MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN BANTUAN KOMPUTER

Transkripsi

1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN BANTUAN KOMPUTER Yusuf Yahya Fakultas Ilmu Komputer, Universitas Gunadarma Jl. Margonda Raya 100 Depok yusuf@staff.gunadarma.ac.id Abstrak Untuk semua kemampuan kemampuan fenomenalnya, sebuah komputer tidak lebih dari sebuah mesin yang hanya dapat melakukan tiga hal sederhana : dia dapat menjumlahkan dua buah bilangan, dia dapat menyimpan bilangan bilangan dan dia dapat membandingkan dua buah bilangan untuk melihat mana yang lebih besar. Segala sesuatu yang dilakukannya dibuat dari tiga operasi operasi ini. Sebagai contoh, perkalian dilaksanakan sebagai perulangan penjumlahan. Pengurangan sebagai penjumlahan dengan bilangan negatip. Pembagian (hasil bagi) dilakukan sebagai pengurangan berturut turut, artinya pembagian dilakukan menggunakan metode yang hanya melibatkan penjumlahan dan perkalian. Bahkan bila sebuah komputer digunakan untuk operasi operasi dengan kata kata, seperti dalam aplikasi pemrosesan data, ketiga operasi ini semuanya terlibat. Dengan demikian, sebuah daftar nama disusun menurut abjad dengan pertama tama mengubah setiap huruf individual menjadi sebuah kode numerik dan kemudian kode masing masing dibandingkan untuk melihat mana yang lebih besar. (Ingat ASCII) Masing masing proses ini mungkin merupakan suatu prosedur yang sangat panjang. Tetapi, sebuah keuntungan yang utama dari penggunaan komputer adalah kecepatannya. Kita dapat melaksanakan berjuta juta operasi per detik. Keuntungan yang lain adalah reliabilitasnya dia akan secara konsisten menghasilkan hasil yang sama untuk nilai yang sama dan akan melakukan itu secara tepat sesuai dengan instruksi yang diberikan oleh pemakai komputer. Kata Kunci : fungsi, grafik, komputer. 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Masalah Salah satu area yang paling menyenangkan dari aplikasi komputer adalah bidang grafik komputer. Ini terutama benar dalam matematika di mana kemampuan grafik dari komputer menyediakan bagi kita dengan kemampuan untuk melihat banyak obyek obyek matematikal dan hubungan hubungan yang dalam hal lain tersembunyi dari pandangan. Dalam banyak cara, kemampuan ini sangat menyerupai keuntungan keuntungan yang telah diberikan mikroskop dan teleskop kepada ilmuwan ilmuwan fisika dan biologi selama berabad abad dia memberikan kepada kita suatu pandangan ke dunia baru. Titik awal untuk sembarang aplikasi grafik komputer dalam Kalkulus adalah sebuah program yang menggambarkan grafik dari sembarang fungsi y = f(x) yang diinginkan pada sembarang interval [a,b] yang ditetapkan. Kebanyakan aplikasi grafik lainnya adalah hanya variasi variasi dan perluasan perluasan dari program semacam itu. Oleh karenanya, pendekatan terhadap grafik ini berpusat pada pengembangan dari tipe program ini. Hasil keluaran yang biasanya berupa angka dengan penjelasan penjelasan yang ada seringkali masih dirasa kurang lengkap. Untuk itu perlu dipikirkan adanya keluaran dalam bentuk yang lain, yaitu gambar atau grafik. Sebagai contoh, perkembangan populasi secara sepintas akan lebih mudah dilihat dan dimengerti dengan menggambarkannya menggunakan sebuah grafik dibanding apabila disajikan dengan angka. Kita akan belajar bagaimana mempersiapkan keluaran D-87

