LAMPIRAN A Data Hasil Tahap Analysis dan Design

Transkripsi

1 LAMPIRAN 122

2 LAMPIRAN A Data Hasil Tahap Analysis dan Design A.1. A.2. A.3. Hasil Perumusan Indikator Pencapaian Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran. Hasil Analisis Konsep Hasil Penyusunan Peta Kebutuhan LKS 123

3 Hasil Perumusan Indikator Pencapaian Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran Lampiran A.1 Hasil Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi Tujuan Pembelajaran 4.1 Memahami Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan Siswa dapat menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dalam serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan dan kalimat terbuka, serta menentukan matematika dan pernyataan. nilai kebenaran suatu pernyataan. ingkaran atau Menjelaskan arti dan contoh kalimat terbuka Siswa dapat menjelaskan arti dan contoh kalimat negasinya serta menentukan himpunan penyelesaiannya. terbuka serta menentukan himpunan penyelesaiannya Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. Siswa dapat menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. 4.2 Menentukan nilai Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu kebenaran dari pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. suatu pernyataan Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu majemuk dan pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. pernyataan Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu berkuantor pernyataan majemuk berbentuk implikasi. pernyataan majemuk berbentuk implikasi Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Siswa dapat menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. 124 Siswa dapat menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor.

4 4.3 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. 4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti tak langsung Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan induksi matematika. Siswa dapat menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. Siswa dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. Siswa dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. Siswa dapat menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. Siswa dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. Siswa dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens. Siswa dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan silogisme. Siswa dapat memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung. Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti tak langsung. Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan induksi matematika. 125

5 Lampiran A.2 Hasil Analisis Konsep Pernyataan Kalimat Terbuka Pernyataan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan tian Negasi Suatu Pernyataan Konjungsi Pernyataan Majemuk Nilai Kebenaran dan Negasi dari Pernyataan Majemuk Konvers, Invers, dan Kontraposisi Disjungsi Implikasi Biimplikasi L O G I K A Pernyataan Berkuantor Tautologi dan Kontradiksi Nilai Kebenaran dan Negasi dari Pernyataan Berkuantor Universal Ekstensial Pernyataan Majemuk Ekuivalensi Pernyataan Berkuantor Modus ponens Penarikan Kesimpulan Modus tolens Silogisme Bukti Langsung Penyusunan Bukti Bukti Tak Langsung Induksi Matematika 126

6 Hasil Penyusunan Peta Kebutuhan LKS Lampiran A.3. Hasil Kompetensi Dasar Materi LKS 4.1 Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya 1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat terbuka, dan ingkaran. 4.2 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. 2. Disjungsi dan Konjungsi 3. Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi 4.3 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. 4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. 4. Ekuivalensi dan negasi dari pernyataan majemuk, serta Konvers, Invers, dan Kontraposisi Pernyataan Berkuantor 6. Penarikan Kesimpulan 7. Penyusunan Bukti (Pengayaan) 127

7 LAMPIRAN B Data Hasil Penelitian B.1. B.2. B.3. B.4. B.5. B.6. B.7. B.8. Data Hasil Penilaian RPP oleh Ahli Materi dan Guru Matematika Data Hasil Penilaian LKS oleh Ahli Materi dan Guru Matematika Data Hasil Penilaian LKS oleh Ahli Media dan Guru Matematika Data Hasil Perhitungan Kualitas Perangkat Pembelajaran (RPP dan LKS) Data Hasil Angket Respon Guru Data Hasil Angket Respon Siswa Data Hasil Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran Data Hasil Tes Hasil Belajar Siswa 128

8 Lampiran B.1 Data Hasil Penilaian RPP Data Hasil Penilaian RPP dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi oleh Ahli Logika untuk SMA Kelas X oleh Ahli Materi dan Guru Materi dan Penilai Ratarata tiap Kriteria rata Matematika Kriteria Rata- Guru Aspek No Ahli Penilaian Butir Guru Materi Aspek total Identitas Mata Sangat Pelajaran Baik Alokasi Waktu Baik Tujuan Sangat Pembelajaran Baik Pemilihan Materi Baik Pemilihan Pendekatan dan Baik metode Pembelajaran Sangat Baik Kegiatan Pembelajaran dengan Baik Pendekatan Kontekstual Pemilihan Sangat 4.5 Sumber Belajar Baik Penilaian Hasil Belajar Baik

9 Data Hasil Penilaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X oleh Ahli Materi dan Guru Lampiran B.2 Data Hasil Aspek Penilaian Kompetensi Isi Materi Kesesuaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual No Butir Penilaiai Ahli Materi Guru Ratarata tiap Aspek Kriteria 4.13 Baik 4.29 Sangat Baik 3.64 Baik Ratarata total Kriteria 4.02 Baik 130

10 Data Hasil Penilaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X oleh Ahli Media dan Guru Lampiran B.3 Data Hasil Aspek Penilaian Bahasa Penyajian Materi Kegrafikan No Butir Penilaiai Ahli Media Guru Ratarata tiap Aspek Kriteria Sangat Baik Sangat Baik 4.18 Baik Ratarata total 4,28 Kriteria Sangat Baik 131

11 Data Hasil Perhitungan Kualitas Perangkat Pembelajaran dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X 1. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Aspek Penilaian Rata-rata tiap Kriteria Aspek Identitas Mata Pelajaran 4.93 Sangat Baik Alokasi Waktu 4 Baik Tujuan Pembelajaran 4.5 Sangat Baik Pemilihan Materi 4.17 Baik Pemilihan Pendekatan dan metode Pembelajaran 4 Baik Kegiatan Pembelajaran dengan Pendekatan Kontekstual 4.19 Baik Pemilihan Sumber Belajar 4.5 Sangat Baik Penilaian Hasil Belajar 4 Baik 132 Rata-rata total 4.29 Lampiran B.4 Data Hasil Kriteria Sangat Baik 2. Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Aspek Penilaian Rata-rata tiap Aspek Kriteria Rata-rata Kriteria total Kompetensi 4.13 Baik Isi Materi 4.29 Sangat Baik Kesesuaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual 3.64 Baik Bahasa 4.25 Sangat Baik 4.15 Baik Penyajian Materi 4.42 Sangat Baik Kegrafikan 4.18 Baik

12 Data Hasil Angket Respon Guru terhadap Perangkat Pembelajaran dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X Aspek Penilaian Nomor Butir Skor Skor Ratarata tiap Aspek Lampiran B.5 Data Hasil Klasifikasi 1 5 Penyajian Materi Sangat Baik Pendekatan kontekstual Sangat Baik RPP Sangat Baik LKS Sangat Baik Skor Rata-rata 4.69 Sangat Baik 133

13 Lampiran B.6 Data Hasil Angket Data Hasil Angket Respon Siswa terhadap LKS dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Respon Kelas X Siswa Butir Pernyataan Siswa Pendekatan Kontekstual Keterbantuan Kemudahan Kemenarikan

14 Rata-rata tiap Butir Rata-rata tiap Aspek Klasifikasi Sangat Baik Sangat Baik Baik Baik Rata-rata Keseluruhan 4 Klasifikasi Keseluruhan Baik 135

15 Lampiran B.7 Data Hasil Observasi Data Hasil Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran Keterlaksanaa n No Pertemuan ke- Pembelajaran Total Persentase (%) Persentase Rata-rata (%) Kriteria Sangat Baik 136

16 Data Tes Hasil Belajar Siswa No Nama Skor Objektif Uraian Nilai Keterangan 1 ANS TUNTAS 2 ANP TUNTAS 3 AP TIDAK TUNTAS 4 DIP TUNTAS 5 ER TUNTAS 6 ED TUNTAS 7 GMP TUNTAS 8 H TIDAK TUNTAS 9 MF TUNTAS 10 MWP TUNTAS 11 MN TUNTAS 12 NR TUNTAS 13 RPD TUNTAS 14 RK TUNTAS 15 RS TIDAK TUNTAS 16 RN TUNTAS 17 RDA TUNTAS 18 RCIR TUNTAS 19 SDM TUNTAS 20 TRR TUNTAS 21 TO TIDAK TUNTAS 22 VHP TUNTAS 23 WM TUNTAS 24 ZAP TIDAK TUNTAS Rata-rata Persentase Kelulusan % Kriteria Keefektifan Efektif Lampiran B.8 Data Hasil Tes Hasil Belajar Siswa 137

17 LAMPIRAN C Instrumen Penilaian Kualitas Perangkat Pembelajaran (RPP dan LKS) C.1. C.2. C.3. C.4. C.5. C.6. C.7. C.8. C.9. C.10. C.11. C.12. C.13. C.14. Kisi-kisi Instrumen Penilaian RPP Deskripsi Komponen Instrumen Penilaian RPP Lembar Penilaian RPP Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS C.4.a. Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS oleh Ahli Materi C.4.b. Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS oleh Ahli Media C.4.c. Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS oleh Guru Matematika Deskripsi Komponen Instrumen Penilaian LKS Lembar Penilaian LKS Kisi-kisi Angket Respon Guru Angket Respon Guru Kisi-kisi Angket Respon Siswa Angket Respon Siswa Lembar Observasi Keterlaksanaan pembelajaran Kisi-kisi Tes Hasil Belajar Siswa Kunci Jawaban dan Rubrik Penilaian Tes Hasil Belajar Siswa Soal Tes Hasil Belajar Siswa 138

18 Lampiran C.1 Kisi-kisi KISI-KISI INSTRUMEN PENILAIAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) No Aspek Indikator Nomor Butir 1 Identitas RPP Kejelasan dan kelengkapan 1, 2, 3, 4, 5, 6, identitas RPP 7 2 Alokasi Waktu Ketepatan alokasi waktu 8, 9 3 Rumusan indikator Kesesuaian rumusan indikator 10, 11, 12 pencapaian pencapaian kompetensi dan kompetensi dan tujuan tujuan pembelajaran dengan pembelajaran kompetensi dasar (KD) 4 Pemilihan materi Kesesuaian materi dengan tujuan pembelajaran 13 Kesesuaian materi dengan 14, 15 kemampuan, kebutuhan, dan karakteristik siswa 5 Pemilihan pendekatan Kesesuaian pendekatan dan 16, 17 dan metode metode pembelajaran dengan pembelajaran tujuan pembelajaran 6 Kegiatan pembelajaran dengan pendekatan kontekstual 7 Pemilihan sumber belajar Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan karakteristik siswa Kesesuaian kegiatan pembelajaran dengan standar proses serta komponen pendekatan kontekstual. Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa 18, 19, , 35 8 Penilaian hasil belajar Kesesuaian teknik penilaian 36, 37, 38 dengan tujuan pembelajaran Keberadaan dan kejelasan 39, 40 prosedur penilaian Jumlah butir

19 DESKRIPSI BUTIR INSTRUMEN PENILAIAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SMA KELAS X Lampiran C.2 I. Identitas RPP Butir Penilaian Deskripsi A. Kejelasan dan kelengkapan identitas 1. Pencantuman nama sekolah RPP mencantumkan nama sekolah dengan jelas 2. Pencantuman nama mata RPP mencantumkan nama mata pelajaran pelajaran dengan jelas 3. Pencantuman tingkatan kelas RPP mencantumkan tingkatan kelas dan dan semester semester dengan jelas 4. Pencantuman alokasi RPP mencantumkan alokasi waktu/jumlah waktu/jumlah pertemuan pertemuan sesuai dengan kebutuhan 5. Pencantuman standar RPP mencantumkan standar kompetensi kompetensi (SK) dan (SK) dan kompetensi dasar (KD) dengan kompetensi dasar (KD) jelas 6. Pencantuman indikator dan RPP mencantumkan indikator dan tujuan tujuan pembelajaran pembelajaran dengan jelas 7. Pencantuman materi pokok RPP mencantumkan materi pokok dengan jelas II. Alokasi Waktu Butir Penilaian B. Ketepatan alokasi waktu 8. Keefektifan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran 9. Keefisienan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran 140 Deskripsi Waktu yang dialokasikan dalam RPP untuk mencapai tujuan pembelajaran efektif Waktu yang dialokasikan dalam RPP sesuai dengan materi yang dipelajari, sehingga menjadi efisien untuk mencapai tujuan pembelajaran III. Rumusan Indikator Pencapaian Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran Butir Penilaian Deskripsi C. Kesesuaian rumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran dengan kompetensi dasar (KD) 10. Perumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran mengacu pada KD Perumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran dilakukan dengan mengacu pada KD yang telah diterapkan pemerintah dalam Permendiknas No. 22 Tahun 2006 tentang standar isi.

20 11. Penggunaan kata kerja operasional yang dapat diukur/diamati 12. Keterkaitan dan keterpaduan antara KD dan indicator pencapaian kompetensi serta tujuan pembelajaran Dalam perumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran menggunakan kata kerja operasional yang dapat diukur /diamati RPP disusun dengan memperhatikan keterkaitan dan keterpaduan KD, indikator pencapaian kompetensi, dan tujuan pembelajaran. IV. Pemilihan materi Butir Penilaian Deskripsi D. Kesesuaian dengan tujuan pembelajaran 13. Kesesuaian materi yang Materi yang disajikan dalam RPP memuat disajikan dengan tujuan fakta, konsep, prinsip, prosedur yang pembelajaran relevan ditulis dalam bentuk butir-butir sesuai dengan tujuan pembelajaran. E. Kesesuaian dengan kemampuan, kebutuhan, dan karakteristik siswa 14. Penyusunan materi yang Materi yang terdapat dalam RPP disusun memperhatikan kemampuan dengan memperhatikan kemampuan dan dan karakteristik siswa karakteristik siswa 15. Penyusunan materi yang sesuai pada kebutuhan siswa Materi yang terdapat dalam RPP disusun dengan menyesuaikan kebutuhan siswa V. Pemilihan pendekatan dan metode pembelajaran Butir Penilaian Deskripsi F. Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran 16. Kesesuaian pendekatan Pendekatan yang digunakan sesuai dengan dengan tujuan pembelajaran tujuan pembelajaran 17. Kesesuaian metode Metode yang digunakan sesuai dan dengan pembelajaran dengan tujuan tujuan pembelajaran pembelajaran G. Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan karakteristik siswa 18. Kesesuaian pendekatan Pendekatan yang digunakan sesuai dengan dengan karakteristik siswa perkembangan fisik dan intelektual siswa 19. Kesesuaian metode pembelajaran dengan karakteristik siswa Metode yang digunakan sesuai dengan perkembangan fisik dan intelektual siswa 20. Keberpusatan pada siswa Pendekatan dan metode yang digunakan berdasarkan prinsip bahwa siswa memiliki posisi sentral untuk mengembangkan kompetensinya. 141

21 VI. Kegiatan Pembelajaran dengan Pendekatan CTL Butir Penilaian Deskripsi H. Kesesuaian dengan standar proses Kegiatan pendahuluan 21. Penyiapan fisik dan mental peserta didik untuk mengikuti proses pembelajaran proses pembelajaran 22. Pemberian apersepsi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 23. Penyampaian motivasi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari 24. Penyampaian tujuan pembelajaran dengan jelas. Kegiatan Inti 25. Kebermaknaan dan keberpusatan kegiatan pembelajaran pada siswa, sehingga siswa mampu mengkonstruksi atau membangun pengetahuannya (constructivism) 26. Penyusunan kegiatan pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa untuk menemukan konsep materi (inquiry) 27. Penyusunan kegiatan pembelajaran yang dapat membangkitkan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) 28. Pemberian kegiatan pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa dalam menciptakan masyarakat belajar (learning community) seperti diskusi kelompok. 29. Penggunaan suatu contoh atau ilustrasi masalah sebagai model pembelajaran agar siswa terangsang untuk berpikir (modeling) 142 Memuat kegiatan penyiapan fisik dan mental peserta didik untuk mengikuti Memuat ulasan atau pertanyaan untuk mengaitkan pengetahuan sebelumnya sebagai prasyarat untuk materi yang akan dipelajari Memuat kegiatan pemberian motivasi kepada siswa Memuat kegiatan penyampaian tujuan pembelajaran Memuat kegiatan yang berpusat pada siswa sehingga dapat memberikan kesempatan pada siswa untuk mengkonstruksi pengetahuannnya secara bermakna melalui pengalaman nyata. Memuat rangkaian kegiatan yang dapat memfasilitasi siswa untuk menemukan konsep pada materi yang dipelajari Memuat kegiatan yang dapat membangkitkan respon dan pertanyaan dari siswa untuk membangun lebih banyak lagi informasi (pengetahuan) dan ketrampilan yang diperoleh siswa. Memuat kegiatan yang dapat memfasilitasi siswa untuk meciptakan masyarakat belajar seperti melakukan diskusi kelompok dalam menemukan konsep maupun memcahkan masalah. Memuat penampilan contoh atau ilustrasi masalah sebagai model pembelajaran yang dapat merangsang siswa untuk berpikir bagaimana menyelesaikan tahap selanjutnya

22 Kegiatan Penutup 30. Pemberian refleksi terhadap kegiatan yang telah dilaksanakan termasuk menyimpulkan materi yang telah dipelajari (reflection) 31. Penilaian terhadap hasil pembelajaran yang dapat berupa latihan soal, kuis maupun tanya jawab (authentic assessment) 32. Pemberian apresiasi terhadap siswa 33. Penyampaian rencana pembelajaran pada pertemuan selanjutnya VII. Pemilihan Sumber Belajar Butir Penilaian Memuat kegiatan refleksi terhadap kegiatan yang telah dilaksanakan dan menyimpulkan materi yang telah dipelajari Memuat kegiatan evaluasi dengan cara memberikan latihan soal, kuis, maupun tanya jawab singkat Memuat kegiatan penghargaan terhadap kerja siswa dalam bentuk pujian, tepuktangan, atau pemberian hadiah Memuat informasi tentang rencana pembelajaran pada pertemuan selanjutnya Deskripsi I. Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa 34. Kesesuaian sumber belajar Sumber belajar yaitu LKS yang sesuai dan dengan tujuan pembelajaran mendukung ketercapaian tujuan pembelajaran 35. Kesesuaian sumber belajar Sumber belajar yaitu LKS sesuai dengan dengan karakteristik siswa perkembangan fisik dan intelektual siswa VIII. Penilaian Hasil Belajar Butir Penilaian Deskripsi J. Kesesuaian teknik penilaian dengan tujuan pembelajaran 36. Ketepatan pemilihan teknik Teknik penilaian yang terdapat dalam RPP penilaian yang sesuai dengan tepat untuk mengukur tujuan tujuan tujuan pembelajaran pembelajaran yang hendak dicapai 37. Kesesuaian butir-butir pada instrumen dengan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi 38. Keterwakilan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi oleh instrumen penilaian Butir pada instrumen yang dituangkan dalam RPP sesuai dengan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi Butir instrumen yang disusun mewakili indikator pencapaian kompetensi/ tujuan pembelajaran K. Keberadaan dan kejelasan prosedur penilaian 39. Keberadaan dan kejelasan Keberadaan dan kejelasan prosedur prosedur penilaian penilaian 40. Keberadaan instrumen Keberadaan instrumen penilaian, kunci penilaian, kunci jawaban jawaban soal, dan rubrik penyekoran soal, dan rubrik penyekoran 143

23 Lampiran C.3 LEMBAR PENILAIAN RPP MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X Bapak/Ibu yang terhormat, Saya memohon bantuan Bapak/Ibu untuk mengisi lembar penilaian ini yang ditujukan untuk mengetahui pendapat Bapak/Ibu tentang Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Berbasis Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk kelas X SMA. Penilaian dari Bapak/Ibu akan sangat membantu untuk perbaikan RPP ini. Atas perhatian dan kesediaan Bapak/Ibu, saya ucapkan terimakasih. A. Petunjuk Pengisian Lembar Penilaian 1. Penilaian ini dilakukan dengan memberi tanda ( ) pada kolom penilaian yang telah disediakan. Adapun keterangan pada skala penilaian adalah sebagai berikut. Keterangan Skor 5 = sangat baik Skor 4 = baik Skor 3 = cukup Skor 2 = kurang baik Skor 1 = tidak baik 2. Komentar dan saran perbaikan mohon diberikan secara singkat dan jelas pada poin C. 3. Bapak/Ibu dimohon untuk melingkari poin yang dianggap sesuai dengan RPP yang dinilai pada bagian kesimpulan. 144

24 B. LEMBAR PENILAIAN Mata Pelajaran : Matematika Judul Penelitian : Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Berbasis Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk Peneliti Validator : Tanggal Validasi : : Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa I. Identitas Mata Pelajaran Indikator Penilaian Butir Penilaian Skala Penilaian Keterangan Kejelasan dan kelengkapan Identitas kelas X SMA 1. Pencantuman nama sekolah 2. Pencantuman nama mata pelajaran 3. Pencantuman tingkatan kelas dan semester 4. Pencantuman alokasi waktu/jumlah pertemuan 5. Pencantuman standar kompetensi (SK) dan kompetensi dasar (KD) 6. Pencantuman indikator dan tujuan pembelajaran 7. Pencantuman materi pokok 145

25 II. III. IV. Alokasi Waktu Indikator Penilaian Ketepatan Alokasi Waktu Tujuan Pembelajaran Indikator Penilaian Kesesuaian rumusan tujuan pembelajaran dengan KD Pemilihan Materi Indikator Penilaian Kesesuaian dengan tujuan pembelajaran Kesesuaian dengan kemampuan dan kebutuhan siswa Butir Penilaian 8. Keefektifan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran 9. Keefisienan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran Butir Penilaian 10. Perumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran mengacu pada KD 11. Penggunaan kata kerja operasional yang dapat diukur/diamati 12. Keterkaitan dan keterpaduan antara KD dan indikator pencapaian kompetensi serta tujuan pembelajaran Butir Penilaian 13. Kesesuaian materi yang disajikan dengan tujuan pembelajaran 14. Penyusunan materi yang memperhatikan kemampuan dan karakteristik siswa 15. Penyusunan materi yang sesuai pada kebutuhan siswa Skala Penilaian Skala Penilaian Skala Penilaian Keterangan Keterangan Keterangan 146

26 V. Pemilihan Pendekatan dan Metode Pembelajaran VI. Indikator Penilaian Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan karakteristik siswa Butir Penilaian 16. Kesesuaian pendekatan dengan tujuan pembelajaran 17. Kesesuaian metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran 18. Kesesuaian pendekatan dengan karakteristik siswa 19. Kesesuaian metode pembelajaran dengan karakteristik siswa 20. Keberpusatan pada siswa Kegiatan Pembelajaran dengan Pendekatan Kontekstual Indikator Penilaian Kesesuaian dengan standar proses Butir Penilaian Kegiatan Pendahuluan 21. Penyiapan fisik dan mental peserta didik untuk mengikuti proses pembelajaran 22. Pemberian apersepsi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 23. Penyampaian motivasi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari 24. Penyampaian tujuan pembelajaran dengan jelas. Skala Penilaian Skala Penilaian Keterangan Keterangan 147

27 Kegiatan Inti 25. Kebermaknaan dan keberpusatan kegiatan pembelajaran pada siswa, sehingga siswa mampu mengkonstruksi atau membangun pengetahuannya (constructivism) 26. Penyusunan kegiatan pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa untuk menemukan konsep materi (inquiry) 27. Penyusunan kegiatan pembelajaran yang dapat membangkitkan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) 28. Pemberian kegiatan pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa dalam menciptakan masyarakat belajar (learning community) seperti diskusi kelompok. 29. Penggunaan suatu contoh atau ilustrasi masalah sebagai model pembelajaran agar siswa terangsang untuk berpikir (modeling) Kegiatan Penutup 30. Pemberian refleksi terhadap kegiatan yang telah dilaksanakan termasuk menyimpulkan materi yang telah dipelajari (reflection) 31. Penilaian terhadap hasil pembelajaran yang dapat berupa latihan soal, kuis maupun tanya jawab (authentic assessment) 148

28 32. Pemberian apresiasi terhadap siswa 33. Penyampaian rencana pembelajaran pada pertemuan selanjutnya VII. Pemilihan Sumber Belajar Indikator Penilaian Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa Butir Penilaian 34. Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran 35. Kesesuaian sumber belajar dengan karakteristik siswa Skala Penilaian Keterangan VIII. Penilaian Hasil Belajar Indikator Penilaian Kesesuaian teknik penilaian dengan tujuan pembelajaran Keberadaan dan kejelasan prosedur penilaian Butir Penilaian 36. Ketepatan pemilihan teknik penilaian yang sesuai dengan tujuan pembelajaran 37. Kesesuaian butir-butir pada instrumen dengan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi 38. Keterwakilan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi oleh instrumen penilaian 39. Keberadaan dan kejelasan prosedur penilaian 40. Keberadaan instrumen penilaian, kunci jawaban soal, dan rubrik penyekoran 149 Skala Penilaian Keterangan

29 C. Komentar dan Saran D. Kesimpulan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini dinyatakan *): 1. Layak diujicobakan di lapangan tanpa ada revisi. 2. Layak diujicobakan di lapangan dengan revisi. 3. Tidak layak diujicobakan di lapangan *) Lingkari salah satu. Yogyakarta, Desember 2015 Validator 150

