ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI SKRIPSI

Transkripsi

1 ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI SKRIPSI IBNU ADZAN TRIANTO PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016

2 ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI SKRIPSI IBNU ADZAN TRIANTO PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016 i

3

4

5 PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv

6

7 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-nya, sehingga skripsi yang berjudul Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Transmisi Penyakit Demam Berdarah Dengan Vaksinasi ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi kehidupan umat manusia. Ucapan terima kasih disampaikan kepada : 1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu. 2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM). 3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. 4. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku Koordinator Program Studi S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. vi

8 5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan inspirasi dalam perkuliahan dan selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat. 6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat. 7. Ahmadin S.Si, M.Si dan Dra. Hj. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan masukan demi perbaikan skripsi ini. 8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, lebih khususnya di Departemen Matematika yang telah menyampaikan ilmunya tanpa pamrih dan tak kenal lelah. 9. Yang tercinta kedua orang tua saya Suwito dan Rulli Variah serta kakakkakak tercinta Ari Fardian Purwono dan Vita Vardian Dwiyanti yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya. 10. Cendy Agustin Yudhistias yang sudah memberikan doa, dukungan dan semangat selama ini. 11. Aji, Annisa, Artha, Dewi Ika, Faul, Gagan, Putri, Rezki Pradipta, Rizki Azizia, Rokhana, Selva, Suci, Tuhfa dan Tyas yang merupakan teman seperjuangan dalam menyelesaikan skripsi. vii

9 12. Adi, Ajeng, Alfian, Baim, Cakra, Dewi, Ellyza, Fandi, Firdha, Ghanda, Rizki Fajar, Reza, Rima, Robert, Sri, Tiar, Tito, dan Ubaid yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini. 13. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini. 14. Semua pihak ysng tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya. Surabaya, Januari 2016 Ibnu Adzan Trianto viii

10 Ibnu Adzan Trianto, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Transmisi Penyakit Demam Berdarah dengan Vaksinasi. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan oleh spesies nyamuk betina Aedes aegypti dan Aedes Albopictus. Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara serius. Penyakit ini dapat dicegah dengan cara pemberian vaksin yang dinamakan Chimeric Yellow Fever 17D-Tetravalent Dengue Vaccine (CYD-TDV). Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika transmisi penyakit DBD tanpa pengontrol, dan dengan penentuan pengontrol berupa vaksinasi untuk mengeliminasi penyebaran penyakit DBD. Untuk model tanpa pengontrol diperoleh tiga titik setimbang. Titik setimbang pertama yaitu titik setimbang non endemik E 0 yang stabil asimtotis jika memenuhi kreteria tertentu. Titik setimbang non endemik yang kedua adalah E 1, dari titik setimbang tersebut didapatkan besaran Basic Reproduction Ratio (R 0 ) yang merupakan tolak ukur terjadinya endemik penyakit DBD. Titik setimbang tersebut stabil asimtotis jika syarat eksistensi titik tersebut terpenuhi dan R 0 < 1. Titik setimbang yang terakhir adalah titik setimbang endemik E 2 yang stabil asimtotis jika R 0 > 1. Untuk model transmisi DBD dengan variabel pengontrol, ditentukan syarat cukup untuk eksistensi kontrol optimal dari pengontrol u yang berupa vaksinasi dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik untuk mengkaji efek pemberian pengontrol. Dari hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif untuk meminimalkan jumlah populasi yang terinfeksi virus dengue dengan biaya minimal. Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Vaksinasi, Kestabilan, Kontrol Optimal. ix

