300 b. 310 c. 312 d ( ) : (4 + 6) = a. 39 b. 49 c. 59 d x (7 +13) = n. nilai n adalah a. 80 b. -85 c. 85 d Supaya kalimat menjadi benar harga n pada kalimat n (-21) = 184 a. 50 b. 53 c.60 d Faktor prima dari 252 adalah a. 2, 3, 5 b. 2, 3, 7 c. 3, 5, 7 d. 2, 3, 5, 7 7. Hasil dari (-146) (-65) = a.-176 b. 176 c. 157 d FPB dari 40 dan 60 adalah a. 8 b. 10 c. 12 d FPB dan KPK dari 25 dan 50 adalah a. 25 dan 50 b. 50 dan 25 c. 20 dan 60 d. 25 dan KPK dari 28, 24, dan 30 adalah a. 840 b. 740 c. 420 d Faktor prima dari 880 adalah 12. FPB dan KPK dari 44 dan 68 dalah 13. (-25) + 13 x (-9) = 14. Pada pukul lampu A dan B menyala bersama-sama. Jika lampu A menyala setiap 8 menit dan lampu B setiap 12 menit, kedua lampu menyala bersama-sama pada pukul 55

69 15. Momon akan membagikan 40 buah buku gambar dan 50 bolpoin. Ia ingin membagikan buku gambar dan bolpoin secara adil, maka jumlah anak yang akan menerima maksimal 16. Tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi: 60, 196, atau 225? 17. Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola persegi sebagai berikut: berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5? 18. Tentukan nilai dari: a =... b. 5 4 : 5 3 =... c = Nyatakan 0,45 dalam bentuk pecahan 20. Misal kamu mempunyai 28 liter minyak. Kamu diminta mengisikan semua minyak itu pada 8 kaleng. Jika setiap kaleng harus sama berapa liter harus diisikan pada tiap kaleng? 56

70

71 Modul ini berisi teori tentang Bentuk Aljabar dan menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah yang berbentuk simbolik dan verbal. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan operasi bilangan bulat. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Mengenal bentuk aljabar. 2. Menjelaskan pengertian suku bentuk aljabar. 3. Mengetahui macam-macam suku pada bentuk aljabar. 4. Membedakan antara suku tunggal, suku banyak dan suku-suku sejenis. 5. Memahami operasi hitung pada bentuk aljabar. 6. Menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar. 7. Mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan. 8. Siswa dapat menentukan hasil perkalian pada bentuk aljabar. 9. Siswa dapat mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar. 10. Siswa mampu menyelesaikan perkalian suatu bilangan dengan suku dua bentuk aljabar 11. Siswa dapat menyelesaikan perkalian suku dua dengan suku dua. 12. Siswa dapat memahami operasi pembagian pada bentuk aljabar. 13. Siswa mampu memahami cara penyederhanaan bentuk aljabar. 58

72 14. Siswa dapat menyederhakan bentuk pecahan aljabar. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 59

73 *Kegiatan Belajar 1 Aljabar bukan hanya membahas permasalahan yang berkaitan dengan operasi hitung bilangan, tetapi juga memiliki cakupan bahasan yang lebih luas lagi, yaitu mengenai hubungan antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam pengerjaan dengan aljabar, sebuah bilangan yang tidak diketahui, atau belum diketahui, dapat diwakili dengan menggunakan simbol berupa huruf, misalnya x dan y, yang disebut dengan variabel. Dengan demikian, variabel-variabel tersebut dapat memiliki berbagai variasi nilai. x Pada Gambar di atas, dus (kotak) pertama berisi wafer, dan kotak kedua berisi buah yang dikemas sendiri. Berat kotak wafer tertera pada kotak kemasan yaitu 8kg, sedangkan berat kotak buah belum diketahui. Jika berat kotak buah kita nyatakan dengan x kg, dan jumlah berat seluruh kotak kita nyatakan dengan y kg, maka diperoleh : Berat kotak seluruhnya adalah (8+x) atau y=8+x. Uraian di atas menunjukkan bahwa situasi dalam kehidupan sehari-hari dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar. Suatu bentuk aljabar dapat terdiri dari bilangan, variabel, atau gabungan dari bilangan dan variabel yang terkait dengan operasi hitung. Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar berasal dari kata al-jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi ( M), yaitu kitab al-jabr wal-muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar atau "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan yang ditulis pada tahun 820 Masehi. Buku pertama Al- Khawarizmi yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dikenal sebagai Liber algebrae et almucabala oleh Robert dari Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerardus dari Cremona pada abad ke-12. Karena pengaruhnya 60

74 yang besar di bidang aljabar, Al Khawarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Pemakaian nama aljabar sebagai penghormatan kepada Al- Khawarizmi atas jasa-jasanya dalam mengembangkan aljabar melalui karyakarya tulisanya. Al-Khawarizmi adalah ahli matematika dan ahli astronomi termasyhur yang tinggal di Baghdad (Irak) pada permulaan abad ke-9. Al- Khawarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karya-karya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini. Contoh Suatu ketika terjadi percakapan antara Pak Agus dan Pak Budi. Mereka berdua baru saja membeli buku di suatu toko grosir. Pak Agus : Pak Budi, kelihatannya beli buku tulis banyak sekali. Pak Budi : Iya Pak. Ini pesanan dari sekolah saya. Saya beli dua kardus dan 3 buku. Pak Agus beli apa saja? Pak Agus : Saya hanya beli 5 buku saja Pak, untuk anak saya yang kelas VIII SMP. Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang yang menyatakan banyak buku dengan satuan yang berbeda. Pak Agus menyatakan jumlah buku dalam satuan kardus, sedangkan Pak Budi langsung menyebutkan banyak buku yang ia beli dalam satuan buku. Penyelesaian : Alternatif pemecahan masalah disajikan dalam tabel berikut. Simbol x bisa mewakili sebarang bilangan. Jika x = 10, maka 2x + 3 = = = 23 Jika x = 15, maka 2x + 3 = = = 33 61

75 Jika x = 20, maka 2x + 3 = = = 43 Jika x = 40, maka 2x + 3 = = = 83 Jika x = 50, maka 2x + 3 = = = 103 Nilai bentuk aljabar di atas bergantung pada nilai x. Dalam konteks di atas x menyatakan banyak buku dalam satu kardus. Bentuk aljabar dalam diatas x menyatakan banyak buku yang ada dalam kardus 1. Pak Tohir memiliki dua jenis hewan ternak, yaitu sapi dan ayam. Banyaknya sapi dan ayam yang dimiliki Pak Tohir secara berturut-turut adalah 27 sapi dan ayam. Seluruh sapi dan ayam tersebut akan dijual kepada seorang pedagang ternak. Jika harga satu sapi dinyatakan dengan x rupiah dan harga satu ayam dinyatakan dengan y rupiah, tuliskan bentuk aljabar harga hewan ternak Pak Tohir? 2. Arman mempunyai 5 buah robot dan 8 buah mobil-mobilan. Jika Arman diberi 2 buah robot oleh ibu dan 3 mobil-mobilannya ia berikan kepada Anto, berapa sisa robot dan mobil Arman. Nyatakan dalam bentuk aljabar? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. x adalah jenis hewan ternak sapi y adalah jenis hewan ternak ayam bentuk aljabar = 27x y 2. x menyatakan robot y menyatakan mobil-mobilan 5x + 8y + 2x 3y = 7x + 5y 62

76 Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar berasal dari kata al-jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi ( M), yaitu kitab al-jabr wal-muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar. 1. Suatu ketika Pak Veri membeli dua karung beras untuk kebutuhan hajatan di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Veri merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Veri membeli lagi sebanyak 5 kg. Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Veri. 2. Pak Deni membeli tiga gelondong kain untuk keperluan menjahit baju seragam pesanan sekolah SMP Semangat 45. Setelah semua seragam berhasil dijahit, ternyata kain masih tersisa 4 meter. Nyatakan bentuk aljabar kain yang digunakan untuk menjahit. 3. Bu Niluh seorang pengusaha kue. Suatu ketika Bu Niluh mendapat pesanan untuk membuat berbagai macam kue dalam jumlah yang banyak. Bahan yang harus dibeli Bu Niluh adalah dua karung tepung, sekarung kelapa, dan lima krat telur. Nyatakan bentuk aljabar harga semua bahan yang dibeli oleh Bu Niluh. 4. Bu Marhawi membeli 14 kg tepung, 17 kg wortel, dan 4 kg tomat. Karena terlalu lama disimpan 4 kg tepung, 3 kg wortel, dan 3 kg tomat ternyata rusak/busuk. Tentukan tepung, wortel, dan tomat yang tersisa. Jika harga tepung, wortel, dan tomat secara berurutan adalah x rupiah, y rupiah, dan z rupiah, nyatakan harga barang yang dibeli Bu Marhami tersebut dalam bentuk aljabar. 5. Sinta pergi ke toko untuk membeli alat-alat tulis. Alat tulis yang dibutuhkan yaitu 12 buku tulis, 2 pensil, 3 bolpoin, 1 penghapus dan 1 penggaris. Nyatakan alat-alat tulis yang dibeli Sinta ke dalam bentuk aljabar. 63

77 *Kegiatan Belajar 2 Bentuk-bentuk seperti 4a, 6ab 2, 2p+15, 7p 2-10p, 8x-4y+9 dan 6x 2 +3xy-8y disebut bentuk aljabar. ax 2 +bx+c = 0 ; a,b,c,x dan 0 adalah lambang-lambang aljabar, a dan b disebut koefisien; c disebut konstanta; x 2 dan x disebut variabel. Suku Tunggal dan Suku Banyak Bentuk aljabar seperti 4a, 6ab 2, dan -5a 2 bc 3 disebut bentuk aljabar suku satu atau suku tunggal. Bentuk aljabar seperti 2p+15, 7p 2-10p, dan -6p 3 +5pq disebut bentuk aljabar suku dua atau binom. Bentuk aljabar seperti 8x-4y+9 dan 6x 2 +3xy-8y 2 disebut bentuk aljabar suku tiga atau trinom. Bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku disebut suku banyak atau polinom. Misalnya : p 3 + 2p 2 7p 8 suku empat 9x 3 4x 2 y 5x + 8y 7y 2 suku lima Suku-Suku Sejenis Perhatikan bentuk aljabar 5a 2 dan -7x 2 y + 3! Pada bentuk 5a 2, 5 disebut koefisien dan a disebut variabel (peubah), dan pada bentuk -7x 2 y + 3, 7 adalah koefisien dari variabel x 2 y dan 3 adalah kosntanta. Bentuk aljabar -7x 2 y adalah koefisien x 2 y 3 adalah kosntanta x dan y adalah variabel (peubah) Suku-suku yang dikatakan sejenis bila memiliki variabel atau kombinasi variabel yang sama, dan variabel yang sama itu harus memiliki pangkat yang sama juga. Dengan kata lain, suku-suku yang sejenis hanya boleh berbeda 64

78 pada koefisiennya. 9xy dan 7xy2 bukan suku sejenis, karena xy tidak sama (tidak sejenis) dengan xy 2. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut : Suku suku yang sejenis pada bentuk aljabar hanya boleh berbeda pada koefisiennya. 1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut! a. 7a a b. 2x 4 5x 3 4x 2 + 7x 2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut! a. 9k + 8m 4km 15k + 7km b. 7p 2 8p 2 q 11p 2 + p 2 q + 12pq 2 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Banyak suku pada 7a a adalah 3, yaitu 7a, 18, dan -3a. b. Banyak suku pada 2x 4 5x 3 4x 2 + 7x adalah 4, yaitu 2x 4, -5x 3, -4x 2, dan 7x. 2. a. Suku-suku yang sejenis pada 9k + 8m 4km 15k + 7km adalah : 9k dan -15k -4km dan 7km b. Suku-suku yang sejenis pada 7p 2 8p 2 q 11p 2 + p 2 q + 12pq 2 adalah: 7p 2 dan -11p 2-8p 2 q dan p 2 q 65

79 Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar memiliki variabel-variabel yang sama dan pangkat dari masing-masing variabel juga sama. Jadi, suku-suku yang sejenis hanya boleh berbeda pada koefisiennya. 1. Tentukan mana yang termasuk suku tunggal! 4a+8ab, 5a 2 b, 7xy 2, 6x 2-9y-12, 15yz, 10p+14qr 2. Tentukan mana yang termsuk suku banyak! 6x 2-9y-12, 15yz, 10p+14qr, 4a+8ab, 5a 2 b, 7xy 2, 3. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut! 3bc+13a+18b+7ab+bc-5b-8a-12ab 4. Manakah yang termasuk koefisien dan konstanta pada bentuk aljabar berikut! 2pq 3qr p 2 q Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut! 8x 3 17xy 15z dan 11k 10l + 14m 12n

80 *Kegiatan Belajar 3 Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut. 1. Suku-suku yang sejenis 2. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan, yaitu : a. ab + ac = a(b + c) atau a(b + c) = ab + ac, b. ab ac = a(b c) atau a(b c) = ab ac. 3. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu : a. Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif, b. Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif, c. Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulatnegatif adalah bilangan bulat negatif. Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan tersebut, maka hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis. Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan sukusuku yang sejenis. Contoh Pak Srianto seorang tengkulak beras yang sukses di desa Sumber Makmur. Suatu ketika Pak Srianto mendapatkan pesanan dari pasar A dan B di hari yang bersamaan. Pasar A memesan 15 karung beras, sedangkan pasar B memesan 20 karung beras. Beras yang sekarang tersedia di gudang Pak Srianto adalah 17 karung beras. Misal x adalah massa tiap karung beras. Nyatakan dalam bentuk aljabar: a. Total beras yang dipesan kepada Pak Srianto 67

81 b. Sisa beras yang ada di gudang Pak Srianto, jika memenuhi pesanan pasar A saja c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Srianto, jika memenuhi pesanan pasar B saja. Penyelesaian : a. Total beras yang dipesan kepada Pak Srianto adalah (15x) + (20x) atau (35x) kilogram beras. b. Jika Pak Srianto memenuhi pesanan pasar A saja, maka sisa beras adalah 2 karung beras atau 2x kilogram beras. c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Srianto untuk memenuhi pesanan pasar B adalah 3 karung beras atau -3x kilogram beras. (tanda negatif menyatakan kekurangan) Pada cerita di atas terdapat operasi antara dua bentuk aljabar, yaitu: 1. Penjumlahan (20x) + (15x) = 35x 2. Pengurangan (17x) (15x) = 2x 3. Pengurangan (17x) (20x) = 3x Bentuk 17x 15x bisa juga ditulis penjumlahan dua bentuk aljabar (17x) + ( 15x). 1. Tentukan penjumlahan bentuk aljabar berikut. a. -3m + 4n 6 dengan 7n 8m + 10 b. 15a + 7b 5c dengan 11a 12b + 13d 2. Pengurangan bentuk aljabar berikut. a. -3m + 4n 6 dengan 7n 8m + 10 b. 15a + 7b 5c dengan 11a 12b + 13d 68

82 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Hasil penjumlahan 3m + 4n 6 dengan 7n 8m + 10 ( 3m + 4n 6)+ (7n 8m + 10) = 3m + 4n 6 + 7n 8m + 10 = -3m 8m + 4n + 7n = -11m + 11n + 4 b. Hasil penjumlahan dari 15a + 7b 5c dengan 11a 12b + 13d (15a + 7b 5c) + ( 11a 12b + 13d)= 15a + 7b 5c 11a 12b + 13d= 15a 11a + 7b 12b 5c + 13d= 4a 5b 5c + 13d 2. a. Hasil pengurangan 3m + 4n 6 dengan 7n 8m + 10 ( 3m + 4n 6) (7n 8m + 10) = -3m + 4n 6 7n + 8m 10 = -3m + 8m + 4n 7n 6 10 = 5m 3n -16 b. Hasil pengurangan 15a + 7b 5c dengan 11a 12b + 13d (15a + 7b 5c) (11a 12b + 13d) = 15a + 7b 5c 11a + 12b 13d = 15a 11a + 7b + 12b 5c 13d = 4a + 19b 5c 13d Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis. 69

83 1. (15i + 14b + 13k) + ( 30i 45j + 51k) = Tentukan hasil penjumlahan (3 17x + 35z) dan (4x + 23y 9). 3. (42n + 35m +7) - (50m 20n + 9) = Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar : 3(2x 2 4x + 5) dengan 2(4x 2 + 3x 7) 5. Tentukan hasil pengurangan bentuk aljabar : -x 2 + 6xy + 3y 2 dari 5x 2 9xy -4y 2 70

84 *Kegiatan Belajar 4 Perkalian Suatu Bilangan dengan Suku Dua x(x + 4) x 2 4x x 4 x 4 Perhatikan Gambar di atas! gambar sebelah kiri menunjukkan sebuah persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut : Panjang = (x + 4) satuan, Lebar = x satuan Luas persegi panjang tersebut = x (x + 4) satuan luas. gambar sebelah kanan menunjukkan bahwa untuk menentukan luas persegi panjang pada gambar sebelah kiri dapat dilakukan dengan cara membagi (menyekat) persegi panjang tersebut menjadi dua buah persegi panjang, sehingga luasnya menjadi x 2 + 4x. Oleh karena luas kedua persegi panjang pada kedua gambar adalah sama, berarti x(x + 4) = x 2 +4x. dengan demikian, bentuk perkalian x(x+4) dapat dinyatakan sebagai bentuk penjumlahan x 2 + 4x. Dengan menggunakan cara seperti di atas, hasil perkalian suatu bilangan dengan suku tiga dapat ditentukan seperti berikut : x(x + y + 4) = x [(x + y) + 4] = x (x + y) + 4x = x 2 + xy + 4x Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan pada bentuk aljabar disebut menjabarkan. Untuk sembarang bilangan x, y, dan k selalu berlaku : x (x + k) = x 2 + kx 71

85 x (x + y + k) = x 2 + xy + kx Contoh Jabarkan bentuk-bentuk berikut! 2x (4x 2 3y) Penyelesaian : 2x (4x 2 3y) = 2x (4x 2 ) 2x (3y) = 8x 3 6xy Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua 1. Menggunakan Hukum Distributif Persegi panjang-persegi panjang pada gambar di atas memiliki ukuran yang sama, sehingga luasnya juga sama. Dengan demikian, terdapat hubungan sebagai berikut. (x + 2)(x + 5) = x(x + 5) + 2(x + 5) (1) Gambar (ii) = x 2 + 5x + 2x + 10 (2) Gambar (iii) = x 2 + 7x + 10 Pada proses pengerjaan di atas, langkah (1) dan (2) menggunakan hukum (sifat) distributif. Dengan demikian penjabaran bentuk perkalian (x + 2)(x + 5) menjadi x 2 + 7x + 10 merupakan penjabaran dengan hukum distributif. Pada penjabaran di atas, ternyata suku dua yang pertama, yaitu (x + 2) diuraikan, sedangkan suku dua yang kedua, yaitu (x + 5) tetap. Dengan demikian, penjabaran menggunakan hukum distributif dapat ditunjukkan dengan skema berikut. (x + 2)(x + 5) = x(x + 5) + 2(x + 5) Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan dengan menggunakan hukum distributif, yaitu : 72

86 (x + a)(x + b) = x(x + a) + 2(x + b) Contoh Tentukan hasil perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif! (2x - 3) (x + 1) Penyelesaian : 2. Menggunakan Skema Perhatikan langkah-langkah penyelesaian perkalian dua suku dua! (3x + 4)(x 2) = 3x 2 6x + 4x 8 Ternyata hasil perkalian tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan skema berikut. (3x + 4) (x 2) = 3x(x) + 3x(-2) + 4(x) + 4(-2) = 3x 2 6x + 4x 8 Langkah (2) pada skema di atas disebut perkalian suku luar dan langkah (3) disebut perkalian suku dalam. Hasil perkalian suku luar dan suku dalam sering kali dapat disederhanakan Perkalian dua suku dua dapat dijabarkan dengan menggunakan skema berikut : a. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(-q) = 3x 2 + (p + q)x + pq b. (x + p)(x - q) = x 2 + x(p - p)x + p(-p) = x 2 p 2 Contoh Jabarkanlah bentuk perkalian suku dua berikut! (x + 3) (x - 2) 73

87 Penyelesaian : 3. Penggunaan Perkalian (x + a)(x + b) Pada bahasan ini akan dipelajari tentang penggunaan perkalian istimewa (x + a) (x + b) yang khusus, yaitu jika a + b = 10, sehingga hasil perkalian dari (x + a)(x + b) dapat dinyatakan sebagai berikut. (x + a) (x + b ) = x 2 + (a + b)x + ab, a + b = 10 = x x + ab = x(x + 10) + ab Kita gunakan hasil perkalian di atas juga untuk menyelesaikan perkalian berikut. Dengan menggunakan cara di atas, maka hasil perkalian dua bilangan yang angka puluhannya sama dan angka samanya berjumlah 10 dapat diperoleh dengan cara yang lebih mudah. Contoh Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Halim mempunyai kebun semangka berbentuk persegipanjang. Ukuran panjang kebun semangka Pak Halim 10 m lebihnya dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 3 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketauhi luas kebun Pak Halim adalah 450 m 2, Tentukan luas kebun apel Pak Idris. Penyelesaian : 74

88 Untuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x. Panjang kebun semangka Pak Halim 10 meter lebih panjang dari panjang sisi kebun apel, bisa ditulis x Sedangkan lebarnya 3 meter lebihnya dari panjang sisi kebun apel Pak Idris, bisa ditulis x + 3. Seperti yang kita ketahui bahwa luas persegi panjang adalah panjang lebar. Namun dalam permasalahan menentukan panjang sisi kebun tersebut kita sedikit mengalami kesulitan karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut luas kebun Pak Halim adalah hasil kali dari x + 10 dengan x + 3. Luas kebun Pak Halim dapat ditulis dalam bentuk aljabar Luas = panjang lebar = (x + 10) (x + 3) = x 2 + 3x + 10x + 30 = x x + 30 satuan luas Selain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas kebun Pak Halim dengan cara perkalian bersusun seperti berikut. Jadi, luas kebun Pak Halim adalah x x + 30 satuan luas. Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut kalian paling mudah. Untuk lebih jelasnya bagaimana mengalikan bentuk aljabar tersebut mari amati ilustrasi berikut. 1. Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut! a. x (3x + 5) b. x (3x + y + 5) 75

89 2. Tentukan hasil perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif! (3x + 4) (x 2) 3. Sebuah lahan berbentuk persegi panjang dengan panjang (2x - 3) meter, dan lebar (x + 6) meter. Sekeliling lahan tersebut dibuat selebar 2 meter. Hitunglah luas lahan yang tersisa! Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Penjabaran : a. x (3x + 5) = x (3x) + x (5) = 3x 2 + 5x b. x (3x + y + 5) = x (3x) + x(y) + x (5) = 3x 2 + xy + 5x Ukuran lahan yang tersisa adalah : Panjang = (2x -3) 2. 2 = (2x - 3) 4 = (2x - 7) meter Lebar = (x + 6) 2. 2 = (x + 6) 4 = (x + 2) meter Jadi luas lahan yang tersisa adalah = panjang sisa lahan x lebarnya = (2x - 7) (x + 2) = x 2 + 4x 7x 14 = (2x 2 3x - 14) m 2 76

90 1. Untuk memudahkan dalam perhitungan perkalian suku dua dan suku banyak, yang perlu diingat adalah : a. x(x + k) = x(x) + x(k) = x 2 + xk b. x (x + y + k) = x(x) + x(y) + x(k) = x 2 + xy + xk c. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q) = x 2 + (p+q)x + pq d. (x + p)(x + q + r) = x(x) + x(q) + x(r) + p(x) + p(q) + p(r) = x 2 + xq + xr + px + pq + pr 2. Operasi penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar memiliki beberapa sifat, antara lain a. Sifat Komutatif a + b = b + a a b = b a b. Sifat Asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c c. Sifat Distributif (perkalian terhadap penjumlahan) a (b + c) = a b + a c atau a (b + c) = ab + ac 77

91 1. Hasil dari penjabaran bentuk perkalian (x + 4) (x + 15) adalah Hasil dari perkalian a(3a + 8b) adalah Jabarkan perkalian disamping menggunakan skema (a + 3) (a + 5) Hasil dari (5x - 4) (3x + 2) adalah Jabarkan dan sederhanakan perkalian disamping (a - 3) (a 2 2a + 5)... 78

92 *Kegiatan Belajar 5 Operasi Pembagian Bentuk Aljabar Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama. Misal bentuk aljabar 8a dan 2a memiliki faktor yang sama yaitu 2a. Sehingga hasil pembagian 8a dengan 2a dapat disederhanakan yaitu 8a : 2a = 4. Demikian halnya dengan 6xy dan 3y yang memiliki faktor yang sama yaitu 3y, sehingga 6xy : 3y = 2x. Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagiannya merupakan suku dua, maka hasil pembagiannya dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif. Contoh diketahui suau persegi panjang mempunyai luas = x x + 30 satuan luas, dan panjangnya = x + 10 satuan panjang, kalian diminta untuk menentuk bentuk aljabar dari lebarnya. Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya? Penyelesaian : Luas = panjang lebar. Dapat kita tulis: Lebar = luas panjang Lebar tanah Pak Halim dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang. dari Lebar = Pada kegiatan tersebut, kita telah menentukan hasil bagi x x + 30 oleh x + 10 adalah x

93 1. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut! a. 2x 2 + 3x - 4 oleh x + 3. b. x 3 + 2x 2 11x + 12 oleh x 4 2. tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut! a. 28 a 5 b 3 : (-7 a 4 ) b. 42 x 7 y 8 z : 6x 3 y 2 3. Diketahui (x + 3) adalah salah satu faktor dari x 2 + 5x + 6. Tentukan faktor yang lainnya. Kunci jawaban Tes Formatif 1. a. 2x x 2 + 6x -3x 4 9x Jadi, (2x 2 + 3x 4) : (x + 3) adalah ( 2x 3) sisa 5 b. x 2 + 2x - 3. x 3-4x 2 2x 2 11x x 2 8x -3x x Jadi, (x 3 + 2x 2 11x +4) : (x 4) adalah (x 2 + 2x 3) 2. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar! 80

94 a. 28 a 5 b 3 : (-7 a 4 ) = = ( ) ( ) ( ) = -4 (a) (b 3 ) = -4ab 3 b. 42 x 7 y 8 z : 6x 3 y 2 = = ( ) ( ) ( ) ( ) = 7 (x 4 ) (y 6 ) (z) = 7x 4 y 6 z 3. Diketahui (x + 3) adalah salah satu faktor dari x 2 + 5x + 6. Tentukan faktor yang lainnya.. x + 2. x 2 + 3x 2x + 6 2x Jadi faktor yang lain tersebut adalah (x + 2). 81

95 1. Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. 2. Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama. 3. Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagiannya merupakan suku dua, maka hasil pembagiannya dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif 1. Hasil dari operasi aljabar disamping adalah (x 2 + 9x + 18) : (x + 6) Tentukan hasil operasi disamping 27a 5 b : 9a 4 b Hasil dari -72x 8 y 9 z 7 : (-12x 2 y 3 z) adalah Hasil dari (2x 2-10x + 12) : (2x - 4) adalah Hasil dari (8 p 6 q 4 : 4p 4 q 3 ) 3 adalah... 82

96 *Kegiatan Belajar 6 Menyederhanakan Pecahan Aljabar jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi menjadi lebih sederhana. Misalnya: 18 = 3 x 6 = x 6 4 Dengan demikian, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini berarti, bahwa untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar harus didingat kembali tentang ciri-ciri bentuk aljabar yang dapat difaktorkan beserta aturan faktorisasinya. Contoh Sederhanakanlah pecahan-pecahan aljabar berikut! Penyelesaian : 1. = = pembilang dan penyebut dibagi 4 2. = = 3. = = Pada contoh 2, x -4 dan juga x 4, sebab jika x = -4 atau x = 4, maka penyebut pecahan tersebut menjadi nol. Hal ini menyalahi konsep dalam pecahan yaitu: 1. Penyebut suatu pecahan tidak boleh nol 2. Suatu pecahan tidak boleh disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak didefinisikan. Dengan demikian, pada Contoh 3, nilai m 0, dan juga m

97 Untuk selanjutnya, yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah pecahan aljabar yang penyebutnya bukan nol. Dalam menyederhanakan pecahan bentuk aljabar, kadang-kadang dalam proses pengerjaannya harus kita gunakan lawan dari suatu bentuk aljabar, yaitu (a - b) = b a sehingga pecahan aljabar tersebut dapat disederhanakan. Penjumlahan Dan Pengurangan Pecahan Aljabar Pada pembahasan tentang operasi bilangan pecahan, telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang mempunyai penyebut sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilangpembilangnya, yaitu: + = atau - = dengan b 0 Aturan tersebut dapat digunakan untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar. Contoh Penyelesaian : 1. + = = 2. - = = 3. + = = 4. - = = Jika pecahan-pecahan memiliki penyebut yang berbeda, maka penyebutpenyebut tersebut harus disamakan lebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari enyebut-penyebut tersebut. Kemudian masing-maasing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai, dan penyebutnya merupakan KPK yang sudah di cari. 84

98 Perkalian Dan Pembagian Pecahan Aljabar Pada pembahasan tentang perkalian bilangan pecahan, telah dipelajari bahwa hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Yaitu: = dengan b, d 0 Dengan demikian, hasil perkalian dalam bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menggunakan aturan diatas. Contoh Penyelesaian : = = pembilang dan penyebut dibagi dendang b Untuk pembagian dua pecahan, telah dibahas bahwa membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut dengan pecahan kebalikannya, yaitu; : = dengan b, c, d 0 Contoh : Penyelesaian : : = = pembilang dan penyebut dibagi dengan a = = 85

