BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA

Transkripsi

1 .1 Pendahuluan BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA Gejala-gejala alam dan akibat atau faktor yang ditimbulkannya dapat diukur atau dinyatakan dengan dua kategori yaitu fakta atau data yang bersifat kuantitatif dan fakta atau data yang bersifat kualitatif. Dalam pembicaraan ini akan diuraikan masalah regresi dan korelasi, sebagai pengukur hubungan antara dua variabel atau lebih. Dalam pembicaraan regresi dan korelasi data yang dianalisis harus bersifat kuantitatif atau terukur atau terhitung atau dapat dikuantitatifkan; jadi sekurang-kurangnya data dengan skala interval. Data kuantitatif dapat dibedakan atas dua macam yaitu: Data atau pernyataan yang bersifat bebas adalah pernyataan yang ditentukan dengan mana suka atau bebas pilih. Pernyataan ini sering disebut dengan variabel bebas atau variabel bebas atau variabel atau prediktor atau independent variable. Data atau pernyataan yang tergantung atau terikat pada variabel bebas disebut dengan variabel tak bebas atau variabel tergantung atau variabel tak bebas atau variabel endogen atau kreterium atau dependent variable. Apakah perlunya mempelajari regresi dan korelasi?. Tujuan mempelajari regresi dan korelasi adalah untuk menemukan atau mencari hubungan antarvariabel, sebagai dasar untuk dapat dipakai melakukan penaksiran atau peramalan atau estimasi dari hubungan antarvariabel tersebut.. Pengertian Regresi dan Korelasi Telah dinyatakan dimuka bahwa regresi atau korelasi adalah metode yang dipakai untuk mengukur hubungan antara dua variabel atau lebih. Kedua metode regresi maupun korelasi sama-sama dipakai untuk mengukur derajat hubungan antarvariabel yang bersifat korelasional atau bersifat keterpautan atau ketergantungan. Penggunaan regresi adalah sebagai pengukur bentuk hubungan, dan korelasi adalah sebagai pengukur keeratan hubungan antarvariabel. Kedua cara pengukur hubungan tersebut mempunyai cara perhitungan dan syarat penggunaannya masing-masing. Penjelasan mengenai perbedaan antara regresi dan korelasi dalam pemakaiannya atau penerapannya terletak pada: 1. Regresi adalah pengukur hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dengan bentuk hubungan atau fungsi. Untuk menentukan bentuk hubungan (regresi) diperlukan pemisahan yang tegas antara variabel bebas yang sering diberi simbul X dan variabel tak bebas dengan simbul Y. Pada regresi harus ada variabel yang ditentukan dan variabel yang menentukan atau dengan kata lain adanya ketergantungan variabel yang satu dengan variabel yang lainnya dan sebaliknya. Kedua variabel biasanya bersifat kausal atau mempunyai hubungan sebab akibat yaitu saling berpengaruh. Sehingga dengan demikian, regresi merupakan bentuk fungsi tertentu antara variabel tak bebas Y dengan variabel bebas X atau dapat dinyatakan bahwa regresi adalah sebagai suatu fungsi Y = f(x). Bentuk regresi tergantung pada fungsi yang menunjangnya atau tergantung pada persamaannya.. Korelasi adalah pengukur hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dengan derajat keeratan atau tingkat hubungan antarvariabel-variabel. Mengukur derajat hubungan dengan metode korelasi yaitu dengan koefisien korelasi r. Dalam hal ini, dengan tegas dinyatakan bahwa dalam analisis korelasi tidak mempersoalkan apakah variabel yang satu tergantung pada variabel yang lain atau sebaliknya. Jadi metode korelasi dapat dipakai untuk mengukur derajat hubungn antarvariabel bebas dengan variabel bebas yang lainnya atau antar fua variabel. 7

2 Perlu ditekankan bahwa penggunaan metode korelasi untuk mengukur hubungan antarvariabel yang satu dengan variabel yang lain, hendaknya anrata variabel itu diharapkan mempunyai kaitan atau relevansi. Jangan sekali-sekali menghubungkan atau mengkorelasikan variabel-variabel yang sangat jauh atau mustahil atau relevansinya sangat kecil. Beberapa contoh penggunaan korelasi dan regresi seperti di bawah ini. 1). Banyaknya anakan dengan produksi padi. ). Kepadatan penduduk dengan upah buruh harian. 3). Berat induk sapi dengan berat anak yang baru dilahirkan. 4). Nilai yang diperoleh pada mata ajaran statistika dengan matematika. 5). Umur dengan berat badan anak balita. 6). Kadar air pada biji dan volume biji. 7). Luas daun dengan panjang akar. 8). Besar buah dengan besar biji. 9). Biaya advertensi dengan jumlah penjualan. 10). Fluktuasi temperatur dengan jumlah anak-anak yang sakit pilek. Selain contoh di atas, masih banyak lagi contoh yang lain yang serupa. Dari contohcontoh di atas dapat dilakukan pendekatan yang sesuai seperti: analisis regresi dapat dipakai pada contoh-contoh nomer: 1; ; 3; 5; dan 9. Sedangkan, analisis korelasi dapat dipakai pada semua contoh di atas..3 Macam-macam Regresi Telah disebutkan di muka bahwa regresi adalah bentuk hubungan antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y, yang dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis Y = f(x). Sehingga persamaan regresi atau bentuk fungsi, sesuai dengan variabel bebas X yang menyusunnya. Dengan demikian bentuk fungsi atau regresi dapat digolongkan menjadi beberapa macam yaitu:.3.1 Regresi linier. Regresi linier ialah bentuk hubungan di mana variabel bebas X maupun variabel tergantung Y sebagai faktor yang berpangkat satu. Regresi linier ini dibedakan menjadi: 1). Regresi linier sederhana dengan bentuk fungsi: Y = a + bx + e, ). Regresi linier berganda dengan bentuk fungsi: Y = b 0 + b 1 X b p X p + e Dari kedua fungsi di atas 1) dan ); masing-masing berbentuk garis lurus (linier sederhana) dan bidang datar (linier berganda)..3. Regresi non linier. Regresi non linier ialah bentuk hubungan atau fungsi di mana variabel bebas X dan atau variabel tak bebas Y dapat berfungsi sebagai faktor atau variabel dengan pangkat tertentu. Selain itu, variabel bebas X dan atau variabel tak bebas Y dapat berfungsi sebagai penyebut (fungsi pecahan), maupun variabel X dan atau variabel Y dapat berfungsi sebagai pangkat fungsi eksponen = fungsi perpangkatan. 8