30 Lampiran C.4 Kisi-kisi KISI-KISI LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X OLEH AHLI MATERI No Aspek Indikator Nomor Butir 1 Kompetensi Kesesuaian indikator dengan 1 Kompetensi Dasar (KD) Ketercakupan materi 2 Kesesuaian materi dengan tujuan 3 pembelajaran Kesesuaian materi dengan tingkat 4 pengetahuan siswa 2 Isi materi Keakuratan isi materi 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 3 Kesesuaian LKS Pengarahan siswa untuk 12 dengan pendekatan mengkonstruksi atau membangun kontekstual pengetahuannya (constructivism) Pengarahan siswa untuk menemukan 13 konsep (inquiry) Pembangkitan respon dan pertanyaan 14 dari siswa (questioning) Penciptaan masyarakat belajar yaitu 15 berupa kelompok-kelompok diskusi (learning community) Ketersajian model pembelajaran berupa 16 contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) Penyampaian refleksi dari materi yang 17 telah disajikan (reflection) Penilaian yang mengukur pengetahuan 18 dan ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) Jumlah Butir

31 KISI-KISI LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X OLEH AHLI MEDIA No Aspek Indikator Nomor Butir 1 Bahasa Kesesuaian dengan perkembangan siswa 1 Ketepatan penggunaan kalimat dan bahasa 2, 3, 4 Penggunaan istilah dan simbol 5, 6 2 Penyajian Teknik penyajian 7, 8, 9 Pendukung penyajian 10, 11 Kegiatan pembelajaran 12 3 Kegrafikan Ukuran LKS 13 Desain LKS 14, 15, 16, 17, 18 Isi LKS 19, 20, 21, 22, 23 Jumlah Butir

32 KISI-KISI LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X OLEH GURU No Aspek Indikator Nomor Butir 1 Kompetensi Kesesuaian indikator dengan Kompetensi 1 Dasar (KD) Ketercakupan materi 2 Kesesuaian materi dengan tujuan 3 pembelajaran Kesesuaian materi dengan tingkat 4 pengetahuan siswa 2 Isi materi Keakuratan isi materi 5, 6, 7, 8, 9, 3 Kesesuaian LKS dengan pendekatan kontekstual Pengarahan siswa untuk mengkonstruksi atau membangun pengetahuannya (constructivism) Pengarahan siswa untuk menemukan konsep (inquiry) Keterbangkitan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) Penciptaan masyarakat belajar yaitu berupa kelompok-kelompok diskusi (learning community) Ketersajian model pembelajaran berupa contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) Penyampaian refleksi dari materi yang telah disajikan (reflection) Penilaian yang mengukur pengetahuan dan ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) , Bahasa Kesesuaian dengan perkembangan siswa 19 Ketepatan penggunaan kalimat dan bahasa 20, 21, 22 Penggunaan istilah dan simbol 23, 24 5 Penyajian Teknik penyajian 25, 26, 27 Pendukung penyajian 28, 29 Kegiatan pembelajaran 30 6 Kegrafikan Ukuran LKS 31 Desain LKS 32, 33, 34, 35, 36 Isi LKS 37, 38, 39, 40, 41 Jumlah Butir

33 DESKRIPSI INSTRUMEN BUTIR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X A. Aspek Kompetensi No Butir Penilaian Deskripsi 1 Kesesuaian indikator dengan Indikator yang digunakan sesuai Kompetensi Dasar (KD) dengan KD (terlampir) 2 Ketercakupan materi Materi Logika yang diperlukan tersajikan dalam LKS secara lengkap guna mendukung tercapainya Kompetensi Dasar (KD) pada kurikulum KTSP serta mendukung materi pada buku pokok yang diberikan oleh pemerintah. 3 Kesesuaian materi dengan tujuan pembelajaran 4 Kesesuaian materi dengan tingkat pengetahuan siswa 154 Materi yang disajikan dalam LKS sesuai dengan tujuan pembelajaran yang telah dirumuskan berdasarkan Kompetensi Dasar (KD) pada pokok bahasan Logika dalam silabus Materi yang disajikan menyesuaikan tingkat pengetahuan siswa yaitu dari mudah ke sulit dan dari materi yang dikenal sampai ke yang belum dikenal B. Aspek Isi Materi No Butir Penilaian Deskripsi 5 Keakuratan konsep Konsep yang disampaikan sesuai dengan kaidah matematika serta tidak menimbulkan banyak tafsir oleh siswa 6 Keakuratan data atau fakta Fakta atau data yang disajikan dalam LKS sesuai dengan keadaan nyata dalam kehidupan sehari-hari 7 Keakuratan contoh dan kasus Contoh dan kasus yang disajikan sesuai dengan keadaan nyata dan efisien untuk meningkatkan pemahaman siswa. 8 Keakuratan gambar dan ilustrasi Lampiran C.5 Deskripsi Gambar dan ilustrasi yang digunakan sesuai serta mendukung pemahaman materi 9 Keakuratan istilah Istilah yang digunakan dalam LKS sesuai dengan kelaziman yang berlaku pada materi Logika. 10 Keakuratan notasi dan simbol Simbol dan notasi yang digunakan sesuai dengan kelaziman yang berlaku dibidang matematika

34 11 Keakuratan acuan pustaka Pustaka disajikan secara akurat serta setiap pustaka diacu dalam teks dan sebaliknya setiap acuan dalam teks terdapat pustakanya. C. Aspek Kesesuaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual No Butir Penilaian Deskripsi 12 Pengarahan siswa untuk Permasalahan yang diberikan dapat mengkonstruksi atau membantu siswa untuk membangun pengetahuannya mengkonstruksi pengetahuannya (constructivism) sendiri 13 Pengarahan siswa untuk Langkah-langkah yang ada pada LKS menemukan konsep (inquiry) dapat mengarahkan siswa untuk 14 Keterbangkitan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) 15 Penciptaan masyarakat belajar yaitu berupa kelompokkelompok diskusi (learning community) 16 Ketersajian model pembelajaran berupa contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) 17 Penyampaian refleksi dari materi yang telah disajikan (reflection) 18 Penilaian yang mengukur pengetahuan dan ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) 155 menemukan konsep Permasalahan yang ada pada LKS merangsang siswa untuk bertanya dan merespon bagaimana cara menyelesaikannya LKS memfasilitasi siswa untuk belajar dalam kelompok diskusi LKS menyajikan suatu contoh atau ilustrasi masalah agar siswa dapat berfikir, bekerja, dan belajar LKS memfasilitasi siswa untuk merangkum apa yang telah dipelajari berupa kolom rangkuman dalam LKS LKS memuat soal latihan yang dapat mengukur kemampuan siswa D. Aspek Bahasa No Butir Penilaian Deskripsi 19 Penggunaan kalimat yang tidak ambigu Kalimat yang digunakan tidak ambigu atau tidak menimbulkan multitafsir 20 Penggunaan bahasa yang sesuai dengan karakteristik siswa bagi siswa. Bahasa yang digunakan dapat dimengerti siswa sehingga siswa dapat memahami informasi yang disajikan dalam LKS dengan baik.

35 21 Penggunaan struktur kalimat yang benar dan jelas Struktur kalimat minimal mengandung subjek, predikat, dan obyek sehingga arti kalimat menjadi jelas. 22 Kesesuaian ejaan dengan EYD Ejaan yang digunakan mengacu pada pedoman Ejaan Yang Disempurnakan (EYD) 23 Konsistensi simbol yang digunakan 24 Konsistensi istilah yang digunakan Simbol yang digunakan konsisten antar bagian LKS Istilah yang digunakan menggambarkan suatu konsep konsisten antar bagian LKS E. Aspek Penyajian No Butir Penilaian Deskripsi 25 Konsistensi sistematika Sistematika penyajian LKS pada tiap penyajian tiap bab topik konsisten. 26 Keruntutan materi yang Konsep yang disampaikan runtut diberikan sesuai dengan urutan materi pada bab 27 Penggunaan kalimat yang dapat mendorong siswa untuk belajar 28 Ketersajian pengantar penggunaan LKS 29 Kejelasan petunjuk pembelajaran yang disajikan Logika Bahasa yang digunakan membangkitkan rasa senang dan mendorong siswa untuk mempelajari isi LKS Pengantar diawal berisi tentang tujuan penulisan LKS, keterangan sistematika LKS, serta hal-hal lain yang dianggap penting bagi peserta didik dalam menggunakan LKS. Memuat petunjuk pengerjaan LKS yang jelas dan tidak membingungkan siswa. 30 Keutuhan makna dalam setiap materi per-lks F. Aspek Kegrafikan No Butir Penilaian Deskripsi 31 Proporsionalitas ukuran kertas LKS 32 Keterwakilan isi LKS oleh tampilan cover LKS. Makna atau kesimpulan dari setiap LKS disajikan secara utuh Ukuran kertas untuk LKS tidak terlalu besar dan tidak terlalu kecil yaitu dengan menggunakan ukuran A4 Desain cover LKS mewakili isi sehingga memberikan gambaran tentang isi materi matematika 33 Penentuan tata letak tepat Tata letak (judul, ilustrasi, keterangan LKS) sederhana dan tidak mengganggu penyajian materi 156

36 34 Kesesuaian bentuk, warna, dan ukuran ilustrasi 35 Konsistensi tata letak unsur LKS 36 Keserasian dan kemenarikan warna latar belakang. 37 Ketepatan penggunaan ukuran dan jenis huruf 38 Kesesuaian penggunaan variasi huruf (italic, bold, underline) 39 Kesesuaian spasi antar baris susunan teks 40 Kesesuaian pemberian ilustrasi, gambar, foto pada setiap LKS 41 Proporsionalitas susunan setiap bagian LKS Bentuk, warna, dan ukuran ilustrasi sesuai sehingga menarik dan tidak menimbulkan salah tafsir siswa Tata letak (judul, petunjuk belajar, informasi pendukung, aktivitas siswa) konsisten setiap LKS Warna latar belakang setiap bagian LKS kontras dan menarik serta konsisten pada setiap LKS Tidak terlalu banyak menggunakan jenis huruf dan ukuran. Jenis dan ukuran disesuaikan untuk memberikan penekanan pada LKS seperti judul dan aktivitas siswa Variasi huruf ini dilakukan untuk membedakan hirarki judul, sub judul serta memberikan tekanan pada susunan teks yang dianggap penting Jarak spasi antar baris tidak terlalu lebar dan tidak terlalu rapat sehingga memudahkan siswa dalam membaca Ilustrasi, gambar, grafik, dan foto yang disajikan dalam LKS sesuai dengan materi yang dibahas pada setiap LKS Setiap bagian LKS disusun secara proposionalitas dan tidak mengganggu dalam pemahaman konsep siswa 157

37 LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X Lampiran C.6 Lembar Penilaian Mata Pelajaran : Matematika Sasaran : Siswa SMA Kelas X Judul Penelitian : Peneliti : Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa Validator : Tanggal Validasi : A. Petunjuk Pengisian 4. Lembar validasi ini dimaksudkan untuk mendapatkan informasi terkait dengan kevalidan LKS yang sedang dikembangkan berdasarkan komponen yang telah terlampir 5. Penilaian ini dilakukan dengan memberi tanda ( ) pada kolom penilaian yang telah disediakan. Adapun keterangan pada skala penilaian adalah sebagai berikut: Keterangan Skor 5 = sangat baik Skor 4 = baik Skor 3 = cukup Skor 2 = kurang baik Skor 1 = tidak baik 6. Komentar dan saran perbaikan mohon diberikan secara singkat dan jelas pada poin C. 7. Bapak/Ibu dimohon untuk melingkari poin yang dianggap sesuai dengan LKS yang dinilai pada bagian kesimpulan. Kami sampaikan terimakasih atas kesediaan Bapak/Ibu untuk mengisi lembar penilaian ini. 158

38 B. Aspek Penilaian No Kriteria Penilaian Skala Penilaian A. Aspek Kompetensi 1 Kesesuaian indikator dengan Kompetensi Dasar (KD) 2 Ketercakupan materi 3 Kesesuaian materi dengan tujuan pembelajaran 4 Kesesuaian materi dengan tingkat pengetahuan siswa B. Aspek Isi Materi 5 Keakuratan konsep 6 Keakuratan data atau fakta 7 Keakuratan contoh dan kasus 8 Keakuratan gambar dan ilustrasi 9 Keakuratan istilah 10 Keakuratan notasi dan simbol 11 Keakuratan acuan pustaka C. Aspek Kesesuaian LKS dengan Pendekatan CTL 12 Pengarahan siswa untuk mengkonstruksi atau membangun pengetahuannya (constructivism) 13 Pengarahan siswa untuk menemukan konsep (inquiry) 14 Keterbangkitan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) 15 Penciptaan masyarakat belajar yaitu berupa kelompok-kelompok diskusi (learning community) Keterangan 159

39 16 Ketersajian model pembelajaran berupa contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) 17 Penyampaian refleksi dari materi yang telah disajikan (reflection) 18 Penilaian yang mengukur pengetahuan dan ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) D. Aspek Bahasa 19 Penggunaan kalimat yang tidak ambigu 20 Penggunaan bahasa yang sesuai dengan karakteristik siswa 21 Penggunaan struktur kalimat yang benar dan jelas 22 Kesesuaian ejaan dengan EYD 23 Konsistensi simbol yang digunakan 24 Konsistensi istilah yang digunakan E. Aspek Penyajian Materi 25 Konsistensi sistematika penyajian tiap bab 26 Keruntutan materi yang diberikan 27 Penggunaan kalimat yang dapat mendorong siswa untuk belajar 28 Ketersajian pengantar penggunaan LKS 29 Kejelasan petunjuk pembelajaran yang disajikan 160

40 30 Keutuhan makna dalam setiap materi per-lks F. Aspek Kegrafikan 31 Proporsionalitas ukuran kertas LKS 32 Keterwakilan isi LKS oleh tampilan cover LKS. 33 Penentuan tata letak tepat 34 Kesesuaian bentuk, warna, dan ukuran ilustrasi 35 Konsistensi tata letak unsur LKS 36 Keserasian dan kemenarikan warna latar belakang. 37 Ketepatan penggunaan ukuran dan jenis huruf 38 Kesesuaian penggunaan variasi huruf (italic, bold, underline) 39 Kesesuaian spasi antar baris susunan teks 40 Kesesuaian pemberian ilustrasi, gambar, foto pada setiap LKS 41 Proporsionalitas susunan setiap bagian LKS 161

41 C. Komentar dan Saran Perbaikan D. Kesimpulan LKS pembelajaran ini dinyatakan *): 4. Layak diujicobakan di lapangan tanpa ada revisi. 5. Layak diujicobakan di lapangan dengan revisi. 6. Tidak layak diujicobakan di lapangan *) Lingkari salah satu. Yogyakarta, Desember 2015 Validator 162

42 KISI-KISI ANGKET RESPON GURU TERHADAP PERANGKAT PEMBELAJARAN BERUPA RPP DAN LKS BERPASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X Aspek yang Diamati Indikator Penilaian Nomor Butir Materi Penyajian Materi 1-3 Pendekatan kontekstual Penggunaan pendekatan kontekstual dalam perangkat pembelajaran RPP Penyajian RPP LKS Penyajian LKS Lampiran C.7 Kisi-kisi 163

43 ANGKET RESPON GURU TERHADAP PERANGKAT PEMBELAJARAN BERUPA RPP DAN LKS BERPASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X Lampiran C.8 Angket Respon Angket ini dimaksudkan untuk mengetahui pendapat Bapak/Ibu tentang Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) dan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) untuk materi logika. Atas kesediaan Bapak/Ibu untuk mengisi lembar angket ini diucapkan terimakasih. A. Petunjuk 1. Pada angket ini terdapat 20 pernyataan. Pertimbangkan baik-baik setiap pertanyaan dalam kaitannya dengan perangkat pembelajaran berupa RPP dan LKS yang telah Bapak/Ibu gunakan. 2. Bapak/Ibu dimohon untuk memberikan tanda pada kolom yang sesuai dengan pendapat Bapak/Ibu untuk setiap pernyataan yang diberikan Keterangan Pilihan Jawaban: SS = Sangat Setuju S = Setuju KS = Kurang Setuju TS = Tidak Setuju STS = Sangat Tidak Setuju 164

44 No B. Angket Butir Penilaian 1 Materi pembelajaran disajikan secara runtut sehingga mudah dipahami. 2 Materi yang disajikan sesuai dengan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar. 3 Materi yang disajikan sesuai dengan konsep logika. 4 Materi dan permasalahan yang disajikan dikaitkan dengan konteks kehidupan seharihari. 5 RPP dan LKS dapat membantu guru untuk membimbing siswa dalam menemukan konsep logika. 6 RPP dan LKS dapat memudahkan guru dalam mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang dapat mendorong siswa untuk berpikir kritis. 7 RPP dan LKS dapat memudahkan guru dalam melakukan kegiatan diskusi dalam kelas. 8 RPP dan LKS dapat memudahkan guru untuk merefleksikan kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan 9 RPP dan LKS dapat membantu guru dalam memberikan contoh atau ilustrasi masalah. 10 RPP dan LKS dapat memudahkan guru untuk melakukan penilaian yang dapat menguji pemahaman siswa terhadap materi logika 11 Komponen RPP disajikan secara runtut dan jelas sehingga mudah dipahami 12 Bahasa yang digunakan dalam RPP sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia. 13 Tahapan pembelajaran yang tercantum dalam RPP jelas. 14 Urutan kegiatan pembelajaran sesuai dengan pendekatan kontekstual. 15 Alokasi waktu yang disediakan efektif untuk melaksanakan berbagai kegiatan dalam RPP. 16 LKS dapat membantu guru untuk memfasilitasi siswa dalam berkomunikasi menyampaikan gagasan atau penjelasan. 17 LKS mendorong siswa untuk berdiskusi atau bekerjasama dengan orang lain dalam suatu kelompok. Pilihan Jawaban SS S KS TS STS 165

45 18 LKS memfasilitasi siswa untuk terlibat aktif dalam pembelajaran 19 LKS menggunakan bahasa yang komunikatif dan mudah dipahami oleh siswa. 20 Petunjuk kegiatan dalam LKS jelas sehingga memudahkan siswa melakukan kegiatan yang ada. 21 Pemilihan jenis huruf, ukuran huruf, serta spasi yang digunakan sesuai sehingga mempermudah siswa dalam membaca LKS. 22 Pemilihan gambar atau ilustrasi tepat sehingga mempermudah siswa untuk memahami materi atau permasalahan 23 Aktivitas dalam LKS membantu siswa untuk menemukan konsep materi. 24 Aktivitas dalam LKS mudah diimplementasikan dalam pembelajaran 25 LKS yang digunakan membantu mendorong minat belajar siswa. C. Saran Sleman, Februari 2016 Responden NIP. 166

46 KISI-KISI INSTRUMEN BUTIR ANGKET RESPON SISWA TERHADAP KEGIATAN PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X Lampiran C.9 Kisi-kisi No Aspek Indikator Nomor Butir 1 Kesesuaiaan dengan Pendekatan Kesesuaian LKS dengan hakekat dan prinsip-prinsip pendekatan kontekstual. 1, 2, 3, 4, 5, 6 Kontekstual 2 Kemudahan Kemudahan pemnggunaan LKS dalam 11,12,13 pembelajaran 3 Keterbantuan Keterbantuan siswa dalam pembelajaran 7,8,9,10 menggunaan LKS dengan pendekatan kontekstual 4 Kemenarikan Kemenarikan isi dan tampilan LKS 14,15,16 Jumlah Butir 16 No Jenis Pernyataan Nomor Butir Jumlah 1 Positif 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,14,15, Negatif 12,13 2 Jumlah Butir

47 ANGKET RESPON SISWA TERHADAP KEGIATAN PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X Lampiran C.10 Angket Respon Mata Pelajaran Nama Kelas Hari, tanggal : Matematika : : : Dalam rangka pengembangan perangkat pembelajaran matematika di kelas, kami mohon tanggapan adik-adik terhadap proses pembelajaran menggunakan LKS pada materi logika yang telah dilakukan. A. Petunjuk 1. Pada angket ini terdapat 20 pernyataan. Perhatikan baik-baik setiap pernyataan dalam kaitannya dengan LKS yang baru saja kamu pelajari. Berilah jawaban yang benar-benar cocok dengan pilihanmu. 2. Berilah tanda ( ) pada kolom yang sesuai dengan pendapatmu untuk setiap pernyataan yang diberikan. B. Keterangan Pilihan Jawaban SS = Sangat Setuju S = Setuju KS = Kurang Setuju TS = Tidak Setuju STS = Sangat Tidak Setuju 168

48 C. Angket No Pernyataan 1 Materi dalam LKS dikaitkan dengan kehidupan nyata 2 Langkah-langkah kegiatan dalam LKS membantu saya untuk menemukan konsep logika 3 Pertanyaan-pertanyaan yang diberikan dalam LKS mendorong rasa ingin tahu saya dalam memecahkan masalah. 4 Permasalahan dalam LKS mendorong saya untuk bertanya. 5 Kegiatan dalam LKS membantu saya berdiskusi bersama teman dalam memahami materi logika. 6 Langkah-langkah kegiatan dalam LKS membantu saya untuk menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 7 Contoh dan ilustrasi masalah dalam LKS membantu saya dalam memahami materi logika 8 Soal latihan pada LKS membantu saya untuk lebih memahami materi yang telah dipelajari. 9 Kegiatan dalam LKS membantu dan memotivasi saya dalam memahami materi logika. 10 Penggunaan LKS membantu saya dalam memahami dan menyelesaikan masalah Pilihan Jawaban SS S KS TS STS 169

49 11 Bahasa yang digunakan dalam LKS mudah dipahami 12 Petunjuk yang digunakan dalam LKS tidak jelas dan membingungkan. 13 Saya sulit memahami simbol dan istilah yang digunakan dalam LKS. 14 Cover LKS menarik. 15 Tampilan LKS menarik dan tidak membosankan 16 Ilustrasi atau gambar dalam LKS sesuai dengan materi yang dipelajari D. Kesan dan Saran Sleman, Siswa, (.) 170

50 Lampiran C.11 Lembar Lembar Pedoman Observasi Pelaksanaan Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Kontekstual Hari/Tanggal : Pokok Bahasan : Pertemuan ke- : Waktu : Berilah tanda cek ( ) pada kolom pilihan yang sesuai. Tulislah deskripsi hasil pengamatan selama pembelajaran berlangsung pada kolom Deskripsi No Aspek yang diamati Ya Tidak Deskripsi Kegiatan Pendahuluan 1 Guru memberikan salam dan memberi kesempatan siswa untuk berdoa terlebih dahulu. 2 Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa dalam mengikuti pembelajaran. 3 Guru memberikan apersepsi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 4 Guru menyampaikan motivasi tentang manfaat mempelajari materi logika. 5 Guru menjelaskan tujuan dari pembelajaran secara jelas dan singkat. Kegiatan Inti Constructivism 6 Guru menghubungkan materi dengan konteks kehidupan sehari-hari 7 Guru memberikan pertanyaanpertanyaan atau contoh masalah yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 8 Siswa diberi kesempatan untuk mengungkapkan idenya Inquiry 9 Siswa dibantu untuk merumuskan masalah 10 Siswa diberi kesempatan untuk mengerjakan LKS untuk memahami materi logika. 11 Siswa diberi pertanyaan untuk mengecek pemahaman mereka dalam mengerjakan LKS. 171

51 Questioning 12 Siswa yang bertanya pada guru *) Learning community 13 Siswa diarahkan untuk membentuk kelompok-kelompok belajar 14 Siswa mengerjakan LKS secara diskusi *) 15 Guru berkeliling untuk memantau kegiatan diskusi siswa. Modeling 16 Guru memberikan contoh dalam menyelesaikan masalah Reflection 17 Siswa diberi kesempatan untuk menyimpulkan. 18 Siswa memberikan kesimpulan mengenai apa yang telah dipelajari pada pertemuan hari ini *) 19 Guru menguatkan kembali kesimpulan siswa Authentic Assessment 21 Guru mengadakan presentasi untuk menilai proses belajar siswa. 22 Guru memberikan latihan soal atau tugas untuk menilai proses belajar siswa. Kegiatan Penutup 23 Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 24 Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan membaca doa bersama. Keterangan: *) Aspek yang diamati terpenuhi jika lebih dari atau sama dengan 50% siswa melaksanakan kegiatan tersebut. Aspek yang diamati tidak terpenuhi jika kurang dari 50% siswa tidak melaksanakan kegiatan tersebut. Sleman, Observer (...) 172