99 1. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a. b. 2. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a. - b Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a. b. : Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. = b. = = = = = = - = - 2. a. - = - = - = = = b. + = + = = 86

100 = 3. a. = = pembilang dan penyebut dibagi dengan x(x + 3) = = x -3 b. : = : = = pembilang dan penyebut = = dibagi dengan (x - 2) dan x 87

101 1. Penyederhanaan pecahan aljabar Pecahan yang pembilangnya, atau penyabutnya, atau kedua-duanya berbentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. = = 2. Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar Menjumlahkan atau mengurangkann pecahan bentuk aljabar dilakukan dilakukan dengan menyamakan penyebut-penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangpembilangnya. Untuk menyamakan penyebut-penyebutnya, tentukan KPK dari penyebut pecahan tersebut. + = = - = - = 3. Perkalian dan pembagian pecahan aljabar a. Perkalian pecahan aljabar dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. = dengan b, d 0 b. Pembagian pecahan aljabar dilakukan dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikannya. : = dengan b, c, d 0 88

102 1. Hasil dari adalah = = : = =... 89

103 SOAL EVALUASI MPM 2 1. Bu Marhawi membeli 14 kg tepung, 17 kg wortel, dan 4 kg tomat. Karena terlalu lama disimpan 4 kg tepung, 3 kg wortel, dan 3 kg tomat ternyata rusak/busuk. Tentukan tepung, wortel, dan tomat yang tersisa. Jika harga tepung, wortel, dan tomat secara berurutan adalah x rupiah, y rupiah, dan z rupiah, nyatakan harga barang yang dibeli Bu Marhami tersebut dalam bentuk aljabar. 2. Koefisien untuk variabel a dan b 2 dari bentuk aljabar 2a 2 a 4ab 2 3b 2 berturut turut adalah Suku-suku sejenis dari bentuk aljabar 3p 2 q + 5pq 2 + 3p 2 q 2 4pq 2 adalah Apakah 5x 3 y 2 dan -5x 3 y 4 merupakan suku sejenis? 5. Bentuk paling sederhana dari 7x 4y + 6 4x + y 6 adalah Bentuk paling sederhana dari 9 4(2x + 5) adalah Hasil penjumlahan dari 5ab + 2bc d dan 3ab 2bc + 6d adalah Hasil pengurangan -2(3p + 2) dan 2p + 6 adalah Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar: 3(2x 2 4x + 5) dengan 2(4x 2 + 3x 7) 10. Tentukan hasil pengurangan 5x 3y + 7 dari 5y 3x Jabarkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a. 4x (x 2 + 2xy 3y 2 ) b. (3p + 2) (3p - 2) c. (2x - y) (4x 2 + 2xy + y 2 ) d. (2x 2 10x) (x 2 + 3x) 12. Tentukan hasil operasi hitung bentuk aljabar berikut! a. 18a 4 b : 3a 3 b b. 36a 8 b 3 : 9a 5 b 2 c. 2x 2 + 7x 15 oleh x + 5 d. 6x 2 7x 24 oleh 3x 8 90

104 13. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a. b. 91

105

106 Modul ini berisi tentang persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel yang meliputi unsur unsur bentuk aljabar dan pengoprasian bentuk aljabar serta pengertian persamaan dan pertidak samaan linear satu variabel. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat harus menguasai kompetensi yaitu : himpunan, bilangan, perbandingan dan bentuk aljabar. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Mengembangkan sikap logis dan rasa ingin tahu 2. Mengidentifikasi unsur unsur bentuk aljabar 3. Mengembangkan sikap analitik dan percaya diri pada daya dan kegunaan matematika. 4. Melakukan operasi pada bentuk aljabar. 5. Mengembangka sikap responsif dan terbuka. 6. Memahami persamaan linear satu variabel (SPLDV). 7. Mengembangkan sikap konsisten dan teliti. 8. Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel. 9. Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 93

107 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 94

108 *Kegiatan Belajar 1 Pengertian Bentuk Aljabar Untuk memahami pengertian bentuk aljabar dan suku, perhatikan contohcontoh berikut! 1. Ada dua buah apel, jika apel disimbolkan dengan a, maka dapat ditulis 2a 2. Ada sebuah apel dan tiga buah pisang, jika pisang disombalkan dengan p, maka dapat ditulis a dan 1a+3p 3. Ada tiga buah apel dan dua buah pisang dan satu tomat, jika tomat disimbolkan dengan t, dapat dituliskan 3a+2p+1t Untuk selanjutnya jika jumlah bendanya satu, mak cukup dituliskan simbolnya saja, seperti contoh nomor 2, cukup dituliskan a+3p dan nomor 3 dituliskan 3a+2p+1t. Bentuk aljabar 2a memiliki satu suku, yaitu 2a Bentuk aljabar a+3p memiliki dua suku yaitu a dan 3p Bentuk aljabar 3a+2p+t memiliki tiga sulku yaitu 3a, 2p, dan t Bentuk aljabar 4a-2p-t memiliki tiga suku yaitu 4a,-2p dan t Pengertian Faktor Kalau kamu sakit, dan kamu pergi ke dokter, kamu akan diberi resep. Misalkan obat yang dibeli dengan resep dokter : Pada botol obat turun panas ditulis 3x1 sendok teh Pada botol ditulis 3x1 sendok teh 95

109 Apa artinya dari 3x1 atau 3x2? 3x1 artinya dalam sehari obat turun panas yang harus diminum 3 kali, sekali minum 1 sendok teh. Dengan perkataan lain dalam sehari obat turun panas yang harus diminum adalah 3 sendok teh, yaitu 1 sendok teh+1 sendok teh +1 sendok teh. Sehingga 3x1 artinya x2 artinya dalam sehari obat batuk yang harus diminum 3 kali, sekali minum 2 sendok teh. Dengan perkataan lain dalam sehari obat turun panas yang harus diminum adalah 6 sendok teh, yaitu 2 sendok teh +2 sendok teh +2 sendok teh. Sehingga 3x2 artinya Arti dari aturan perkalian diatas sebenarnya sama dengan perkalian dalam matematika. Kita tahu bahwa 6=3x2, 3 dan 2 disebut faktor dari 6. Demikian juga dalam bentuk aljabar berikut ini. 3b = 3xb berrarti faktornya 3 dan b -5ab = -5 x a x b berarti faktor faktornya -5. a dan b 7a 2 b = 7 x a x a x b bararti faktor faktonya 7, a dan b Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, Suku Sejenis Dan Suku Tidak Sejenis Pengertian bentuk aljabar bentuk ini : 5a b 7 Pada suku 5a yang merupakan perkalian 5 dan a, atau 5 x a, maka bilangan 5 disebut koefisien dan a disebut variabel atau peubah. Pada suku b yang merupakan perkalian -1 dan b, maka koefisienya adalah -1 dan variabelnya adalah b. Pada suku 7 tidak ada variabel yang menyertainya, maka bilangan 7 yang merupakan tunggal disebut konstanta. Suku Sejenis Perhatikan bentuk aljabar : 2p+4q-3p +q Bentuk aljabar tersebut mempunyai empat suku, yaitu 2p, 4q, 3p dan q Dimana 2p dan -3p merupakan suku sejenis, begitu juga dengan 4q dan q merupakan suku sejenis, sedangkan 2p dan -3q atau 2p dan q merupakan suku tidak sejenis. Jadi dapat disimpulkan Dua suku atau lebih dapat dikatakan sejenis apabila variabel dan suku tersebut adalah sama 96

110 Dua suku atau lebih dikatakan tidak sejenis apabila variabel dari sukusuku tersebut adlah tidak sama 1. jika kamu melihat tiga pohon kelapa dua perahu dan 1 orang. Bagaimana kamu menuliskannya dalam bentuk aljabar 2. Pak budi penjual bermacam-macam buah. Buah yang dijualnya Kelompokan menurut jenisnya. Ada apel, jeruk, anggur, alpukat dan yang lainya. a. Apakah nama buah yang dijual pak budi dapat diwakilkan oleh suatu lambang tertentu?jika ya, kemukakan paling sedikit 3 contoh lambang yang dapat digunakan b. Pilih salah satu lambang, kemudian sebutkan nama buah yang diwakili oleh lambang itu Kunci Jawaban Tes Fomatif 1. Ada tiga pohon kelapa, jika pohon kelapa disimbolkan dengan a,maka dapat ditulis 3a. Dan dua perahu kita tuliskan dengan p,kemudian 1 orang kita tuliskan dengan t. jika kita jumlah semuanya dapat kita tuliskan 3a + 2p+t 2. Jawab a. Ya, misal apel kita simbolkan dengan a, jeruk kita simbolkan p dan anggur kita simbolkan dengan t. b. Misal t yang diwakili oleh anggur 97

111 1. Dua suku atau lebih dapat dikatakan sejenis apabila variabel dan suku tersebut adalah sama 2. Dua suku atau lebih dikatakan tidak sejenis apabila variabel dari suku-suku tersebut adlah tidak sama Cermati pernyataan berikut ini dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawaahnya dengan menuliskan jawaban pada (tabel) yang disediakan Banyaknya pohon jati milik pak Makmur10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik pak budi, berapa kemungkinan pohon pak makmur dan pak budi? a. Jika poho jati pak makmur 40 batang, berapa pohon pa budi? b. Bila banyak pohon pakmakmur 75 batang, berapa banyak pohon pak budi? c. Jika banyak pohon pak makmur adalah p, berapa banyak pohon milik pak budi? d. Jika pohon milik pak budi adalah 30, berpa banyak pohon milik pak makmur? e. Jika banyak pohon pak budi adalah 100, berapa banyak pohon milik pak makmur? f. Jika banyak pohon milik pak budi adalah p, berapa banyak pohon milik pak makmur? 98

112 Banyak pohon pak makmur Banyak pohon pak budi P K a. Misalkan simbol p mewakili banyak milik pak makmur, bilangan apakah yang diwakili p? b. Apakah p mewakili bilangan? jawab:

113 *Kegiatan Belajar 2 Menjumlahkan Dan Mengurangkan Bentuk Aljbar Untuk memahami operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut. Dalam tas Nindra terdapat 10 buku dan 7 pensil. Selanjutnya, kedalam tas itu dimasukan 2 buku dan di ambil 3 pensil. Dalam tas Nindra sekarang ada (10 2) buku dan (7 2) pensil, atau 12 buku dan 4 pensil. Jika dalam tas Nindra banyak buku dinyatakan dengan huruf b, dan banyaknya pensil dinyatakan dengn huruf p, maka situasi tas Nindra semula adalah 10b+7p, kemudian terjadi 2b 3p sehingga situasi tas Nindra menjadi (10b+7p) + (2b 3p) atau (10+2)b + (7 2)p atau 12b+4p Dari situasi diatas dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabarhana dapat dikerjakan pada suku-suku yang sejenis dengan menjumlahkan dan mengurang koefisien pada suku-suku sejenis. Jadi dapat disimpulkan, dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila bentuk kedua bentuk aljabar itu sejenis Contoh Hasil penjumlahan dari 8x 2 5x 11 dan x 9x 2 adalah Hasil pengurangan 2p q dari q p + 3 adalah... Penyelesaian : 1. 8x 2 5x x 9x 2 = 8x 2 9x 2 5x + 5x = (8 9)x 2 + (-5 + 5)x + ( ) = -x q p + 3 (2p q) = q p + 3 (2p q) = q + q p 2p + 3 = 2q 3p

114 Perkalian Suku Konstanta Dengan Bentuk Aljabar sebuah perusahaan akan memberi paket lebaran pada setiap karyawan yang terdiri dari 1 kaleng biskuit, 2 botol sirup, dan 10 bungkus mie instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 orang karyawan, maka perusahaan itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau (100 x 1)keleng biskuit, (100 x 2) botol sirup dan (100 x 10) bungkus mie instan. Jika x menyatakan banyaknya kaleng biskuit, y menyatakan banyak botol sirup dan z menyatakan banyak mie instan, maka dapat ditulis, atau sifat apakah yang berlaku terkait situasi ini? Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu. Sifat ini akan dipakai untuk menyelesaikan perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua. Contoh Tuliskan perkalian berikut senagai jumlah atau selisih dengan menggunakann sifat dstributuf. 1. 4(3x + 5y) 2. 5(2p 2 q 3pq 2 ) Penyelesaian : 1. 4(3x + 5y) =( =12x + 20y 2. 5(2p 2 q 3pq 2 ) = q) (5 3 2 ) = 10p 2 q 15pq 2 Perkalian Antara Dua Bentuk Aljabar Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk meentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil antara dua bentuk aljaber, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk lajabar suku dua dengan suku dua beriukut. (ax + b)(cx + d) = (ax x cx) + (ax x d) + (b x cx) + (b x d) =acx 2 + (ad + bc)x + bd Selain dengan cara sekema diatas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif sepertiuraian berikut. 101

115 (ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d) = ax =acx 2 + adx + bcx + bd =acx 2 + (ad + bc) x + bd Contoh Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih 1. (2x + 3) (3x - 2) 2. (-4a + b) (4a + 2b) Penyelesaian : 1. Cara (1) dengan sifat distributif (2x + 3) (3x 2) = 2x(3x 2) + 3(3x 2) = 6x 2 4x + 9x 6 =6x 2 + 5x 6 Cara (2) dengan skema. (2x + 3) (3x 2)= 2x X 3x + 2x X (-2) + 3 X 3x + 3 X(-2) = 6 +x 2 4x + 9x 6 =6x 2 + 5x 6 2. Cara (1) dengan sifat distributif (-4a + b) (4a + 2b) = -4a(4a + 2b) + b(4a +2b) = -16a 2 8ab + 4ab +2b 2 =-16a 2 4ab +2b 2 Cara (2) dengan skema (-4a + b) (4a + 2b) = (-4a) x 4a + (-4a) x 2b+b x 4a+b x 2b = -16a 2 4ab + 2b 2 102

116 Pembagian bentuk aljabar Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya. Contoh Sederhanakan pembagian bentuk aljabar berikut. 1. 3xy:xy 2. 6a 2 b 2 :3a 2 b Penyelesaian : 1. = 2. 3 a 3 b 2 : 3a 2 b = = 1. Jika andi mempunyai 10 permen berwarna biru dan 4 permen berwarna merah, kemudiana diberikan kepada Brian, 3 permen berwarna biru dan satu permen berwarna merah. a. Bagaimanakah bentuk aljabar yang dapat dituliskan untuk menggambarkan keadaan banyaknya permen aldi mula-mula? b. Bagaimanakah bentuk aljabar yang dapat dituliskan untuk menggambarkan keadaan banyak permen aldi setelah diberikan kepada Brian? 2. Untuk menyumbang korban bncana alam, siswa kelas VII A sebanya 32 anak sepakat masing masing membawa 5 buah mie instan dan 2 botol air mineral. Seluruh sumabngan yang terkumpul akan dikemas dalam 8 kantong plastik dan diserahkan kepada poanitia korban bencana alam di sekretariatan OSIS a. Tulislah bentuk aljabar yang menyatakan jumlah sumbangan dari kelas VII A b. Tulislah bentuk aljabar yang menyatakan isi tiap- tiap kantong plastik. 103

117 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Permen andi mula-mula adalah 10b + 4m b. Permen aldi setelah diberikan Brian adalah 10b + 4m (3b + m) = 10b + 4m 3b - m =(10 3)b + (4 1)m =7b + 3m 2. a. Jumlah sumbangan kelas VII Adalah (32 x 5)x + (32 x 2)y =160x + 64y b. Isi tiap- tiap kantong plastik adalah = 20x + 8y 1. Penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapan dikerjakan pada dua suku yang sejenis dengan menjumlahkan atau mengurangi koefisia pada suku-suku sejenis. 2. Jadi dapat disimpulkan, dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangi bila kedua bentuk aljabar itu sejenis. 1. Fara mempunyai 3 pak buku. Fira mempunyai 2 pak lebihnya dari buku yang dimiliki Fara. Fero mempunyai 6 pak kurangnya dari buku yang dimiliki Fara a. Berapakah jumlah buku Fara dan buku Fira? b. Berapakah buku Fira dan Firo? 104

118 2. Aldi mempunyai pensil 8 buah, aldo mempunyai pensil 2 buah lebihnya dari pensil yang dimiliki aldo, alda mempunyai 8 buah kurangya dari pensil yang dimiliki aldi. a. Berapakah hasil pengurangan pensil aldo dengan pensil aldi? b. Berapakah hasil pengurangan pensil aldi dan alda? 105

119 *Kegiatan Belajar 3 Kalimat Pernyataan Pernahkan kamu mengaajukan pertanyaan saat berdiskusi di dalam kelas? pernahkah kamu dperintah ibumu dirumah? Pernahkah kamu mendengar berita ditelevisi? Pernahkah kah kamu membyat pernyataan? coba kamu berikan contoh contoh kalimat pertanyaan, klimat perintah kalimat berita dan kalimat pernyataan. Perhatikan beberapa kalimat berikut ini! 1. Warna bendera Indonesia adalah merah putih 2. Bendera Indonesia berwarna merah putih biru 3. Tabung adalah bangun ruang 4. Banyaknya simetri lipat pada persegi adalah < Bilangan genap dikalikan bilnagan ganjil adalah bilangna genap. Manakah diantara kalimat diatas yang merupka kalimat benar? dan manakah yang salah? 106

120 Definisi 11 Kalimat yang sudah diketahui nlai kebenaranya atau salah disebut kalimat pernyataan KALIMAT TERBUKA 1. Masalah binatang peliharaan Safira mengatakan, saya mempunyai 9 ekor kucing persia. Bagaimana pendapatmu tentang ucapan Safira? benar atau salah? 2. Perhatikan kalimat 10 ditambah suatu bilangan hasilnya 15. Apakah kamu bisa menentukan kalimat itu benar atau salah? Kita tidak dapat menentukan kalimat itu benar atau salah karena suatu bilangan pada kalimat itu belum diketahui nilainya. Benar atau salah nya tergantung pada berapakah suatu bilangan itu. Jika suatu bilangan itu diganti dengan 5, maka kalimatnya menjadi 10 ditambah 5 hasilnya 15, kalimat itu adalah kalimat benar. Jika suatu bilangan diganti dengan 2, maka kalimatnya menjadi 10 ditambah 2 hasilnya 15, kalimat ini adalah kalimat yang salah. Definisi 12 Kalima yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka suatu bilangan pada kaimat diatas belum dikethui nilainya. dalam matematika, suatu yang belum diketahui nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasaya disimbolkan dengan huruf kecil x, y, u atau bentuk yang lain. 10 ditambah suatu bilangan hasilnya 15. jika suatu bilangan diganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika 10 + x = 15 Pengertian Persamaan Linear Sebelum membahas persamaan linear satu variabel (PLSV), perhatikan kalimat matematika berikut ini! = 9 107

121 12-5=3 + 4 Masing-masing kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilai benar yang menggunakan tanda sama dengan. Kalimat demikian disebut persamaan. Persamaan adalah suatu kalimat terbuka yang memuat hubungan dengan menggunakan tanda sama dengan. Perhatikan beberapa kaimat terbuka yang berbentuk persamaan. 1. x + 7 = y = p = 15 Setelah memahami pengetian persamaan, amatilah lebih lanjut bentuk-bentuk persamaan diatas, misalnya x + 7 =15. Pada persamaan ini terdapat satu variabel, yaitu x yang berpangkat satu. Oleh karena itu, bentuk x + 7 = 15 disebut persamaan linear satu variabel. Demikian pula bentuk persamaan linear lainya seperti 10y = 5 dan 5 + 2p = 15, karena dihubungkan dengan tanda sama dengan, hanya terdapat satu variabel saja, dan variabelnya berpangkat satu. 1. Ayu membeli 3kg buah mangga yang berisi 20 buah a. Sampai dirumah adiknya meminta beberapa mangga, ternyata mangganya tersisa 17 buah. Berapakah mangga yang diminta adiknya? b. Jika ayu mengambil untuk dirinya 8 buah mangga dan sisanya dibagi rata dengan ketiga temanya, berapa mngga yang diterima masingmasing teman ayu? 2. Sebuah kelompok sirkus mempunyai enam ekor harimau, tiga jantan dan tiga betina. Jika setiap hari pemiliknya memberi 48 kg daging untuk makanan harumau- harimau tersebut dan setiap harimau mendapatkan bagian yang sama. Berapakah berat daging yang dimakan setiap harimau dalam sehari? a. Jika setiap harimau memakan daging n kg sehari, dan daging yang dimakan oleh keenam harimau itu 48 kg, tulis kalima terbuka yang berkaitan dengan berat daging yang dimakan oleh keenam hariamau tersebut. b. Jika seekor harimau jantan memekan daging dua kali yang dumakan harimau betinadan daging yang dimakan keenam harimau itu 36 kg, berapa kilogram daging yang dimakan tiap harimau jantan? tulis 108

122 kalimat terbuka dari pernyataan tersebut. Apakah merupaka persamaan linear satu variabel? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Pada masalah diatas, jika banyak magga yang diminta adik Ayu dimisalkan x buah, maka diperoleh kalimat 20 x = 17 a. Manakah variabel atau peubah dari kalimat tersebut? b. Ada berapa variabelnya c. Apakah 20 x = 17 merupakan kalimat terbuka? d. Pada kalimat 20 x = 17 tanda penghubung apakah yang digunakan? a. Pada kalimat 20 x = 17 berapakah oangkat tertinggi dari variabelnya? Kalimat terbuka yang menggunakan kalimat penghubung = disebut persamaan. Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adlah satu, maka persamaan itu disebut (PLSV). Jadi 20 x = 17 merupakan salah satu contoh PLSV a. Jika y dganti 2, maka kalimat itu menjadi 8 + 3(2) = 17. Dan kalimat tersebut bernilai salah. b. Jika y dganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi 8 + 3(3) = 17. Dan kalima it bernilai benar. Pengganti y supaya 8 +3y = 17 menjadi benar adalah 3. Pengganti persamaan (peubah) sehingga persamaan menjadi benar disebut penyelesaian persamaan, sedangkan himpunan yang memuat penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. 2. Penyelesaian a. Berat daging yang dimakan oleh setiap harimau 48 : 6 = 8kg b. Jika dimisalkan setip harimau makan daging m kg maka diperoleh hubungan 6 x m = 48. Nilai m belum dietahui, oleh karena itu merupkan variabel atau peubah. Kalimat terbuka 6m = 48 menggunakan tanda =. Kalimat terbuka yang menggunakan tanda = disebut persamaan jika pangkat tertinggi dari variabel pada suatu persamaan adalah satu, maka persamaan tersebut persamaan linear. Persamaan linear yang haanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel. Jadi 6m= 48 merupakan salah satu contoh PLSV Jika dimisalkan setiap kg daging yang dimakan harimau jantan adalah j, dan yang dimakan harimau betina adalah b, maka kalimat 109

123 terbukanya dapat dituliskan j = 2b dan j + b = 36. Kalimat terbuka ersebut mempunyai dua variabel yaitu j dan b, maka kalimat tersebut bukan PLSV. 1. Kalimat yang mengandung informasi yang sesuai dengan fakta atau kenyataan disebut kalimat bernila benar. 2. Kalimat yang mengandug pernyataan yang tidak sesuai dengan fakta atau kenyataan disebut kalimat bernilai salah. 1. Periksa kalimat-kalimat berikut ini manakah yang merupakan pernyataan? Jelaskan. Jika sebuah kaliamat merupakan pernyataan tentukan nilai kebenaranya. a. Pasir adalah benda padat. b = 10 c. 12 y = 17 d. Hasil kali 4 2 dan lima adalah 40 e. Jumlah sebuah bilangan cacah dengan 6 adalah 11 f. Layang- layang buakan bangun segi empat. g. X adalah bilangan prima. h. Jika x = 2 maka 10 x = 8 2. Periksalah kalimat- kalimat berikut ini, manakah yang merupakan kalimat terbuka? Tuliskan alasannya a. 5 + n =

124 b = 6 c. Lima kali suatu bilangan adalah 20 d. Kuadrat dari 3 lebih besar dari 10 e. Jumlah 14 bilangan dengan suatu bilangan kurang dari 23 f. Harga satu liter minyak tanah dinaikan Rp menjadi Rp

125 *Kegiatan Belajar 4 Menentukan Bentuk Setara Dari PLSV (Dengan cara kedua ruas ditambah, dukurangi, dikalikan, dibagi dengan bilangan yang sama) perhatikan contoh berikut ini: 1. 2x + 2 =6 2. 2x + 4 =8 3. 2x = x + 4 = X + 1 = 3 Himpunan penyelesaian (hp) dari 2x + 2 =6 adalah 2 Himpunan penyelesaian (hp) dari 2x + 4 =8adalah 2 Himpunan penyelesaian (hp) dari 2x = 4adalah 2 Himpunan penyelesaian (hp) dari 4x + 4 = 12 adalah 4 Himpunan penyelesaian (hp) dari X + 1 = 3adalah 2 Bentuk Penyelesaian Dari PLSV Menyelesaiakan persamaan sama artinya dengan menentukan pengganti variabel sehingga persamaan menjadi bernilai benar. Untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel, kita gunakan aturan pesamaan yang setara, yaitu dua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama. Contoh Tentukan himpunan penyelesaan persamaan berikut dengan peubah pada himpunan bilangan bulat. 1. 3x + 5 = 2x + 3 3x = 2x (kedua ruas dikurangi 5) 112

126 3x =2x 2 3x 2x = 2x 2x 2 (kedua ruas dikurangi 2x) X = -2 HP = (-2) 2. 4a + 8 = 10a + 2 4a = 10a (kedua ruas dikurangi 8) 4a = 10a 6 4a 10a = 10a 10a 6 (kedua ruas dikurangi 10a) -6a = -6a -6a/6 =-6/-6 (kedua ruas dibagi -6) a = 1 HP = 1 Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel Bentuk Pecahan Dalam menyelesaikan persamaan linier satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan kedua ruas dikalikan dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian PLSV diselesaikan. Contoh Tentukan penyelesaian dari persamaan himpuna bilangan rasional., jika x variabel pada Penyelesaian : 10 =10 (kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5) 2x 20 = 5(x - 1) 2x = 5x (kedua ruas ditambah 20) 2x = 5x x 5x = 5x x (kedua ruas dikurangi 5x) -3x =

127 = (kedua ruas dibagi -3) = -5 Jadi himpuna penyelesaian dari adalah (-5 1. Rima dan Alvi membeli peren lolipop. Rima membeli 5 bungkus, sedangka Alvi membeli 2 bungkus. Banyak permen lolipop dalam seiap bungkus adalah sama. Selesaikan pertanyaan berikut ini. Jika rima memberi kakaknya sembilan permen dan sisanya sama dengan banyaknya permen Alvi, berapakan banyaknya setiap permen dalam seyiap bungkus? 2. Jembata gantung terpanjang di dunia adalah Akashi Kaikyo yang berada di Jepang, yang memiliki panjang Jepang juga memiliki jembatan Shimotsui Straight. Jembatan Akashi Kaikyo memiliki panjang 111 meter lebih panjang dari dua kali panjang jembatan Shimotsui Straight. berapakah panjang dari jembatan Shimotsui Straight? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Kalimat tersebut dapat dituliskan dalam kalimat matematika 5x 9 = 2x Untuk menghitung banyaknya permen dalam setiap bungkus, maka harus dicari nilai pengganti dari permisalan tadi, yaitu dapat dilakukan dengan membuat kesetaraan : 5x 9 = 2x 5x 9 + 9x = 2x + 9 (kedua ruas ditambah 9) 5x = 2x + 9 5x 2x = 2x 2x + 9 (kedua ruas dikurangi 2x) 3x = 9 (kedua ruas dibagi 3) x =3 Jadi banyaknya permen lolipop dalam setiap bungkus adalah 3 buah. 2. Misalkan panjang jembatan Shimotsui Straight adalah p. Karena panjang jembatan Akashi Kaikyo adalah meter, dan dari kalimat jembatan 114

128 akashi Kaikyo memiliki panjang 111 lebih panjang dua kali panjang jembatan Shimotsui Straight maka kalimat tersebut dapat dituliskan dalam kalimat matematika 2p = Untuk menghitung panjangnya jembatan Shimotsui Straight maka harus dicari jilai pengganti dari permisalan tadi, yaitu dapat dilakukan dengan membuat kesetaraan 2p = p = p = 1880 = P = 940 Jadi panjang jembatan Shimotsui Straight adalah 940 meter. 1. Untuk menentukan bentuk setara dan menetukan penyelesaian dari PLSV gunakan aturan persamaan setara, yaitu kedua ruas ditambah,dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama 2. Untuk menyelesaikan PLSV brentuk pecahan caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat bentuk pecahan kedua ruas dikalikan dengan KPK dari penyebut-penyebutnya. 115

129 1. Pada hari minggu Salwa membuat kue Dunat. Tapi ia lupa menghitung semua kue dunat yang telah dubuatnya, sekarang banyak dunat yang masih tersisa adalah 15 buah. Setelah bertanya kepadakeluarganya. Salwa mengetahui jumlah dunat yang telah dimakan sebanyak 12 buah. Berapa dunat yang telah dibuat Salwa? a. Tulislah persamaan yang berkaian dengan situasi itu b. Tentukan penyelesaian persamaan tersebut c. Berapa banyak dunat buatan Salwa? 2. Pada pelajaran olahraga, pak Hamid meminta murid kelas VII A berlari mengelilingi lapangan basket. Aldi, telah mengelilingi lapangan itu sebanyak 10 kali putaran. Lari sejauh itu sama dengan dari banyak seluruh putaran yang harus diharuskan. Berapa putarankah siswa-siswi kelas VII A harus berlari mengelilingi lapangan basket? a. Tulislah persamaan yang berkaian dengan situasi itu b. Tentukan penyelesaian persamaan tersebut c. Berapa putaran yang harus dilakukan Aldi? 116