3 Regresi non linier dapat dibedakan menjadi: 1). Regresi polinomial ialah regresi dengan sebuah variabel bebas sebagai faktor dengan pangkat terurut. Bentuk-bentuk fungsinya adalah sebagai berikut. Y = a + bx + cx Y = a + bx + cx + bx 3 (fungsi kuadratik). Y = a + bx + cx + dx 3 + ex 4 (fungsi kubik) Y = a + bx + cx + dx 3 + ex 4 + fx 5 (fungsi kuartik), (fungsi kuinik), dan seterusnya. Selain bentuk fungsi di atas, ada suatu bentuk lain dari fungsi kuadratik, yaitu dengan persamaan: Y = a + bx + c X. bentuk ini dapat ditulis menjadi: Y = a + bx + cx (1/), Sehingga, modifikasi dari fungsi kubik adalah: Y = a + bx + cx (1/) + dx (3/), atau Y = a + b X + cx + d X 3. Dari contoh-contoh tersebut di atas perhatikan pangkat dari variabel bebas X. ). Regresi hiperbola (fungsi resiprokal). Pada regresi hiperbola, di mana variabel bebas X atau variabel tak bebas Y, dapat berfungsi sebagai penyebut sehingga regresi ini disebut regresi dengan fungsi pecahan atau fungsi resiprok. Regresi ini mempunyai bentuk fungsi seperti: 1/Y = a + bx atau Y = a + b/x. Selain itu, ada bentuk campuran seperti: 1/Y = a + bx + cx, dan masih banyak lagi bentuk-bentuk lainnya. 3). Regresi fungsi perpangkatan atau geometrik. Pada regresi ini mempunyai bentuk fungsi yang berbeda dengan fungsi polinomial maupun fungsi eksponensial. Regresi ini mempunyai bentuk fungsi: Y = a + b X. 4). Regresi eksponensial. Regresi eksponensial ialah regresi di mana variabel bebas X berfungsi sebagai pangkat atau eksponen. Bentuk fungsi regresi ini dalah: Y = a e bx atau Y = a 10 bx. Modifikasi dari bentuk di atas adalah: 1/Y = a + be cx, ini disebut kurva logistik atau "tipe umum dari model pertumbuhan". Modifikasinya juga seperti : Y = e (a + b/x), disebut dengan transformasi logaritmik resiprokal, yang umum disebut dengan model Gompertz. 9

4 5). Regresi logaritmik. Bentuk fungsi dari regresi adalah: di mana variabel bebas Y berfungsi sebagai pangkat (eksponen) dan variabel bebas X mempunyai bentuk perpangkatan. Model regresi ini adalah: e Y = a + b X atau dapat di tulis menjadi: Y = ln a + b ln X (merupakan trasformasi lilier) 6). Regresi fungsi geometri. Bentuk dari fungsi ini adalah berupa bentuk regresi linier berganda di mana dalam fungsi ini terdapat fungsi trigonometri. Bentuk yang paling sederhana dari fungsi ini adalah: Y = a + b sin dx + c cos dx. Bentuk fungsi ini disebut kurva Faurier. Selain itu, ada lagi bentuk-bentuk yang lebih kompleks seperti: Y = a + b sin X + c cos X + d sin X + e cos X + ; dan seterusnya..4 K o r e l a s i Pembicaraan mengenai keeratan hubungan atau korelasi yang diukur dengan tingkat atau derajat keeratan hubungan. Tingkat atau derajat keeratan hubungan dapat diukur dengan memakai, koefisien korelasi dengan simbul r untuk bubungan linier sederhana dan indeks korelasi dengan simbul R untuk hubungan bukan linier sederhana. Koefisien korelasi r dipakai hanya untuk menyatakan keeratan hubungan yang bersifat linier sederhana, sedangkan indeks korelasi R untuk menyatakan keeratan hubungan dari bentuk-bentuk linier berganda dan bentuk non linier. Indeks korelasi R sering disebut juga koefisien korelasi berganda. Selain koefisien korelasi sederhana r, dan indeks korelasi R, terdapat juga modifikasi atau fraksi dari R, yang disebut dengan koefisien korelasi parsiil, korelasi rank, korelasi serial, dan korelasi biserial, korelasi kotingensi, dan korelasi kanonikal. Apabila r dan R, jika dikuadratkan akan memberikan suatu nilai tertentu yaitu r atau R yang kadang-kadang nilai r atau R keduanya diberi simbul yang sama yaitu R atau D. Kedua nilai D atau R disebut koefisien determinasi atau koefisien penentu atau indeks penentu. Selanjutnya, mengenai korelasi dan modifikasinya akan dibicarakan tersendiri setelah pembicaraan regresi. Perlu ditekankan lebih luas bahwa hubungan dapat dibuat regresinya, demikian pula, tidak semua variabel atau gejala-gejala alam dapat dicari korelasinya. Oleh karena itu, agar lebih berhati-hati dalam menggunakan alat statistika ini di dalam penarikan kesimpulan, lebih-lebih membuat suatu keputusan yang lebih jauh. Akan tetapi, yang jelas bahwa kedua alat ukur tersebut di atas dapat memberikan sumbangan atau pandangan yang lebih jauh terhadap masalah yang dihadapi, karena terutama analisis regresi mempunyai daya ramal atau daya taksir yang menyakinkan apabila diuji dengan taraf nyata yang peka atau jitu. Dan inilah yang merupakan tujuan pembicaraan yang pokok pada analisis regresi dan korelasi selanjutnya..5 Regresi Linier Sederhana Telah dijelaskan di muka bahwa regresi adalah membicarakan bentuk hubungan atau fungsi antara dua variabel atau lebih. Perlu ditekankan bahwa dalam bentuk hubungan tersebut terdapat sebuah variabel tak bebas Y, dengan sekurang-kurangnya sebuah variabel bebas X. Untuk mendapatkan bentuk hubungan yang sesuai antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y maka kedua variabel tersebut harus dinyatakan dalam nilai yang terukur atau kuantitatif sekurang-kurangnya dengan skala interval. 10

