FILTER KALMAN SKRIPSI

Transkripsi

1 FILTER KALMAN SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun oleh: Auxilia Maria Aroran NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i

2 A KALMAN FILTER THESIS Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program Written by: Auxilia Maria Aroran Student ID: MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017 ii

3 SKRIPSI FILTER KALMAN Disusun oleh: Auxilia Maria Aroran NIM: Dosen Pembimbing Skripsi Telah disetujui oleh: (Hartono, Ph.D) Tanggal: 31 Januari 2017 iii

4 SKRIPSI FILTER KALMAN Dipersiapkan dan ditulis oleh: Auxilia Maria Aroran NIM: Telah dipertahankan di hadapan Panitia Penguji Pada tanggal 31 Januari 2017 Dan dinyatakan telah memenuhi syarat SUSUNAN PANITIA Nama Lengkap Tanda Tangan Ketua : Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.... Sekretaris : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.... Anggota : Hartono, Ph.D.... Yogyakarta, 31 Januari 2017 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan, Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Skripsi ini saya persembahkan untuk Tuhan Yesus dan Bunda Maria Kedua Orang Tua, Nixon Aroran dan Maryke Pontoan Adik Lafio Aroran & Adik ipar Cyprianus Warouw Keponakan Karlen Junno Aquinas Warouw Kakek, Nenek, Keluarga Besar dan Sanak Saudara Pastor Yong Ohoitimur dan keluarga besar Yayasan Pendidikan Lokon Almamater tercinta, Universitas Sanata Dharma v

6 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 31 Januari 2017 Auxilia Maria Aroran vi

7 ABSTRAK Filter Kalman adalah proses pendugaan keadaan optimal yang diterapkan pada suatu sistem dinamis dan melibatkan derau acak. Pendugaan ini bersifat rekursif, sehingga memudahkan peneliti ataupun teknisi dalam menangani data yang terus bertambah dalam periode waktu tertentu. Tujuan dari tulisan ini yaitu menurunkan algoritma filter Kalman, yaitu algoritma untuk menduga keadaan optimal dari suatu sistem dinamis, baik diskret maupun kontinu. Simulasi algoritma filter Kalman dilakukan dengan menggunakan software MATLAB R2010a. Hasilnya menunjukkan bahwa filter Kalman dapat menghasilkan penduga yang memiliki sifat kovariansi eror minimum. Kata kunci: filter Kalman, derau, error, kovariansi, sistem dinamis, penduga kuadrat terkecil rekursif, algoritma. vii

8 ABSTRACT Kalman filter is an estimation process of optimal state, which applied to a dynamic system that involves noise. This estimation is recursive so that it is easily applied by scientist or engineer in handling data which grows continuously within a certain period of time. The purpose of this thesis is to derive the Kalman filter algorithm, which is used to estimate the optimal state of a dynamic system, including discrete and continuous models. The simulation is done using MATLAB R2010a. The result shows that Kalman filter gives a good estimator, which has minimum error covariance. Keywords: Kalman filter, noise, error, covariance, dynamic system, recursive least square estimation, algorithm. viii

9 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Auxilia Maria Aroran NIM : Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: Filter Kalman beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 31 Januari 2017 Yang menyatakan Auxilia Maria Aroran ix

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur kepada Tuhan atas berkat dan penyertaannya sampai pada saat penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Skripsi yang berjudul Filter Kalman ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma. Selama proses penyusunan, tentu saja penulis menemui berbagai macam hambatan sampai akhirnya bisa selesai berkat penyertaan Tuhan dan dukungan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih atas berbagai dukungan yang diterima ingin disampaikan oleh penulis kepada: 1. Bapak Hartono, Ph.D., selaku dosen pembimbing skripsi, sekaligus Ketua Program Studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademis atas semua bentuk bimbingan dan saran yang diberikan baik selama proses penyusunan skripsi, maupun sejak penulis berada di Program Studi Matematika ini. 2. Bapak/Ibu/Romo dosen yang telah membagikan ilmu pengetahuannya selama penulis menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 3. Keluarga dan sanak saudara di Manado atas segala bentuk doa, dukungan, dan dorongan sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. 4. Yayasan Pendidikan Lokon yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di USD, serta dorongan dan semangat yang telah diberikan sampai penulis bisa menyelesaikan skripsi. 5. Teman-teman Matematika USD angkatan 2012 (Ajeng, Anggun, Arum, Boby, Budi, Dewi, Ega, Fherny, Hepi, Ilga, July, Lia, Manda, Noni, Putri, Risma, x

