ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL SKRIPSI

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL SKRIPSI ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016

2 ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL SKRIPSI ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016 i

3 ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAIJ DENGUE ORDE-T'RAKSIONAL SKRIPSI Sebagai Salah Sahr Syarat Unfuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Disetujui Oleh: Pembimbing II NIP , $t NIP I988I0 I 001 ii

4 LEtrIBAR PIIN GESAHAN I{ASILA,H SKRIFS I Judul Penyusun ITIPI Pembimbing I Pembimbing II '[anggal Seminar Analisis &Iodel Matematika Penyebaran Penvakit Demam Berdarah Dengue Orde-Fraksional Artha l{erika Indah Puspita Sari tl812r r23rilt2 f)r. Fatmawati, M.Si Dr. l\,ioh Imam iltovo. lt"si 27 Januari 2016 Disetujui oleh: Pembimbing I, Pembimbing fio NIF i9e i NrP. i i988ifi 1 ixii S{engetahui, Ketua Departemen Slatematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga &fengetahui, Koordinator Program Stucli S*1 $Iatematika Fakultas Sains d*n Teknolcgi Universitas Airlangga I{IP. i978iii26 20CI604 i 00i NrP i {i i ii01 rtl

5 PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv

6 StiRA T PERN } ATA{I'i T E ]\TA}i C OR ISINA t, TT'AS Yang bertandatalgan dibawa} ini. sa1.a: Nama lii\t : Ar"tha Merika Indah P*spita Sari Pragrarn Studi : S I Maternatika Fakultas Sains darr Teknologi Jer{ang : Sa{ana {Sl ) N{*a,vatakan hahx,a "qaya tidak reelakul:an kegiataa plagiat rialam pelulisan slssi saya yang berjudul: "Analisis Motlel Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah D en g * * Orde-Fruksio*al" Apahiia sllatu saat nanti terbukti melakulian tindalian plagiat rnaka saya akan rneneritia sanksi yang telah ditetapkan. Demikian surai pernyataan ini sa3,'* buat derrgan seber:ar--henara1,a. Su'ahay'a, 2l Jansa:ri 2Al 6 }.IIfuI. O8I21l?33rc12

7 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-nya, skripsi yang berjudul Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue Orde-Fraksional ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia. Ucapan terima kasih disampaikan kepada : 1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu. 2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM). 3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. 4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan inspirasi dalam perkuliahan. 5. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat. iii

8 6. Dr. M. Imam Utoyo, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat. 7. Yang Tercinta Kedua orang tuaku Sri Purwanti dan Karneni serta adik tercinta Artha Agung Alank Sigit Permadi Putra yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya. 8. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika, Sistem Informasi, Statistika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini. Penulis berharap semoga proposal ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan proposal ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya. Surabaya, Januari 2016 Penyusun, Artha Merika Indah Puspita Sari iv

9 Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue Orde-Fraksional. Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan oleh virus dengue. Penelitian mengenai penyakit DBD telah banyak dilakukan dalam berbagai bidang keilmuan, termasuk bidang matematika yaitu dengan menggunakan model matematika. Dengan model matematika, dinamika penyebaran penyakit DBD dapat diketahui dan dapat digunakan untuk memprediksi penyebarannya yaitu melalui simulasi numerik model matematika penyebaran penyakit DBD. Pada skripsi ini, dibahas analisis model matematika penyebaran DBD orde fraksional yang berbentuk model host (manusia) vector (nyamuk). Model tersebut merupakan modifikasi model Sistem Persamaan Differensial Biasa (SPDB) nonlinear yang ditulis oleh Pandey, dkk (2013) menjadi model Sistem Persamaan Differensial Fraksional (SPDF). Pada umumnya solusi dari SPDB nonlinier sulit dicari secara analitik. Terdapat pemodelan matematika yang solusinya dapat diselesaikan secara analitik yaitu Sistem Persamaan Differensial Fraksional (SPDF). Salah satu metode untuk menyelesaikan SPDF adalah menggunakan Metode Perturbasi Homotopi (HPM) yaitu mengubah SPDF ke dalam Sistem Persamaan Differensial Homotopi dengan mengalikan setiap persamaan pada SPDF tersebut dengan parameter embedding (p). Hasil penyelesaiannya berbentuk deret tak hingga yang selanjutnya diselesaikan secara numerik. Semakin besar nilai dari orde turunan fraksional yang diberikan maka semakin cepat perubahan grafik pada populasi manusia yang rentan terinfeksi DBD, populasi manusia yang terinfeksi DBD, populasi manusia yang sembuh DBD, populasi nyamuk yang rentan DBD dan populasi nyamuk yang terinfeksi DBD. Kata kunci: Model Matematika, Demam Berdarah Dengue, Orde Fraksional, Metode Pertubasi Homotopi. vii