52 KISI-KISI SOAL TES HASIL BELAJAR SISWA SETELAH MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA SMA KELAS X Lampiran C.12 Kisi-kisi Tes Materi Kelas/ Semester : X/ 2 Tipe soal Banyak soal : Logika Matematika : Pilihan ganda dan esai : 15 pilihan ganda dan 3 esai Standar Kompetensi: 4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.1 Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya 4.2 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 4.3 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. 4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. 173 Indikator Soal Membedakan pernyataan, bukan pernyataan, dan kalimat terbuka Menentukan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk Menentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor Menentukan ingkaran suatu pernyataan majemuk Menentukan ingkaran pernyataan berkuantor Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari suatu implikasi Menentukan suatu pernyataan majemuk termasuk tautologi atau kontradiksi Menentukan pernyataan yang ekuivalen dengan suatu pernyataan majemuk Menentukan pernyataan yang ekuivalen dengan suatu pernyataan berkuantor Menarik kesimpulan menggunakan modus ponen, modus tolens, dan silogisme. Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan induksi matematika. Nomor Soal Pilihan Ganda Esai 1 1 2,3-4,5-15 6,7, , , (pengay aan) (pengay aan)

53 KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN SOAL TES HASIL BELAJAR SISWA SETELAH MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA SMA KELAS X Lampiran C.13 Kunci Jawaban A. Pilihan Ganda No Soal Jawaban Skor 1 Perhatikan paragraf berikut. 1) Pernyataan karena memiliki Indonesia merupakan Negara nilai kebenaran (benar) Kepulauan. 1 Jawa merupakan pulau 2) Pernyataan karena memiliki terluas di Indonesia. 2 Apakah kalian nilai kebenaran (salah) tahu berapa banyak pulau yang ada di 3) Bukan pernyataan karena Indonesia? 3 Coba kalian cari tahu dari merupakan kalimat tanya atau berbagai sumber! 4 Indonesia dilewati tidak memiliki nilai oleh garis khatulistiwa. 5 Oleh karena kebenaran. itu, Indonesia memiliki alam yang 4) Bukan pernyataan karena indah. 6 merupakan kalimat perintah Berdasarkan artikel di atas, kalimat atau tidak memiliki nilai 4 yang merupakan pernyataan adalah A. Kalimat nomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 B. Kalimat nomor 1, 2, 5, dan 6 C. Kalimat nomor 1, 2, dan 5 D. Kalimat nomor 1, 5, dan 6 E. Kalimat nomor 1 dan 5 kebenaran. 5) Pernyataan karena memiliki nilai kebenaran (benar) 6) Bukan pernyataan karena nilai kebenarannya relatif. Jadi yang merupakan pernyataan adalah kalimat nomor 1, 2, dan 5 2 Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka k adalah bilangan prima kurang dari 10 adalah. A. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 B. 1,3,5,7,9 C. 2,3,5,7,9 D. 2,4,6,8 E. 2,3,5,7 3 Itu adalah adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya pengganti kata itu agar kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan bernilai benar adalah. 174 Jawaban: C A. Himpunan bilangan asli kurang dari 10. B. Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10 C. 9 bukan merupakan bilangan prima. D. Himpunan bilangan genap kurang dari 10 E. Himpunan bilangan prima kurang dari 10 Jawaban: E Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponenkomponennya Jadi pengganti kata itu yang tepat 4

54 A. Tautologi B. Kontradiksi C. Ekuivalensi D. Konjungsi E. Disjungsi 4 Diketahui pernyataan berikut. p: Segitiga sama sisi memiliki x buah simetri lipat. q: Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180. Nilai x yang memenuhi agar pernyataan majemuk p q bernilai benar adalah A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 5 Diketahui p merupakan pernyataan benar dan q merupakan pernyataan salah. Pernyataan yang bernilai benar adalah A. p q B. p q C. p q D. p q E. p q 6 Dalam suatu percakapan Sita mengatakan, Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit atau tidak perlu dilesarikan, tetapi Dian tidak setuju dengan pernyataan Sita, karena sebagai generasi penerus bangsa kita harus melestarikan Bahasa Daerah kita masing-masing. Pernyataan yang dapat digunakan oleh Dian untuk menyanggah (Negasi) pernyataan Sita adalah A. Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit dan tidak perlu dilestarikan B. Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit dan perlu dilestarikan C. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan. D. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah atau perlu dilestarikan E. Bahasa daerah adalah bahasa yang 175 adalah tautologi Jawaban: A Pernyataan q bernilai benar, sehingga majemuk p q bernilai benar jika pernyataan p bernilai benar pula. Segitiga sama sisi memiliki 3 buah simetri lipat. Jadi nilai x yang memenuhi pernyataan p agar pernyataan p q bernilai benar adalah 3. Jawaban: B τ p = B τ q = S A. S S, bernilai salah B. B S, bernilai salah C. B S, bernilai salah D. B B, bernilai benar E. B S, bernilai salah Jawaban: D Misal p: Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit q: Bahasa daerah adalah bahasa yang tidak perlu dilestarikan p q: Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit atau tidak perlu dilesarikan p q p q: Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan. Jadi, negasi dari pernyataan Sita adalah Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan Jawaban: C

55 mudah atau tidak perlu dilestarikan. 7 Negasi atau ingkaran dari pernyataan Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi adalah A. Jika Gunung Merapi tidak meletus maka semua warga tidak mengungsi B. Jika Gunung Merapi tidak meletus maka beberapa warga tidak mengungsi C. Gunung Merapi tidak meletus dan semua warga tidak mengungsi D. Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi E. Gunung Merapi meletus atau beberapa warga tidak mengungsi 8 Negasi dari pernyataan Beberapa siswa kelas X mengikuti latihan pramuka adalah. A. Beberapa siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. B. Semua siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. C. Semua siswa kelas X mengikuti latihan pramuka. D. Tidak ada siswa kelas X yang tidak mengikuti latihan pramuka. E. Sebagian kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. 9 Kontraposisi dari pernyataan Jika pelajaran kosong maka siswa senang adalah. A. Jika siswa senang maka pelajaran kosong B. Jika siswa tidak senang maka pelajaran kosong C. Jika siswa tidak senang maka pelajaran tidak kosong D. Jika pelajaran tidak kosong maka siswa tidak senang E. Jika pelajaran tidak kosong maka siswa senang Misal, p: Gunung Merapi meletus q: Semua warga mengungsi p q: Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi p q p q: Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi Jadi, negasi dari pernyataan Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi adalah Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi Jawaban: D Misal kalimat berkuantor p: Beberapa siswa kelas X mengikuti latihan pramuka. Maka, p: Semua siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. Jawaban: B Misal: p: Pelajaran kosong q: Siswa senang p q: Jika pelajaran kosong maka siswa senang Kontraposisisinya adalah: ~p ~q: Jika siswa tidak senang maka pelajaran tidak kosong Jawaban: C 4 176

56 10 Konvers dari pernyataan Jika warga menggunakan transportasi umum maka kemacetan berkurang adalah. A. Jika kemacetan berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. B. Jika warga tidak menggunakan transportasi umum maka kemacetan tidak berkurang C. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. D. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga tidak menggunakan transportasi umum. E. Jika warga menggunakan transportasi umum maka kemacetan tidak berkurang 11 Pernyataan Jika Tika menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas ekuivalen dengan. A. Jika Tika tidak menyukai pelajaran matematika maka Tika mengantuk di kelas. B. Jika Tika tidak menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas. C. Tika menyukai pelajaran matematika atau Tika mengantuk di kelas. D. Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika mengantuk di kelas. E. Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika tidak mengantuk di kelas. 12 Pernyataan Semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki ekuivalen dengan. A. Jika ABC bukan segitiga sama sisi, maka ABC bukan segitiga sama kaki. B. Jika ABC sama kaki, maka ABC sama sisi. C. Jika ABC sama sisi, maka ABC 177 Misal: p: Warga menggunakan transportasi umum q: Kemacetan berkurang Maka, Konvers dari p q adalah q p Atau Jika kemacetan berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. Jawaban: A Misal: p: Tika menyukai pelajaran matematika q: Tika mengantuk di kelas (p q) ( q p) (kontraposisinya) atau (p q) p q Jadi, pernyataan Jika Tika menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas ekuivalen dengan Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika tidak mengantuk di kelas. Jawaban: E Ambil sebarang segitiga, ABC, maka pernyataan Semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki ekuivalen dengan Jika ABC sama sisi, maka ABC sama kaki Jawaban: D

57 bukan segitiga sama kaki. D. Jika ABC sama sisi, maka ABC sama kaki. E. Jika ABC bukan segitiga sama sisi, maka ABC sama kaki. 13 Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil Premis (2): Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia Dari premis-premis tersebut dapat disimpulkan bahwa. A. Jika hidup saya bahagia, maka saya jujur. B. Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia. C. Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil. D. Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia. E. Jika usaha saya berhasil, maka saya jujur. 14 Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): r (p q) Premis (2): r Simpulan yang sah berdasarkan kedua premis di atas adalah. A. p q B. p q C. p q D. p q E. p q 15 Jika diketahui himpunan semesta A = {1,2,3,4,5,6} maka pernyataan berkuantor berikut yang memiliki nilai kebenaran Salah adalah. A. x A, x + 2 < 6 B. x A, x 3 < 4 1 C. x A, 1 x D. x A, x + 4 = 9 1 E. x A, > 0 x 1 Misal: p: saya jujur q: usaha saya berhasil r: hidup saya bahagia Maka, P 1 : p q P 2 : q r p r Atau Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia Jawaban: B Diketahui: P 1 : r (p q) P 2 : r (p q) Jawaban: E A. Salah, karena ada x = 5, sehingga = 7 > 6 B. Benar, karena untuk semua x A berlaku x 3 < 4 C. Benar, karena untuk semua x A berlaku 1 x 1 D. Benar, karena ada x = 5, sehingga = 9 E. Benar, karena ada x = 4, sehingga 1 3 > 0 Jawaban: A

58 B. Esai No Soal Jawaban Skor 1 Buatlah masing-masing 1 contoh a. Lenong adalah kesenian untuk: tradisional Suku Betawi a. Pernyataan Benar yang (menyesuaikan jawaban siswa) berhubungan dengan kebudayaan b. Taman Nasional Ujung Kulon di sekitar kalian terletak di Cangkringan 10 b. Pernyataan Salah yang (menyesuaikan jawaban siswa) berhubungan dengan lingkungan c. Dia adalah seorang pemain di sekitar kalian bulutangkis terkenal. c. Kalimat terbuka (menyesuaikan jawaban siswa) 2 Tentukan nilai kebenaran dari (dilampirkan) pernyataan majemuk berikut dengan menggunakan tabel kebenaran. ~p q (~q ~p) a. Selidiki apakah pernyataan 15 majemuk tersebut merupakan suatu tautologi atau kontradiksi. b. Selidiki apakah ~p q ~q ~p 3 Selidiki apakah sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut. a. Premis 1: Pemerintah mengendalikan penambangan pasir di Gunung Merapi atau lingkungan terancam rusak. Premis 2: Lingkungan tidak terancam rusak Konklusi: Jadi, Pemerintah mengendalikan penambangan di Gunung Merapi b. Premis 1: Jika kita membeli produk lokal maka perekonomian lokal meningkat. Premis 2: Jika perekonomian lokal meningkat maka kesejahteraan rakyat membaik. Konklusi: Jadi, Jika kita membeli produk lokal maka kesejahteraan rakyat membaik. a. Misal: p: Pemerintah mengendalikan penambangan pasir di Gunung Merapi q: Lingkungan terancam rusak. Sehingga diperoleh: P 1 : p q P 2 : q Pernyataan P 1 : p q p q Sehingga, P 1 : p q P 2 : q K: p Jadi, penarikan kesimpulan tersebut sah

59 LAMPIRAN JAWABAN NO.2 2. Tabel kebenaran dari ~p q (~q ~p) b. Misal: p: Kita membeli produk lokal q: Perekonomian lokal meningkat r: Kesejahteraan rakyat membaik Sehingga diperoleh: P 1 : p q P 2 : q r Sehingga, P 1 : p q P 2 : q r K: p r Jadi, penarikan kesimpulan tersebut sah p q ~p ~q ~p q ~q ~p ~p q (~q ~p) B B S S B B B B S S B S S B S B B S B B B S S B B B B B Dari tabel di atas diperoleh jawaban sebagai berikut. a. Selidiki apakah pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi atau kontradiksi. Jawab: Ya, karena nilai kebenarannya semuanya benar. b. Selidiki apakah ~p q ~q ~p. Jawab: Ya, karena nilai kebenaran dari ~p q sama dengan nilai kebenaran dari ~q ~p 180

60 SOAL TES HASIL BELAJAR SISWA SETELAH MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA SMA KELAS X A. Pilihan Ganda Berilah tanda silang pada huruf A, B, C, D, atau E di depan jawaban yang tepat! Lampiran C.14 Soal Tes Hasil 1. Perhatikan paragraf berikut. Indonesia merupakan Negara Kepulauan. 1 Jawa merupakan pulau terluas di Indonesia. 2 Apakah kalian tahu berapa banyak pulau yang ada di Indonesia? 3 Coba kalian cari tahu dari berbagai sumber! 4 Indonesia dilewati oleh garis khatulistiwa. 5 Oleh karena itu, Indonesia memiliki alam yang indah. 6 Berdasarkan artikel di atas, kalimat yang merupakan pernyataan adalah A. Kalimat nomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 B. Kalimat nomor 1, 2, 5, dan 6 C. Kalimat nomor 1, 2, dan 5 D. Kalimat nomor 1, 5, dan 6 E. Kalimat nomor 1 dan 5 2. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka k adalah bilangan prima kurang dari 10 adalah. A. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 B. 1,3,5,7,9 C. 2,3,5,7,9 D. 2,4,6,8 E. 2,3,5,7 3. Itu adalah adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya pengganti kata itu agar kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan bernilai benar adalah. A. Tautologi B. Kontradiksi C. Ekuivalensi D. Konjungsi E. Disjungsi 4. Diketahui pernyataan berikut. p: Segitiga sama sisi memiliki x buah simetri lipat. q: Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180. Nilai x yang memenuhi agar pernyataan majemuk p q bernilai benar adalah A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E

61 5. Diketahui p merupakan pernyataan benar dan q merupakan pernyataan salah. Pernyataan yang bernilai benar adalah A. p q B. p q C. p q D. p q E. p q 6. Dalam suatu percakapan Sita mengatakan, Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit atau tidak perlu dilesarikan, tetapi Dian tidak setuju dengan pernyataan Sita, karena sebagai generasi penerus bangsa kita harus melestarikan Bahasa Daerah kita masing-masing. Pernyataan yang dapat digunakan oleh Dian untuk menyanggah (Negasi) pernyataan Sita adalah A. Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit dan tidak perlu dilestarikan B. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan tidak perlu dilestarikan C. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan. D. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah atau perlu dilestarikan E. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah atau tidak perlu dilestarikan. 7. Negasi atau ingkaran dari pernyataan Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi adalah A. Jika Gunung Merapi tidak meletus maka semua warga tidak mengungsi B. Jika Gunung Merapi tidak meletus maka beberapa warga tidak mengungsi C. Gunung Merapi tidak meletus dan semua warga tidak mengungsi D. Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi E. Gunung Merapi meletus atau beberapa warga tidak mengungsi 8. Negasi dari pernyataan Beberapa siswa kelas X mengikuti latihan pramuka adalah. A. Beberapa siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. B. Semua siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. C. Semua siswa kelas X mengikuti latihan pramuka. D. Tidak ada siswa kelas X yang tidak mengikuti latihan pramuka. E. Sebagian kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. 182

62 9. Kontraposisi dari pernyataan Jika pelajaran kosong maka siswa senang adalah. A. Jika siswa senang maka pelajaran kosong B. Jika siswa tidak senang maka pelajaran kosong C. Jika siswa tidak senang maka pelajaran tidak kosong D. Jika pelajaran tidak kosong maka siswa tidak senang E. Jika pelajaran tidak kosong maka siswa senang 10. Konvers dari pernyataan Jika warga menggunakan transportasi umum maka kemacetan berkurang adalah. A. Jika kemacetan berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. B. Jika warga tidak menggunakan transportasi umum maka kemacetan tidak berkurang C. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. D. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga tidak menggunakan transportasi umum. E. Jika warga menggunakan transportasi umum maka kemacetan tidak berkurang 11. Pernyataan Jika Tika menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas ekuivalen dengan. A. Jika Tika tidak menyukai pelajaran matematika maka Tika mengantuk di kelas. B. Jika Tika tidak menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas. C. Tika menyukai pelajaran matematika atau Tika mengantuk di kelas. D. Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika mengantuk di kelas. E. Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika tidak mengantuk di kelas. 12. Pernyataan Semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki ekuivalen dengan. A. Jika ABC bukan segitiga sama sisi, maka ABC bukan segitiga sama kaki. B. Jika ABC sama kaki, maka ABC sama sisi. C. Jika ABC sama sisi, maka ABC bukan segitiga sama kaki. D. Jika ABC sama sisi, maka ABC sama kaki. E. Jika ABC bukan segitiga sama sisi, maka ABC sama kaki. 183

63 13. Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil Premis (2): Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia Dari premis-premis tersebut dapat disimpulkan bahwa. A. Jika hidup saya bahagia, maka saya jujur. B. Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia. C. Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil. D. Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia. E. Jika usaha saya berhasil, maka saya jujur. 15. Jika diketahui himpunan semesta A = {1,2,3,4,5,6} maka pernyataan berkuantor berikut yang memiliki nilai kebenaran Salah adalah. A. x A, x + 2 < 6 B. x A, x 3 < 4 C. x A, 1 x 1 D. x A, x + 4 = 9 E. x A, 1 x 1 > Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): (p q) r Premis (2): r Simpulan yang sah berdasarkan kedua premis di atas adalah. A. p q B. p q C. p q D. p q E. p q 184

64 B. Esai Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang jelas dan tepat! 1. Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. Pernyataan Benar yang berhubungan dengan kebudayaan di sekitar kalian b. Pernyataan Salah yang berhubungan dengan lingkungan di sekitar kalian c. Kalimat terbuka. 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut dengan menggunakan tabel kebenaran. ~p q (~q ~p) a. Selidiki apakah pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi atau kontradiksi. b. Selidiki apakah ~p q ~q ~p. 3. Selidiki apakah sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut. a. Premis 1: Pemerintah mengendalikan penambangan pasir di Gunung Merapi atau lingkungan terancam rusak. Premis 2: Lingkungan tidak terancam rusak Konklusi: Jadi, Pemerintah mengendalikan penambangan di Gunung Merapi b. Premis 1: Jika kita membeli produk lokal maka perekonomian lokal meningkat. Premis 2: Jika perekonomian lokal meningkat maka kesejahteraan rakyat membaik. Konklusi: Jadi, Jika kita membeli produk lokal maka kesejahteraan rakyat membaik. 185

65 LAMPIRAN D Hasil Validasi Instrumen Penilaian dan Perangkat Pembelajaran D.1. D.2. D.3. D.4. D.5. D.6. D.7. D.8. D.9. D.10. D.11. D.12. D.13. D.14. D.15. D.16. Lembar Validasi Instrumen Penilaian RPP Lembar Validasi Instrumen Penilaian LKS Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Guru Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Siswa Lembar Validasi Instrumen Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran Lembar Validasi Instrumen Tes Hasil Belajar Siswa Lembar Penilaian RPP oleh Ahli Materi Lembar Penilaian RPP oleh Guru Matematika Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Materi Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Media Lembar Penilaian LKS oleh Guru Matematika Angket Respon oleh Guru Angket Respon oleh Siswa Lembar Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran Lembar Jawab Tes Hasil Belajar Siswa Contoh Hasil Pengerjaan LKS Siswa 186

66 Lampiran D.1 Lembar Validasi Lembar Validasi Instrumen Penilaian RPP 187

67 188

68 189

69 190

70 191

71 Lampiran D.2 Lembar Validasi Lembar Validasi Instrumen Penilaian LKS 192

72 193

73 194

74 Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Guru Lampiran D.3 Lembar Validasi 195

75 196

76 197

77 Lampiran D.4 Lembar Validasi Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Siswa 198

78 199

79 Lembar Validasi Lembar Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran Lampiran D.5 Lembar Validasi 200

80 201

81 202

82 Lampiran D.6 Lembar Validasi Lembar Validasi Tes Hasil Belajar Siswa 203

83 204

84 205

85 206

86 207

87 208

88 209

89 Lampiran D.7 Lembar Penilaian RPP oleh Ahli Materi 210

90 211

91 212

92 213

93 Lampiran D.8 Lembar Lembar Penilaian RPP oleh Guru Matematika 214

94 215

95 216

96 217

97 Lampiran D.9 Lembar Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Materi 218

98 219

99 Lampiran D.10 Lembar Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Media 220

100 221

101 222

102 Lampiran D.11 Lembar Lembar Penilaian LKS oleh Guru Matematika 223

103 224

104 225

105 226

106 227 Lampiran D.12 Angket Respon

107 228

108 229

109 230 Lampiran D.13 Angket Respon

110 231

111 232

112 233

113 234 Lampiran D.14 Lembar

114 235

115 236

116 237

117 238

118 239

119 240

120 241

121 242

122 243

123 244

124 245

125 246

126 247

127 248 Lampiran D.15 Lembar Jawab

128 249

129 250

130 251 Lampiran D.16 Contoh Hasil

131 252

132 253

133 254

134 255

135 256

136 257

137 258

138 259

139 260

140 261

141 262

142 LAMPIRAN E Surat-surat E.1. E.2. E.3. E.4. E.5. E.6. Surat Permohonan Ijin Penelitian Surat Keterangan telah Melakukan Penelitian Surat Permohonan Validasi Instrumen Penilaian Surat Permohonan Validasi Perangkat Pembelajaran Surat Keterangan Telah Melakukan Validasi Surat Keputusan Penunjukan Dosen Pembimbing 263

143 264 Lampiran E.1 Surat

144 265

145 266

146 267 Lampiran E.2 Surat

147 268 Lampiran E. 3 Surat

148 269 Lampiran E.4 Surat

149 270

150 271

151 272 Lampiran E.5 Surat

152 273

153 274

154 275 Lampiran E.6 Surat Keputusan

155 1 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) MATERI LOGIKA SMA KELAS X DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)

156 1 Standar Kompetensi RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Pertama) Nama Sekolah : SMA N 1 Cangkringan Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X/ 2 Materi Pokok : Logika Alokasi Waktu : 2 45 menit (1 pertemuan) 4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya. Indikator Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dan menentukan nilai kebenarannya Menjelaskan arti dan contoh dari kalimat terbuka dan menentukan himpunan penyelesaiannya Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dan menentukan nilai kebenarannya. 2. Peserta didik dapat menjelaskan arti dan contoh dari kalimat terbuka dan menentukan himpunan penyelesaiannya. 3. Peserta didik dapat menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. B. Materi Ajar 1. Pernyataan dan nilai kebenarannya a. Pernyataan Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai kebenaran benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Perhatikan contoh kalimat berikut. 1. Matahari terbit di sebelah timur. 2. Nasi goreng itu sangat enak. 3. Tujuh merupakan bilangan genap. 4. Ayo kita belajar! 5. Apakah sapi merupakan hewan herbivora?