11 Ryan, Sila, Tika) atas semangat dan dorongan selama penulisan, juga selama berdinamika bersama sebagai bagian dari keluarga Prodi Matematika USD. 6. Keluarga Besar Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, kakak-kakak dan adik-adik angkatan, juga keluarga besar FST USD, karyawan dan staff yang baik secara langsung maupun secara tidak langsung memberikan bantuan kepada penulis. 7. Zilvi, Tri, dan juga teman-teman befi yang memberikan semangat dan menjadi teman diskusi selama penulis mengerjakan skripsi, serta BF dan semua pihak yang tidak sempat disebutkan, yang secara tidak langsung telah menyemangati penulis sehingga bisa menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari, bahkan dengan bantuan dan keterlibatan dari berbagai pihak, tulisan ini adalah karya dari penulis, manusia biasa yang tak luput dari kesalahan. Oleh karena itu, penulis dengan tangan terbuka menerima segala bentuk kritik dan saran dari pembaca sekalian. Semoga kiranya tulisan ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Yogyakarta, 31 Januari 2017 Penulis xi

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN PERSEMBAHAN... v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR TABEL... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 5 C. Pembatasan Masalah... 5 D. Tujuan Penulisan... 5 E. Manfaat Penulisan... 6 F. Metoda Penelitian... 6 G. Sistematika Penulisan... 6 xii

13 BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL... 9 A. Matriks... 9 B. Variabel Acak dan Proses Stokastik C. Penduga Kuadrat Terkecil BAB III FILTER KALMAN A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah C. Derau Proses Pendugaan D. Derau Pengukuran E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu F. Linearisasi Filter Kalman G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret BAB IV SIMULASI FILTER KALMAN A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii

14 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Bagan Penerapan Filter Kalman... 3 Gambar 1.2 Algoritma Filter Kalman... 4 Gambar 2.1 Pendugaan kuadrat terkecil & nya Gambar 2.2 Pendugaan kuadrat terkecil berbobot & nya Gambar 2.3 Pendugaan kuadrat terkecil rekursif & nya Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori, dan kovariansi pendugaannya Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman Gambar 3.4 pengukuran dan pendugaan untuk contoh Gambar 4.1 Pendugaan konstan Gambar 4.2 pendugaan konstan Gambar 4.3 Variansi pendugaan konstan Gambar 4.4 Posisi kendaraan & nya Gambar 4.5 Kecepatan kendaraan & nya xiv

15 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman Tabel 4.1 Data hasil simulasi filter Kalman untuk menduga suatu konstan Tabel 4.2 Data hasil simulasi filter Kalman untuk menduga posisi dan kecepatan Tabel 4.3 Tujuan dan metode filter Kalman yang berkaitan Tabel 5.1 Filter Kalman dengan waktu diskret Tabel 5.2 Filter Kalman dengan waktu kontinu Tabel 5.3 Perluasan Filter Kalman dengan waktu kontinu Tabel 5.4 Perluasan Filter Kalman dengan waktu diskret xv