5 Dari variabel-variabel yang akan dicari bentuk hubungannya terlebih dahulu hendaknya dijelaskan mana yang sebagai variabel bebas X dan mana yang sebagai variabel tak bebas Y. Dalam hal-hal tertentu, penentuan variabel bebas X dan variabel tak bebas Y sangat mudah, tetapi kadang-kadang hal tersebut sangat sulit ditelusuri antara yang mana variabel bebas X maupun yang mana variabel tak bebas Y. Apabila hubungan antara dua variabel atau lebih bersifat kausal atau hubungan sebab-akibat, maka variabel yang sebagai sebab merupakan variabel bebas atau variabel X dan akibat yang ditimbulkannya menjadi variabel tak bebas atau variabel Y. Setelah jelas mana variabel X dan variabel Y, maka selanjutnya perlu menentukan pola hubungan atau bentuk hubungan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsionalnya. Sehingga segala analisis statistika yang berkaitan dengan hal tersebut dinamakan dengan analisis regresi. Apakah beda antara analisis regresi dengan analisis-analisis yang lain? Sebagai contoh apa perbedaan antara analisis regresi dengan analisis keragaman atau analisis varians, perbedaan tersebut terletak pada yaitu: dalam analisis keragaman tidak mencari bentuk hubungan antara variabel-variabel seperti pada analisis regresi, melainkan mencari perbedaan pengaruh perlakuan atau objek, yaitu perbedaan antara variabel bebas X atau variabel yang dipelajari; dengan mengukur respon dari perlakuan atau variabel X yang dinyatakan dengan variabel tak bebas Y yang sering disebut hasil atau akibat perlakuan. Tujuan utama dari analisis regresi adalah untuk memberikan dasar-dasar peramalan atau pendugaan dalam analisis peragam atau analisis kovarian. Analisis regresi sebagai alat untuk melakukan peramalan atau prediksi atau estimasi atau pendugaan yang sangat berguna bagi para pembuat keputusan. Biasanya variabel tak bebas Y adalah variabel yang diramalkan dan variabel bebas X yang telah ditetapkan sebagai peramal yang disebut prediktor. Untuk membuat ramalan antara variabel X dengan variabel Y, maka variabel X dan variabel Y tersebut harus mempunyai hubungan yang kuat. Kuat tidaknya hubungan antara variabel bebas X dan variabel tak bebas Y didasarkan pada analisis korelasi. Jadi antara analisis korelasi dan analisis regresi mempunyai kaitan yang sangat erat (akan dibicarakan di belakang)..5.1 Persamaan regresi linier sederhana Bentuk hubungan yang paling sederhana antara variabel X dengan variabel Y adalah berbentuk garis lurus atau berbentuk hubungan linier yang disebut dengan regresi linier sederhana atau sering disebut regresi linier saja dengan persamaan matematikanya adalah sebagai berikut: [.1]. Y = A + BX Apabila A dan B mengambil nilai seperti: A = 0 dan B = 1,persamaan [.1] akan menjadi: [.]. Y = X Persamaan [.] adalah suatu bentuk persamaan yang paling sederhana dari regresi linier sederhana. Dari persamaan [.1] A dan B disebut konstanta atau koefisien regresi linier sederhana atau parameter garis regresi linier sederhana. A disebut intercept coefficient atau intersep yaitu jarak titik asal atau titik acuan dengan titik potong garis regresi dengan sumbu Y; dan B disebut slope coefficient atau slup yang menyatakan atau menunjukkan kemiringan atau kecondongan garis regresi terhadap sumbu X. Dari persamaan garis regresi [.1] di atas, dalam hubungan tersebut terdapat satu variabel bebas X dan satu variabel tak bebas Y. Sebagai ilustrasi hubungan antara variabel bebas X dan variabel tak bebas Y diberikan contoh dari persamaan [.1] yaitu pengaruh tingkat pendapatan dengan konsumsi makanan bagi petani pedesaan, seperti pada Tabel.1 berikut ini. 11

6 Tabel.1. Pengaruh Tingkat Pendapatan terhadap Konsumsi Makanan Bagi Petani No. Pendapatan Konsumsi Dari gambar contoh di bawah menunjukkan semakin tinggi pendapatan sampai Rp maka komsumsi makanan semakin meningkat. Sehingga dari pasanganpasangan nilai X,Y tersebut dapat dicari bentuk hubungan atau garis regresi antara variabel bebas Y atas variabel tak bebas X yang dtulis dengan Y/X. Dari Tabel.1 di atas dapat dibuat garis regresi liniernya seperti Gambar.1 berikut: Konsumsi (Y) A B Pendapatan (X) Gambar.1. Model Linier Garis Regresi.5. Garis regresi linier sederhana Sekarang bagaimana caranya membuat persamaan garis regresi linier sederhana seperti Gambar.1 di atas, yang mempunyai bentuk persamaan matematis: Y = A + BX seperti pada persamaan [.1]. Penentuan garis regresi antara variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y, sering disebut regresi Y atas X ditulis dengan Y/x, yang mempunyai pengertian bahwa: setiap variabel bebas X akan memberikan atau menghasilkan suatu nilai variabel tak bebas Y yang tertentu; sehingga antara variabel X dan variabel Y yang tertentu akan menjadi pasangan-pasangan tetap disebut dengan pasangan nilai X,Y. Setiap pasangan nilai X,Y merupakan hubungan sebab (X) dan akibat (Y). Sejumlah pasangan antara nilai X,Y inilah yang akan menentukan persamaan regresi yang dibuat sesuai dengan asumsi atau model yang digunakan. Bagaimana persamaan regresi akan ditentukan jika hasil pengamatan atau yang berupa pasangan-pasangan nilai pengamatan antara X,Y telah didapatkan. 1

7 .5.3 Penetuan garis regresi linier sederhana Untuk menentukan garis regresi berdasarkan pasangan-pasangan nilai X,Y diberikan dua metode yang umum yaitu: 1). Metode tangan bebas. Metode tangan bebas merupakan suatu metode yang berdasarkan kira-kira dari diagram titik atau diagram pencar atau scatter diagram yang diperoleh dari hasil pengamatan antara variabel X dan variabel Y. Diagram pencar didapatkan dengan menggambar titik-titik pasangan pengamatan antara X dan Y atau X,Y pada suatu sistem salib sumbu atau sistem koordinat. Dengan memperhatikan letak titik-titik pasangan pada absis X dan ordinat Y, maka kumpulan titik-titik tersebut dapat memberi petunjuk untuk memperkirakan garis regresi yang akan dibuat. Metode ini hanya dapat dilakukan oleh seorang ahli dan berpengalaman seperti pada Gambar.. ). Pendekatan matematis dengan metode kuadrat terkecil atau least squares method atau sering disebut dengan metode ordinary list squares (OLS). Bahwa suatu garis regresi yang akan didapat dan akan mendekati titik-titik pasangan X,Y. Tentu saja atau pada umumnya tidak dapat ditarik atau digambarkan suatu garis regresi yang sederhana, yang dapat melalui semua titik-titik pasangan X,Y. Jika pencaran atau sebaran titik pasangan X,Y tersebut disekitar garis lurus, maka cukup beralasan untuk menduganya dengan persamaan regresi linier sederhana atau regresi garis lurus. Dilain pihak, jika sebaran titik-titik pasangan X,Y tersebut bukan linier, tetapi melengkung atau non linier yang paling menghampiri. Untuk hal tersebut dan menentukan analisis dan gambarnya dapat dilihat bentuk-bentuk hubungan pada bukubuku matematika. Bentuk mana yang paling sesuai atau paling dihampiri oleh titik-titik pasangan tersebut. Untuk pendekatan linier atau regresi linier sederhana, perhatikan diagram pencar berikut yang berasal dari Tabel.1 di muka antara tingkat pendapatan (X) dengan konsumsi (Y) diambil sebagaian saja seperti pada Tabel.. Tabel.. Pengaruh Tingkat Pendapatan terhadap Konsumsi Makanan Bagi Petani No. Pendapatan Konsumsi Sehingga garis regresi linier yang dapat dibuat dari Tabel. seperti pada Gambar. berikut. Garis regresi yang melalui dua buah titik pengamatan P dan Q, di mana kedudukan kedua titik tersebut adalah bebas atau sembarang pada garis regresi yang melewati. Maka dapat dibuat persamaannya dengan menggunakan dua buah titik. Dasar teori, melalui dua buah titik dapat dibuat sebuah garis lurus yaitu PQ yang akan dicari persamaannya. Perhatikan sudut β yang sisi-sisi siku-sikunya adalah Y = Y - Y 1 dan X = X - X 1 sehingga tangen sudut β = Y/ X, maka persamaan garis PQ menjadi: Y = A + β X. Dari persamaan tersebut dengan penyelesaian matematika sehingga akan didapatkan bentuk persamaan liniernya seperti persamaan [.1]. 13