130 *Kegiatan Belajar 5 Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kalimat terbuka yang berbentuk cerita. Bila kalimat tersebut diterjemahkan ke dalam kalimat matematika, maka penyelesaiannya akan lebih mudah. Contoh Tiga kurangnya dari suatu bilangan hasilnya 5 Penyelesaian : Untuk membuat kalimat matematika, bilangan yang belum diketahui dimisalkan terlebih dalam sebuah variabel. Misal : suatu bilangan tersebut adalah maka diperoleh persamaan Contoh Keliling sebuah persegi yang panjang sisinya adalah adalah 16 cm. Maka persamaannya adalah Untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang memuat konsep persamaan linear satu variabel adalah terlebih dahulu menyusun permasalahan tersebut kedalam model matematika. Model matematika adalah model yang menggunakan konsep dasar matematika dalam penggambarannya, seperti objek dalam masalah dinyatakan dalam peubah, tetapan atau parameter, hubungan antar objek dinyatakan sebagai sebagai fungsi, persamaan ataupun pertidaksamaan. Langkah-langkah penyelesaian soal cerita persamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan mengambil sebuah variabel untuk melambangkan penuh 117

131 3. Membentuk persamaan 4. Menyelesaikan persamaan itu Contoh Sebuah perusahaan mempunyai karyawan sebanyak 49 orang. ada berapa karyawan berhalangan hadir karena sakit, sehingga karyawan yang hadir hanya ada 38 orang. Berapa orang yang berhalangan hadir? Penyelesaian : 1. Memahami masalah Diketahui banyak karyawan ada 49, tetapi yang hadir hanya 38, ditanyakan yang tidak hadir 2. Menyusun rencana Memisalkan yang tidak hadir dengan sebuah variabel, misal x 3. Membentuk persamaan Menyelesaikan persamaan (kedua ruas dikurangi 49) (kedua ruas dikalikan -1) Jadi banyak karyawan yang berhalangan hadir ada 11 orang 1. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut.? 118

132 2. Banyaknya kambing milik pak Maman adalah 54 ekor. Beberapa ekor kambing laku terjual, sehingga pak Maman membeli kambing lagi sebanyak 8 ekor. banyak kambing pak Maman sekarang ada 55 ekor. a. Buatlah model matematika yang menyatakan situasidi atas. b. Beberapa banyak kambing pak Maman yang terjual? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Misalkan panjang tanah maka lebar tanah. Model matematika dari soal diatas adalah, sehingga Penyelesaian model matematika diatas sebagai berikut : x m 2 2. Penyelesaian : Diketahui : banyak kambing mula-mula 54 ekor, beberapa kambing terjual? Membeli kambing lagi sebanyak 8 ekor, banyak kambing sekarang 55 ekor Misal banyak kambing yang terjual adalah 119

133 Sehingga persamaannya adalah Jadi banyak kambing pak Maman yang terjual ada 7 ekor Langkah-langkah penyelesaian soal cerita persamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan mengambil sebuah variabel untuk melambangkan penuh 3. Membentuk persamaan 4. Menyelesaikan persamaan 1. Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel? 120

134 2. Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang. 3. Asti dan Anton bekerja pada sebuah perusahaan sepatu. Asti dapat membuat tiga pasang sepatu setiap jam dan Anton dapat membuat empat pasang sepatu setiap jam. Jumlah jam bekerja Asti dan Anton 16 jam sehari, dengan banyak sepatu yang dapat dibuat 55 pasang. Jika banyaknya jam bekerja keduanya tidak sama, tentukan lama bekerja Asti dan Anton 4. Paman memanen apel sebanyak 520 buah. Seluruh buah mangga tersebut akan dimasukkan ke dalam 10 kotak A dan 20 kotak B. Kotak A dapat menampung buah apel sebanyak ( buah dan kotak B dapat menampung buah. a. Berapakah banyak buah apel pada masing-masing kotak A? b. Berapakah banyak buah apel pada,asing-masing kotak B? 5. Pada suatu hari dijalanan kota tulungagung, Andi melakukan sepeda sehat dengan kecepatan12km/jam pada bagian pertama. Kemudian dilanjutkan dengan kecepatan 20 km/jam pada bagian kedua. jarak yang telah ditempuh Andi selama 2 jam adalah 34 km. a. Buatlah model matematika untuk menyatakan keterangan diatas? b. berapakah panjang lintasan yang telah ditempuh pada bagian kedua bersepedanya? 121

135 *Kegiatan Belajar 6 Model matematika adalah model yang menggunakan konsep dasar matematika dalam penggambarannya seperti objek dalam masalah dinyatakan dalam peubah, tetapan atau parameter, hubungan antar objek dinyatakan sebagai fungsi persamaan ataupun pertidaksamaan. Langkah pertama dalam menyelesaikan soal cerita adalah membuat model matematika dari soal tersebut. Dalam pemodelan matematika, kita menerjemahkan data pada soal ke dalam pertidaksamaan. Langkah-langkah penyelesaian soal cerita pertidaksamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan mengambil sebuah variabel untuk melambangkan peubah 3. Membentuk pertidaksamaan 4. Menyelesaikan pertidaksamaan itu Contoh Louis dan Christ masing-masing berusia tahun dan tahun. Jika umur louis kurangdari umur Christ tentukan nilai. Penyelesaian : Model matematika dari masalah di atas adalah Untuk menentukan nilai, kita lakukan sebagai berikut (kedua ruas dikalikan 2) (kedua ruas dikurangi 3) 122

136 (kedua ruas dikurangi 4a) Agar umur Louis kurang dari umur Christ, maka 1. Luas maksimal sebuah area parkir adalah 300 m 2. Diketahui luas ratarata untuk sebuah bus adalah 24 m 2 dan untuk sebuah mobil adalah 6 m 2. Jika jumlah mobil yang dapat ditampung diarea parkir adalah 10 buah lebih banyak daripada bus, maka a. Susunlah model matematika untuk menyatakan keterangan diatas. b. Tentukan jumlah bus maksimal yang dapat ditampung dalam area parkir tersebut. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Penyelesaian : a. misal luas daerah parkir yang diperlukan untuk sebuah bus adalah b dan luas parkir yang diperlukan oleh sebuah mobil adalah m Sehingga dapat dituliskan b. Dengan menggantikan salah satu variabel, maka dapat diselesaikan: Jadi banyaknya bus yang dapat ditampung dalam daerah parkir adalah tidak lebih dari 8 bus 123

137 Langkah-langkah penyelesaian soal cerita pertidaksamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan mengambil sebuah variabel untuk melambangkan peubah 3. Membentuk pertidaksamaan 4. Menyelesaikan pertidaksamaan 1. Sebuah mobil dapat mengangkut muatan tidak lebih dari 2000 kg. Berat sopir dan kernetnya 150 kg. Ia akan mengangkat beberapa kotak barang. Tiap kotaknya 50kg. a. Berapa paling banyak kotak yang dapat di angkut dalam sekai pengangkutan? b. jika ia akan mengangkat 350 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan terangkut semuanya? 2. Pak Todung memiliki sebuah mobil box pengangkutan barang dengan daya angkut maksimal 1 ton. Berat pak Todung adalah 50kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap beratnya 25 kg. Berapa kotak paling banyak dapat diangkut pak todung dalam sekali pengangkutan? 3. Rika pergi ke sebuah cafe, ia memesan 2 buah soft drink dan sebuah hamberger. Haega satu gelas soft drink adalah Rp ,-. Jika harga hamberger tidak lebih dari Rp ,- dan n adalah jumlah uang yang harus Rika bayae dikasir maka berapakah jumlah uang yang harus Rika bayarkan dikasir? 4. Dimas mempunyai 700 kartu dan evan mempunyai 500 kartu. Masingmasing memberikan kartu kepada ilham dalam jumlah yang sama. Sisa kartu yang dimiliki Dimas lebih kecil atau sama dengan 3 kali sisa kartu 124

138 yang dimiliki evan. Tentukanlah masing masing kartu yang diberikan kepada ilham? 5. Pak Jaya akan membuat pagar keliling dengan panjang = dua kali lebar pagar. Dikarenakan keterbatasan dana, pak Jaya hanya mampu membangun pagar dengan total panjang (keliling) 120 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar pagar maksimal yang dapat dibangun oleh pak Jaya? 125

139 SOAL EVALUASI MPM 3 1. Tentukan hasil dari a. 4(2x 1) b. 5(4x 4) c. 2(5 x) 2. Jika a = x 2 xy + 3y 2 dan b = x 2 + 2xy y 2 tentukan hasil dari a. a+2b b. 2a b c. 3a 2b 3. Harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp ,00. a. Buatlah model matematika yang menggambarkan keadaan di atas b. Selesaikanlah model matematika tersebut kemudian tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal 4. Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan untuk penumpang kelas ekonom batas bagasinya adalah 20 kg. Jika daya tampung bagasi pesawat tidaklebih dari kg, maka a. Tuliskan model matematika untuk menyatakan keterangan diatas b. Tentukan batas banyaknya penumpang kelas ekonomi 5. Rumah ibu Suci dibangun diatas sebidang tanah berbentuk persegi panjangnya 20 m dan lebarnya (6y-1)m. Jika luas tanah ibu Suci tidak kurang dari100 m 2, a. Berapakah lebar terkecil tanah ibu Suci? b. Jika biaya untuk membangun rumah diatas tanah seluas 1 m 2 dibutuhkan uang Rp ,-. Berapakah biaya terkecil yang harus disediakan ibu Suci, Jika besarnya dibangun seluruhnya? 6. Rani mempunyai 70 kartu dan Kiki mempunyai 50 kartu. Rani dan Kiki akan memberikan kartu kepada Ifa dalam jumlah yang sama. Sisa kartu yang dimiliki Rani sama dengan tiga kali sisa kartu yang dimiliki Kiki. a. Buatlah modul matematika untuk menyatakan situasi di atas. b. Berapakah banyak kartu yang diterima Ifa? 126

140 c. Berapakah sisa kartu yang dimiliki Rani? d. Berapakah sisa kartu yang dimiliki Kiki? 127

141

142 Modul ini berisi teori tentang sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel serta menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar operasi bilangan bulat, bentuk aljabar, serta sistem persamaan dan pertidaksamaan satu variabel. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. 2. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik dan menggambar grafiknya. 3. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi. 4. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode eliminasi. 5. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi-eliminasi. 6. Dapat menghadapi permasalahan tentang pertidaksamaan linear satu variabel. 7. Dapat menghadapi permasalahan pada kasus persamaan dan pertidaksamaan linear di kehidupan sehari-hari. 8. Dapat berpikir kreatif dalam membangun konsep dan sifat permasalahan persamaan dan pertidaksamaan linear dan menerapkannya dalam kehidupan nyata. 9. Mampu membangun model matematika permasalahan nyata terkait dengan pertidaksamaan linear dua variabel dengan berbagai model. 129

143 10. Mampu mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep persamaan dan pertidaksamaan linear nilai mutlak dan menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 130

144 *Kegiatan Belajar 1 Bentuk Umum Dua buah persamaan linear dengan dua variabel (SPLDV) yang memiliki satu penyelesaian disebut sistem PLDV (SPLDV). Bentuk umum, yaitu: Mengenal Sistem Persaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Perhatikan permasalahan berikut! Untuk acara ulang tahun Fira, ibu membuat beberapa macam kue. Oleh karena itu, ibu membeli bahan-bahan untuk membuat kue, yaitu 5 kg terigu dan 3 kg gula dengan harga sluruhnya Rp ,00. Ternyata bahan yang dibeli ibu tersebut kurang, sehingga ibu menyuruh Fira untuk membeli 2 kg terigu dan 2 kg gula dengan harga seluruhnya Rp ,00. Berapakah harga 1 kg terigu dan 1 kg gula? Masalah diatas merupakan bentuk dari masalah sistem persamaan linear dua variabel. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan atau lebih yang menggunakan variabel-variabel yang sama. Penyelesaian dari sistem persamaan lineardua variabel merupakan pasangan terurut bilangan yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut. Persamaan diatas dapat dijadikan sistem persamaan linear dua variabel berikut. Misal terigu = x dan gula = y, maka 5x + 3y = x + 2y = Bentuk diatas merupakan bentuk baku dari sistem persaan linear dua variable 131

145 1. Ketika musim hujan akan tiba Andi mempersiapkan membeli payung 2 buah, dan jas hujan 3 buah, seharga Rp ,00. Kmudian ibu membeli lagi payung 4 buah dan jas hujan 2 buah dengan harga Rp ,00, maka berapakah harga 1 buah payung dan 1 buah jas hujan? 2. Dalam sebuah gedung pertunjukan terdapat 400 orang penonton. harga tiap lembar karcis untuk kelas II adalah Rp sedangkan untuk kelas 1 Rp Hasil penjualan karcis sebesar Rp berapa banyak penonton yang membeli krcis kelas I dan berapa banyk penonton yang membeli karcis kelas II? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Misalkan payung = x, dan jas hujan =y, maka: 2x + 3y = x + 2y = Misalkanpenontonkelas I = x dan penonton kelas II = y x + y = x y = Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan atau lebih yang menggunakan variabel-variabel yang sama. 2. Bentuk umum dari SPLDV, yaitu: 132

146 1. Harga 1 kg beras dan 4 kg minyak goreng Rp14.000,00. Sedangkan harga 2 kg beras dan 1 kg minyak goreng Rp10.500, Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000, Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50 kg. Harga 1 kg berasjenis I adalah Rp 6.000,00 danjenis II adalah Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp ,00 133

147 *Kegiatan Belajar 2 Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Grafik Untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, dapat menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Gambar grafik himpunan penyelesaian dari masing-masing kedua persamaan pada sebuah bidang koordinat. 2. Tentukan titik potong grafik tersebut. Titik potong ini yang merupakan penyelesaian SPLDV tersebut,. Contoh Lihat kembali permasalah yang ada di atas. Penyelesaian : Langkah 1 : Kita gambargrafik 5x + 3y = dan 2x + 2y = X Y Titik potong dengan sumbu X dan Y adalah (0, ) dan (6.000, 0). 2x + 2y = X Y

148 Langkah 2 : Kedua garis berpotongan dititik (3.000, 5.000). Jadi, harga 1 kg terigu Rp 3.000,00 dan 1 kg gula Rp 5.000,00. MenentukanPenyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi Subtitusi artinya mengganti. Menyelesaikan suatu persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi artinya menyelesaikan dengan cara mengganti suatu variabel dengan variabel yang lain. Contoh Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode subtitusi. Penyelesaian : dapat diubah menjadi...3 Subtitusikan 3 ke 2, artinya menganti variabel x pada 2 dngan 10 y diperoleh 135

149 ...4 Subtitusikan 4 ke 1, diperoleh Jadi, himpunan penyelesaiannya (14, - 4) Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi Eliminasi artinya menghilangkan. Menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel persamaan dengan menyamakan dahulu koofisien salah satu variabel persamaan itu. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan model eliminasi. Penyelesaian : Koefisien variabel y pada sistem persamaan linear itu adalah sama, sehingga yang di hilangkan variabel y terebih dahulu. Selanjutnya untuk menentukan besarnya nilai y, kita hilangkan variabel koefisien x. Koefisien variabel x pada sistem persamaan linear itu belum sama sehingga harus disamakan terlebih dahulu tanpa memperhatikan tanda. Koefisien variabel lebih mudah disamakan dengan mencari KPKnya. KPK 2 dan 1 adalah 2 136

150 x 1 x 2 Jadi, himpunan penyelesaian adalah (4, 0) MenentukanPenyelesaian SPLDV dengan Metode subtitusi - Eliminasi Merupakan gabungan dari metode subtitusi dan eliminasi Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: Penyelesaian : x 3 x 2 Subtitusi, di peroleh Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (-1, 4) 137

151 1. Selesaikan SPLDV berikutdengan metode grafik. a. b. 2. Tentukanpenyelesaian SPLDV berikut dengan metode subtitusi a. b. 3. Tentukanhimpunanpenyelesaiandari SPLDV dengan metode eliminasi? a. b. 4. Tentukanhimpunanpenyelesaiandari SPLDV denganmetode subtitusieliminasi? a. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk? b. Himpunan penyelesaian dari adalah... Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a.y = 3x X 0 0 Y

152 X 0 0 Y 0 0 b. X 0-2 Y -2 0 X 0 Y a. 139

153 3. a. x 5 x 3 x 7 x 5 4. a. x 5 x 2 140

154 x 3 x 5 141

155 1. Ada empat metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu: a. Metodegrafik b. Metode subtitusi c. Metode eliminasi d. Metode subtitusi eliminasi 2. Menyelesaikan suatu persamaan linear dua variable dengan metode subtitusi artinya menyelesaikan dengan cara mengganti suatu variable dengan variabel yang lain. 3. Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variable persamaan dengan menyamakan dahulu koofisien salah satu variable persamaan itu. Selesaikan soal-soal berikut dengan sembarang metode

156

157 *Kegiatan Belajar 3 Bentuk Umum Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel. ax + by > c ax + by < c ax + by c ax + by c Dengan : a = koefisien dari x, a 0 b = koefisien dari y, b 0 c = konstanta a, b, dan c anggota bilangan real. Mengenal Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Diketahui system pertidaksamaan berikut, x + y 10 2x + 3y 24 x 0, y 0 Pengertian pertidasamaan linier dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing- masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah <, >,. Persamaan diatas dapat dijadikan sistem persamaan linear dua variabel berikut, Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (10, 0) dan (0,10). 144

158 Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,8). Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian system persamaan tersebut. Sehingga daerahpenyelesaiandari SPLDV tersebutdapatdigambarkanseperti di bawahini. Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupa pasangan terurut (a, b) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel. Semua penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukan dalam suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat cartesius. Langkah- langkah yang harus diambil untuk menggambar kan grafik penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel, hampir sama dengan langkah - langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear dua variabel. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian sistem ptidaksamaan linear dua variabel yaitu: 1. Menentukan Penyelesaian SPLDV Dengan Kalimat Terbuka Menggunakan <, >,, 5 + x >10 x 4 < 12 3x 2 7 2x

159 Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama misal x > y maka x + a > y + a Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x y maka a. x y. a dengan a > 0 Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x y maka x a -y a (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama) misal x y maka (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama). Contoh Tentukan HP dan gambar pada garis bilangan dari pertidaksamaan 3(x 1) + 1 < 7 Penyelesain : 3( x 1) + 1 < 7 3 x < 7 Ruas kiri diselesaikan terlebih dahulu 3 x 2 < 7 3x < Kedua ruas ditambah lawan dari 2 yaitu 2 3x < 9 Kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu 3 HP = { x x < 3, x R} 2. Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan kalimat tertutup menggunakan tanda <, >,, < x 5 5 x 6 20 : 2 > 9 : 4 Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama misal x > y maka x + a > y + a Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x y maka x y.a dengan a > 0 146

160 Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x y maka x a -y a (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama) misal x y maka (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama). Contoh Tentukan HP dan gambar grafik garis bilangan dari suatu pertidaksamaan 2 2x x Penyelesaian : Pertidaksamaan 2 2x x terdapat dua tanda pertidaksamaan maka ada tiga ruas ( ruas kiri, ruas tengah, ruas kanan ) sehingga ada dua penyelesaian. Penyelesaian pertama,bentuk pertidaksamaannya adalah - 2 2x 4 Ruas kiri dan ruas tengah.(a) -2x x -2 x 1 Berubah tandanya karena kedua ruas dibagi dengan 2 HP= {x x 1, x R} Penyelesaian kedua, bentuk pertidaksamaannya adalah 2 x x Ruas tengah dan ruas kiri..(b) 2x x x 6 HP 6 HP = {x x 6, x R} Pertidaksamaan 2 2x x terdapat dua nilai x yaitu x 1 dan x 6 atau 1 x 6 Sehingga HP = {x 1 x 6, x R 147

161 1. Tentukan HP dan gambar pada garis bilangan dari pertidaksamaan 3(x 1) + 1 < 7 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x 1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 3( x 1) + 1 < 7 3 x < 7 Ruas kiri diselesaikan terlebih dahulu x 2 < 7 3x < Kedua ruas ditambah lawan dari 2 yaitu 2 x < 9 Kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu 3 HP = { x x < 3, x R} 2. 3x 1 < x + 3 3x 1+ 1 < x (kedua ruas ditambah 1 ) 3x < x + 4 3x + (-x) < x + (-x) +4 (kedua ruas ditambah x) 2x < 4 x < 2 Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1 Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 }. 148

162 Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mem punyai dua variabel. 1. Tentukan HP dangambargrafikgarisbilangandarisuatupertidaksamaan 2 2 x x 2. Tentukan himpunan penyelesaian 3x 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,,15} 3. Tunjukkan pada diagram kartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 2y 4. Tunjukkan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x.y a. x b. y 5. Tunjukkan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x.y a. x b. y 149

163 *Kegiatan Belajar 4 Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel. 1. Ganti tanda ketidaksamaan >, <,, atau dengan tanda =. 2. Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu. a. Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik (x,0 b. Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik (0,y) 3. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik (x,0) dengan titik (0,y). Jika pertidaksamaan memuat > atau <, gambar kanlah grafik tersebut dengan garis putus-putus. 4. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian pertidaksamaan. 5. Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan. Contoh

164 Penyelesaian : 1. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x 2. Tentukan himpunan penyelesaian 3x 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,,17} 151

165 Kunci Jawaban Tes Formatif x 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4 17} 3x 2x 7 > 2x - 2x + 2 ( kedua ruas dikurangi 2x) x 7 > 2 x > ( kedua ruas dikurangi7 ) x > 9 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x > 9 ; x bilangan asli 17} HP = {10, 11, 12, 13, 14, 17} 152

166 Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentukl ah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 1. Tentukan daerah penyelesaian dan system pertidaksamaan linier berikut, x + 2y 6 3x + 2y 18 x 0 y 0 2. Dalam himpunan pertidaksamaan x 1, y 2 x + y 6, dan 2 x +3y 15, nilai minimum dari 3x + 4y adalah 3. Tunjukan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,y R x 0, y 0, 2x + y < 6 4. Tunjukan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,y R x 0, y 0, x + y < 6, 8x + 3y Tunjukan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,y R x 4, y 0, x + y < x, x + y 4 153

167 SOAL EVALUASI MPM 4 1. Sepuluh tahun yang lalu usia ayah Ika adalah empat kali usia Ika. Enam tahun yang akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika. Berapa usia Ika dan ayahnya sekarang? Nyatakan permasalahan tersebut dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terlebih dahulu. 2. Satu tahun yang lalu umur Budi 2 kali umur Andri, sementara 2 tahun yang akan datang umur Andri adalah umur Budi. Umur Andri sekarang adalah Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor bebek adalah Rp ,00, sedangkan harga 3 ekor bebek dan 2 ekor ayam adalah Rp ,00. Berapa harga seekor bebek? 4. Himpunan penyelesaian dari adalah Himpunan penyelesaian dari adalah Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya. 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini. a. 2x + 3y 12 b. 2x 5y > 20 c. 4x 3y < 12 d. 5x + 3y

168

169 Modul ini berisi rangkuman materi mengenai Himpunan. Materi himpunan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs yang pada tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi syarat sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah operasi bilangan bulat, bentuk aljabar. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Memahami konsep himpunan 2. Memahami cara menyajikan himpunan 3. menemukan himpunan kosong, himpunan nol dan himpunan semesta 4. Menyajikan suatu himpunan atau lebih menggunakan diagram venn 5. Memahami tentang himpunan bagian 6. Siswa dapat memahami hubungan antar himpunan 7. Siswa dapat, melakukan operasi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen pada himpunan 8. Siswa dapat menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 156

170 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 157

171 *Kegiatan Belajar 1 Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah adalah dapat ditentukan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu benda (obyek) termasuk dalam suatu kelompok yang ditentukan atau tidak. Bendabenda (obyek) yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu. Misal : 1. Kumpulan hewan berkaki dua, merupakan himpunan karena hewan berkaki dua terdefinisi dengan jelas. Anggotanya adalah ayam, bebek, burung, dll 2. Kumpulan lukisan indah, bukan merupakan suatu himpunan karena lukisan indah tidak terdefinisi dengan jelas (bersifat relatif) Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan 1. Notasi Himpunan Suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, seperti A, B, C,..., Y,Z. Adapun benda atau obyek yang termasuk dalam himpunan itu ditulis didalam kurung kurawal yang terpisah dengan koma {...,...,...}. Contoh a. A adalah himpunan warna lampu lalu lintas. Warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan hijau. Jadi, himpunan di atas ditulis A = {merah, kuning, hijau}. b. B adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama. Lima bingan cacah yang pertama adalah 0, 1, 2, 3, dan 4. Jadi, himpunan di atas di tulis B ={0, 1, 2, 3, 4} 2. Anggota Himpunan 158

172 Setiap benda atau obyek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan. Adapun suatu benda atau obyek yang tidak berada dalam suatu himpunan itu disebut bukan anggota himpunan, dinotasikan dengan. Contoh Diketahui B = {0, 1, 2, 3, 4} Bilangan 0, 1, 2, 3, 4 merupakan anggota himpunan B, ditulis 0 B, 1 2 B, 3 B, dan 4 B Karena bilangan 5, 6, dan 7 tidak terdapat dalam himpunan B, maka bilang itu bukan anggota himpunan B, maka bilang itu bukan anggota himpunan B, dan ditulis 5 B, 6 B, dan 7 B. 3. Banyaknya Anggota Suatu Himpunan Banyaknya anggota himpunan A dinotasikan oleh n(a) Contoh Diketahui: A={1, 3, 5, 7, 9, 11} Banyaknya anggota himpunan A adalah 6, ditulis n(a) = 6 1. Diantara kumpulan berikut, manakah yang merupakan himpunan atau bukan himpunandan beri alasannya! a. Kumpulan bunga-bunga yang indah b. Kumpulan siswa kelas 1 SMP yang berulang tahun pada tanggal 1 Juli c. Kumpulan guru-guru SMP yang bijaksana d. Kumpulan bilangan genap antara 1 dan 10 e. Kumpulan bilangan genap kurang dari 20 f. Kumpulan guru-guru yang cantik g. Kumpulan siswa kelas 1 SMP yang pandai h. Kumpulan walimurid yang sabar i. Kumpulan buku paket matematika SMP 159

173 j. Kumpulan orang-orang yang rajin belajar 2. Diketahui P = {bilangan pembagi dari 24} Periksalah apakah pernyataan ini benar atau salah. a. 1 P b. 5 P c. 10 P d. 2 P e. 6 P f. 12 P g. 3 P h. 8 P i. 20 P j. 4 P 3. Diketahui P = {nama-nama bulan berhuruf awal J dalam kalender} Periksalah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Januari P b. April P c. Juli P d. Oktober P e. Februari P f. Mei P g. Agustus P h. November P i. Maret P j. Juni P k. September P l. Desember P 4. Diketahui A={nama bulan yang berumur 31 hari dalam kalender} B={nama hari dalam satu minggu yang diawali dengan huruf S} 160

174 C={warna dalam lampu lalu lintas} Dengan menggunakan tanda atau, lengkapilah pernyataan berikut a. Februari...A b. Juni...A c. Agustus...A d. Oktober...A e. November...A f. Rabu...B g. Sabtu...B h. Jum at...b i. Senin...B j. Ungu...C k. Merah...C l. Kuning...C m. Hijau...C n. Maret...A o. Jingga...C p. Kamis...B 5. Diketahui M = Himpunan semua propinsi di Indonesia. Periksalah dan tentukan apakah pernyataan ini benar atau salah a. Jakarta M b. Kalimantan Timur M c. Jawa Timur M d. Banjarmasin M e. Timor timur M f. Ujung Pandang M g. D.I. Yogyakarta M h. Bali M i. Jayapura M 161

175 j. Palembang M k. Banda Aceh M l. Maluku M Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Bukan himpunan b. himpunan c. himpunan d. Bukan himpunan e. himpunan f. himpunan g. Bukan himpunan h. Bukan himpunan i. himpunan j. Bukan himpunan 2. P = {1,2,3,4,6,8,12,24} a. Benar b. Benar c. Benar d. Benar e. Benar f. Benar g. Salah h. Benar i. Salah j. Benar 3. P = {januari, juni, juli} a. Benar b. Benar 162

176 c. Benar d. Benar e. Benar f. Benar g. Benar h. Salah i. Benar j. Benar k. Benar l. Benar 4. A = { Januari, Maret, Mei, Juli, Agustus, Oktober, Desember} B = { Senin, Selasa, Sabtu } C = {merah, hijau, kuning} a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. 163

177 5. a. Benar b. benar c. benar d. salah e. benar f. benar g. salah h. benar i. salah j. salah k. salah l. benar 1. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas. 2. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital. 3. Anggota atau elemen himpunan dinotasikan dengan, sedangkan yang bukan anggota atau elemen himpunan dinotasikan dengan 4. Banyaknya anggota himpunan dinotasikan oleh n (A) 164