2 D-88 Proceedings Komputer dan sistem Intelejen(KOMMIT2002) Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta, Agustus 2002 (output) yang berupa grafik. Akan disajikan beberapa contoh program untuk membuat grafik dengan beberapa fasilitas yang dimiliki oleh QBASIC. Untuk bisa bekerja dengan grafik, perangkat keras Anda harus mempunyai kemampuan untuk menjalankan grafik. Perangkat keras ini bisa berupa built in graphics adapter, atau graphics card seperti Color Graphics Adapter (CGA), Enhanced Graphics Adapter (EGA), atau Video Graphics Array (VGA). Anda juga harus mempunyai layar tampilan yang mendukung pixel based graphics. Dari perangkat keras yang Anda gunakan, Anda bisa bekerja dengan menggunakan mode layar untuk grafik (SCREEN mode). Mode layar ini akan menentukan lembut tidaknya gambar yang Anda buat, dan juga pilihan warna yang ada (jika Anda menggunakan layar warna). Kebanyakan sistim- sistim grafik komputer pada dasarnya menganggap layar komputer sebagai sebuah kisi koordinat (coordinate grid). Resolusi grafik dari sebuah komputer bergantung pada jumlah titik titik yang tersedia dalam grid ini. Untuk IBM (dan kompatibelnya), grid yang berkaitan adalah 640 units lebar dan 200 units tinggi. Lokasi lokasi ini diberi nomor dari 0 sampaai 639 secara horizontal (kiri ke kanan) dan dari 0 sampai 199 secara vertikal (atas ke bawah). (Penetapan terakhir dengan sumbu vertikal menunjuk ke bawah dalam arah yang berkebalikan dengan koordinat Cartesian yang biasa). Ini menghasilkan sejumlah total 640 * 200 = 128,000 titik titik beralamat yang mungkin yang dapat tetap gelap atau terang. Grafis (gambar) disusun oleh elemen yang disebut titik atau pixel (picture element). Banyaknya pixel dalam layar biasa disebut dengan istilah resolusi. Hal inilah yang menentukan suatu gambar kelihatan halus atau tidak. Semakin tinggi resolusi, semakin bagus pula gambar yang dihasilkannya. Pada monitor CGA terdapat dua modus resolusi, berupa modus resolusi menengah (320 * 200 kolom) dan resolusi tinggi (640 * 200 kolom). Pada monitor VGA terdapat beberapa modus grafis yang tidak terdapat pada CGA, seperti modus grafis 640 * 350 atau bahkan 640 * 480. Semakin banyak pixel, grafik akan semakin tinggi resolusinyaa. Tidak dapat disangkal bahwa kemajuan komputer telah mempengaruhi pendidikan matematika dan topik topik yang diajarkan. Dalam hal perubahan metodologi pendidikan matematika, misalnya telah banyak sistim CAI (Computer Assisted Instruction) dicoba dalam lingkungan pendidikan di luar negeri dalam awal tahun delapan puluhan. 1.2 Fungsi dan Grafiknya Definisi : Sebuah fungsi adalah suatu cara (aturan ) yang menghubungkan / mengaitkan setiap nilai variabel bebas x dalam daerah Domain D, dengan sebuah nilai (tunggal) variabel tidak bebas y dalam Range R Bentuk umum sebuah fungsi (explisit) : y = f(x). Dalam QBASIC, instruksi DEF memungkinkan Anda mendefinisikan fungsi yang Anda inginkan. Fungsi yang akan didefinisikan biasanya harus mempunyai sebuah nama terdiri dari huruf yang dimulai dengan FN. Maka nama nama fungsi yang diizinkan adalah hanya : FNA( ), FNB( ),, FNZ( ), Di mana argumennya dapat berupa sembarang variabel yang diinginkan. Format dari instruksi DEF adalah : DEF FNY(X) = [sembarang ekspresi dalam X]. Sekali kita definisikan sebuah ekspresi untuk sebuah fungsi tertentu, komputer akan memberikan respon dengan nilai dari y yang berkaitan dengan sembarang x yang diberikan. Program D-NILAI.BAS di bawah ini sangat berguna untuk membentuk sebuah daftar nilai. REM DAFTAR NILAI UNTUK SEBUAH FUNGSI DEF FNY(X) =. PRINT DAFTAR NILAI PRINT LET A =. : B = : N =.. FOR X = A TO B STEP (B A) / N PRINT X, FNY(X) NEXT X X = B : PRINT X, FNY(X) END

