ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR (Untuk Program Studi Teknik Konstruksi Gedung)

Transkripsi

1 DIKTAT MEKANIKA TEKNIK 5 ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR (Untuk Program Studi Teknik Konstruksi Gedung) PRATIKTO NIP JURUSAN TEKNIK SIPIL Didanai dengan DIPA PNJ Tahun 21 POLITEKNIK NEGERI JAKARTA JUNI, 21

2 LEMBAR PENGESAHAN 1. Judul : Metode Perpindahan dengan Excel dan Calculator 2. Penulis a. Nama : PRATIKTO.ST, MsI. b. NIP : c. Jenis kelamin : Laki-Laki d. Golongan/pangkat : IV a e. Jabatan Fungsional : Lektor f. Mata Kuliah yang diampu Semester gasal : Mekanika Teknik 5 : Kerja Proyek Perencanaan Semester genap : Kontruksi Beton 1 ; Lab Uji Bahan g. Jurusan/Program Studi : Teknik Sipil/Teknik Konstruksi Gedung h. Alamat rumah : Jl. Kakap3, P15 ; RT3/8 ; Mampang Indah I DEPOK Alamat pratikto.tito@gmail.com pratikto@ymail.com 3. Jumlah Anggota : - 4. Lama kegiatan penulisan : 5 (Iima) bulan 5. Biaya yang diperlukan : Rp.3.5.,- (Tiga Juta Lima Ratus Ribu Rupiah) 6. Sumber dana : DIPA PNJ 21 Depok, 14 Juni, 21 Menyetujui, Pelaksana Ketua Program Studi, A.Rudi Hermawan, ST,MT PRATIKTO., ST, MSi. NIP NIP Mengetahui Ketua Jurusan, Sidiq Wacono, ST, MT. NIP

3 Peta kompetensi Mata Kuliah Mekanika Teknik 5 Mampu menghitung gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat sistem 2 dimensi (dengan sistem matrik ) Mahasiswa mampu menghitung Atap bangunan gedung Gaya Dalam - Rangka Batang Mahasiswa mampu menghitung Gaya Dalam - Portal dengan Kaki Miring Mahasiswa mampu menjelaskan gaya dalam batang baik statis tertentu dan tak tentu diatas dua tumpuan dengan sistem matrik Mahasiswa mampu menghitung Gaya Dalam Portal dengan sistem matrik Mahasiswa mampu menghitung Gaya Dalam - Balok Statis tak tentu dengan sistem matrik Mahasiswa mampu menjelaskan gaya dalam batang statis tertentu Mahasiswa mampu menjelaskan bidang gaya dalam balok statis tertentu dan statis tak tentu Mahasiswa mampu menjelaskan langkah langkah metode perpindahan dalam bentuk matrik REVIEW Mahasiswa mampu menjelaskan perubahan panjang batang Mahasiswa mampu menggunakan lembar kerja dari microsoft excel Mahasiswa mampu menjelaskan lendutan dan putaran sudut balok dengan metode conyugated beam Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik

4 Unit Komputensi model SKKNI/RMCS Garis Besar Program Pengajaran (GBPP) Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik 5 Pengembang : Pratikto,ST.MSi Kode Mata Kuliah : TKG Tahun Dikembangkan : 21 Sistem Kredit Semester : 5 Penelaah Materi : Teori Deskripsi Matakuliah Mata Kuliah ini terdiri dari tiga bagian utama yaitu (1).Dasar Teori, (2)Pengoperasian alat bantu dengan format matrik dan Aplikasi pada struktur bangunan gedung bertingkat. Sangat dibutuhkan pemahaman mekanika teknik dari semester yang lalu dan (3)pemahaman operasi matrik. Struktur yang ditinjau adalah : Rangka Batang ( Atap bangunan ), Balok dan Portal secara dua-dimensi. Beban yang digunakan adalah beban statik Gravitasi dan Lateral. Hasil perhitungan harus dinyatakan dalam gambar bidang gaya dalam Momen, Lintang dan Normal. Kompetensi Umum Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa : Mampu menganalisa gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat dengan sistem matrik baik rangka batang ataupun portal 2 dimensi yang berbasis pada perangkat lunak baik Kalkulator ataupun komputer standard seperti microsoft excel.

5 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik 5 Pengembang : Pratikto,ST.MSi Kode Mata Kuliah : TKG 5147 Tahun Dikembangkan : 21 Sistem Kredit Semester : 5 Pendekatan Materi : Teori dan praktek No Kompetensi Khusus Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1 REVIEW Pendahuluan 1. Analisa struktur bangunan 2. Kontrak Perkuliahan Calculator dan Komputer 3. Review Rangka batang 4. Review bid M,D,N 5. Hubungan mata kuliah dengan MK yang lain Pengalaman Belajar Mahasiswa mempersiapkan alat bantu hitung dan untuk mengingat kembali pelajaran mekanika teknik semester lalu Metode Media Estima si Waktu Presentasi White board, lcd 9 menit projector, calculator, komputer Kepustak aan 2. Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik Seperti: Casio FX985GB Operasi pada perhitungan matrik dengan Calculator 1. Definisi matriks ; Sifat matrik 2. Penjumlahan ; Perkalian 3. Invers matrik 4. Input data calculator 5. Transpose 6. Perkalian 7. Invers 8. Solusi Persamaan Linear Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan peralatan calculator untuk operasi matrik. Presentasi, praktek White board, lcd projector, calculator, komputer 9 menit 1

6 No Kompetensi Khusus 3. Mahasiswa mampu menggunakan komputer untuk operasi matrik Seperti: Lembar Kerja EXCEL 4 Mahasiswa mampu menjelaskan deformasi elemen struktur 5. Mahasiswa mampu menjelaskan Dasar teori metode perpindahan dalam bentuk matrik Pokok Bahasan Operasi pada perhitungan matrik dengan Lembar Kerja EXCEL Macam-macam Deformasi : Batang dan balok Membentuk matrik kekakuan struktur dan menyelesaikan persamaan linear Sub Pokok Bahasan 1. Input data Lembar kerja 2. Transpose 3. Perkalian 4. Invers 5. Solusi Persamaan Linear 1. Perubahan Panjang Batang 2. Putaran sudut balok 3. Lendutan Balok 1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear Pengalaman Belajar Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan Komputer untuk operasi matrik. Dosen memberikan pendalaman besaran2 yang akan dipakai untuk matrik Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal. Metode Media Estima si Waktu Presentasi, praktek Presentasi, kuis, Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri White board, lcd projector, komputer White board, lcd projector, komputer White board, lcd projector, komputer 9 menit 1 9 menit 18 menit Kepustak aan 6 Mahasiswa mampu menghitung Rangka Batang dengan bentuk matrik Membentuk matrik kekakuan struktur Rangka Batang dan menyelesaikan persamaan linear 1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Rangka Batang Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri White board, lcd projector, komputer, calculator 18 menit 6 Mahasiswa mampu menghitung Balok statis tertentu dan tak tentu dengan bentuk matrik Membentuk matrik kekakuan struktur Balok dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN 1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri White board, lcd projector, komputer, calculator 18 menit EVALUASI UTS- 9 MENIT

7 No Kompetensi Khusus 7. Mahasiswa mampu menghitung PORTALdengan bentuk matrik Pokok Bahasan Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN Sub Pokok Bahasan 1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN Pengalaman Belajar Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung Metode Media Estima si Waktu Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri White board, lcd projector, komputer, calculator 18 menit Kepustak aan 8. Mahasiswa mampu menghitung PORTAL dengan kaki Miring dalam bentuk matrik Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL MIRING dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN 1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung EVALUASI UAS- 9 MENIT Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri White board, lcd projector, komputer, calculator 18 menit PUSTAKA 1 Supartono F.X. dan Boen T, 198; Analisa struktur dengan metode matrix,fakultas Teknik Universitas Indonesia, UI PRESS 2.Wang, C.K: 1999; Matrix Methods of structural Analysis, Scrantons International Text Book, Co 3.User guides Casio FXG985 ; 4.Microsoft office, excel 27;