178 1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 8,12,...96} P = {s, a, k, i, t} Q = {k, u, c, i, n, g} Salin dan isilah dengan lambang atau pada titik-titik berikut sehingga menjadi kalimat yang benar a. 3 A b. 0 A c. 72 B d. 54 B e. a P f. u Q g. t Q h. n P 2. Nyatakan benar atau salah setiap kalimat berikut: a. 2 {0,1,2,3,4} b. 4 {1,4,9,16} c. 8 {bilangan genap} d. km {satuan panjang} e. 2 {252} 3. Tentukan banyaknya anggota setiap himpunan berikut a. A = {warna bendera Indonesia} b. B = {propinsi di Indonesia} c. C = {nama hari dalam seminggu} d. D = {huruf pembentuk kata MATEMATIKA} e. E = { bilangan asli yang merupakan faktor dari 18} 165

179 4. Di antara kelompok atau kumpulan berikut, tentukan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan, beri alasan yang mendukung a. Kumpulan kendaraan bermotor b. Kumpulan negara-negara di Asia Tenggara c. Kelompok binatang serangga d. Kelompok binatang buas e. Kumpulan bilangan kecil 5. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan kurung kurawal a. Nama-nama bulan dalam setahun b. M adalah binatang mamalia c. N adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20 d. Y adalah himpunan planet-planet dalam tata surya e. L adalah bilangan prima ganjil 166

180 *Kegiatan Belajar 2 Menyatakan Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu: 1. Dengan Kata-kata Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan kata-kata, yaitu dengan menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Misal : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 30 Himpunan P dapat ditulis P ={bilangan prima antara 10 dan 30}. 2. Dengan Mendaftar Anggota-Anggotanya Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebut nama anggotanya, yaitu dengan menulis anggota-anggotanya dalam kurung kurawal yang dipishkan dengan tanda koma. Misal : {P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 30} ditulis P = {11, 13, 17, 19, 23, 29} 3. Dengan Notasi Pembentukan Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu dengan menyebutkan semua syarat keanggotaanya yang dinyatakan dengan variabel. Contoh:a. P = { bilangan prima antara 10 dan 30} Jika ditulis dengan notasi pembentukan sebagai berikut: P = {x 10 b. C adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama. Jika ditulis dengan notasi pembentukan sebagai berikut: C = {y y adalah lima bilangan cacah yang pertama} 167

181 Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga Diberikan A adalah himpunan bilangan asali dari 10 sampai dengan 30. Jika himpunan A dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya, maka A ={10,11,..., 28, 29, 30}dan n(a)=21. Oleh karena itu, himpunan A dikatakan sehingga himpunan berhingga. Diberikan B adalah himpunan bilangan bulat, jika himounan B dinyakan dengan mendaftar anggota-anggotanya, maka B ={..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} dan n(b)= tidak berhingga. Oleh karena itu, himpunan B dikatan himpunan tak berhingga. Dari uraian dapat disimpulkan bahwa: 1. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga, disebut himpunan berhingga 2. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga, disebut himpunan tak berhingga Contoh diberikan himpunan-himpunan berikut 1. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang atau sama dengan 9 2. C {y y adalah bilangan bulat genap} Penyelesaian : 1. Maka A={1, 2,3,4,5,6,7,8,9} dan n(a)= 9 Jadi, himpunan A adalah berhingga 2. Maka D = {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...}dan n(d) adalah tak berhingga Jadi, himpunan D adalah himpunan tak berhingga 168

182 1. Diketahui P = {1,2,3,4,5,8,11,12,13,15,18,21}. Nyatakan himpunanhimpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya! a. A = himpunan anggota P yang kurang dari 10 b. B = himpunan anggota P antara 4 dan 14 c. C = himpunan anggota P yang lebih dari 9 d. D = himpunan anggota P yang ganjil e. E = himpunan anggota P yang genap 2. Nyatakan bilangan berikut dengan kata-kata a. K = {0,1,2,3,4} b. L = {7,9,11,13,15} c. M = {x x 12, x adalah bilangan ganjil} d. Q = {y 3 y 10, y bilangan genap} 3. Nyatakan bilangan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya a. D = {m m 7, m adalah bilangan prima} b. E = {x 4 x 4, x adalah bilangan bulat} c. F = {bilangan prima yang kurang dari 3} d. G = {bilangan komposit antara 0 dan 20} 4. Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan a. A = {bilangan asli yang kurang dari 7} b. B = {bilangan cacah yang lebih dari 4 dan kurang dari 17} c. C = {bilangan prima antara 25 dan 40} d. D = {bilangan bulat antara 5 sampai dengan 3} e. E = {8,10,12,14} f. F = { 0, 1, 2, 3, 4,...} g. G = {x, :,+,-} 169

183 5. Lengkapilah tabel berikut ini! Dinyatakan dengan kata-kata Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan Dinyatakan dengan mendaftar anggotanya A P={bilangan ganjil kurang dari 16 dan habis dibagi 3} B Q={ x x 10, x C} C adalah himpunan bilangan cacah C T = {11,13,17,19} D R={y -2 y 4, y B} B adalah himpunan bilangan bulat E K={2,4,8,16,32} Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 8} b. B = {5, 8, 11, 12, 13} c. C = {11, 12, 13} d. D = {1, 3, 5, 11, 13, 15, 21} e. E = {2, 4, 8, 12, 18} 2. a. Himpunan bilangan cacah kurang dari 5 b. himpunan bilangan ganjil antara 5 dan himpunan bilangan asli kurang dari himpunan bilangan genap antara 3 dan 9 3. a. D = {7, 9, 11, 13, 17, 19, 23...} b. E = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} c. F = {2} d. G = { } 170

184 4. a. A = {k k < 7, k adalah bilangan asli} b. B = { n 4 < n < 17, n bilangan cacah} c. C = { y 25 < y < 40, y bilangan prima} d. D = { m -5 < m 3, m bilangan bulat} e. E = { n 8 n 14, n bilangan genap} f. F = { y y o, y bilangan cacah} g. G = { k k operasi hitung matematika sederhana} 5. Dinyatakan dengan kata-kata A P={bilangan ganjil kurang dari 16 dan habis dibagi 3} Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan P={ x x < 16, x K } K adalah bilangan ganjil dan habis dibagi 3 Dinyatakan dengan mendaftar anggotanya P = {3, 6, 9, 12, 15} B Q={bilangan cacah kurang dari sama dengan 10} Q={ x x 10, x C} C adalah himpunan bilangan cacah Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} C T={bilangan prima antara 10 dan 20} T={y 11 y 19, y } P adalah bilangan prima T = {11,13,17,19} D R={bilangan R={y -2 y 4, y B} R = {-2,-1,0,1,2,3,4} E K = {bilangan genap 2x sebelumnya antara 1 dan 35} B adalah himpunan bilangan bulat K = {x 2x sebelumnya, x Q } Q adalah bilangan genap K={2,4,8,16,32} 171

185 1. Himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu: a. Dengan kata-kata: dengan menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. b. Dengan mendaftar anggota-anggotanya:dengan menulis anggota-anggotanya dengan kurung kurawal yang dipisahkan dengan tanda koma. c. Dengan notasi pembentuk himpunan:dengan menyebutkan semua syarat keanggotaanya yang dinyatakan dengan variabel. 2. Himpunan berhingga : himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga 3. himpunan tak berhingga : himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga 1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-angotanya. a. P adalah himpunan huruf pembentuk kata MAHASISWA b. L adalah himpunan nama bulan yang berumur 30 hari c. R adalah bilangan genap kurang dari 10 d. S adalah himpunan lima huruf pertama dalam abjad 2. Seledilkilah himpunan-himpunan berikut berhingga atau tak berhingga, berilah alasannya a. B adalah bilangan asli yang habis dibagi 3 b. C adalah bilangan cacah yang kurang dari 1001 c. M adalah bilangan bulat kurang dari

186 d. K adalah himpunan bangun datar dalam matematika 3. Salin dan isilah titik-titik ada kalimat berikut sehingga menjadi kalimat yang benar a. A = {bilangan prima kurang dari 25} maka n(a) b. B = {huruf pembentuk kata TULUNGAGUNG} maka n(b) c. C = {faktor dari 20} maka n(c) d. D = {faktor persekutuan dari 15 dan 45} maka n (D) 173

187 *Kegiatan Belajar 3 Himpunan Kosong Jika K adalah himpunan persegi panjang yang dibentuk oleh 3 sisi. Maka anggota himpunan K tidak ada, karena persegi panjang mempunyai empat sisi, bukan tiga sisi, sehingga himpunan K dikatakan himpunan kosong. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi himpunan kosong adalah {} atau. Banyaknya anggota himpunan kosong adalah n{ } = 0. Himpunan Nol Jika N = {x x, x adalah bilangan cacah}, maka N ={0} dan n(n)=1, sehingga himpunan N disebut himpunan nol, yaitu himpunan yang anggotanya angka nol. Jadi, himpunan N = {0} bukan himpunan kosong. Himpunan nol adalah himpunan yang anggotanya angka nol. Himpunan nol ditulis dengan N ={0} dan banyaknya anggotanya satu atau n(n) = 1 Catatan: {0} Contoh Diberikan himpunan-himpunan berikut P = { x x adalah anggota prima genap } Q = { y y adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2} Penyelesaian : P = {2}. Jadi, P bukan himpunan kosong Q = { karena bilangan ganjil tidak ada yang habis dibagi 2, sehingga disebut himpunan kosong 174

188 Himpunan Semesta Perhatikan gambar di atas! Gambar di atas menunjukkan kelompok buah-buahan yang terdiri atas jeruk, pisang, apel, dan anggur. Jika ditulis dalam bentuk mendaftar maka A = {jeruk, pisang, apel, anggur}. Apa yang dibicarakan pada himpunan A? karena anggota himpunan dari A merupakan jenis buah-buahan, maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan buah-buahan, dan ditulis S ={buah-buahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari A, dan himpunan S memuat semua anggota A. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan dengan S. Contoh Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari a. D= {1,3,5,7,9} b. K={ayam,itik,burung} Penyelesaian : a. Himpunan semesta yang mungkin adalah: S={bilangan asli} atau S={bilangan cacah} b. Himpunan semesta yang mungkin adalah: S={ayam,itik,burung} atau S={hewan berkaki dua} atau S={hewan unggas} 175

189 1. Diantara himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan himpunan kosong? a. {y y bilangan cacah yang kurang dari 1} b. {bilangan ganjil yang habis dibagi 2} c. {Bilangan prima antara 8 dan 10} d. {bilangan asli antar 3 dan 4} e. {bilangan genap yang habis dibagi 5 dan hasilna bilangan genap} f. {bilangan cacah yang jika dikalkan 7 mengasilkan 7} g. { x x bilangan cacah jika ditambah 9 menghasilkan 9} 2. Tentukan sebuah himpunan semesta untuk himpunan berikut a. A = {a,b,c,d,e} b. B = {2,4,6,8,10} c. C = {3,5,7,11} 3. Tentukan dua himpunan semesta untuk himpunan berikut a. P = {3,5,7,11} b. Q = {a,i,u} c. K = {kubus, balok, prisma, limas} 4. Tentukan tiga himpunan semesta untuk himpunan berikut a. {0,2,3,6} b. {11,13,15,17,19} c. {2,3,5,7,11,13} d. {3,6,9,12,15} e. {21,24,27} Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Bukan himpunan kosong b. himpunan kosong 176

190 c. himpunan kosong d. himpunan kosong e. bukan himpunan kosong f. bukan himpunan kosong g. bukan himpunan kosong 2. a. Huruf-huruf abjad b. bilangan genap positif c. bilangan prima 3. a. Bilangan prima, bilangan ganjil b. huruf-huruf abjad, huruf vokal c. bangun 3 dimensi, bangun yang mempunyai ruang 4. a. Bilangan, Bilangan cacah, {0,2,3,6} b. bilangan ganjil, bilangan yang tidak habis dibagi 2, {11,13,15,17,19} c. bilangan prima, bilangan asli yang faktornya ada 2, {2,3,5,7,11,13} d. bilangan kelipatan 3, bilangan yang habis di bagi 3, {3,6,9,12,15} e. bilangan kelipatan 3 antara 20 dan 28, bilangan yang habis dibagi 3, {21,24,27} 1. Himpunan kosong : suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota 2. Himpunan nol : himpunan yang anggotanya angka nol 3. Himpunan semesta : himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau terkait 177

191 1. Diantara himpunan berikut mana yang termasuk himpunan kosong a. Himpunan siswa SMP yang berumur kurang dari 10 tahun b. Himpunan kuda yang berkaki tiga c. Himpunan kubus yang mempunyai 12 sisi d. Himpunan bilangan prima genap yang habis dibagi 2 e. Himpunan nama bulan yang berumur kurang dari 30 hari f. Himpunan bilangan asli anatara 10 dan 11 g. Himpunan penyelesaian untuk 2x = 3, x bilangan cacah h. L = { x x + 4 = 0, x bilangan asli} 2. Tentukan sebuah himpunan semesta yang mungkin untuk himpunanhimpunan berikut a. A = {1,4,9,16,25} b. B = {1,3,5,7,9,11} c. E = {m, dm, cm, mm} d. F = {persegi, persegi panjang, segitiga, trapesium} 3. Sebutkan paling sedikit 2 buah himpunan semesta yang mungkin dari tiap himpunan berikut. a. G = { x x = 2n, n bilangan cacah } b. H = { x x = 2n 1, n bilangan cacah } c. P = {honda, yamaha, suzuki} d. Q = {merpati,dara, puyuh} 4. Tentukan sebuah himpunan semesta untuk himpunan berikut a. { kucing, anjing} b. { besi, nikel, tembaga, perak} c. {bensin, pertamak, pertalite} d. {bumi, venus, merkurius} 178

192 *Kegiatan Belajar 4 Membuat Diagram Venn Himpunan dapat dinyatakan dengan gambar himpunan yang disebut diagram venn. Diagram Venn pertama kali diperkenalkan oleh pakar matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn ( ). Dalam membuat diagram venn perlu diperhatikan ketentuan sebagai berikut: Misal : 1. Himpunan semesta (S) digambarkan dengan sebuah persegi panjang, dan di pojok kiri atas di tulis huruf S. 2. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup sederhana. 3. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan sebuah noktah, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya. Jadi, setiap noktah mewakili satu anggota. 4. Untuk himpunan tak berhingga, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan. 1. Diketahui S={1,2,3,4,5,6}. Maka diagram venn dari himpunan S adalah 179

193 2. DiketahuiS={1,2,3,4,5,6,7,8} dan A={2,3,5,7}.Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka: 3. Diketahui S = {bilangan asli}={1,2,3,4,...} A = {bilangan ganjil}={1,3,5,7,...} B = {bilangan genap}={2,4,6,8,...} Karena tidak ada anggota persekutuan antara A dan B, maka diagram venn dari himpunan di atas adalah sebagai berikut. 4. Diketahui S={1,2,3,...,9,10}, P={1,3,5,7,9}, dan Q={2,4,5,9}. Karena ada anggota persekutuan antara P dan Q yaitu 5 dan 9, maka diagram venn dari himpunan di atas adalah sebagai berikut. 5. Membuat diagram venn dari himpunan-himpunan berikut. S = {bilangan asli kurang dari 9}={1,2,3,4,5,6,7,8} 180

194 D = {bilangan asli genap antara 1 dan 7}={2,4,6} E = {bilangan asli kelipatan 2 yang kurang dari 7}={2,4,6} Karena anggota-anggota D dan E adalah sama, maka diagram venn untuk D dan E adalah sebagai berikut Membaca Diagram Venn Berikut ini akan dibahas cara menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya dari diagram venn yang diketahui Contoh dari diagram venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut ini dengan mendaftar anggota-anggotanya 1. Himpunan S 2. Himpunan P 3. Himpunan Q 4. Himpunan S yang anggotanya menjadi P dan Q 5. Himpunan S yang anggotanya menjadi anggota P atau Q 6. Himpunan S yang anggotanya tidak menjadi anggota P maupun Q 181

195 Penyelesaian : 1. Semua noktah yang ada dalam persegi panjang anggota S Jadi, S ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,20} 2. Semua noktah yang ada di dalam kurva P adalah anggota P Jadi, P ={1,3,6,9,12,15,18} 3. Semua noktah yang ada di dalam kurva Q adalah anggota Q Jadi, Q ={3,4,5,6,7,8,9} 4. Semua noktah yang ada di dalam kurva P dan sekaligus di dalam kurva Q adalah anggota P dan Q Jadi, himpunannya;{3, 6, 9} 5. Semua noktah yang ada di dalam kurva P maupun di dalam kurva Q adalah anggota P atau Q. Jadi, himpunannya:{1,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18} 6. Semua noktah di luar kurva P dan Q tidak menjadi anggota P mauoun Q. Jadi, himpunannya: {2,10,11,13,14,16,17,19,20} 1. Buatlah diagram Venn-nya a. S = {0,1,2,3,4,5} dan A = {1,3,5} b. S = {huruf vocal} dan B = {a,i,u} c. S = {bilangan cacah antara 0 dan 10} dan C = {bilangan cacah genap antara 1 dan 10} d. S = {1,2,3,4,5,6}, P = {1,2} dan Q = {4,5} e. S = {a,b,c,d,e,f}, F = {a,b,c,d} dan G = {a,d,e} 2. Diketahui S = { x x A = { y y 15, x bilangan asli} 10, y bilangan asli ganjil} B = { b 1 b 11, b bilangan asli genap} 182

196 C = { c c 10, c bilangan prima} D = {faktor dari 6} E = {empat bilangan prima yang pertama} Nyatakan himpunan-himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanya, kemudian buatlah diangram venn untuk masing-masing himpunan berikut, dengan S sebagai himpunan semestanya a. S, A dan B b. S, A dan C c. S, B dan C d. S, C dan D 3. Buatlah diagram Venn untuk himpunan S = {semua siswa dikelasmu} A = {siswa di kelasmu yang berkacamata} B = {siswa di kelasmu yang kidal} 4. Perhatikan diagram Venn berikut. Misalkan S = Himpunan siswa di kelasmu M = Himpunan siswa yang menyukai matematika B = Himpunan siswa yang menyukai bahasa Inggris K = Himpunan siswa yang menyukai kesenian Jika setiap siswa diwakili oleh sebuah titik, maka tentukan: a. berapa orang siswa yang menyukai matematika? b. berapa orang siswa yang menyukai matematika dan kesenian? c. berapa orang yang menyukai bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian? 183

197 d. berapa orang siswa yang menyukai ketiga-tiganya? e. berapa orang yang hanya menyukai kesenian saja? f. berapa orang yang menyukai matematika dan bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian? g. berapa orang yang tidak menyukai ketiga-tiganya? h. berapa orang yang hanya menyukai salah satu dari ketiga pelajaran tersebut? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. b. c. d. e. 2. a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} A = {1, 3, 5, 7, 9} B = { 2, 4, 6, 8, 10} 184

198 b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} A = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 5, 7} c. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {2, 3, 5, 7} d. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} C = {2, 3, 5, 7} D = {1,2,3,6} 185

199 3. 4. a. 7 orang b. 10 orang c. 5 orang d. 1 orang e. 3 orang f. 8 orang g. 8 orang h. 8 orang 186

200 1. Diagram venn : cara menyatakan himpunan dengan gambar himpunan. 2. Cara membuat diagram venn sebagai berikut: a. Menggambar persegi panjang dan menulis S di pojok kiri dengan S himpunan semestanya b. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan sebuah noktah, dan nama anggotanya berdekatan dengan noktahnya c. Himpunan tak berhingga anggotanya tidak perlu dituliskan 1. Diketahui himpunan-himpunan berikut S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = {lima bilangan cacah ganjil yang yang yang pertama} B = {lima bilangan cacah genap yang yang yang pertama} C = {faktor dari 8} D = {tiga bilangan kuadrat yang pertama} Nyatakan himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanya, kemudian buatlah diagram venn untuk masing-masing himpunan berikut, dengan S sebagai himpunan semestanya. a. Himpunan S, A, B b. Himpunan S, A, C c. Himpunan S, B, D d. Himpunan S, A, C, D e. Himpunan S, B, C, D 2. Perhatikan diagram venn dibawah! 187

201 S = {siswa yang gemar olahraga} P = {siswa yang gemar bola voli} Q = { siswa yang gemar bola basket} Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah. Dari diagram itu, sebutkan anggota himpunan berikut. a. Himpunan siswa yang gemar olahraga b. Himpunan siswa yang gemar bola voli c. Himpunan siswa yang gemar bola basket d. Himpunan siswa yang gemar bola voli dan basket e. Himpunan siswa yang gemar bola voli saja f. Himpunan siswa yang gemar bola basket saja g. n(s), n(p), dan n(q) 188

202 *Kegiatan Belajar 5 Pengertian Himpunan Bagian Perhatikan himpunan-himpunan berikut ini! P={2,3,5,7}, Q={4,6,9}, dan R={0,1,2,3,4,5,6,7} Dari ketiga himpunan di atas, terlihat bahwa setiap anggota P yaitu 2,3,5,7 menjadi anggota himpunan R. Oleh karena itu, himpunan P merupakan himpunan bagian dari himpunan R, dan ditulis P R atau R P. Jika digambar dalam diagram Venn, maka P R Adapun semua anggota himpunan Q, yaitu 4,6,9 tidak menjadi anggota dari himpunan P. Oleh karena itu, himpunan Q bukan himpunan bagian dari himpunan P, dan ditulis Q P. Demikian juga tidak semua anggota Q menjadi anggota R, yakni 9 R. Oleh karena itu, himpunan Q bukan himpunan bagian dari R dan ditulis Q R. Jika digambar dalam diagram venn maka: P R 189

203 Q R Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: 1. Himpunan P merupakan himpunan bagian dari R, jika dan hanya jika setiap anggota P menjadi anggota himpunan R. Notasi himpunan bagian dari R adalah P R atau R P. 2. Himpunan Q bukan merupakan himpunan bagian dari R, jika anggota Q yang tidak menjadi anggota R. Notasi Q bukan himpunan bagian dari R adalah Q R. 3. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, yaitu P P, Q Q, dan R R. 4. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan dan ditulis P atau {} P. Contoh Diketahui A = {a,b,c,d} Tentukan himpunan bagian dari A yang mempunyai anggota 1. Nol anggota 2. Satu anggota 3. Dua anggota 4. Tiga anggota 5. Empat anggota Penyelesaian : 1. Himpunan bagian a mempunyai nol anggota adalah himpuan A. 2. Himpunan bagian a mempunyai satu anggota adalah {a},{b},{c},{d} 190

204 3. Himpunan bagian a mempunyai dua anggota adalah {a,b}, {a,c},{ a,d}, {b,c}, {b,d}, dan {c,d} 4. Himpunan bagian a mempunyai tiga anggota adalah {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, dan {b,c,d} 5. Himpunan bagian a mempunyai empat anggota adalah {a,b,c,d} = A Menentukan Jumlah Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan Untuk mengetahui banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, maka pelajarilah dan perhatikan tabel berikut ini. No Himpunan (A) Banyaknya Anggota Himpunan Bagian Banyaknya Himpunan Bagian n(a) 1 {}= 0 {} 1= 2 {a} 1 {} 2= {a} 3 {a,b} 2 {} 4= {a},{b} {a,b} 4 {a,b,c} 3 {} 8= {a},{b},{c} {a,b},{a,c},{b,c} {a,b,c} 5 {a,b,c,d} 4 {} 16= 6 {a,b,c,d,... n {} {a},{b},{c},{d} {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d }, {c,d} {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c, d} {a,b,c,d} 191

205 } {a},{b},{c},{d},... {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d }, {c,d},... {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c, d} {a,b,c,d},... Dan seterusnya Berdasarkan tabel di atas, terlihat bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut: Jika suatu himpunan yang mempunyai n anggota, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan itu adalah Cara lain untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah dengan pola bilangan segitiga Pascal. Di bawah ini adalah contoh mencari banyaknya himpunan bagian dari himpunan ya ng beranggota 4. Pada pola bilangan segitiga Pascal, angka tengah yang berada di bawahnya merupakan jumlah dari angka di atasnya. Himpunan bagian dari {a,b,c,d} yang mempunyai: 0 anggota ada 1, yaitu {} 1 anggota ada 4, yaitu {a},{b},{c},{d} 2 anggota ada 6, yaitu {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} 3 anggota ada 4, yaitu {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d} 4 anggota ada 1, yaitu {a,b,c,d} Jadi, banyaknya himpunan bagian dari {a,b,c,d} ada 16 himpunan. 192

206 1. Tentukan himpunan bagian antara himpunan-himpunan berikut. A={2,3,4} B={bilangan asli kurang dari 7} C={a,i,u,e} E={a,u} F={bilangan prima genap} 2. Tentukan himpunan bagian dari P = {bilangan prima antara 1 dan 20} berikut ini dengan mendaftar anggotanya a. Himpunan bilangan ganjil anggota P b. Himpunan bilangan genap anggota P c. Himpunan anggota P yang kurang dari 10 d. Himpunan anggota P yang lebih dari 7 3. Diketahui G = {x 1<x<12, x bilangan prima}. Tentukan a. Himpunan bagian G yang mempunyai satu anggota b. Himpunan bagian G yang mempunyai dua anggota c. Himpunan bagian G yang mempunyai tiga anggota d. Himpunan bagian G yang mempunyai empat anggota e. Himpunan bagian G yang mempunyai lima anggota 4. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut a. P = {bilangan asli kurang dari 6} b. M adalah himpunan huruf-huruf pembentuk kata simpoa c. N adalah himpunan bilangan asli kurang dari 1 5. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini! a. {2,4} {2,4,6} b. {k,l} {h,i,k,l,m} c. {d,e,f} {d,e,f} d. {} 193

207 e. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. A = {}, {2}, {3}, {4}, {2,3}, {3,4}, {2,4}, {2,3,4} B = {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,3}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {3,4,5}, {3,4,6}, {4,5,6}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {2,3,4,5}, {2,3,4,6}, {2,3,5,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1,2,5,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {2,3,4,5,6}, {1,3,4,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6} C = {}, {a}, {i}, {u}, {e}, {a,i}, {a,u}, {a,e}, {i,u}, {i,e}, {u,e}, {a,i,u}, {a,i,e}, {a,u,e}, {i,u,e}, {a,i,u,e} E = {}, {a}, {u}, {a,u} F = {}, {2} 2. a. {3,5,7,11,13,17,19} b. {2} c. {2,3,5,7} d. {11,13,17,19} 3. a. {2}, {3}, {5}, {7}, {11} b. {2,3}, {2,5}, {2,7}, {2,11}, {3,5}, {3,7}, {3,11}, {5,7}, {5,11}, {7,11} c. {2,3,5}, {2,3,7}, {2,3,11}, {2,5,7}, {2,5,11}, {3,5,7}, {3,5,11}, {3,7,11}, {5,7,11} d. {2,3,5,7}, {2,3,5,11}, {3,5,7,11}, {2,3,7,11}, {2,5,7,11}, e. {2,3,5,7,11} 4. a. 32 bagian b. 64 bagian c. 0 bagian 5. a. Benar b. salah c. benar d. benar e. benar 194

208 1. A himpunan bagian B : apabila anggota setiap anggota A ada pada anggota B 2. A bukan himpunan bagian B : apabila ada anggota A yang tidak menjadi anggota B 3. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri 4. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan 1. Tulislah himpunan bagian dari {a,b} 2. Tulislah semua himpunan bagian dari M = {a, b, c, d} yang mempunyai: a. Dua anggota, berapa banyaknya? b. Tiga anggota, berapa banyaknya? 3. Tentukan banyaknya semua himpunan bagian dari: K = {bilangan cacah antara 4 dan 10} H = {bilangan prima antara 1 dan 20} T = {huruf yang membentuk kata semangka} M = {huruf yang membentuk kata rajin belajar } G = { huruf pembentuk kata cantik} a. Dua anggota b. Tiga anggota c. Empat 195

209 *Kegiatan Belajar 6 Dua Himpunan Saling Lepas Dua Himpunan dikatakan saling lepas atau saling asing jika keduanya tidak kosong dan kedua himpunan itu tidak punya anggota persekutuan. Misal: A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8. 10} Terlihat bahwa antara himpunan A dan B tidak mempunyai anggota persekutuan. Oleh karena itu, himpunan A dan B saling lepas. Jika digambar pada diagram venn, maka: Dua Himpunan Tidak Saling Lepas Dua himpunan dikatakan tidak saling lepas jika keduanya tidak kosong dan kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan. Misal : M = {3, 5, 7, 11} N = {7, 9, 11, 13} Anggota persekutuan antara M dan N adalah 7 dan 11. Oleh karena itu, himpunan persekutuan antara M dan N adalah {7, 11}. 196

210 Dua Himpunan Yang Sama Dua himpunan dikatakan sama jika setiap anggota A menjadi anggota B, dan setiap anggota B menjadi anggota A, serta banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B atau n(a) = n(b). Dua himpunan A dan B dikatakan sama, jika: 1. n(a) = n(b 2. kedua himpunan itu mempunyai anggota tepat sama Misal : A = {a, b, c} B = {c, b, a} Dua Himpunan Yang Ekuivalen Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika setiap anggota A tidak sama dengan anggota B, tetapi banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B atau n(a) = n(b). Misal : A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} Himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, karena n(a) = n(b) yaitu 3 197