3 Menggambar Grafik Fungsi Dengan Bantuan Komputer D-89 Program D-NILAI.BAS menginstruksikan komputer untuk menghitung dan mencetak nilai fungsi yang diberikan untuk serangkaian n + 1titik titik yang berjarak sama dari a ke b. Khususnya, jika kita ambil h = (b a) / n sebagai spasi (jarak subinterval) yang seragam, maka nilai fungsi akan dihitung pada titik titik berikut : x = a, x = a + h, x = a + 2h,, x = a + nh = b. Nilai nilai fungsi bersangkutan adalah : FNY(A), FNY(A + H), FNY(A + 2*H), FNY(A + 3*H),., FNY(B). Untuk dapat menggunakan program D-NILAI.BAS, kita harus mengisi sebuah ekspresi untuk fungsi pada baris kedua, daerah nilai x dari a ke b dan banyaknya nilai x yang kita inginkan (n) pada baris ketiga. Sebagai contoh, misalnya kita pilih fungsi : f ( x) = ( x^3 + 5) / x + 2 pada interval [0, 2] dengan n = 10. Catatan : Domain fungsi tersebut adalah D f = { x x -2}. Kita isikan baris kedua dan kelima sebagai berikut : DEF FNY(X) = (X ^ 3 + 5) / SQR(X + 2) LET A = 0 : B = 2 : N = 10 Jika kita ingin lebih mendetail, artinya memperbanyak jumlah subintervalnya, maka yang kita perlukan adalah mengubah baris kelima menjadi : LET A = 0 : B = 2 : N = 20 Kita juga juga dapat mengubah intervalnya, tetapi harus kita perhatikan domain (D) fungsi tersebut. Program D-NILAI.BAS ini sangat berguna untuk membentuk daftar nilai sebuah fungsi, misalnya daftar fungsi logaritma, daftar fungsi trigonometri dan sebagainya. Juga dari daftar ini kita bisa melihat behaviour (kelakuan) sebuah fungsi, sehingga daftar ini sangat membantu dalam menggambarkan grafik sebuah fungsi. Sebagai latihan kita mencoba membuat daftar harga fungsi fungsi : f ( x) = x pada [0, 25], n = 25 f ( x) = 2^ x pada [0, 20], n = 20 f ( x) = ( x^3 2x^2) /( x 2) pada [-1, 1], n = 20 f ( x) = sin( πx /180) pada [0, 90], n = 18 Catatan : Argumen πx / 180 digunakan daripada hanya x untuk mengkorversikan dari derajat ke radian. Dan sebagainya. 2. Menggambarkan Grafik Fungsi 2.1 Menggambarkan grafik fungsi eksplisit y = f(x). Pada modus grafis, titik secara individual dapat diatur dengan menggunakan pernyataan PSET atau PRESET. PSET (X, Y) Pernyataan ini berfungsi untuk membuat pixel pada posisi (X, Y) atau kolom X, baris Y dengan warna bawaan. PSET (X, Y), W%

4 D-90 Proceedings Komputer dan sistem Intelejen(KOMMIT2002) Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta, Agustus 2002 Dengan memberikan parameter kedua (yaitu W%) pada PSET, pixel akan ditampil- kan dengan warna sesuai nilaiw%. Jangkauan nilai parameter W% tergantung dari modus grafis yang diaktifkan. Misalnya, pada modus grafis 1 dapat berupa nilai anta- ra 0 sampai dengan 3. CATATAN : Umumnya warna bawaan yang digunakan adalah atribut warna tertinggi. Misalnya, atribut warna 3 untuk modus grafis 1, atau atribut warna 15 pada modus grafis 7. Warna inilah yang digunakan untuk menggambar pada perintah perintah grafis yang warnanya tidak disebutkan. PRESET (X, Y) Pernyataan ini dipakai untuk menghapus pixel (membuat pixel dengan warna 0). PRESET (X, Y), W% Pernyataan ini sama kegunaannya dengan PSET(X, Y), W%. Untuk memilih modus grafis, pernyataan yang digunakan adalah SCREEN. Bentuk pernyataan ini adalah : SCREEN Mudus% [, Saklar Warna%] Modus% dapat diisi dengan 1 atau 2 atau nilai yang lain, tergantung modus grafis yang diinginkan (dan tentu saja tergantung pada adapter video yang digunakan). SaklarWarna% digunakan untuk mengijinkan penggunan warna. nilai selain nol akan memungkinkan pemakaian warna. Sebagai contoh, kita akan menggunakan program GRAFIK.BAS untuk menggambarkan grafik fungsi y = x^2 + 1 pada interval [-1, 2], karena domainnya : Df = { x - < x < + }. Kita mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini adalah bagian dari sebuah parabola dan untuk mendapaikan efek terbaik, kita ingin sebanyak mungkin bagian dari kurva itu pada layar. Maka kita akan membatasi perhatian kita pada domain untuk x di antara 1 dan 2 secara horizontal dan range untuk y antara 2 dan 5 secara vertikal. Pada dasarnya, kita sedang membuat perlakuan dengan dua himpunan