BAB IV DISPERSI DATA

Transkripsi

1 BAB IV DIPERI DATA Dispersi adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Ukuran dispersi yang sering digunakan dalam penelitian ialah jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), dan deviasi baku (standard deviation). elain itu pada bab ini juga dibahas tentang simpangan kuartil, koeisien variasi, kemiringan, dan kurtosis. Dalam dispersi data dibedakan antara ukuran dispersi pada populasi dan ukuran dispersi pada sampel. 1. Jangkauan (range) Jangkauan sebuah distribusi rekuensi dirumuskan sebagai beda antara pengukuran nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi. Untuk menghitung jangkauan tidak terdapat perbedaan rumus maupun simbol untuk data populasi maupun data sampel. Dirumuskan: Range (r) = nilai max nilai min Data 1: 0,0,0,0,0 ; mempunyai r = 0-0=0 Data : 0,0,0,60,70 ; mempunyai r = 70-0=0 Contoh untuk data bergolong: Mempunyai range data = 7 61 = 1. impangan rata-rata (mean deviation) impangan Rata-rata (R) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Baik pada populasi maupun sampel digunakan rumus yang sama untuk menghitung simpangan rata-rata. Akan tetapi, digunakan

2 simbol yang berbeda untuk mean ( pada populasi dan X pada sampel) dan untuk banyaknya data ( pada populasi dan n pada sampel) a. impangan Rata-rata pada Populasi Bila data tunggal, maka: X R Bila data bergolong, maka: X R, dimana : X nilai data rata - rata hitunguntuk populasi banyakdata untuk populasi Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data populasi: 0,0,0,70,80! Rata rata hitung 0,, maka 0 0 R Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah R data modal 0 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan data populasi. Rata rata dari data tersebut adalah 10,

3 R X, ,96 b. impangan Rata-rata pada ampel Bila data tunggal, maka: X X R n Bila data bergolong, maka: X X R n di mana : X nilai data X rata -, rata hitung untuk sampel n banyak data untuk sampel Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data sampel: 0,0,0,70,80. Rata rata hitung X 0, n, maka 0 0 R

4 Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah R data modal 0 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan data sampel. Rata-rata dari data tersebut adalah 10, R X X, ,96. Variansi (variance) Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Untuk menghitung variansi, digunakan rumus dan simbol yang berbeda antara data sampel dan data populasi. a. Variansi Pada Populasi Bila data tunggal, maka: ( X ) Bila data bergolong, maka: ( X ), di mana n

5 dimana : X nilai data rata rata hitung banyak data Tentukanlah variansi untuk kelompok data populasi 0,0,0,70,80. (0 0) (0 0) (0 0) (70 0) (80 0) Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah R data modal 0 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan data populasi. ( X ) b. Variansi Pada ampel 8097,971 0,9 0 Bila data tunggal, maka: ( X X ) n 1

6 Bila data bergolong, maka: ( X X ) dimana n, n 1 dimana : X nilai data X rata rata hitung n banyak data sampel Tentukanlah variansi untuk kelompok data sampel: 0,0,0,70,80. (0 0) (0 0) (0 0) (70 0) (80 0) Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah R data modal 0 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan data sampel. ( X X ) n ,971 07,6 9

7 . Deviasi baku (standard deviation) Deviasi baku adalah adalah akar pangkat dua dari variansi. Oleh karena itu, tentunya terdapat perbedaan rumus dan simbol untuk menghitung deviasi baku pada data populasi dan data sampel. a. Deviasi baku pada Populasi Bila data tunggal, maka: ( X ) Bila data bergolong, maka: ( X ), di mana Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data polulasi: 0,0,0,70,80. (0 0) (0 0) (0 0) Contoh untuk data bergolong: 0.80 (70 0) (80 0) Tentukanlah deviasi baku data modal 0 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan data populasi.

8 ( X ) 8097,971 0 b. Deviasi baku pada ampel Bila data tunggal, maka: ( X X ) n 1 Bila data bergolong, maka: 0, 1,9 ( X X ) di mana n, n 1 Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data sampel: 0,0,0,70,80. (0 0) (0 0) (0 0) 1 60,9 (70 0) (80 0) Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah deviasi baku data modal 0 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan data sampel.