211 1. Diketahui A= B= {bilangan prima kurang dari 10} C= {empat huruf terakhir dalam abjad} D= Tentukan hubungan antar himpunan yang: a. Saling lepas b. Tidak saling lepas c. Sama d. Ekuivalen Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Penyelesaian: A= = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B= {bilangan prima kurang dari 10} = {2, 3, 5, 7} C= {empat huruf terakhir dalam abjad} = {w, x, y, z} D= = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a. Himpunan yang saling lepas adalah himpunan A dan C, B dan C, D dan C. b. Himpunan yang tidak saling lepas adalah himpunan A dan B, A dan D, B dan D. c. Himpunan yang sama adalah himpunan A dan D. d. Himpunan yang ekuivalen adalah himpunan B dan C, karena n(b) = n(c) = 4, demikian juga himpunan A dan D, karena n(a) = n(d) =6. 198

212 1. Dua Himpunan dikatakan saling lepas atau saling asing jika keduanya tidak kosong dan kedua himpunan itu tidak punya anggota persekutuan 2. Dua himpunan dikatakan tidak saling lepas jika keduanya tidak kosong dan kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan. 3. Dua himpunan dikatakan sama jika n(a) = n(b) dan kedua himpunan itu mempunyai anggota tepat sama 4. Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika setiap anggota A tidak sama dengan anggota B, tetapi banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B atau n(a) = n(b). 1. Diketahui: X= {bilangan asli kurang dari 7} Y= {x 0 < x < 7, x bilangan cacah} a. Nyatakan himpunan X dan Y dengan mendaftar anggota-anggotanya b. Apa yang dapat kamu simpulkan tentang himpunan X dan Y? c. Gambarkan diagram vennya 2. Diketahui: A= B= C= {x x adalah empat huruf abjad yang petama} D= {1, 2, 3, 4} a. Nyatakan himpunan A, B, C dan D dengan mendaftar anggotaanggotanya b. Kelompokkan mana himpunan-himpunan yang sama 199

213 c. Kelompokkan mana himpunan-himpunan yang ekuivalen 3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan hubungan yang mungkin antar himpunan berikut ini: A= {x x vokal} B= {x x konsonan} C= {1, 2, 3} D= {2, 1, 3} 200

214 *Kegiatan Belajar 7 Irisan Dua Himpunan Irisan(interseksi) dari dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut atau himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B. Irisan himpunan A dan B dapat dinotasikan sebagai berikut: 1. Sifat-sifat Irisan Dua Himpunan a. Sifat Komutatif (pertukaran) Misal: A = {faktor dari 12} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} B = {faktor dari 16} = {1, 2, 4, 8, 16} = {1, 2, 4} dan = {1, 2, 4} Jadi, = = {1, 2, 4} Kesimpulan: Untuk sembarang himpunan A dan B, maka irisan A dan B bersifat komutatif, yaitu =. b. Sifat Asosiatif (pengelompokkan) Misal: A = {faktor dari 12} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} B = {faktor dari 16} = {1, 2, 4, 8, 16} C = {bilangan genap dari 2 sampai 10} = {2, 4, 6, 8, 10}. Maka: = {1, 2, 4} dan = {2, 4, 8} [ ] = {2, 4} = [ ] = {2, 4} Jadi, [ ] = [ ] = {2, 4} Kesimpulan: 201

215 Untuk sembarang himpunan A, B, dan C maka irisan A, B, dan C bersifat asosiatif, yaitu [ ] = [ ]. c. Jika himpunan yang satu menjadi menjadi himpunan bagian yang lain. Misal: A = {faktor dari 8} = {1, 2, 4, 8} B = {faktor dari 4} = {1, 2, 4} Ternyata semua anggota B menjadi anggota A, berarti himpunan A dan B digambar dalam diagram venn, maka:. Jika Sehingga = {1, 2, 4} = B Kesimpulannya: jika. maka = B d. Jika dua himpunannya sama Misal: A = {bilangan asli yang kurang dari 6} = {1, 2, 3, 4, 5} B = {lima bilangan asli yang pertama} = {1, 2, 3, 4, 5} Ternyata semua anggota A menjadi anggota B dan semua anggota B menjadi anggota A. Berarti A = B. Diagram venn dari himpunan A dan B adalah Sehingga = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B. Kesimpulannya adalah: Jika A = B, maka atau 202

216 e. Jika dua himpunan saling asing Misal: A = {a, p, e, l} dan B = {r, o, t, i}. Ternyata tidak ada anggota yang sama antara himpunan A dan himpunan B, maka. Jika A dan B saling lepas, maka Gabungan Dua Himpunan Gabungan antara himpun A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota-anggota A atau anggota- anggota B. Gabungan himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan notasi himpunan: Diagram Venn pada gabungan himpunan A dan B 203

217 1. Sifat-sifat Gabungan Dua Himpunan Sifat Komutatif Gabungan Misal: A = {1, 3, 5} dan B = {3, 5, 7, 9} Maka = {1, 3, 5, 7, 9} dan = {1, 3, 5, 7, 9} Jadi, = {1, 3, 5, 7, 9}. Jika A dan B suatu himpunan, maka komutatif. disebut sifat a. Sifat Asosiatif Gabungan Misal: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7} Maka = {1, 2, 3, 4, 6, 8}, = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan = {1, 2, 3, 4, 5, Jadi, Jika A, B, dan C suatu himpunan, maka disebut sifat asosiatif b. Sifat Distributif Irisan terhadap Gabungan Jika A, B, dan C suatu himpunan, maka disebut sifat distribusi irisan terhadap gabungan. c. Sifat Distributif Gabungan terhadap Irisan Jika A, B, dan C suatu himpunan, maka disebut sifat distribusi gabungan terhadap irisan 204

218 2. Menentukan Gabungan Dua Himpunan a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lain jika himpunan A bagian dari himpunan B, maka gabungan A dan B adalah himpunan B itu sendiri. Misal: jika A = {a, c, d} dan B = {a, b, c, d, e} Maka = {a, b, c, d, e} = B Diagram Vennya adalah: kita dapat menyimpulkan bahwa: Untuk A dan B suatu himpunan dan, maka b. Dua himpunan yang sama Karena dua himpunan itu sama, maka gabungannya adalah himpunan itu sendiri. Misal: jika A = {bilangan asli kurang dari 6} B = bilangan cacah} Maka A = {1, 2, 3, 4, 5,} dan B = {1, 2, 3, 4, 5,} Sehingga {1, 2, 3, 4, 5,} = A = B Diagram vennya adalah 205

219 Dari contoh diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa: Untuk A dan B suatu himpunan dan, maka c. Dua himpunan saling lepas Jika dua himpunannya saling lepas, maka gabungannya adalah menggabungkan semua anggota dari kedua himpunan tersebut. Misal: jika A = {bilangan asli kurang dari 9} B = {bilangan cacah genap kurang dari 9} Maka A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 2, 4, 6, 8} Sehingga { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Jika digambar dalam diagram venn, maka diperoleh: d. Dua himpunan tidak saling lepas Karena dua himpunannya tidak saling lepas, maka gabungannya adalah menggabungkan setiap elemen dari kedua himpunan tersebut, tetapi elemen irisannya hanya dihitung satu kali. Misal: A = {bilangan prima kurang dari 10 } B = {bilangan asli kurang dari 5} Maka A = {2, 3,5,7} Dan B = {1, 2, 3, 4} Sehingga {1, 2, 3, 4, 5, 7} Dan {2, 3} Jika digambar dalam diagram venn, maka diperoleh: 206

220 Menentukan Banyaknya Anggota Gabungan Contoh Misal A = {bilangan prima kurang dari 10 } B = {bilangan asli kurang dari 5} Maka A = {2, 3,5,7} Dan B = {1, 2, 3, 4} n(a) = 4 dan n(b) = 4 {1, 2, 3, 4, 5, 7} dan n( = {2, 3} dan n = 2 n(a) + n(b) n = = 8 Jadi, n( Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa: Untuk setiap himpunan A dan B, maka berlaku n( Contoh A = {a, b, c, d, e}, B = {b, d, e, f}, dan C = {a, b, g, h} n(a) = 5, (B) = 4 dan n(c) = 4 {a, b, c, d, e, f, g, h}, n( {b}, n = {b, d, e}, n ) = 3 = {b}, n = 1 = {a, b}, n = 2 n(a) (B) n(c) [n n n = =13 6 1=8 Jadi, n( n(a) (B) n(c) [n n n Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: Untuk himpunan A, B, dan C berlaku: n( n(a) (B) n(c) [n n n 207

221 Selisih (Difference) Dua Himpunan Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota A tetapi bukan anggota B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A atau A\B. Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih A dan B ditulis sebagai berikut: A Jika diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 3, 6, 7}, maka: Selisih A dan B adalah A Selisih B dan A adalah Jika maka Jadi, Kesimpulan: dan atau 1. Sifat-sifat selisih himpunan a. Selisih himpunan terhadap himpunan itu sendiri adalah himpunan kosong. b. Setiap himpunan jika dikurangi dengan himpunan kosong hasilnya adalah himpunan itu sendiri. c. Sifat distributif selisih terhadap irisan Untuk setiap himpunan A, B, C berlaku d. Sifat distributif selisih terhadap gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, C berlaku Komplemen Suatu Himpunan 1. Pengertian Komplemen suatu himpunan Contoh Misal : S = {Mata pelajaran di sekolah SMP kelas 7} 208

222 = {Matematika, IPA, IPS, PKn, Bhs Indonesia, Bhs Inggris, Bhs Jawa, Agama, Penjas, Ketrampilan, Kesenian} A = {Matematika, IPA, IPS} Mata pelajaran dalam himpunan S yang bukan anggota himpunan A adalah = {PKn,Bhs Indonesia, Bhs Inggris, Bhs Jawa, Agama, Penjas, Ketrampilan, Kesenian}. Himpunan yang anggotanya di dalam S dan bukan anggotan A disebut Komplemen A yang ditulis A atau A C. Jadi, A = {PKn,Bhs Indonesia, Bhs Inggris, Bhs Jawa, Agama, Penjas, Ketrampilan, Kesenian}. Diagram Venn dari A adalah 2. Sifat-sifat komplemen suatu himpunan Contoh S= = A= = A = = Maka Contoh S= A= B= Maka 209

223 S= A= dan A = B= dan B = dan Jadi = Diagram Venn-nya adalah Perhatikan uraian berikut Berdasarkan contoh di atas, maka diperoleh: dan Diagram venn-nya adalah Berdasarkan uraian di atas maka didapat disimpulkan bahwa: Untuk setiap himpunan A,B dan S sebagai semestanya, maka berlaku:

224 Diketahui S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A= {1, 2, 3, 4} B= {2, 4, 6} Tentukan! a. b. c. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. A= {1, 2, 3, 4} B= {2, 4, 6} a. = {1, 2, 3, 4, 6} b. {1, 3} c. = {2, 4} 211

225 - Irisan(interseksi) dari dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut atau himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B. Irisan himpunan A dan B dapat dinotasikan sebagai berikut: (a) (b) (c) (d) (e) Sifat Komutatif (pertukaran) =. Sifat Asosiatif (pengelompokkan) [ ] = [ ]. Jika himpunan yang satu menjadi menjadi himpunan bagian yang lain jika. maka = B Jika dua himpunannya sama Jika A = B, maka atau Jika dua himpunan saling asing - Gabungan antara himpun A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota-anggota A atau anggota- anggota B. Gabungan himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan notasi himpunan: (a) (b) (c) (d) Sifat Komutatif Gabungan Jika A dan B suatu himpunan, maka Sifat Asosiatif Gabungan Jika A, B, dan C suatu himpunan, maka Sifat Distributif Irisan terhadap Gabungan Jika A, B, dan C suatu himpunan, maka Sifat Distributif Gabungan terhadap Irisan Jika A, B, dan C suatu himpunan, maka 212

226 - Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota A tetapi bukan anggota B. A (a) Selisih himpunan terhadap himpunan itu sendiri adalah himpunan kosong. (b) Setiap himpunan jika dikurangi dengan himpunan kosong hasilnya adalah himpunan itu sendiri. (c) Sifat distributif selisih terhadap irisan Untuk setiap himpunan A, B, C berlaku (d) Sifat distributif selisih terhadap gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, C berlaku - Komplemen suatu himpunan Misal terdapat himpunan A dan himpunan semestanya adalah S, maka komplemen dari A (A ) didefinisikan sebagai notasi pembentuk himpunan, yaitu A Untuk setiap himpunan A,B dan S sebagai semestanya, maka berlaku:

227 1. Diketahui: K= {faktor dari 6} dan L= {bilangan cacah kurang dari 6} Dengan mendafter anggotanya, tentukan: a. Anggota b. n( ) 2. Diketahui: A= {1, 2, 3, 4, 5} dan B= {2, 5, 7, 11} Tentukan: a. b. 3. Diketahui: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} adalah himpunan semesta. Jika A= {1, 2, 3, 4} dan B= {2, 3, 5, 7}. Tentukan: a. anggota b. anggota c. anggota 214

228 *Kegiatan Belajar 8 Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari, maka banyak diantaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembali tentang konsep diagram venn. Kalian harus dapat menyatakan suatu permasalahan dalam suatu diagram Venn. Contoh Dalam suatu kelas terdapat 40 siswa. 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa gemar bermain sepak bola, dan 11 siswa menyukai keduanya. a. Gambarlah permasalahan tersebut dalam diagram Venn. b. Berapa banyak siswa yang gemar bermain tenis? c. Berapa banyak siswa yang hanya gemar bermain sepak bola? d. Berapa banyak siswa yang tidak gemar keduanya? Penyelesaian : a. Gambar diagram Venn. S=himpunan semesta, A=himpunan siswa yang gemar bermain tenis, B= himpunan siswa yang gemar bermain sepak bola. n(s)=40, n(a)= 24, n(b)= 23, n(a B)=11. Diagram Venn-nya adalah b. Banyak siswa yang hanya gemar bermain tenis 24-11= 13 siswa. c. Banyak siswa yang hanya gemar bermain sepak bola 23-11= 12 siswa. 215

229 d. Banyak siswa yang tidak gemar keduanya = 40- ( )= 40-36= 4 siswa. 1. Dari sekelompok orang diperoleh data 23 orang suka main badminton dan golf, 45 orang suka main badminton, 34 orang suka main golf, dan 6 orang tidak suka keduanya. a. Gambalah diagram venn yang menyatakan keadaan tersebut. b. Tentukan banyaknya anak dalam kelompok tersebut. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Diagram venn b. Dari diagram venn, tampak bahwa banyak orang dalam kelompok tersebut adalah = = 62 orang 216

230 Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembali tentang konsep diagram venn dan dapat menyatakan suatu permasalahan dalam suatu diagram Venn. 1. Suatu kelas terdiri atas 40 siswa. 15 siswa senang bermain basket, 20 siswa senang bermain sepak bola, dan 10 siswa senang kedua-duanya. a. Gambarlah diagram vennya b. Berapa siswa yang senang basket saja? c. Berapa siswa yang senang sepak bola saja? d. Berapa siswa yang tidak senang keduanya? 2. Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui 25 siswa gemar matematika, 20 siswa gemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika. 3. Pada acara pendataan terhadap kegemaran jenis musik diperoleh data bahwa dikelas VII, 20 siswa gemar musik pop dan 25 siswa gemar musik klasik. Jika 10 siswa gemar musik pop dan klasik serta 15 siswa tidak gemar musik pop maupun musik klasik, berapa banyaknya siswa kelas VII? 217

231 SOAL EVALUASI MPM 5 1. Tuliskan himpunan berikut dengan menggunakan notasi himpunan! a. P adalah himpunan titik pojok kubus ABCD. EFGH b. K adalah huruf konsonan c. L adalah himpunan gambar pada sila-sila Pancasila 2. Berikan nama himpunan dari kumpulan obyek dibawah ini berdasarkan sifat-sifat anggotanya agar disebut dengan himpunan. a. Tas, penggaris, buku tulis, penghapus, busur, LKS b. Surabaya, Malang, Jember, Ngawi c. Maret, Mei 3. Sebutkan dua buah himpunan semesta untuk himpunan-himpunan berikut: a. {1, 3, 5, 7, 9} b. {pesawat, kereta api, kapal, mobil} c. {bilangan prima} 4. Jika S = {bilangan bulat}, A = {bilangan asli}, C = {bilangan cacah}, G = {bilangan ganjil}, H = {bilangan genap}, dan P = {bilangan Prima}. Lukislah diagram Venn dari pasangan himpunan berikut ini dengan himpunan semesta adalah S a. A dan P b. A, P, dan H c. C, G, H, dan P 5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari K = {a, b, c, d, e} yang mempunyai: a. dua anggota d. anggota lebih dari dua b. tiga anggota e. anggota paling sedikit tiga c. empat anggota 6. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal: a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari

232 b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. 7. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya. 8. Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut: a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11} b. Q = {0, 1, 2, 3,..., 10} c. R = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} 9. N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasi himpunan. 10. Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut: a. {2, 3, 5, 7} b. {kerbau, sapi, kambing} 11. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya adalah: a. himpunan bilangan prima b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 c. himpunan bilangan bulat yang habis Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut a. H = {h, i, a, t} b. A = {1, 2, 3, 4, 5,} 13. Diketahui K = {p, q, r, s}. Tentukan himpunan bagian dari K yang mempunyai a. satu anggota; b. dua anggota; c. tiga anggota; d. empat anggota. 14. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut. a. Himpunan bilangan asli kurang dari 6. b. Himpunan bilangan prima antara 4 dan

233 c. P = {huruf-huruf pembentuk kata stabilitas } d. Q = {nama-nama hari dalam seminggu} 15. Lukislah diagram Venn dari setiap himpunan berikut ini: a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4, 6} b. S = { x x 20, x bilangan Asli}, P = {1, 4, 9, 16}, dan Q = {1, 2, 3, 4, 5} 16. Perhatikan gambar diagram Venn berikut ini: Hasil survei kegemaran siswa kelas IX terhadap olah raga. S B C Beni Adi Doni Anang Markis Aam Azis anwar desta kamil Maki Ari ken S = {siswa kelas IX A}, B = {siswa yang suka Basket}, C = {siswa yang suka Sepak Bola} Tentukan: a. himpunan yang ada pada B dan C b. himpunan S yang ada di B tetapi tidak ada di C c. himpunan C tetapi tidak ada di B d. himpunan yang tidak termasuk di B maupun di C e. berapa banyak siswa yang suka bola basket? 17. Dari pernyataan berikut, manakah yang merupakan himpunan dan bukan himpunan? a. kelompok bilangan ganjil b. kelompok makanan enak dan pedas c. kumpulan hewan menyusui d. B himpunan bilangan prima 18. Tuliskan anggota himpunan dibawah ini! 220

234 a. himpunan bilangan asli kurang dari 6 b. himpunan 5 nama Ibu kota Negara ASEAN c. himpunan Negara di kawasan Asia Tenggara d. himpunan huruf pembentuk kata PENDIDIKAN 19. Diketahui D = {huruf pembentuk kata matematika } E = {huruf pembentuk kata aritmatika } a. Nyatakan himpunan D dan E dengan mendaftar anggota-anggotanya. b. Gambarlah himpunan D dan E dengan diagram Venn. 20. Diketahui A = {a,b,c,d,e} B = {b,c,e,g,k} C = {a,c,e,g,h} a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) A B 2) A C 3) B C b. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut. 21. Diketahui S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = dan B = Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggotaanggotanya a. A e. A B b. B f. A\B c. (A B) g. B\A d. (A B) h. S\A 22. Diketahui A = {1,2,3,5,7} B = {4,5,6,7,9} C = {3,7,8,9,10,11} Dengan cara mendaftar anggotanya, tentukan: 221

235 a. A B b. A C c. B C 23. Diantara warga kampung yang terdiri dari 60 orang, ternyata 20 orang yang berlangganan majalah, 35 orang berlangganan koran, dan terdapat 5 orang berlangganan keduanya. a. Gambarlah suatu diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas, dengan memisalkan M dan K masing-masing himpunan berlangganan majalah dan koran. b. Berapa banyak warga kampung yang hanya berlangganan majalah? c. Berapa banyak warga kampung yang hanya berlangganan koran? d. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan keduanya? 222

236

237 Modul ini berisi teori tentang Aritmetika Sosial yang akan mempelajari tentang menentukan nilai suatu barang; menentukan harga jual, harga beli, laba atau untung, dan rugi; menetukan persentase laba atau untung dan rugi, menentukan persentase rugi, menentukan diskon, pajak, bruto, tara, dan netto, menentukan bunga tunggal. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai operasi bilangan bulat, bilangan pecahan, bentuk aljabar, persamaan linear satu variabel. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Menetukan nilai suatu barang. 2. Menentukan harga penjualan dalam kehidupan sehari-hari. 3. Menentukan harga pembelian dalam kehidupan sehari-hari. 4. Menggunakan rumus dalam menentukan persentase untung dan rugi untuk memecahkan masalah sehari-hari. 5. Menggunakan rumus dalam menentukan persentase rugi untuk memecahkan masalah sehari-hari. 6. Menentukan diskon, pajak, bruto, tara, dan netto. 7. Menentukan bunga tunggal untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan perbankan dan koperasi. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 224

238 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 225

239 *Kegiatan Belajar 1 Nilai suatu barang 1. Nilai keseluruhan 2. Nilai per unit 3. Nilai sebagian Nilai Keseluruhan = Banyak nilai x Nilai per unit Nilai Per Unit = Nilai keseluruhan / Banyak unit Nilai sebagian = Banyaknya unit yang dimaksud X Nilai keseluruhan Banyak unit keseluruhan Harga jual, harga beli, laba atau untung dan rugi. Apabila penjual dikatakan untung atau memperoleh laba, jika harga penjualan lebih besar daripada harga pembelian. Secara matematis dirumuskan: Laba = harga penjualan harga pembelian Apabila penjual dikatakan rugi, jika harga pembelian lebih pembelian lebih besar daripada harga penjualan. Secara sistematis dirumuskan: Rugi = harga pembelian harga penjualan Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut. Harga penjualan = harga pembelian + untung Harga pembelian = harga penjualan + rugi Persentase laba atau untung dan rugi. Persentase laba = laba X 100% Harga beli Persentase rugi = rugi X 100% Harga beli 226

240 1. Ria akan membeli 5 buah pensil. Jika 1 pensil Rp3.200,00, maka berapa rupiahkah Ria harus membayar? 2. Ayah membeli 4 kg telur dengan harga Rp36.000,00. Berapakah harga 1 kg telur tersebut? 3. Eddana membeli 2 lusin kelereng dengan harga Rp4. 800,00. Jika Ardi ingin membeli 1 lusin kelereng, maka berapa uang yang harus dibayarkan Ardi 4. Ibu Siti membeli 10kg gula pasir seharga Rp60.000,00. Di tokonya, Ibu Siti menjual gula seharga Rp6.500,00/kg, dan semua terjual habis. Berapakah keuntungan yang diperoleh Ibu Siti? 5. Pak Ani membeli kulkas seharga Rp ,00 sebulan kemudian kulkas tersebut dijual seharga Rp ,00. Tentukan persentase kerugian yang diderita oleh Pak Ani? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Harga 5 pensil = 5 x Rp3.200,00 = Rp16.000, Harga 1 kg telur = Rp36.000,00/4 = Rp9.000, Harga 1 lusin kelereng = Rp4.800,00 = Rp2.400, Harga beli = Rp60.000,00 Harga jual = 10 X Rp6.500,00 = Rp65.000,00. Untung = Rp65.000,00 - Rp60.000,00 = Rp5.000, Rugi = harga beli harga jual = Rp ,00 - Rp ,00 = Rp ,00. Presentasi rugi : Rp ,00 x 100% Rp ,00 = 20% 227

241 1. Nilai Keseluruhan = Banyak nilai x Nilai per unit 2. Nilai Per Unit = Nilai keseluruhan / Banyak unit 3. Nilai sebagian = Banyaknya unit yang dimaksud X Nilai keseluruhan Banyak unit keseluruhan 4. Laba = harga penjualan harga pembelian 5. Rugi = harga pembelian harga penjualan 6. Harga penjualan = harga pembelian + untung 7. Harga pembelian = harga penjualan + rugi 8. Persentase laba = laba X 100% Harga beli 9. Persentase rugi = rugi X 100% Harga Beli 1. Siska membeli 5 buah pensil. Jika harga 1 pensil Rp ,00, maka berapa rupiah yang harus dibayar oleh siska? 2. Ayah membeli 5 kg telur dengan harga Rp ,00. Berapakah harga 1 kg telur tersebut? 3. Abi membeli 2 lusin kelereng dengan harga Rp ,00. Jika Adi ingin membeli 1 lusin kelereng Abi, maka berapa uang yang harus di bayar oleh Adi? 4. Ibu membeli 10 kg gula pasir di toko seharga Rp ,00. Di toko, Ibu menjualnya lagi dengan harga Rp.6.500,00/kg, dengan semua gula pasir yang terjual habis. Maka berapakah besar keuntungan atau kerugian yang diperoleh Ibu? 228

242 5. Ani membeli buku 2 lusin dengan harga Rp ,00. Sebagian, jual kembali dengan harga per bukunya Rp ,00. Berapakah kerugian yang Ani derita? 6. Ibu membeli kulkas seharga Rp ,00, sebulan kemudian kulkas tersebut Ibu jual seharga Rp ,00. Berapakah persentase kerugian yang Ibu derita? 7. Dodo membeli sepeda motor bekas seharga Rp ,00, setahun kemudian ia jual kembali dengan harga Rp ,00. Maka berapakah persentase keuntungan yang Dodo peroleh? 229

243 *Kegiatan Belajar 2 Persentase Rugi Dalam dunia perdagangan untung atau rugi dapat dinyatakan dengan persen. Misalnya, bila kita sedang tawar-menawar suatu barang di pasar (karena harganya dirasakan terlalu mahal bagi kita), kadang-kadang pedagang itu berkilah dengan mengatakan bahwa ia hanyamengambil keuntungan sedikit, beberapa persen saja.dengan menyatakan keuntungan atau kerugian dalam bentuk persen, kita dapat melihat apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut berada dalam tingkat yang wajar atau tidak.kemudian juga, kita dapat membandingkan besarnya keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh dua buah barang yang berbeda.apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh barang yang satu lebih besar atau lebih kecil daripada yang diperoleh oleh barang yang lain. Menyatakan Persentase Kerugian Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakan dalam persentase yang dihitung dari harga pembelian.jadi, jika seseorang menderita sebesar 5%, itu artinya orang tersebut menderita kerugian 5% dari harga pembelian. Persentase kerugian ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut: Tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase kerugian sama dengan tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentasekeuntungan. Hanya besarnya keuntungan kita ganti dengan besarnya kerugian.apabila harga pembelian (modal) dan persentase kerugian dikerahui maka perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase kerugian di atas. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa kerugian = persentase kerugian harga pembelian Karena harga penjualan sama dengan harga harga pembelian dikurangi kerugian maka diperoleh rumus harga penjualan sebagai berikut: 230

244 Harga penjualan = harga pembelian persentase kerugian harga pembelian = harga pembelain (1 persentase kerugian) Rabat (Diskon), Pajak, Bruto, Tara, dan Netto 1. Rabat Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu.rabat (diskon)seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli, misalnya ada toko yang melakukan obral dengan diskon dari 10% sampai 50%, sehingga para pembeli menjadi tertarik untuk berbelanja di toko tersebut, karena harganya terkesan menjadi murah. Harga bersih = harga kotor rabat (diskon) Pada rumus di atas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong diskon, dan harga bersih adalah harga setelah dipotong diskon. 2. Pajak Pajak adalah status kewajiban dari masyarakat untuk menterahkan sebagian kekayaannya pada negara menurut peraturan yan di tetapkan oleh negara. Pegawai tetap maupun swasta negeri dikenakan pajak dari penghasilan kena pajak yang disebut pajak penghasilan (PPh). Sedangkan barang atau belanjaan dari pabrik, dealer, grosor, atau toko maka harga barangnya dikenakan pajak yang disebut pajak pertambahan nilai (PPN). 3. Bruto, Tara dan Netto Jadi, hubungan bruto, tara, dan netto dapat dirumuskan sebagai berikut: Netto = bruto tara Jika diketahui persen tara dan bruto, maka untuk mencari tara digunakan rumus sebagai berikut: Tara = persen tara bruto Untuk setiap pembelian yang mendapatkan potongan berat (tara) dapat dirumuskan sebagai berikut: 4. Bunga Tunggal Harga bersih = netto harga per satuan berat Jika kita menyimpan uang di bank, maka uang kita akanbertambah karena kita mendapat bunga. Jenis bunga tabungan yang akan kita pelajari adalah bunga tunggal, artinya yang mendapat bunga hanya 231

245 modalnya saja, sedangkanbunganya tidak akan berbunga lagi. Atau Bunga tunggal adalah perhitungan jangka waktu tertentu dan jika pada waktu yang telah disepakati tidak diambil maka bunga tidak diperhitungkan pada periode berikutnya berlaku pada Deposito.Apabila bunganya turut berbunga lagi, maka jenis bunga tersebut disebut bunga majemuk yang kelak akan dipelajari di sekolah yang lebih tinggi. Rumus : Keterangan : b = bunga s = suku bunga M =modal pokok b = s x M Jika sebuah modal sebesar M (modal /pokok) disimpan di Bank atau dipinjamkan dengan bunga tunggal sebesar b, maka suku bunga sebesar s (dalam persen) maka setelah : Periode I modal akan menjadi, M 1 = P + sp = P(1+ s) Periode II modal akan menjadi, M 2 = P + sp+sp = P(1 +2s) Periode III modal akan menjadi, M 3 = P +sp+sp+sp = P(1 +3s) Periode t modal akan menjadi M n =P+sP+sP+sP+ +sp = P (1 + ts) Keterangan : P = pinjaman pokok M = modal\pokok t = periode ke- s = suku bunga Bunga tabungan biasanya dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu 1 tahun, bunga 15% per tahun artinya tabungan akan mendapat bunga 15% jika telah disimpan di bank selama 1 tahun. Bunga 1 tahun = persen bunga modal Bunga b bulan = persen bunga modal = bunga 1 tahun 232