157 2 Dari contoh kalimat di atas, kalimat nomor 1 dan 3 merupakan pernyataan. Sedangkan kalimat nomor 2 bukan pernyataan karena kebenarannya relatif. Kalimat nomor 4 dan 7 juga bukan pernyataan karena tidak memiliki nilai kebenaran. Pernyataan faktual adalah pernyataan yang untuk menentukan nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan terlebih dahulu, contoh: Sekarang Presiden Jokowi sedang rapat dengan Menteri Pendidikan. b. Nilai kebenaran 1) Pernyataan bernilai Benar (Pernyataan Benar) jika pernyataan tersebut sesuai dengan fakta (kenyataan), aturan, kesepakatan, definisi, atau perjanjian. Jika sebaliknya maka pernyataan tersebut bernilai Salah (Pernyataan Salah). 2) Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, seperti,,,,,,,,, dan seterusnya. Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan menggunakan huruf Yunani (dibaca: tau). Nilai kebenaran Benar dilambangkan dengan B dan nilai kebenaran Salah dilambangkan dengan S. Perhatikan contoh sebagai berikut. - Pernyataan 7 adalah bilangan ganjil dapat dinyatakan sebagai berikut. : 7 adalah bilangan ganjil ( ) =, dibaca nilai kebenaran pernyataan adalah Benar (B). 3) Jika kita mempunyai n pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak Kalimat terbuka dan himpunan penyelesaiannya. a. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). b. Himpunan penyelesaiaan Penyelesaian adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat menjadi pernyataan benar. Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian. Contoh: Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka Dia adalah mantan presiden Indonesia dengan himpunan semesta pembicaraannya adalah orang Indonesia adalah {Soekarno, Soeharto, Habibi, Abrurrahman Wahid, Megawati, SBY}

158 3 3. Negasi dari suatu pernyataan dan nilai kebenarannya. Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang diperoleh dengan membubuhkan kata tidak benar bahwa di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan, sehingga nilai kebenarannya saling berlawanan dengan pernyataan awal. Jika adalah pernyataan yang diketahui maka ingkaran atau negasi dari dapat ditulis dengan mengunakan lambang ~ (Dibaca: tidak benar atau bukan ) Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut. a. Jika adalah pernyataan yang bernilai benar (B), maka ~ bernilai salah (S). b. Jika adalah pernyataan yang bernilai salah (S), maka ~ bernilai benar (B). Tabel kebenaran dari negasi adalah sebagai berikut. B S ~ S B C. Pendekatan dan Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Kontekstual 2. Metode : Diskusi D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Uraian Kegiatan Pembelajaran Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk mengetahui pernyataan dan nilai kebenarannya, kalimat terbuka dan himpunan penyelesaiaanya, serta negasi dari suatu pernyataan. B. Motivasi Fase Relating 3. Guru menyampaikan bahwa komunikasi merupakan hal yang penting dalam kehidupan manusia sebagai Alokasi Waktu 10 menit

159 4 Inti makhluk sosial. Dalam aktivitas sehari-hari, kita menggunakan berbagai macam kalimat, seperti kalimat berita, kalimat tanya, kalimat ajakan, kalimat perintah, dan lain-lain. Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan). 4. Guru memberikan beberapa contoh kalimat seperti berikut. SMA 1 Cangkringan merupakan sekolah berbasis budaya. Apakah kalian pernah mencapai puncak gunung Merapi? SMA 1 Cangkringan terletak di suatu kabupaten. Guru memberikan pertanyaan kepada peserta didik, kalimat manakah yang merupakan kalimat tertutup (pernyataan) dan kalimat terbuka? C. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diarahkan untuk berdiskusi dengan teman sebangku dalam menyelesaikan kegiatan pada LKS 1. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) 6. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada masing-masing kegiatan di LKS 1 yang telah dibagikan. (Questioning: permasalahan dan kegiatan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 7. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada masing-masing kegiatan pada LKS menit

160 5 D. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: pengisian tabel dan jawaban pertanyaan didahului dengan contoh) 8. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel pada masing-masing kegiatan dalam LKS Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 10. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 1.1 peserta didik dapat menemukan konsep mengenai pernyataan dan bukan pernyataan, pada Kegiatan 1.2 peserta didik menemukan konsep mengenai nilai kebenaran, pada Kegiatan 1.3 peserta didik menemukan konsep mengenai kalimat terbuka, dan pada Kegiatan 1.4 peserta didik menemukan konsep tentang negasi (ingkaran). Fase Applying 11. Guru memberikan kesempatan kepada 4 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya masingmasing satu kegiatan dari LKS 1 di depan kelas. 12. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 13. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. E. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik)

161 6 14. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman Ayo Berlatih untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep pernyataan, nilai kebenaran, kalimat terbuka, dan negasi. 15. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 16. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi telah dipelajari hari ini, tentang pernyataan dan nilai kebenarannya, kalimat terbuka dan himpunan penyelesaiaanya, serta negasi dari suatu pernyataan. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 17. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup 18. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 19. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu pernyataan majemuk disjungsi dan konjungsi. 20. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. 10 menit F. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat : LKS 1 tentang Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat terbuka, dan Negasi 2. Sumber Belajar : Siswanto Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri G. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian Pengetahuan Teknik : Tes tertulis Bentuk Instrumen : Uraian Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 1

162 7 1. Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. Pernyataan Benar tentang pelestarian lingkungan. b. Pernyataan Salah tentang budaya tradisional Yogyakarta. c. Bukan Pernyataan d. Kalimat Terbuka Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini untuk menjawab pertanyaan nomor 2 sampai 5. a. Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. b. Hati-hati saat menyeberang! c. 111 adalah bilangan prima. d. Dani anak yang malas. e. Tokyo adalah Ibukota Jepang. f. Matematika adalah pelajaran yang mudah. g. Dia adalah pemeran utama film Single. h. 4 8 = 20 i. Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. j. 4 + < Manakah diantara kalimat-kalimat di atas yang merupakan pernyataan? 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada jawaban No.2 (gunakan lambang nilai kebenaran " "). 4. Manakah diantara kalimat-kalimat diatas yang merupakan kalimat terbuka? 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka pada jawaban No.4 6. Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Bagian barat Indonesia dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. c. Ada bilangan prima yang genap. d. Matematika adalah pelajaran yang sulit. e < 15. Rubrik Penilaian : No Kunci Jawaban Skor 1 a. Pelestarian hutan dapat dilakukan dengan melakukan reboisasi 20 b. Upacara Sekaten diadakan setahun sekali pada bulan Rajab. c. Dian adalah anak yang pandai. d. Dia adalah seorang pemain bulutangkis. (Jawaban nomor 1 menyesuaikan dengan jawaban peserta didik)

163 8 2 a, c, e, dan i 10 3 a. Misal : Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa 20 Timur. ( ) = c. Misal : 111 adalah bilangan prima. ( ) = e. Misal : Tokyo adalah Ibukota Jepang. ( ) = i. Misal : Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. ( ) = 4 g, h, dan j 10 5 g. Dia adalah pemeran utama film Single. Himpunan penyelesaiannya adalah {Raditya Dika} 20 h. 4 8 = 20 4 = 28 = 7 Himpunan penyelesaiaanya adalah {7} j. 4 + = 18 Himpunan penyelesaianya adalah {(0,18), (1,14), (2,10),(3,6),(4,2)} 6 a. Bagian barat Indonesia tidak dibatasi oleh Samudera Hindia. 20 b. Tidak benar bahwa Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. a. Tidak ada bilangan prima yang genap b. Matematika bukan pelajaran yang sulit. c Total Skor 100 Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas No Nama Peserta didik Motivasi Belajar Aspek Keaktifan Berdiskusi Kepercayaan Diri Total Skor Nilai Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik) Mengetahui, Guru Matematika Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman, Januari 2016 Peneliti Marsiyam, S.Pd.Si. NIP.: Hanifah Aabidah F NIM

164 9 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Kedua) Nama Sekolah : SMA N 1 Cangkringan Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X/ 2 Materi Pokok : Logika Alokasi Waktu : 2 45 menit (1 pertemuan) Standar Kompetensi 4 Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Indikator Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. 2. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. B. Materi Ajar Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk. 1. Konjungsi a. Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan dan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Konjungsi dari pernyataan dan pernyataan ditulis dengan lambang (Dibaca: dan ). Contoh: Dono memiliki sepeda motor dan tersedia bensin. b. Nilai kebenaran konjungsi dapat ditentukan dengan definisi berikut. 1) benar, jika benar dan benar 2) salah, jika salah satu atau salah, atau jika salah dan salah.

165 10 c. Tabel kebenaran dari konjungsi dapat ditunjukan pada tabel berikut. B B B B S S S B S S S S d. Menentukan pada kalimat ( ) 1) Jika pernyataan bernilai salah, maka setiap nilai yang disubtitusikan dalam ( ) menyebabkan kalimat majemuk ( ) bernilai salah. 2) Jika pernyataan bernilai benar, maka kalimat majemuk ( ) bernilai 2. Disjungsi a) Benar, jika ( ) bernilai benar, b) Salah, jika ( ) bernilai salah. a. Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan dan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Disjungsi dari pernyataan dan pernyataan ditulis dengan lambang (Dibaca: atau ). Contoh: Pak Darto memiliki koran atau radio. b. Nilai kebenaran disjungsi dapat ditentukan dengan definisi berikut. 1) benar, jika salah satu diantara dan benar, atau jika dan benar 2) salah, jika dan keduanya salah. c. Tabel kebenaran dari disjungsi dapat ditunjukan pada tabel berikut. B B B B S B S B B S S S d. Menentukan pada kalimat ( ) 1) Jika pernyataan bernilai benar maka setiap nilai yang disubtitusikan dalam ( ) menyebabkan kalimat majemuk ( ) bernilai benar. 2) Jika pernyataan bernilai salah, maka kalimat majemuk ( ) bernilai a) Benar, jika ( ) bernilai benar, b) Salah, jika ( ) bernilai salah. 3. Konjungsi dan disjungsi pada rangkaian listrik Misalkan dalam suatu rangkaian arus listrik sederhana, dua terminal A dan B dihubungkan oleh beberapa susun kabel dan saklar. Susunan kabel dan saklar ini bisa di rangkai seri atau parallel. Perhatikan gambar berikut.

166 11 Rangkaian Seri A B A B Rangkaian Paralel dan mewakili saklar pada rangkaian. Saklar dan dapat terbuka (off) atau tertutup (on). Setiap saklar yang tertutup diberi label nilai kebenaran B dan saklar yang terbuka diberi label nilai kebenaran S, sementara jika rangkaian menghantarkan arus dari A ke B diberi label nilai kebenaran B dan rangkaian yang tidak menghantarkan arus dari A ke B diberi label nilai kebenaran S. Diperoleh bahwa Rangkaian listrik seri bersesuaian dengan konjungsi. Rangkaian listrik paralel bersesuaian dengan disjungsi. C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Kontekstual 2. Metode : Diskusi D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Uraian Kegiatan Pembelajaran Alokasi Waktu Pendahuluan A. Pembukaan 10 menit 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk mempelajari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi serta menentukan nilai kebenarannya. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang materi pembelajaran sebelumnya, Apakah kalian masih ingat tentang bagaimana menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan tunggal?

167 12 Kegiatan Inti Bagaimana jika kita menemukan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan oleh kata hubung logika? Bagaimana menentukan nilai kebenarannya? C. Motivasi 4. Guru mengingatkan peserta didik mengenai materi tentang jaringan listrik. Dalam jaringan listrik kita mengenal rangkaian listrik seri dan rangkaian listrik paralel. Saklar terbuka berarti tidak ada aliran listrik (off) dan saklar tertutup berarti ada aliran listrik (on). Dengan mempelajari logika, khususnya konjungsi dan disjungsi kita dapat mengetahui ada atau tidaknya aliran arus listrik pada rangkaian seri maupun paralel dengan memperhatikan terbuka atau tertutupnya saklar-saklar pada rangkaian. D. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diberi kesempatan untuk menyebutkan kata hubung yang dapat digunakan untuk menggabungkan dua pernyataan menjadi sebuah pernyataan majemuk. 6. Peserta didik diarahkan untuk membuka bagian LKS 2 tentang Disjungsi dan Konjungsi. (Modelling: Kegiatan 2.1 menampilkan contoh pernyataanpernyataan majemuk yang disusun oleh dua pernyataan tunggal) 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami Kegiatan 2.1, yaitu mengenai pengertian pernyataan majemuk dan macam-macam kata hubung logika yang dapat digunakan untuk menghubungkan komponen-komponen pernyataan majemuk secara mandiri. 75 menit

168 13 (Constructivism: Permasalahan pada Kegiatan 2.1 membantu peserta didik untuk membangun pengetahuan mereka tentang pernyataan majemuk jika diketahui komponen-komponennya) 8. Peserta didik diberi kesempatan untuk menyelesaikan masalah pada kegiatan 2.1 secara mandiri. 9. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) 10. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 di LKS 2 yang telah dibagikan terlebih dahulu. (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 11. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 di LKS 2. E. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: kolom catatan menbantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah yang disajikan) 12. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 di LKS Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep)

169 Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 2.2 peserta didik dapat menemukan konsep disjungsi dan nilai kebenarannya dan pada Kegiatan 2.3 peserta didk dapat menemukan konsep konjungsi dan nilai kebenarannya. Fase Applying 15. Guru memberikan kesempatan kepada 2 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya untuk Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 pada LKS 2 di depan kelas. 16. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 17. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. 18. Peserta didik diberi kesempatan untuk memahami permasalahan pada halaman 27 yaitu Menentukan Nilai Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi dengan Analogi Rangkaian Listrik secara individu. 19. Peserta didik dibimbing untuk menyelidiki hubungan antara rangkaian listrik seri dan rangkaian listrik paralel dengan nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi. F. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 20. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman Ayo Berlatih untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep disjungsi dan konjungsi. 21. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 22. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami.

170 15 Penutup (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 23. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang konjungsi, disjungsi, serta hubungan antara rangkaian listrik dengan nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 24. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. 25. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 26. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu implikasi, biimplikasi, tautologi, dan kontradiksi. 27. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. G. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat : LKS 2 (Konjungsi dan Disjungsi) 5 menit 2. Sumber Belajar : Siswanto Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: H. Penilaian a) Penilaian Pengetahuan Teknik Bentuk Instrumen Tiga Serangkai Pustaka Mandiri : Tes tertulis : Uraian Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 2 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Candi Borobudur dan Candi Prambanan terletak di Jawa tengah. b. 30 adalah bilangan yang habis dibagi 7 atau Tentukan nilai dan pengganti kata itu agar kalimat majemuk berikut bernilai benar. a. 25 adalah kelipatan 2 atau 2 log 16 = b. Itu adalah planet yang paling dekat dengan Bumi dan Bumi mengelilingi Matahari.

171 16 3. Diketahui komponen pernyataan berikut. : Bali beribukota di Denpasar. : Bali terkenal dengan tari Kecak. Nyatakan dalam bentuk pernyataan majemuk berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. b. Rubrik Penilaian : No Kunci Jawaban Skor 1 a. Benar 40 b. Salah 2 a. = 4 30 b. Mars 3 a. Bali beribukota di denpasar atau tidak terkenal dengan tari Kecak. 30 Nilai kebenarannya adalah Benar b. Bali tidak beribukota di Denpasar dan terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Salah Total Skor 100 Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas No Nama Peserta didik Motivasi Belajar Aspek Keaktifan Berdiskusi Kepercayaan diri Total Skor Nilai Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik) Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Mengetahui, Guru Matematika Sleman, Januari 2016 Peneliti Marsiyam, S.Pd.Si. NIP.: Hanifah Aabidah F NIM

172 17 Standar Kompetensi RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Ketiga) Nama Sekolah : SMA N 1 Cangkringan Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X/ 2 Materi Pokok : Logika Alokasi Waktu : 2 45 menit (1 pertemuan) 4 Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.3. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan Indikator berkuantor yang diberikan Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi. 2. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. 3. Peserta didik dapat menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. B. Materi Ajar Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk. 1. Implikasi a. Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dan dalam bentuk jika maka. Implikasi dari pernyataan dan dapat ditulis dengan lambang (dibaca: jika maka ). Contoh: Jika Nita lulus ujian maka Nita mendaftar kuliah.

173 18 b. Nilai kebenaran implikasi dapat ditentukan dengan menggunakan definisi: dinyatakan salah, jika benar dan salah, kemungkinan lainnya dinyatakan benar. c. Tabel kebenaran implikasi dapat ditunjukkan pada tabel berikut. B B B B S S S B B S S B d. Menentukan pada kalimat ( ) 1) Jika pernyataan bernilai benar maka setiap nilai yang disubtitusikan dalam ( ) menyebabkan kalimat majemuk ( ) bernilai benar. 2) Jika pernyataan bernilai salah, maka kalimat majemuk ( ) bernilai 2. Bimplikasi a) Benar, jika ( ) bernilai salah, b) Salah, jika ( ) bernilai benar. a. Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan dan dalam bentuk jika dan hanya jika ". Biimplikasi dari pernyataan dan dapat ditulis dengan lambang (dibaca: jika dan hanya jika ). Contoh: Tim voli XA menang jika dan hanya jika memperoleh skor 25 b. Nilai kebenaran biimplikasi dapat ditentukan dengan menggunakan definisi: dinyatakan benar jika ( ) = ( ), dinyatakan salah jika ( ) ( ). c. Tabel kebenaran biimplikasi dapat ditunjukkan pada tabel berikut. B B B B S S S B S S S B d. Menentukan pada kalimat ( ) 1) Jika pernyataan bernilai benar maka kalimat majemuk ( ) bernilai a) Benar, jika ( ) bernilai benar, b) Salah, jika ( ) bernilai salah. 2) Jika pernyataan bernilai salah, maka kalimat majemuk ( ) bernilai a) Benar, jika ( ) bernilai salah, b) Salah, jika ( ) bernilai benar.

174 19 Tautologi dan Kontradiksi 1. Tautologi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh tautologi adalah ( ). Implikasi logis merupakan implikasi yang merupakan tautologi. Sedangkan biimplikasi logis adalah biimplikasi yang merupakan tautologi. 2. Kontradiksi Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh kontradiksi adalah ( ). C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Kontekstual 2. Metode : Diskusi D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Alokasi Kegiatan Uraian Kegiatan Pembelajaran Waktu Pendahuluan A. Pembukaan 10 menit 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk mempelajari pernyataan majemuk berbentuk implikasi dan nilai kebenarannya, biimplikasi dan nilai kebenarannya, serta tautologi dan kontradiksi. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali materi pembelajran sebelumnya, Apakah kalian masih ingat tentang bagaimana menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi?

175 20 4. Guru meminta peserta didik untuk membuka kembali Kegiatan 2.1 pada LKS 2. Pernyataan majemuk apa saja yang belum kita pelajari? C. Motivasi 5. Guru memberikan motivasi dengan menyajikan permasalahan berikut. Kegiatan Inti Perhatikan gambar pada LKS 3. Kemudian buatlah kalimat yang menyatakan hubungan sebab dan akibat berupa implikasi atau biimplikasi terkait dengan bencana kebakaran hutan. Beberapa peserta didik diberi kesempatan untuk menuliskan kalimat yang telah mereka buat di papan tulis. Manakah yang merupakan implikasi dan biimplikasi? Apakah kalian dapat menentukann nilai kebenaran dari pernyataan tersebut? D. Eksplorasi Fase Experiencing 6. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan)

176 21 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 di LKS 3 yang telah dibagikan terlebih dahulu. (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 8. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 di LKS 3. E. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: kolom catatan membantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah) 9. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 di LKS Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 11. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 3.1 peserta didik dapat menemukan konsep implikasi dan nilai kebenarannya dan pada Kegiatan 3.2 peserta didik dapat menemukan konsep biimplikasi dan nilai kebenarannya. Fase Applying 12. Guru memberikan kesempatan kepada 2 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya untuk Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 pada LKS 2 di depan kelas.

177 Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 14. Peserta didik diarahkan untuk kembali ke tempat duduk masing-masing kemudian guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. Fase experiencing (Modelling: Kegiatan 3.3 menampilkan contoh mencari nilai kebenaran dari pernyataan majemuk menggunakan tabel kebenaran) 15. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami Kegiatan 3.3. tentang bagaimana menentukan nilai kebenaran dari pernyataan dengan menggunkan tabel kebenaran. (Constructivism dan Inquiry: permasalahan membantu peserta didik untuk mengkonstruksi dan menemukan konsep tautologi dan kontradiksi) 16. Peserta didik diberi kesempatan untuk memahami permasalahan pada Kegiatan 3.4 dan Peserta didik diberi kesempatan untuk menyelesaikan masalah pada Kegiatan 3.4 dan Kegiatan 3.5 secara individu. 18. Peserta didik menemukan konsep tentang tautologi dan kontradiksi. F. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 19. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman Ayo Berlatih untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep implikasi dan biimplikasi serta tautologi dan kontradiksi

178 Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 21. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 22. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang implikasi, biimplikasi, tautologi dan kontradiksi. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 23. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup 24. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 25. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu tentang ekuivalensi dan konvers, invers, serta kontraposisi 26. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. E. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat : LKS 3 (Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi) 2. Sumber Belajar : Siswanto Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri F. Penilaian a) Penilaian pengetahuan Teknik : Tes tertulis Bentuk Instrumen : Uraian Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 3 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Jika Pattimura adalah pahlawan nasional, maka tidak berasal dari Maluku.

179 24 b. 8 = 4 jika dan hanya jika adalah bilangan rasional. 2. Tentukan nilai agar kalimat majemuk berikut bernilai benar. a. Negara itu beribukota di Kuala Lumpur jika dan hanya jika kartun Upin Ipin berasal dari Negara itu. b. Jika 3 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8 3. Diketahui komponen pernyataan berikut. : Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa. : Ki Hajar Dewantara merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nyatakan dalam bentuk pernyataan majemuk berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. b. 4. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk ~( ) merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. 5. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk [ ( )] merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. Rubrik Penilaian : No Kunci Jawaban Skor 1 c. Salah 10 d. Benar 2 5 Malaysia = 0 ( + 3)( 6) = 0 = 3 atau = 6 Jadi pernyataan Jika 3 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8 benar jika 3 atau 6 3 a. Jika Ki Hajar Dewantara bukan Bapak Pendidikan Indonesia, maka 20 bukan pendiri sekolah Taman Siswa. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa jika dan hanya jika bukan merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nilai kebenarannya adalah Salah 4 ~( ) ~( ) B B B S S B S B S S S B B S S S S S B S Jadi, ~( ) adalah kontradiksi 20

180 ( ) [ ( )] B B B B B B B B S S B B B S B S B B B S S S B B S B B B B B S B S S S B S S B S S B S S S S S B Jadi, [ ( )] adalah tautologi Total Skor 100 Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas No Nama Peserta didik Motivasi Belajar Aspek Keaktifan Berdiskusi Kepercayaan diri Total Skor Nilai Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik) Mengetahui, Guru Matematika Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman, Januari 2016 Peneliti Marsiyam, S.Pd.Si. NIP.: Hanifah Aabidah F NIM

181 26 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Keempat dan Kelima) Nama Sekolah : SMA N 1 Cangkringan Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X/ 2 Materi Pokok : Logika Alokasi Waktu : 4 45 menit (2 pertemuan) Standar Kompetensi 4 Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 4.3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 2. Peserta didik dapat menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. 3. Peserta didik dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk.

182 27 B. Materi Ajar Pertemuan Keempat 1. Ekuivalensi Dua Pernyataan Majemuk Dua buah pernyataan majemuk dan dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya, dilambangkan dengan (dibaca: A ekuivalen dengan B). Contoh: ( ) ( ) B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B Berdasarkan tabel di atas, dapat diperoleh bahwa ( ) = ( ). 2. Negasi dari Pernyataan Majemuk a. Negasi Konjungsi : ( ) ( ) b. Negasi Disjungsi : ( ) ( ) c. Negasi Implikasi : ( ) ( ) d. Negasi Biimplikasi : ( ) ( ) ( ). Pertemuan Kelima Hubungan antara Implikasi dengan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika dan adalah suatu pernyataan maka dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain yaitu: 1., disebut Konvers dari dari implikasi 2., disebut Invers dari implikasi 3., disebut Kontraposisi dari implikasi Hubungan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat diperlihatkan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut. Implikasi Konvers Invers Kontraposisi B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B (1) (2) (3) (4)

183 28 1. Nilai kebenaran pada kolom (1) dan (4): ( ) = ( ) artinya Jadi, implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. 2. Nilai kebenaran pada kolom (2) dan (3): ( ) = ( ) artinya Jadi, konvers dari suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya. C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Kontekstual 2. Metode : Diskusi D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Keempat (2x45 menit) Kegiatan Uraian Kegiatan Pembelajaran Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk menyelidiki ekuivalesi antara dua pernyataan majemuk dan menentukan negasi dari pernyataan majemuk. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang nilai kebenaran dari pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi. C. Motivasi 4. Guru menyajikan masalah sebagai berikut. Jika kita ingin budaya Indonesia tetap ada, maka kita harus melestarikannya. Jika kita tidak melestarikan budaya Indonesia, maka budaya Indonesia akan hilang. Apakah kedua pernyataan tersebut memiliki nilai yang sama (ekuivalen)? Alokasi Waktu 10 menit

184 29 Kegiatan Inti D. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diarahkan untuk membuka LKS 4 tentang Ekuivalensi, konvers, invers, dan kontraposisi. (Constructivism: Petunjuk dan permasalahan pada Kegiatan 4.1 membantu peserta didik untuk membangun pengetahuan mereka tentang ekuivalensi) 6. Peserta didik diberi kesempatan untuk memahami petunjuk dan permasalahan pada kegiatan 4.1. (Inquiry: petunjuk dan pertanyaan pada kegiatan 4.1 membantu peserta didik menemukan konsep ekuivalensi) 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk menyelesaikan masalah pada kegiatan 4.1 secara individu untuk menemukan konsep tentang ekuivalensi. (Modelling: Halaman 48 menampilkan contoh cara untuk menunjukkan dua pernyataan majemuk yang ekuivalen) 8. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami contoh penyelesaian masalah ekuivalensi pada kegiatan Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: Pertanyaan-pertanyaan dalam LKS membantu peserta didik mengkonstruksi pengetahuannya) 10. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 4.2 (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 11. Peserta didik termotivasi bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan Kegiatan 4.2 Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) 75 menit

185 30 Penutup 12. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 14. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 4.2 peserta didik dapat menemukan konsep negasi dari pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Fase Applying 15. Guru memberikan kesempatan kepada 4 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya tentang negasi dari masing-masing pernyataan majemuk. 16. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 17. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. 18. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. Konfirmasi (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 19. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang ekuivalensi dan negasi dari pernyataan majemuk. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 20. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. 21. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 22. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu konvers, invers, dan kontraposisi. 5 menit

186 Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. Pertemuan kelima (2x45 menit) Kegiatan Uraian Kegiatan Pembelajaran Alokasi Waktu Pendahuluan A. Pembukaan 15 menit 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk mempelajari konvers invers, dan kontraposisi. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang ekuivalensi dan negasi dari pernyataan majemuk. Apakah yang dimaksud dengan ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk? Apa negasi dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi dari pernyataan majemuk yang komponen-komponennya, misal dan? Jika diketahui komponen pernyataan berikut. : Indonesia adalah Negara agraris. : Indonesia mencapai swasembada pangan. Susunlah menjadi pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi, kemudian tentukan negasinya. Beberapa peserta didik diberi kesempatan untuk menuliskan jawaban yang mereka peroleh di papan tulis. Guru memberikan klarifikasi terhadap jawaban peserta didik.