koordinat koordinat yang berbeda -- koordinat koordinat layar berkisar dari 0 sampai 639 secara horizontal dan dari 0 sampai 199 secara vertikal ke bawah dan pemakai (user) atau koordinat koordinat fungsi dari 1 sampai 2 secara horizontal dan dari 1 sampai 5 secara vertikal ke atas. Kedua himpunan koordinat koordinat ini harus dilapiskan (superimpose) secara tepat satu sama lain untuk memperoleh bagian grafik yang diinginkan mencakup seluruh area layar. Sekali Anda berhasil membuat program ini running, itu sesungguhnya adalah dasar / landasan dari grafik komputer untuk Kalkulus. Sebagai contoh, jika Anda ingin menyelidiki kelakuan dari sebuah fungsi, Anda hanya me-run program itu berulang ulang dengan berbagai interval. Ini seperti mengubah pembesaran (magnification) pada sebuah teleskop atau mikroskop. Dengan mengubah f(x) dan interval, maka kita dapat menggambarkan banyak sekali grafik grafik. Sebagai contoh kita dapat mengambarkan fungsi fungsi : FNY(X) = X^2 + 1 pada interval [-2, 2] FNY(X) = X^2 pada interval [-2, 2] FNY(X) = X^3 pada interval [-2, 2] FNY(X) = X^3 2 * X^2 + X 10 pada interval [-2, 2] FNY(X) = SIN (X) pada interval [ , ] Dan sebagainya. 2.2 Menggambarkan grafik fungsi bentuk polar. Jika Anda ingin sebuah program untuk menggambarkan kurva kurva dalam sistem koordinat polar, diperlukan beberapa modifikasi sederhana terhadap program di atas. Kita tahu bahwa bentuk umum sebuah fungsi dalam bentuk polar adalah : r = f(θ) di mana x = r cos Θ dan y = r sin Θ. Atau dapat ditulis sebagai :

5 Menggambar Grafik Fungsi Dengan Bantuan Komputer D-91 x = f(θ) cos Θ dan y == f(θ) sin Θ. Dalam program ditulis sebagai berikut : DIM X(200), Y(200) DEF FNR(Q) =.. DEF FNX(Q) = FNR(Q) * COS (Q) DEF FNY(Q) = FNR(Q) * SIN (Q) INPUT BERAPA BATAS BATAS PADA Q, Q8, Q9 Dan seterusnya. 2.3 Menggambarkan grafik fungsi parameter. Dengan cara yang sama, suatu modifikasi yang relatif sederhana dari program di atas memungkinkan Anda untuk membuat grafik sembarang pasangan fungsi fungsi dalam bentuk parameter, karena bentuk umum sebuah fungsi dalam bentuk parameter :: x = f1 (t) t = parameter y = f2 (t) a <= t <= b. Atau dalam program DIM X(200), Y(200) DEF FNX(T) =.. DEF FNY(T) = INPUT BERAPA BATAS BATAS UNTUK T, T8, T9 dst. 2.4 Menggambarkan grafik fungsi dengan cara lain Selain menggunakan program GRAFIK.BAS dan modifikasinya seperti di atas, kita juga dapat menggambarkan grafik grafik fungsi dengan menggunakan pernyataan pernyataan dalam QBASIC, seperti LINE, CIRCLE, DRAW dan sebagainya. Garis, bingkai, kotak dan bahkan kotak yang diblok dapat dilakukan dengan mudah pada modus grafis dengan menggunakan pernyataan LINE. Berbagai bentuk pernyataan LINE : LINE (X1, Y1) (X2, Y2) Pernyataan ini digunakan untuk membuat garis dari (X1, Y1) sampai (X2, Y2) dengan warna bawaan. LINE (X1, Y1) - (X2, Y2), W% Sama dengan pernyataan sebelumnya, hanya saja dengan pernyataan ini maka warna dapat diatur melalui parameter W% (0 3 untuk modus grafis 1 dan sebagainya). LINE (X1, Y1) (X2, Y2), [W%], B Pernyataan ini dipakai untuk membuat kotak yang mempunyai pojok kiri-atas (X1, Y1) dan pojok kanan-bawah (X2, Y2). Warna dapat diatur dengan mengisikan nilai pada parameter kedua (W%). LINE (X1, Y1) (X2, Y2),, BF Untuk membuat kotak yang diblok, dengan (X1, Y1) menyatakan pojok kiri-atas dan (X2, Y2) pojok kanan-bawah kotak. Suatu lingkaran, sektor, busur lingkaran maupun ellips dapat diperoleh dengan menggunakan pernyataan CIRCLE. CIRCLE (X, Y), R% Untuk membuat lingkaran yang berpusat pada (X, Y) dan berjari jari R%. CIRCLE (X, Y), R%, W% Sama dengan pernyataan di atas, hanya saja warna dapat diatur melalui W% (Misalnya, 0..3 untuk modus grafis 1).