8 15 Konsunsi P X = X - X 1 β Q Y = Y -Y 1 Y 5 A Y X X 160 Pendapatan Gambar.. Perhitungan β = Y/ X Secara Sederhana.6 Pendekatan Matematis Regresi Linier Sederhana Adalah tidak mungkin untuk memperkirakan bentuk hubungan antara dua variabel atau lebih tanpa diawali dengan membuat asumsi terlebih dahulu. Dalam beberapa hal dimungkinkan untuk mengecek atau menguji asumsi atau hipotesis setelah bentuk hubungan itu diperkirakan. Suatu bentuk hubungan atau fungsi linier atau regresi linier di samping mudah interprestasinya, juga dapat dipergunakan sebagai pendekatan bentuk hubungan yang bukan linier (non linier) menjadi bentuk linier. Fungsi linier sama dengan persamaan linier atau model linier atau regresi linier yang mempunyai bentuk hubungan atau bentuk fungsi: Y = A + BX. Seperti pada persamaan [.1] A dan B adalah konstanta, yaitu parameter yang digunakan. A ialah: jarak titik acuan (0, 0) dengan perpotongan antara sumbu tegak Y dengan garis linier atau besarnya nilai variabel Y, apabila nilai X = 0. A sering disebut intersep atau intercept coefficient dan B ialah: koefisien arah adalah koefisien garis regresi yang sama dengan tangen arah yang menunjukkan besarnya pengaruh perubahan X terhadap perubah Y yaitu apabila variabel X naik atau turun atau berubah satu unit satuan X, maka variabel Y bertambah atau menurun atau berubah sebanyak B kali. B sering disebut kemiringan atau kecondongan garis regresi atau slope atau slope coefficient adalah tangen sudut yang dibuat oleh garis regresi dengan sumbu X. Perhatika Gambar.3 di bawah ini, yang menunjukkan garis-garis regresi linier dari beberapa pengamatan. Oleh karena dalam pembicaraan ini hendak berusaha mencari cara untuk menentukan persamaan garis regresi linier sederhana yang baik atau yang terbaik. Untuk itu haruslah terlebih dahulu mengetahui apa yang dimaksud dengan garis regresi yang baik. Suatu pertanyaan yang berhubungan dengan hal tersebut di atas adalah: "Kapankah suatu garis regresi dapat dikatakan sebagai garis regresi yang baik?". Dengan demikian kembali ke Gambar.3 di atas yang manakah dari ketiga garis tersebut termasuk garis regresi yang terbaik, yang dipakai untuk menghampiri titik-titik P, Q dan R. Apabila ada garis tertentu selain ketiga garis Y PQ, Y PR, dan Y QR yang merupakan garis regresi terbaik sebagai penghampir titik-titik pasangan pengamatan X i,y i sebagai garis regresi tersebut. 14

9 R 100 Konsunsi Q Ŷ = α + β X 5 P Pendapatan Gambar.3. Penggambaran Regresi Penduga Ŷ = α + β X Sebuah garis dikatakan sebagai garis regresi terbaik yang disebut dengan garis regresi penduga diberi simbul dengan: Ŷ (dibaca Y topi atau Y cup atau Y penduga). Sehingga garis regresi linier sederhana dengan persamaan penduga menjadi : [.3a]. Ŷ = α + β X atau ditulis dengan [.3b]. Ŷ = β 0 + β 1 X atau untuk populasi [.3c]. Ŷ = β 1 + β X [.4a]. Ŷ = a + b X atau ditulis dengan [.4b]. Ŷ = b 0 + b 1 X atau untuk sampel [.4c]. Ŷ = b 1 + b X Suatu hal yang harus dipahami bahwa dalam pendugaan garis regresi, besarnya nilai variabel tak bebas Y, tidak hanya tergantung pada variabel bebas X saja, tetapi ada faktor-faktor lain yang ikut mempengaruhi. Faktor-faktor tersebut secara keseluruhan dinamakan kesalahan pengganggu (disturbance error) yang diberi simbul dengan e. Kadang-kadang nilai e diartikan faktor-faktor tertentu yang belum diketahui penyebabnya atau faktor-faktor yang belum dijelaskan. Faktor-faktor tersebut yang dapat terdiri atas: salah hitung, salah catat, salah ukur, alat kurang sempurna, dan nilai-nilai kebetulan, serta banyak lagi nilai-nilai yang lainnya. Kesalahan pengganggu e tersebut menyebabkan ramalan menjadi kurang tepat terhadap garis regresi penduga seperti: [.5]. Ŷ = A + BX untuk populasi Jadi kesalahan e tersebut dapat mengakibatkan adanya resiko. Oleh karena itu, resiko tersebut hendaknya dibuat sekecil-kecilnya atau minimal. Untuk melakukan dugaan atau membuat keputusan selalu ada resiko walaupun betapa kecilnya. 15

10 Karena dalam suatu pendugaan nilai A dan B tidak dapat dihitung (belum diketahui nilainya), biasanya ditaksir dengan nilai a dan b atau dengan nilai b 0 dan b 1 ; sehingga garis regresi linier penduga mempunyai bentuk persamaan: [.6]. Ŷ = b 0 + b 1 X untuk sampel Jadi a dan b atau b 0 dan b 1 sebagai penaksir A dan B. Hubungan antara nilai kesalahan e, dengan nilai penduga Ŷ dan dengan nilai pengamatan Y i dapat ditulis: [.7a]. Ŷ = b 0 + b 1 X dan Yi = Ŷ + e [.7b]. e = Y i - Ŷ atau Untuk sejumlah n pasangan pengamatan, maka penulisannya menjadi seperti: [.8]. e i = Y i - (b 0 + b 1 X) Nilai e sebagai penduga nilai kesalahan E adalah kesalahan penggangu populasi dan e adalah kesalahan penganggu sampel. Nilai e dapat berharga positif bila nilai pengamatan Y i berada di atas garis penduga Ŷ; dapat berharga negatif bila nilai pengamatan Y i berada di bawah garis penduga Ŷ; dan dapat pula berharga nol bila nilai pengamatan Y i berada tepat pada garis penduga Ŷ. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar.3 dengan menggambar scatter diagram dengan Ŷ, Y i, dan e i (+) e 3 Konsumsi Ŷ e (-) 5 e 1 ( Pendapatan Y Gambar.3. Nilai Penduga Ŷ, Nilai Pengamatan Y i, dan Nilai Kesalahan Penganggu e i 16