187 32 Kegiatan Inti C. Eksplorasi Fase Experiencing 4. Peserta didik diarahkan untuk membuka LKS 4 pada Kegiatan Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) 6. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 4.3 (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 7. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 4.3 Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: Pada halaman 51 terdapat contoh dalam menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari suatu implikasi) 8. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 10. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 4.3 peserta didik dapat menemukan konsep konvers, invers, dan kontraposisi. 70 menit

188 33 Penutup Fase Applying 11. Guru memberikan kesempatan kepada salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya dari Kegiatan 4.3 di depan kelas 12. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 13. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 14. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman Ayo Berlatih untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep ekuivalensi, negasi pernyataan majemuk, konvers, invers, dan kontraposisi. 15. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 16. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 17. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang konvers, invers, dan kontraposisi. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 18. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. 19. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 20. Guru menginformasikan materi yang dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu pernyataan berkuantor. 21. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. 5 menit

189 34 D. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat : LKS 4 tentang Ekuivalensi dan Konvers, Invers, serta Kontraposisi 2. Sumber Belajar : Siswanto Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: E. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian pengetahuan Teknik Bentuk Instrumen Tiga Serangkai Pustaka Mandiri : Tes tertulis : Uraian Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 4 1. Benarkan pernyataan-pernyataan berikut? a. [( ) ] ( ) b. [ ( )] ( ) ( ) 2. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat dipengaruhi oleh koefisien muai dan dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Jika Rio Haryanto adalah pembalap Indonesia, maka memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang. 3. Tentukan Konvers, invers, dan kotraposisi dari implikasi berikut. a. Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. b. Jika < 0, maka > 0. c. ( ) 4. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut. a. Jika Ani tidak sarapan, maka ia mengantuk di sekolah. b. Banjir akan datang jika hujan lebat. Rubrik Penilaian : No Kunci Jawaban Skor 1 ( ) 30 B B S B B B B S S S S S S B B S B B S S B S B B a. Jadi, terbukti bahwa [( ) ] ( )

190 35 ( ) ( ) ( ) B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B B B B B S B S B B B B B S S B B B B B B S S S S B B B B b. Jadi, terbukti bahwa [ ( )] ( ) ( ) 2 a. Surabaya bukan ibukota Jawa Timur dan bukan kota pahlawan. 28 b. Pemuaian zat padat tidak dipengaruhi oleh koefisien muai atau tidak dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Rio Haryanto bukan pembalap Indonesia atau memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi dan ketiga sisinya tidak samapanjang, atau segitiga tidak sama sisi dan ketiga sisinya sama panjang 3 a. Implikasi: Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. Konvers: Jika kita melestarikan budaya Indonesia, maka kita cinta tanah air Indonesia Invers: Jika kita tidak cinta tanah air Indonesia, maka kita tidak melestarikan budaya Indonesia. Kontraposisi: Jika tidak melestarikan budaya Indonesia, maka kita tidak cinta tanah air Indonesia. 30 b. Implikasi : Jika < 0, maka > 0. Konvers : Jika > 0, maka < 0 Invers : Jika 0, maka 0 Kontraposisi: Jika 0, maka 0 c. Implikasi : ( ) Konvers : ( ) Invers : ( ) ( ) Kontraposisi: ( ) 4 a. Ani sarapan atau ia tidak mengantuk di sekolah. Atau 12 Jika ani tidak mengantuk di sekolah, maka Ani sarapan. b. Hujan tidak lebat jika banjir tidak datang Total Skor 100 Nilai = Skor yang diperoleh

191 36 b) Penilaian partisipasi kelas No Nama Peserta didik Motivasi Belajar Aspek Keaktifan Berdiskusi Kepercayaan diri Total Skor Nilai Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik) Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Mengetahui, Guru Matematika Sleman, Januari 2016 Peneliti Marsiyam, S.Pd.Si. NIP.: Hanifah Aabidah F NIM

192 37 Standar Kompetensi RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Keenam) Nama Sekolah : SMA N 1 Cangkringan Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X/ 2 Materi Pokok : Logika Alokasi Waktu : 2 45 menit (1 pertemuan) 4 Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 4.3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. 2. Peserta didik dapat menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. 3. Peserta didik dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. B. Materi Ajar Pernyataan Berkuantor 1. Kuantor Universal a. Misalkan ( ) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan anggota himpunan semesta pembicaraan. Maka untuk menyatakan penyelesaian dari ( ) pada himpunan semesta dituliskan sebagai berikut. ( ), ( ), dibaca: untuk semua berlakulah ( ); atau ( ), ( ), dibaca: untuk semua anggota berlakulah ( )

193 38 Penggunaan kata untuk semua pada kuantor universal, senilai dengan kata untuk setiap, untuk tiap-tiap, dan untuk seluruh. b. Pernyataan berkuantor universal semua A adalah B ekuivalen dengan penyataan implikasi jika, maka. Contoh: Pernyataan berkuantor Semua siswa SMA N 1 Cangkringan Kelas XA menyukai matematika ekuivalen dengan pernyataan implikasi Jika adalah siswa SMA N 1 Cangkringan kelas XA, maka menyukai matematika. c. Pernyataan berkuantor universal bernilai benar jika pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang dibicarakan. Pernyataan berkuantor bernilai salah jika terdapat sekurang-kurangnya satu anggota semesta yang menyebabkan pernyataan berkuantor salah 2. Kuantor Eksistensial a. Misalkan ( ) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan anggota himpunan semesta pembicaraan. Maka untuk menyatakan penyelesaian dari ( ) pada himpunan semesta dituliskan sebagai berikut. ( ), ( ), dibaca: terdapat sehingga berlakulah ( ); atau ( ), ( ), dibaca: terdapat anggota sehingga berlakulah ( ). Pernyataan di atas disebut dengan pernyataan berkuantor eksistensial. Kata terdapat senilai dengan kata ada, beberapa, untuk suatu, dan untuk paling sedikit satu. b. Pernyataan berkuantor eksistensial terdapat A adalah B ekuivalen dengan sekurang-kurangnya ada sebuah yang merupakan. Contoh: Pernyataan berkuantor eksistensial Terdapat siswa SMA N 1 Cangkringan Kelas XA menyukai matematika ekuivalen dengan pernyataan Sekurangkurangnya ada seorang siswa SMA N 1 Cangkringan Kelas XA yang menyukai matematika. c. Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu anggota semesta menyebabkan pernyataan bernilai benar. Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai salah jika tidak ada satupun dari anggota semesta menyebabkan kalimat menjadi benar

194 39 Negasi Pernyataan Berkuantor Negasi dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial. Sedangkan negasi pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal. Jika terdapat pernyataan berkuantor universal ( ), ( ) dan pernyataan berkuantor eksistensial ( ), ( ), negasi dari keduanya dapat ditulis sebagai berikut. ~[( ), ( )] ( ), ~ ( ) ~[( ), ( )] ( ), ~ ( ) C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Kontekstual 2. Metode : Diskusi D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Alokasi Uraian Kegiatan Pembelajaran Waktu Pendahuluan A. Pembukaan 10 menit 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran hari ini adalah untuk dapat menentukan nilai kebenaran, ekuivalensi, dan negasi dari penyataan berkuantor, kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor, dan negasi dari pernyataan berkuantor. Motivasi Fase Relating 3. Guru memberikan motivasi dengan menyajikan contoh dari suatu pernyataan berkuantor berikut. Semua hewan karnivora memiliki taring Apakah ada hewan pemakan daging yang tidak memiliki taring? Kegiatan Inti B. Eksplorasi Fase Experiencing 4. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. 75 menit

195 40 (Constructivism: pertanyaan-pertanyaan dalam LKS membantu peserta didik mengkonstruksi pengetahuannya) 5. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada masing-masing kegiatan di LKS 5. (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 6. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada masing-masing kegiatan pada LKS 5. C. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: contoh dan catatan membantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah) 7. Peserta didik berdiskusi menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel pada setiap kegiatan dalam LKS Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 9. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 5.1 peserta didik dapat menemukan konsep mengenai pernyataan berkuantor universal, pada Kegiatan 5.2 peserta didik menemukan konsep mengenai pernyataan berkuantor eksistensial, pada Kegiatan 5.3 peserta didik menemukan konsep mengenai negasi dari pernyataan berkuantor. Fase Applying 10. Guru memberikan kesempatan kepada 3 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya masingmasing satu kegiatan dari LKS 5 di depan kelas.

196 41 Penutup 11. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 12. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. D. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 13. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman Ayo Berlatih untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep pernyataan berkuantor 14. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 15. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang pernyataan berkuantor. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 16. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. 17. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 18. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu penarikan kesimpulan 19. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. 5 menit E. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat : LKS 5 tentang Pernyataan Berkuantor 2. Sumber Belajar : Siswanto Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri

197 42 F. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian Pengetahuan Teknik : Tes tertulis Bentuk Instrumen : Uraian Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 5 1. Tulislah implikasi yang ekuivalen dengan pernyataan berkuantor universal berikut. a. Semua manusia berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. b. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah 2. Tulislah pernyataan berkuantor eksistensial yang ekuivalen dengan pernyataan berkuantor eksistensial berikut. a. Beberapa siswa kelas X memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. b. Beberapa persamaan kuadrat memiliki akar imajiner 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut, jika himpunan semestanya adalah = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. a., + 2 < 6 b., 3 < 4 c., + 4 = 11 d., > 0 4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut. a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar. b. Beberapa orang tidak mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Rubrik Penilaian : No Kunci Jawaban Skor 1 a. Jika kita adalah manusia, maka kita berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. 20 b. Jika bilangan asli, maka bilangan cacah. 2 a. Sekurang-kurangnya ada seorang siswa kelas X yang memilih 20 jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. a. Sekurang-kurangnya ada satu persamaan kuadrat yang memiliki akar imajiner 3 a. Salah, karena ada = 5, sehingga + 2 > 6 40 b. Benar, karena untuk semua, berlaku 3 < 4 c. Benar, karena tidak ada, sehingga berlaku + 4 = 11 d. Benar, karena ada = 3 sehingga > 0

198 43 4 a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar. 20 b. Semua orang mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Total Skor 100 Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas No Nama Peserta didik Motivasi Belajar Aspek Keaktifan Berdiskusi Kepercayaan diri Total Skor Nilai Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik) Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Mengetahui, Guru Matematika Sleman, Februari 2016 Peneliti Marsiyam, S.Pd.Si. NIP.: Hanifah Aabidah F NIM

199 44 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Ketujuh) Nama Sekolah : SMA N 1 Cangkringan Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X/ 2 Materi Pokok : Logika Alokasi Waktu : 2 45 menit (1 pertemuan) Standar Kompetensi 5. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.4. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. Indikator Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. 2. Peserta didik dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tollens. 3. Peserta didik dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme. 4. Peserta didik dapat memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika.

200 45 B. Materi Ajar Penarikan Kesimpulan 1. Modus Ponen Misalkan diketahui premis-premis dan. Dari premis-premis tersebut dapat diambil konklusi. Penarikan kesimpulan tersebut dinamakan modus ponen. Modus ponen disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1 : Premis 2 : Konklusi : Tanda " " dibaca maka atau jadi Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: [( ) ] Modus ponen dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [( ) ] merupakan suatu tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya modus ponen dapat ditettukan dengan menggunakan tabel kebenaran. [( ) ] [( ) ] B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Berdasarkan tabel diatas pada kolom kelima tampak bahwa [( ) ] adalah suatu tautologi. Jadi, modus ponen adalah argumentasi yang sah. 2. Modus Tollens Misalkan diketahui premis-premis dan. Dari premis-premis tersebut dapat diambil konklusi. Penarikan kesimpulan tersebut dinamakan modus tollens. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1 : Premis 2 : Konklusi : Dalam bentuk implikasi, modus tollens di atas dapat ditulis menjadi: [( ) ] Modus tollens dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [( ) ] merupakan suatu tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya modus tollens dapat ditettukan dengan menggunakan tabel kebenaran.

201 46 3. Silogisme [( ) ] [( ) ] B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B Berdasarkan tabel diatas pada kolom ketujuh tampak bahwa [( ) ] adalah suatu tautologi. Jadi, modus tollens adalah argumentasi yang sah. Misalkan diketahui premis-premis dan. Dari premis-premis tersebut dapat diambil konklusi. Penarikan kesimpulan tersebut dinamakan silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1 : Premis 2 : Konklusi : Dalam bentuk implikasi, modus tollens di atas dapat ditulis menjadi: [( ) ( )] ( ) Silogisme dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [( ) ( )] ( )merupakan suatu tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya silogisme dapat ditettukan dengan menggunakan tabel kebenaran. ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B B B B B Berdasarkan tabel diatas pada kolom kedelapan tampak bahwa [( ) ( )] ( ) adalah suatu tautologi. Jadi, silogisme adalah argumentasi yang sah. C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : Kontekstual 2. Metode : Diskusi

202 47 D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Uraian Kegiatan Pembelajaran Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran kita pada hari ini adalah untuk menarik kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dan memeriksa kebsahannya dengan menggunkan prinsip logika. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang tautologi. C. Motivasi 4. Guru memberikan motivasi dengan memberikan peserta didik dua pernyataan berikut. Jika seekor bunglon dalam keadaan bahaya, bunglon melakukan mimikri Jika seekor bunglon melakukan mimikri, maka warna tubuhnya akan berubah sesuai dengan tempat dia berada Simpulan apa yang dapat kalian ambil dari dua pernyataan tersebut? Kegiatan D. Eksplorasi Inti Fase Experiencing 5. Peserta didik diarahkan untuk membuka pada bagian LKS 6 tentang Penarikan Kesimpulan. 6. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) Alokasi Waktu 10 menit 75 menit

203 48 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3. (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 8. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3. E. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: kolom catatan membantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah) 9. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 11. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 6.1 peserta didik dapat menemukan konsep modus ponen dan pada Kegiatan 6.2 peserta didk dapat menemukan konsep modus tollens, dan pada Kegiatan 6.3 peserta didik menemukan konsep silogisme. Fase Applying 12. Guru memberikan kesempatan kepada 3 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya untuk Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3 pada LKS 6 di depan kelas.

204 49 Penutup 13. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 14. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. F. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 15. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman Ayo Berlatih untuk mengukur pemahaman peserta didik tentang konsep penarikan kesimpulan. 16. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 17. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 18. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang penarikan kesimpulan. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom Refleksi. 19. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. 20. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 21. Guru menginformasikan pada peserta didik bahwa pada pertemuan selanjutnya akan diadakan tes hasil belajar peserta didik untuk materi logika yang telah dipelajari sebelumnya. 22. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do a dan salam. 5 menit

205 50 G. Alat dan Sumber Belajar 3. Alat : LKS 6 tentang Penarikan Kesimpulan 4. Sumber Belajar : Siswanto Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: H. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian pengetahuan Teknik Bentuk Instrumen Tiga Serangkai Pustaka Mandiri : Tes tertulis : Uraian Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 6 1. Tentukan simpulan yang sah dari premis-premis berikut. a. Premis 1: Jika Indonesia melewati garis khatulistiwa, maka Indonesia beriklim tropis. Premis 2: Indonesia tidak beriklim tropis. b. Premis 1: Mereka tidak mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan atau mereka merusak kelestarian alam. Premis 2: Saya mengeksploitasi sumberdaya alam secara berlebihan. c. Premis 1: Jika saya rajin belajar, maka saya lulus ujian. Premis 2: Jika saya tidak bisa melanjutkan sekolah, maka saya tidak lulus ujian. 2. Selidiki sah atau tidaknya penarikan simpulan berikut. a. Premis 1 : c. Premis 1 : Premis 2 : Premis 2 : Konklusi : Konklusi : b. Premis 1 : Premis 2 : Konklusi : Rubrik Penilaian : No Kunci Jawaban Skor 1 a. Indonesia tidak melewati garis khatulistiwa 30 b. Mereka merusak kelestarian alam e. Jika saya rajin belajar, maka saya melanjutkan sekolah. 2 Bentuk implikasinya adalah: [( ) ] [( ) ] [( ) ] B B S S S S B B S S B B S B S B B S B B B S S B B B S B Karena [( ) ] adalah tautologi, penarikan kesimpulan sah

206 51 Bentuk implikasinya adalah: [( ) ] ( ) [( ) ] [( ) ] B B S S S B B S S S S B S B B B B B S S B S S B Karena [( ) ] adalah tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut sah Bentuk implikasinya adalah: [( ) ( )] ( ) [( [( ) ) ( )] ( )] ( ) B B B S S B B B B B B B S S S B S S S B B S B S B B B B B B B S S S B B B S B S S B B B S S B B S B S B S B S S S B S B S S B B B B B B B B S S S B B B B B B B Karena [( ) ] bukan tautology, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah Total Skor 100 Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas No Nama Peserta didik Motivasi Belajar Aspek Keaktifan Berdiskusi Kepercayaan diri Total Skor Nilai Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik) Mengetahui, Guru Matematika Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman, Februari 2016 Peneliti Marsiyam, S.Pd.Si. NIP.: Hanifah Aabidah F NIM

207 L E M B A R K E G I ATA N S I SWA MATEMATIKA UNTUK SMA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL (KUNCI JAWABAN) L O G I K A KTSP τ p p q q KELAS NAMA : KELAS : SEKOLAH : X SEMESTER 2 HANIFAH AABIDAH F

208 ii LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) LOGIKA Matematika Kurikulum KTSP Berbasis Pendekatan Kontekstual Untuk siswa kelas X Semester 2 Penulis : Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa Pembimbing : Dr. Ali Mahmudi Penilai : 1. Fitriana Yuli Saptanningtyas, M.Si. 2. Bambang Sumarno H.M., M.Kom. Desain Cover : Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa Ukuran LKS : 21 cm 29,7 cm (A4) LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis dengan menggunakan Microsoft Office Word 2007

209 iii KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas selesainya penyusunan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Matematika Berbasis Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X. LKS ini disusun sebagai salah satu sumber atau media pembelajaran yang dapat digunakan sebagai panduan bagi siswa SMA kelas X dalam mempelajari matematika, khususnya pada meteri logika. LKS matematika Logika ini disusun dengan menggunakan pendekatan kontekstual. Melalui LKS ini diharapkan siswa akan lebih termotivasi dan tertarik untuk mempelajari matematika, khususnya materi logika. Hal ini dikarenakan penyajian materi dari LKS ini dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari. Sehingga nantinya siswa dapat memahami logika serta dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Konsep LKS yang disajikan dengan bahasa sederhana, mudah dipahami, dan menarik diharapkan mampu memenuhi kebutuhan bahan ajar untuk belajar siswa. Penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyususnan LKS ini. Penulis menyadari bahwa LKS ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran diharapkan dapat digunakan sebagai bahan evaluasi atau revisi dari LKS ini. Yogyakarta, Desember 2015 Penulis

210 iv PETA KEDUDUKAN LKS Urutan kegiatan dan topik yang akan dipelajari Ilustrasi dan penjelasan dari penerapan topik dalam kehidupan sehari-hari Indikator pencapaian kompetensi dan petunjuk umum dalam menggunakan LKS Urutan kegiatan dan nama sub-topik Masalah dan pertanyaanpertanyaan yang dapat membantu siswa untuk mengkonstuksi pengetahuannya Kolom catatan menyajikan catatancatatan pada bagian yang perlu penekanan untuk menambah pengetahuan siswa

211 v PETA KEDUDUKAN LKS Kolom contoh soal dan pembahasannya untuk memudahkan siswa dalam mengerjakan soal secara mandiri Kolom refleksi untuk merangkum apa yang telah siswa pelajari pada setiap topik Kolom Ayo Berlatih pada setiap akhir topik yang digunakan untuk mengukur pemahaman siswa Kolom jawaban digunakan untuk menuliskan jawaban yang telah diperoleh siswa

212 vi PETA KONSEP Pernyataan Nilai Kebenaran dan Negasi Suatu Pernyataan Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaiannya Konjungsi Nilai Kebenaran dan Negasi Disjungsi dari Pernyataan Majemuk Implikasi Pernyataan Majemuk Konvers, Invers, dan Biimplikasi Kontraposisi Tautologi dan Kontradiksi L O G I Pernyataan Berkuantor Nilai Kebenaran dan Negasi dari Pernyataan Berkuantor Universal Ekstensial K A Ekuivalensi Modus ponens Penarikan Kesimpulan Modus tolens Silogisme Bukti Langsung Penyusunan Bukti Bukti Tak Langsung Induksi

213 vii LOGIKA SMA KELAS X SEMESTER 2 STANDAR KOMPETENSI Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. KOMPETENSI DASAR 1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya 2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. 4. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. INDIKATOR 1. Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan. 2. Menjelaskan arti dan contoh kalimat terbuka serta menentukan himpunan penyelesaiannya. 3. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. 4. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi 5. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 6. Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. 7. Menentukan nilai kebenaran dan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. 8. Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. 9. Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. 10. Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. 11. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens, modus tollens, dan silogisme. 12. Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. 13. Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika.

214 viii DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENULIS.... KATA PENGANTAR PETA KEDUDUKAN LKS.. PETA KONSEP LOGIKA SMA KELAS X SEMESTER 2.. DAFTAR ISI.. i ii iii iv vi vii viii LOGIKA LKS 1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi 1 LKS 2. Konjungsi dan Disjungsi.. 17 LKS 3. Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi.. 28 LKS 4. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, Invers, dan Kontraposisi.. 41 LKS 5. Penyataan Berkuantor. 58 LKS 6. Penarikan Kesimpulan LKS 7. Pembuktian Sifat dan Teorema (Pengayaan) DAFTAR PUSTAKA... 89

215 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 1 Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi Indikator: 1. Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan. 2. Menjelaskan arti dan contoh dari kalimat terbuka serta menentukan himpunan penyelesaiannya. 3. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas. Gambar 1. Komunikasi antara penjual dan pembeli di pasar Sumber: Komunikasi merupakan hal yang penting dalam kehidupan manusia sebagai makhluk sosial. Contohnya di pasar kita akan melihat komunikasi antara penjual dan pembeli. Mereka menggunakan berbagai macam kalimat, seperti kalimat berita, kalimat tanya, kalimat ajakan, kalimat perintah, dan lain-lain. Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan). Kalimat manakah yang kalian gunakan dalam kehidupan sehari-hari yang merupakan pernyataan atau kalimat terbuka?