8 GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN ( SILABUS ) Nama Mata Kuliah : Konstruksi Beton 1 Pengembang : Pratikto,ST.MSi Kode Mata Kuliah : TKG Tahun Dikembangkan : 21 Sistem Kredit Semester : 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Hasil Pembelajaran Daftar Pustaka (Topik) (Sub Topik) REVIEW 1. Analisa Gaya Dalam balok st tertentu 1. Memahami mekanika Teknik dan rangka batang 2. Dasar teori matrik, operasi matrik, sifat Statis tertentu balok dan Rangka batang dan jenis matrik dan persamaan linear 2. Penggunaan Kalkulator dan 2. Metode Matrik - langkah langkah metode perpindahan dalam bentuk matrik 3. Rangka Batang dengan bentuk matrik 4. Balok statis tertentu dan tak tentu 1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 1. Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam 1.. Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam 5. PORTAL 1.. Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam 6.PORTAL MIRING 1. Beban 2. Kekakuan 3.Perpindahan 4. Gaya Dalam Microsoft Excel Memahami Dasar teori metode perpindahan Menganalisa Rangka Batang dengan metode perpindahan Menganalisa Balok dengan metode perpindahan Menganalisa Portal dengan metode perpindahan Menganalisa Portal Miring Gable dengan metode perpindahan

9 Kontrak perkuliahan 1 KONTRAK PERKULIAHAN Mekanika Teknik 5 NO. ISI KONTRAK 1. Manfaat matakuliah 2. Deskripsi perkuliahan 3. Tujuan pembelajaran URAIAN Matakuliah ini membahas masalah analisa gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat dengan sistem matrik baik rangka batang ataupun portal 2 dimensi yang berbasis pada perangkat lunak baik Kalkulator ataupun komputer standard seperti microsoft excel. Matakuliah ini merupakan penunjang mata kuliah berikutnya yaitu Kerja Proyek Perencanaan yang akan langsung diterapkan pada semester berikutnya. Matakuliah ini juga sangat berguna ketika mahasiswa sudah memasuki di dunia kerja terutama yang bekerja di bidang struktur bangunan gedung bertingkat. Mata Kuliah ini terdiri dari tiga bagian utama yaitu (1).Dasar Teori, (2)Pengoperasian alat bantu dengan format matrik dan Aplikasi pada struktur bangunan gedung bertingkat. Sangat dibutuhkan pemahaman mekanika teknik dari semester yang lalu dan (3)pemahaman operasi matrik pada struktur yang ditinjau adalah : Rangka Batang ( Atap bangunan ), Balok dan Portal secara dua dimensi. Beban yang digunakan adalah beban statik Gravitasi dan Lateral. Hasil perhitungan harus dinyatakan dalam gambar bidang gaya dalam Momen, Lintang dan Normal. TIU: Mahasiswa dapat menghitung gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat dengan sistem matrik baik rangka batang ataupun portal 2 dimensi yang berbasis pada perangkat lunak baik Kalkulator ataupun komputer standard seperti microsoft excel TIK: Mahasiswa dapat menerapkan alat bantu hitung untuk analisa struktur bangunan bertingkat. Mahasiswa dapat menghitung gaya dalam ataupun lendutan rangka batang dengan alat bantu hitung Mahasiswa dapat menghitung gaya dalam ataupun lendutan Portal 2D atau PORTAL MIRING dengan alat bantu hitung 4. Organisasi materi

10 Kontrak perkuliahan 3 5. Strategi perkuliahan Materi kuliah ini lebih banyak menggunakan rumus-rumus untuk menyelesaikan kesetimbangan untuk gaya dalam dan mutlak menggunakan alat bantu hitung. Metode perkuliahan untuk matakuliah ini dilakukan dengan kuliah (ceramah), diskusi, dan praktek langsung dengan alat bantu hitung. Metode kuliah digunakan apabila tujuan dari pembelajaran adalah untuk menjelaskan konsep dasar materi perkuliahan, sedangkan untuk mengetahui tingkat pemahaman mahasiswa dilakukan dengan diskusi atau Latihan soal dengan tujuan untuk mengetahui kemampuan mahasiswa dalam mengaplikasikan alat namtu dan menggunakan rumus-rumus yang telah dijelaskan sebelumnya 6. Referensi 1.Supartono F.X. dan Boen T, 198; Analisa struktur dengan metode matrix,fakultas Teknik Universitas Indonesia, UI PRESS 2.Wang, C.K: 1999; Matrix Methods of structural Analysis, Scrantons International Text Book, Co 3.User guides Casio FXG985 ; e/ 4.Microsoft office, excel 27; 7. Tugastugas 8. Kriteria penilaian 9. Jadwal perkuliahan Setiap selesai pokok bahasan diberikan tugas individu mengerjakan soal, dengan waktu 1 minggu. Apabila tidak mengerjakan tugas tidak akan mendapat nilai pada item tersebut. Jika mengumpulkan tetapi terlambat nilai diperhitungkan 5% dari nilai yang diperoleh. Kuis/Tugas dilakukan sewaktu-waktu tanpa ada pemberitahuan, selama 1 semester dilakukan sebanyak 2 kali. Materi UTS dan UAS menggunakan bentuk essai dan diperbolehkan membuka Ringkasan pada kertas double folio. Tidakdiperkenankan saling meminjam Ringkasan Indikator penilaian: ketepatan perhitungan, cara penyelesaian, kebenaran konsep dan ketepatan analisa. Bobot penilaian: o Tugas 1 : 1% o Kuis/Tugas 2+3 : 2% o UTS : 3% o UAS : 4% Kategori nilai: A = 1 81 A- = 8 76 B+ = B = B- = C+ = 63 6 C = D = E = 4 - Minggu Pokok bahasan 1 Pendahuluan elemen struktur bangunan gedung bertingkat 2 6 Rangka Batang dan Balok 8 1 Portal 2D beraturan Portal Miring atau Gable frame

11 Halaman Sampul Prakata Daftar Isi PENDAHULUAN DAFTAR ISI 1.1 Gambaran Umum Mata Kuliah 1.2 Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain 1.3 Tujuan Pembelajaran Umum 1.4 Petunjuk Buku Ajar MODUL 1 DASAR METODE PERPINDAHAN 2.1 Pendahuluan 2.2. Tujuan Pembelajaran Khusus 2.3 Kegiatan Belajar Dasar Teori Perpindahan Pembagian elemen Beban Ekwivalen Pembentukan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Latihan Tugas Evaluasi 2.4 Rangkuman 2.5 Daftar Pustaka MODUL 2 RANGKA BATANG 3.1 Pendahuluan 3.2 Tujuan Pembelajaran Khusus 3.3 Kegiatan Belajar Perpindahan Batang Matrik Deformasi dan Statis

12 Beban Ekwivalen Pembentukan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Latihan Tugas Evaluasi 3.4 Rangkuman 3.5 Daftar Pustaka MODUL 3 BALOK 4.1 Pendahuluan 4.2. Tujuan Pembelajaran Khusus 4.3 Kegiatan Belajar Deformasi Balok Pembagian elemen Beban Ekwivalen Pembentukan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Latihan Tugas Evaluasi 4.4 Rangkuman 4.5 Daftar Pustaka MODUL 4 PORTAL 5.1 Pendahuluan 5.2. Tujuan Pembelajaran Khusus 5.3 Kegiatan Belajar Deformasi Lentur Portal Pembagian elemen Beban Ekwivalen

13 Pembentukan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Latihan Tugas Evaluasi 5.4 Rangkuman 5.5 Daftar Pustaka MODUL 5 PORTAL MIRING 6.1 Pendahuluan 6.2. Tujuan Pembelajaran Khusus 6.3 Kegiatan Belajar Deformasi Lentur Portal Miring Pembagian elemen Beban Ekwivalen Pembentukan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Latihan Tugas Evaluasi 6.4 Rangkuman 6.5 Daftar Pustaka