11 .7 Pendekatan Garis Penduga Terbaik Ada beberapa cara pendekatan matematika untuk mendapatkan garis regresi penduga yang terbaik seperti: 1. Garis penduga menjadi garis regresi terbaik apabila jumlah semua kesalahan adalah minimal ditulis dengan: e i = minimal atau ( Y i - Ŷ) = minimal. Sesuai dengan teori aljabar maka akibatnya e i sama dengan nol (minimal), sebab nilai negatif mengkompen nilai positif, seperti yang ditunjukkan pada Gambar.4.. Garis penduga merupakan garis regresi yang terbaik, apabila jumlah harga mutlak dari nilai kesalahan atau e adalah minimal. Cara ini lebih baik dari cara pertama sebab tidak ada saling kompensasi antara nilai e i yang negatif dengan positif. 3. Garis penduga merupakan garis regresi yang terbaik, apabila jumlah pangkat dua (kuadrat) nilai kesalahan-kesalahan (e i ) adalah minimal atau ditulis dengan rumus: e i = 0. Cara pendekatan terakhir disebut dengan Metode Kuadrat Terkecil atau dengan Least Squares Methods. Sampai sekarang metode kuadrat terkecil ini adalah suatu metode yang paling ampuh pada perhitungan untuk menduga suatu garis regresi yang terbaik dibandingkan dengan metode-metode yang lainnya. Mengapa metode kuadrat terkecil, disebut metode yang terbaik bagi penduga garis regresi linier sederhana?. Di antaranya terdapat suatu teorema dari Gauss Markov yang berbunyi sebagai berikut: Di antara penaksir-penaksir linier tak bias bagi parameter-parameter A dan B, di mana Y = A + BX + E, penaksir pangkat dua terkecil (metode kuadrat terkecil) yang mempunyai ragam paling kecil..7.. Metode kuadrat terkecil (OLS = ordinary least squares) Selain, hal-hal tersebut di atas, metode kuadrat terkecil mempunyai beberapa kelebihan daripada metode-metode lain, diantaranya: 1). Dengan memakai nilai kuadrat, maka semua nilaidari kesalahan atau simpangan e i akan berubah menjadi positif. ). Dengan mengkuadratkan nilai kesalahan e i yang kecil (pecahan) maka akan diperkecil mendekati nol, dan bila nilai ini diminiumkan; sehingga garis regresi penduga yang dihasilkan akan mendekati ketepatannya, bila digunakan sebagai garis penduga. 3). Perhitungan matematis dari metode kuadrat terkecil cukup sederhana. 4). Selain teori kuadrat terkecil, ada suatu teori Maximum Like Lihood Estimation yang kedua-duanya membuktikan bahwa meminimalkan kesalahan e i merupakan estimasi atau penaksiran yang terbaik. Suatu syarat penaksir garis atau garis penduga yang terbaik, di samping mempunyai nilai ragam galat atau ragam kesalahan atau ragam residu atau ragam sisa yang terkecil, tetapi harus memenuhi juga syarat-syarat yang lain yaitu: 1). Model regresi atau bentuk fungsi yang dipakai haruslah mendekati titik-titik pasangan X,Y; dan harus betul-betul tepat atau cocok; hal ini akan dibicarakan pada uji kecocokan garis regresi penduga. ). Mempunyai derajad keeratan hubungan yang maksimum atau koefisien korelasi tertinggi, yang menunjukkan hubungan antara variabel bebas X dan variabel tak bebas Y. Hal ini akan dibahas dalam penggunaan koefisien korelasi dalam uji garis regresi. 17

12 Manipulasi matematis dari metode kuadrat terkecil akan menghasilkan koefisien a dan b. Perhatikan pertanyaan matematis dari persamaan [.7b] yang ditulis kembali seperti: [.9]. e i = Y i - Ŷ Persamaan [.9] di atas merupakan modifikasi dari persamaan-persamaan [.7a], [.7b], atau [.8]. Pernyataan matematis di atas dapat dijabarkan menjadi: Ŷ = b 0 + b 1 X dan Y = Ŷ + e sehingga e i = Y i - Ŷ dapat ditulis: [.10]. Y i = b 0i + b 1i X i + e i Telah disebutkan di muka, bahwa garis regresi penduga terbaik, adalah garis regresi yang mempunyai nilai Σe i minimal. Secara matematis Σe i minimal dapat dinyatakan dengan teori defrensial bahwa turunan pertama dari: Σe i terhadap b 0 dan terhadap b 1 haruslah sama dengan nol atau dapat ditulis: δσe i / δb i = 0. Untuk memudahkan cara penulisan selanjutnya Σe i disamakan dengan G, jadi G = Σe i. Sehingga fungsi turunan Σe atau G terhadap setiap nilai b 0, dan b 1 adalah sebagai berikut: Dari teori minimum dan maksimum atau harga ekstrim dalam teori kalkulus (defrensial & integral) dapat dinyatakan bahwa suatu fungsi f(x 1, X,..., X p ) akan minimum jika, semua fungsi turunan pertama parsialnya (δy/δx) sama dengan nol; suatu syarat yang perlu dan khusus. Oleh karena itu, dengan mengandaikan syarat kedua minimalasasi itu telah terpenuhi, maka nilai G akan minimum jika semua fungsi turunan pertama parsiilnya, yaitu turunan pertama parsiil dari G terhadap masing-masing nilai b 0 dan b 1 sama dengan nol. Dengan mengambil fungsi turunan pertama parsiil G terhadap b 0 dan b 1 serta menyamakannya dengan nol, maka diperoleh dua persamaan seperti di bawah ini. Turunan Σe i atau G terhadap b 0 menjadi: Dari persamaan [.11] turunannya menjadi: δg/δb 0 = Σ(Y i - b 0 - b 1 X i ) (- 1) = 0 Turunan Σe i atau G terhadap b 1 menjadi: Dari persamaan [.1] turunannya menjadi: δg/δb 1 = Σ(Y i - b 0 - b 1 X i (- X i ) = 0 Perhatikan faktor pengali yang berada dimuka tanda sama dengan (=). Apabila dari persamaan-persamaan [.11] dan [.1] diselesaikan dan diubah cara penyajiannya, maka diperoleh persamaan-persamaan seperti: [.13]. ΣY i - Σb 0 - b 1 ΣX i = 0 [.14]. ΣY i X i - b 0 ΣX i - b 1 ΣX i = 0 Persamaan-persamaan [.13] dan [.14] di atas disebut dengan persamaan normal. Persamaan (.13) disebut dengan persamaan Normal 1. Persamaan (.14) disebut dengan persamaan Normal. Perhatikan pengali dari setiap penaksir-penaksir yang berhubungan koefisien regresi seperti b 0 dan b 1 Apabila syarat-syarat dalam meminimalkan G dipenuhi, maka sistem persamaan normal dari [.13] dan [.14] dapat diselesaikan secara serentak untuk menentukan besarnya nilai b 0 dan b 1 sebagai penaksir pangkat dua terkecil atau Least Squares Method bagi parameter B 0 dan B 1. 18