10 Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analysis of Mathematical Model In The Spread of Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) Fractional Order. This final project is under advised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si, Mathematics Departement, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) is an infection caused by the dengue virus. Research on dengue disease has been widely applied in many scientific fields, including mathematics by using a mathematical model. With a mathematical model, the dynamics of the spread of dengue disease is known and can be used to predict the spread from numerical simulation of mathematical model of the spread of dengue disease. In this paper, we discuss a fractional-order of mathematical model in the spread of DHF that are the host-vector model aproach. The model a modification of Pandey,dkk model (2013). Here we modified an Ordinary Differential Equations System (ODES) nonlinear model from Pandey,dkk (2013) into a Fractional Differential Equation System (FDES). In general, the solution of ODES nonlinear is difficult in analytic. There are mathematical modeling that the solution can be solved in analytic is FDES. One of methods to solve the FDES is using Homotopy Pertubation Method (HPM), it changes the FDES into Homotopy Differential Equations System by multiplying each equation in the FDES with embedding parameter (p). The result is infinite series, further resolved numerically. The greater the value of the fractional-order derivative given the faster change of state variables will be. Keywords: Mathematical model, Dengue Hemorrhagic Fever, Fractional Order, Homotopy Perturbation method. viii

11 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... KATA PENGANTAR... ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... BAB I PENDAHULUAN... i ii iii iv v vii viii ix xi xii xiii Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Batasan Masalah... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Demam Berdarah Dengue (DBD) Model Matematika Penyebaran Penyakit DBD... 7 ix

12 2.3 Sistem Persamaan Differensial Fraksional Penyebaran 12 Penyakit DBD 2.4 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) BAB III METODELOGI PENELITIAN... BAB IV PEMBAHASAN Sistem Persamaan Differensial Fraksional pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) Metode Pertubasi Homotopi (HPM) pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) Simulasi Numerik dari Sistem Persamaan Differensial Fraksional pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD)... BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN x

13 DAFTAR TABEL Tabel Judul Halaman Tabel 2.1 Tabel 4.1 Notasi dan deskripsi parameter Model Penyebaran Penyakit DBD Nilai Parameter dan Nilai Awal dari Model Penyebaran Penyakit DBD 9 30 xi

14 DAFTAR GAMBAR Gambar Judul Halaman Gambar 2.1 Diagram Transmisi Penyebaran Penyakit DBD 10 Gambar 4.1 Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear dengan SPDF dengan α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = α 5 = 1 32 Gambar 4.2 Pengaruh α 1 Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk 33 Gambar 4.3 Pengaruh α 2 Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk 34 Gambar 4.4 Pengaruh α 3 Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk 35 Gambar 4.5 Pengaruh α 4 Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk 36 Gambar 4.6 Pengaruh α 5 Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk 37 xii

15 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran Judul Lampiran 1 Persamaan Differensial Fraksional Langkah c 2 Perhitungan nilai dari dan dengan 3 Kode Program Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear dengan SPDF dengan 4 Kode Program Pengaruh Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk xiii