9 ( X ) 8097, , 1,9. impangan kuartil (quartile deviation) impangan kuartil merupakan ukuran setengah jarak antara kuartil ke dan kuartil ke 1. Rumusan Deviasi kuartil: DK = [ K K1 ] / Tentukanlah simpangan kuartil untuk kelompok data: 0,0,0,70,80. Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah simpangan kuartil data modal 0 perusahaan berikut. (kerjakan sebagai latihan) 6. Koeisien variasi (coeicient o variation) Digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda Rumus V 100% X

10 V = ukuran variasi relati (koeisien variasi) = deviasi baku X = mean Contoh: Diketahui data hasil ujian dari 10 orang MK tatistik: Rata-rata = 6 Deviasi Baku = MK Matematika: Rata-rata = 6 impangan Baku = 0 Tentukan hasil ujian yang mana yang variansinya lebih besar. V V s m X s X s m 0 100% 100% 6,1% 6 m 100% 100% 1,07% 6 Karena Vs > Vm berarti hasil ujian statistik lebih bervariasi (heterogen) dibanding hasil ujian matematika. Jika data tersebut merupakan data populasi, digunakan simbol yang berbeda untuk mean dan deviasi baku, yaitu untuk mean dan untuk deviasi baku. 7. Kemiringan dan Kurtosis a. Kemiringan Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari asimetri suatu distribusi data, ada tiga jenis: 1. imetris Letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit.. Miring ke kanan/kemiringan positi ilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar.. Miring ke kiri/ kemiringan negati. ilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil.

11 rekuensi rekuensi rekuensi x x x Mod=Med=X Mod Med X Mod Med X Terdapat beberapa cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data. Data yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah data sampel. Untuk data populasi dapat digunakan cara yang sama dengan mengganti symbol untuk mean ( pada populasi dan X pada sampel) dan variansi ( pada populasi dan s pada sampel) a) Pearson X Mod ( X Med) atau dimana: derajat kemiringan Pearson X rata rata hitung Mod modus standar deviasi Med median Rumus ini dapat dipakai untuk data tunggal maupun data bergolong, dengan aturan sbb: Bila = 0, distribusi data simetri Bila = negati, distribusi data miring ke kiri Bila = positi, distribusi data miring ke kanan emakin besar, distribusi data akan semakin miring atau makin tidak simetri.

12 b) Momen Bila data tunggal, maka: ( X X ) n Bila data bergolong, maka: X n dimana: ( X X ) n derajat kemiringan rata rata hitung s tan dar deviasi Bila = 0, distribusi data simetri Bila < 0, distribusi data miring ke kiri Bila > 0, distribusi data miring ke kanan c) Bowley b. Kurtosis Q Q Q Q 1 Q 1 Jika distribusi simetris maka Q Q Q Q1 sehingga Q Q 1 Q 0 mengakibatkan sama dengan nol. Jika distribusinya MIRIG, ada kemungkinan: Q1 = Q maka = 1 Q = Q maka = -1 Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data, ada tiga jenis: a) Leptokurtis Distribusi data yang puncaknya relati tinggi. b) Mesokurtis Distribusi data yang puncaknya normal.

13 c) Platikurtis Distribusi data yang puncaknya rendah atau terlalu datar rekuensi rekuensi rekuensi Puncak runcing Puncak normal Puncak tumpul Bila data tunggal, maka: ( X X ) n Bila data bergolong, maka: dimana: ( X X ) n derajat kemiringan X rata rata hitung n s tan dar deviasi Bentuk kurva keruncingan kurtosis Mesokurtik = Leptokurtik > Platikurtik <

14 LATIHA 1. Diketahui data sampel sebagai berikut. 8 Carilah: a. Jangkauan dan simpangan rata-rata. b. Variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil.. Diketahui data populasi nilai Ujian Tengah emester dari 0 mahasiswa pada mata kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut. ilai Frekuensi 1 Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil dari data tersebut.. Diberikan tabel rekuensi dari sampel tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai berikut. Tinggi badan Banyaknya mahasiswa a. Tentukan jangkauan dan simpangan rata-rata. b. Tentukan variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil.. Diberikan tabel rekuensi dari populasi rata-rata gaji harian dari 171 karyawan sebagai berikut. Interval Kelas Gaji (dalam ribuan) Frekuensi

15 Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil dari data tersebut. Tim Penyusun: ukirman ri Rejeki umber: yamsudin. 00. tatistik Deskripti. MUP: urakarta. etyaningsih, Pengantar tatistika Matematika, MUP -UM Budiyono, tatistika untuk Penelitian, 00, U