216 2 KEGIATAN 1.1 PERNYATAAN Bacalah artikel di bawah ini! Gunung Merapi terletak di bagian tengah Pulau Kalimantan 1. Gunung Merapi merupakan salah satu gunung api aktif di Indonesia 2. Gunung Merapi memiliki pemandangan yang sangat indah 3. Apakah kalian pernah pergi kesana? 4 Kawasan hutan di sekitar puncaknya menjadi kawasan Taman Nasional Gunung Merapi 5. Ayo kita lestarikan alam di Gunung Gambar 2. Gunung Merapi Sumber: Merapi! 6 Perhatikan setiap kalimat pada artikel di atas. Tentukan nilai kebenaran dari masingmasing kalimat tersebut, kemudian tulislah pada tabel berikut. Kalimat ke- Tabel 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Nilai kebenaran Bukan Tidak Pernyataan Benar Salah pernyataan diketahui 1 Alasan Gunung Merapi terletak di Pulau Jawa 2 3 Nilai kebenaranya relatif 4 Kalimat tanya 5 6 Kalimat ajakan Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan nilai kebenaran dari kalimat pada Tabel 1, 1) Apa yang menyebabkan suatu kalimat termasuk dalam bukan pernyataan? Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya seperti kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat ajakan, serta kalimat yang nilai kebenarannya relatif. 2) Apa yang menyebabkan suatu kalimat dapat disebut sebagai pernyataan? Memiliki nilai kebenaran benar atau salah Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

217 3 Jadi, Apa yang dimaksud dengan pernyataan? Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai kebenaran, yaitu benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Perhatikan contoh kalimat pada tabel berikut. Berikan tanda centang ( ) pada kolom yang tepat dan berikan alasan sesuai dengan pendapat kalian! Tabel 2. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Bukan No Kalimat Pernyataan Pernyataan 1 Tradisi Upacara Labuhan Merapi dilaksanakan setiap tanggal 30 Rajab. 2 Vokalis Band Nidji memiliki suara yang sangat merdu. 3 Jepang adalah salah satu Negara di Benua Afrika. 4 Ayo kita lestarikan hutan di Indonesia! 5 Bilangan ganjil ditambah dengan bilangan genap hasilnya adalah bilangan ganjil. 6 Berapa banyaknya suku yang ada di Indonesia? Alasan Memiliki nilai kebenaran, yaitu benar. Kebenarannya relatif tergantung pada keadaan. Memiliki nilai kebenaran, yaitu salah Kalimat ajakan Memiliki nilai kebenaran benar Kalimat tanya Perhatikan kalimat berikut. Sekarang Presiden Jokowi sedang rapat dengan dengan Menteri Pendidikan Kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1. Apakah kalimat di atas memiliki kemungkinan nilai kebenaran benar atau salah? Ya, 2. Dapatkah kalian menentukan nilai kebenaran dari kalimat di atas? Berikan alasannya. Belum dapat menentukan nilai kebenarannya karena belum mengetahui faktanya. 3. Apakah kalimat tersebut merupakan pernyataan? Berikan alasannya. Ya, karena meskipun belum diketahui kalimat diatas memiliki nilai kebenaran benar atau salah. Kalimat tersebut merupakan contoh dari Pernyataan Faktual. Jadi apa yang dapat kalian simpulkan tentang pernyataan faktual? Pernyataan faktual adalah pernyataan yang untuk menentukan nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan terlebih dahulu Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

218 4 KEGIATAN 1.2 NILAI KEBENARAN CATATAN Pernyataan bernilai Benar (Pernyataan Benar) jika pernyataan tersebut sesuai dengan fakta (kenyataan), aturan, kesepatakan, definisi, atau perjanjian. Jika sebaliknya maka pernyataan tersebut bernilai Salah (Pernyataan Salah). Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, seperti a, b, c, d,, p, q, r, s, dan seterusnya. Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan τ (dibaca: tau). Nilai kebenaran Benar dilambangkan dengan huruf B dan nilai kebenaran Salah dilambangkan dengan huruf S Berikan tanda centang ( ) pada kolom benar atau salah sesuai pendapatmu tentang pernyataan-pernyataan berikut. Tabel 3. Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Nilai Kebenaran No Pernyataan Benar Salah 1 Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri. 2 Gunung Merapi adalah salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat. 3 Ki Hajar Dewantara adalah bapak pendidikan di Indonesia. 4 Angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura. 5 Di Yogyakarta keris digunakan sebagai senjata tradisional. Berdasakan pernyataan-pernyataan pada Tabel 3, 1. Pernyataan-pernyataan nomor berapakah yang merupakan pernyataan benar? Pernyataan nomor 1, 3, dan 5 2. Pernyataan-pernyataan nomor berapakah yang merupakan pernyataan salah? Pernyataan nomor 2 dan 4. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

219 5 3. Nyatakan pernyataan dan nilai kebenaran dari pernyataan pada Tabel 3 dalam simbol-simbol. 1. Pernyataan Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri dapat dinyatakan sebagai berikut. p: Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri. τ p = B, dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah Benar (B). 2. Pernyataan Gunung Merapi adalah salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat dapat dinyatakan sebagai berikut. p: Gunung Merapi adalah salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat. τ p = S, dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah salah (S). 3. Pernyataan Ki Hajar Dewantara adalah Bapak Pendidikan Indonesia. dapat dinyatakan sebagai berikut. p: Ki Hajar Dewantara adalah Bapak Pendidikan Indonesia. τ p = B 4. Pernyataan Angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura. dapat dinyatakan sebagai berikut. p: Angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura. τ p = S 5. Pernyataan Di Yogyakarta keris digunakan sebagai senjata tradisional dapat dinyatakan sebagai berikut. p: Di Yogyakarta keris digunakan sebagai senjata tradisional. τ p = B Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

220 6 Jika kita memiliki satu pernyataan, maka nilai kebenaran yang mungkin adalah Benar (B) atau Salah (S), tetapi tidak keduanya. Bagaimana jika terdapat dua atau tiga pernyataan? Berapa kombinasi nilai kebenaran yang mungkin kita peroleh? Perhatikan diagram berikut! 1. Jika terdapat 1 pernyataan maka nilai kebenaran yang mungkin adalah B atau S. Pernyataan 1 B Nilai Kebenaran S Jadi, jika terdapat 1 pernyataan, maka berapa nilai kebenaran yang mungkin? 2 nilai kebenaran yang mungkin, yaitu Benar atau salah 2. Jika terdapat 2 pernyataan maka kombinasi nilai kebenaran yang mungkin adalah seperti contoh berikut. Pernyataan 1 Pernyataan 2 Kombinasi nilai kebenaran Nilai Kebenaran B S B S B S B B B S S B S S Jadi, jika terdapat 2 pernyataan, maka berapa kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 4 kombinasi nilai kebenaran yang mungkin Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

221 7 Lengkapi tabel berikut untuk menunjukkan kombinasi tersebut. Tabel 4. Tabel Kombinasi Nilai Kebenaran yang Mungkin dari 2 Pernyataan Pernyataan p B B S S q B S B S 3. Bagaimana jika terdapat 3 pernyataan? Tentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin dengan menggambar diagram seperti contoh di atas. Pernyataan 1 Pernyataan 2 Pernyataan 3 Kombinasi nilai kebenaran B B S B B B B B S B B B S B Nilai S S B S S Kebenaran B S B B B S S B S S B S S B S S S S S Jadi, jika terdapat 3 pernyataan, maka berapa kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 8 kombinasi nilai kebenaran yang mungkin Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

222 8 Lengkapi tabel berikut yang menunjukkan kombinasi tersebut. Tabel 5. Tabel Kombinasi Nilai Kebenaran yang Mungkin dari 2 Pernyataan Pernyataan p q r B B B B B S B S B B S S S B B S B S S S B S S S Kesimpulan apa yang dapat kalian peroleh? 1. Jika kita mempunyai 1 pernyataan, maka nilai kebenaran yang mungkin adalah B atau salah saja. Jadi, banyaknya nilai kebenaran yang mungkin adalah 2 = Jika kita mempunyai 2 pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 4 = Jika kita mempunyai 3 pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 8 = 2 3. Jadi, jika kita mempunyai n pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 2 n. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

223 9 KEGIATAN 1.3 KALIMAT TERBUKA Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berikut dengan memberikan tanda centang ( ) pada kolom yang tersedia. Tabel 6. Pernyataan dan Kalimat Terbuka Nilai Kebenaran No Kalimat Benar Salah Belum Diketahui 1 Yogyakarta merupakan kota pelajar 2 Danau Toba terletak di suatu provinsi 3 x + 3 = 5 4 Dia adalah seorang penyanyi 5 Reog Ponorogo merupakan tarian tradisional dari Jawa Tengah. Perhatikan kalimat nomor 2, 3, dan 4 pada Tabel 6. Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari semua kalimat tersebut? Mengapa? Tidak. Karena beberapa kalimat tersebut masih memuat peubah, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya Kalimat-kalimat nomor 2, 3, dan 4 pada Tabel 6 dinamakan kalimat terbuka. Bandingkan kalimat pada Tabel 6 dengan kalimat-kalimat pada tabel di bawah ini. Tabel 7. Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Nilai Kebenaran No Kalimat Benar Salah Belum Diketahui 1 Danau Toba terletak di Provinsi Sumatera Utara. 2 Danau Toba terletak di Provinsi Kalimantan Selatan 3 x + 3 = 5 untuk x = 2, x R 4 Raisa adalah seorang penyanyi 5 Bambang Pamungkas adalah seorang penyanyi Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat-kalimat pada Tabel 7? Ya, Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

224 10 Jadi, apa yang dimaksud dengan kalimat terbuka? Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Apa hubungan antara kalimat terbuka dengan pernyataan? Untuk mengetahuinya, Jawablah pertanyaan di bawah ini! 1. Apakah kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan? Ya, kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan 2. Bagaimana cara mengubah kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan? Mengganti peubah dengan kata yang merupakan anggota dari semesta pembicaraan pada kalimat terbuka. Perhatikan kalimat dibawah ini. Kalimat terbuka Dia adalah mantan presiden Indonesia dengan semesta pembicaraan orang dapat diubah menjadi pernyataan seperti berikut. Jika kita Dia adalah mantan presiden Indonesia mengganti kata dia dengan kata Jusuf Kalla Jusuf Kalla adalah mantan presiden Indonesia Pernyataan Salah Jusuf Kalla bukan penyelesaian dari kalimat terbuka Dia adalah mantan presiden Indonesia Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

225 11 Jika kita Dia adalah mantan presiden Indonesia mengganti kata Dia dengan kata SBY SBY adalah mantan presiden Indonesia Pernyataan Benar SBY adalah penyelesaian dari kalimat terbuka Dia adalah mantan presiden Indonesia Penyelesaian adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan benar. Sebutkan semua penyelesaian dari kalimat terbuka Dia adalah mantan presiden Indonesia. Soekarno, Soeharto, Habibi, Abdurrahman Wahid, Megawati, dan SBY Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari suatu kalimat terbuka disebut Himpunan Penyelesaian dari kalimat terbuka. Jadi, Apa himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka Dia adalah mantan presiden Indonesia? {Soekarno, Soeharto, Habibi, Abdurrahman Wahid, Megawati, dan SBY } 1. Tentukan himpunan penyelesaiannya 2x + 3 = 11, x N Kalimat terbuka 2x + 3 = 11, x N menjadi pernyataan benar, jika 2x + 3 = 11 2x = x = 8 x = 4 Jadi, x = 4 adalah penyelesaian dari 2x + 3 = 11, x N. Dan Himpunan Penyelesaiannya adalah {4}. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x 2 4x + 3 = 0, x N Kalimat terbuka 2x + 3 = 11, x N menjadi pernyataan benar, jika x 2 4x + 3 = 0 x 3 x 1 = 0 x = 3 atau x = 1 x = 3 atau x = 1 adalah penyelesaian dari 2x + 3 = 11, x N. Dan Himpunan Penyelesaiannya adalah {1,3} Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

226 12 KEGIATAN 1.4 NEGASI Tentukan nilai kebenaran dari penyataan-pernyataan berikut. Tabel 8. Nilai Kebenaran dari Penyataan Nilai Kebenaran No Pernyataan Benar Salah 1 Tidak benar bahwa bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri. 2 Gunung Merapi bukan salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat. 3 Ki Hajar Dewantara bukan merupakan bapak pendidikan di Indonesia. 4 Tidak benar bahwa angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura. 5 Di Yogyakarta keris tidak digunakan sebagai senjata tradisional Bandingkan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada Tabel 8 dengan pernyataan-pernyataan pada Tabel 3. Apa yang dapat kalian temukan? Nilai kebenaran pada Tabel 3 dan Tabel 8 saling berlawanan. Pernyataan-pernyataan pada Tabel 8 merupakan negasi dari pernyataan-pernyataan pada Tabel 3. Jadi, apa yang dimaksud dengan negasi dari suatu pernyataan? Pernyataan baru yang diperoleh dengan membubuhkan kata tidak benar bahwa didepan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula, sedemikian sehingga nilai kebenarannya saling berlawanan dengan pernyataan awal. Negasi dapat dinotasikan dengan simbol ~ Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

227 13 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut. Tahun 2014 terjadi letusan Gunung p: τ p = Merapi. B Tidak benar bahwa pada tahun 2014 ~p: τ ~p = terjadi letusan Gunung Merapi. S Lengkapi tabel kebenaran untuk negasi di bawah ini. Tabel 9. Tabel Nilai Kebenaran untuk Negasi p B S ~p S B Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

228 14 REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini? Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai kebenaran benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Apa saja ciri-ciri kalimat yang bukan merupakan pernyataan? nilai kebenarannya bersifat relatif, berupa kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat ajakan, kalimat permohonan, dan lain-lain. Apa yang dimaksud dengan pernyataan faktual? Pernyataan yang untuk menentukan nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan terlebih dahulu Jika kita memiliki 2 pernyataan, berapa banyaknya kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 4 kombinasi yang mungkin Jika kita memiliki n pernyataan, berapa banyaknya kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 2 n kombinasi yang mungkin Apa yang dimaksud dengan kalimat terbuka? Kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Apa yang dimaksud dengan penyelesaian suatu kalimat terbuka? Suatu nilai pengganti yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan benar Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka Bagaimana menentukan negasi dari suatu pernyataan? membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Tabel kebenaran dari negasi atau ingkaran adalah sebagai berikut. p B S ~p S B Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

229 15 AYO BERLATIH! 1. Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. Pernyataan Benar tentang pelestarian lingkungan. b. Pernyataan Salah tentang budaya tradisional Yogyakarta. c. Bukan Pernyataan d. Kalimat Terbuka Jawab: a. Pelestarian hutan dapat dilakukan dengan melakukan reboisasi (menyesuaikan jawaban siswa) b. Upacara Sekaten diadakan pada bulan Rajab. (menyesuaikan jawaban siswa) c. Apakah Dian anak yang pandai? (menyesuaikan jawaban siswa) d. Dia adalah seorang pemain bulutangkis. (menyesuaikan jawaban siswa) Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini untuk menjawab pertanyaan nomor 2 sampai 5. a. Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. b. Hati-hati saat menyeberang! c. 111 adalah bilangan prima. d. Hari ini Cangkringan diguyur hujan deras. e. Tokyo adalah Ibukota Jepang. f. Matematika adalah mata pelajaran yang mudah. g. Dia adalah pemeran utama film Single. h. 4x 8 = 20 i. Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. j. 4x + y < Manakah diantara kalimat-kalimat di atas yang merupakan pernyataan? Jawab: a, c, e, dan i 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada jawaban No.2 (gunakan lambang nilai kebenaran "τ"). Jawab: a. Misal p: Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. τ p = B c. Misal q: 111 adalah bilangan prima. τ q = S e. Misal r: Tokyo adalah Ibukota Jepang. τ r = B i. Misal s: Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. τ s = S Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

230 16 4. Manakah diantara kalimat-kalimat di atas yang merupakan pernyataan faktual? Jawab: d 5. Manakah diantara kalimat-kalimat diatas yang merupakan kalimat terbuka? Jawab: g, h, dan j 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka pada jawaban No.4 Jawab: g. Dia adalah pemeran utama film Single. Himpunan penyelesaiaannya adalah {Raditya Dika} h. 4x 8 = 20 4x = 28 x = 7 Himpunan penyelesaiaanya adalah {7} j. 4x + y = 18 Himpunan penyelesaiaanya adalah {(0,18), (1,14), (2,10),(3,6),(4,2)} 7. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Bagian barat Indonesia dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. c. Ada bilangan prima yang genap. d. Matematika adalah pelajaran yang sulit. e < 15. Jawab: a. Bagian barat Indonesia tidak dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Tidak benar bahwa Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. c. Tidak ada bilangan prima yang genap d. Matematika bukan pelajaran yang sulit. e Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi

231 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 2 Konjungsi dan Disjungsi Indikator: 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. 2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas. Dalam jaringan listrik kita mengenal rangkaian listrik seri dan rangkaian listrik paralel. Saklar terbuka berarti tidak ada aliran listrik (off) dan saklar tertutup berarti ada aliran listrik (on). Dengan mempelajari logika, khususnya konjungsi dan disjungsi kita dapat mengetahui ada atau tidaknya aliran arus listrik pada rangkaian seri maupun paralel dengan memperhatikan terbuka atau tertutupnya saklar-saklar pada rangkaian tersebut. Gambar 1 Rangkaian Listrik Seri dan Paralel

232 18 KEGIATAN 2.1 PERNYATAAN MAJEMUK Perhatikan kalimat-kalimat berikut. 1. Perwira Angkatan Darat yang menjadi korban PKI di Yogyakarta adalah Kolonel Katamso dan Letnan Kolonel Sugiyono. 2. Di Papua Barat kita bisa berwisata di Wisata Bawah Laut Raja Ampat atau Pantai Pasir Putih. 3. Jika semua burung bisa terbang, maka burung unta bisa terbang. 4. Jakarta tidak banjir jika dan hanya jika warganya menjaga kebersihan lingkungannya. Pernyataan-pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk yang disusun oleh pernyataan-pernyataan tunggal yang disebut komponen pernyataan majemuk. Berikut ini adalah kata hubung yang digunakan dalam pernyataan majemuk. Tabel 1. Kata Hubung Logika Kata Hubung Logika Lambang Istilah dan Konjungsi atau Disjungsi Jika, maka Implikasi jika dan hanya jika Biimplikasi Diberikan komponen-komponen pernyataan majemuk berikut. p: Nana berangkat latihan menari. q: Hari ini tidak hujan. Susunlah pernyataan p dan q di atas menjadi pernyataan majemuk berikut. 1. Konjungsi p q: Nana berangkat latihan menari dan hari ini tidak hujan. 2. Disjungsi p q: Nana berangkat latihan menari atau hari ini tidak hujan. 3. Implikasi p q: Jika Nana berangkat latihan menari, maka hari ini tidak hujan. 4. Biimplikasi p q: Nana berangkat latihan menari jika dan hanya jika hari ini tidak hujan. Konjungsi dan disjungsi

233 KEGIATAN KONJUNGSI CATATAN Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Konjungsi pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut. p q Dibaca: p dan q Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari konjungsi? Perhatikan masalah berikut. Dono adalah seorang petani. Suatu hari Dono harus pergi ke pasar untuk membeli pupuk karena persediaan pupuk sudah habis. Dari rumah Dono tidak ada kendaraan umum untuk menuju ke pasar. Satu-satunya cara adalah dengan menggunakan sepeda motor yang dimilikinya. Sepeda motor hanya dapat dijalankan jika tersedia bensin. Diketahui pernyataan sebagai berikut. p: Dono memiliki sepeda motor q: Tersedia bensin Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung dan diperoleh konjungsi: p q: Dono memiliki sepeda motor dan tersedia bensin. Jika Dono memiliki sepeda motor dan tersedia bensin apakah Dono bisa pergi ke pasar? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya? Konjungsi dan Disjungsi

234 20 Lengkapilah tabel berikut. Tabel 2. Kemungkinan nilai kebenaran konjungsi Kemungkinan kombinasi pernyataan Akibat Dono memiliki dan Tersedia bensin Dono bisa pergi ke pasar sepeda motor B B B Dono memiliki sepeda motor dan Tidak tersedia bensin Meskipun ada sepeda motor, tetapi tidak dapat dijalankan karena tidak tersedia bensin, sehingga Dono tidak bisa pergi ke pasar B S S Dono tidak memiliki sepeda motor dan Tersedia bensin Meskipun ada bensin, Dono tidak bisa pergi ke pasar karena tidak ada sepeda motor. S B S Dono tidak memiliki sepeda motor dan Tidak tersedia bensin Jelas Dono tidak bisa pergi ke pasar karena tidak ada sepeda motor maupun bensin. S S S Jadi berdasarkan Tabel 2, apa yang menyebabkan suatu pernyataan konjungsi (p q) bernilai benar? Semua nilai kebenaran dari masing-masing komponen pernyataannya adalah Benar Lengkapi tabel kebenaran dari Konjungsi p q berikut. Tabel 3. Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q B B B B S S S B S S S S Konjungsi dan disjungsi

235 21 Bagaimana cara menentukan nilai x pada kalimat p(x) q? Jika diketahui p x adalah suatu kalimat terbuka? Perhatikan tabel kebenaran konjungsi pada Tabel 5 di atas. 1. Jika di ketahui pernyataan q bernilai Salah, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B S S S S S Apakah untuk pernyataan q bernilai salah kalimat majemuk p(x) q mungkin untuk bernilai benar? Tidak mungkin. Jadi, Jika pernyataan q bernilai salah, maka untuk semua nilai x bagaimana nilai kebenaran dari kalimat majemuk p(x) q? Selalu bernilai SALAH 2. Jika di ketahui pernyataan q bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. Jadi, p(x) q p(x) q B B B S B S Jika pernyataan q bernilai benar, kalimat majemuk p(x) q bernilai: a. Benar, jika p(x) bernilai Benar b. Salah, jika p(x) bernilai Salah Contoh: Tentukan nilai x agar kalimat majemuk 5x = 20 dan 20 adalah bilangan genap bernilai: a. Benar untuk nilai x = 4 b. Salah untuk nilai x 4 Konjungsi dan Disjungsi

236 22 KEGIATAN 2.3 DISJUNGSI CATATAN Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut. p q Dibaca: p atau q Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari disjungsi? Perhatikan masalah berikut. Sebelum adanya televisi dan internet masyarakat mendapatkan informasi melalui radio. Akan tetapi, bagi sebagian masyarakat yang tidak memiliki radio mereka dapat memperoleh informasi penting melalui media cetak berupa Koran. Diketahui pernyataan sebagai berikut. p: Pak Darto memiliki koran q: Pak Darto memiliki radio Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung atau diperoleh disjungsi: p q: Pak Darto memiliki koran atau radio Jika Pak Darto memiliki koran atau radio apakah Pak Darto dapat memperoleh informasi-informasi penting bisa pergi ke pasar? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya? Konjungsi dan disjungsi

237 23 Lengkapilah tabel berikut. Tabel 3. Kemungkinan nilai kebenaran disjungsi Kemungkinan kombinasi pernyataan Akibat Pak Darto memiliki Koran atau Pak Darto memiliki radio Pak Darto dapat memperoleh informasi penting B B B Pak Darto memiliki Koran atau Pak Darto tidak memiliki radio Meskipun tidak memiliki radio pak Darto dapat memperoleh informasi melalui koran B S B Pak Darto tidak memiliki Koran Pak Darto tidak memiliki Koran atau Pak Darto memiliki radio Meskipun tidak memiliki koran pak Darto dapat memperoleh informasi melalui radio S B B atau Pak Darto tidak memiliki radio Karena Pak Darto tidak memiliki Koran maupun radio, Pak Darto tidak dapat memperoleh informasi S S S Jadi berdasarkan Tabel 8 di atas, apa yang menyebabkan suatu pernyataan disjungsi (p q) bernilai salah? Semua nilai kebenaran dari masing-masing komponen pernyataan majemuknya adalah Salah Lengkapi tabel kebenaran dari Disjungsi p q berikut. Tabel 2 Tabel Kebenaran Disjungsi p q p q B B B B S B S B B S S S Konjungsi dan Disjungsi

238 24 Bagaimana cara menentukan nilai x pada kalimat p(x) q? Jika diketahui p x adalah suatu kalimat terbuka? Perhatikan tabel kebenaran disjungsi pada Tabel 9 di atas. 1. Jika di ketahui pernyataan q bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B B B S B B Apakah untuk pernyataan q bernilai benar kalimat majemuk p(x) q mungkin untuk bernilai salah? Tidak mungkin Jadi, Jika pernyataan q bernilai benar, maka untuk semua nilai x bagaimana nilai kebenaran dari kalimat majemuk p(x) q? Selalu bernilai Benar 2. Jika di ketahui pernyataan q bernilai Salah, Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B S B S S S Jadi, Jika pernyataan q bernilai salah, kalimat majemuk p(x) q bernilai: a. Benar, jika p(x) bernilai Benar b. Salah, jika p(x) bernilai Salah Contoh: Tentukan nilai x agar kalimat majemuk 2x < 30 atau 11 adalah bilangan genap bernilai: a. Benar untuk nilai x < 15 b. Salah untuk nilai x 15 Konjungsi dan disjungsi

239 25 Menentukan Nilai Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi dengan Analogi Rangkaian Listrik. Rangkaian listrik secara umum dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu rangkaian seri dan rangkaian parallel. Perhatikan gambar berikut. A p q B Rangkaian Seri p A B Rangkaian Paralel q p dan q mewakili saklar pada rangkaian. Saklar p dan q dapat terbuka (off) atau tertutup (on). Pada suatu rangkaian listrik jika sambungan terhubung atau ada arus listrik yang mengalir, dilambangkan dengan 1 dan jika sambungan tidak terhubung atau tidak ada arus listrik yang mengalir dilambangkan dengan 0. Lengkapilah tabel kebenaran berikut untuk setiap kondisi yang mungkin dari saklar p dan q untuk rangkaian seri dan paralel. Selanjutnya selidiki hubungan antara tabel tersebut dengan nilai kebenaran pada konjungsi dan disjungsi. p q Rangkaian Seri p q Rangkaian Paralel Kesimpulan: Jadi, lambang 1 bersesuaian dengan lambang B pada logika dan lambang 0 bersesuaian dengan lambang S pada logika. Dengan demikian diperoleh bahwa rangkaian listrik seri bersesuaian dengan konjungsi dan rangkaian listrik parallel bersesuaian dengan disjungsi Konjungsi dan Disjungsi

240 26 REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini? Konjungsi adalah dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan sehingga membentuk suatu pernyataan baru. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang p q (dibaca: p dan q) Tabel kebenaran Konjungsi adalah p q p q B B B B S S S B S S S S Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang p q (dibaca: p dan q) Tabel kebenaran Disjungsi adalah p q p q B B B B S B S B B S S S Konjungsi dan disjungsi

241 27 AYO BERLATIH! 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Candi Borobudur dan Candi Prambanan terletak di Jawa tengah. b. 30 adalah bilangan yang habis dibagi 7 atau 4. Jawab: a. Benar b. Salah 2. Tentukan penyelesaian dari kalimat berikut. a. 25 adalah kelipatan 2 atau 2 log 16 = x a. Itu adalah planet yang paling dekat dengan Bumi dan Bumi mengelilingi Matahari. b. Jawab: a. x = 4 b. Mars 3. Diketahui komponen pernyataan berikut. p: Bali beribukota di Denpasar. q: Bali terkenal dengan tari Kecak. Nyatakan dalam bentuk pernyataan majemuk berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. p q b. p q Jawab: a. Bali beribukota di denpasar atau tidak terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Bali tidak beribukota di Denpasar dan terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Salah Konjungsi dan Disjungsi

242 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 3 Implikasi, Bimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi Indikator: 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi. 2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. 3. Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. Gambar 1 kebakaran hutan Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas. Ketika kalian melihat kejadian di atas, apa yang kalian pikirkan? Kebakaran hutan menyebabkan polusi udara yang dapat berdampak buruk bagi kesehatan. Kebakaran hutan tidak akan terjadi jika dan hanya jika penegakan hukum di Indonesia kuat. Jika terjadi kebakaran hutan, maka banyak begitu banyak makhluk hidup yang akan kehilangan habitatnya. Pernyataan-pernyatan tersebut merupakan pernyataan majemuk implikasi dan biimplikasi. Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut?