6 D-92 Proceedings Komputer dan sistem Intelejen(KOMMIT2002) Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta, Agustus 2002 CIRCLE (X, Y), R%, [W%], Aw, Ak Untuk membuat busur lingkaran yang berpusat pada (X, Y), jari jari R% dimulai dari sudut Aw dan berakhir pada sudut Ak. Warna dapat diatur melalui parameter ketiga (W%). Sudut Aw dan Ak dinyatakan dalam radian (-2*π sampai 2*π dengan π = ). Jika Aw dan Ak bernilai negatip, hasilnya berupa sektor. CIRCLE (X, Y), R%, [W%], Aw, Ak, As Dengan mengatur nilai pada parameter keenam (As), suatu ellips dapat diperoleh. Nilainya berupa pecahan, misalnya 5/6 atau 4/3. Seperti halnya perintah CIRCLE sebelumnya, warna dapat diatur melalui parameter ketiga (W%). Setelah menggambar lingkaran atau ellips, titik acuan terakhir adalah titik pusat lingkaran atau ellips tersebut. Berikut disajikan satu contoh program sederhana untuk menggambar sebuah lingkaran yang diberi warna. Lingkaran digambar menggunakan statemen CIRCLE dan pengecatan dilakukan dengan statemen DRAW. Jika SCREEN 1 diganti dengan SCREEN 2, maka lingkaran menjadi ellips. Catatan : Jika Anda mencoba mencetak bentuk lingkaran di atas atau menangkap gambar lingkaran di atas menggunakan program penangkap gambar / screen capturing program (misalnya INSET atau PIZZAZ) mungkin tidak membentuk lingkaran yang benar benar bulat. Jika hal ini terjadi, Anda tidak perlu risau karena bukan programnya yang tidak tepat, tetapi karena fasilitas program penangkap gambar tersebut mungkin kurang memadai. Statemen PAINT digunakan untuk memberi warna pada suatu daerah tertutup dengan warna tertentu. Bentuk umum statemen ini adalah : PAINT (x, y) [, warna [, bwarna] [, lwarna]] dengan (x, y) : koordinat titik awal yang akan diberi warna; warna : kode warna gambar yang diinginkan; bwarna : warna garis batas gambar; lwarna : warna latar belakang. Koordinat (x, y) yang menunjukkan tititk awal pemberian warna, dapat terletak di dalam atau di luar gambar yang akan diberi warna. Jika terletak di dalam, maka bagian dalam dari gambar yang akan diberi warna, tetapi jika terletak di luar, maka bagian latar belakang gambar yang akan diberi warna. Berikut disajikan satu contoh program, yaitu program CAT.BAS untuk memberi warna pada gambar. WINDOW merupakan fasilitas yang memungkinkan untuk mmendefinisikan sistem koordinat sendiri. Misalnya tengah layar dinyatakan dengan koordinat (0, 0). Bentuk pernyataan WINDOW : Window (x1, y1) (x2, y2) Jika pernyataan ini dieksekusi, maka sistem koordinat yang baru mempunyai jangkauan dari ujung kiri ke kanan, yaitu X1 sampai X2, dan dari ujung bawah ke atas, yaitu Y1 sampai Y2. Selain bentuk tersebut, ada pula bentuk WINDOW yang berupa : WINDOW SCREEN (x1, y1) - (x2, y2) Pada bentuk ini, layar mempunyai sistem koordinat dari ujung kiri kekanan, yaitu X1 sampai dengan X2 dan dari ujung atas ke bawah, Y1 sampai dengan Y2. Dengan adanya pendefinisian dengan WINDOW, pernyataan grafis seperti PSET, PRESET, LINE, CIRCLE, GET dan PUT akan menyesuaikan terhadap sistem koordinat yang baru. Pada contoh : SCREEN 1, 0 WINDOW (-10, -5) (10, 5) PSET (0, 0), 1 PSET akan menempatkan pixel pada tengah tengah layar (bukan lagi pada pojok kiri atas layar).