13 Biasanya, sistem persamaan normal [.13], dan [.14] dapat diselesaikan secara serentak untuk mendapatkan nilai b 0 dan b 1. Oleh karena jumlah sampel = n diketahui dan jumlah-jumlah yang terdapat dalam sistem persamaan normal itu dapat dihitung dari data sampel; dengan demikian koefisien regresi b 0 dan b 1 dalam analisis regresi linier sederhana yang mengandung sebuah variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y dapat ditaksir atau dihitung..7. Perhitungan nilai koefisien regresi linier sederhana Jika diperhatikan kembali sistem persaman normal dari persamaan [.13] dan [.14] dapat dilihat keteraturan dari cara-cara penyelesaianya. Sehingga nilai b 0 dan b 1 dapat ditentukan dengan perhitungan seperti berikut. Dari persamaan [.13] dapat ditentukan nilai b 0 yaitu dengan membagi persamaan tersebut dengan jumlah pengamatan (n) sehingga didapatkan persamaan dengan penyelesaian sebagai berikut: [.13]. ΣY i - Σb 0 - b 1 ΣX i = 0 (Persamaan Normal 1) ΣY i /n - nb 0 /n - b 1 ΣX i /n = 0 atau Y - b 0 - b 1 X = 0 sehingga akhirnya menjadi: [.15]. b 0 = Y - b 1 X Selanjutnya, dengan memasukkan persamaan [.15] ke persamaan [.14] di atas dapat ditentukan besarnya nilai b. [.16]. ΣY i X i - b 0 ΣX i - b 1 ΣX i = 0 (Persamaan Normal ) [.16a]. ΣY i X i - ( Y - b 1 X ) ΣX i - b 1 ΣX i = 0 atau dapat ditulis [.16b]. ΣY i X i - (ΣY i /n - b 1 ΣX i /n) ΣX i - b 1 ΣX i = 0 Sebelum penyelesaian persamaan [.16b] dengan modifikasi X dan Y menjadi persamaan dengan huruf kecil dan perhatikan dengan teliti notasi perubah X dan Y yang ditulis dengan huruf kecil x dan y pada persamaan-persamaan berikut ini. Berikut ini diberikan hubungan antara X; Y dengan x; y: [.17]. x 1 = (X 1 - X ), x 1 = (X - X ), dan y = (Y - Y ) [.18a]. Σy = ΣY - (ΣY) /n disebut dengan JK Y [.18b]. Σx = ΣX - (ΣX) /n disebut dengan JK X [.18c]. Σxy = ΣXY - ΣX ΣY/n disebut dengan JHK XY Dengan menggunakan persamaan [.18a] sampai dengan persamaan [.18c] maka perhitungan nilai b 1 pada persamaan [.16b] maka didapatkan nilai b 1 menjadi: Σxy [.19a]. b 1 = Σx [.19b]. b 1 = [.19c]. b 1 = JHK XY JK X X Y XY n ( X ) X n atau dengan menggunakan notasi lain nilai b 1 menjadi: atau dengan menggunakan notasi lain nilai b 1 menjadi: 19

14 Sehingga persamaan regresi penduga Ŷ dari suatu pengamatan atau untuk pengaruh variabel bebas X terhadap variabel tak bebas Y menjadi: [.0]. Ŷ = b 0 + b 1 X Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa garis regresi yang diperoleh tersebut merupakan garis regresi yang terbaik untuk menghampiri setiap titik-titik pengamatan X,Y. Unuk menjawab pernyataan tersebut maka dapat dikatakan bahwa garis regresi penduga Ŷ = b 0 + b 1 X nyata secara statistika, perlu dilakukan pengujian keberartiannya..8. Pengujian Garis Regresi Linier Sederhana Pengujian garis regresi secara statistika dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu: 1). Uji ragam regresi atau uji F regresi ). Uji koefisien regresi dengan uji-t 3). Uji r garis regresi.8.1 Uji varians regresi atau uji F regresi atau uji ragam regresi Uji keragaman untuk menentukan garis regresi yang terbaik sering disebut dengan uji F garis regresi atau lebih terkenal dengan sidik ragam regresi. Dari Gambar.4 dapat diuraikan bahwa persamaan [.0] di mana e i = Y i - b 0 - b i X i. Dan jika persamaan [.15] b 0 = Y - b 1 X disubstitusikan ke dalam persamaan [.0] Ŷ = b 0 + b 1 X sehingga didapatkan pesamaan: [.1a]. e i = Y i - ( Y - b 1 X ) - b 1 X i [.1b]. e i = (Y i - Y ) - b 1 (X i - X ) [.1c]. e i = y i - b 1 x i dengan membuka kurung maka Dari persamaan [.1c] yaitu pesamaan untuk nilai e i, sehingga dengan mengkuadrat jumlahkan nilai e i ; selanjutnya didapatkan Se i atau disebut dengan JK Galat Regresi dengan kode G; sehingga menjadi: [.a] G = S e i atau [.b] G = Se i e i. Ingat bahwa e i = y i - b 1 x i. Persamaan [.1c] sehingga [.c] G = Se i (y i - b 1 x i ) atau [.d] G = Se i y i - b 1 Se I x i ) [.e] G = Se i y i sebab Σe I x i = 0 sehingga Selanjutnya dari persamaan diatas didapatkan: [.3a] G = Sy i e i [.3b] G = Sy i (y i - b 1 x i ) sehingga dapat menjadi: [.3c] G = Sy i y i - b 1 Sy i x i Ingat : Σy i y i = Σy i = JK Total = JK Y Σy i x i = JHK Y i X i = JHK XY b 1 Σy i x i disebut dengan JK Regresi = JK Reg. Dari persamaan [.3c] didapatkan bahwa JK Galat Regresi sama dengan JK Total dikurangi dengan JK Regresi, di mana JK Total atau JK Y sudah dapat dihitung dari data pengamatan. 0