243 29 KEGIATAN 3.1 IMPLIKASI CATATAN Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q. Implikasi jika p maka q dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut. p q (dibaca: jika p maka q) Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari implikasi? Perhatikan masalah berikut. Sebelum pengumuman hasil UN Nita berjanji bahwa jika Nita lulus ujian nasional maka Nita mendaftar kuliah. Ketika Nita membaca berita, Nita memperoleh informasi bahwa siswa yang tidak lulus ujian nasional tetap bisa mendaftar kuliah dengan syarat lulus ujian paket C. Diketahui pernyataan sebagai berikut. p: Nita lulus ujian nasional q: Nita mendaftar kuliah Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung jika maka diperoleh implikasi: p q: Jika Nita lulus ujian maka Nita mendaftar kuliah Jika Nita lulus ujian kemudian mendaftar kuliah, apakah Nita memenuhi janjinya? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya? Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

244 30 Lengkapilah tabel berikut. Jika Jika Jika Jika Tabel 1. Kemungkinan nilai kebenaran implikasi Kemungkinan kombinasi pernyataan Akibat Nita lulus maka Nita mendaftar Nita memenuhi janjinya karena ujian nasional kuliah setelah lulus ujian Nita mendaftar kuliah B B B Nita lulus maka Nita tidak Nita tidak memenuhi janjinya karena ujian nasional mendaftar meskipun lulus ujian, Nita tidak kuliah mendaftar kuliah B S S Nita tidak lulus ujian nasional maka Nita mendaftar kuliah Nita memenuhi janjinya karena meskipun tidak lulus ujian Nita mendaftar kuliah dengan mengikuti ujian paket C terlebih dahulu S B B Nita tidak maka Nita tidak Nita memenuhi janjinya sebab Nita lulus ujian mendaftar tidak mendaftar kuliah dikarenakan nasional kuliah Nita tidak lulus ujian S S B Jadi berdasarkan Tabel 1, apa yang menyebabkan suatu pernyataan implikasi (p q) bernilai salah? Nilai kebenaran dari komponen pernyataan majemuk yang pertama (p) benar dan komponen majemuk yang kedua (q) salah Lengkapi tabel kebenaran dari Implikasi p q berikut. Tabel 1. Tabel Kebenaran dari Implikasi p q p q B B B B S S S B B S S B Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

245 31 Bagaimana cara menentukan nilai x pada kalimat p(x) q? Jika diketahui p x adalah suatu kalimat terbuka? Perhatikan tabel kebenaran implikasi pada Tabel Jika diketahui pernyataan q bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B B B S B B Apakah untuk pernyataan q bernilai benar kalimat majemuk p(x) q mungkin untuk bernilai salah? Tidak Jadi, Jika pernyataan q bernilai benar, maka untuk semua nilai x bagaimana nilai kebenaran dari kalimat majemuk (x) q? Selalu bernilai BENAR 2. Jika diketahui pernyataan q bernilai Salah, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B S S S S B Jadi, Jika pernyataan q bernilai salah, kalimat majemuk p(x) q bernilai: a. Benar, jika p(x) bernilai Salah b. Salah, jika p(x) bernilai Benar Contoh: Tentukan nilai x agar kalimat majemuk jika 2x + 3 = 7, maka 7 > 14 bernilai: a. Benar untuk nilai x 2 b. Salah untuk nilai x = 2 Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

246 32 KEGIATAN 3.2 BIIMPLIKASI CATATAN Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk p jika dan hanya jika q". Biimplikasi p jika dan hanya jika q dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut. Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari biimplikasi? Perhatikan masalah berikut. SMA Negeri 1 Cangkringan mengadakan pertandingan voli. Aturan pertandingannya adalah jika salah satu tim memperoleh skor 25 maka tim tersebut menang dan jika tim tersebut menang maka skor yang diperoleh adalah 25. Diketahui pernyataan sebagai berikut. p: Tim XA menang q: Tim XA memperoleh skor 25 Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung jika dan hanya jika diperoleh biimplikasi: p q: Tim XA menang jika dan hanya jika memperoleh skor 25 Jika Tim XA memperoleh skor 25 maka Tim XA menang dan jika tim XA menang maka memperoleh skor 25, apakah pertandingan tersebut berjalan sesuai dengan aturan? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya? Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

247 33 Lengkapilah tabel berikut. Tabel 2. Kemungkinan nilai kebenaran biimplikasi Kemungkinan kombinasi pernyataan Akibat Tim XA menang Jika dan hanya jika Tim XA memperoleh skor 25 Sesuai dengan aturan pertandingan B B B Tim XA menang Jika dan hanya jika Tim XA tidak memperoleh skor 25 Tidak sesuai dengan aturan pertandingan, karena Tim XA menang padahal tidak memperoleh skor 25 B S S Tim XA kalah Jika dan hanya jika Tim XA memperoleh skor 25 Tidak sesuai dengan aturan pertandingan, karena Tim XA memperoleh skor 25 tetapi dinyatakan kalah S B S Tim XA kalah Jika dan hanya jika Tim XA tidak memperoleh skor 25 Sesuai dengan aturan pertandingan S S B Jadi berdasarkan tabel 2 di atas, apa yang menyebabkan nilai kebenaran suatu pernyataan biimplikasi (p q) bernilai benar? Nilai kebenaran dari komponen-komponennya sama Lengkapi tabel kebenaran dari Biimplikasi p q berikut. Tabel 3. Tabel Kebenaran Biimplikasi p q p q B B B B S S S B S S S B Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

248 34 Bagaimana cara menentukan nilai x pada kalimat p(x) q? Jika diketahui p x adalah suatu kalimat terbuka? Perhatikan tabel kebenaran biimplikasi pada Tabel 8 di atas. 1. Jika diketahui pernyataan q bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B B B S B S Jika pernyataan q bernilai benar, kalimat majemuk p(x) q bernilai: a. Benar, jika p(x) bernilai Benar b. Salah, jika p(x) bernilai Salah Contoh: Tentukan nilai x agar kalimat majemuk x 4 < 8 jika dan hanya jika 8 adalah bilangan genap bernilai: a. Benar untuk nilai x < 12 b. Salah untuk nilai x Jika diketahui pernyataan q bernilai Salah, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk p(x)? Lengkapi tabel berikut. p(x) q p(x) q B S B S S S Jika pernyataan q bernilai salah, kalimat majemuk p(x) q bernilai: a. Benar, jika p(x) bernilai Salah b. Salah, jika p(x) bernilai Benar Contoh: Tentukan nilai x agar kalimat majemuk x 4 < 8 jika dan hanya jika 8 adalah bilangan genap bernilai: a. Benar untuk nilai x 12 b. Salah untuk nilai x < 12 Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

249 Langkah ke- 35 KEGIATAN 3.3 MENENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI PERNYATAAN MAJEMUK TIDAK SEDERHANA Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Jadi, pernyataan majemuk dapat terdiri dari 2 atau lebih pernyataan-pernyataan tunggal, p, q, r,, dan seterusnya., disertai gabungan operasi ingkaran (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ), dan biimplikasi( ). Bagaimana cara mencari nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk tidak sederhana dengan menggunakan tabel kebenaran? Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ( p q) p. Kolom Ke- (1) (2) (3) (4) (5) p q p p q ( p q) p B B S S B B S S S B S B B B S S S B S B 1 Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan pernyataan q Tentukan nilai kebenaran dari p 2 Tentukan nilai kebenaran dari p q Tentukan nilai kebenaran dari ( p q) p 3 4 Nilai kebenaran pernyataan ( p q) p dapat dibaca dari atas ke bawah pada kolom (5), yaitu B, B, S, B. dengan menggunakan simbol nilai kebenaran pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut τ p q p = B B S B Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

250 36 TAUTOLOGI KEGIATAN 4.4 TAUTOLOGI Pernyataan majemuk berikut merupakan Tautologi. Jika penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian dan terjadi kerusakan alam, maka penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian. Bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan tersebut? Misalkan peryataan majemuk tersebut dalam simbol sebagai berikut. p: Banyak penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian q: Terjadi kerusakan alam p q: Banyak penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian dan terjadi kerusakan alam p q p: Jika penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian dan terjadi kerusakan alam maka penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini. Nilai kebenaran yang mungkin Nilai kebenaran p q p q p q p B B B B B S S B S B S B S S S B Diketahui bahwa pernyataan majemuk p q p adalah suatu tautologi. Berdasarkan nilai kebenaran dari p q p, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai tautologi? Tautologi adalah pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Implikasi Logis adalah implikasi yang merupakan tautologi Biimplikasi Logis adalah biimplikasi yang merupakan tautologi Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

251 37 KEGIATAN 3.5 KONTRADIKSI Pernyataan majemuk berikut merupakan suatu kontradiksi. Tidak benar bahwa Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman, dan Nisa berasal dari Aceh Bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan tersebut? Misalkan peryataan majemuk tersebut dalam simbol sebagai berikut. p: Nisa berasal dari Aceh q: Nisa mahir menari Saman p q: Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman (p q): Tidak benar bahwa Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman p q p: Tidak benar bahwa Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman, dan Nisa berasal dari Aceh. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini. Nilai kebenaran yang mungkin Nilai kebenaran p q p q p q p q p B B B S S B S B S S S B B S S S S S B S Diketahui bahwa pernyataan majemuk p q p adalah suatu kontradiksi. Berdasarkan nilai kebenaran dari p q p, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kontradiksi? Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

252 38 REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini? Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q. Implikasi dapat ditulis dengan lambang p q (dibaca: jika p maka q). Tabel kebenaran Implikasi adalah p q p q B B B B S S S B B S S B Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk p jika dan hanya jika q". Biimplikasi dapat ditulis dengan lambang p q (dibaca: p jika dan hanya jika q) Tabel kebenaran Biimplikasi adalah p q p q B B B B S S S B S S S B Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

253 39 AYO BERLATIH! 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Jika Pattimura adalah pahlawan nasional, maka tidak berasal dari Maluku. b = 4 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan rasional. 3 Jawab: a. Salah b. Benar 2. Tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut. a. Negara itu beribukota di Kuala Lumpur jika dan hanya jika kartun Upin Ipin berasal dari Negara itu. b. Jika x 2 3x 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8. Jawab: a. Malaysia b. x 2 3x 18 = 0 x + 3 x 6 = 0 x = 3 atau x = 6 Jadi pernyataan Jika x 2 3x 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8 benar jika x 3 atau x 6 3. Diketahui komponen pernyataan berikut. p: Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa. q: Ki Hajar Dewantara merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nyatakan dalam bentuk pernyataan majemuk berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. q p b. p q Jawab: a. Jika Ki Hajar Dewantara bukan Bapak Pendidikan Indonesia, maka bukan pendiri sekolah Taman Siswa. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa jika dan hanya jika bukan merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nilai kebenarannya adalah Salah Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

254 40 4. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk q (p ~q) merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? a. Lengkapi tabel kebenaran berikut ini. p q ~q p ~q q (p ~q) B B S S S B S B B S S B S S S S S B S S b. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal a, apakah pernyataan majemuk q (p ~q) merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? Jawab: Karena nilai kebenarannya semua SALAH, maka q (p ~q) adalah suatu kontradiksi 5. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk p [p q r ] merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? a. Lengkapi tabel kebenaran berikut. p q r q r p q r p [p q r ] B B B B B B B B S S B B B S B S B B B S S S B B S B B B B B S B S S S B S S B S S B S S S S S B b. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal a, apakah pernyataan majemuk p [p q r ] merupakan tautologi kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? Jawab: Karena nilai kebenarannya semua BENAR, Jadi, p [p q r ] adalah tautologi Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi

255 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 4 Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Indikator: 1. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 2. Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. 3. Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas. Gambar 1 Berbagai Kebudayaan di Indonesia Indonesia memiliki budaya yang sangat beragam. Setiap daerah memiliki kekhasan budayanya masing-masing. Akan tetapi kemajuan jaman menyebabkan budaya Indonesia semakin dilupakan oleh para generasi penerus bangsa. Oleh karena itu, jika kita ingin budaya Indonesia tetap ada, maka kita harus melestarikannya. Hal tersebut dikarenakan jika kita tidak melestarikan budaya Indonesia, maka budaya Indonesia akan hilang. Kedua pernyataan terakhir tersebut memiliki nilai yang sama (ekuivalen). Pernyataan terakhir merupakan kontraposisi dari pernyataan sebelumnya.

256 42 KEGIATAN 4.1 EKUIVALENSI DARI DUA PERNYATAAN MAJEMUK CATATAN Dua buah pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya, dilambangkan dengan A B (dibaca: A ekuivalen dengan B) Perhatikan masalah berikut ini. Risa dan Angga tinggal saling berdekatan. Mereka selalu berangkat kesekolah bersama-sama. Ketika dalam perjalanan menuju sekolah mereka mendiskusikan tentang besaran pokok dalam pengukuran. Keduanya saling berdiskusi sebagai berikut. Angga, menurut kamu apakah benar jika besaran massa merupakan besaran skalar, maka besaran massa memiliki ukuran besar saja? Menurutku, besaran massa bukan merupakan besaran skalar atau memiliki ukuran besar saja. Apakah pernyataan Angga ekuivalen dengan pernyataan Risa? Mengapa? Iya karena memiliki nilai kebenaran yang sama. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

257 43 Akan diselidiki dengan menggunakan tabel kebenaran apakah kedua pernyataan majemuk tersebut ekuivalen. Misal, p: Besaran massa merupakan besaran skalar. q: Besaran massa memiliki ukuran besar saja. p q: Jika besaran massa merupakan besaran skalar, maka besaran massa memiliki ukuran besar saja. p q: Besaran massa bukan merupakan besaran skalar atau memiliki ukuran besar saja Lengkapi tabel kebenaran berikut. Tabel 1. Tabel Kebenaran dari Pernyataan Majemuk p q p p q p q B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B Berdasarkan tabel di atas, dapat diperoleh bahwa τ p q = BSBB τ p q = BSBB Menurut nilai kebenaran yang telah kalian peroleh, maka apa kesimpulan yang dapat kalian ambil? Karena nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q sama dengan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q, maka keduanya saling ekuivalen. p q (p q) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

258 44 CONTOH Buktikan bahwa p q ekuivalen dengan ( p q)! Jawab: Perhatikan tabel kebenaran dari p q dan ( p q) pada tabel berikut. Tabel 2. Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk p q p q p q p q ( p q) B B S S S B S B S S B S B S S B B S B S B S S B B S B S sama Pada Tabel 2 dapat diperoleh bahwa nilai kebenaran dari p q sama dengan nilai kebenaran dari ( p q). Dengan demikian kesimpulan apa yang dapat kalian ambil tentang pernyataan majemuk p q dan ( p q)? Pernyataan majemuk p q ekuivalen dengan ( p q). p q ( p q ) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

259 45 KEGIATAN 4.2 NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK 1. Negasi dari Konjungsi Perhatikan pernyataan berikut. Contoh dari komponen abiotik adalah hewan dan tumbuhan Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Jika tidak, bagaimana menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena contoh dari komponen abiotik adalah bukan hewan atau bukan tumbuhan. Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan sebelumnya. Mari kita selidiki apakah jawaban kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika p q ekuivalen dengan p q?. Tabel 3 Tabel Kebenaran Negasi Konjungsi p q p q p q p q ( p q) B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B Berdasarkan tabel diatas apakah τ p q = τ[ p q ]? YA Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? p q p q Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan Nia Contoh dari komponen abiotik adalah hewan dan tumbuhan? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

260 46 2. Negasi dari Disjungsi Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa Rumah gadang adalah rumah adat Yogyakarta atau Jawa Tengah. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena rumah gadang bukan rumah adat yogyakarta dan bukan rumah adat Jawa Tengah Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan Rumah gadang adalah rumah adat Yogyakarta atau Jawa Tengah. Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika p q ekuivalen dengan p q?. Tabel 4 Tabel Kebenaran Negasi Disjungsi p q p q p q p q p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B Berdasarkan tabel diatas apakah τ p q = τ[ p q ]? Ya Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? p q p q Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan Rumah gadang adalah rumah adat Yogyakarta atau Jawa Tengah? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

261 47 3. Negasi dari Implikasi Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena air dapat menguap saat dipanaskan dan air bukanlah benda padat. Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat. Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika p q ekuivalen dengan p q. Tabel 5 Tabel Kebenaran Negasi Implikasi p q q p q p q (p q) B B S B S S B S B S B B S B S B S S S S B B S S Berdasarkan tabel diatas apakah τ p q = τ[ p q ]? Ya Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? p q p q Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

262 48 4. Negasi dari Biimplikasi Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa 9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena 9 adalah bilangan ganjil dan 9 tidak habis dibagi 2, atau 9 habis dibagi 2 dan 9 bukan bilangan ganjil. Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan 9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2. Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika p q ekuivalen dengan p q (q p). Tabel 6. Tabel Kebenaran Negasi Implikasi p q p q p q p q (p q) (q p) p q (q p) B B S S B S S S S B S S B S B B S B S B B S S B S B B S S B B B S S S S Berdasarkan tabel diatas apakah τ p q = τ[ p q (q p)]? Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? p q p q (q p) Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan 9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

263 49 KEGIATAN 4.3 HUBUNGAN ANTARA IMPLIKASI DENGAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISINYA CATATAN Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka dari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain yaitu: 1. q p, disebut Konvers dari dari implikasi p q 2. p q, disebut Invers dari implikasi p q 3. q p, disebut Kontraposisi dari implikasi p q Perhatikan pernyataan-pernyataan majemuk berikut. 1 Jika harga minyak naik, maka harga barang naik. 2 Jika harga barang naik, maka harga minyak naik. 3 Jika harga minyak tidak naik, maka harga barang tidak naik. 4 Jika harga barang tidak naik, maka harga minyak tidak naik. Dari pernyataan-pernyataan majemuk diatas, pernyataan nomor berapa saja yang memiliki nilai kebenaran yang sama? Pernyataan nomor 1 sama dengan pernyataan nomor 4 dan pernyataan nomor 2 sama dengan pernyataan nomor 3 Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

264 50 Untuk mengetahui nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan majemuk di atas, kita dapat menggunakan tabel kebenaran. Misal: p: Harga minyak naik. q: Harga barang naik. Sehingga dari pernyataan-pernyataan majemuk di atas diperoleh, 1. p q: Jika harga minyak naik, maka harga barang naik. 2. q p: Jika harga barang naik, maka harga minyak naik. 3. p q: Jika harga minyak tidak naik, maka harga barang tidak naik. 4. q p: Jika harga barang tidak naik, maka harga minyak tidak naik. Lengkapi tabel kebenaran berikut. Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q p q p q q p p q q p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B Perhatikan nilai kebenaran dari Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi di atas. Manasaja yang memiliki nilai kebenaran yang sama atau saling berlawanan? Kesimpulan apa saja yang dapat kalian peroleh? Nilai kebenaran dari implikasi sama dengan nilai kebenaran dari Kontraposisinya. Nilai kebenaran dari konvers sama dengan nilai kebenaran dari invers. Jadi, Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, p q q p Konvers ekuivalen dengan invers, (q p) p q Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

265 51 CONTOH Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari implikasi berikut. a. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. b. Jika x = 5, maka x 2 = 25. (tentukan pula nilai kebenarannya) c. p (p q) Jawab: a. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. Misal: p: saya belajar dengan giat q: saya lulus ujian Sehingga dapat diperoleh, Konversnya (q p) : Jika saya lulus ujian, maka saya belajar dengan giat. Inversnya ( p q) : Kontraposisinya ( q p) : Jika saya tidak belajar dengan giat, maka saya tidak lulus ujian. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya tidak belajar dengan giat. b. Jika x = 5, maka x 2 = 25 Misal: p: x = 5 q: x 2 = 25 Sehingga dapat diperoleh, Konversnya (q p) : Jika x 2 = 25, maka x = 5 (salah) Inversnya ( p q) : Jika x 5, maka x 2 25 (salah) Kontraposisinya ( q p) : Jika x 2 25, maka x 5 (benar) c. Jika diketahui implikasi p (p q), maka: Konversnya : (p q) p Inversnya : ~p ~(p q) atau ekuivalen dengan ~p (~p ~q) Kontraposisinya : (p q) p atau ekuivalen dengan (~p ~q) p Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

266 52 REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini? Apa yang menyebabkan dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen? jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya. Negasi dari pernyataan majemuk dapat ditunjukkan dengan menggunakan ekuivalensi. 1. Negasi dari Konjungsi p q 2. Negasi dari Disjungsi (p q) ( p q) ( p q) HUKUM DE MORGAN 3. Negasi dari Implikasi p q (p q) 4. Negasi dari Biimplikasi p q p q (q p) Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

267 53 Jika diketahui suatu Implikasi p q, maka: Konversnya: Inversnya: Kontraposisinya: q p p q q p Berdasarkan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi, diperoleh: p q q p q p p q Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

268 54 AYO BERLATIH! 1. Benarkan pernyataan-pernyataan berikut? a. p q p (p q) b. p q r p q (p r) Jawab: p q p p q p q p p q B B S B B B B S S S S S S B B S B B S S B S B B a. Jadi berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa p q p (p q) p q r q r p q r p q p r p q (p r) B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B B B B B S B S B B B B B S S B B B B B B S S S S B B B B b. Jadi berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa p q r p q (p r) 2. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat dipengaruhi oleh koefisien muai dan dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Jika Rio Haryanto adalah pembalap Indonesia, maka memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

269 55 Jawab: a. Surabaya bukan ibukota Jawa Timur dan bukan kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat tidak dipengaruhi oleh koefisien muai atau tidak dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Rio Haryanto bukan pembalap Indonesia atau memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi dan ketiga sisinya tidak samapanjang, atau segitiga tidak sama sisi dan ketiga sisinya sama panjang 3. Tunjukkan bahwa sifat komutatif, asosiatif, dan distributif berlaku pada konjungsi dan disjungsi. a. Sifat komutatif p q q p p q q p b. Sifat asosiatif p q r p q r p q r p (q r) c. Sifat distributif Distributif konjungsi terhadap disjungsi p q r p q (p r) Distributif disjungsi terhadap konjungsi p q r p q (p r) Jawab: a. Sifat komutatif p q p q q p p q q p B B B B B B B S S S B B S B S S B B S S S S S S Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat komutatif pada konjungsi dan disjungsi. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

270 56 b. Asosiatif p q r p q q r p (q r) (p q) r p q q r p (q r) (p q) r B B B B B B B B B B B B B S B S S S B B B B B S B S S S S B B B B B S S S S S S B S B B S B B S B S S B B B B S B S S S S S B B B B S S B S S S S S B B B S S S S S S S S S S S Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat asosiatif pada konjungsi dan disjungsi. c. Distributif Distributif konjungsi terhadap disjungsi p q r q r p (q r) p q p r p q (p r) B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B S S S S S B S B S S S S S S B B S S S S S S S S S S S S Distributif disjungsi terhadap konjungsi p q r q r p (q r) p q p r p q (p r) B B B B B B B B B B S S B B B B B S B S B B B B B S S S B B B B S B B B B B B B S B S S S B S S S S B S S S B S S S S S S S S S Berdasarkan kedua tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat distributif pada konjungsi dan disjungsi. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk

271 57 4. Tentukan Konvers, invers, dan kotraposisi dari implikasi berikut. a. Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. b. Jika x < 0, maka x 2 > 0. c. p ( p q) Jawab: a. Implikasi: Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. Konvers: Jika kita melestarikan budaya Indonesia, maka kita cinta tanah air Indonesia Invers: Jika kita tidak cinta tanah air Indonesia, maka kita tidak melestarikan budaya Indonesia. Kontraposisi: Jika tidak melestarikan budaya Indonesia, maka kita tidak cinta tanah air Indonesia. b. Implikasi : Jika x < 0, maka x 2 > 0. Konvers : Jika x 2 > 0, maka x < 0 Invers : Jika x 0, maka x 2 0 Kontraposisi: Jika x 2 0, maka x 0 c. Implikasi : p p q Konvers : ( p q) p Invers : p p q p (p q) Kontraposisi: (p q) p 5. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut. a. Jika Ani tidak sarapan, maka ia mengantuk di sekolah. b. Banjir akan datang jika hujan lebat. Jawab: a. Ani sarapan atau ia tidak mengantuk di sekolah. atau Jika ani tidak mengantuk di sekolah, maka Ani sarapan. b. Hujan tidak lebat jika banjir tidak datang Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi

272 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 5 Pernyataan Berkuantor Indikator: 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. 2. Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. 3. Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. Gambar 1 Elang Gambar 2 Harimau Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas. Gambar 3 Serigala Jika dalam suatu diskusi ada teman kalian yang mengatakan, Semua hewan karnivora memiliki taring. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Apakah ada hewan pemakan daging yang tidak memiliki taring? Pernyataan Semua hewan karnivora memiliki taring merupakan contoh dari pernyataan berkuantor.