7 Menggambar Grafik Fungsi Dengan Bantuan Komputer D-93 Pada modus grafis, bagian layar yang berbentuk persegi panjang dapat dipakai sebagai jendela penggambaran dengan menggunakan VIEW. Dengan perintah ini bagian luar jendela tak akan dipengaruhi oleh gambar yang dihasilkan oleh perintah perintah grafis. 3. Memodulasi Gambar & Grafik Kardioda 3.1 Memodulasi gelombang sinus. Pada gelombang AM (Amplitudo Modulation), amplitudo dari suatu gelombang sinus dimodulasi dengan gelombang sinus yang lain. Persamaan matematisnya adalah sebagai berikut : dengan y = a. sin (f1θ). sin(f2θ) a = Amplitudo gelombang f1 dan f2 = frekuensi gelombang pemodulasi dan yang dimodulasi. Penuangan dari persamaan ini ke dalam program MODULASI.BAS dapat dilihat pada layar imfokus. 3.2 Memodulasi lingkaran Program yang menunjukkan pemodulasian terhadap lingkaran dapat dilihat pada Program MODKOTAK.BAS, di mana pemodulasinya adalah gelombang kotak. Dapat juga pemodulasi lingkaran berupa gelombang sinus. 3.3 Grafik Kardioda Grafik kardioda dapat dilihat pada program KARDIODA.BAS. Program ini menggambarkan pola pola kardioda dari derajat 1 hingga derajat 10. Catatan : Dalam Kalkulus, bentuk kardioda derajat 1 mempunyai persamaan dalam bentuk polar sebagai berikut : r = a ( 1 + cos φ ), a > 0. Karena r >= 0, maka 1 + cos φ >= 0 - cos φ >= -1. berlaku untuk setiap φ Jadi domainnya : D = { φ! 0 <= φ <= 2 π }. Dengan membuat daftar nilai, di mana φ sebagai variabel bebas dan r sebagai variabel terikat, diperoleh titik titik dan hubungkan titik titik itu -- diperoleh gambar grafik kardioda seperti itu. Sedangkan kardioda derajat dua pada gambar grafik dari program KARDIODA.BAS, mirip seperti lemniscate (dalam arah horizontal) dalam Kalkulus. Persamaan lemniscate dalam bentuk polar adalah : r^2 = 2a^2 cos 2 φ.. Untuk kardioda berderajat selanjutnya merupakan kurva kurva berdaun tiga, berdaun empat dan seterusnya. 4. Menggambar Secara Rekursi 4.1 Kurva C, Kurva Koch dan Pohon Fraktal. Rekursi merupakan suatu proses memanggil diri sendiri. Cara ini bisa diterapkan baik pada prosedur (prosedur subrutin ataupun prosedur fungsi) maupun fungsi. Sebagai contoh adalah pada masalah untuk memperoleh nilai faktorial, yang didefinisikan sbb. :

8 D-94 m! = 1 jika m = 0 1 * 2 * 3 *.* m jika m > 0 Proceedings Komputer dan sistem Intelejen(KOMMIT2002) Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta, Agustus 2002 Penuangan dalam bentuk prosedur fungsi : FUNCTION Faktorial (N%) IF N% = 0 THEN Faktorial = 1 ELSE Faktorial = N% * Faktorial (N% - 1) END IF END FUNCTION Proses rekursi dapat dimanfaatkan untuk membentuk berbagai gambar, seperti kurva C, kurva Koch ataupun pohon fraktal. Kurva Koch pertama kali ditemukan pada tahun 1904 oleh seorang matematikawan Swedia bernama Helve von Koch. Kurva dibentuk antara suatu titik dengan titik lain. Pada derajat pertama, kurva berupa garis lurus. Pada derajat kedua, sepertiga dari panjang garis dibentuk menjadi sebuah segi tiga. Pada derajat derajat selanjutnya, setiap sepertiga bagian dari garis lurus akan dibentuk tonjolan segitiga. Sesuai dengan namanya, kurva C berbentuk huruf C (lihat Gambar). Sebuah contoh yang menarik mengenai rekursi yaitu untuk membentuk pohon fraktal. Idenya didasarkan pada bentuk dasar pohon yang terlihat pada Gambar. Berdasarkan gambar tersebut, ranting - ranting pohon juga dibentuk mewarisi sifat sifat tersebut dan hal ini dapat dilaksanakan dengan rekursi. 