246 Persen bunga selalu dinyatakan untuk 1 tahun, kecuali jika ada keterangan lain pada soal. 1. Seorang bapak membeli sebuah mobil seharga Rp ,00 karena sudah bosan dengan mobil tersebut maka mobil tersebut dijual dengan harga Rp ,00. Tentukan persentase kerugiannya! 2. Sebuah toko memberikan diskon 15 %, Budi membeli sebuah rice cooker dengan harga Rp ,00. Berapakah harga yang harus dibayar budi? 3. Seorang ibu mendapat gaji sebulan sebesar Rp dengan penghasilan tidak kena pajak Rp jira besar pajak penghasilan (PPh) adalah 10 % berapakah gaji yang diterima ibu tersebut? 4. Berat sebuah karung gula tertulis netto 25 kg, setelah ditimbang beratnya 26 kg. Berapa berat karung gula tersebut?tentukan bruto, netto, dan taranya 5. Rio menabung dibank sebesar Rp ,00 dengan bunga 12% per tahun. Hitung jumlah uang Riosetelah enam bulan Kunci Jawaban Tes Fotmatif 1. Jawab: Harga beli Rp ,00 Harga jual Rp ,00 Rugi = Rp ,00 Rp ,00 = Rp Persentase kerugian = 100% = 10% Jadi persentase kerugiannya adalah 10% 2. Jawab: Harga sebelum diskon = Rp ,00 Potongan harga = 15 % x Rp ,00 = Rp ,00 233

247 Harga setelah diskon= Rp ,00 Rp ,00 = Rp ,00 Jadi budi harus membayar Rp ,00 3. Jawab: Diketahui: Pesar penghasilan Rp Penghasilan tidak kena pajak Rp Pengahasilan kena pajak = Rp Rp = Rp Pajak penghasilan 10 % Ditanya: gaji yang diterima ibu tersebut Jawab: Besar pajak penghasilan = 10 % x Rp = x Rp = Rp Jadi besar gaji yang diterima ibu tersebut adalah = Rp Rp = Rp Jawab: Berat karung Jadi, netto Tara Bruto = 25 kg = 1 kg = 26 kg 5. Jawab: Besar modal (uang tabungan) = Rp ,00 Bunga 1 tahun 12 % = Rp ,00 = Rp ,00 Bunga 6 bulan = Rp 4500,00 Jadi jumlah uang Riosetelah disimpan selama enam bulan menjadi: = Rp ,00 + Rp 4500,00 = Rp ,00 234

248 1. Persentase kerugian ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut: 2. Apabila harga pembelian (modal) dan persentase kerugian dikerahui maka perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase kerugian dengan demikian: kerugian = persentase kerugian harga pembelian 3. harga penjualan sama dengan harga harga pembelian dikurangi kerugian maka diperoleh rumus harga penjualan sebagai berikut: Harga penjualan = harga pembelian persentase kerugian harga pembelian = harga pembelain (1 persentase kerugian) 4. Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Diperoleh rumus sebagai berikut: Harga bersih = harga kotor rabat (diskon) 5. Pajak adalah status kewajiban dari masyarakat untuk menterahkan sebagian kekayaannya pada negara menurut peraturan yan di tetapkan oleh negara. Bruto, netto, dan tara Netto = bruto tara Tara = persen tara bruto Harga bersih = netto harga per satuan 6. Bunga tunggal adalah perhitungan jangka waktu tertentu dan jika pada waktu yang telah disepakati tidak diambil maka bunga tidak diperhitungkan pada periode berikutnya berlaku pada Deposito. b = bunga s = suku bunga M = modal pokok b = s x M 235

249 1. Ayah meminjam uang Rp ,00 di sebuah koperasi dengan bunga 6 % per tahun. Jika ayah ingin melunasi pinjamannya dengan angsuran selama 10 kali yang besarnya sama pada tiap akhir bulan, maka besarnya angsuran adalah? 2. Bruto satu dus barang adalah 48 kg. Jika taranya 2,5%, hitunglah berat bersih (neto) satu dus barang tersebut! 3. Paman membeli sebuah mobil bekas dengan harga Rp ,00. Mobil itu kemudian diperbaiki dengan biaya Rp ,00 lalu dijual dengan harga Rp ,00. Tentukan persentase rugi paman? 4. Sebuah pabrik sepatu menjual produknya seharga Rp ,00. Oleh toko swalayan barang itu dijual dengan margin keuntungan 10%, jika barang tersebut termasuk barang kena pajak sebesar 5%, berapa banderol harga sepatu di toko swalayan? 5. Sebuah toko memberikan diskon 20% untuk baju dan 15% untuk lainnya. Ana membeli sebuah baju seharga Rp ,00 dan sebuah tas seharga Rp ,00. Jumlah uang yang harus dibayar Ana untuk pembelian baju dan tas tersebut adalah 236

250 SOAL EVALUASI MPM 6 1. Seorang pedagang membeli dua kuintal gandum dengan kualitas dan harga yang berbeda. Dia membeli gandum jenis A satu kuintal dengan harga Rp ,00 dan gandum jenis B satu kuintal dengan harga Rp ,00. Gandum A dijual Rp6.800,00/kg sedangkan gandum B dijual dengan harga Rp6.300,00/kg. Apakah pedagang tersebut mengalami keuntungan atau kerugian? Berapa total keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut jika dua kuintal gandumnya habis terjual? 2. Lengkapilah titik titik pada tabel berikut! No. Nama Barang Harga Tiap 1kg Harga 7 kg 1. Beras Rp6.300, Telur... Rp63.000,00 3. Minyak Goreng Rp5.900, Tepung Terigu... Rp Jeruk Rp6.500, Perhatikan tabel berikut! Diantara ke 10 pedagang berikut yang mendapatkan laba dan kerugian? No. Nama Pedagang Harga Beli Harga Jual 1. Ibu Tina Rp2.450,00 per buah Rp2.375,00 per buah 2. Pak Jupri Rp8.400,00 per lusin Rp750,00 per buah 3. Ibu Ana Rp2.150,00 per buah Rp27.600,00 per buah 4. Ibu Didin Rp6.600,00 per ½ lusin Rp1.000,00 per buah Pak Budi Pak Kinol Pak Adeem Pak Ehsin Ibu Beina Rp ,00 per kuintal Rp4.500,00 per kg Rp6.000,00 per liter Rp ,00 per ton Rp ,00 per ons Rp6.300,00 per kg Rp ,00 per kuintal Rp5.900,00 per liter Rp1.200,00 per kg Rp6.000,00 per kg 237

251 10. Pak Alwi Rp82.000,00 per 15 liter Rp5.300,00 per liter 4. Hitunglah! a. 15% dari Rp45.000,00 b. 10% dari 50m c. 1,5% dari 2000 orang d. 60% dari 120 liter e. 75% dari Rp ,00 5. Seorang pedagang membeli telur 10 kg dengan harga Rp , kemudian telur itu dijual denan harga Rp12.500/kg. Jika dari 10 kg telur pecah 1 kg sehingga tidak dapat dijual, maka berapakah persentase kerugian yang ditanggung pedagang? 6. Berikut ini daftar diskon yang ditawarkan. Item Harga Diskon Kebaya Rp ,00 10% Selendang Rp ,00 15% Jika ibu membeli dua kebaya dan tiga selendang, maka jumlah yang harus dibayar adalah? 7. Bu Echa membeli 2 karung beras dengan harga Rp per karungnya dan mendapat diskon 10%. Dalam karung beras bertuliskan brutonya 50 kg dan taranya 1%. Kemudian Bu Echa menjual 45kg beras tersebut dengan harga Rp per kg dan diskon 15%. Sisanya dijual dengan harga Rp dan diskon 10%. Berapa keuntungan yang diperoleh Bu Echa (dalam Rp dan %) setelah kena pajak Rp ? 8. Pak Ogah memperoleh gaji Rp ,00 sebulan dengan penghasilan tidak kena pajak Rp ,00. Jika pajak penghasilan (PPh) diketahui 10%, berapakah besar gaji yang diterima Pak Ogah per bulan? 9. Sebuah bank menerapkan suku bunga 8% pertahun. Setelah 2½ tahun, tabungan Budi di bank tersebut Rp Tabungan awal Budi adalah? 238

252

253 Modul ini memuat materi tentang Perbandingan dan Skala. Yang di dalamnya mencakup antara lain: Menentukan Perbandingan, Jenis-Jenis Perbandingan, Konsep skala, serta Operasi Hitung Menggunakan Perbandingan dan Skala. Materi perbandingan ini sangat erat kaitannya dengan materi Pecahan dan Himpunan. Oleh karena itu, materi Pecahan dan Himpunan menjadikan suatu prasyarat untuk mempelajari modul ini. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Menjelaskan konsep perbandingan dan skala 2. Menyatakan pengertian perbandingan. 3. Menentukan perbandingan dua besaran yang sejenis. 4. Dapat menyederhanakan perbandingan. 5. Menyatakan dua jenis perbandingan. 6. Menghitung perbandingan senilai. 7. Menghitung perbandingan berbalik nilai. 8. Menjelaskan bentuk / pola grafik dan tabel dari perbandingan. 9. dapat melakukan operasi hitung dengan menggunakan konsep perbandingan dan skala. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 240

254 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 241

255 *Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari dan memahami pokok bahasan tentang pecahan yang berbentuk. Pecahan dapat di tulis sebagai perbandingan a : b, misalnya pecahan dapat ditulis sebagai perbandingan 3 : 4. Menyederhanakan pecahan ialah memperkecil pembilang a dan penyebut b sampai sekecil mungkin, tanpa mengubah nilainya. Demikian pula menyederhakan perbandingan sama saja dengan menyederhanakan pecahan. Perhatikan gambar berikut tinggi badan Yuli berbanding tinggi badan Toni dalam satuan cm adalah 60 berbanding 160, ditulis 60 : 160 atau 3 : 8. tinggi badan Yuli berbanding tinggi badan Anggi dalam satuan cm adalah 60 berbanding 120, ditulis 60 : 120 atau 1 : 2. tinggi badan Toni berbanding tinggi badan Anggi dalam satuan cm adalah 160 berbanding 120, ditulis 160 : 120 atau 4 : 3. Apa yang anda dapat simpulkan sementara ini? 242

256 Perbandingan adalah hubungan antara ukuran-ukuran atau nilai-nilai dua atau lebih objek dalam satu kumpulan. Misal: Kita memliki kemeja A dan dasi A, serta kemeja B dan dasi B. ketika kita ingin membandingkan kedua benda tersebut dengan tepat, benda mana saja yang dapat kita bandingkan? Apakah kemeja A akan kita bandingkan dengan dasi B atau sebaliknya dasi B kita bandingkan dengan kemeja A untuk melihat dasi dan kemeja mana yang lebih mahal harganya? Yang tepat, kita akan dapat membandingkan dasi atau kemeja mana yang lebih mahal jika kita membandingkan kemeja A dengan Kemeja B, serta dasi A dan dasi B untuk melihat mana yang lebih mahal di antara keduanya. Syarat sebuah perbandingan adalalah: 1. Satuan-satuan yang dibandingkannya sejenis. 2. Perbandingannya dibuat dalam bentuk pecahan yang paling sederhana dan dinyatakan dengan bilangan bulat positif. 3. Perbandingan dapat disederhanakan bentuknya tanpa menggunakan satuan. Contoh Dari gambar diatas, yaitu Pak Somat memiliki 2 anak laki-laki dan 1 perempuan. Selanjutnya terdapat 2 perempuan dan 3 laki-laki dalam kelurga Pak Somat. Pada gambar juga tampak ada 2 gelas warna kuning dan 3 gelas warna krem. Sekarang cermati pernyataan berikut! Banyak anak perempuan berbanding banyak anak laki-laki dalam keluarga Pak Somat adalah 1 berbanding 2, ditulis 1 : 2. Banyak perempuan berbanding banyak laki-laki dalam keluarga Pak Somat adalah 2 berbanding 3, ditulis 2 : 3. Banyak gelas warna kuning berbanding banyak gelas warna krem di atas meja adalah 2 berbanding 3, ditulis 2:3. 243

257 1. Pada suatu pertandingan bola basket, tim A berhasil memasukkan 25 bola, sedangkan tim B berhasil memasukkan 40 bola. Berapakah perbandingan antara hasil tim A dengan tim B? A. 5 : 13 B. 8 : 5 C. 4 : 5 D. 5 : 8 2. Dua persegi memiliki panjang sisi berturut-turut 8 cm dan 4 cm. Berapakah perbandingan antara luas persegi pertama dengan luas persegi kedua? A. 4 : 1 B. 1 : 2 C. 2 : 1 D. 1 : 4 3. Jika kecepatan mobil A adalah 250 km/jam dan perbandingan antara kecepatan mobil A dan mobil B adalah 5 : 6 berapa kecepatan mobil B? A. 150 B. 200 C. 250 D Tentukan nilai a, b, dan c, jika a :b = 5 : 3, b = c, dan c - b = 18. A. a = 72 B. a = 120 C. a = 90 D. a = 120 b = 120 b = 72 b = 72 b = 90 c = 90 c = 90 c = 120 c = Jumlah uang tabungan Rina dan Rini adalah Rp ,00. Uang Rina dari uang Rini. Berapa rupiah masing-masing uang Rina dan uang Rini? A. uang Rina = Rp ,00 uang Rini = Rp ,00 B. uang Rina = Rp ,00 uang Rini = Rp ,00 C. uang Rina = Rp ,00 uang Rini = Rp ,00 D. uang Rina = Rp ,00 uang Rini = Rp ,00 244

258 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Jawaban: D Perbandingan antara hasil tim A dan tim B adalah : atau 5 : 8 2. Jawaban: A Luas persegi pertama = 8 cm x 8 cm = 64 cm 2 Luas persegi kedua = 4 cm x 4 cm = 16 cm 2 Perbandingan antara luas persegi pertama dengan luas persegi kedua adalah: atau 4 : Jawaban: D Kecepatan mobil A : kecepatan mobil B = 5 : 6, jika kecepatan mobil A adalah 250 km/jam maka kecepatan mobil B adalah, 5 x kecepatan mobil B = 6 x kecepatan mobil A kecepatan mobil B = x kecepatan mobil A kecepatan mobil B = x 250 kecepatan mobil B = 300 jadi, kecepatan mobil B adalah 300 km/jam 4. Jawaban: B b = c dan c - b = 18 c - c = 18 c = 18 c = 18 x 5 = 90 c = 90 C = 90 dan b = c b = x 90 b =72 Jika a : b = 5 :3, maka 3a = 5b b = 72 dan 3a = 5b 3a = 5(72) a = 120 Dengan demikian a = 120, b = 72, dan c =

259 5. Jawaban: A Jumlah uang tabugan Rina dan Rini = Rp ,00 Jumlah perbandingan uang Rina dan Rini = = 8 Uang Rina x = Uang Rini x = Perbandingan adalah hubungan antara ukuran-ukuran atau nilai-nilai dua atau lebih objek dalam satu kumpulan. 2. Perbandingan dapat dinyatakan dalam atau a : b, dan dibaca a berbanding b, b Syarat sebuah perbandingan satuan-satuan yang dibandingkannya sejenis. Perbandingannya dibuat dalam bentuk pecahan yang paling sederhana dan dinyatakan dengan bilangan bulat positif. Perbandingan dapat disederhanakan bentuknya tanpa menggunakan satuan. 246

260 1. Perhatikan gambar dibawah ini! Tentukan! a) Berapa banyak gajah? b) Berapa banyak kambing? c) Tentukan perbandingan antara banyak gajah dan banyak kambing! d) Berapa banyak seluruh kaki gajah? e) Berapa banyak seluruh kaki kambing? f) Tentukan perbandingan antara banyak seluruh kaki gajah dan banyak seluruh kaki kambing? 2. Sebuah tali dipotong menjadi dua bagian dengan perbandingan 7 : 4 dan selisih panjang kedua potongan tali tersebut adalah 6 cm. Panjang tali tersebut sebelum dipotong adalah? 3. Perbandingan uang Lusi, Kiki, dan Indri adalah 2 : 4 : 5. Jika uang Kiki Rp ,00, maka jumlah uang mereka dalah? 4. Tentukan nilai a, b, dan c, jika a - b = 24; a : b = 5 : 2, dan c = (a+b) 5. Jumlah kuaci Santi berbanding kuaci Rani adalah 8 : 6 dan banyak kuaci Rani sama dengan kuaci Leni. Kuaci Rani lebih banyak 18 buah dari kuaci Leni. Berapakah jumlah kuaci Santi, Rani, dan Leni seluruhnya? 247

261 *Kegiatan Belajar 2 Perbandingan Senilai Senilai Mari kita temukan konsep perbandingan senilai dari situasi nyata di sekitar kita. Perhatikan situasi nyata berikut Jawablah pertanyaan yang diberikan dan lakukan kegiatan berikut! a) Susunlah ata banyak salak dan bobotnya pada tabel dan sajikan data tersebut pada koordinat kartesius untuk menunjukkan hubungan banyak salak dengan bobot salak tersebut! b) Jika banyak salak yang dibeli semakin banyak, bagaimana dengan bobot salak itu? c) Apa yang dapat kamu simpulkan dari perbandingan banyak salak dengan bobotnya? Penyelesaian: Diketahui bobot 120 buah salak adalah 8 kg. Dengan demikian dapat ditentukan banyak salak 1 kg. Bobot 120 buah salak adalah 8 kg 1 kg adalah bobot dari = 15 salak. Kita ketahui bahwa 1 kg = 1 ons. Bobot 15 buah salak adalah 1 kg sama artinya bobot 15 salak adalah 10 ons. Dengan demikian bobot 1 buah salak adalah ons = ons. Jadi bobot 1 buah salak adalah ons atau bobot 3 salak adalah 2 ons 248

262 a. Jika Udin membeli 90 buah salak yang sama besar dengan yang di atas, berapa kilogram bobotnya? Bobot 90 buah salak adalah 90 x ons = 60 ons = 6 kg b. Jika Udin membeli 42 butir salak tersebut, berapa kilogram bobotnya? Bobot 42 buah salak adalah 42 x ons = 28 ons = 2,8 kg c. Berapa buah salak yang dipili, jika udin hanya ingin membeli 0,04 kg? 0,4 kg = 4 ons Dari bagian perhitungan di peroleh 3 buah salak adalah 2 ons. Sehingga 4 ons adalah bobot dari 6 buah salak. Data banyak salak dan bobot salak dapat disajikan pada tabel berikut. Data pada tabel di atas disajikan pada koordinat kartesius di bawah ini Dari data yang disajikan pada tabel dari grafik di atas dapat diambil kesimpulan bahwa: Semakin bertambah banyak buah salak yang dibeli, maka semakin bertambah bobotnya, hal ini memlilih makna yang sama bahwa 249

263 semakin sedikit buah salak yang dibeli, maka semakin berkurang bobotnya. Dri sisi perbandingan dapat dinyatakan 8 : 120 senilai dengan 6 : 90 dan 6 : 90 senilai dengan 2,8 : 42. Demikian jugan 2,8 : 42 senilai dengan 0,4 : 6 senilai dengan 0,2 : 3. Dapat diambil kesimpulan bahwa semua perbandingan tersebut adalah senilai. Jika ditarik kurva yang melalui pasangan titik perbandingan seniai, maka kurva terebut merupakan garis lurus. Definisi Untuk a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif atau ukuran objekobjek. a : b senilai dengan c : d jika dan hanya jika = atau a x d = b x c Contoh Perbandingan 3 : 5 senilai dengan 6 : 10. Akibatnya 3 : 6 senilai denga 5 : 10 dan = atau 3 x 10 = 5 x 6 = 30. Contoh Harga 20 batang coklat adalah Rp ,00. Berapa harga 45 batang coklat? Penyelesaian: Harga 20 batang coklat adalah Rp ,00 Harga 1 batang coklat adalah: Jadi, harga 45 batang coklat adalah 45 x Rp ,00 = Rp ,00 Perbandingan Berbalik Nilai Selanjutnya mari kita temukan konsep dan sifat-sifat perbandingan berbalik nilai melalui pemecahan masalah nyata yang terjadi di sekitar kehidupan kita. Untuk itu perhatikan masalah yang diajukan dan lakukan proses matematisasi 250

264 pemecahan masalah dan selanjutnya menenmukan konsep perbandingan berbalik nilai sebagi berikut. Jawablah pertanyaan yang diberikan dan lakukan kegiatan berikut! a) Jika perbandingan banyak siswa 10 : 15 bagaimana dengan perbandingan banyak donat yang di terima tiap siswa? b) Jika perbandingan banyak siswa 15 : 20 bagaimana dengan perbandingan banyak donat yang diterima tiap siswa? c) Jika perbandingan banyak donat yang diterima siswa, bagaimana dengan perbandingan banyak siswa? d) Sajikan data perbandingan pada tabel dan sajkan pada koordinat kartesius untuk memperoleh grafik perbandingannya! e) Apa yang dapat kamu simpulkan dari perbandingan siswa dengan perbandingan banyak donat yang diterima tiap siswa tersebut? Penyelesaian: Diketahui banyak donat yang dibeli Andini adalah 5 lusin. Kita ketahui atu lusin berisis 12 kue donat. Sehingga banyak donat untuk 5 lusin adalah 60 donat. Selanjutnya kue tersebut akan dibagi sama banyaknya pada teman aandini yang hadir pada acara perpisahan tersebut. a. Jika teman Andini yang hadir 10 orang, berapa kue donat yang diperoleh masing-masing temannya? Karena teman Andini yang hadir 10 orang maka setiap orang memperoleh sebanyak = 6 donat. b. Jika temannya yang datang 15 orang berrapa kue donat yang diperoleh masing-masing siswa? Karena teman Andini yang hadir 15 orang maka setiap orang memperoleh sebanyak = 4 donat. c. Jika perbandingan banyak siswa 10 : 15 bagaimana dengan perbandingan banyak donat yang diterima tiap siswa? 251

265 Perbandingan banyak siswa 10 : 15, maka perbandingan banyak donat yang diperoleh 6 : 4. d. Jika perbandingan banyak siswa 10 : 20 bagaimana dengan perbandingan banyak donat yang diterima tiap siswa? Perbandingan banyak siswa 15 20, maka perbandingan banyak donat yag di peroleh adalah 4 : 3. Data banyak siswa yang hadir di acara dan abanyak donat yang diperoleh tiap siswa dapat disajikan pada tabel berikut. Data pada tabel di atasbisa disajikan pada koordinat kartesius di bawah ini. Dari data yang disajikan pada tabel dan grafik di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Semakin bertambah banyak teman Andini yang hadir, maka semakin sedikit kue donat yang diperoleh masingmasing siswa. Hal ni memilki makna yang sama bahwa semakin sedikit teman Andini yang hadir, maka semakin banyak donat yang dipeoleh masing-masing siswa. Dari sisi perbandingan dapat dinyatakan 20 : 3 berbalik nilai dengan 3 : 20; perbandingan 15 : 4 berbaik nilai dengan 4 : 15. Demikian 12 : 5 berbalik nilai dengan 5 : 12 dan 10 : 6 berbalik nilai dengan 10 : 6. Dapat 252

266 diambil kesimpulan bahwa semua perbandingan tersebut adalah berbalik nilai. Makna perbandingan berbalik nilai dalam kasus ini adalah semakin banyak siswa yang hadir dalam acara perpisahan, maka semakin sedikit donat yang diperoleh masin-masing siswa. Jika ditarik kurva yang melalui pasangan titik perbandingan berbalik nilai, maka kurva terebut tidak merupakan garis lurus Definisi Untuk a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif atau ukuran objek-objek. a : b = c : d jika dan hanya jika = atau a x d = b x c i 2 Contoh Perbandingan 3 : 5 berbalik nilai dengan 15 : 9 akibatnya 3 x 15 = 5 x 9 = 45 Contoh Pembangunan ebuah jembatan direncanakan selesai dalam waktu 132 hari oleh 72 pekerja. Sebelum pekerjaan dimulai ditambah 24 orang pekera. Waktu untuk menyelesaikan pembangunan jembatan tersebut adalah? Penyelesaian: Pekerja total adalah = 96 pekerja a 1 = 132 hari b 1 = 72 pekerja a 2 =? b 2 = 96 pekerja a 1 x b 1 = a 2 x b 2 a 2 = a 2 = a 2 =

267 1. Perbandingan 2 : x senilai dengan y : 27 dan. Tentukan nilai x dan y! A. x = 3 B. x = 18 C. x = 9 D. x = 9 y = 27 y = 3 y = 4 y = 6 2. Perbandingan a : b berbalik nilai dengan c : d. bila bd = 175 dan a = 5, maka c =... A. 875 B. 5 C. 175 D Harga 3 buah komik Rp ,00. Berapa harga 9 buah komik? A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 4. Empat penjahit dengan kemampuan sama dalam sehari mampu membuat 18 baju. Jika di tambah 8 penjahit dengan kemampuan sama, dalam satu hari kelompok penjahit tersebut mampu membuat... baju. A. 48 B. 52 C. 54 D Untuk menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 36 hari diperlukan pekerja sebanyak 18 orang. Bila pekerjaan akan diselesaikan dalam 14 hari, maka banyak pekerja tambahan yang diperlukan adalah... A. 9 orang B. 18 orang C. 24 orang D. 36 orang Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Jawaban: B 2 : x senilai dengan y : 27 xy = 54 x 2 = 324 x =

268 Jadi, x = 18 dan y = Jawaban: D bd = 175 dan a = 5 a : b berbalik nilai dengan c : d ac = bd 5c = 175 c = 35 Jadi, c =35 3. Jawaban: C Harga 3 buku Rp ,00 harga 1 buku Rp ,00 Harga 9 buku Rp ,00 x 9 Rp ,00 Jadi, harag 9 buku adalah Rp ,00 4. Jawaban: C a 1 = 4 Penjahit b 1 = 18 baju a 2 = (4+8) = 12 penjahit b 2 =? a 1 x b 2 = a 2 x b 1 b 2 = 54 Jadi, dalam 1 hari mampu membuat 54 baju. 5. Jawaban: a 1 = 36 hari b 1 = 18 orang a 2 = 24 hari b 2 =? a 1 x b 1 = a 2 x b 2 255

269 b 2 = 27 Banyak pekerja yang diperlukan untuk menyelesaikan dalam waktu 24 hari adalah 27 orang. Maka banyak pekerja tambahan yang diperukan adalah = 9 orang. 1. Perbandingan mempunyai 2 jenis yaitu: (1) Perbandingan senilai (2) Perbandingan berbalik nilai. 2. Grafik perbandingan senilai membentuk kurva garis lurus. 3. Grafik perbandingan berbalik nilai tidak membentuk garis lurus 1. Perbandingan a : b senilai dengan 1 : 3. Bila nilai b = 3000, maka berapa nilai a? 2. Perbandingan a : berbalik nilai dengan 20 : 8. Jika a = 2, maka niberapa nilai b? 3. Jumlah ayam jantan dan ayam betina dalam sebuah kandang 96 ekor. Jika perbandingan banyak ayam jantan dan betina tersebut 3 : 5, selisih ayam jantan dan betina adala... ekor. 4. Untuk menjamu 300 orang tamu undangan, ibu memerlukan beras 25 kg dan gula 15 kg. jika ada 720 orang tamu undangan, beras dan gula yang diperukan berturut-turut Perbaikan sebuah jembatan direncanakan selesai dalam waktu 45 hari dengan 24 pekerja. Setelah dikrjakan 5 hari, pekerjaan dihentikan selam 10 hari. Jika kemampuan bekerja etiap orang sama dan supaya 256

270 pembangunan jembatan selsai tepat waktu, banyak pekerja tambahan yang diperlukan adalah... orang 257

271 *Kegiatan Belajar 3 Skala Kata skala sering kita temui pada benda-benda nyata, seperti pada peta Wilayah dan gambar foto. Dalam hal ini skala menyatakan perbandingan antara ukuran gambar dan ukuran sebenarnya atau sesungguhnya. Sehingga dapat dinyatakan dengan: Skala pada Thermometer Skala juga ditemui pada thermometer suhu, yaitu alat untuk mengukur suhu tubuh. Skala yang digunakan adalah skala Celcius ( C), skala Reamur ( R), dan skala Fahrenheit ( F). Perbandingan suhu dalam derajat Celcius, Reamur, dan Fahrenheit dinyatakan dengan rasio 5:4:9 + (32 ). Faktor Perbesaran dan Pengecilan pada Gambar Berskala Faktor pada gambar berskala dapat berupa perbesaran atau pengecilan, misalnya foto sebuah rumah. Anda akan melihat kesamaan dalam bentuk antara foto dengan rumah sebenarnya. Tetapi ukuran foto dapat diperbesar atau diperkecil dengan perbandingan yang sama. Contoh Soal Pada sebuah peta tertera tulisan 1: Jika jarak tempat A ke tempat B adalah 10 cm pada peta, tentukan jarak sebenarnya dari kedua tempat tersebut. Penyelesaian : Untuk menghitung jarak sebenarnya dapat digunakan 2 cara, yaitu: Cara 1: Dengan perbandingan langsung Diketahui perbandingan 1: Oleh karena jarak pada peta 10 cm, anda tinggal kalikan kedua ruas perbandingan dengan 10 cm. 1: = 1x10 cm : x10 cm 258