14 I - 1 BAB I. PENDAHULUAN Gambaran Umum Mata Kuliah Ada beberapa hal yang harus dipahami atau disamakan persepsi terhadap analisa struktur dewasa ini. Pemakaian alat bantu hitung seperti calculator ataupun komputer bukan merupakan hal yang aneh dan sulit karena hampir setiap manusia ataupun mahasiswa sudah mempunyai alat tersebut. Hampir disetiap komputer terdapat program microsoft office seperti : word, excel dan juga untuk kalkulator banyak yang menyediakna fungsi2 yang berguna seperti : matrik, trigonometri dan sebagainya. Apakah kita sudah menggunakan se optimal mungkin? Hal ini juga disertakan dalam peninjauan biaya untuk mendapatkan perangkat lunak tersebut. Mudah2an pernyataan diatas dapat menggugah pembaca untuk dapat memakai alat bantu yang konon sudah dianggap biasa dapat digunakan seoptimal mungkin. Sebagai tujuan akhir tulisan ini adalah agar supaya pembaca dapat menggunakan alat bantu hitung, seperti kalkulator atau microsoft office untuk menganalisa gaya dalam struktur pada bangunan bertingkat. Hal ini tentu saja dibutuhkan ketrampilan menggunakan Kalkulator dan perangkat lunak untuk lembar kerja microsoft office excel. Lampiran 1 Untuk pemahaman gaya dalam struktur, pembaca dipersilahkan mempersiapkan beberapa hal seperti : deformasi perubahan bentuk sepeti lendutan dan putaran sudut yang umumnya dapat dijelaskan melalui metode moment area ataupun conyugated beam. Lampiran Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain Mata kuliah Mekanika Teknik 5 ini berhubungan erat dengan mata kuliah Mekanika Teknik sebelumnya yang membahas mengenai pengertian Gaya luar, gaya dalam, syarat kesetimbangan dan Bidang gaya dalam MDN. Adapun deformasi dapat melihat dari mata kuliah Kekuatan Bahan yang membahas mengenai putaran sudut, lendutan baik aksial ataupun lentur termasuk perpanjangan dan perpendekan. Pada mata kuliah Komputer terapan juga dibahas mengenai pemakaian perangkat lunak microsoft office khususnya adalah excel.

15 I - 2 Masalah mengenai teori dasar matrik umumnya dapat dijumpai pada matematik tingkat perguruan tinggi seperti jenis jenis, sifat matrik dan operasi pada matrik termasuk perkalian, penambahan dan invers matrik. Analisa gaya dalam merupakan hal yang harus dilakukan terlebih dahulu sebelum menganalisa pada material yang akan digunakan, seperti Beton, Baja dan sebagainya Tujuan Pembelajaran Umum Diharapka pembaca dapat melakukan perhitungan dan menganalisa gaya dalam struktur bangunan gedung bertingkat sistem 2 dimensi dengan alat bantu hitung yaitu kalkulator ataupun lembar kerja microsoft office excel. Struktur bangunan gedung bertingkat adalah sistem 3 dimensi. Struktur ini dapat dipisah dalam beberapa bagian struktur dua 2 dimensi, seperti : Portal, balok, Pelat dan Rangka batang atap Petunjuk Buku Ajar Buku ajar ini dimaksudkan tidak hanya sebagai wacana analisa gaya dalam tetapi diharapkan dapat di praktekan langsung dengan alat bantu hitung seperti kalkulator ataupun lembar kerja excel. Dasar teori metode perpindahan akan dibahas pada diktat ini. Untuk teori matrik dan kekuatan bahan pembaca dapat melihat rujukan lain.pemakaian alat bantu hitung kalkulator dan lembar kerja excel penulis hanya mengambil dari rujukan yang umum dan disajikan pada lampiran. Dasar teori metode perpindahan akan dibahas pada bab 2 yang akan dilanjutkan aplikasinya pada : Struktur rangka batang bab 3 dan Balok baik statis tertentu ataupun statis tak tentu pada bab 4. Evaluasi akan dilakukan setelah pembaca memahami metode matrik pada rangka batang dan balok. Tahapan ini pembaca diharapkan menguasai proses pembentukan matrik dan operasi pada matrik dengan alat bantu kalkulator. Pada bab5 pembaca akan diajak untuk mengaplikasikan pada portal bentuk sederhana yang terdiri dari elemen struktur seperti balok dan kolom. Pada tahap ini diberikan tugas untuk menyelesaikan struktur Portal bertingkat dengan

16 I - 3 bantuaan lembar kerja excel yang terdapat pada komputer. Disarankan tidak menggunakan kalkulator untuk analisa portal bertingkat ini karena keterbatasan memori yang ada. Untuk bentuk yang tidak beraturan sepeti portal dengan kaki miring dibahas pada bab 6. Masalah ini biasanya digunakan untuk menganalisa struktur tangga 2 dimensi Tulisan ini membahas metode matrik yang digunakan untuk analisa struktur - framed Structure. Pada umumnya ada 2 metode matrik seperti metode gayaforce method dan metode kekakuan-displacement method. Metode Gaya adalah metode untuk analisa gaya dalam struktur yang berdasarkan pada hasil iterasi gaya dalam seperti : metode cross, Kani, Takebaya, Muto, Clapeyron dsbnya. Metode ini sudah banyak ditinggalkan, kenapa? Apakah seperti pengaruh metode elastis dengan kekuatan batas? Tidak seluruh metode dibahas di sini karena menyangkut keterbatasan waktu dan dana yang ada. Methode yang akan dibahas adalah metode perpindahan displacement methods yang sudah berkembang menjadi metode kekakuan-stiffness method.metode ini uga merupakan dasar dari pada metode kekakuan langsung direct stiffness method dan metode elemen finite element untuk analia benda kontinum. Beberapa materi dasar akan ditinjau seperti jenis struktur dan deformasi akibat beban. Selain itu juga ditinjau konsep dasar seperti keseimbangan, kesepadanan, derajat ketidaktentuan dan sebagainya.

17 II - 1 MODUL 1 BAB II. DASAR TEORI Pendahuluan Tulisan ini membahas metode matrik yang digunakan untuk analisa struktur framed Structure. Pada umumnya ada 2 metode matrik seperti metode gaya-force method dan metode kekakuan-displacement method. Metode Gaya adalah metode untuk analisa gaya dalam struktur yang berdasarkan pada hasil iterasi gaya dalam seperti : metode cross, Kani, Takebaya, Muto, Clapeyron dsbnya. Metode ini sudah banyak ditinggalkan, kenapa? Apakah seperti pengaruh metode elastis dengan kekuatan batas? Tidak seluruh metode dibahas di sini karena menyangkut keterbatasan waktu dan dana yang ada. Methode yang akan dibahas adalah metode perpindahan displacement methods yang sudah berkembang menjadi metode kekakuan - stiffness method.metode ini uga merupakan dasar dari pada metode kekakuan langsung direct stiffness method dan metode elemen finite element untuk analia benda kontinum. Beberapa materi dasar akan ditinjau seperti jenis struktur dan deformasi akibat beban. Selain itu juga ditinjau konsep dasar seperti keseimbangan, kesepadanan, derajat ketidaktentuan dan sebagainya.struktur yang akan dibahas selanjutnya merupakan struktur rangka/ framed structur dan dapat dibagi atas. 1. Rangka batang bidang 2. Balok statis tertentu dan statis tak tentu 3. Portal bidang 4. Portal berkaki miring Masing-masing jenis struktur mempunyai ciri tersendiri, sehingga perlu dibahas secara terpisah. Tempat titik berkumpulnya elemen-elemen struktur dinamakan titik kumpul (Joints-Nodal) termasuk tumpuan dan ujung elemen yang bebas. Tumpuan dapat merupakan jepit (fixed), sendi (Hinged, Bin), roller dan elastis (springs). Pada metode ini langkah awal yang harus ditinjau adalah perpindahan yang dinyatakan sebagai derajat kinematis bukan derajat statis. Kinematis adalah perpindahan yang tidak diketahui atau yang dicari. Metode kekakuan ini struktur

18 II - 2 dirubah menjadi struktur kinematis tertentu sehingga seluruh perpindahan yang tidak diketahui adalah NOL. Agar perpindahan ini menjadi NOL maka pada titik kumpul diberi pengekangan ( Restraint ) terhadap segala macam perpindahan struktur yang diberi pengekangan dinamakan struktur terkekang / Restrained structure. Untuk mendapatkan pengaruh seperti pada struktur semula maka dapat dilakukan super posisi dari stuktur yang terkekang dengan gaya penggantinya. Tabel 2.1 Derajat Kinematis STRUKTUR KOMPONEN BEBAS KINEMATIS atau 3 7 D 2 D 4 D 6 D 1 D 3 D 5 12 D 7 D 9 D 11 D 8 D 1 D 12

19 II - 3 Bagian terpenting dalam penyelesaian superposisi adalah pembentukan persamaan gaya yang menyatakan seperti keadaan struktur semula. Bersamaan superposisi gaya ini dikenal juga sebagai persamaan keseimbangan titik kumpul. Beberapa istilah dalam analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan, derajat kebebasan, derajat ketidak tentuan statis atau kinematis, stabilitas, Superposisi, Kekakuan, beban ekivalent dan teori energi, pembaca dapat melihat pada lampiran Tujuan Pembelajaran Menguasai teori dasar metode perpindahan dalam bentuk matrik dan sekaligus pemakaian dengan alat bantu pada operasi matrik Metode ini sebenarnya adalah mencari hubungan gaya luar dengan lendutan atau pembentukan matrik kekakuan yang merupakan hubungan antara Gaya luar dengan deformasi lendutan. Selanjutnya penyelesaian persamaan linear untuk mendapatkan deformasi dan diteruskan pada gaya dalam. Hubungan ini bisa dinyatakan sebagai : ( Q } = [K] { D} (2.1) { Q } = matrik gaya2 dalam elemen [K] = matrik kekakuan struktur. { D} = matrik lendutan deformasi struktur Kegiatan Belajar Dasar Teori Perpindahan Pada dasarnya metode ini dimulai dengan memisahkan struktur menjadi elemen elemen dan memberikan besaran lendutan anu yang dalam hal ini merupakan lendutan elemen pada titik diskrit sebagai sasaran yang harus dicari. Untuk mengetahui lendutan titik diskrit, maka harus diketahui derajat kinematis atau derajat kebebasan dari struktur. Derajat Kinematis adalah suatu besaran yang menyatakan jumlah komponen bebas dititik diskrit yang mungkin terjadi. Sehingga urutan kerjanya adalah sebagai berikut :

20 II Kompatibiliti; Hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau secara tegasnya mencari deformasi yang terjadi pada elemen-elemen dititik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik tersebut. 2. Persamaan hubungan tegangan dan regangan, yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-elemen struktur tersebut. 3. Kesetimbangan; langkah terakhir untuk menyatakan gaya liuar dititik diskrit dengangaya-gaya dalam, atau mencari berapa besar gaya luar di ujung elemen yang diimbangi oleh gaya dalam dititik diskrit. Dengan menggabungkan ketiga langkah diatas, akan didapatkan hubungan antara gaya dan lendutan seperti dinyatakan pada persamaan (2.1). Secara garis besarnya, langkah2 metode ini adalah : 1. Memilih elemen-elemen yang akan digunakan. 2. Menentukan kinematis struktur D, 3. Menentukan matrik gaya luar Q yang sesuai dengan kinematis D. 4. Memberikan deformasi struktur D = 1 unit dan menghitung deformasi masing2 elemen (d). Hubungan ini dinyatakan dengan matrik deformasi [A]. 5. Menentukan hubungan gaya dalam dengan deformasi elemen yang dinyatakan dengan matrik Kekokohan [S]. 6. Menentukan hubungan Kesetimbangan antara gaya luar dengan gaya dalam yang dinyatakan sebagai matrik Statis [B]. 7. Menghitung matrik K yang berasala dari matrik [A] ; [S] dan [B]. Matrik [K] ini merupakan hubungan antara {Q} dengan {D} 8. Menyelesaikan persamaan linear untuk mendapatkan deformasi struktur {D}. 9. Mencari gaya dalam {H} struktur dari matrik [S] dan [A]. 1. Menyelesaikan reaksi perletakan dan menggambar gaya dalam M, D, N.

21 II - 5 DIAGRAM : [K] { Q } { D } [ B ] [ A ] { H } { d } [ ] S Gambar Pembagian elemen Pada struktur 2D bidang dengan Rigid connections pada umumnya struktur terdiri atas beberapa elemen yang dipisahkan oleh titik node diskrit. Perilaku dari elemen ini diwakili oleh titik diskrit dalam bentuk lendutan translasi linear dan rotasi anguler. Lendutan dinyatakan oleh dua komponen yang saling tegak lurus sedangkan rotasi dinyatakan oleh komponen anguler. Sehingga pada titik pertemuan terdapat 3(tiga) komponen lendutan. Pada Rangka batang 2D dengan sambungan engsel, maka komponen rotasi tidak ada dan hanya komponen traslasi baik vertikal atau mendatar. Titik diskrit merupakan titik pertemuan batang ataun titik kumpul Beban Ekwivalen Beban luar yang bekerja pada elemen harus dipindahkan ke titik disktrit yang berada di ujung elemen. Perlu diperhatikan bahwa beban ini bukan gaya reaksi tetapi merupakan gaya aksi yang bekerja di ujung atau perletakan sebagai pengganti beban luar. Dengan kata lain beban ekwivalen adalah gaya aksi di ujung perletakan elemen. Pembaca dapat melihat pada lampiran 1.

22 II - 6 P P P P 1 P y P 1 P x P y P P x Gambar 2.2.a. Beban ekwivalent Rangka Batang Beban merata Q L 1/2 WL GAYA AKSI 1/12 WL 2 M-PRIMER Gambar 2.2.b Beban ekwivalent Balok M-BATANG GAYA REAKSI Beban merata q sepanjang bentang L adalah ekwivalent setara dengan sepasang momen 1/12 WL 2 dan gaya ½ WL. Bedakan antara gaya aksi dan gaya reaksi Pembentukan Matrik Kekakuan Dari diagram pada gambar 2.1 dapat terlihat jelas bahwa matrik K dibentuk dari matrik statis [B], matrik kekokohan [S] dan matrik deformasi [A]. Matrik Statis [B] adalah hubungan antara gaya luar dengan gaya dalam yang harus memenuhi syarat Kesetimbangan. Matrik kekokohan [S] adalah hubungan antara gaya dalam sebesar 1 unit dengan deformasi elemen yang mengikuti Hukum Hooke.

23 II - 7 Matrik deformasi [A] adalah hubungan compatibility kesesuaian antara deformasi elemen dengan deformasi struktur sebesar 1 unit. Matrik [K] merupakan penggabungan dari ketiga matrik diatas atau dapat pula ditulis sebagai : [ K] [ B][ S][ A] Matrik ini disebut pula sebagai matrik Kekakuan Struktur. Dilihat dari hasil matrik [B] merupakan transpose dari matrik [A] Solusi Persamaan Linear Persamaan yang terbentuk dari hubungan gaya luar dengan deformasi adalah persamaan linear dalam bentuk matrik. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan operasi matrik untuk mencari besarnya deformasi dari struktur. { Q} [ K]{ D} [ K] [ B][ S][ A] [ B] [ A] 1 { D} [ K] { Q} T Selanjutnya untuk matrik gaya dalam dapat dihitung setelah deformasi struktur didapatkan. Matrik [H] bukan merupakan gaya dalam struktur karena harus di superposisikan dengan beban aksi { H} [ S]{} d { H} [ S][ A]{ D}

24 II Illustrasi metode Gambar Tentukan elemen, Kinematis, buat diagram Q-D dan H-d Gambar 2.4 ; 3 elemen, Diagram Q-D dan H-d 2. statik Matrik A d d d d d d = X D D D { } [ ]{ } D A d L EI L L Q1- D1 Q2- D2 Q3- D3 H1-d1 H2-d2 H3-d3 H4-d4 H5-d5 H6-d6 3 elemen 3 kinematis; D1.D2,D3

25 II - 9 d 1 d 3 d 5 d 2 d 4 d 6 d 5 d 4 d 6 gambar 2.5 matrik A 3. Gaya Dalam dengan Deformasi ( H-d) d 1 H 1 H 3 d 3 H 5 d 5 d 2- H 2 d 4 - H 4 d 6 -H6 d 1 = 1 unit H 1 =4EI/L ; H 2 =2EI/L d 1 d 2 2EI/L 4EI/L d 2 = 1 unit H 1 =2EI/L ; H 2 = 4EI/L d 1 d 2 4EI/L 2EI/L { } [ ] ( ) d S H * = gambar 2.6 matrik Kekokohan [S] H H H H H H = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI / 4 / 2 / 2 / 4 / 4 / 2 / 2 / 4 / 4 / 2 / 2 / d d d d d d D1=1unit D2=1unit D3=1unit

26 II Hubungan Keseimbangan, Gaya Luar = Gaya Dalam H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 Q 1 = H 2 + H 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q 2 = H 4 + H 5 Gambar 2.7 matrik B Q 3 = H 6 P = ; Q 1 - H 2 - H 3 = H H H H H H Q Q Q { } [ ]{ } H B Q 5. Persamaan Linear { } [ ]{ } [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] { } Q K D A S A K A B A S B K D K Q T T 1 6. Gaya Dalam { } [ ]{ } { } [ ][ ]{ } D A S H d S H 7. Momen Akhir Momen akhir adalah superposisi hasil matrik {H} dengan beban ekwivalen yaitu Momen Primer Momen = H - Momen Primer

27 II Latihan Aplikasi pada balok menerus 3 tumpuan 6 KG/M EI EI A B C gambar gaya dalam!! L=1M L=8M Gambar 2.8 Contoh Balok Menerus Fixed end momen 1/12 ql 2 (-)5 (+)5 (-)32 (+)32 D1 Derajat kinematis = 1 Gambar 2.9 Kinematis dan elemen Q1=18 D 1 d d 2 [ A ] [ S] Gambar 2.1 matrik Q dan A 4EI/1 2EI/1 2EI/1 4EI/1 4EI/8 2EI/8 2EI/8 4EI/8 d1 = 1 d 2 = 1 d3 = 1 d 4 = 1 H1 H 2 H3 H 4 H 1 d 1 H 3- d 3 H 2 d 2 H 4- d 4 H-d diagram, untuk [S] {Q}=[B]{H} Q 1 Q 1 =H 2 +H 3 H 2 H 3 [B]= { 1 1 } Gambar 2.11 Matrik S dan B [B] = [A] T

28 II - 12 [K] = [B][S][A] =.9 EI [K] -1 = 1 / (.9EI) {D} = [K] -1 {Q} = 2 / EI {H} = [S][A]{D} = [ H ] Momen batang ( kebalik an momen primer) Momen Akhir / = 75 1/ = 48 GAYA DALAM MOMEN GAYADALAM LINTANG 288 Gambar 2.12 Penyelesaian

29 II Tugas SOAL 1: 4m P= 36 kn 6m Gambarkan gaya dalam, M, D Gambar elemen : 4m dan 6m 2 elemen 5m SOAL 2: Q=8T EI q = 3T/M EI A B C 1M 1M Gambar Evaluasi 4m P =(kn) 4 6m 2@5m Gambar 2.15 Conto untuk evaluasi

30 II - 14 Q1-D1 Q2-D2 Q3-D3 Q-D diagram Q4-D4 Degree of kinematic 4 Number of member 2 H1-d1 H2-d2 H3-d3 H4-d4 H-d diagram Tentukan Elemen, Kinematis, Diagram Q-D dan H-d 4 Q 4 1-6,4 25,6 6,4 5-25,6-6,4 25,6-28,16-3,84 3,84 11, ,16-11,84-28,16 Beban Ekwivalen 4 A S = (EI) SA=(EI) 1 -,2,8,4,8,4 -,2 1 -,2,4,8,4,8 -,2 1,2,8,4,8,4,24 1,2,4,8,4,8,24 A At K=(AE) 1 -,2 1,8,4 -,2 1 -,2 1 1,4 1,6,4 1,2 1,4,8,24 1,2 -,2 -,2,2,2 -,2,24,19 Kinv=(1/EI) D H M AKHIR 3,33 -,42-1,67 6, ,4, -,42,83 -,42, 24 86,4 6,8-1,67 -,42 3,33-6, ,8-6,8 6,25, -6,25 2,83-626,667 Pembentukan persamaan Linear dan solusi persamaan

31 II - 15 d2 d3 d4 d1 6,8-6,8-48, ,8-8,64 4x6/1* ,64 4x1/5* ,64 Hasil Gaya Dalam 2. 4 Rangkuman Bedakan jenis struktur menurut deformasi yang terjadi Secara garis besarnya, langkah2 metode ini adalah : 1. Menentukan kinematis struktur dan memberikan deformasi struktur D dan deformasi masing2 elemen (d). Hubungan ini dinyatakan dengan matrik [A]. 2. Menentukan hubungan gaya dalam dengan deformasi elemen yang dinyatakan dengan matrik [S]. 3. Menentukan hubungan Kesetimbangan antara gaya luar dengan gaya dalam yang dinyatakan sebagai matrik [B].

32 II Menyelesaikan persamaan linear untuk deformasi struktur {D}. 5. Mencari gaya dalam struktur ataupun reaksi. 6. Gambar gaya dalam struktur DIAGRAM : [ K ] { Q } { D } [ B ] [ A ] { H } { d } [ ] S Gambar Daftar Pustaka 1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, Wang, C.K : Matrix methods of Structural Analysisa Scrantons International Text Book Co., 1986

33 III - 1 MODUL 2 BAB III. RANGKA BATANG 3.1 Pendahuluan Metode ini dimulai dengan memberikan pada struktur ybs beberapa besaran lendutan anu yang dalam hal ini merupakan lendutan elemen pada titik diskrit sebagai besaran yang harus dicari. Pembagian elemen disesuaikan dengan tempat titik kumpul rangka. Untuk mengetahui lendutan titik diskrit, maka harus diketahui derajat kinematis atau derajat kebebasan perpindahan dari struktur. Derajat kinematis yang merupakan jumlah komponen bebas dititik diskrit baik arah vertikal ataupun horizontal merupakan vektor gaya luar bekerja. Pada rangka batang tidak terdapat lendutan-rotasi dinyatakan oleh komponen anguler putaran sudut. Sehingga pada Rangka batang 2D dengan sambungan engsel, lendutan dinyatakan oleh dua komponen yang saling tegak lurus. Gambar 3.1 Rangka Batang Gambar 3.2 Model Matematik Rangka

34 III Tujuan Pembelajaran Khusus Tujuan pada pembahasan ini adalah menghitung gaya dalam dari struktur Rangka Batang. Pada metode ini didahulukan dengan mencari hubungan gaya dengan lendutan. Pembentukan matrik kekakuan untuk hubungan antara Gaya luar dengan deformasi lendutan akan menghasilkan persamaan linear dalam bentuk matrik. Selanjutnya penyelesaian persamaan linear untuk mendapatkan deformasi dan diteruskan pada gaya dalam harus menggunakan alat bantu baik calculator ataupun komputer. Hubungan ini bisa dinyatakan ulang dari pers 2.1 sebagai : { Q } = [K] { D} (2.1) { Q } = matrik gaya2 dalam elemen [K] = matrik kekakuan struktur Rangka batang. { D} = matrik lendutan deformasi struktur 3.3 Kegiatan Belajar Pada dasarnya sifat rangka batang berbeda dengan balok didalam analisa gaya dalam. Disetiap sambungan rangka batang umumnya hanya gaya axial yang dipakai dalam perencanaan sambungan. Deformasi axial dapat berupa translasi vertikal dan horizontal. Jadi pada rangka batang setiap titik mempunyai 2 derajat kinematis. Untuk material Hooke yang linear elastis maka berlaku hubungan seperti : AE H Δ = HL/AE L Δ H = (AE/L) Δ Gambar 3.1 Ilustrasi untuk metode perpindahan pada rangka batang disajikan dalam pembahasan rangka batang berikut ini.