16 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Pada tahun 1960, R.E. Kalman menerbitkan paper yang mendeskripsikan suatu solusi rekursif terhadap masalah filter data diskret linear, yang kemudian dikenal dengan nama Filter Kalman. Filter yang dimaksud adalah sebuah algoritma pemrosesan data. Pada umumnya, filter bertujuan untuk memperoleh pendugaan optimal atas suatu susunan data. Sama seperti filterfilter lainnya, filter Kalman juga bertujuan untuk memperoleh pendugaan optimal atas data yang diberikan oleh sumber berderau. Filter Kalman adalah proses pendugaan keadaan optimal yang diterapkan pada suatu sistem dinamis dan melibatkan derau acak. Optimal di sini berarti meminimalkan error. Filter Kalman disebut juga sebagai penduga kuadrat terkecil linear karena meminimalkan rata-rata kuadrat pendugaan suatu sistem linear stokastik. Terdapat tiga alasan dasar mengapa sistem deterministik dan teori kontrol tidak cukup akurat dalam analisis, antara lain: Tidak ada model sistem matematis yang sempurna. Sistem dinamis dipengaruhi bukan hanya oleh kontrol input awal, tetapi juga oleh gangguan-gangguan yang tak terkontrol atau tak bisa dimodelkan secara deterministik. Sensor tidak memberikan data yang sempurna dan lengkap dari sebuah sistem 1

17 2 Filter Kalman menggabungkan semua pengukuran yang tersedia, tanpa memperhatikan ketepatannya, untuk menduga nilai terbaru dari variabel yang diteliti dengan menggunakan (1) pengetahuan tentang sistem dan alat pengukuran, (2) deskripsi statistis dari derau sistem, pengukuran, dan ketidakpastian dalam model dinamis, dan (3) informasi yang tersedia tentang keadaan awal dari variabel yang diteliti. Salah satu yang membedakan filter Kalman dengan konsep pemrosesan data tertentu adalah konsep rekursif. Dengan sifat rekursif ini, filter Kalman tidak perlu menyimpan semua data yang sebelumnya telah diperoleh kemudian memroses kembali semua data tersebut setiap diperoleh data pengukuran yang baru. Tujuan utama dari filter kalman yaitu untuk menduga keadaan dari sistem dinamis. Keadaan yang akan diduga yaitu pada sistem dinamis dari pengetahuan tentang hasil pengukuran dengan,, dan adalah matriks transisi keadaan, matriks input, dan matriks output. Vektor- vektor,, dan masing-masing menyatakan vektor keadaan, vektor kontrol, dan vektor output, sedangkan dan merupakan proses derau yang terlibat. Untuk lebih jelasnya lihat gambar 1.1. Filter Kalman telah digunakan secara luas dalam berbagai bidang industri dan pemerintahan, seperti sistem tracking pada video dan laser, navigasi satelit, pendugaan trayektori rudal balistik, radar, dan pengontrol tembakan.

18 3 Dengan berkembangnya komputer berkecepatan tinggi, filter Kalman menjadi lebih berguna dalam aplikasi masa kini. Secara sederhana, penerapan filter Kalman pada suatu sistem dapat dilihat seperti pada gambar. Gambar 1.1 Bagan penerapan filter Kalman Meskipun Filter Kalman sering digunakan, teori matematika dibalik proses Filter Kalman tidak begitu dimengerti oleh penggunanya, karena sebagian besar hanya menggunakan algoritmanya saja tanpa mengetahui bagaimana asal-usul algoritma tersebut. Oleh karena itu, penulis akan berusaha untuk memberikan penjelasan tentang bagaimana algoritma filter Kalman ini diperoleh. Algoritma filter Kalman bermula dari pedugaan kuadrat terkecil dengan mengikuti langkah-langkah penurunan sebagai berikut: 1. Mulai dengan deskripsi matematis dari suatu sistem dinamis yang akan diduga.