272 = 10 cm : cm = 10 cm : 3 km Sehingga, 10 cm pada peta setara dengan 3 km. Jadi, jarak sebenarnya adalah 3 km. Cara 2 : Dengan menggunakan rumus skala perbandingan Jarak sebenarnya = Kedua cara tersebut memberikan hasil yang sama. Contoh Soal Sebuah foto rumah bertingkat mempunyai tinggi dan lebar berturut-turut 5 cm dan 6 cm. Foto itu kemudian diperbesar sehingga lebarnya menjadi 12 cm. Tentukan: a. Faktor skalanya b. Tinggi foto setelah diperbesar c. Perbandingan luas foto sebelum dan sesudah diperbesar Penyelesaian : a. Faktor skala = b. Tinggi foto setelah diperbesar = skala x tinggi foto semula = 2 x 5 cm = 10 cm c. Perbandingan foto sebelum dan sesudah diperbesar Contoh Soal Jumlah tinggi Awi dan ibunya 240 cm. Tinggi Awi ditambah 10 cm sama dengan tinggi ibunya. Berapa cm selisih tinggi Awi dengan tinggi ibunya? 259

273 Penyelesaian : Tinggi Awi + tinggi ibunya = 240 cm Tinggi Awi + 10 cm = tinggi ibunya. Misal tinggi Awi = t cm t + 10 cm = tinggi ibunya Jumlah perbandingan tinggi Awi dan tinggi ibuny: 3+5 = 8 Tinggi ibu Awi = t + 10 = t + 10 = t + 10 = t +10 = 90 t =90 10 =80 cm Selisih tinggi Awi dengan tinggi ibunya = 150 cm 80 cm = 70 cm 1. Jarak kota Bima dan Dompu di propinsi Nusa Tenggara Barat 900 km. Tentukan jarak kedua kota itu pada peta, jika skalanya 1 : Saat demam, thermometer Celcius menunjukkan suhu badan Tania 40 C. a. Berapa derajat Reamur suhu badan Tania? b. Berapa derajat Fahrenheit suhu badan Tania? 3. Sebuah peta berskala 1 : Jarak kota Jakarta dan Bandung pada peta jaraknya 2,6 cm. Ardi mengendarai mobil berangkat dari kota Jakarta ke Bandung dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Selama perjalanan, ia berhenti istrahat sebanyak 1 kali selama 45 menit. Ia tiba di kota Bandung pukul 11:30 WIB. a. Berapa jam mobil itu di perjalanan? b. Pukul berapa Ardi berangkat dari kota Jakarta? 260

274 4. Jarak kota A dan B pada peta 9 cm. Peta itu berskala 1 : Firdaus dengan mengendarai sepeda motor berangkat dari kota A pukul 07:45 dengan kecepatan 45 km/jam. Di tengah jalan Firdaus berhenti selama jam. Pada pukul berapa Firdaus tiba di kota B? 5. Pesawat perintis N219 buatan PT Dirgantara Indonesia yang berukuran bentang sayap 15,5 m dan tinggi 6,4 m. Jika perusahaan akan membuat miniatur yang berskala 1:100 cm, berapakah ukuran bentang sayap dan tinggi miniatur pesawat? Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Jarak kedua kota adalah 900 km = cm Jarak kedua kota pada peta = skala x jarak sebebenarnya = = = 11,25 cm 2. Diketahui bahwa thermometer Celcius menunjukkan suhu badan Tania 40 C. a. Suhu badan Tania 40 C. Perbandingan suhu pada thermometer Celcius dan Reamur adalah 5:4, sehingga b. Perbandingan suhu pada thermometer Celcius dan Fahrenheit adalah 5:9 dengan skala nol pada thermometer Celcius sesuai dengan skala 32 termometer Fahrenheit, sehingga: 3. Jarak kedua kota adalah = = = 2,6 cm x = cm =260 km a. Kecepatan mobil rata-rata 80 km/jam, sehingga: Waktu tempuh = 261

275 Karena Ardi beristirahat selama 45 menit, maka : Lama mobil di perjalanan = waktu tempuh + lama istirahat = 3 jam 25 menit + 45 menit = 4 jam 10 menit b. Ardi tiba di Kota Bandung pukul 11:30 WIB. Karena dia di perjalanan membutuhkan waktu 4 jam 10 menit, maka : Ardi berangkat dari Kota Jakarta perjalanan = waktu tiba lama mobil di = pukul 11:30 WIB 4 jam 10 menit = pukul 07:20 WIB 4. Jarak kedua kota adalah = = = 9 cm x = cm = 18 km Kecepatan mobil rata-rata 45 km/jam, sehingga: Waktu tempuh = Karena Firdaus istirahat selama ¼ jam, maka : Lama perjalanan = waktu tempuh + istirahat = 24 menit + 15 menit = 39 menit Firdaus berangkat dari kota A pada pukul 07:45 WIB dan lama di perjalanan adalah 39 menit, jadi Firdaus tiba di kota B pada pukul 08:24 WIB. 5. Ukuran miniatur bentang sayap = skala x ukuran sebenarnya = = = 0,155 m = 15,5 cm Tinggi miniatur pesawat = skala x ukuran sebenarnya 262

276 = = = 0,064 m = 6,4 cm Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar atau model dengan ukuran sebenarnya. 1. Gambar diatas merupakan gambar lukisan bunga yang berukuran panjang dan lebar masing-masing 8 cm dan 4 cm dengan skala 1 : 30. a. Tentukan panjang lukisan sesungguhnya. b. Tentukan lebar lukisan sesungguhnya jika menggunakan skala 1:50 c. Jika panjang dan lebar lukisan dalam gambar masing-masing diperbesar 2 kalinya, tentukan panjang dan lebar lukisan sesungguhnya 2. Lakukan hal di bawah ini! a. Ukurlah panjang dan lebar lapangan sekolahmu 263

277 b. Ukurlah panjang dan lebar papan tulis di kelasmu c. Ukurlah panjang dan lebar pintu di kelasmu Setelah mengukur semua benda-benda di atas, gambarlah setiap benda di atas di selembar kertas. Gunakan skala yang sesuai, kemudian cantumkan skala tersebut pada pojok kanan bawah lembar kerja tersebut. 264

278 SOAL EVALUASI MPM 7 1. Perbandingan banyak buku ensiklopedia dan buku dongeng di sebuah perpustakaan adalah 3 : 7. Jumlah kedua jenis buku tersebut adalah 80 eksemplar. Selisih banyak kedua jenis buku adalah... eksemplar. A. 24 B. 32 C. 48 d Pemborong bangunan dapat menyelesaikan bengunan gedung dalam waktu 11 bulan oleh 200 pekerja. Jika bangunan tersebut direncanakan selesai dalam waktu 8 bulan, pemborong tersebut harus menambah pekerja sebanyak... orang. A. 85 B. 75 C. 65 D Setiap pagi sebelum berangkat sekolah, Koko dan semua anggota keluarganya sarapan kue serabi yang disiapkan oleh ibunya. Karena biayanya lebih murah dari pada beli sudah jadi. Biaya untuk membuat 1 lusin serabi adalah Rp ,00. Berapa biaya yang di keluarkan ibu untuk sarapan keluarganya yang terdiri dari ibu, ayah, dan tiga orang anaknya, bila tiap orang sarapan 2 kue? A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 4. Selisih uang Ali dan Beni Rp ,00. Jika perbandingan banyak uang mereka 4 : 5, jumlah uang Ali dan Beni adalah... A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp. 120,000,00 D. Rp ,00 5. Shafa membagikan permen kepada Nurul an Dila dengan perbandingan 3 : 5. Jika Nurul memperoleh 15 butir permen, berapa butir permen yang diperoleh Dila? A. 15 B. 25 C. 35 D Sebuah tali dipotong menjadi dua bagian dengan perbandingan 7 : 4 dan selisih panjang kedua potongan tali ersebut adalah 6 cm. Panjang tali tersebut sebelum dipotong adalah... A. 66 cm B. 26 cm C. 22 cm D. 18 cm 7. Jumlah pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah 36. Nilai pecahan itu. Tentukan pecahan tersebut? A. B. C. D. 265

279 8. Pada kegiatan Rally, sebuah mobil akan sampai di garis finish dalam waktu 4,5 jam dengan kecepatan ratarata 63 km/jam. Setelah 2 jam berjalan ban mobil pecah sehingga terpaksa berhenti mengganti ban selama 15 menit. Berapa kecepatan mobil biru dinaikkan agar tetap sampai di finis tepat waktu? A. 65 km/jam B. 68 km/jam C. 70 km/jam D. 73 km/jam 9. Seorang peternak ayam mempunyai persediaan makanan ternak utuk 450 ekor ayamnya selama 24 hari. Jika ia menjual ayamnya sebanyak 150 ekor, maka makanan ternak ternak itu akan habis dalam waktu... hari. A. 8 B. 16 C. 36 D Sebuah mobil dengan kecepatan 60 km/jam memerlukan waktu 3 jam 30 menit. Jika kecepatan mobil 90 km/jam, waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama adalah... A. 1 jam 15 menit B. 2 jam 15 Menit C. 2 jam 20 menit D. 2 jam 30 menit 11. Mobil pak Hasan menghabiskan bensin 6 liter untuk menempuh jarak 72 km. Jika mobil tersebut menempuh jarak 600 km, maka bensin yang dihabiskan adalah... A. 25 liter B. 35 liter C. 50 liter D. 55 liter 12. Perbandingan x : y berbalik nilai dengan s : t. Diketahui x : y = 3 : 5 dan y = s dan s - y = 25, tentukan nilai x, y, s, dan t! A. x = 5, y = 3, s =28, dan t = 30 B. x = 5, y = 30, s =18, dan t = 5 C. x = 3, y = 5, s =35, dan t = 7 D. x = 3, y = 5, s =30, dan t = Perbaikan jalan akan selesai dikerjakan dalam waktu 3 bulan ( 1 bulan = 30 hari), jika dikerjakan oleh 16 orang tenaga. Setiap hari minggu ( 1 bulan ada 5 hari minggu) buruh libur bekerja. Berpa orang buruh yang harus di tambahagar jalan tersebut tetap selesai tepat waktu? A. 4 B. 3 C. 2 D Perbandingan x : y senilai dengan s : t. Dikethui x : y = 6 : 7 dan x = s dan s - x = 30, tentukan x, y, s, dan t! 266

280 A. x = 6, y = 7, s =42, dan t = 36 B. x = 6, y = 7, s =36, dan t = 42 C. x = 36, y = 42, s =6, dan t = 7 D. x = 42, y = 36, s =6, dan t = Seseorang berjalan 150 langkah dengan jarak yang ditempuhnya 120 m. Berapakah jarak yang ditempuhnya apabila ia verjalan 250 langkah? A. 200 m B. 210 m C. 220 m D. 230 m 16. Jika naik bentor, Dheni akan sampai di sekolah dalam waktu 45 menit dengan kecepatan rata-rata bentor 20 km/jam. Berapa kecepatan rata-rata bentor agar Dheni sampai di sekolah dalam waktu 30 menit? A. 25 km/jam B. 27 km/jam C. 30 km/jam D. 35 km/ jam 17. Sebuah rak buku dapat memuat 36 buah buku yang tebalnya 8 milimeter. Berapa buah buku yang dapat ditaruh di rak tersebut jika tiap buku tebalnya 12 milimeter? A. 16 B. 24 C. 32 D Seorang pemborong memperkirakan dapat meyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu 11 bulan dengan 96 pekerja. Apabila ia ingin menyelesaikan pekerjaan tersebut dalam waktu 8 bulan, berapa pekerja yang diperlukan? A. 130 orang B. 131 orang C. 132 orang D. 133 orang 19. Dua lingkaran memiliki jari-jari masing-masing 5 cm dan 15 cm. perbandingan antara luas lingkarang pertama dan luas lingkaran kedua adalah? A. 1 : 3 B. 1 : 5 C. 1 : 7 D. 1 : Ibu mempunyai uang untuk membeli buku sebanyak 20 buah dengan harga Rp ,00 sebuah. Apabila ia membeli buku dengan harga Rp. 500,00 sebuah, berapa banyak buku yang bias diperoleh dengan uang yang di milikinya? A. 60 B. 55 C. 50 D Skala yang digunakan jika suatu menara yang tingginya 50 m digambar 1 cm adalah A. 1 : 50 C. 1 :

281 B. 1 : 5.00 D. 1 : Suatu denah ruang kelas skalanya 1 : 200. Jika denah tersebut lebarnya 35 cm maka lebar sebenarnya adalah A. 3,5 m C. 35 m B. 7 m D. 70 m 23. Suatu peta berskala 1 : Jika jarak dua kota pada peta 20 cm, maka jarak sebenarnya dua kota tersebut adalah A. 3 km C. 300 km B. 30 km D km 24. Jarak kota Q dan R adalah 8 km. Jika jarak QR pada peta adalah 0,5 cm, maka skala peta tersebut adalah A. 1 : C. 1 : B. 1 : D. 1 : Sebuah foto berukuran 50 x 80 cm diperbesar 20 %. Perbandingan luas foto sebelum dan sesudah diperbesar adalah A. 1 : 2 C. 1 : 4 B. 4 : 9 D. 25 : Sebuah kapal terbang panjangnya 35 m dan lebarnya 25 m. Dibuat model dengan lebar 15 cm. Panjang pesawat pada model adalah... A. 55 cm C. 21 cm B. 30 cm D. 19 cm 27. Sebuah foto berukuran 4 cm x 6 cm bila foto itu diperbesar dua kali ukuran semula, maka keliling foto itu adalah A. 24 cm C. 40 cm B. 28 cm D. 48 cm 28. Jarak kota Q dan R dapat ditempuh selam 4 jam dengan kecepatan ratarata 60 km/jam. Dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam, jarak tersebut ditempuh selama... A. 3 jam C. 4,5 jam B. 3,5 jam D. 5 jam 29. Sebuah foto berukuran lebar 8 cm dan tinggi 12 cm. Jika foto tersebut diperbesar sehingga lebarnya menjadi 20 cm, maka tingginya adalah cm 268

282 A. 24 C. 18 B. 30 D Jarak kota A dan kota B adalah 120 km. Untuk menempuh jarak tersebut dengan mobil yang setiap 12 km memerlukan 1 liter bensin, seseorang mengeluarkan biaya sebesar Rp ,00. Jika ia menggunakan mobil yang setiap 10 km memerlukan 1 liter bensin, maka besar pengeluarannya adalah A. Rp ,00 C. Rp ,00 B. Rp ,00 D. Rp ,00 269

283

284 Modul ini berisi tentang materi bilangan berpangkat dan bentuk akar, sifat-sifatnya dalam suatu permasalahan, dan cara menyelesaikan soal bilangan berpangkat dan bentuk akar. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada materi bilangan. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Dapat memahami Konsep Bilangan Berpangkat 2. Dapat menggunakan Notasi Pangkat 3. Dapat menyatakan Perpangkatan dalam Bentuk Bilangan Biasa 4. Mengalikan Dua Perpangkatan dengan Basis yang Sama 5. Memangkatkan Suatu Perpangkatan 6. Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan 7. Membagi Dua Bentuk Perpangkatan 8. Menyelesaikan operasi pembagian pada perpangkatan 9. Menyelesaikan operasi perkalian dan pembagian pada perpangkatan 10. Menulisakan notasi ilmiah pada perpangkatan 11. Menghitung pangkat pecahan pada perpangkatan 12. Menerapkan operasi perkalian dan pembagian pada kehidupan nyata Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 271

285 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 272

286 *Kegiatan Belajar 1 Perpangkatan merupakan perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Apabila sebuah bilangan real dilambangkan dengan huruf a kemudian bilangan bulat dilambangkan dengan huruf n, maka bilangan berpangkat dapat kita tuliskan menjadi a n (a pangkat n) yang mana merupakan perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan rumus di bawah ini: = a sebanyak n = bilangan berpangkat a = bilanganpokok n =pangkat Misal : (dibaca: duapangkatdua) yang samaartinyadengan 2 x 2 (dibaca: empatpangkattiga) yang samaartinyadengan 4 x 4 x 4 (dibaca: tujuhpangkat lima) yang samaartinyadengan 7x7x7x7x7 Bilangan Berpangkat Positif Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen positif. Misal : = 3 x 3 = 9 = 4 x 4 x 4 = 64 = (-2) x (-2) = 4 = (-5) x (-5) x (-5) = -125 Bilangan kuadrat sempurna seperti 1, 4, 9, dan 16 dapat dinyatakan dalam bentuk geometri seperti di bawah ini: 273

287 Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4. Notasi 4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan pokok digunakan sebagai faktor. Bilangan yang digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat. Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen. Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif. Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai dan. Dengan memperluas pola yang ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah = dan = = Untuk pangkat nol: = = = 1 sehingga untuk =0 1. Nyatakan perkalian berikut dalam perpangkatan a. (-2) x (-2) x(-2) b. y x y x y x y x y x y 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk bilangan biasa a. b. 3. Carilah nilai pada operasi perpangkatan berikut a. + x b. : + 274

288 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. (-2) x (-2) x(-2) karena (-2) dikalikan berulang sebanyak tiga kali maka (-2) x (-2) x(-2) merupakan perpangkatan dengan basis (-2) dan pangkat 3 jadi (-2) x (-2) x(-2)= b. y x y x y x y x y x y karena y di dikalikan berulang sebanyak enam kali maka y x y x y x y x y x y merupakan perpangkatan dengan basis y dan pangkat 6 jadi y x y x y x y x y x y = 2. a. = x =0,09 b. = x = 0,09 3. a x = 3 +2 x 25= 3+50=53 b.. :8+ = 64:8+9=8+9 = 17 Perpangkatan merupakan perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut basis dan banyaknya bilangan pokok yang digunakan dalam perkalian berulang disebut eksponen/pangkat. Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah = x x x...x (n bilangan bulat positif) sebanyak n 275

289 1. Nyatakan perkalian berulang berikut dalam perpangkatan a. (-2) x (-2) x (-2) b. ( ) x ( ) x ( ) x ( ) c. x x x 2 x 2 x 2 d. x x x x 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk perkalian berulang a. b. c. d. e. f. 276

290 *Kegiatan Belajar 2 Perkalian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif Misal : => = (3 x 3 x 3) x (3 x 3) => = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 => = 3 5 Jadi, = Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas sifat berikut ini. Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka a m a n = a m+n Contoh Sederhanakan dan tentukan hasil perkalian bilangan berpangkat berikut ini ( 2) 4 ( 2) y 2 y 3 Penyelesaian : 1. Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat, maka: = = Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat, maka: ( 2) 4 ( 2) 5 = ( 2) 4+5 ( 2) 4 ( 2) 5 = ( 2) 9 3. Karena bilangan pokoknya tidak sama maka tidak dapat disederhanakan. 277

291 4. Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat, maka: 3y 2 y 3 = 3y 2+3 3y 2 y 3 = 3y 5, dengan y = bilangan rasional. Perpangkatan Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif Misal : => (2 3 ) 2 = (2 x 2 x 2) 2 => (2 3 ) 2 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) => (2 3 ) 2 = 2 6 => (2 3 ) 2 = 2 3x2 Jadi, (2 3 ) 2 = = = 2 6 Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka(a m ) n = a m n = a n m Contoh Sederhanakan dan tentukan hasil perkalian bilangan berpangkat berikutini. 1. (3 4 ) 2 2. [(½) 2 ] 2 Penyelesaian : 1. Berdasarkansifatperpangkatanbilanganberpangkat, maka: (3 4 ) 2 = (3 4 ) 2 = 3 8 (3 4 ) 2 = Berdasarkansifatperpangkatan bilanganberpangkat,maka: [(½) 2 ] 2 = (½) 2x2 [(½) 2 ] 2 = (½) 4 [(½) 2 ] 2 = 1/16 278

292 Perpangkatan Dari Bentuk Perkalian Jikan bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a b) n = a n b n Contoh Tentukan hasil perpangkatan dari bentuk perkalian berikut inia. 1. (2 5) 2 2. {( 3) 2) 3 3. ( 3pq) 4 Penyelesaian : 1. Dengan menggunakan sifat perpangkatan dari bentuk perkalian, maka: (2 5) 2 = (2 5) 2 = 4 25 (2 5) 2 = Dengan menggunakan sifat perpangkatan dari bentuk perkalian, maka: {( 3) 2) 3 = ( 3) {( 3) 2) 3 = 27 8 {( 3) 2) 3 = Dengan menggunakan sifat perpangkatan dari bentuk perkalian, maka: ( 3pq) 4 = ( 3) 4 p 4 q 4 ( 3pq) 4 = 81p 4 q 4 1. Sederhanakan 2. Sederhanakan 279

293 Kunci tes formatif 1. = = 2. = 1. Menyederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama adalah dengan menambahkan eksponennya. a m a n = a m+n 2. Memangkatkan Suatu Perpangkatan adalah dengan mengalikan pangkat/eksponennya. (a m ) n = a m n = a n m 3. Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan adalah dengan memangkatkan basis yang berbeda dengan 1 eksponen yang sama. (a b) n = a n b n 1. Sederhanakan perpangkatan berikut ini. a. x b. x c. x d. e. x x 280

294 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana: a. x b. x c. x + x d. x 281

295 *Kegiatan Belajar 3 Bagaimana dengan sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif? Untuk hal tersebut silahkan simak penjelasan dan contoh soalnya di bawah ini. Untuk lebih mudah memahami sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif, silahkan pelajari operasi hitung berikut. => 3 5 /3 2 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3)/(3 x 3) => 3 5 /3 2 = 3 x 3 x 3 => 3 5 /3 2 = 3 3 => 3 5 /3 2 = Jadi, 3 5 /3 2 = Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi sifat berikut. Jika a bilangan rasional, a 0, dan m, n bilangan bulat positif maka a m /a n = a m n dengan m > n. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Sederhanakan dan tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat berikut ini / ( 5) 6 /( 5) p 5 /p 2 Penyelesaian: 1. Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, maka: 3 7 /3 4 = /3 4 = /3 4 =

296 2. Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, maka: ( 5) 6 /( 5) 4 = ( 5) 6 4 ( 5) 6 /( 5) 4 = ( 5) 2 ( 5) 6 /( 5) 4 = Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, maka: 2p 5 /p 2 = 2p 5 2 2p 5 /p 2 = 2p 3 Sederhanakan Kunci Jawaban Tes ormatif = = Secara umum bentuk dapat diubah menjadi a m n 283

297 1. Sederhanakan pembagian pada perpangkatan berikut ini. Tuliskan jawabanmu dalam bentuk bilangan berpangkat a. b. 2. Sederhanakanlah operasi berikut ini. Tuiskan jawabanmu dalam pangkat a. b. x 284

298 *Kegiatan Belajar 4 Pembagian pada perpangkatan memilki beberapa macam cara, diantaranya yaitu: 1. Menyederhanakan operasi pada perpangkatan Sederhanakan bentuk = Sederhanakan jumlahkan pangkat dari pembilang = kurangkan pangkat dari basis 4 = sederhanakan 2. Operasi perkalian dan pembagian pada perpangkatan Sederhanakan bentuk berpangkat. Tuliskan jawaban dalam bentuk bilangan = kurangkan pangkat = sederhanakan = jumlahkan pangkat = sederhanakan 3. Penerapan pembagian pada perpangkatan dalam kehidupan nyata Berdasarkan data BPS tahun 2010 jumlah penduduk pulau jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan). Sedangkan luas pulau jawa mencapai. Berapakah kepadatan penduduk pada tahun 2010? Jawaban Luas area = Kepadatan penduduk = 285

299 = subtitusikan populasi penduduk dan luas area = tulis kembali dalam bentuk pembagian terpisah = kurangkan pangkat = sederhanakan Jadi kepadatan penduduk pulau jawa tahun 2010 adalah jiwa / 1. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut 2. Sederhanakan bentuk perpangkatan dari 3. Sederhanakan bentuk Kunci Jawaban Tes Formatif c. = = = = 512 d. = = = 100 e. = = =49 286

300 Pembagian pada perpangkatan memilki beberapa macam cara, diantaranya yaitu: Menyederhanakan operasi pada perpangkatan dan operasi perkalian dan pembagian pada perpangkatan 1. Bentuk sederhana dari (4a) -2 x (2a) 2. Hasil dari 4 2 x 32 3/5 x 128-3/7 adalah 3. Nilai x yang memenuhi, jika 5 4+x = adalah 4. Jika a = 27 dan b = 32, maka nilai dari 3(a -1/3 ) x 4b 2/5 adalah 5. Bentuk sederhana dari (2 3 ) 4 x (2 3 ) -5 adalah 287

301 *Kegiatan Belajar 5 Bagaimana membaca dan menulis notasi ilmiah? Pada kegiatan ini kamu diminta untuk melakukan pengamatan secara berkelompok. lakukan langkah kerja yang telah disajikan 1. Dengan menggunakan kalkulator saintifik, kalikan dua bilangan besar, sebagai contoh Berapa nilai yang muncul dikalkulator? 2. Tentukan hasil perkalian dengan tanpa menggunakan kalkulator. Berapa hasilnya? 3. Apa yang kamu simpulkan dari hasil (1) dan (2)? 4. Periksa kembali penjelasanmu dengan menggunakan hasil kali bilangan besar yang lain. Dari kegiatan diatas mari kita buktikan 1. Nilai yang muncul dalam kalkulator Dari kedua penyelesaian dapat kita simpulkan bahwa notasi ilmiah lebih mudah digunakan karena mempersingkat penulisan Dan dari kegiatan diatas dapat kita simpulkan bahwa: 1. Sebuah bilangan dikatakan tertulis dalam bentuk notasi ilmiah (baku) ketika Faktor pengali berada diantara... t... Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10 contoh 2,3, disini angka yang berwarma merah merupakan faktor pengali 3. Pemangkatan 10 harus memilki pangkat bilangan bulat 2,3, disini angka yang berwarna merah merupakan pemangkatan 10 yang memilki pangkat bilangan bulat yaitu 3 288

302 Menulis Notasi Ilmiah Dalam Bentuk Biasa Nyatakan notasi ilmiah ini dalam bnetuk biasa 1. = 2, dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dari basis 10 = lakukan operasi perkalian dengan memindahkantanda desimal sebanyak 5 ke tempat kanan 2. = 0,16 dapatkan hasil dari perpangkatan (-3) dari basis 10 = lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 3 ke tempat kiri 1. Tuliskan kembali dalam bentuk biasa 2. Tuliskan dalam bentuk baku 3. Tuliskan dalam bentuk baku Kunci Jawaban Tes Formatif 1. =

303 1. Sebuah bilangan dikatakan tertulis dalam bentuk notasi ilmiah (baku) ketika Faktor pengali berada diantara... t... Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10 contoh 2,3, disini angka yang berwarma merah merupakan faktor pengali 3. Pemangkatan 10 harus memilki pangkat bilangan bulat 2,3, disini angka yang berwarna merah merupakan pemangkatan 10 yang memilki pangkat bilangan bulat yaitu 3 1. Sederhanakan dalam bentuk baku a. b. c. 2. Tuliskan kembali dalam bentuk biasa a. b. c. 3. Tuliskan dalam bentuk baku a. 0, b

304 *Kegiatan Belajar 6 Pada kegiatan ini, kamu diminta untuk mengamati suatu rumusam matematika yaitu Theorema Pythagoras berlaku pada sebuah segitiga yang salah satu sudutnya adalah siku-siku. Perhatikan dengan seksama langkahlangkah aturan Pythagoras berikut ini: rumus umum Pythagoras akarkan kedua ruas untuk mendapatkan panjang sisi miring segitiga siku-siku di dapatkan persamaan umum untuk mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku Berikut ini disajikan kubus, dengan menggunakan definisi diatas dapat menemukan luas permukaan dan sisi kubus yang ada 291

305 Volume (s x s x s = ) Panjang sisi (s) Metode 1 = = = ( )³ =( )³ = = = Metode 2 = = = = ( = = = Luas Permukaan (6 x s x s) Menghitung Bentuk Pangkat Pecahan 1. Mengubahnya menjadi Operasi Akar Untuk mengubah bilangan pangkat pecahan menjadi akar, dapat dipergunakan rumus berikut: a m/n = a 1/n x m = (a 1/n ) m Misalkan kita ingin menyelesaikan bilangan 27 2/3 27 2/3 = 27 1/3x2 = (27 1/3 ) 2 = ( 3 27) 2 = 3 2 = 9 292

306 2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan Yang Berpangkat Sama Dengan Penyebut Pada Pangkat Pecahan Dengan cara ini kita bisa menyelesaikan soal bilangan berpangkat pecahan tanpa harus mengubahnya dahulu ke dalam operasi akar. Perhatikan contoh berikut: 4 3/2 = (2 2 ) 3/2 = 2 2x3/2 = 2 3 = /3 = (3 3 ) 2/3 = 3 3x2/3 = 3 2 = 9 Contoh Hitung bentuk pecahan dibawah ini: a. b. Penyelesaian : a. Metode 1 = = 3 Metode 2 = = = = 3 b. Alternatif penyelesaian: Metode 1 = = = = 4 Metode 2 = = = = 4 293

307 Metode 3 = = = = 4 1. Tuliskan bentuk perpangkatan pecahan dari /2 x 6 3/2 sederhanakan 3. Sederhanakanlah bentuk berikut (4 5/2 ) 3/5 Kunci Jawaban Tes Formatif = = = = = 294