11 Ibnu Adzan Trianto, 2016, Analysis and Optimal Control of Mathematic Model of the Transmission of Dengue disease Using Vaccination. This thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si. Mathematic Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT Dengue is a disease caused by dengue virus it transmitted by the female mosquitos species, namely Aedes aegypti and Aedes Albopictus. This disease causes death if not treated seriously. The disease can be prevented by vaccine, called Chimeric Yellow Fever 17D-Tetravalent Dengue Vaccine (CYD-TDV). In this thesis, analyzes a mathematic model of dengue transmission without controller and determine the controller such as vaccination to eliminate of dengue disease spreading. For a model without controller there are three equilibria in the model. The first one is disease free equilibrium point E 0, it is asymptotically stable if it fulfills some certain criterias. The second one is disease free equilibrium point E 1, from those equilibrium points, also obtained amount of Basic Reproduction Ratio (R 0 ) which is a meassure endemic of dengue disease happened. It is asymptotically stable if the existence conditions is obtained and R 0 < 1. The last equilibrium point is endemic equilibrium point E 2 that is asymptotically stable if R 0 > 1. For mathematic model of dengue with controller variable, is determined by specific conditions existence of optimal control from controller u vaccination by using Pontryagin Maximum Principle. Then, the thing which has to do is numerical simulation to examinate the effect of giving controller. From the result of numerical simulation shows that giving a controller is effective for minimizing amount of the infected dengue disease of human population with minimal cost. Keywords: Mathematic model, Dengue, Vaccination, Stability, Optimal Control x

12 DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... SURAT PERNYATAAN TENTANG ORSINALITAS KATA PENGANTAR... ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI..... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vi ix x xi xiii xiv xv BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Manfaat Batasan Masalah... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Demam Berdarah Dengue (DBD) Definisi DBD xi

13 Proses Penularan DBD Cara Pencegahan DBD Sistem Persamaan Differensial Sistem Autonomus Basic Reproduction Number (R 0 ) Kestabilan Asimtotis Lokal Linierisasi Akar-akar persamaan karakteristik Kriteria Routh-Hurwitz Masalah Kontrol Optimal Prinsip Maksimum Pontryagin BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN Model Matematika Transmisi Penyakit DBD tanpa Kontrol Optimal Titik Setimbang Model Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal Model Matematika Transmisi Penyakit DBD dengan Kontrol Optimal BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA xii

14 DAFTAR TABEL Nomor Judul Tabel Halaman 4.1 Keterangan parameter-parameter yang digunakan pada model matematika transmisi penyakit DBD Nilai awal untuk bidang fase Nilai parameter model matematika transmisi penyakit DBD Keterangan parameter-parameter tambahan pada model matematika transmisi penyakit DBD dengan kontrol optimal Perbandingan jumlah populasi manusia terinfeksi pada waktu akhir pengamatan Perbandingan jumlah populasi manusia sembuh pada waktu akhir pengamatan Perbandingan jumlah populasi nyamuk terinfeksi pada waktu akhir pengamatan 49 xiii

15 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Gambar Halaman 4.1 Diagram transmisi penyakit DBD tanpa kontrol vaksinasi Grafik bidang fase populasi manusia rentan S h (t) terhadap populasi manusia terinfeksi I h (t) pada model matematika transmisi penyakit DBD untuk titik setimbang E Dinamika populasi manusia terinfeksi penyakit DBD (I h ) Dinamika populasi manusia sembuh dari DBD (R h ) Dinamika populasi nyamuk terinfeksi virus dengue (I m ) Grafik kontrol u 50 xiv

16 DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Lampiran 1. Perhitungan Titik Setimbang Non Endemik E 0 dan E 1 2. Perhitungan Titik Setimbang Endemik E 2 3. Pencarian Persamaan Karakteristik Pada Titik Setimbang Non Endemik E 0 4. Pencarian Persamaan Karakteristik Pada Titik Setimbang Non Endemik E 1 5. Pencarian Persamaan Karakteristik Pada Titik Setimbang Endemik E 2 6. Kode Program Maple Grafik Bidang Fase pada Titik Setimbang Endemik E 2 7. Program MATLAB untuk Model Transmisi Penyakit DBD tanpa Pengontrol 8. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada MATLAB untuk Model Transmisi Penyakit DBD dengan Pengontrol xv