19 4 2. Menerapkan persamaan yang mendeskripsikan bagaimana rata-rata dari keadaan yang diteliti dan kovariansinya merambat bersesuaian dengan waktu. 3. Pilih sistem dinamis yang menggambarkan perambatan rata-rata dan kovariansi keadaan tersebut kemudian menerapkan persamaan yang diperoleh. Persamaan ini merupakan dasar dari penurunan Filter Kalman sebab rata-rata dari keadaan tersebut merupakan pendugaan Filter Kalman atas keadaan tersebut. 4. Setiap kali hasil pengukuran diperoleh, maka rata-rata dan kovariansinya akan diperbaharui secara rekursif. Algoritma filter Kalman dapat dicantumkan dalam bagan sebagai berikut. Gambar 1.2 Algoritma filter Kalman Penjelasan mengenai bagaimana memperoleh persamaan-persamaan seperti pada gambar akan dijelaskan pada bab ketiga dari tulisan ini.

20 5 Sebelumnya, pada bab kedua akan dibahas terlebih dahulu tentang teori-teori dasar yang dibutuhkan, khususnya pendugaan kuadrat terkecil. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, masalah-masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini antara lain: 1. Bagaimana proses untuk memperoleh algoritma filter Kalman? 2. Bagaimana contoh simulasi filter Kalman dalam kehidupan sehari-hari? C. Pembatasan Masalah Masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini dibatasi sebagai berikut: 1. Filter Kalman yang dibahas dalam tulisan ini adalah filter Kalman dengan waktu diskret dan waktu kontinu, sampai pada perluasannya. 2. Jenis-jenis filter Kalman seperti Ensemble Kalman Filter (EnKF), Adaptive Kalman Filter (AKF) dan lainnya tidak akan dibahas dalam tulisan ini. 3. Sifat tak bias dari penduga pada filter Kalman tidak dibahas dalam tulisan ini. D. Tujuan Penulisan Tujuan yang ingin dicapai oleh penulis selain untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma, yaitu sebagai berikut:

21 6 1. Menjelaskan bagaimana proses memperoleh algoritma filter Kalman. 2. Memberi contoh simulasi filter Kalman dan penerapan filter Kalman dalam berbagai bidang. 3. Memperluas wawasan pembaca tentang aplikasi ilmu matematika khususnya mengenai filter Kalman. E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini. 2. Pembaca mendapat gambaran tentang aplikasi ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari, yaitu penerapan filter Kalman. F. Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku dan/atau jurnal yang membahas tentang Filter Kalman maupun aplikasinya. G. Sistematika Penulisan BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan

22 7 E. Manfaat Penulisan F. Metode Pemulisan G. Sistematika Penulisan BAB II. LANDASAN TEORI A. Matriks B. Derau Putih C. Penduga Kuadrat Terkecil BAB III. FILTER KALMAN A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah C. Derau Proses Pendugaan D. Derau Pengukuran E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu F. Linearisasi Filter Kalman G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret BAB IV. SIMULASI FILTER KALMAN A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

23 8 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

24 BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori untuk mempelajari filter Kalman pada bab selanjutnya. Sebelumnya telah disebutkan bahwa filter Kalman juga merupakan penduga kuadrat terkecil. Oleh karena itu, pokok dari bab ini adalah membahas mengenai penduga kuadrat terkecil. Selain itu, terdapat beberapa materi berkaitan yang juga perlu untuk dibahas terlebih dahulu, yaitu matriks dan proses stokastik. Materi-materi tersebut dirangkum dalam subbab-subbab berikut. A. Matriks Materi tentang matriks yang akan dibahas dalam subbab ini adalah lemma invers matriks, maktriks pseudo invers, kalkulus matriks, dan matriks definit positif. Pembahasan materi-materi berikut didasari dengan asumsi bahwa pembaca telah menguasai konsep-konsep dasar aljabar linear seperti sistem linear, operasi aljabar matriks, invers matriks, ruang baris dan ruang kolom, serta ruang hasilkali dalam. 1. Lemma Invers Matriks Pada bagian ini akan dibahas tentang lemma invers matriks yang nantinya akan digunakan pada bagian selanjutnya. Lemma invers matriks juga sering digunakan dalam teori estimasi dan pemrosesan signal. 9