308 Untuk menyelesaikan pangkat dengan bilangan bialngan pecahan ada dua cara penyelesaian: 1. Mengubahnya menjadi Operasi Akar dengan rumus 2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan Yang Berpangkat Sama Dengan Penyebut Pada Pangkat Pecahan 1. Coba selesaikan beberapa bilangan berpangkat pecahan tersebut menjadi bentuk akar: a. 5 1/2 b. 6 3/2 c. 12 7/2 2. Dapatkan bentuk perpangkatan yang ekivalen dengan bilangan dibawah ini a. b. c. 3. Tuliskan bentuk perpangakatan pecahan dari a. b. 295

309 SOAL EVALUASI MPM 8 1. Sederhanakan! a. b. 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana a. x b. x c. 4 x + x 3. Temukan nilai x pada persamaan matematika di bawah ini a. = b. = 4. Dalam sebuah penelitian diket seekor Amoeba S berkembangbiak dengan membelah diri sebanyak 2 kali tiap 15 menit. a. Berapa banyak Amoeba S selama satu hari jika dalam suatu pengamatan terdapat 4 ekor Amoeba S? b. Berapa banyak jumlah Amoeba S mula-mula sehingga dalam satu jam terdapat minimal 1000 Amoeba S? 5. Nyatakan bilangan di bawah ini dalam bentuk yang memuat perpangkatan dengan basis 2. a. 64 b. 20 c. 100 d. 6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini. a. = 81 b. x x = Sederhanakan ekspresi bentuk aljabar berikut ini. a. 296

310 b. 8. Cahaya bergerak dengan kecepatan. Berapa jauh cahaya bergerak dalam satu tahun? Tentukan hasilnya dalam notasi ilmiah 9. Tentukan hasil dari 10. Nyatakan perpangkatan ini dalam bentuk lain 11. Berapakah nilai n = 12. Berapakah nilai n 13. Hasil dari 14. Hasil dari 15. Tuliskan hasil perpangkatan berikut 16. Hasil operasi dari 7 3 b 17. Sederhanakan 24 :

311

312 Modul ini berisi tentang Relasi, akan diuraikan mengenai pengertian relasi, menyatakan relasi dari dua himpunan menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai materi himpunan. Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu : 1. Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi. 2. Menyatakan suatu relasi dengan diagram panah. 3. Menyatakan relasi dalam himpunan pasangan terurut. 4. Menyatakan relasi dalam diagram Cartesius. 5. Siswa dapat memahami ciri-ciri fungsi 6. Siswa dapat memahami fungsi dan bukan fungsi 7. Siswa dapat memahami daerah asal atau domain dan daerah kawan atau kodomain 8. Siswa dapat menentukan daerah hasil atau range 9. Siswa dapat menyajikan fungsi dalam berbagai bentuk 10. Siswa dapat menentukan nilai dari suatu fungsi Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 299

313 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 300

314 *Kegiatan Belajar 1 Pengertian Relasi Tahukah kamu, apa yang dimaksud dengan relasi? Kata lain dari relasi adalah hubungan. Misalnya, relasi antara beberapa sutradara dengan film yang dibuatnya. 1. Riri Riza adalah sutradara film Petualangan sherina. 2. Rizal Mantovani adalah sutradara dari film Jelangkung dan Kuntilanak. 3. Indra Yudhistira pernah menyutradarai film Andai Ia Tahu dan Biarkan Bintang Menari. 4. Film Jelangkung disutradarai oleh Jose Purnomo. Dari data-data tersebut, terdapat dua himpunan, yaitu himpunan sutradara S = (Riri Riza, Rizal Mantovani, Indra Yudhistira, dan Jose Purnomo}, dan himpunan judul film F = {Petualangan Sherina, Jelangkung, Kuntilanak, Andai Ia Tahu, dan Biarkan Bintang Menari}. Dari kedua himpunan tersebut, kamu dapat menggambarkan relasinya sebagai berikut. S F Riri Rizal Rizal Mantovani Indra Yudhistira Jose Purnomo Petualangan Sherina Jelangkung Kuntilanak Andai Ia Tahu Biarkan Bintang Menari Perhatikanlah, relasi pada gambar di atas menunjukkan himpunan S ke himpunan F dan ditulis S F. Relasi yang menghubungkan kedua himpunan tersebut adalah sutradara dari. 301

315 Dengan demikian, relasi antara dua himpunan A dan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Pada dasarnya hidup di dunia ini saling ketergantungan satu sama lain. Seperti halnya relasi atau hubungan manusia dengan Tuhan, hubungan manusia dengan manusia, dan hubungan manusia dengan alam. Oleh karena itu, kita sebagai makhluk Tuhan yang diberi akal dan pikiran diwajibkan saling berhubungan baik satu sama lain, sehingga menimbulkan perasaan tenang dan tentram. Menyajikan Relasi 1. Relasi dalam diagram panah Relasi dalam diagram panah dilukiskan/ dinyatakan dalam dua daerah (lingkaran/elips), arah panah, dan nama relasi. Daerah pada pangkal arah panah disebut domain, daerah pada ujung arah panah disebut kodomain, dan pasangan dari pangkal arah panah adalah range. Contoh Diberikan A = {0, 1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lukiskan relasi dalam diagram panah yang menyatakan relasi satu kurangnya dari dari himpunan A ke himpunan B. Penyelesaian : Domain: A = {0, 1, 2, 3} terletak disebelah kiri (pangkal arah panah) Kodomain: B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Terletak disebelah kanan (ujung artah panah) Nama relasi: A satu kurangnya dari B Model Matematika: R(x) = x

316 Relasi dalam diagram panah: A Satu kurangnya dari B Range: R : A -> B = {1, 2, 3, 4}. 5 dan 6 tidak mempunyai pasangan. 2. Relasi dalam himpunan pasangan terurut Sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat juga dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut berikut: (x, y) dengan x ϵ A dan kawan dari A adalah y ϵ B. semua pasangan terurut (x, y) yang menghasilkan kalimat benar disebut himpunan penyelesaian dari relasi tersebut. Contoh Diberikan A = {1, 8, 27, 64, 81} dan B = {1, 2, 3, 4}. Tuliskan relasi dalam himpunan pasangan terurut. Penyelesaian : Domain: A = {1, 8, 27, 64, 81} Kodomain: B = {1, 2, 3, 4} Nama Relasi: A pangkat tiga dari B Range: {1, 2, 3, 4} dengan 81 tidak ada pasangan. Himpunan pasangan terurut: {(1, 1), (8, 2), (27, 3), (64, 4)} a. Relasi dalam diagram Cartesius Diagram Cartesius atau grafik Cartesius terdiri atas dua sumbu yang saling tegak lurus. Sumbu horizontal mewakili domain (sebagai x) dan sumbu vertikal (tegak) mewakili kodomain (sebagai y). 303

317 Hubungan x dan y dinyatakan sebagai pasangan terurut (x, y) dan ditandai dengan sebuah titik ( ) seperti terlihat pada gambar Y Kodomain Pasangan terurut b (a,b) O a Domain X Kata Cartesius diambil dari nama seseorang ahli matematika Prancis yang bernama Rene Descartes (nama latinnya: Renatius Cartesius) yang hidup pada masa Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka produk Cartesius dari A dan B memuat semua pasangan terurut (a, b) dengan a ϵ A dan b ϵ B. Produk Cartesius dari A dan B dinyatakan dengan A x B. Bila pengertian itu ditulis dalam notasi pembentuk himpunan diperoleh: A x B = {(a, b)} a ϵ A, b ϵ B}. Jadi, produk Cartesius dari dua himpunan A dan B tidak komutatif atau bisa dinyatakan sebagai berikut.: A x B B x A. Pertidaksamaan itu berlaku untuk semua kondisi kecuali himpunan A sama dengan himpunan B atau salah satu himpunan adalah himpunan kosong. Apabila himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka A x B mempunyai nm anggota. Secara notasi matematis banyak anggota produk Cartesius dapat dituliskan sebagai berikut: n (A x B) = n (A) x n (B). 1. Lukiskan diagram panah untuk menyatakan relasi faktor dari dari himpunan A = {2, 3, 5} ke himpunan B = {1, 6, 10, 17}. 304

318 A B Jakarta Medan Pontianak Denpasar Bali Jawa Sumatera Kalimantan a. Salin diagram di samping dan lukiskan panah dari setiap kota pada himpunan A ke pulau pada himpunan B tempat kota tersebut. b. Lengkapilah kalimat ini. Diagram panah tersebut menunjukkan relasi... dari himpunan A ke himpunan B. 3. Sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam himpunan pasangan terurut adalah sebagai berikut : {(-2, 2), (-1, 3), (0, 4), (1, 5)}. a. Tuliskan domain yang merupakan himpunan A dan range pada himpunan B. b. Tuliskan nama relasi dari himpunan A ke himpunan B. 4. Relasi dalam diagram Cartesius di samping mempunyai nama O

319 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. A faktor dari B a. A nama kota dari B Jakarta Medan Pontianak Denpasar Bali Jawa Sumatera Kalimantan b. Nama kota dari 3. a. Domain: A = {-2, -1, 0, 1} Range: {2, 3, 4, 5} b. empat kurangnya dari 4. lebih besar sama dengan 306

320 1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan pemasangan anggota (elemen) A dengan anggota B. Relasi A ke B bisa ditulis R: A B. Himpunan A disebut daerah asal (domain), himpunan B disebut daerah kawan (kodomain), dan pasangan anggota A di B disebut daerah hasil (range). 2. Adapun cara menyajikan relasi ada 3, yaitu dengan: diagram panah, pasangan terurut, dan diagram cartesius. 1. Nyatakan relasi kuadrat dari dalam pasangan terurut, bila diketahui A= { 1, 2, 3 } dan B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. 2. Jika diketahui A= {1, 2, 3 } dan B= { a, b, c, d }. Maka n (A 2 x B 2 ) adalah Sebuah relasi dari himpunan C ke himpunan D dalam himpunan pasangan terurut adalah sebagai berikut : {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}. Tentukan : domain, kodomain dan range. 4. Sebuah hubungan antara dua himpunan ditulis sebagai pasangan terurut: (5, 7), (6, 8), dan (7, 9). Nama hubungan yang mungkin dari pasangan terurut tersebut adalah Apabila R: A B adalah (2, 8), (3, 12), (4, 16), maka R -1 : B A adalah

321 *Kegiatan Belajar 2 Fungsi atau pemetaan adalah Relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan yang lain. Syarat suatu relasi merupakan fungsi atau pemetaan adalah: 1. Setiap anggota A mempunyai pasangan di B 2. Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Contoh Diketahui diagram panah: (1) A B (2) A B 1..a 1..a 2..b 2..b 3..c 3..c (3) A B (4) A B 1..a 1..a 2..b 2..b 3..c 3..c 308

322 Diagram yang menunjukan fungsi adalah... Penyelesaian: 1. Diagram panah pada (1) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu pasangan di B. 2. Diagram panah pada (2) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B. 3. Diagram panah pada (3) bukan fugsi, karena terdapat anggota A yaitu 3 mempunyai dua pasangan di B. 4. Diagram panah pada (4) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 2 mempunyai dua pasangan di B dan anggota A yaitu 3 tidak mempunyai pasangan di B. Notasi fungsi: f : x y atau f : x f(x) A B a.b.c Dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B Domain (daerah asal) = A = {1,2,3} Kodomain (daerah kawan) = B = {a,b,c} Range (daerah hasil) adalah himpunan semua nilai fungsi atau himpunan semua anggota kodomain yang menjadi pasangan dari anggota himpunan domain Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a. Jadi daerah hasilnya adalah {a,c} Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(a) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(b) = b, maka 309

323 1. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B adalah b a 2. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A adalah a b. Setiap fungsi merupakan relasi, tetapi relasi belum tentu suatu fungsi. 1. Perhatikan gambar! a A B b A B c A B Manakah yang merupakan fungsi dan berikan alasan! 2. Tentukan banyak anggota himpunan dari B = {a,b} ke A = {1,2,3} yang bisa menjadi fungsi 310

324 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. bukan, karena ada anggota A yang tidak berpasangan dengan anggota B yaitu 2 b. ya, karena semua anggota di A memiliki pasangan di B c. bukan, karena ada anggota di A yang memiliki 2 pasangan di B yaitu 1 berpasangan 4 dan 5 2. a b = 3 2 = 9 a. {(a,1), (b,1)} b. {(a,1), (b,2)} c. {(a,1), (b,3)} d. {(a,2), (b,1)} e. {(a,2), (b,2)} f. {(a,2), (b,3)} g. {(a,3), (b,1)} h. {(a,3), (b,2)} i. {(a,3), (b,3)} 311

325 1. Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota dari dua himpunan secara sistematis dengan tepat satu pada himpunan yang lain. Dinotasikan dengan f : x y atau f : x f(x). Dapat dikatakan fungsi apabila memenuhi syarat sebagai berikut: a. Setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan di Himpunan B b. Setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu anggota himpunan B. 2. Adapun cara untuk menentukan banyaknya anggota himpunan selain mendata ialah dengan rumus b a, dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B dan fungsi dari A ke B. 3. Di dalam fungsi dikenal istilah domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan) adalah daerah yang menjadi pasangan dalam fungsi, dan range (derah hasil) adalah himpunan dari anggota kodomain yang menjadi pasangan dari domain 1. Perhatikan gambar berikut! Manakah yang merupakan fungsi! a A B b A B a b c Tentukan domain dan range dari diagram panah dari soal a (yang merupakan fungsi)! 3. Tentukan banyak anggota himpunan dari A= {1,2,3,4} ke B= {1,4,9}! 312

326 *Kegiatan Belajar 3 Berikut adalah cara cara menyajikan fungsi yang biasa digunakan di dalam Matematika. Ada lima cara, yaitu: 1. Himpunan Pasangan Berurutan Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah dua kali dari. Maka bila dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} 2. Diagram Panah Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah dua kali dari. Dapat dinyatakan dengan diagram panah, sebagai berikut: M N Rumus Fungsi Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah dua kali dari. Yang didefinisikan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}. Maka dapat dilihat polanya sebagai berikut: (1, 2) (1, 2 1) (2, 4) (2, 2 2) 313

327 (3, 6) (3, 2 3) Jadi, untuk setiap x M = {1, 2, 3} maka (x, 2 x) merupakan anggota dari fungsi tersebut. Bentuk ini biasa ditulis dengan f(x) = 2x untuk setiap x M. Inilah yang dinyatakan dengan bentuk rumus tersebut. 4. Tabel Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah dua kali dari. Maka penyajiannya sebgai berikut: X f(x) Grafik Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah dua kali dari. Dapat dinyatakan dengan grafik sebagai berikut: Menghitung Nilai Fungsi Contoh Suatu fungsi linier f memiliki nilai 5 pada waktu x = 1, dan memiliki nilai 1 pada waktu x = 1. Tentukan rumus fungsinya. 314

328 Penyelesaian : Untuk menentukan rumus fungsi dari suatu fungsi linear f memiliki nilai 5 pada waktu x = 1, dan memiliki nilai 1 pada waktu x = 1, lakukan prosedur berikut. Langkah 1 Dari soal tersebut, diketahui bahwa fungsi f adalah fungsi linier, maka fungsi f itu dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b Langkah 2 Diketahui bahwa f(1) = 5 dan f(-1) = 1 f(x) = ax + b, maka f(1) = a(1) + b = 5 Langkah 3 f(-1) = a(-1) + b = 1 Dari persamaan (1 dan (2 diperoleh Langkah 4 a + b = 5 -a + b = 1 2a = 4 a = 2 a + b = 5 (1 -a + b = 1 (2 dari langkah 3 didapat a = 2, kemudian subtitusikan kesalah satu persamaan, misal persamaan (1 a + b = b = 5 b = 5 2 b = 3 dengan demikian didapat nilai a = 2 dan b = 3 Jadi rumus fungsinya adalah f(x) = 2x

329 1. Diketahui suatu fungsi f dengan daerah asal A = {6, 8, 10} dengan rumus fungsi f(x) = 3x 4. Tentukan a. Nyatakan fungsi tersebut dengan tabel b. Nyatakan fungsi tersebut dngan grafik 2. Tentukan rumus fungsi jika diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x) = ax + b dengan f(-1) = 2 dan f(2) = 11 Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. f(6) = 3(6) 4 = 18 4 = 14 f(8) = 3(8) 4 = 24 4 = 20 f(10) = 3(10) 4 = 30 4 = 26 b. X f(x)

330 2. Diketahui f(x) = ax + b f(-1) = 2 -a + b = 2 f(2) = 11 2a + b = 11-3a = 9 a = = -3 subtitusikan nilai a = -3 ke : -a + b = b = 2 b = b = 5 f(x) = ax + b = -3x + 5 = 5 3x Jadi rumus fungsi yang terbentuk adalah f(x) = 5 3x Fungsi dapat disajikan dengan beberapa cara, yaitu himpunan pasangan berurutan, diagram panah, rumus fungsi, tabel dan grafik. Adapun cara menentukan nilai fungsi yaitu dengan rumus fungsi f(x) = ax + b. 317

331 1. Suatu fungsi didefinisikan oleh f(x) = ax + 5, jika f(-1) = 1. Tentukan rumus fungsinya! 2. Sajikan dengan himpunan pasangan berurutan dan tabel dari soal a, jiak diketahui domainya {-2, -1,0,1,2} 318

332 SOAL EVALUASI MPM 9 1. Sebuah hubungan antara dua himpunan ditulis sebagai pasangan terurut: (-1, 2), (1, 4),, (5, 8), (3, 6), dan (7, 10). Nama hubungan yang mungkin dari pasangan terurut tersebut adalah A B a. Angka 2 mempunyai kawan... pada himpunan B. b. Angka 3 pada himpunan B merupakan pasangan... dari himpunan A. c. Range dari relasi dalam diagram panah tersebut adalah Apabila R: A B adalah (1, 5), (4, 5), (1, 4), (4, 6), (3, 7), (7, 6), maka R -1 : B A adalah Diketahui himpunan A = {2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6}. Tentukan: a. n(a) dan n(b) b. A x B c. B x A d. n (A x B) dan n (B x A) 5. Jika A = {a, b}, B = { 1, 2} dan C = {4, 5, 6}. Carilah: a. n (A x B) b. n (A x C) c. n (B x C) d. n (A x (B x C)) 6. Jika n (A) 1 = 8 dan 3n (B) 9 = 0, maka n (A x B) = Diketahui n (A) = 8 dan n (B) = 2 maka n (A 2 x B) =

333 8. Perhatikan gambar berikut! a) A B b) A B a. Tentukan domain dan range dari diagram tersebut! b. Tentukan banyaknya himpunan yang bisa menjadi fungsi! 9. Fungsi kuadrat f yang ditentukan oleh f (x) = x 2-2x yang daerah asalnya ialah A = {x -3 x 5, x R} Tentukan: a. Gambarlah grafik fungsi kuadrat tersebut b. Pembuat nol fungsi (pembuat nol fungsi adalah nilai pengganti x sedemikian hingga f(x) bernilai nol) 320

334 KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 1 1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. D 9. A 10. A 11. Faktor prima dari 880 adalah 2, 5, dan FPB = 4, dan KPK = Pukul anak dan lidi 18. a. 243 b. 5 c

335 20. liter minyak KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM x + 14y + z dan pq 2 dan -4pq 2 4. bukan suku sejenis. 5. 3x 3y 6. -8x ab + 5d 8. -8p x 2 6x x + 8y a. 4x³ + 8x²y 12xy² b. 9p² - 4 c. 8x³ - y³ d. 2x - 4x³ - 30x² 12. a. 6a b. 4a 3 b c. 2x 3 d. 2x a. b. KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 3 1. a. 8x + 4 b c x 2. a. 3x 2 3xy +y 2 322

336 3. a. 4. a. b. X 2 + 5y 2 c. X 2 + 4xy + 7y 2 b. Jadi harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp ,00 b. Jadi banyaknya penumpang pesawat kelas utama adalah tidak lebih dari 12 orang 5. a. Jadi lebar terkecil tanahibu Suci adalah 5 meter 6. a. b. Jadi biaya paling kecil adalah 100 m 2 x Rp ,- = Rp ,- b. Jadi kartu yang diterima Ifa adalah 40 kartu c. Sisa kartu yang dimiliki Rani adalah 30 kartu d. Sisa kartu yang dimilikikiki adalah 10 kartu KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 4 1. Umur Ayah Ika sekarang 42 tahun dan umur Ika sekarang 18 tahun Harga seekor bebek adalah Rp ,00 4. (-1,-1) 5. (19, ) 6. 3x + y 72, x + y 48, x 0, y 0 7. a. 323

337 b. c. d. KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 5 1. a. P = {A, B, C, D, E, F, G, dan H} b. K = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} c. L = {Bintang, Beringin, Kepala Banteng, Rantai, Padi dan kapas} 2. a.himpunan Peralatan Sekolah b.himpunan Kota di Jawa Timur c.himpunan bulan dengan huruf depan M 3. a. Himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah 324

338 b. himpunan semester yang memenuhi adalah himpunan alat transportasi dan himpunan kendaraan bermesin c. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah 4. a. A dan P b. A, P, dan H c. C, G, H, P 5. a. {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c}, {b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e}, {d,e} b. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e} c. {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e} d. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e} e. {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e} 6. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}. c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}. 7. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. a. Dinyatakan dengan kata-kata. Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46} 325

339 b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20 <x < 46, x bilangan ganjil} c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya. Z = {21, 23, 25,..., 43, 45}. 8. a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(p) = 6. b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(q) = 11. c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(r) = tidak berhingga. 9. Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N = φ atau N = { }. 10. a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah S = {bilangan prima} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah}. b.himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang}, {binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}. 11. a. P ={2} b. T = {6} c. E = {4, 8} 12. a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..} b. himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, { }. 13. a. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota adalah {p} K; {q} K; dan {r} K; dan {s} K. b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota adalah {p, q} K; {p, r} K; {p, s} K; {q, r} K; {q, s} K; {r, s} K. c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r} K; {p, q, s} K; {p, r, s} K; dan {q, r, s} K. 326

340 d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota adalah {p, q, r, s} = K. 14. a. A = {1, 2, 3, 4, 5}, n(a) = 5, maka banyak anggota himpunan bagian: 2 5 = 32 b. B = {5, 7, 11, 13, 17, 19}, n(b) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 2 6 = 64 c. P = {a, b, i, l, s, t}, n(p) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 2 6 = 64 d. Q = {senin, selasa, rabu, kamis, jum at, sabtu, minggu}, n(q) = 7, maka banyak anggota himpunan bagian: 2 7 = a. b. 16. a. Himpunan yang ada pada B dan C adalah {Aam, Azis} b. B C = {Beni, Adi, Doni, Anang, Markis} c. C B = {Anwar, Desta, Kamil, Maki, Ari, Ken} d. (B C) c = {Ali, Modin, Rifqi} e. n(b) = a. kelompok bilangan ganjil merupakan himpunan b. bukan merupakan himpunan, karena makanan enak dan pedas sifatnya relatif. c. kumpulan hewan menyusui merupakan himpunan d. B adalah himpunan 18. a. misal himpunan bilangan asli kurang dari 6 adalah A, maka A = {1, 2, 3, 4, 5} b. misal himpunan 5 Ibu kota Negara ASEAN adalah B, maka B = {Jakarta, Bangkok, Kuala Lumpur, Singapura, Bandar Sri Bengawan} 327

341 c. misal himpunan Negara dikawasan Asia Tenggara adalah C, maka C = {Indonesia, Malaysia, Filiphina, Singapura, Brunei Darussalam, Vietnam, Myanmar, Timor Leste} d. misal himpunan huruf pembentuk kata PENDIDIKAN adalah P, maka P = {A,D,E,I,K,N,P} 19. a. D = {m, a, t, e, i, k} E = {a, r, i, t, m, k} b. diagram venn 20. a. 1) A B = {b, c, e} 2) A C = {a, c, e} 3) B C = {c, e, g} b. 328

342 21. a. {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 b. {0, 1, 2, 3, 4} c. {0, 1, 2, 3, 4, 8, 9,, 14} d. { } e. {0, 1, 2, 3, 4} f. {0, 1, 2, 3, 4} g. {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} h. {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} 22. a. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} b. A C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11} c. B C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 23. a. b. 15 orang c. 30 orang d. 10 orang KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 6 1. Pedagang mengalami keuntungan dari 2 kuintal gandumg sebesar Rp ,

343 2. No. Nama Barang Harga Tiap 1kg Harga 7 kg 1. Beras Rp6.300,00 Rp ,00 2. Telur Rp9.000,00 Rp63.000,00 3. Minyak Goreng Rp5.900,00 Rp41.300,00 4. Tepung Terigu Rp4.600,00 Rp32.200,00 5. Jeruk Rp6.500,00 Rp45.500,00 3. No. Nama Pedagang Untung atau Rugi Ibu Tina Pak Jupri Ibu Ana Ibu Didin Pak Budi Pak Kinol Pak Adeem Pak Ehsin Ibu Beina Pak Alwi Rugi Untung Untung Rugi Untung Rugi Rugi Untung Untung Rugi 4. a. 15% dari Rp45.000,00 = Rp6.750,00 b. 10% dari 50m = 5m c. 1,5% dari 2000 orang = 30 orang d. 60% dari 120 liter = 72 liter e. 75% dari Rp ,00 = Rp , ,25 % 6. Rp ,00 7. Rp atau 28 4/7 % 8. Rp , Rp ,00 330

344 KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 7 1. B B B. Rp ,00 4. D. Rp ,00 5. B C A. 8. C. 70 km/jam 9. C. 36 Hari 10. C. 2 jam 2o menit 11. C. 50 liter 12. D. x = 3, y = 5, s = 30, dan t = A B. x = 6, y = 7, s = 36, dan t = A. 200 m 16. C. 30 km/jam 17. B C. 132 orang 19. D. 1 : C C 22. D 23. B 24. D 25. D 26. C 27. C 28. A 331

345 29. B 30. A KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 8 1. a. b. 2. a. b. c. x = x = 3. a. 3 b a. 4 x b. 63 ekor amoeba S 5. a. b. x c. x d. x 6. a. = dan = b. 7. a. b. 8. km

346 KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 9 1. Tiga kurangnya dari 2. a. 1, 3, dan 5 b. Hanya 2 c. {1, 2, 3, 4, 5} 3. {(5, 1), (5, 4), (4, 1), (6, 4), (7, 3), (6, 7)} 4. a. n (A) =3 dan n (B) = 3 b. {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6)} c. {(4, 2), (5, 2), (6, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (4, 4), (5, 4), (6, 4)} d. n (A x B) = 9 dan n (B x A) = 9 5. a. 4 b. 6 c. 6 d a. a) domain {1,2,3,4} range {1, 6} b) domain { 1,4,9,10} range { 1,2,3,4} a) b a = 3 4 = 81 b) b a = 4 4 = a. Grafik fungsi Kuadrat Untuk menggambar grafik tersebut, maka dipilih beberapa nilai x yang sesuai dan dihitung nilai f yang bersangkutan. Daftar berikut ini menunjukkan cara yang mudah untuk menghitung nilai f. X x

347 -2x f(x) Gambarlah titik-titik {(-3, 15),(-2,8), (-1,3), (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3), (4,8), (5,15)} Kemudian gambarlah kurva mulus yang melalui titik-titik itu. b. Pembuat nol dari fungsi fungsi f, adalah mencari x sedemikian hingga f(x) = 0. x 2-2x = 0 x (x 2) = 0. x = 0 atau x = 2. Jadi pembuat nol nya adalah 0 dan 2 334

348 DAFTAR PUSTAKA Adjie, Nahrowi dan Maulana Pemecahan masalah matematika Edisi Kesatu. Bandung: UPI PRESS. Adinawan, Cholik dan Sugijono Matematika SMP Jilid 2A Kelas VIII Semester 1. Penerbit Erlangga. As ari, Tohir dkk Matematika SMP Kelas VIII Kurikulum Jakarta: Kemendikbud Departemen Pendidikan Nasional Kapita Seleksa Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP. Sleman: PPPPTK Matematika IKAPI Matematika VII/SMP dan MTs. (Klaten: Intan Pariwara). Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan RI Matematika Kurikulum 2013 SMP/MTs Kelas VII. Jakarta. SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta Matematika Kurikulum 2013 SMP/MTs Kelas IX. Jakarta Matematika Kurikulum 2013 Kurniawan Mandiri Matematika SMP Kelas VII. Jakarta: Erlangga Lukito, Agung; Turmudi; dan Dadang Juandi Matematika. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Mardianah dan Bambang Setiono, Modul Matematika 7a. Tulungagung: CV. Utomo xiv

349 Miyanto, dan Suparno Detik-Detik Ujian Nasional Matematika. Yogyakarta: PT.Intan Pariwara. Prabawanto, Sufyani dan Puji Rahayu Bilangan Edisi Kesatu. Bandung: UPI PRESS. Priatna, Nanang & Tito Sukamto Matematika untuk Kelas VIII SMP. Bandung: Grafindo Media Pratama. Priatna, Nanang dan Tito Sukamto Matematika untuk Kelas VII Sekolah Menengah Pertama. Bandung: Grafindo Media Pramata Rusoni, Elin Buku Pedoman Guru Madrasah Tsanawiyah Bernuansa Islam Dengan Pendekatan Keterampila Proses Matematika Untuk kelas I, II, III. Jakarta DEPARTEMEN AGAMA RI. Subhan, Winami dkk Matematika. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud Sukino KaFe Three in One Matematika Jilid 8. Jakarta: Erlangga. Wahyudin Djumanta, Dwi Susanti. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Jakarta: PT Setia Purna Invest, 2008 Yuli, Tatag & Netti Lastiningsih Matematika SMP dan MTs untuk Kelas VIII. Jakarta: Erlangga. Jakarta: Erlangga Matematika 1 SMP/SMA Kelas VII. xv

350