273 59 KEGIATAN 5.1 KUANTOR UNIVERSAL Perhatikan pernyataan berikut. Semua ikan hidup di air. Jika, U = Himpunan semua binatang A = Himpunan semua binatang yang hidup di air B = Himpunan semua ikan yang hidup di air Gambar 4. Ikan Temukan hubungan antara pernyataan binatang yang hidup di air dan pernyataan semua ikan hidup di air dengan menggambar himpunan-himpunan tersebut dalam diagram venn berikut. U A B Apa hubungan antara himpunan A dan Himpunan B? Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A Jadi, jika x A maka x B. Dengan demikian pernyataan Semua ikan hidup di air ekuivalen dengan pernyataan Jika piranha adalah ikan, maka piranha hidup di air. Pernyataan Berkuantor

274 60 CONTOH 1. Semua makhluk hidup membutuhkan air, ekuivalen dengan Jika manusia adalah makhluk hidup, maka manusia membutuhkan air. 2. Semua bilangan prima adalah bilangan asli, ekuivelen dengan Jika x adalah bilangan prima, maka x adalah bilangan asli. 3. Semua B adalah A, ekuivalen dengan Jika x B, maka x A. Berdasarkan ilustrasi di atas, apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat Mereka hidup di air? Mengapa? Tidak, karena masih terdapat variabel atau peubah mereka. Jika dari kalimat di atas, kata mereka diganti dengan kuantor universal, sehingga menjadi pernyataan sebagai berikut. Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenarannya? Semua ikan hidup di air, nilai kebenarannya adalah Benar Semua binatang hidup di air, nilai kebenarannya adalah Salah Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenarannya? Iya Jadi, kalimat terbuka dapat kita ubah menjadi suatu pernyataan dengan membubuhkan kuantor universal. CATATAN Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan berkuantor universal dapat ditulis sebagai berikut. ( x), p(x) dibaca: untuk semua x berlakulah p(x) Atau x S, p(x) dibaca: untuk semua x anggota S berlakulah p(x) Penggunaan kata untuk semua pada kuantor universal, senilai dengan kata untuk setiap, untuk tiap-tiap, dan untuk seluruh. Pernyataan Berkuantor

275 61 Diketahui kalimat terbuka berikut. p: Semua ikan bernafas dengan insang. Kita tahu bahwa ikan lumba-lumba bernafas dengan paru-paru. Karena sekurang-kurangnya ada 1 ikan yang tidak bernafas dengan insang, maka pernyataan tersebut salah. τ p = S. q: untuk setiap x R, x > 0. Karena x 2 0 untuk semua x R, sehingga x > 0 untuk semua x R. Jadi, pernyataan tersebut bernilai benar. τ q = B Jadi, Pernyataan berkuantor universal dapat memiliki nilai kebenaran Benar, jika Pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang dibicarakan. Pernyataan berkuantor universal dapat memiliki nilai kebenaran Salah, jika Terdapat sekurang-kurangnya satu anggota semesta yang menyebabkan kalimat berkuantor salah Pernyataan Berkuantor

276 62 KEGIATAN 5.2 KUANTOR EKSISTENSIAL Perhatikan pernyataan berikut. Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan Jika, U = Himpunan semua orang. A = Himpunan semua pahlawan nasional B = Himpunan semua perempuan. Gambar 5. Pahlawan Nasional Temukan hubungan antara pernyataan Orang yang meninggal karena berjuang pada masa kemerdekaan adalah pahlawan nasional dan pernyataan Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan dengan menggambar himpunan A dan B dalam diagram venn berikut. U B A Apa hubungan antara himpunan A dan Himpunan B? Himpunan A saling beririsan dengan himpunan B Jadi, sekurang-kurangnya ada sebuah x B yang merupakan A. Dengan demikian pernyataan beberapa pahlawan nasional adalah perempuan ekuivalen dengan pernyataan Sekurang-kurangnya ada satu perempuan yang merupakan pahlawan nasional. Pernyataan Berkuantor

277 63 CONTOH 1. Beberapa kuda berwarna coklat, ekuivalen dengan Sekurang-kurangnya ada seekor kuda yang berwarna coklat. 2. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima, ekuivalen dengan sekurangkurangnya ada satu bilangan genap yang merupakan bilangan prima. 3. Beberapa B adalah A, ekuivalen dengan sekurang-kurangnya ada sebuah x B yang merupakan A Berdasarkan ilustrasi di atas, apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat Mereka adalah perempuan? Mengapa? Tidak, karena kalimat tersebut masih memuat variabel atau peubah Jika dari kalimat di atas, kata mereka diganti dengan kuantor eksistensial, sehingga menjadi pernyataan sebagai berikut. Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenarannya? Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan, nilai kebenarannya adalah Benar Beberapa makhluk hidup tidak membutuhkan oksigen, nilai kebenarannya adalah Salah Jadi, kalimat terbuka dapat kita ubah menjadi suatu pernyataan dengan membubuhkan kuantor eksistensial. CATATAN Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditulis sebagai berikut. ( x), p(x) dibaca: terdapat x sehingga berlakulah p(x) Atau x S, p(x) dibaca: terdapat x anggota S sehingga berlakulah p x Penggunaan kata terdapat senilai dengan kata ada, beberapa, untuk suatu, dan untuk paling sedikit satu. Pernyataan Berkuantor

278 64 Diketahui kalimat terbuka berikut. p: Ada pahlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan. Kita tahu bahwa Sultan Hasanuddin adalah pehlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan. Karena kita dapat menunjukkan sekurang-kurangnya 1 pahlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan, maka pernyataan tersebut bernilai benar. τ p = B. q: Ada bilangan prima yang kurang dari 0. Karena kita tidak dapat menunjukkan satupun bilangan prima yang kurang dari 0, maka pernyataan tersebut bernilai salah. τ q = S Jadi, Pernyataan berkuantor eksistensial dapat memiliki nilai kebenaran Benar, jika Sekurang-kurangnya satu anggota semesta menyebabkan pernyataan bernilai benar. Pernyataan berkuantor eksistensial dapat memiliki nilai kebenaran Salah, jika Tidak ada satupun dari anggota semesta menyebabkan kalimat menjadi benar Pernyataan Berkuantor

279 65 KEGIATAN 5.3 NEGASI KALIMAT BERKUANTOR 1. Kuantor Universal Perhatikan pernyataan berikut. Semua presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang adalah laki-laki Apakah pernyataan tersebut benar? Bagaimana menyangkal pernyataan diatas? Tidak, karena ada presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang yang perempuan Pernyataan berkuantor apa yang kalian gunakan untuk menyangkal pernyataan di atas? Gambar 6 Presiden Indonesia Pernyataan berkuantor eksistensial Menyangkal suatu pernyataan berarti kamu telah membuat negasi dari pernyataan tersebut. Dengan demikian, berdasarkan kalimat sangkalan di atas, negasi dari pernyataan Semua presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang adalah lakilaki adalah Terdapat presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang yang bukan lakilaki CATATAN Jika terdapat pernyataan berkuantor universal x, p(x), maka negasinya dapat ditulis sebagai berikut. ~[ x, p x ] x, ~p(x) Pernyataan Berkuantor

280 66 2. Kuantor Eksistensial Perhatikan pernyataan berikut. Terdapat kucing yang berkembangbiak dengan cara bertelur. Gambar 7 Kucing Apakah pernyataan tersebut benar? Bagaimana menyangkal pernyataan diatas? Tidak, karena semua kucing berkembang biak dengan beranak. Pernyataan apa yang kalian gunakan untuk menyangkal pernyataan di atas? Pernyataan berkuantor universal Menyangkal suatu pernyataan berarti kamu telah membuat negasi dari pernyataan tersebut. Dengan demikian, berdasarkan kalimat sangkalan di atas, negasi dari pernyataan Terdapat kucing yang berkembang biak dengan cara bertelur. adalah Semua kucing berkembangbiak tidak dengan cara bertelur CATATAN Jika terdapat pernyataan berkuantor Eksistensial x, p(x), maka negasinya dapat ditulus sebagai berikut. ~[ x, p x ] x, ~ p(x) Pernyataan Berkuantor

281 67 REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini? Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S,maka: Pernyataan berkuantor universal dapat ditulis sebagai ( x), p(x) atau ( x S), p(x) dan Pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditulis sebagai ( x), p(x) atau x S, p(x) Negasi dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial Negasi dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal Dilambangkan sebagai berikut. ~[ x, p x ] x, ~p(x) ~[ x, p x ] x, ~ p(x) Pernyataan Berkuantor

282 68 AYO BERLATIH! 1. Tulislah implikasi yang ekuivalen dengan kalimat berkuantor universal berikut. a. Semua manusia berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. b. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah Jawab: a. Jika kita adalah manusia, maka kita berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. b. Jika x bilangan asli, maka x bilangan cacah. 2. Tulislah kalimat berkuantor eksistensial yang ekuivalen dengan kalimat berkuantor eksistensial berikut. a. Beberapa siswa kelas X memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. b. Beberapa persamaan kuadrat memiliki akar imajiner Jawab: a. Sekurang-kurangnya ada seorang siswa kelas X yang memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. b. Sekurang-kurangnya ada satu persamaan kuadrat yang memiliki akar imajiner 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut, jika himpunan semestanya adalah A = 1, 2, 3, 4, 5, 6. a. x A, x + 2 < 6 b. x A, x 3 < 4 c. x A, x + 4 = 11 1 d. x A, > 0 x 1 Jawab: a. Salah, karena ada x = 5, sehingga x + 2 > 6 b. Benar, karena untuk semua x A, berlaku x 3 < 4 c. Benar, karena tidak ada x A, sehingga berlaku x + 4 = 11 d. Benar, karena ada x = 3 sehingga 1 x 1 > 0 4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut. a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar. b. Beberapa orang tidak mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Jawab: a. Terdapat persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar kembar. b. Semua orang mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Pernyataan Berkuantor

283 LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 6 Penarikan Kesimpulan Indikator: 1. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. 2. Menentukan kesimpulan dari Gambar beberapa 1 premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens. 3. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme. 4. Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas. Dalam pelajaran biologi tentu kalian mengetahui bahwa jika seekor bunglon dalam keadaan bahaya, bunglon melakukan mimikri. Jika seekor bunglon melakukan mimikri, maka warna tubuhnya akan berubah sesuai dengan tempat dia berada. Dari dua pernyataan tersebut, simpulan apa yang dapat kalian ambil? Gambar 2 Mimikri pada Bunglon Selanjutnya kalian akan belajar tentang bagaimana menyimpulkan dan memeriksa keabsahan dari suatu kesimpulan.

284 70 KEGIATAN 6.1 MODUS PONEN Jika Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka Indonesia telah merdeka. Dan sejarah telah mencatat bahwa Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus Jadi, kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh? Karena Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka kesimpulannya adalah Indonesia telah merdeka Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan yang kalian ambil dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal, p Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945 q Indonesia telah merdeka p q: Jika Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka Indonesia telah merdeka. Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [ p q p] q berikut. p q p q p q p [ p q p] q B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Apa nilai kebenaran dari [ p q p] q? BBBB Penarikan Kesimpulan

285 71 Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan modus ponen. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya, merupakan suatu tautologi. Apakah Modus Ponen merupakan argumentasi yang sah? Mengapa? Ya, Modus Ponen merupakan argumentasi yang sah karena nilai kebenaran dari pernyataan implikasinya [(p q) p] q semuanya bernilai benar (tautologi) CATATAN Modus ponen dapat disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : p : q Tanda " " dibaca maka atau jadi Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: [(p q) p] q Penarikan Kesimpulan

286 72 KEGIATAN 6.2 MODUS TOLLENS l A k k l Jika garis k dan garis l saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong. Diketahui bahwa kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong. Jadi, kesimpulan apa yang dapat kamu ambil? Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka kesimpulannya adalah garis k dan garis l tidak saling berpotongan Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan yang kalian ambil dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal, p garis k dan garis l saling berpotongan. q kedua garis tersebut memiliki titik potong. p q: Jika garis k dan garis l saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong. q kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [ p q q] p berikut. p q p q p q p q q [ p q q] p B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B Penarikan Kesimpulan

287 73 Apa nilai kebenaran dari [ p q q] p? BBBB Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan modus tollens. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya merupakan suatu tautologi. Apakah Modus Tollens merupakan argumentasi yang sah? Mengapa? Ya, Modus Tollens merupakan argumentasi yang sah karena nilai kebenaran dari pernyataan implikasinya [ p q q] p semuanya bernilai benar (tautologi) CATATAN Modus tollens dapat disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : q : p Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: [ p q q] p Penarikan Kesimpulan

288 74 KEGIATAN 6.3 SILOGISME Banjir merupakan salah satu bencana alam yang diakibatkan oleh perilaku manusia. Salah satu kota yang menjadi langganan banjir adalah Jakarta. Jakarta menjadi kota yang identik dengan banjir ketika musim hujan tiba. Salah satu sebabnya adalah kebiasaan warga Jakarta membuang sampah di sungai. Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka aliran sungai tersumbat. Oleh karena itu, jika aliran sungai tersumbat maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. Jadi, berdasarkan dua pernyataan terakhir dari paragraf di atas kesimpulan apa yang dapat kamu ambil? Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan tersebut dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal, p: Warga Jakarta membuang sampah di sungai. q: Aliran sungai tersumbat. r: Ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. p q: q r: p r: Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka aliran sungai tersumbat. Jika aliran sungai tersumbat, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. Penarikan Kesimpulan

289 75 Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [ p q q r ] p r berikut. p q r p q q r p r p q q r [ p q q r ] p r B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B B B B B Apa nilai kebenaran dari [ p q q r ] p r? BBBBBBBB Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan silogisme. [ p q q r ] p r adalah tautologi. Sehingga, silogisme merupakan argumentasi yang sah. CATATAN Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : q r : p r Dalam bentuk implikasi, silogisme di atas dapat ditulis menjadi: p q q r (p r) Silogisme dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya merupakan suatu tautologi. Penarikan Kesimpulan

290 76 REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini? Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode konvers? Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : p : q Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode invers? Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : q : p Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode silogisme? Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : q r : p r Penarikan Kesimpulan

291 77 AYO BERLATIH! 1. Tentukan simpulan yang sah dari premis-premis berikut. a. Premis 1: Jika Indonesia dilewati garis khatulistiwa, maka Indonesia beriklim tropis. Premis 2: Indonesia tidak beriklim tropis. b. Premis 1: Mereka tidak mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan atau mereka merusak kelestarian alam. Premis 2: Mereka mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan. c. Premis 1: Jika saya rajin belajar, maka saya lulus ujian. Premis 2: Jika saya tidak bisa melanjutkan sekolah, maka saya tidak lulus ujian. Jawab: a. Indonesia tidak dulewati garis khatulistiwa b. Mereka merusak kelestarian alam c. Jika saya rajin belajar, maka saya bisa melanjutkan sekolah. 2. Selidiki sah atau tidaknya penarikan simpulan berikut. a. Premis 1 : p q Premis 2 Konklusi : q : p b. Premis 1 : p q Premis 2 Konklusi : p : q c. Premis 1 : p q Premis 2 Konklusi : q r : p r Penarikan Kesimpulan

292 78 Jawab: a. Bentuk implikasinya adalah: [(p q) q] p p q p q p q [(p q) q] [(p q) q] p B B S S S S B B S S B B S B S B B S B B B S S B B B S B Karena [(p q) q] p adalah tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut sah. b. Bentuk implikasinya adalah: [( p q) p] q p q p p q [( p q) p] [( p q) p] q B B S S S B B S S S S B S B B B B S S S B S S B Karena [( p q) p] q bukan merupakan tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah. c. Bentuk implikasinya adalah: p q q r (p r) p q r p q p q q r p r p q q r B B B S S B B B B B B B S S S B S S S B B S B S B B B B B B B S S S B B B S B S S B B B S S B B S B S B S B S S S B S B S S B B B B B B B B S S S B B B B B B B p q q r (p r) Karena ( p q) p q bukan tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah Penarikan Kesimpulan

293 LEMBAR KEGIATAN SISWA (PENGAYAAN) Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika Indikator: 1. Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung. 2. Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti tak langsung. 3. Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan induksi matematika. Gambar 1 Phytagoras Rumus Phytagoras sering kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam menyelesaikan masalah dalam matematika. akan tetapi apakah kalian dapat membuktikan bahwa, Jika ABC siku-siku di A, maka a 2 = b 2 + c 2 Dalam matematika pembuktian dapat dilakukan dengan bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Dengan mempelajarinya kita dapat membuktikan sifa-sifat matematika yang nantinya dapat digunakan dalam kehidupan seharihari maupun dalam menyelesaikan masalah dalam matematika itu sendiri.

294 80 KEGIATAN 7.1 PEMBUKTIAN DENGAN BUKTI LANGSUNG CATATAN Pembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikan sifat dalam matematika dengan implikasi p q. Pembuktian ini menggunakan nilai kebenaran pernyataan (implikasi), yaitu Jika diketahui p bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar pasti dihasilkan q yang bernilai benar. Contoh: 1. Buktikan bahwa jika x 2 4 = 0 maka x = 2 atau x = 2. Bukti: Diketahui x 2 4 = 0, kemudian akan dibuktikan bahwa x = 2 atau x = 2. Karena x 2 4 = 0, maka diperoleh x 2 4 = 0 x + 2 x 2 = 0 x = 2 atau x = 2 Jadi, terbukti bahwa jika x 2 4 = 0 maka x = 2 atau x = Coba kalian buktikan bahwa jika x 6 = 11, maka x = 17. Bukti: Diketahui x 6 = 11, kemudian akan dibuktikan x = 17. Karena x 6 = 11, maka diperoleh x 6 = 11 x = x = 17 Jadi, terbukti bahwa jika x 6 = 11, maka x = 17. Pembuktian Sifat dan Teorema

295 81 3. Buktikan bahwa jika x dan y bilangan rasional, maka x + y bilangan rasional. Bukti: Karena x dan y bilangan rasional, maka dapat dimisalkan sebagai berikut. x = a, a dan b adalah bilangan bulat b y = c, c dan d adalah bilangan bulat d Akan dibuktikan bahwa x + y bilangan rasional. x + y = a b + c d = ad +bc bd Karena a, b, c dan d adalah bilangan bulat, maka ad + bc dan bd adalah bilangan bulat. Diperoleh bahwa ad +bc bd adalah bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa jika x dan y bilangan rasional, maka x + y bilangan rasional. Apakah kalian masih ingat bahwa suatu bilangan rasional p dapat ditulis dalam bentuk m, dimana m dan n n adalah bilangan bulat? 4. Perhatikan contoh di atas kemudian coba kalian buktikan bahwa jika m dan n bilangan genap, maka m + n bilangan genap. Bukti: Karena m dan n bilangan genap, maka dapat dimisalkan sebagai berikut. m = 2a, a adalah bilangan bulat n = 2b, b adalah bilangan bulat Akan dibuktikan m + n bilangan genap Apakah kalian masih ingat bahwa suatu bilangan genap k dapat ditulis dalam bentuk 2a, dimana a adalah bilangan bulat? m + n = 2a + 2b = 2 a + b Karena m + n = 2(a + b), maka m + n juga merupakan bilangan genap. Jadi terbukti bahwa jika m dan n bilangan genap, maka m + n bilangan genap. Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika

296 82 KEGIATAN 7.2 PEMBUKTIAN DENGAN BUKTI TAK LANGSUNG 1. Kontraposisi CATATAN Ingat: nilai kebenaran implikasi sama dengan nlai kebenaran kontraposisinya. Jadi, pembuktian dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang mempunyai implikasi p q dilakukan dengan menunjukkan kebenaran sifat kontraposisinya, yaitu q p. Contoh: 1) Buktikan bahwa: Jika n 2 bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat ganjil. Bukti: Pernyataan: Jika n 2 bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat ganjil. Pernyataan tersebut berbentuk implikasi p q, dengan: p: n 2 bilangan bulat ganjil q: n bilangan bulat ganjil Untuk membuktikan p q benar, maka kita buktikan bahwa q p benar. p: n 2 bukan bilangan bulat ganjil q: n bukan bilangan bulat ganjil q p: Jika n bukan bilangan bulat ganjil, maka n 2 bukan bilangan bulat ganjil. atau q p: Jika n bilangan bulat genap, maka n 2 bilangan bulat genap. Diketahui n merupakan bilangan bulat genap. Misalkan n = 2a sehingga diperoleh: n 2 = 2a 2 n 2 = 4a 2 n 2 = 2 2a 2 Karena n 2 dapat dinyatakan dalam bentuk 2(2a 2 ), maka n 2 merupakan bilangan bulat genap. Oleh karena itu q p benar, sehingga p q juga benar. Jadi, Jika n 2 bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat ganjil merupakan suatu pernyataan benar. Pembuktian Sifat dan Teorema

297 83 2) Perhatikan contoh di atas kemudian coba kalian buktikan bahwa: Jika, xy habis dibagi 4 maka x dan y bilangan genap. Bukti: Misal, p: xy habis dibagi 4 q: x dan y bilangan genap Untuk membuktikan p q benar, maka kita buktikan bahwa q p benar. p: xy tidak habis dibagi 4 q: x atau y bukan bilangan genap q p: Jika x atau y bukan bilangan genap, maka xy tidak habis dibagi 4 atau q p: Jika x atau y bilangan ganjil, maka xy tidak habis dibagi 4 Karena x atau y bilangan ganjil, Misal x: 2a, a adalah bilangan bulat y: 2b + 1, b adalah bilangan bulat Sehingga diperoleh xy = 2a. 2b + 1 xy = 4ab + 2a 4ab habis dibagi 4, tetapi 2a tidak habis dibagi 4. Oleh karena itu diperoleh bahwa xy tidak dapat dibagi 4. Hal ini juga berlaku jika y dimisalkan ganjil dan x genap, atau keduanya dimisalkan ganjil. Jadi, terbukti bahwa Jika, xy habis dibagi 4 maka x dan y bilangan genap. Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika

298 84 2. Kontradiksi CATATAN Contoh: Pembuktian dengan kontradiksi dapat digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi p q, dengan mengandaikan tidak q. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah, misalkan tidak p sedangkan yang diketahui adalah p), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu 1) Buktikan bahwa Bukti: Andaikan 2 adalah bilangan irrasional. 2 bilangan rasional maka terdapat bilangan asli x dan y sehingga 2 = x, dengan x dan y tidak mempunyai faktor persekutuan. y 2 = x 2 2 = x y y 2 = x 2 y 2 x 2 = 2y 2 2 Oleh karena itu, x 2 merupakan bilangan genap. Akibatnya, x merupakan bilangan genap sebab jika x bilangan ganjil maka x 2 juga merupakan bilangan ganjil. Karena x bilangan genap maka terdapat bilangan asli z sehingga x = 2z Selanjutnya, x 2 = 2y 2 2z 2 = 2y 2 4z 2 = 2y 2 2z 2 = y 2 pengandaian harus diingkar. Jadi diperoleh q Tampak bahwa, y 2 merupakan bilangan genap. Akibatnya, y merupakan bilangan genap. Karena x dan y merupakan bilangan genap maka pasti mempunyai faktor persekutuan. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan awal yang mengatakan bahwa x dan y tidak mempunyai faktor persekutuan. Akibatnya pengandaian harus diingkar. Jadi terbukti bahwa 2 adalah bilangan irrasional. 2) Buktikan bahwa: Bukti: = 6 Andaikan , maka atau 2 2. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Akibatnya pengandaian harus diingkar sehingga terbukti bahwa = 6 Pembuktian Sifat dan Teorema

299 85 KEGIATAN 7.2 PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA CATATAN Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang memuat bilangan asli. Misalkan akan dibuktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku P(n). Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut. a. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n=1 b. P(n) dianggap benar untuk n=k. Selanjutnya dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=k+1. c. Dari langkah a dan b dapat disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku P(n) Contoh: 1. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa: Bukti: n 2 = 1 n n + 1 (2n + 1) 6 Misal, P n : n 2 = 1 n n + 1 (2n + 1). 6 a. Untuk n = 1 berlaku 1 2 = = = 1 Jadi, P(n) berlaku untuk n = 1. b. P(n) dianggap benar untuk n = k, berarti k 2 = 1 k k + 1 (2k + 1) 6 Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k k 2 + k = 1 2 k k + 1 2k k = 1 6 k + 1 [k 2k k + 1 ] = 1 6 k + 1 [2k2 + k + 6k + 6] = 1 6 k + 1 (2k2 + 7k + 6) Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika