SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI

Transkripsi

1 SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI Disusun Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Oleh RISYA RADHIANTI JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012

2 HALAMAN PENGESAHAN SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Oleh : RISYA RADHIANTI Menyetujui : Pembimbing I, Pembimbing II, Diny Zulkarnaen, M.Si NIP Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom NIP Lulus diuji tanggal 30 Agustus 2012 Penguji I, Penguji II, Siti Julaeha, M.Si NIP Rini Cahyandari, M.Si NIP Mengetahui : Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Ketua Jurusan Matematika, Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP NIP Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT NIP

3 HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI Saya yang bertandatangan di bawah ini : Nama : Risya Radhianti NIM : Fakultas/Jurusan Judul Penelitian : Sains dan Teknologi/Matematika : SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Menyatakan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat unsur-unsur penjiplakan karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Apabila ternyata hasil terbukti terdapat unsur jiplakan, saya bersedia mempertanggungjawabkannya serta diproses sesuai peraturan yang berlaku. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya. Bandung, 30 Agustus 2012 Yang membuat pernyataan Risya Radhianti NIM

4 Hidup adalah soal keberanian, menghadapi jang tanda tanja tanpa kita bisa mengerti, tanpa kita bisa menawar terimalah, dan hadapilah -Soe Hok Gie- Setiap orang pernah melewati kesulitan, begitupun dengan saya.. Skripsi ini dipersembahkan untuk Mamah dan Bapak tercinta yang ada di taman Firdaus Bunda, Teh Dhita dan De Alam tersayang

5 ABSTRAK 2007, Nuning et al membangun sebuah model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Model ini menceritakan tentang fenomena virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Dimana pada model ini, populasi sel rentan akan bertambah karena adanya kelahiran murni dari populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi ini juga dipengaruhi oleh kematian murni dan banyaknya virus dengue yang menginfeksi populasinya sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini berkurang. Berkurangnya populasi sel rentan karena penginfeksian yang dilakukan oleh virus dengue menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi kematian murni yang mengakibatkan berkurangnya populasi pada sel terinfeksi. Sedangkan virus dengue dipengaruhi oleh duplikasi virus-virus baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi yang menyebabkan populasi virusnya bertambah. Virus dengue juga dipengaruhi oleh kematian murni dan kematian yang disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan populasinya berkurang. Virus dengue juga berkurang karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. Hasil dari analisis yang telah dilakukan terhadap model ini diperoleh dua titik equilibrium yaitu pada keadaan bebas virus dan pada keadaan terdapat virus bebas. Adapun hasil dari simulasi yang diperoleh dari model ini dengan menggunakan metode Euler menghasilkan bahwa pada model yang titik equilibriumnya bebas dari virus, mulai dari hari ke-26 sampai seterusnya populasi virus dengue ini kemungkinan akan menghilang dari peredaran darah manusia. Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Titik Equilibrium, Basic Reproductive Ratio, Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz, Metode Euler.

6 ABSTRACT 2007, Nuning et al built the mathematical model transmission of dengue virus in the human body. The model tell about the phenomenon of dengue virus infects susceptible cells in the human circulatory system. Where on this model, the susceptible cell population will increase because of the pure birth of the population. In addition to the birth, the population is also influenced by the pure death and the number of dengue virus that infects the population, causing vulnerable cell population is reduced. Reduced cell populations vulnerable because it was infected by dengue virus causes infected cell population increases. Population of infected cells is also influenced by the pure death resulting reduction in the population in infected cells. While dengue virus is influenced by the duplication of new viruses are produced by cells infected with the virus that causes the population to grow. Dengue virus is also influenced by the pure death and death caused by T cells resulting in reduced population. Dengue virus is also reduced because of the virus particles to infect susceptible cells. The results of the analysis has been done on this model gained two points of equilibrium. The results of the simulations obtained from this model using Euler's method produces a point that the model of virus free equilibrium, from day 26 onwards dengue virus population is likely to disappear from the human circulatory system. Keyword : Mathematical Model, DBD, Equilibrium Points, Basic Reproductive Ratio, Criteria Stability of Routh-Hurwitz, Euler's Method.

7 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, alhamdulillahhirrobbil alamin. Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang selalu memberikan cinta dan kasihnya sehingga penulis sanggup menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul : SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA. Selesainya tugas akhir ini tak lepas dari berbagai pihak yang telah membantu. Baik dari moril, materi, dan dorongan semangat. Untuk itu, pada kesempatan kali ini penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada yang terhormat : 1. Alm. M. Uu Sunarsa (bapak), Almh. Tri Sekarwati (mamah), Siti Aisyah (bunda), Dhita Windi Wardani (kakak) dan Abdul Salam Mutahary (adik) dan keluarga tercinta yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu, terimakasih atas segala bantuan, pengorbanan dan dorongan motivasi yang tiada terkira kepada penulis sehingga penulis dapat merampungkan tugas akhir ini. 2. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si.,MT, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi. 4. Ibu Siti Julaeha, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan arahan dan motivasi kepada penulis. i

8 5. Bapak Diny Zulkarnaen, M.Si dan Bapak Arief Fatchul Huda S.Si., M.Kom., selaku dosen pembimbing I dan II dalam penyelesaian tugas akhir ini. 6. Dosen ITB, Ibu Dr. Nuning Nuraini, selaku dosen pembimbing nonformal dalam penyelesaian tugas akhir ini. 7. Staf pengajar di Fakultas Sains dan Teknologi khususnya di Matematika Sains, terimakasih atas ilmu yang bapak ibu sampaikan. 8. Keluarga besar di Bandung atas tempat tinggal amannya. 9. Keluarga besar Drs.Moch Arifin khususnya Ibu Rachmawati, S.Pd dan Arif Bakti Nugraha, ST yang selalu memberikan semangat dan motivasi untuk terus bangkit. 10. Teman-teman dari dalam dan luar universitas : Dian Nuraiman S.Si, Riad Taufik Lazuardi, Asep Iwang, Adib Pratama, Hasanah Nurfadillah Hani, Siti Fatimah, Lela Nurlaila, Shelvi Alfianti, Fahmi Hasanudin, Muhamad Rauful Mizan. 11. Teman-teman Matematika Sains khususnya teman-teman seperjuangan Matematika 2008 : Bibi Ila, Ami, Yuyu, Husnul, Karlinah, Fatimah, Ninis, Fanny, Tinus, Jejen, Rima, Dzikri, Revi, Maman, Haqi, Ubay, Femi, Eva, Imas, Wila, Ipah, Ade, Nesa, Rahma, Tika, Lina, Ali, Aji, Permadi, Febrian, Asep, Lulu, Wildan, Agam. Terimakasih untuk motivasinya. 12. Pihak-pihak lain yang telah membantu. Mudah-mudahan segala amal baiknya dilipat gandakan oleh Allah SWT. Jazakumullahu khairan katsira. Amiin. Bandung, Agustus 2012 Penulis ii

9 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN HALAMAN PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR. DAFTAR ISI. DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL DAFTAR SINGKATAN. DAFTAR ISTILAH. DAFTAR LAMPIRAN BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Rumusan Masalah. 1.3 Batasan Masalah Tujuan dan Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian Sistematika Penulisan... BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Autonomous 2.3 Titik Equilibrium Pelinearan. 2.5 Stabilitas Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa i iii v vii viii ix xi iii

10 2.8 Model Matematika... BAB III ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA 3.1 Hal-Hal yang Mempengaruhi Model Formulasi Model Menentukan Titik Equilibrium. 3.4 Basic Reproductive Ratio Kestabilan Titik Equilibrium... BAB IV SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA 4.1 Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus. 4.2 Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas.. BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Saran. DAFTAR PUSTAKA.. RIWAYAT HIDUP LAMPIRAN iv

11 DAFTAR GAMBAR Halaman 3.1. Diagram Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan v

12 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana = > Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana = > Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat dimana () merupakan sel rentan dengan = > 1 dan () merupakan sel rentan dengan = > 1 (a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat dimana () merupakan sel terinfeksi dengan = > 1 dan () merupakan sel terinfeksi dengan = > 1 (a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat dimana () merupakan virus dengue dengan = > 1 dan () merupakan virus dengue dengan = > 1 (a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data vi

13 DAFTAR TABEL Halaman 2.1. Sifat Stabilitas Titik Equilibrium Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan < Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan = > Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan = > vii

14 DAFTAR SINGKATAN DEN-1 DEN-2 DEN-3 DEN-4 DSS IVP VFE = Dengue-1 = Dengue-2 = Dengue-3 = Dengue-4 = Dengue Shock Syndrome = Initial Value Problem = Virus Free Equilibrium viii

15 DAFTAR ISTILAH Antibodi Antigen Enzim Fase Viremia Makrofag Parasit Sel B Sel Inang Sel Plasma Sel Rentan Sel T = Zat yang dibentuk dalam darah untuk memusnahkan bakteri virus atau untuk melawan toksin yang dihasilkan oleh bakteri = Suatu zat yang dapat menginduksi respon imun yang dapat dideteksi bila masuk kedalam hewan = Molekul protein yang kompleks yang dihasilkan oleh sel hidup dan bekerja sebagai katalisator dalam berbagai proses kimia di dalam tubuh makhluk hidup = Fase pada demam berdarah dimana rentang waktunya dua hari sebelum demam timbul sampai lima hari setelah demam timbul = Sel besar yang amoeboid dan terdapat dalam jaringan ikat = Organisme yang hidup dan menghisap makanan dari organisme lain yang ditempelinya = Jenis limfosit yang dibentuk di bursa atau sumsum tulang dan yang dianggap berperan pada imunitas humoral = Sel yang ditempati oleh virus = Transformasi sel B, menghasilkan antibodi terhadap antigen tertentu yang membuat sel B tersensitisasi = Sel yang belum diinfeksi virus = Limfosit T, masa embrio berasal dari timus, bekerja merespon imun seluler dan menolong sel B tersensitisasi respon imun jumoral ix

16 Sel Terinfeksi Sel T Sitotoksik Serotype Siklus Litik Syok Hipovolemik Vector Virologi Virulen Virus Virus Dengue = Sel yang sudah diinfeksi virus = Suatu jenis limfosit yang membunuh sel yang terinfeksi dan sel-sel kanker = Tipe = Siklus reproduktif virus yang pada akhirnya menyebabkan kematian sel inang = Syok yang disebabkan karena banyaknya volume plasma darah = Perantara = Ilmu yang mempelajari tentang virus = Bersifat mematikan = Mikroorganisme yang tidak dapat dilihat dengan menggunakan mikoskop biasa, hanya dapat dilihat dengan menggunakan mikroskop electron, yang menyebabkan dan menularkan penyakit = Virus yang menyebabkan penyakit demam berdarah dengue x

17 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A Lampiran B Lampiran C Lampiran D Lampiran E Hasil Eksekusi Numerik = < 1 Saat = 0.1 Script Syntax = < 1 Saat = 0.1 Script Syntax = > 1 Saat = 0.05 Script Syntax = > 1 Saat = 0.05 Pengecekan Titik Equilibrium xi

18 4 ( BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah (#θãψtβ#u š Ï%!$# $ Βr'sù $yγs%öθsù $yϑsù Zπ Êθãèt/ $ Β WξsVtΒ z>îôøo βr& ÿ Ä tgó tƒ Ÿω!$# βî) #x yγî/ ª!$# yš#u r&!#sœ$tβ šχθä9θà)u sù (#ρãxÿ2t Ï%!$# $ Βr&uρ öνîγîn/ ÏΒ,ysø9$# çµ Ρr& tβθßϑn= èušsù t É)Å xø9$# ωî) ÿ ϵÎ/ ÅÒãƒ$tΒuρ 4#ZÏWx. ϵÎ/ Ï ôγtƒuρ#zïvÿ2 ϵÎ/ ÅÒムWξsVtΒ Sesungguhnya Allah tiada segan membuat perumpamaan berupa nyamuk atau yang lebih rendah dari itu. Adapun orang-orang yang beriman, Maka mereka yakin bahwa perumpamaan itu benar dari Tuhan mereka, tetapi mereka yang kafir mengatakan: "Apakah maksud Allah menjadikan ini untuk perumpamaan?." Dengan perumpamaan itu banyak orang yang disesatkan Allah, dan dengan perumpamaan itu (pula) banyak orang yang diberi-nya petunjuk. Dan tidak ada yang disesatkan Allah kecuali orang-orang yang fasik (Q.S Al-Baqarah : 26) Sebagai hambanya yang beriman, sudah sepatutnya meyakini bahwa perumpamaan itu adalah benar dari Allah. Untuk lebih meyakinkannya, ternyata pada makhluk yang sekecil nyamukpun bisa menambah keimanan seseorang kepada Sang Khaliq. Dari sana didapatkan bahwa, sesuatu yang Allah ciptakan di dunia ini tidaklah sia-sia. Seperti halnya pada makhluk kecil ini, yaitu nyamuk. Ternyata, pada nyamuk yang kecil ini, Allah menitipkan virus yang dapat menyebabkan penyakit berbahaya bagi manusia, salah satunya penyakit demam berdarah. Lewat peranan nyamuk yang menjadi vector pembawa suatu penyakit, ternyata hal ini dapat dijadikan kajian dalam tugas akhir. Dalam tugas akhir ini akan dikaji mengenai bagaimana proses perpindahan virus dengue di dalam tubuh manusia yang menyebabkan penyakit demam berdarah. Penyakit demam berdarah dengue merupakan penyakit menular yang ditemukan di daerah tropis dan subtropis. Penyakit ini pertama kali ditemukan di Manila, Filipina pada tahun 1953 [8]. Untuk kasus di Indonesia sendiri, penyakit 1

19 ini pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1968, akan tetapi konfirmasi virologis baru didapat pada tahun Sejak saat itu, penyakit ini mulai menyebar ke berbagai daerah, sehingga sampai tahun 1980 seluruh provinsi di Indonesia kecuali Timor-Timur telah terjangkit penyakit ini. Penyakit ini disebabkan oleh virus dengue. Dimana virus ini hanya dapat menular melalui gigitan nyamuk, oleh karenanya penyakit ini termasuk kelompok Anthropod Borne Diseases. Virus dengue ini memiliki empat serotype berbeda, yaitu Dengue-1 (DEN-1), Dengue-2 (DEN-2), Dengue-3 (DEN-3), dan Dengue-4 (DEN-4). Virus dengue ini dibawa oleh vector, yaitu nyamuk Aedes Aegypti dan nyamuk Aedes Albopictus. Namun, vector utama pembawa virus dengue ini adalah nyamuk Aedes Aegypti. Virus berasal dari bahasa latin yang berarti racun atau bahan yang mematikan. Virus merupakan parasit berukuran microskopik yang tidak memiliki perlengkapan selular untuk bereproduksi sendiri. Maka untuk melangsungkan hidupnya, virus mencari sel inang untuk ditempati. Ketika virus mendapatkan sel inang untuk melangsungkan hidupnya, virus akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru. Masa inkubasi dari infeksi virus dengue ini berkisar 7 sampai 10 hari [10]. Fase viremia terjadi ketika pasien mulai demam dan terinfeksi. Setelah itu, ada dua hal yang mungkin dialami oleh pasien. Kemungkinan pertama, pasien akan pulih dan kemungkinan terakhir adalah pasien akan mengalami kegagalan sirkulasi darah yang kemudian pasien jatuh dalam syok hipovolemik akibat kebocoran plasma. Keadaan seperti ini disebut Dengue Shock Syndrome (DSS) [9]. Untuk memperkirakan lamanya masa viremia, para peneliti mengasumsikan viremia dimulai pada hari sebelum terserang penyakit dan berakhir pada hari terakhir dimana virus tersebut terdeteksi. Sebagai contoh, jika seorang anak divonis terserang penyakit pada hari ketiga dan virus terdeteksi hingga hari kelima pada masa terjangkit, maka pada hari ketiga tersebut sebenarnya lamanya viremia sudah terjadi selama 5 hari. Sehingga masa dari 2

20 viremia pada dengue berjarak dari 1 sampai 7 hari [10]. Secara sederhananya, masa viremia terjadi saat 2 hari sebelum demam timbul dan 5 hari setelah demam timbul. Sebenarnya, pada saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh tidak akan diam saja. Karena Allah menciptakan manusia dengan sangat sempurna dengan diberikannya sistem imun dalam tubuh yang akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau hanya sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya. Maka manusia kembali disadarkan oleh firman Allah dalam Q.S Ar- Rahman ayat 16 yang berbunyi. Èβ$t/Éj s3è? $yϑä3în/u Ï Iω#u Äd r'î6sù Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan? Allah juga berfirman dalam surat Ar-Ruum ayat 21 yang berbunyi. tβρã 3xtGtƒ5Θöθs)Ïj9;M tƒuψ y7ï9 sœ Îû βî) Sesungguhnya pada yang demikian itu benar-benar terdapat tanda-tanda bagi kaum yang berfikir. Dari ayat-ayat diatas, dapat disimpulkan bahwa nikmat Allah kepada seluruh hambanya itu memang benar-benar tiada terkira. Salah satu nikmatnya yang membuat manusia disebut sebagai makhluk ciptaan Allah yang sempurna ialah karena akalnya. Dari nikmat Allah yang telah diberikan yaitu akal, sebenarnya Allah mengisyaratkan kepada manusia agar manusia mempergunakan akalnya dengan sebaik-baiknya seperti dengan cara menuntut Ilmu Allah. Dewasa ini, ilmu matematika merupakan salah satu jembatan atau cara untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang ada di kehidupan sehari-hari. Salah satu ilmu matematika yang dapat membantu mendeskripsikan fenomenafenomena dikehidupan nyata dalam bentuk fungsi atau persamaan adalah model 3

21 matematika. Dengan memodelkan kejadian sehari-hari, diharapkan dapat memprediksi nilai dari variabel untuk masa yang akan datang. Pada tahun 2007, Nuning Nuraini et al membangun sebuah model matematika dari proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Dimana pada model tersebut menceritakan fenomena virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Karena hal tersebut, penulis merasa tertarik untuk mengkaji model tersebut dan mengetahui lebih dalam mengenai dinamika virus dengue yang akan diinterpretasikan dalam sebuah simulasi. 1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan tugas akhir ini dapat diuraikan sebagai berikut. 1. Bagaimana proses pemodelan matematika berkaitan dengan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia? 2. Bagaimana menganalisis kestabilan model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia? 3. Bagaimana simulasi dari model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia? 1.3 Batasan Masalah Pembahasan tugas akhir ini membahas mengenai pengkajian model dan penganalisisan fenomena perpindahan virus dengue di dalam tubuh manusia. Dimana tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa hal yaitu sebagai berikut. 1. Terdapat 3 kompartement yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. 2. Metode yang digunakan dalam simulasi adalah metode Euler. 3. Simulasi modelnya dari data acak berupa parameter dan untuk nilai awal yang diberikan pada simulasi ini penulis menggunakan data yang diteliti oleh Nuning Nuraeni et al. 4

22 1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari pengerjaan tugas akhir ini dapat diuraikan sebagai berikut. 1. Mengkaji lebih dalam proses pemodelan matematika berkaitan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. 2. Menganalisis kestabilan model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. 3. Mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia yang diinterpretasikan ke dalam sebuah simulasi. Adapun manfaat jangka panjang dari pengerjaan tugas akhir ini adalah semoga karya kecil ini menjadi acuan untuk para matematikawan yang ingin membahas mengenai pemodelan matematika. 1.5 Metodologi Penelitian Metode penelitian yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut. a. Studi pustaka. Studi pustaka disini lebih diartikan sebagai pengkajian dan pembelajaran lebih dalam mengenai buku-buku yang berkaitan dengan virus dengue, penyakit demam berdarah dengue, persamaan diferensial, penentuan titik equilibrium, pelinearan, stabilitas, kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, metode Euler. b. Menganalisis. Menganalisis disini lebih diartikan sebagai penganalisisan model. c. Menginterpretasi model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia lewat simulasinya. 1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini hanya memuat 5 bab. Dengan perincian sebagai berikut. 5

23 BAB I BAB II BAB III BAB IV BAB V PENDAHULUAN Pada bab ini akan dipaparkan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan. LANDASAN TEORI Dalam bab ini penulis akan memaparkan tentang landasan teori yang dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri dari sistem persamaan diferensial, persamaan diferensial autonomous, titik equilibrium, pelinearan, stabilitas, kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, metode numerik untuk persamaan diferensial biasa, dan model matematika. ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia, yang terdiri dari hal-hal yang mempengaruhi model, formulasi model, menentukan titik equilibrium, basic reproductive ratio, serta kestabilan titik equilibrium. SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Dalam bab ini penulis akan memapaparkan hasil simulasi dari model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia, yang terdiri dari simulasi dalam keadaan bebas virus dan simulasi dalam keadaan terdapat virus bebas. PENUTUP Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari rumusan permasalahan yang diajukan serta saran untuk pengembangan tulisan yang berbeda di masa yang akan datang. DAFTAR PUSTAKA 6

24 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Persamaan diferensial terbagi atas persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang terhadap peubah. Kadang persamaan ini dapat pula melibatkan itu sendiri, dan konstanta [7]. Atau dengan kata lain, jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Lain halnya jika persamaan diferensial tersebut memiliki lebih dari satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Sebagai contoh : 1. + = 16 (2.1) 2. = (2 )( + ) (2.2) 3. = 0 (2.3) Dalam persamaan (2.1) dan (2.2) fungsi tak diketahui yang dinyatakan dengan dan dianggap sebagai satu peubah bebas, yaitu = (). Lambang dan dalam persamaan (2.1) dan (2.2) berturut-turut menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi () terhadap. Persamaan (2.1) dan (2.2) memuat turunan biasa dan karenanya disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan untuk persamaan (2.3) fungsi yang tidak diketahui dianggap sebagai fungsi dua peubah bebas dan, yaitu = (, ), dan berturut-turut adalah turunan parsial dan karenanya disebut persamaan diferensial parsial. 7

25 Persamaan diferensial biasa umumnya berbentuk [14]:,,,, () = 0. (2.4) Persamaan diferensial tersebut dikatakan linear jika adalah linear dalam variabel-variabel,,, (). Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear orde berbentuk : () + () + + () = (). (2.5) Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear bila memenuhi 3 hal berikut [5]: 1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat satu. 2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. 3. Variabel terikatnya bukan merupakan fungsi tresenden. Sebagai contoh, () + = 0 merupakan persamaan diferensial linear orde 3. Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial,,,, () = 0 merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh [5]. 1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat lebih dari satu. 2. Mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. 3. Variabel terikatnya merupakan fungsi trasenden. Sebagai contoh, = merupakan persamaan diferensial tak linear karena suku dan [14]. Beranjak ke sistem persamaan diferensial. Jika berbicara tentang sistem, sistem berarti sejumlah tertentu sehingga yang dimaksud dengan sistem 8

26 persamaan diferensial adalah sebuah sistem yang didalamnya memuat buah persamaan diferensial, dengan buah fungsi yang tidak diketahui, dimana 2. Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut : = (,,,, ) = (,,,, ) (2.6) = (,,,, ) Dengan,,, adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat, sehingga = (), = (),, = () dimana merupakan turunan fungsi terhadap, dan adalah fungsi yang tergantung pada variabel,,, dan. 2.2 Persamaan Diferensial Autonomous Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut. = (), R (2.7) dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari dan mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan (2.7) disebut persamaan diferensial mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit didalamnya [6]. 2.3 Titik Equilibrium Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut. = = () (2.8) Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vector keadaan konstan. Atau dengan kata lain, titik equilibrium merupakan solusi yang tetap konstan walaupun waktu berganti. Maka titik equilibrium dari persamaan (2.8) didapat jika = 0. Adapun istilah lain dari titik equilibrium adalah titik tetap, titik stasioner, rest point, singularity, critical point atau steady state [15]. Tetapi, dalam tugas akhir ini akan 9

27 menggunakan istilah titik equilibrium. Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini. Misal () = 6, maka untuk mencari titik equilibriumnya adalah dengan cara () = 0 atau me-nol-kan turunan pertamanya, sehingga diperoleh () = 6 = 0 ( 3)( + 2) = 0 Sehingga diperoleh titik equilibriumnya yaitu = 3 atau = Pelinearan Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan melalui pelinearan. Untuk mencari hasil pelinearan dari sistem persamaan diferensial tak linear digunakan matriks Jacobi. () = () merupakan matriks Jacobi yang berukuran. Matriks ini sering juga ditulis sebagai matriks.. Contoh sederhananya [1], Maka matriks Jacobinya adalah (, ) =, 3, 2 3 =

28 2.5 Stabilitas Misal diberikan sistem Autonomous linear sebagai berikut. = + dan = + (2.9) dengan,,, konstanta. Dari persamaan (2.9) dapat diperoleh penyelesaian secara eksplisit sehingga tidak mengherankan bahwa sifat stabilitas dari titik equilibrium (0,0) dari sistem di atas mudah dipelajari. Misal, 0 maka titik (0,0) adalah satu-satunya titik equilibrium dari persamaan (2.9). Bentuk penyelesaian dari sistem (2.9) adalah =, = dimana merupakan akar dari persamaan karakteristik ( + ) + = 0 (2.10) maka sifat stabilitas titik equilibrium (0,0) dari persamaan (2.9) hampir seluruhnya tergantung pada akar-akar persamaan (2.10). Dengan kata lain kestabilan suatu titik equilibrium dapat diperiksa dari nilai eigen sistem itu sendiri. Sifat stabilitas titik equilibrium ada 3, yaitu stabil, stabil asimtotik atau stabil atraktif dan tidak stabil. Secara kasar, titik equilibrium dikatakan stabil jika setiap solusi dari sistem mulai dekat dengan titik equilibrium pada waktu tertentu. Sedangkan yang disebut stabil asimtotik adalah jika solusi didekatnya tidak hanya dekat, tetapi juga konvergen ke titik equilibrium sampai waktu menuju tak hingga. Dan jika titik equilibrium yang tidak memenuhi sifat stabil dan stabil asimtotik maka disebut tidak stabil [15]. Berikut akan diperlihatkan perbedaannya secara jelas [3]: 1. Stabil Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil, jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian tak positif. 2. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil asimtotik atau stabil atraktif, jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah 11

29 real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Asimtotik terbagi menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global. 3. Tidak Stabil Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan tidak stabil jika salah satu atau kedua akar dari persamaan (2.10) real positif atau jika paling sedikit satu akar mempunyai bagian real positif. Untuk memudahkan pemahaman, tinjau beberapa contoh di bawah ini. Contoh 1 Misal diberikan sistem = dan =. Periksa kestabilan sistem tersebut! Penyelesaian Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk + 1 = 0 karena disini nilai = 0, = 1, = 1, = 0. Maka akar dari persamaan karakteristiknya adalah real yaitu ±, maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik equilibrium dari contoh 1 adalah stabil. Contoh 2 Misal diberikan sistem = dan =. Periksa kestabilan sistem tersebut! Penyelesaian Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk = 0 karena disini nilai = 1, = 0, = 0, = 1. Maka akar dari persamaan karakteristiknya adalah = = 1, karena ini mempunyai bagian real negatif maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik equilibrium dari contoh 2 adalah stabil asimtotik. Contoh 3 Misal diberikan sistem = dan = Periksa kestabilan sistem tersebut! Penyelesaian Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk 1 = 0 karena disini nilai = 3, = 4, = 2, = 3. Maka akar dari 12

30 persamaan karakteristiknya adalah = 1 dan = 1, karena karena salah satu akarnya ada yang positif, maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik equilibrium dari contoh 3 adalah tidak stabil. Secara praktisnya, sifat stabilitas titik equilibrium dapat dilihat dalam tabel dibawah ini [7]. Tabel 2.1 Sifat Stabilitas Titik Equilibrium Tipe Kestabilan = + = a. Stabil 0 > 0 b. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif < 0 > 0 c. Tidak Stabil > 0 < Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dipakai apabila nilai eigen dari persamaan karakteristik sistem, sulit ditentukan. Karena kriteria kestabilan Routh- Hurwitz ini tidak melihat tanda bagian real dari nilai eigen atau akar-akar persamaan karakteristik secara langsung melainkan melihat koefisien dari persamaan karakteristik. Teorema 1 Diberikan persamaan karakteristik () = = 0 Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz sebagai berikut [6]. = , 0 < 2 < dengan = (h ) dan h = 1, 2 = 0, 2 < 2 > + 13

31 semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu > 0, untuk = 1,2,,. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk = 2,3,4, disebutkan bahwa titik equilibrium stabil jika dan hanya jika = 2 > 0, > 0 = 3 > 0, > 0, > 0 = 4 > 0, > 0, > 0, > + Untuk lebih jelasnya, tinjau 2 contoh di bawah ini. Contoh 1 () = = 0 Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz. Penyelesaian Dari persamaan () = = 0, maka = 6, = 3, dan = 6. Kemudian, nilai dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2 1 = 2(3) 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai. Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif. Untuk = ( ) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat det = 6 > 0. Untuk = 1 = 6 1, sehingga didapat 6 3 det = 6 1 = 24 > Untuk = = 6 3 6, sehingga didapat det = = 144 < Karena det < 0, maka persamaan karakteristik diatas tidak memenuhi kriteria Routh-Hurwitz. 14

32 Contoh 2 () = = 0 Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz. Penyelesaian Dari persamaan () = = 0, maka = 6, = 3, dan = 2. Kemudian, nilai dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2 1 = 2(3) 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai. Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif. Untuk = ( ) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat det = 6 > 0. Untuk = 1 = 6 1, sehingga didapat 2 3 det = 6 1 = 16 > Untuk = = 2 3 6, sehingga didapat det = = 32 > Karena semua matriks Hurwitznya positif, maka persamaan karakteristik diatas memenuhi kriteria Routh-Hurwitz. 2.7 Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu, misalnya bidang fisika, kimia, teknik mesin, teknik sipil, elektro dan lain-lain. Kadang kala, model matematika tersebut rumit dan tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik, dimana metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim. Metode analitik disebut juga metode eksak yang menghasilkan solusi eksak (solusi sejati). Metode analitik ini lebih unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas. Padahal kenyataannya, persoalan matematika banyak yang rumit, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Kalau metode analitik 15

33 tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+,,, ). Suatu persamaan diferensial mempunyai bentuk umum = (, ),, ( ) = (2.11) dimana merupakan nilai awal pada waktu. Dengan kata lain, pada persamaan ini mengandung syarat awal untuk memperoleh penyelesaiannya. Metode numerik untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dapat dilakukan dengan metode Euler, Metode Taylor, dan metode Rungge Kutta. Adapun metode numerik yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode Euler. Berikut adalah penjelasannya. Metode Euler merupakan metode yang paling sederhana dalam menyelesaikan initial value problem (IVP). Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam interval [, ], yaitu dengan menerapkan = + h, = 0,1,2,, (2.12) Jarak antar point dirumuskan sebagai h = ini disebut step size. (2.13) Metode Euler diturunkan dari daret Taylor. Misalnya fungsi () adalah fungsi yang kontinu dan memiliki turunan dalam interval [, ]. Maka dalam deret Taylor, Karena h = ( ), maka ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( 2 ) (2.14) ( ) = ( ) + h ( ) + h 2 ( ) (2.15) dan karena () memenuhi persamaan (2.11), ( ) = ( ) + h, ( ) + h 2 ( ) (2.16) 16

34 Metode Euler dibangun dengan pendekatan ( ) untuk = 1,2,3,,, dengan mengabaikan suku terakhir yang terdapat pada persamaan (2.19). Jadi, metode Euler dinyatakan sebagai = + h(, ) (2.17) dimana = 0,1,2,, 1. [13] Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini [13]. Diketahui persamaan diferensial dimana = 10. Sehingga dan serta = + 1, 0 2, (0) = 0.5 h = = = 0.2 = + h = 0 + (0.2) = 0.2 = 0.5 Dengan demikian persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai Dimana = 0,1,,9. = + h(, ) = + h( + 1) = + 0.2( ) Pada saat = 0 dan syarat awal diketahui = 0.5 maka Pada saat = 1 maka Pada saat = 2 maka = + 0.2( ) = + 0.2( 0.4(0 ) + 1) = = + 0.2( ) = + 0.2( 0.4(1 ) + 1) = = + 0.2( ) = + 0.2( 0.4(2 ) + 1) =

35 Demikian seterusnya hingga pada = 9 = + 0.2( ) = + 0.2( 0.4(9 ) + 1) = Model Matematika Model matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang dapat membantu mendeskripsikan fenomena-fenomena dalam kehidupan nyata dalam bentuk fungsi atau persamaan. Adapun langkah-langkah dalam membangun model [4]: 1. Identifikasi masalah. Apa masalah yang akan dikaji? Biasanya ini merupakan langkah tersulit karena dalam kehidupan nyata tidak semudah itu mengerjakannya dengan matematika. Biasanya, pada langkah ini diharuskan untuk lebih memilah-milih sejumlah data besar dan mengidentifikasi beberapa aspek tertentu dari suatu masalah untuk dipelajari. Pemodelan harus mempunyai kemampuan yang cukup tepat dalam menjabarkan formulasi verbal kedalam simbol matematika. 2. Membuat asumsi. Umumnya, semua faktor yang berpengaruh pada masalah yang akan diidentifikasi tidak dapat dimodelkan dengan matematika. Langkah ini bersifat menyederhanakan dengan mengurangi sejumlah faktor yang didasarkan pada pertimbangan. Sehingga kompleksitas persoalan yang diamati bisa direduksi dengan mengasumsikan hubungan yang relatif sederhana antara variabel. Asumsi ini terbagi menjadi dua kategori utama : a. Klasifikasi variabel. Hal apa yang mempengaruhi perilaku dari masalah yang diidentifikasi dalam langkah 1? Hal ini diidentifikasi sebagai variabel. Dalam model akan dijelaskan variabel terikat dan sisanya bebas. b. Menentukan hubungan timbal balik antara variabel-variabel yang dipilih. Sebelum membuat hipotesis tentang hubungan antara variabel, biasanya pada langkah ini diharuskan untuk membuat penyederhanaan 18

36 tambahan. Masalah yang diidentifikasi mungkin cukup kompleks sehingga pada mulanya tidak dapat melihat hubungan antara semua variabel. Dalam kasus ini dimungkinkan untuk membuat submodel. Disini, satu atau lebih variabel bebas dipelajari secara terpisah. Pada akhirnya akan dihubungkan submodel secara bersama-sama. Perlu diperhatikan bahwa submodel ini terintegral terhadap asumsi yang dibuat pada model utama. 3. Memecahkan atau menginterpretasi model. Dalam langkah ini akan dilihat hubungan dari kumpulan submodel. Selanjutnya model tersebut akan diselesaikan secara matematika. Dalam beberapa kasus model, dapat terdiri dari persamaan matematis atau ketidaksetaraan yang harus dipecahkan untuk menemukan informasi yang dicari. 4. Verifikasi model. Sebelum menggunakan model dalam kehidupan nyata, model tersebut harus diuji. 5. Mengimplementasikan model. Tentu saja model yang telah diuji tidak dibiarkan saja tanpa adanya kegunaan tertentu. Yang diharapkan dari model ini adalah dapat dipahami dan berguna bagi siapapun. 6. Maintain the model. 19

37 BAB III ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Dalam tugas akhir ini, penulis akan membahas tentang proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Secara umum, virus merupakan parasit berukuran mikroskopik yang tidak memiliki perlengkapan selular untuk bereproduksi sendiri. Maka, untuk melanjutkan siklusnya, virus harus bereproduksi di dalam material hidup dengan menginvasi dan memanfaatkan sel makhluk hidup lain [11]. Virus dapat masuk ke dalam tubuh manusia melalui hidung, mulut, bahkan dapat masuk melalui kulit. Setelah masuk ke dalam tubuh, virus tersebut akan mencari sel inang untuk diinfeksi. Pada saat itu juga, tubuh akan bereaksi dan memberikan perlawanan terhadap antigen yang masuk tersebut. Sistem imun akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya. 3.1 Hal-Hal yang Mempengaruhi Model Sebelum membangun model, ada baiknya memperhatikan hal-hal yang mempengaruhi model tersebut. Dalam tugas akhir ini, penulis mengelaskan sel ke dalam dua kelas. Yaitu sel rentan yang dinotasikan dengan () dan sel terinfeksi yang dinotasikan dengan (). Serta virus bebas itu sendiri yang dinotasikan dengan (). a. Sel rentan () Sel rentan adalah sel sehat yang belum diinfeksi oleh virus. Adapun hal-hal yang mempengaruhi laju sel rentan adalah sebagai berikut. 1. Kelahiran murni dengan laju yang konstan. 20

38 2. Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi sel rentan dengan partikel virus atau dengan kata lain adanya penginfeksian virus. 3. Kematian murni dengan laju yang konstan. b. Sel terinfeksi () Sel terinfeksi adalah sel rentan yang terinfeksi virus. Adapun halhal yang mempengaruhi laju sel terinfeksi adalah sebagai berikut. 1. Jumlah sel terinfeksi akan bertambah karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. 2. Kematian murni akan mengurangi jumlah sel terinfeksi dengan laju yang konstan. c. Virus dengue () Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa secara umum virus bebas merupakan parasit yang berukuran mikroskopik yang menginvasi dan memanfaatkan sel makhluk hidup lain untuk melanjutkan siklus hidupnya. Virus dapat masuk ke dalam tubuh manusia melalui hidung, mulut, bahkan kulit. Setelah virus masuk ke dalam tubuh, virus akan mencari sel inang tanpa memperhatikan tipe sel inang untuk diinfeksi [11]. Selanjutnya, virus akan melakukan beberapa tahapan untuk bereproduksi. Dalam tugas akhir ini, penulis mengasumsikan virus dengue sebagai virus virulen. Yaitu virus yang hanya dapat bereproduksi dengan siklus litik. Proses siklus litik adalah sebagai berikut. 1. Partikel virus menggunakan serabut ekornya untuk menempel pada sel inang. 2. Sarung ekor tersebut berkontraksi, membuat lubang menembus dinding sel dan membran dari sel. Lalu virus tersebut menginjeksikan DNA-nya ke dalam sel inang. 21

39 3. DNA dari virus mengambil alih kerja enzim sel inang untuk membuat bagian-bagian virus-virus baru. 4. Bagian-bagian virus baru itu berkumpul menjadi virus yang baru dengan jumlah yang sangat banyak. 5. Karena dinding sel rusak, maka sel tersebut membesar dan akhirnya pecah sehingga virus-virus baru itu keluar dari sel inangnya. Pada saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh tidak akan diam saja. Karena tubuh mempunyai sistem imun yang akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau hanya sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya. Terdapat beberapa sel yang berperan dalam sistem imun, yaitu sel B, sel T dan makrofag. Saat virus masuk kedalam tubuh dan mengenai sel inang, sel T akan menjadi aktif. Sel T sendiri terbagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut. a. Sel T sitotoksik yang berfungsi menghancurkan sel inang yang memiliki antigen asing. b. Sel T penolong yang berfungsi meningkatkan perkembangan sel B aktif menjadi sel plasma, memperkuat aktivitas sel T sitotoksik dan sel T penekan yang sesuai, dan mengaktifkan makrofag. c. Sel T penekan yang menekan produksi antibodi sel B dan aktifitas sel T sitotoksik dan penolong. Setelah sel T aktif, sel T penolong akan mengaktifasi sel B yang kemudian terbagi menjadi dua. Yaitu menjadi plasma sel yang menghasilkan antibodi untuk melawan virus dan sel pengingat yang siap merespon lebih cepat agar apabila virus kembali ke dalam tubuh, sel B bisa lebih cepat memproduksi antibodi [11]. 22

40 Adapun hal-hal yang mempengaruhi laju virus dengue adalah sebagai berikut. 1. Jumlah virus dengue akan bertambah dari banyaknya sel yang terinfeksi dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru tersebut. 2. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya kematian murni dengam laju yang konstan. 3. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang menghancurkan virus dengue tersebut. 4. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel virus dengue yang menginfeksi sel rentan. 3.2 Formulasi Model Dari fenomena yang ada, dapat digambarkan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia dalam sebuah diagram di bawah ini [10]. Gambar 3.1 Diagram Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Adapun dari diagram di atas dihasilkan formula untuk mengetahui dinamika virus dengue yang disajikan dalam suatu model matematika [10]. (1) (2) (3) () = ()() (). () = ()() (). () = () () () ()(). (3.1) 23

41 dengan adalah kelahiran murni sel rentan adalah peluang perpindahan virus dengue adalah kematian murni sel rentan adalah kematian murni sel yang terinfeksi adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru adalah kematian murni virus dengue adalah kematian virus dengue dengan sel T dimana,,,,,, 1, 2 > 0 dan,, Menentukan Titik Equilibrium Langkah awal untuk mengidentifikasi titik equilibrium adalah me-nol-kan ruas kiri pada sistem (3.1) sehingga turunan pertamanya bernilai nol. Maka akan didapat seperti yang tertera di bawah ini. 0 = ()() (). 0 = ()() (). 0 = () () () ()(). Langkah kedua, lakukan proses penyederhanaan sistem (3.1) dengan menggunakan proses substitusi. Dari 0 = ()() (), bisa didapatkan =. Adapun proses pengerjaannya sebagai berikut. 0 = ()() () ()() () = 0 = 0 = =. (3.2) 24

42 Dari 0 = ()() (), bisa didapatkan =. Adapun proses pengerjaannya sebagai berikut. 0 = ()() () ()() () = 0 = 0 = =. Substitusi persamaan (3.2) sehingga didapat = = =. (3.3) Dan pada saat 0 = () () () ()(), substitusi persamaan (3.2) dan (3.3). Sehingga diperoleh 0 = () () () ()() () () () ()() = 0 = 0 ( + ) = 0 ( + ) = 0 ( ) ( + ) ( ) = 0 ( ) + 1 = 0 25

43 Saat ( ) 0, maka 1 0, maka ( ) = 0, didapat =. Saat 1 = = 0 1 = + = + 1 = = 1 + = 1 + ( ) 1 = ( + ) ( ) Sehingga didapat 2 titik yaitu sebagai berikut. =. (3.4) = ( + ) ( ). (3.5) Dari persamaan (3.4) dan (3.5) dapat diduga, sistem (3.1) memiliki 2 titik equilibrium. Untuk memperoleh titik equilibrium pertama, substitusi persamaan (3.4) ke persamaan (3.2). = = = 0 maka didapat = 0. 26

44 Substitusi pula persamaan (3.4) ke persamaan (3.3). = = = 0 maka didapat = 0. Sehingga, diperoleh titik equilibrium pertama dari sistem (3.1) yaitu = (,, ) =, 0,0. (3.6) Dimana titik ini menunjukan keadaan yang bebas virus atau virus-free equilibrium (VFE) karena pada kondisi ini tidak ada virus dan sel terinfeksi. Selanjutnya untuk memperoleh titik equilibrium kedua, substitusi persamaan (3.5) ke persamaan (3.2) sehingga didapat =. = = ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) 1 ( + ) = ( ) ( + ). (3.7) ( + ) Kemudian substitusi pula persamaan (3.5) ke persamaan (3.3) sehingga didapat =. 27

45 = = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( + ). (3.8) ( ) Sehingga diperoleh titik equilibrium kedua dari sistem (3.1) yaitu. Dan dapat ditulis ulang nilai,, dalam beturut-turut adalah ( + ) ( ), ( ) ( + ), ( ) ( + ). (3.9) ( ) ( + ) Dimana titik ini menunjukan keadaan terdapat virus bebas. 3.4 Basic Reproductive Ratio Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah bilangan reproduksi dasar (Basic Reproductive Ratio). Basic Reproductive Ratio ( ) didefinisikan sebagai angka dari banyaknya sel yang baru saja terinfeksi akibat adanya satu atau lebih sel yang terinfeksi. Dengan menentukan nilai, maka akan diketahui apakah virus tersebut akan menyebar atau tidak. Ilustrasi dari, misal ada populasi manusia yang peka dan tidak ada manusia yang terinfeksi. Kemudian ada manusia yang terinfeksi virus dan berinteraksi dengan manusia peka. Maka, jika < 1, tidak akan terjadi endemic. Dalam artian, manuisa yang peka tersebut tidak akan tertular penyakit dan penyakit tidak menyebar, dan manusia yang sakit (yang terinfeksi virus) bisa sembuh setelah beberapa waktu. Sedangkan jika > 1, akan terjadi endemic. Dalam artian, setelah beberapa waktu, manusia yang sakit akan menularkan penyakitnya. Sehingga, manusia yang awalnya sakit kemungkinan akan sembuh dan manusia yang sehat akan sakit. 28

46 Pada model ini, didefinisikan = (). Ini artinya, satu sel ( ) terinfeksi memproduksi Sedangkan satu partikel virus dengue menginfeksi periode infeksi kestabilan sistem (3.1) [10]. () ( ) virus dengue selama periode infeksi. () sel rentan selama ( ) ( ). Adapun ini akan digunakan untuk menganalisis 3.5 Kestabilan Titik Equilibrium Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi [11]. Teorema 2 Titik equilibrium yang bebas dari virus,, akan stabil asimtotik lokal jika < 1 dan tidak stabil untuk lainnya [10]. Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah pembuktian teorema 2 Langkah pertama, lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks Jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada VFE (virus-free equilibrium). adalah matriks Jacobian 3 3 dari sistem (3.1) dengan nilai pada persamaan (3.6). Sistem (3.1) (1) () = ()() (). (2) () = ()() (). (3) () = () () () ()(). 29

47 = () () () () () () () () () Sehingga didapat = Langkah kedua, cari nilai eigen dari. 0 = = = = 0. Didapat = = 0 ( ) ( ) () = 0 30

48 ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + = 0 = 0 ( ) = 0 Maka didapat nilai eigennya dan persamaan karakteristiknya nilai. () = ( + ) ( ). Langkah terakhir, cek kestabilan titik equilibrium dengan menggunakan Nilai eigen dari adalah dan persamaan karakteristiknya adalah () = ( + ) ( ). Karena tujuan awal pembuktian teorema ini adalah pengecekan kestabilan yang stabil asimtotik lokal ketika < 1, dimana dikatakan stabil asimtotik lokal jika semua nilai eigennya negatif. Maka, untuk mengetahui () memiliki akar-akar yang negatif, akan dibuktikan 1). > 0 2) + < 0 Pembuktian yang pertama yaitu. > 0 Tulis = () ( ) ( + ) = ().. = = ( ( ) + ) 1 = ( + ) ( + ) 1 = ( + )(1 ) Karena < 1 maka (1 ) > 0 atau ( + )(1 ) > 0. 31

49 Pembuktian yang terakhir yaitu + < 0. + = = 1 Karena + < 0. = =, maka menghasilkan < 0, jadi terbukti Maka terbukti () memiliki akar-akar yang negatif sehingga stabil asimtotik lokal. Analisis kestabilan equilibrium. Substitusi pada persamaan (3.9) yaitu = (,, ) = ( + ) ( ), ( ) ( + ), ( ) ( + ). ( ) ( + ) dimana = () ( ) ( ) = ( + ) = ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) = 1 = = ( ) ( + ) ( ) = = ( + ) ( ) 32

50 = = 1 1 = ( ) ( + ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) = = = = = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = ( 1) = ( 1) 33

51 Sehingga didapat dalam, dimana =, = 1 1, = ( 1). (3.10) Dapat dilihat bahwa,,, pada persamaan (3.10) positif jika memenuhi > 1. Lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks Jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada. Dimana merupakan titik equilibrium yang mengandung virus bebas. adalah matriks Jacobian 3 3 dari sistem (3.1) dengan nilai pada persamaan (3.10). Sistem (3.1) (1) () = ()() (). (2) () = ()() (). (3) () = () () () ()(). = () () () () () () () () () Sehingga didapat = 0 ( 1) ( 1) Setelah itu, cari nilai eigen dari.. 34

52 = ( 1) ( 1) = 0 0 ( 1) 0 0 ( 1) + 0 = ( 1) +. ( 1) = 0. Didapat + 0 = ( 1) + = 0 ( 1) ( + 0 ) ( + ) ( ) + 0 ( 0 1)( ) ( 0 1)( + ) = 0 ( + ) ( 0 ) ( ) =

53 = = = = dimana + = 0 Sehingga didapat nilai eigen dari berupa persamaan karakteristik = () = (3.11) = = + 36

54 dan = ( + ). Dapat dilihat, nilai eigen dari () sangat sulit ditentukan. Maka kestabilan asimtotik lokalnya akan diselidiki dengan Kriteria Routh-Hurwitz. Sebelum menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, cek terlebih dahulu tanda real dari setiap,, dan pada persamaan (3.11) jika > 1. Tinjau. Karena = + + +, dapat ditarik kesimpulan jika > 1, maka maka tanda real dari adalah positif. Tinjau. Tulis = () ( ) = () ( ) = () ( ) ( ) = ( + ). = = + + ( + ) + = + ( ) + ( + ) + = + ( + ) + ( + ) + = + ( ) + ( + ) + = ( + ) + Karena = ( + ) +, dapat ditarik kesimpulan jika > 1, maka maka tanda real dari adalah positif. Tinjau. = + 37

55 = + = + ( ) = + = + ( + ) = = ( 1) Karena = ( 1), dapat ditarik kesimpulan jika > 1, maka maka tanda real dari adalah positif. Setelah itu, gunakan kriteria Routh-Hurwitz yaitu untuk semua polinomial () adalah negatif jika semua determinan dari matriks adalah positif. = Dimana adalah matriks Hurwitz dari persamaan (3.11) dengan adalah pangkat tertinggi dari persamaan (3.11) yaitu 3. Maka, 2 1 = 2(3) 1 = 5. Sehingga matriksnya hanya sampai. Dari persamaan (3.11) maka =, =, =. Akan dibuktikan semua determinan dari matriks adalah positif. Untuk = ( ) = (), karena positif, sehingga didapat det = > 0. Untuk = 1 = 1, karena, dan positif sehingga didapat det = 1 =. Tapi karena belum tentu > maka hitung dulu det. 38

56 Untuk = = karena, dan positif sehingga didapat det = = = ( ). Karena positif, maka untuk 0 0 mendapatkan det positif, maka haruslah ( ) positif. > ( + ) + ( 1) > > > > 0 ( + ) + ( ) +( ) + ( + ) + > 0 Sehingga, untuk mendapatkan determinan matriks yang positif, haruslah memenuhi > atau > 0 (3.12) dimana = + = = = + 39

57 = Dari penjabaran di atas, dapat ditemukan Teorema untuk equilibrium. Teorema 4 Titik equilibrium ada jika > 1, dan dikatakan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika memenuhi kondisi (3.12) [10]. 40

58 BAB IV SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Seperti yang telah disebutkan di awal tulisan ini, salah satu tujuan penelitian ini adalah mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia lewat simulasinya. Berikut ini akan dijelaskan simulasi dengan dua keadaan berbeda, yaitu saat keadaan bebas virus dan saat keadaan terdapat virus bebas. 4.1 Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus Simulasi dalam keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat sejumlah sel rentan dan virus dengue. Nilai awal pada sel rentan (0) = 400, sel yang terinfeksi (0) = 0, virus dengue (0) = 5. Dengan melakukan pencarian secara komputasi, diperoleh parameter yang menyebabkan pada model ini tidak lebih dari satu, dimana parameter tersebut disajikan dalam tabel di bawah ini. Tabel 4.1 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan < 1 Simbol Definisi Parameter Nilai Laju kelahiran murni sel rentan per hari Peluang perpindahan virus dengue ke rentan Laju kematian murni sel rentan per hari Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.5 Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue 0.1 baru Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 100 Laju kematian murni virus dengue per hari 6 Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 9 41

59 Dari nilai parameter tersebut menghasilkan = Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan bebas virus, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (8.6278, 0, 0) pada saat. Adapun asumsi mengenai simulasi pada keadaan ini, yaitu jika < 1 maka dapat diartikan tidak terdapat virus dengue. Simulasi pada model ini dilakukan dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di bawah ini. Gambar 4.1 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan 0 30 Gambar 4.2 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan

60 Pada gambar 4.1 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel rentan di dalam tubuh manusia mengalami penurunan. Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755, maka pada gambar 4.2 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak terjadi lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya. Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, populasi sel rentan ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. Gambar 4.3 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan

61 Gambar 4.4 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Pada gambar 4.3 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel terinfeksi di dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua. Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755, maka pada gambar 4.4 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel terinfeksi di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai 0 pada saat dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini lama-lama akan habis. 44

62 Gambar 4.5 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan 0 30 Gambar 4.6 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = < 1 dan Dari gambar 4.5 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi virus dengue di dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua. Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755, maka pada gambar 4.6 akan terlihat lebih jelas pergerakan virus dengue di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus 45

63 berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, mulai dari hari ke 26 sampai seterusnya virus dengue ini akan menghilang dari peredaran darah manusia. Sehingga dapat disimpulkan, populasi virus dengue ini akan mencapai 0 pada saat dan konstan pada titik tersebut. Atau dengan kata lain, populasi ini lama-lama akan habis. Sehingga dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat < 1 maka tidak akan terjadi endemik. Artinya, tidak akan terjadi penyebaran virus di dalam tubuh. Kalaupun ada kenaikan pada dan, kenaikan itu tidak signifikan. Kemudian dan tersebut lama-lama menuju angka 0 dan konstan di angka tersebut sampai. Dengan kata lain, populasi mereka akan habis. Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang bebas dari virus, untuk hal ini = (8.6278, 0, 0), akan stabil asimtotik lokal jika < 1 dan tidak stabil untuk lainnya. 4.2 Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas Dalam simulasi ini, akan diuji dua berbeda. Tujuannya adalah melihat pengaruh terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue itu sendiri. Adapun nilai diperoleh dari parameter yang menyebabkan nilainya akan lebih dari satu. Untuk simulasi pada keadaan ini akan digunakan syarat awal bahwa terdapat sejumlah sel rentan, sel yang terinfeksi dan virus dengue itu sendiri. Nilai awal pada sel rentan (0) = 400, sel yang terinfeksi (0) = 5, virus dengue (0) = 10. Adapun nilai parameter yang menyebabkan = > 1 adalah sebagai berikut. 46

64 Tabel 4.2 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan = > 1 Simbol Definisi Parameter Nilai Laju kelahiran murni sel rentan per hari Peluang perpindahan virus dengue ke sel rentan Laju kematian murni sel rentan per hari Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.45 Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue 0.5 baru Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 402 Laju kematian murni virus dengue per hari 5 Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 30 Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus bebas, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah ( , , ) pada saat. Simulasi pada model ini dilakukan dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di bawah ini. Gambar 4.7 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan

65 Gambar 4.8 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Pada gambar 4.7, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya turun tajam hingga mencapai angka pada = 6 (lihat pada gambar 4.13). Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.8 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.8, laju pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan kembali naik dikarenakan berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan. Kemudian laju pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan dikarenakan besarnya laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan naik turun pada laju pertumbuhan sel rentan ini akan berjalan terus menerus hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel rentan ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. 48

66 Gambar 4.9 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan 0 30 Gambar 4.10 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Pada gambar 4.9, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya naik tajam sampai angka teratas yaitu pada = 2 (lihat pada gambar 4.13). Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian laju pertumbuhan sel terinfeksi ini perlahan mengalami penurunan karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.10, laju sel terinfeksi ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat Tetapi jika gambar itu sedikit 49

67 diperbesar, maka akan terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh. Gambar 4.11 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan 0 30 Gambar 4.12 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan

68 Pada gambar 4.11, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya naik tajam sampai angka teratas yaitu pada = 2 (lihat pada gambar 4.13). Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian laju pertumbuhan virus dengue ini perlahan mengalami penurunan seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.12, laju pertumbuhan virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat laju pertumbuhan virus dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi virus dengue ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi virus dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh. Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai dan, pada hasil simulasinya berturut-turut akan mendekati angka dan Kemudian konstan di titik tersebut sampai. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini dengan keadaan terdapat virus bebas. 51

69 Gambar 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana = > 1 52

70 Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas dengan parameter pada tabel 4.2 yaitu = ( , , ), akan stabil asimtotik lokal jika > 1. Untuk nilai parameter yang menyebabkan = > 1 adalah sebagai berikut. Tabel 4.3 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan = > 1 Simbol Definisi Parameter Nilai Laju kelahiran murni sel rentan per hari Peluang perpindahan virus dengue rentan Laju kematian murni sel rentan per hari Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.35 Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue 0.5 baru Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 500 Laju kematian murni virus dengue per hari 8 Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 25 Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus bebas, laju sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (9.2530, , ) pada saat. Simulasi pada model ini dilakukan dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di bawah ini. 53

71 Gambar 4.14 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan 0 30 Gambar 4.15 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Pada gambar 4.14, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya turun tajam hingga mencapai angka pada = 2 (lihat pada gambar 4.20). Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika nya diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.15 akan terlihat 54

72 lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.15, laju pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan. Kemudian laju pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan dikarenakan besarnya laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan laju pertumbuhan sel rentan ini perlahan akan naik turun hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.20, populasi sel rentan ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. Gambar 4.16 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan

73 Gambar 4.17 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Pada gambar 4.16, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya naik tajam. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian laju pertumbuhan sel terinfeksi ini turun tajam hingga karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.17, laju sel terinfeksi ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.20, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh. 56

74 Gambar 4.18 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan 0 30 Gambar 4.19 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat = > 1 dan Pada gambar 4.18, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya naik tajam, hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian laju pertumbuhan virus dengue ini turun tajam seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.19, laju pertumbuhan virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat laju pertumbuhan virus dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi 57

75 hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.20, populasi virus dengue ini akan mencapai pada saat dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi virus dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh. Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa jika pada saat > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai dan, pada hasil simulasinya berturut-turut akan mendekati angka dan Kemudian konstan di titik tersebut sampai. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini dengan keadaan terdapat virus bebas. 58

76 Gambar 4.20 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana = > 1 Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas dengan parameter pada tabel 4.3 yaitu = (9.2530, , ), akan stabil asimtotik lokal jika > 1. 59

77 Seperti yang telah dipaparkan pada awal bagian penjelasan simulasi dalam keadaan terdapat virus bebas, bahwa pada bagian ini akan diperlihatkan pengaruh nilai terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Dimana nilai awal untuk dua keadaan ini adalah sama. (a) () () Gambar 4.21 Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat dimana () merupakan sel rentan dengan = > 1 dan () merupakan sel rentan dengan = > 1 (a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data (b) Gambar 4.21 (a) merupakan grafik dinamika sel rentan di dalam tubuh manusia, yang mana untuk garis berwarna merah merupakan banyaknya populasi sel rentan ketika = > 1 sedangkan garis berwarna merah putus-putus menunjukan = > 1. Pada gambar 4.21 (b) menunjukan dinamika sel rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada gambar 4.21 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel rentan dengan keadaan berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 400. Kemudian, pada hari pertama dapat dilihat, populasi sel rentan untuk = sangat turun drastis menjadi hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue terhadap sel rentan yang menyebabkan sel rentan ini menjadi sel terinfeksi sehingga populasi sel rentan mengalami penurunan. Sedangkan populasi sel rentan untuk = , walaupun sama-sama mengalami penurunan total populasi, tetapi penurunan tersebut tidak terlalu jauh dengan total populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai sangat mempengaruhi keadaan populasi sel rentan. Jadi, dapat disimpulkan, 60

78 semakin besar nilai maka semakin besar pula penurunan yang dialami oleh populasi sel rentan atau dengan kata lain, semakin besar nilai maka semakin sedikit total populasi sel rentannya. Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan terhadap populasi sel rentan. (a) () () e e e e e e e e e e e e e e e e-001 Gambar 4.22 Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat dimana () merupakan sel terinfeksi dengan = > 1 dan () merupakan sel terinfeksi dengan = > 1 (a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data (b) Gambar 4.22 (a) merupakan grafik dinamika sel terinfeksi di dalam tubuh manusia, yang mana untuk garis berwarna biru merupakan banyaknya populasi sel terinfeksi ketika = > 1 sedangkan garis berwarna biru putus-putus menunjukan = > 1. Pada gambar 4.22 (b) menunjukan dinamika sel rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada gambar 4.22 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel terinfeksi dengan keadaan berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 5. Kemudian, pada hari pertama dapat dilihat, populasi sel rentan untuk = mengalami kenaikan yang sangat tajam menjadi hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue terhadap sel rentan yang menyebabkan sel rentan menjadi sel terinfeksi sehingga populasi sel terinfeksi mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi sel terinfeksi untuk = , walaupun sama-sama mengalami kenaikan total populasi sel terinfeksi, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh dengan total 61

79 populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai sangat mempengaruhi keadaan populasi sel terinfeksi. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai maka semakin besar pula kenaikan yang dialami oleh populasi sel terinfeksi. Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan terhadap populasi sel terinfeksi. (a) () () e e e e e e e e e e e e e e e e+000 Gambar 4.23 Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat dimana () merupakan virus dengue dengan = > 1 dan () merupakan virus dengue dengan = > 1 (a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data (b) Gambar 4.23 (a) merupakan grafik dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia, yang mana untuk garis berwarna hijau merupakan banyaknya populasi virus dengue ketika = > 1 sedangkan garis berwarna hijau putus-putus menunjukan = > 1. Pada gambar 4.23 (b) menunjukan dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada gambar (b) jelas terlihat, nilai awal untuk virus dengue dengan keadaan berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 10. Kemudian, pada hari pertama dapat dilihat, populasi virus dengue untuk = mengalami kenaikan yang sangat tajam menjadi hal ini disebabkan banyaknya duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi sehingga populasi virus dengue mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi virus dengue untuk = , walaupun sama-sama mengalami kenaikan total populasi virus 62

80 dengue, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh, sejauh kenaikan total populasi virus dengue saat = Ini berarti, nilai sangat mempengaruhi keadaan populasi virus dengue. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai maka semakin besar pula kenaikan yang dialami oleh populasi virus dengue. Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan terhadap populasi virus dengue bebas. 63

81 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Dalam hal ini, proses terbangunnya model matematika mengenai transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia dilihat dari hal-hal yang mempengaruhi model tersebut. Karena hanya terdapat 3 kompartemen, maka akan diperlihatkan hal-hal yang mempengaruhi ketiga kompartemen tersebut. Dimana pada model ini, populasi sel rentan akan bertambah karena adanya kelahiran murni dari populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi ini juga dipengaruhi oleh kematian murni dan banyaknya virus dengue yang menginfeksi populasinya sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini berkurang. Berkurangnya populasi sel rentan karena penginfeksian yang dilakukan oleh virus dengue menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi kematian murni yang mengakibatkan berkurangnya populasi pada sel terinfeksi. Sedangkan virus dengue dipengaruhi oleh duplikasi virus-virus baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi yang menyebabkan populasi virusnya bertambah. Virus dengue juga dipengaruhi oleh kematian murni dan kematian yang disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan populasinya berkurang. Virus dengue juga berkurang karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. Sehingga, didapatlah model matematika dari fenomena di atas pada sistem (3.1) sebagai berikut. 64

82 (1) () = ()() (). (2) () = ()() (). (3) () = () () () ()(). dengan () adalah laju sel rentan persatuan waktu () adalah laju sel terinfeksi persatuan waktu () adalah laju virus dengue persatuan waktu adalah kelahiran murni sel rentan adalah peluang perpindahan virus dengue adalah kematian murni sel rentan adalah kematian murni sel yang terinfeksi adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru adalah kematian murni virus dengue adalah kematian virus dengan sel T dimana,,,,,, 1, 2 > 0 dan,, 0. Analisa model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia menghasilkan 1. 2 Titik equilibrium a. Titik equilibrium yang bebas dari virus ( ) = (,, ) =, 0,0. b. Titik equilibrium yang mengandung virus bebas ( ) =,, = ( + ) ( ), ( ) ( + ), ( ) ( + ). ( ) ( + ) 65

83 2. Banyaknya sel yang baru saja terinfeksi akibat adanya satu atau lebih sel yang terinfeksi adalah = () ( ). 3. Titik equilibrium akan stabil asimtotik lokal jika < 1 dan titik equilibrium ada jika > 1 serta akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika memenuhi kondisi dimana > 0 = = = = + = Selanjutnya dari hasil simulasi untuk titik equilibrium yang bebas dari virus yaitu, akan stabil asimtotik lokal jika < 1. Artinya, pada model tersebut setelah beberapa waktu populasi sel terinfeksi akan habis sehingga menyebabkan populasi virus dengue akan habis pula. Hal ini diperkuat dengan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, bahwa mulai pada hari ke 26 kemungkinan virus dengue ini akan menghilang dari peredaran darah manusia. Akibatnya tidak terjadi penyebaran virus (endemik) pada sel rentan. Sedangkan untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas yaitu, akan stabil asimtotik lokal jika > 1 dan memenuhi kondisi (3.12). Artinya, pada model tersebut populasi sel terinfeksi meningkat sehingga menyebabkan populasi virus dengue meningkat pula. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis di dalam tubuh. Akibatnya terjadi penyebaran virus (endemik) pada sel rentan. 66

84 Adapun pengaruh terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue pada model ini adalah sebagai berikut. 1. Semakin besar nilai maka populasi sel terinfeksi dan virus dengue semakin meningkat. Sedangkan untuk sel rentan, populasinya akan berkurang. 2. Semakin kecil nilai maka populasi sel rentan akan semakin meningkat. Sedangkan untuk sel terinfeksi dan virus dengue, populasinya akan berkurang. 5.2 Saran Pada tugas akhir ini hanya mengkaji mengenai fenomena perpindahan virus dengue yang ada di dalam tubuh manusia dengan cara memodelkan fenomena yang ada dan menganalisis fenomena tersebut serta melihat dinamika virusnya lewat simulasi. Dimana di dalam fenomena tersebut hanya terdapat 3 kompartement yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Untuk pengerjaan tugas akhir selanjutnya dapat dilakukan dengan menambah kompartement baru yaitu memperhatikan pengaruh obat. 67

85 DAFTAR PUSTAKA 1. Budhi, W.S., Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut Teknologi Bandung, Champbell, A.N., Reece, J.B., Mitchell, L.G., Biologi, Edisi 5 Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, Finizio, N., Ladas, G., Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Edisi kedua, terjemahan Dra. Widiarti Santoso, Penerbit Erlangga, Jakarta, Giordano, F.R., Weir, M.D., Fox, W.P, A First Course In Mathematical Modeling, Edisi ketiga, China Mechine Press, Rpublic China, Hasanudin, F., Persamaan Diferensial Biasa Linier dan Persamaan Biasa Tak Linier, Studi Literatue tidak dipublikasikan, Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung, Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue, Tesis Program Pasca Sarjana, Institut Pertanian Bogor, Kreyzig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9 th Edition, John Wiley & Sons, Kristina., Isminah., Wulandari, L., Demam Berdarah Dengue, Kajian Masalah Kesehatan. ( diakses 2 Agustus 2011) 9. Medicastore.com, Demam Berdarah Dengue, Media Informasi Obat- Penyakit. ( diakses 2 Agustus 2011) 10. Nuraini, N., Soewono, E., Sidarto, K.A., A Mathematical Model of Dengue Internal Transmision Process, J. Indones. Math. Soc (MIHMI), 13(1): , Prihadi, N., Simulasi dan Analisis Model Dinamika Virus pada Tubuh Manusia, Skripsi S1 tidak dipublikasikan, Institut Teknologi Bandung,

86 12. Ramadijanti, N., Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum, Institut teknologi Sepuluh Nopember. ( diakses 22 Juli 2012) 13. Supriyanto, E., Metode Euler, Departemen Fisika Universitas Indonesia, ( diakses 22 Juli 2012) 14. Waluya, B., Buku Ajar Persamaan Diferensial, Universitas Negeri Semarang, ( diakses 10 Januari 2012) 15. Wiggins, S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos, 2 nd Edition, Springer-Verlag, New York Inc,

87 RIWAYAT HIDUP RISYA RADHIANTI. Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 28 Maret 1990 dari ayah M. Uu Sunarsa (alm) dan ibu Tri Sekarwati (almh). Sampai saat ini penulis tinggal bersama bunda Siti Aisyah, kakak Dhita Windi Wardani dan adik Abdul Salam Mutahary di Perumahan Puri Bojong Lestari jalan Bone I blok AR 03 RT/RW 13/14, Bojong Gede-Bogor. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Berikut pengalaman pendidikan yang telah penulis tempuh : 1. TK Aisyiyah IV Bustanul Athfal pada tahun SDN Pabuaran 03 pada tahun MTsN Cibinong pada tahun MAN 13 Jakarta pada tahun UIN Sunan Gunung Djati Bandung pada tahun Adapun pendidikan non-formal yang penulis tempuh selama menjadi mahasiswa Strata Satu di universitas ini adalah menjadi Ketua Bidang Advokasi Informasi dan Komunikasi di Senat Mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi pada tahun dan menjadi guru privat matematika pada tahun 2009 sampai sekarang. Untuk memudahkan komunikasi mengenai penulis dan tugas akhir ini, dapat melalui penulis di sya.radhians@gmail.com.

88 LAMPIRAN

89 Lampiran A Hasil Eksekusi Numerik =. < 1 Saat =.

90

91

92

93

94