15 Perhatikan Gambar.4, dan nilai-nilai Y, Ŷ, Y i, dan e i di bawah ini. Konsumsi Ŷ = b 0 + b i X (Y i - Y) Y X X i Pendapatan * e i (Ŷ Y ) Gambar.4. Nilai-nilai Y, Ŷ, Y i, dan e i Sehingga, hubungan antara komponen-komponen pada analisis keragaman (JK Total, JK Regresi, dan JK Galat) seperti berikut: [.4]. JK Galat = JK Total - JK Regresi. Untuk menyederhanakan penulisan dan pengertian di atas, maka selanjutnya JK Galat Regresi disingkat dengan JK Galat, JK Regresi dengn JK Reg (tanpa titik) dan JK Total dengan JK Tot atau JK Y (tanpa titik). Sehingga sesuai dengan persamaan [.3c], maka JK Regresi mempunyai rumus: [.5a] JK Regresi = b 1 Sy i x i atau dapat ditulis: [.5b] JK Regresi = b 1 JHK XY Persamaan [.5a,b] berlaku umum untuk p variabel bebas X sehingga persamaannya menjadi: [.6a] JK Regresi = b 1 Sy i x 1 + b Sy i x b p Sy i x p [.6b] JK Regresi = (b 1 JHK X 1 Y + b JHK X Y b p JHK X p Y) Komponen penyusun Tabel Sidik Ragam Regresi adalah: 1). JK Regresi = b 1 JHK XY ). JK Total = Jk Y = ΣY - (ΣY) /n 3). JK Galat = JK Total - JK Regresi Selanjutnya dihitung nilai KT atau varians seperti: 1). KT Regresi = JK Regresi /(DB Regresi) ). KT Galat = JK Galat/ (DB Galat) Berdasarkan pada asumsi sebaran normal untuk komponen pengganggu e, maka besarnya nilai F (F-hitung) adalah: [.7] F hit = KT Regresi KT Galat 1

16 Hasil perhitungan keragaman di atas dibuatkan Tabel Sidik Ragam Regresi seperti pada Tabel.3 berikut di bawah ini. Tabel.3. Bagan Sidik Ragam Regresi Sumber Keragaman (SK) Derajat Bebas (DB) Jumlah Kuadrat (JK) Regresi p = 1 b 1 Σy i x 1 atau (b 1 JHK XY) Residual atau Galat n p 1 JK Galat Total n 1 Σy i = JK Total = JK Y Kuadrat Tengah (KT) JK Reg/p = KT Reg JKGalat = n p 1 KT Galat Nilai F hitung (F hit) KT Regresi KT Galat n = jumlah sampel (pasangan pengamatan) dan p jumlah variabel bebas X. F tabel 5% 1% Lihat tabel F F-hitung disimbulkan dengan F hit ini diartikan bahwa dalam pengujian F akan dibuktikan suatu hipotesis nol atau H 0 : F hit = 0 dan H 1 : F hit > 0 Kemudian F-hitung dibandingkan dengan F tabel yang biasa ditulis dengan: F hitung F tabel (Di mana F tabel = F (α, p,n-) dan α = taraf nyata ) Kreteria pengujian nilai F hit adalah: 1). Jika F hit F (tabel 5%). Hal ini berarti bahwa garis regresi penduga (Ŷ) linier sederhana yang didapat tersebut bukan garis regresi yang terbaik untuk menghampiri pasangan pengamatan X,Y. Atau dapat dikatakan ini berarti bahwa terdapat hubungan bukan linier pada pasangan pengamatan X,Y tersebut. ). Jika F hit > F (tabel 5%). Hal ini berarti bahwa terdapat hubungan linier antara pengaruh X terhadap Y. Atau dapat dikatakan bahwa garis regresi penduga (Ŷ) linier sederhana yang didapat tersebut adalah garis regresi penduga yang terbaik untuk menghampiri pasangan pengamatan X,Y..8. Uji keberartian koefisien regresi (b i ) atau uji t Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel X menunjukkan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y. Jika uji F atau uji ragam regresi menunjukkan bahwa F hit > F (tabel 5%) barulah dilanjutkan dengan uji t dan sebaliknya. Modifikasi dari pengaruh variabel bebas X terhadap variabel tak bebas Y atu uji F, maka dapat dilakukan dengan uji t atau uji koefisien regresi apabila uji F signifikan. Secara umum uji t mempunyai rumus adalah: W [.8]. t-hitung W = S W W nilai yang diuji, sehingga untuk pengujian koefisien regresi (b i ), maka rumusnya menjadi: [.9]. t-hitung b 0 = b S Di mana S bi = salah baku b i 0 b0 dan t-hitung b 1 = b S 1 b1

17 Dari persamaan [.9] dalam menyederhakan penulisan salah baku koefisien regresi b i yang biasa ditulis dengan σ Bi (salah baku = standard error koefisien regresi B i ). Perhitungan nilai σ Bi didasarkan pada ragam galat regresi atau KT Galat Regresi. Karena besarnya nilai σ e (Ragam Galat Regresi) populasi tidak diketahui, maka dapat diduga dengan nilai S e atau KT Galat Regresi sampel yang mempunyai persamaan yaitu: [.30]. S e = KT Galat Regresi = JK Galat Regresi /(n-p-1) Selanjutnya, dalam uji t nilai salah baku b i yang ditulis (Sb i ) mempunyai persamaan seperti berikut: [.31]. S bi = var b masing-masing untuk b i 0 dan b 1 menjadi: Untuk pengujian b 0 nilai salah baku menjadi: [.3a]. S b0 = var b 0 KT Galat Re gresi = n JK X Untuk pengujian b 1 nilai salah baku menjadi: X [.3b]. Sb 1 = var b 1 = KT Galat Re gresi JK X Seperti dalam uji F, penulisan t-hitung dapat ditulis dengan notasi t hit (artinya uji t untuk pengujian hipotesis nol atau H 0 : b i = 0 dan H 1 : minimal satu dari b i 0). Kemudian t-hitung dibandingkan dengan t tabel yang biasa ditulis dengan: t hitung t tabel (Di mana t tabel = t (α/,n-) dan α = taraf nyata ) Berdasarkan hasil uji t ternyata bahwa kreteria pengujian nilai t hit adalah: 1). Jika t hit t (tabel 5%, db galat). Hal ini dapat dikatakan bahwa terima H 0. Untuk pengujian b 0 yang berarti bahwa b 0 melalui titik acuan (titik 0,0) yaitu nilai Y = 0 jika X = 0. Untuk b 1, jika t hit t (tabel 5%, db galat) maka garis regresi penduga Ŷ dikatakan sejajar dengan sumbu X pada nilai b 0. ). Jika t hit > t (tabel 5%, db galat) Hal ini dikatakan bahwa tolak H 0, yang berarti bahwa garis regresi penduga Ŷ tidak melalui titik acuan (X,Y = 0,0). Dengan kata lain, ini berarti bahwa koefisien arah b 1 yang berangkutan dapat dipakai sebagai penduga dan peramalan yang dapat dipercaya. Pengujian yang dilakukan dengan cara tersebut di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel X i memberikan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y. Perlu diingatkan bahwa dalam pengujian di atas (baik uji F maupun uji t), didasarkan metode kuadrat terkecil. Selanjutnya, nilai salah baku koefisien regresi Sb i yang diperoleh, selain untuk pengujian hipotesis juga dapat dipakai pada perkiraan nilai interval koefisien regresi populasi β i yang sering disebut dengan perkiraan nilai populasi beta (β). 3

18 Rumus dari perkiraan nilai β i adalah sebai berikut di bawah ini: [.33a]. p {b i - t α/ Sb i β i b i + t α/ Sb i } = 1- α atau [.33b]. p (b i ± t α/ Sb i Sb i ) = 1- α, dan untuk setiap b 0 dan b 1 seperti: [.34a]. p {b 0 - t α/ Sb 0 β 0 b 0 + t α/ Sb 0 } = 1- α untuk b 0 [.34b]. p {b 1 - t α/ Sb 1 β 1 b 1 + t α/ Sb 1 } = 1- α untuk b Uji keeratan hubungan atau uji r Pada uji-uji sebelum ini, seperti uji Ragam Regresi (uji F), uji Koefisien Regresi (uji t) berdasarkan nilai Varians Galat Regresi. Sedangkan, pada uji keeratan hubungan selain memakai Varians Galat Regresi juga memakai parameter tertentu yaitu koefisien korelasi atau sering disebut dengan keeratan hubungan dengan simbul r xy atau r yx yang sering ditulis dengan r saja. Adapun rumus dari pada koefisien korelasi r adalah: menjadi: [.35a]. r XY = [.35b]. r XY = [.35c]. r XY = Σxy Σx Σy JHK XY JK X X JK Y atau atau menggunakan notasi lain maka nilai r X Y XY n ( X ) ( Y Y n n ) (n = jumlah sampel) Perhitungan nilai r berdasarkan rumus di atas disebut nilai koefisien korelasi seserhana atau koefisien korelasi order nol atau koefisien korelasi produc moment atau koefisien korelasi Pearson. Sepintas gambaran bahwa nilai r berkisar antara 1 sampai dengan + 1 atau sering ditulis dengan -1 r +. Jadi nilai koefisien korelasi itu selalu pecahan seperti: r = 0,87; r = 0,78; r = - 0,347; dan lain sebagainya. Hubungan antara koefisien korelasi r dengan koefisien regresi b. Lihatlah kembali rumus koefisien regresi seperti [.19c] dan koefisien korelasi r seperti [.35c]: [.19c]. b 1 = X Y XY n ( X ) X n atau b 1 X ( X n ) = X Y XY atau n b 1 JK X = JHK XY dan 4

19 [.35c]. r = X X Y XY n ( X ) ( Y Y n n ) atau dapat ditulis r = X Y XY di mana n ( ) r ( X ) ( JK Y ) JK = JHK XY Dari kesamaan kedua persamaan di atas [.19] dan [.356] dapat ditulis menjadi: ( ) [.36a] b 1 JK X = r ( JK X ) ( JK Y ) Dari kesamaan [.36a] di atas dapat ditulis kembali menjadi: ( ) ( ) ( ) [.36b] b 1 JK X = r ( X ) ( JK Y ) [.36c] b 1 ( JK X ) ( JK X ) = r ( X ) ( JK Y ) [.36d] b 1 JK atau JK atau JK X JK X = r JK X JK Y atau Jadi: [.36e] b 1 JK X = r JK Y atau Apabila kedua ruas dari persamaan: [.36e] sama-sama dibagi dengan n 1 maka didapatkan: JK X [.36e] b 1 n 1 = r JK X n 1 atau [.36f] b 1 KT X = r KT Y atau [.36g] b 1 S X = r S Y Apabila data yang dianalisis dinyatakan dalam nilai standar baku atau data di ( X ) transformasi ke nilai Z (di mana Z X = i X ( Y ) ) dan Z Y = i Y ), sehingga nilai SX SY S X = S Y = 1; sehingga persamaan [.36g] menjadi: [.36h] b 1 = r Yang jelas dalam uji r, apabila nilai koefisien regresinya (b 1 ) negatif, maka nilai koefisien korelasinya (r) juga negatif. Dalam uji r yang umum dialakukan adalah membandingkan nilai koefisien korelasi r yang dihitung atau r hitung dengan r tabel. Nilai r tabel dapat dilihat pada tabel r yang susunannya serupa dengan tabel t. r hitung r tabel (di mana r tabel = r (α/, n-) ; n- = db Galat; dan α = taraf nyata ) 5

20 Berdasarkan hasil uji r ternyata bahwa kreteria pengujian nilai r hitung adalah: 1). Jika r hitung r (tabel 5%, db galat) Hal ini dapat dikatakan bahwa tidak terdapat hubungan linier atau korelasi sederhana antara variabel yang satu dengan variabel yang lainnya. ). Jika r hitung > r (tabel 5%, db galat) Hal ini dikatakan bahwa tolak H 0, yang berarti bahwa terdapat hubungan linier atau korelasi sederhana antara variabel yang satu dengan variabel yang lainnya. Selain pengujian r seperti di atas nilai r hitung dapat pula diuji dengan menggunakan uji t dengan rumus pengujian seperti berikut yaitu: [.37a]. t-hitung r = r S r di mana S r = salah baku r S r = [.37b]. t-hitung r = [.37c]. t-hitung r = r (1 r ) ( n ) r (1 r ) ( n ) ( n ) (1 r ) sehingga atau Berdasarkan hasil uji t untuk nilai r ternyata bahwa kreteria pengujian adalah: 1). Jika t hitung t (tabel 5%, db galat). Hal ini dapat dikatakan bahwa tidak terdapat hubungan atau korelasi antara variabel yang satu dengan variabel yang lainnya. ). Jika t hitung > t (tabel 5%, db galat). Hal ini dikatakan bahwa tolak H 0, yang berarti bahwa terdapat hubungan atau korelasi antara variabel yang satu dengan variabel yang lainnya. Hubungan lain antara parameter r, b 1, dan dengan garis regresi penduga Ŷ dapat dijabarkan kembali melalui persamaan: [.35b] seperti berikut. [.35b]. r XY = Modifikasi dari rumus r [.38a]. r XY = [.38b]. r XY = JHK XY JK X JK Y atau R adalah seperti berikut: ( JHK XY ) ( JHK XY) ( JK X ) ( JK Y ) ( JHK XY) ( JK X ) [.38c]. r ( JHK XY) XY = b 1 ( JK Y ) [.38d]. r XY = [.38e]. r XY = ( b 1 JHK XY) ( JK Y ) JK Re gresi ( JK Total) ( JHK XY) ( JK Y ) atau ingat: b 1 = ( JHK XY ) ( JK X ) ingat: JK Y = JK Total ingat: b 1 JHK XY = JK Regresi) rumus di tas tersebut bersifat umum Jadi [.38f]. JK regresi = r. JK Total 6