35 III - 3 Conto sederhana (1) : 1 kg A 1 2 B C AE for all members m D 2 kg 2m 2m Gambar 3.2 contoh sederhana D1 D2 D4 D3 Gambar 3.3 Kinematis D 1 =1 D 2 =1 d 2 =-1 d 1 =1 d 3 =1 α α D 3 =1 α 4 3 D 4 =1 5

36 III - 4 [ ] [ ] = = 5 / 4 / 3 / 2 / 1 / ; 4/5 3/5 4/5 3/ L AE L AE L AE L AE L AE S A H 2 -d 2 H 1 -d 1 H 1 -d 1 H 2 -d 2 H 4 -d 4 H 3 -d 3 H 5 -d 5 Gambar 3.4 Matrik Statis B Beban Ekwivalen { } { } = = ; 2 1 D D D D D Q Pembentukan Matrik Kekakuan Matrik Statis B merupakan transpose dari matrik A [K] = A T SA = [K]=(4X4) ; 64 / / 3 2 / / AE

37 III Solusi Persamaan Linear Dari persamaan 3.1 { Q } = [K] { D} Maka {D} = [K] -1 { D} Kinv = 1 AE 179 / / / / 64 D1 D2 D3 D { D} = { K} { Q} = = 1 ; Jadi besarnya Gaya Dalam adalah : H1 2 H 3 H H 4 H { H } = { S}{ A}{ D} = = ; AE Latihan 1 T 55E /6 8m 25E /2 25E /2 65E /4 65E /4 6m 6m Gambar 3.5 latihan Rangka Batang (1)

38 III - 6 Es = 2. kn/cm2. 8Kn 8Kn 12kN A (2) B (25) (1) (1) (25) 4cm 24kN C (2) D (25) (1) (1) (25) 4cm E F Gambar 3.6 latihan Rangka Batang (2) Tugas =(2.4)e-3m 2 E=2E+6 Kn/m 2 (3.) (1.2) (1.8) (1.2) (3.) 6.m (1.8) (2.4) (2.4) (2.4) 4.5m 4.5m P 4.5m 5kN Gambar 3.7 Catatan : Sesuaikan gambar Rangka batang dengan Rangka batang pada kerja Proyek anda. Tanda dalam kurung menyatakan luas penampang propil baja dalam satuana m2 Gunakan fungsi trigonometri yang tepat untuk matrik deformasi.

39 III - 7 Pembahasan: 1. Σ batang = 1, Σ kinematis = 4x2 =8 2. Tiga buah matrik utama [A] = 1x8 ; [S] = 1x1 ; {Q} = 8x1 ; [K] = 8x8 ; {D} = 8x1 ; [H] = 1x1 ; 3. Perpanjangan (+) dan perpendekan (-) 4. Bila Δ // sumbu batang maka nilainya 1, bila Δ sumbu batang maka nilai nya perubahan batang = 5. Gaya batang hanya axial tidak ada momen 6. Perletakan statis tak tentu Evaluasi Struktur mempunyai : 8 derajat kinematis, 1 batang [ A ]t = [ A ] = D

40 III [ S ] 125. = [ SAt ] x [ASAt ] x [K] [K]inv = 1.32E-2 1.9E E-2-2.9E E E E E-3 1.9E E E E E E E E E E E E E E E E-3-2.9E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-4 4.2E E E E E E E E E E-4

41 III - 9 {Q} = 12 {D} = {H} = [K]inv*{Q}.2987 [ SA ]*D H9 dan H1 Hasil ini diambil dari program excel. Check nilai yang terdapat dalam sel. Koreksi untuk perkalian matriks atau matrik A TUGAS SOAL 2 Beban Angin 25 kg/m2 dari sebelah KANAN ( No absent GANJIL) Beban Angin 25 kg/m2 dari sebelah KIRI ( No absent GENAP) Tuliskan matrik A,S dan Q!!! saja AE untuk semua batang sama Jarak kuda-2 diambil 5 m Gunakan koefisien spt :,9 ;,2α -,4 ; -,4 ; -,4 3.4 Rangkuman Bedakan jenis struktur menurut deformasi yang terjadi Secara garis besarnya, langkah2 metode ini adalah :

42 III Menentukan kinematis struktur dan memberikan deformasi struktur D dan deformasi masing2 elemen (d). Hubungan ini dinyatakan dengan matrik [A]. 2. Menentukan hubungan gaya dalam dengan deformasi elemen yang dinyatakan dengan matrik [S]. 3. Menentukan hubungan Kesetimbangan antara gaya luar dengan gaya dalam yang dinyatakan sebagai matrik [B]. 4. Menyelesaikan persamaan linear untuk deformasi struktur {D}. 5. Mencari gaya dalam struktur ataupun reaksi. 6. Gambar gaya dalam struktur DIAGRAM : [K] { Q } { D } [ ] [ B ] A { H } { d } [ ] S Gambar Daftar Pustaka 1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, Wang, C.K : Matrix methods of Structural Analysisa Scrantons International Text Book Co., 1986

43 BEBERAPA ISTILAH LAMPIRAN I. I. 1. Deformasi Bila suatu struktur diberi beban, maka struktur tersebut (batang) akan mengalami deformasi yaitu perubahan bentuk yang kecil, sehingga setiap titik2 pada struktur akan berpindah ke posisi yang baru perpindahan akan terjadi pada umunya untuk struktur kecuali pada tumpuan yang tidak dapat bergerak. Perpindahan merupakan hal penting dalam analisa struktur. Gambar L.1 Sebagai contoh diambil suatu potongan elemen dari batang stryktur rangka berbentuk lingkaran panjangnya dx Gaya2 yang bekerja adalah NX = gaya axsial Vy & Vz = gaya geser My & Mz = momen lentur T adalah forsi Deformasi yang terjadi pada penampung dx adalah deformasi axial, geser lentur dan torsi seperti diperlihatkan pada gambar (2). Adapun material bahan yang digunakan mengikuti Hukum Hooke yang elastis linier. Perpindahan (displacement) suatu struktur ditimbulkan oleh gabungan pengaruh deformasi seluruh elemen. Dalam menentukan perpindahan suatu struktur ASMAT I - 1

44 tidak semua jenis deformasi berpengaruh besar dan mungkin bias diabaikan.pada balok deformasi lentur biasanya merupakan satu-satunyayang terpentuing dai pada deformasi axial yang biasanya diabaikan. Untuk jenis struktur rangka batang, maka titik kumpul rangka dianggap sebagai sendi dan semua beban bekerja pada titik kumpul, sehingga analisanya hanya melibatkan deformasi axial batang. Jika terdapat beban di antara titik kumpul, maka beban ini dipindahkan pada titik kumpul seperti analisa balok ber tumpuan sederhana. Pada portal bidang deformasi yangb berpengaruh adalah akibat lenturan dan gaya axial. Pada balok silang deformasi lentur selalu penting dan deformasi punter kadang kala turut diperhitungkan. Tergantung pada penampung yang digunakan, jika penampung tersebut adalah berdendeng tipis seperti balok I, maka batang akan sangat fleksibel terhadap punter dan tidak mengalami gaya punter yang besar. Portal ruang merupakan jenis struktur rangka yang paling umum dlm geometrid an pembebanannya. Oleh karena itu deformasi axial, lentur dan punter mungkin seluruhnya perlu diperhitungkan tergantung jenis struktur dan bebannya. Untuk deformasi geser pada struktur rangka biasanya sangat kecil, sehingga jarang ditinjau dalam analisa. I. 2. Aksi dan Perpindahan Untuk menerangkan konsep dasar pada analisa struktur ada istilah yang akan digunakan seperti AKSI dan PERPINDAHAN. AKSI atau gaya dapat berupa gaya atau momen kopel ataupun gabungan keduanya. Selain Aksi luar pada struktur Aksi dalam juga perlu ditinjau sebagai contoh adalah resultan distribusi tegangan akibat momen lentur, gaya geser, gaya axial ataupun momen puntir. Konsep dasar yang lain adalah perpindahan yang umunya berupa translasi atau rotasi di titik struktur. Transaksi menun jukkan adanya pergerakan, sedangkan rotasi menyatakan sudut perputaran antara garis singgung kurva elastis dengan posisi semula. ASMAT I - 2

45 Dalam analisa struktur kita sering dijumpai aksi dan perpindahan yang paling sesuai dengan momen kopel ialah rotasi putaran sudut. L/2 L/2 A1 Contoh: Notasi A dipakai untuk aksi gaya dan D untuk perpindahan. A B D31 D11 D21 A2 A B D32 D12 D22 A B D33 D13 D23 gambar L.2 Pada gambar L2 terdapat aksi A1, A2 dan A3 Perpindahan yang terjadi : A1 D1 (translasi) D11 D21 D31 A2 D2 (translasi) D12 D22 D32 A3 D3 (rotasi) D13 D23 D33 Perhatikan subscript yang dipakai Perpindahan balok atas seluruh beban D1 = D11 + D12 + D13 D2 = D 21 + D22 + D23 D3 = D 31 + D32 + D33 Penjumlahan ini adalah prinsip superposisi yang dibahas lebih lanjut. I. 3. Keseimbanan dan Kesesuaian Tujuan analisa struktur di antaranya adalah menentukan berbagai aksi pada struktur seperti reaksi tumpuan dari resultan tegangan, momen lentur, geser dan sebagainya. Penyelesaian ini harus memenuhi syarat keseimbangan statis begitu juga pada bagian struktur yang dianalisa sebagai benda bebas free body. ASMAT I - 3

46 Enam buah persamaan yang terdapat pada keseimbangan statis dalamnya dimensi adalah: ΣFx = ΣFy = ΣFz = vektor gaya ΣMx = ΣMy = ΣMz = momen terhadap sumbu x, y, z Persamaan ini dapat dideduksi, apabila digunakan pada permasalahan struktur dalam 1 bidang. Dengan menganggap gaya terletak pada bidang x y maka persamaan menjadi ΣFx = ΣFy = ΣMz = Selain keseimbangan statis maka seluruh syarat kesesuaian harus terpenuhi dalam analisa struktur. Syarat ini juga disebut syarat geometris karena harus menyatakan kontinuitas perpindahan di seluruh bagian struktur. Sebagai contoh adalah titik tumpuan jepit, harus dipenuhi kesesuaian perpindahan dengan kondisi tumpuan yaitu tidak terjadi tranlasi dan rotasi terhadap sumbu batang. Pada sambungan yang kaku antara dua batang maka perpindahan yang terjadi (tranlasi dan rotasi) harus sama bila ditinjau per batang secara terpisah. I. 4. Ketidaktentuan Statis dan Kinematis Ketidaktentuan suatu struktur tergantung pada yang ditinjau aksi atau perpindahan. Ketidaktentuan menunjukkan kelebihan aksi yang tidak diketahui terhadap jumlah persamaan keseimbangan statis. Jika persamaan keseimbangan cukup untuk menentukan aksi maka struktur bersifat statis tertentu. Sebaliknya bila tidak dapat diselesaikan dengan persamaan keseimbangan maka struktur mempunyai sifat statis tak tentu. Gambar L3 Ketidaktentuan statis berderajad 3 ada 6 reaksi yang harus dicari ASMAT I - 4

47 Ketidaktentuan statis bisa dibedakan atas ketidaktentuan luar dan dalam. Bila berhubungan dengan reaksi struktur maka termasuk pada ketidaktentuan statis luar. Sebagai contoh adalah struktur ruang mempunyai 6 buah persamaan dan untuk struktur bidang mempunyai 3 buah persamaan. Apabila lebih di jumlah persamaan keseimbangan statis, maka disebut bersifat statis tak tentu luar. Ketidaktentuan statis dalam berhubungan dengan perhitungan resultan tegangan dalam struktur dengan anggapan semua reaksi telah ditentukan sebelumnya. Gambar L4 Ketidaktentuan statis luar adalah bersifat statis tertentu untuk ketidaktentuan statis dalam berdenyutdenyut karena 2j m = 3 yaitu 2 x 6 11 = 1. Ada dua batang yang dipenggal artinya dengan melepas 2 gaya pada rangka batang, maka struktur menjadi statis tertentu. Jenis ketidaktentuan yang lain adalah ketidaktentuan kenematis yaitu yang bertentangan dengan perpindahan titik kempul yang tidak diketahui. Pada struktur rangka titik kempul dapat berupa perteman dua batang atau lebih, titik tumpuan dan ujung bebas. Titik kumpul dapat mengalami transaksi atau rotasi. A Gambar L5 B Titik A terjepit tidak mengalami perpindahan, sedangkan titik B memiliki 2 perpindahan ber rotasi dan bergeser. ASMAT I - 5

48 Ketidaktentuan kenematis balok AB berderajat dua dan 2 perpindahan titik kempul ini harus dihitung dalam analisa balok. Apabila deformasi axial balok diabaikan, maka titik B hanya berrotasi, sehingga balok ini sebagai struktur dengan 1 derajat ketidaktentuan kenematis. D E F Gambar L6 A B C Rangka batang statis tak tentu berderajat 2 titik A, B, D dan E mempunyai dua derajat kebebasan masing-masing (translasi dalam 2 arah tegak lurus). Titik c dan f masingmasing adalah nol dan satu derajat kebebasan. Jadi rangka batang mempunyai 9 derajat kebebasan untuk translasi titik kempul dan ketidaktentuan kenematisnya berderajat 9. Untuk menentukan ketidaktentuan statis dan kenematis, maka ada aturan yang dapat dipakai seperti. I. Tentukan jumlah kelebihan gaya. Hitung jumlah pelepasan yang diperlukan agar struktur menjadi statis tertentu. II. Tentukan jumlah derajat kebebasan titik kempul. Hitung jumlah pengembangan titik kempul yang diberikan agar struktur menjadi kenematis tertentu tidak ada perpindahan titik kempul. ASMAT I - 6

49 I. 5 Stabilitas Pada pembahasan derajat kebebasan terlihat bahwa, apabila jumlah reaksi melebihi jumlah persamaan, maka struktur bersifat statis taktentu luar. Dan jika jumlah ini sama, maka struktur statis tertentu luar. Hal ini berlaku, bahwa struktur tidak akan bergerak, apabila beban diberikan pada struktur tersebut. Pada contoh balok di atas 3 tumpuan roller terdapat 3 reaksi yang sama jumlahnya dengan persamaan Gambar L7 keseimbangan statis untuk gaya perbidang. Akan tetapi jelas bahwa balok akan bergerak ke kiri apabila beban dan yang mirin g diberikan. Jenis struktur ini dikatakan bersifat tidak stabil. Gambar L8 Struktur pada gambar L8 dikatakan tidak stabil karena garis kerja gaya dan tidak melalui 3 gaya reaksi yang konkuren. Jadi selain jumlah tumpuan struktur struktur yang cukup, maka tata letaknya harus menjamin agar struktur tidak tidak dapat bergerak. I. 6. Superposisi Pada suatu struktur akan terdapat besaran aksi gaya dan perpindahan yang tertentu. Aksi dan perpindahan ini menimbulkan aksi perpindahan lainnya pada struktur. Aksi perpindahan semula merupakan penyebab, sedangkan yang terakhir adalah pengaruh. Secara umum, nahwa pengaruh yang ditimbulkan oleh sejumlah penyebab dapat diperoleh dengan menggabungkan pengaruh setiap penyebabnya. ASMAT I - 7

50 A1 A2 Mb A1 Ra Rb M b R a D R b Dari prinsip superposisi bahwa akibat aksi dan perpibndahan A1 dan A2 dapat ditinjau secara terpisah. RA = RA + RA RB = RB + MB MD = MB + MB D = D + D M b R a D R b Gambar L9 Prinsip superposisi ini hanya berlaku, apabila hubungan antara aksi dan perpindahan pada struktur b ersifat linear. Hal ini terjadi apabila syarat-syarat b erikut terpenuhi: (struktur elstis linear). 1. Bahan struktur mengikuti hokum Hooke 2. Perpindahan struktur kecil (small deflection) 3. Tidak ada interaksi antara pengaruh axial dan lentur. I. 7. Matrik Kekakuan Hubungan antara aksi dan perpindahan berperan penting dalam analisa struktur dan digunakan dalam metode kekakuan. Untuk menyatakan hubungan aksi dan perpindahan ialah dengan persamaan aksi dan perpindahan. ASMAT I - 8

51 Sebagai contoh: A D Gambar L1 Aksi A yang b ekerja pada balok me nimbulkan perpindahan D. Hubungan A dan D ini dapat dengan beban sebagai: A = S D Di mana S adalah kekakuan yang didefinisikan sebagai aksi yang dikukuhkan untuk menimbulkan perpindahan satu unit. Satuannya adalah gaya persatuan panjang. Untuk keadaan yang lebih umum : a) A1 A2 A3 b) D1 D2 D3 1 c) S31 S11 S21 d) 1 S12 S22 S32 e) S13 S23 S33 Gambar L11 1 a Dalam gambar diperlihatkan perpindahan balok yang selaras A1,A2 dan A3. Dari superposisi didapatkan : D1 = D11 + D12 + D13 D11 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A1 D12 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A2 D13 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A3 Analog untuk D2 dan D3 D11 : perpindahan yang selaras A2 diakibatkan oleh A2 dst. Persamaan aksi: A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3 A2 : S2 D1 + S22 D2 + S23 D3 A3 : S31 D1 + S32 D2 + S23 D3 ASMAT I - 9

52 Di mana: S adalah koefisien kekakuan yang menyatakan aksi akibat perpindahan satu satuan. S11 : aksi yang selaras dengan A1 bila satu satuan perpindfahan D1 diberikan sementara perpindahan yang lain = dan seterusnya. Arah setiap koefisien kekakuan yang diperlihatkan dianggap positif, apabila searah dengan aksi yang selaras. Persamaan aksi untuk struktur dengan n buah aksi adalah: A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3 A2 : S21 D1 + S22 D2 + S23 D An : Sn D1 + S31 D2 + S33 D3 Dalam balok matrik A1 S11 A 2 S21 =.... An Sn1 S12 S22.. Sn S1n D1 S2n D 2 = atau.... Snn Dn [ A] = [ S][ D] Dimana A = Matrik aksi berukuran n x 1 D = Matrik perpindahan berukuran n x 1 S = Matrik kekakuan berukuran n x n Koefisien kekakuan Sij didefibnisikan sebagai aksi ke i akibat satu satuan perpindahan ke- j sementara petrpindahan lainnya adalah nol. I. 8. Beban Ekivalent Analisa struktur mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja pada titik kempul. Sebenarnya beban yang bekerja pada struktur tidak memenuhi syarat tersebut. Agar supaya syarat terpenuhi beban pada batang harus diganti dengan beban ekivalen pada titik kem pul. Beban ekivalen ini sedemikian rupa, sehingga ASMAT I - 1

53 perpindahan struktur yang ditimbulkan sama dengan perpindahan akibat beban sebenarnya. Beban ekivalen dapat dihitung berdasarkan gaya jepit ujung. W M1 P1 P2 Titik kempul dikekang terhadap semua perpindahan, sehingga menghasilkan 2 balok terjepit (gambar L12). L L/2 L/2 1/12 WL 2 Di sini gaya ujung ditunjukkan sebagai wl/2 P1 reaksi pengekangan pada struktur PL/8 PL/8 terhekang. Jika reaksi pengekang ini.5p1.5p1 dibalik arahnya akan menjadi beban WL/2 yang ekivalen dengan beban yang bekerja pada batang. WL/2+.5P1.5P1+P2 1/12 WL 2 M1+1/12WL 2 -PL/8 Gambar L12 Beban titik kempul ini digabungkan, sehingga dapat digunakan dalam analisa struktur. I. 9. Teori Energi Pembahasan konsep energi ini terbatas pada struktur yang regan gan dan perpindahannya kecil serta energinya tidak hilang selama proses pembebanan statis. Dengan kata kain, kerja luar (external) dari beban yang diberikan secara perlahanlahan sama dengan energi yang disimpan dalam struktur. Dari teori elastis, apabila ditinjau pada elemen yang sangat kecil akan terdapat beberapa tegangan seperti pada gambar 17. ASMAT I - 11

54 σy τyx τyz τxy dx τzy σx τzx σz Gambar L13 Terdapat 3 tegangan normal (σx, σy, σz) dan 6 tegangan geser (τxy,τxz dst nya). τxy = τyx (a.) τyz = τzy τzx = τxz Jadi hanya 6 komponen tegangan yang perlu ditin jau untuk pegangan berlaku. u,v,w adalah translasi dalam arah x,y,z. Єx = du/ dx Єy = dv/ dy (b.) Єz = dw/ dz Untuk regangan geser γxy = γyx = Əu/Əy + Əv/Əx γyz = γzy = Əv/Əz + Əw/Əy γzx = γxz = Əw/Əx + Əu/Əz (c.) σ = σ1 σx σ 2 σy σ 3 σz = σ 4 σxy σ 5 σyx σ 6 σzx ε = ε1 ε 2 ε3 ε 4 ε 5 ε 6 = εx εy εz εxy εyz εzx (d.) Tegangan dan regangan pada sembarang titik untuk benda 3 dimensi Dari diagram tegangan regangan untuk bahan linear. Energi regangan didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari tegangan selama pertambahan regangan untuk pegangan total dan seluruh volume. n5 U = 1 t 2 ε iσi.. dv = 1/ 2. σ ε. dv i = 1 V ASMAT I - 12

55 Dimana : σ t transpose matirk kolom n s jumlah komponen regangan ε U Energi regangan σi dσ dє Єi gambar L14 Energi regangan komplementer didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari regangan pertambahan tegangan untuk tegangan total dan seluruh volume. n5 U* = 1 t 2 ε iσi.. dv = 1/ 2. ε σ. dv i = 1 Dimana : ε t transpose matirk kolom ε Untuk kerja beban dapat dirumuskan sama seperti energi regangan. V dp Pj dδ Δj Gambar L15 W = 2 1 W* = 2 1 n5 j = 1 Pj. Δj. dv n5 j = 1 Pj. Δj. dv = 1/2 A t D = 1/2 D t A Dari prinsip kekuatan energi, bahwa kerja beban W = energi pegangan U yang disimpan dalam struktur, sehingga: U = W = ½ D T S.D ASMAT I - 13

56 Teori costigliano I menyatakan bahwa jika energi regangan benda elastis diunyatakan sebagai fungsi (himpunan) perpindahan, maka turunan parsial pertama fungsi ini terhadap perpindahan sama dengan gaya aksi yang selaras. n U = Sjk Dk = Aj ( j = 1, 2,..n ) Dj k 1 Persamaan ini menyatakan n (himpunan) syarat keseimbangan. Apab ila persamaan ini diturunkan terhadap D k, maka akan diperoleh suku kekakuan umum Sjk σu sebagai: σdj U = Dj Dk Aj = Sjk j = 1, 2, n Dk k = 1, 2,. N Hubungan timbal balik (teorema Maxwell), jika untuk differensial dibalik, maka hasilnya harus sama, sehingga: Sjk = Skj Oleh karena itu semua pasangan kekakuan silang sama besar, sehingga matrik S adalah simetris atau identik transposenya. S = S T 1.1. Rangkuman Bandungkan jenis2 struktur rangka seperti Rangka Batang, Balok ataupun Portal. Perbedaan terletak pada gaya dalam dan deformasi Dasar2 analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan, derajat kebebasan, derajat ketidak tentuan statis atau kinematis, stabilitas, Superposisi, Kekakuan, beban ekivalent dan teori energi. ASMAT I - 14

57 LAMPIRAN II PERINTAH UNTUK CALCULATOR CFX 985GB Matrix calculations 26 matrix memories (Mat A Through Mat Z) plus a matrix answer memory (MatAns), make it possible to perform the following matrix operations. Addition, subtraction, multiplication Scalar multiplication calculations Determinant calculations Matrix transposition Matrix inversion Matrix squaring Raising a matrix to a specific power Absolute value, integer part extraction, fractional part extraction, maximum integer calculations Matrix modification using matrix commands LII-1 before performing matrix calculations LII-2 matrix cell operations LII-3 modifying matrices using matrix commands LII-4 matrix calculations ASMAT I - 15

58 LII-1 Before Performing Matrix Calaulations In the Main Menu, select the MAT icon to enter the Matrix Mode and display its initial screen. {DEL}/{DEL.A} deletes {a specific matrix}/{all matrices} The maximum number of rows that can be specifies for a matrix is 255, and the maximum number of columns is 255. About Matrix Answer Memory (MatAns) The calculator automatically stores matrix Answer Memory. Note the following points about Matrix Answer Memory. Whenever you perform a matrix calculation, the current Matrix Answer Memory contents are replaced by the new result. The previous contents are deleted and cannot be recovered. Inputting values into a matrix does not affect Matrix Answer Memory contents. Creating a Matrix To create a matrix, you must first define its dimensions (size) in the MATRIX list. Then you can input values into the matrix to specify the dimensions of a matrix ASMAT I - 16

59 Example : To create a 2-row x 3-column matrix in the area named Mat B Highlight Mat B. All of the cells of a new matrix contain the value. All Mem ERROR remains next to the matrix area name after you input the dimensions, it means there is not enough free memory to create the matrix you want. ASMAT I - 17