4.2 Fraktal Ilmu pengetahuan dan matematika selalu mendapat perhatian dalam dunia keotik (chaotic). Ilmu chaos merupakan cerita terbaru, mengapa disebut chaos (kekacauan)? Karena ia menemukan keteraturan dalam suatu fenomena yang orang orang pertama kali melihatnya sebagai suatu yang sangat kacau, dan fenomena itu tetap tak terduga dan tak terkontrol.. Sampai saat ini, kita menggunakan garis sebagai bahan dasar untuk memahami alam semesta. Ilmu chaos menggunkan geometri yang berbeda yang disebut dengan fraktal. Beberapa contoh yang dapat dimodelkan dengan fraktal dan memberikan hasil yang lebih baik adalah tanaman atau tumbuhan, cuaca, aliran fluida, aktivitas geologi, orbit planet, ritme tubuh manusia, sifat sifat sekelompok hewan, pola sosio ekonomik dan masih banyak yang lain. Fraktal tidak dapat dipisahkan dengan Matematika. 5. Kesimpulan dan Saran Menggambarkan grafik fungsi dengan bantuan komputer mempunyai efek / akibat yang luas dalam Matematika. Misalnya, dengan mengenal gambar gambar tertentu dapat digunakan dalam Kalkulus, seperti memperoleh batas - batas integrasi dalam aplikasi integral tertentu, misalnya menghitung luas suatu daerah, menghitung volume benda putar, menghitung panjang busur, menghitung luas permukaan putar, menghitung masa suatu daerah (luasan), dan sebagainya. Dari penggambaran fraktal dikembangkan menjadi suatu cabang baru Matematika yaitu bidang Geometri Fraktal yang berguna dalam ilmu pengetahuan dan bagi ilmuwan, bukan hanya untuk Matematika saja Penulis menyarankan kepada rekan rekan yang berminat untuk mengexplore atau mengembangkan menggambarkan grafik fungsi dengan bantuan komputer, dengan mempelajari referensi yang ada.

9 Menggambar Grafik Fungsi Dengan Bantuan Komputer D-95 Juga penulis menyarankan, selain dengan menggunakan software QBASIC, juga dapat dicoba dengan software lainnya seperti Pascal, FORTRAN atau Bahasa C dan sebagainya. Selamat mencoba! 6. Daftar Pustaka [1] Abdul Kadir, Pemrograman QBASIC. Panduan Untuk BelajarSendiri Bahasa BASIC. Edisi Pertama, Cetakan Pertama, Yogyakarta : Andi Offset, [2] Gordon, Sheldon P., Calculus and the Computer, Boston : Prindle, Weber & Schmidt Publishers, [3] Oliver, Dick, Fractal Vision. Put Fractals to Work for You, Terjemahan : P. Insap Santosa, Memandang Realita dengan Fractal Vision, Yogyakarta :Andi Offset, [4] P. Insap Santosa, Program Program Terapan Menggunakan Quick BASIC, Edisi Kedua, Cetakan Kedua, Yogyakarta : Andi Offset, [5] Yap Wie, Mengenal Microsoft Quick BASIC, Edisi Pertama, Cetakan Pertama, Yogyakarta : Andi Offset, [6] Yusuf Yahya, Penuntun Praktikum Komputer. Kalkulus Diferensial Integral, Pelatihan Dasar MIPA Dasar Perguruan Tinggi Negri Seluruh Indonesia Untuk Dosen Dosen Non MIPA, Depok : Jurusan Matematika, FMIPA Univ. Indonesia, [7] Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. & Agus S., Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi, Cetakan Keempat, Jakarta : Ghalia Indonesia, 1991.