PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Topik: Pendahuluan. Mahdhivan Syafwan

Transkripsi

1 PAM 53 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Topik: Pendahuluan Mahdhivan Syafwan

2 Newton's Law of Cooling

3 Chemical Pollution in a Lake 3

4 Car Suspension Let's assume that a car is moving a bumpy road. This can be illustrated as the figure below. The body of the car dan the wheel are represented respectively as m s and m us, and the suspension system is represented as a damper and spring. 4

5 Predator-Prey System Let's assume that you are oberving a Rabit population and Fox population in an area. And by common sense and observation, you would know Fox hunts Rabits meaning Fox is the predator and Rabit is the prey in the area. Without using any math and just using your intuition, think of what would happen if the number of Fox would increase in the area? You may easily think that the number of Rabit will decrease because more and more rabbits will be killed by Fox. It is easy. Then, will all the rabit will be eaten by Fox and they will completely disappear? The answer to this question is not easy. The answer can be 'Maybe Yes, Maybe No. The answer would depend on the population changes of Fox and how fast the fox eats away rabits etc. To get the answer to this kind of tricky question you need to use mathematical modeling and understand the exact relationship between the two populations. Again only using your intuition, think of what will happen when the birth rate of Rabit increases and the number of Rabit increases? You may easily guess that the number of Fox will increase as well because they get food more easily. Then, will this situation goes forever? Will fox hunt rabit such easily forever? Probably not, because as fox hunt rabit more easily and the number of fox increases, at some point the number of rabit may decrease since too many rabits are hunted. Decreasing number of rabbit means decreasing food for Fox and eventually the number of Fox will decrease as well. Now you may roughly understand the inter-relationship between Rabbit population and Fox population. But if I ask you about exactly when the rabbit popuation would grow or shrink or exactly when the fox popuation would grow or shrink. You cannot answer this questions without exact mathematical modeling of those population changes. 5

6 Dynamics of Love 6

7 Epidemics Model 7

8 Turunan Fungsi? k + 8

9 PERSAMAAN DIFERENSIAL? persamaan yang memuat turunan suatu fungsi. variabel bebas variabel tak-bebas 9

10 Penurunan Persamaan Diferensial? dari proses pemodelan matematika 10

11 Klasifikasi Persamaan Diferensial 1. Berdasarkan Banyaknya Variabel Bebas Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Biasa d v 6tv 1 memuat satu variabel bebas Persamaan Diferensial Parsial y u x u 0 memuat dua atau lebih variabel bebas tidak dipelajari dalam kuliah ini 11

12 1 ) ( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( : 4 3 t x t dx t x d t t x t dx t x d e t x t dx Contoh t. Berdasarkan Orde turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan PDB orde PDB orde 1 PDB orde

13 Klasifikasi Persamaan Diferensial Dikatakan linear jika: (i) variabel tak-bebas dan turunannya muncul dalam berpangkat satu, dan (ii) tidak ada perkalian pada variabel tak-bebas dan/atau turunanannya. Jika tidak demikian, dikatakan nonlinier. Contoh : dx( t x( e d x( dx( 5 t d x( 3 dx( x( x( cos( 1 PDB linier PDB linier PDB nonlinier

14 Klasifikasi Persamaan Diferensial Bentuk umum PDB linier: Contoh PDBnonlinier : dx( cos( x( ) d x( dx( 5 d x( dx( 1 x( x( 1

15 Klasifikasi Persamaan Diferensial Dikatakan homogen jika setiap suku persamaan diferensial memuat variabel tak bebas atau turunannya. Jika tidak demikian, dikatakan nonhomogen. Contoh : dy dx 4xy e y PDB homogen d x 3 dx t 0 PDB nonhomogen

16 Klasifikasi Persamaan Diferensial Dikatakan mandiri (autonomous) jika koefisien (yang menyertai variabel tak-bebas atau turunannya) bernilai konstan. Jika tidak demikian, dikatakan tak-mandiri (non-autonomous). Contoh : dy dx 4xy e y PDB tak-mandiri d x 3 dx t 0 PDB mandiri

17 Tentukan orde, kelinieran, kehomogenan dan kemandirian PDB berikut: 17

18 Solusi Persamaan Diferensial Solusi suatu persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah bentuk umum solusi persamaan diferensial tersebut Suatu solusi umum dapat menjadi solusi khusus dengan adanya informasi/syarat tambahan, disebut syarat awal/syarat batas. 18

19 Solusi Persamaan Diferensial Contoh: Fungsi x( cos(t ) adalah solusi PDB d x( 4x( 0 Apakah solusinya tunggal? Semua fungsi yang berbentuk x( cos(t c) (dimana c suatu konstanta riil) adalah solusi PDB di atas. 19

20 Untuk menentukan secara tunggal solusi dari persamaan diferensial orde n, diperlukan n buah syarat tambahan. d x(0) x( x (0) a b 4x( 0 PDB orde Dua syarat tambahan diperlukan untuk menentukan solusi secara tunggal 0

21 1. Apakah ada solusi? (eksistensi). Jika ada solusi, apakah solusi tersebut tunggal? (ketunggalan) 3. Jika ada solusi, bagaimana cara menentukannya? (solusi analitik, aproksimasi numerik, dll) 1

22 Syarat Tambahan? Syarat Tambahan p Syarat Awal Syarat tambahan pada satu titik variabel bebas Syarat Batas Syarat tambahan tidak pada satu titik variabel bebas

23 Masalah Nilai Awal Masalah Nilai Batas p Syarat tambahan pada satu titik variabel bebas Syarat tambahan tidak pada satu titik variabel bebas Lebih sulit diselesaikan dibandingkan masalah nilai awal x x x e t x(0) 1, x (0).5 x x x e t x(0) 1, x() 1.5 sama berbeda 3

24 Masalah Nilai Awal? Masalah Nilai Batas? 4

25 Contoh: du au uv dv cv uv dimana vt dan u t secara berturut-turut menyatakan jumlah populasi spesies pemangsa dan dimangsa pada wakt t. Konstanta a, c, α, γ bergantung pada jenis spesies yang dikaji. Sistem persamaan diferensial akan dipelajari nanti pada bab khusus. 5

26 Newton dan Leibniz 6

27 Keluarga Bernoulli 7

28 Leonhard Euler ( ) 8

29 Joseph-Louis Lagrange ( ) 9

30 Pierre-Simon de Laplace ( ). 30

31 Tahun 1800an 31

32 Tahun 1900an - sekarang 3

33 TUGAS Buku [1] hal. 4-5 no. ganjil 1-0. Khusus untuk no. ganjil 1-6, tentukan juga kehomogenan dan kemandiriannya. 33