25 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10 Misalkan terdapat matriks gabungan matriks matriks dengan, keduanya tak singular, sedangkan. Definisikan matriks dan matriks matriks dengan maka: a. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa merupakan invers dari b. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa juga merupakan invers dari c. Bukti a. b., dan

26 11 c. Dari a dan b, matriks dan matriks keduanya merupakan invers dari matriks sehingga berdasarkan teorema ketunggalan invers, kedua matriks tersebut sama. Dan dengan kesamaan dua matriks, diperoleh. Selanjutnya, karena dan, maka yaitu Bentuk ini disebut lemma invers matriks. Bentuk lainnya yang ekuivalen Untuk memahami lebih jelas, berikut ini diberikan contoh penggunaan lemma invers di atas. Contoh 2.1 Misalkan terdapat matriks Invers dari matriks adalah

27 12 Akan dicari invers dari matriks. Tanpa menghitung invers matriks dari awal, dapat diperoleh dengan menggunakan hasil invers dari matriks. Perhatikan bahwa, dengan,, dan Dengan menggunakan lemma invers matriks, diperoleh 2. Matriks Pseudo Invers Selain lemma invers matriks, matriks pseudo invers juga akan disebutkan pada bagian selanjutnya, sehingga penting untuk dibahas sebelumnya. Bentuk pseudo invers dari matriks merupakan perumuman dari matriks invers yang biasanya, dimana matriks tidak harus memenuhi semua sifat-sifat matriks yang bisa dibalik. Misalkan matriks. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa ruang baris dari paling banyak berdimensi dan ruang kolomnya paling banyak berdimensi. Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi yang sama (rank dari ), jika, maka rank dari paling besar adalah nilai yang lebih kecil antara nilai-nilai dan, yaitu

28 13 Singularitas matriks dibutuhkan untuk menentukan matriks pseudo invers dari. Berikut diberikan teorema tentang singularitas matriks. Teorema 2.1 Bukti Jika merupakan matriks dengan rank penuh, maka tak singular. Teorema akan terbukti dengan memperlihatkan jika untuk sebarang, maka. Jika maka dengan mengalikan kedua ruas dengan, diperoleh, sehingga. Karena mempunyai rank penuh, diperoleh. Dengan demikian, terbukti tak singular. Jika merupakan matriks dengan rank kolom penuh, yaitu, maka tidak singular, jadi punya invers. Bentuk disebut pseudo invers kiri dari, dimana. Rank dari dan adalah. Jika merupakan matriks dengan rank baris penuh, yaitu, maka tidak singular, jadi punya invers. Selanjutnya, bentuk disebut pseudo invers kanan dari. Rank dari dan adalah. Berikut diberikan contoh untuk mencari pseudo invers dari matriks.

29 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14 Contoh 2.2 Misalkan terdapat matriks dengan dan.. Diperoleh adalah matriks, dan. Matriks adalah matriks singular, sedangkan mempunyai invers, yaitu kirinya tidak terdefinisi karena. Pseudo invers bukan matriks dengan rank kolom penuh, sedangkan pseudo invers kanannya adalah dengan 3.. Kalkulus Matriks Bagian selanjutnya adalah kalkulus matriks. Bagian ini akan membahas definisi-definisi tentang turunan matriks, serta persamaan-persamaan yang dihasilkannya. Bagian ini penting dikuasai untuk digunakan dalam mencari nilai minimum suatu fungsi objektif dalam bentuk matriks.

30 15 Definisi 2.1 Misalkan matriks, dimana elemen-elemennya berupa fungsi terhadap waktu. Didefinisikan turunan matriks sebagai berikut menyebabkan merupakan matriks konstan sehingga turunannya sama dengan nol. Penurunan dapat juga dihitung dengan Karena turunannya sama dengan nol, maka dapat diperoleh turunan dari yaitu Definisi 2.2 (Turunan parsial fungsi terhadap vektor) Misalkan vektor dan fungsi skalar dari elemen-elemen, maka turunan parsial fungsi terhadap vektor adalah Definisi 2.3 (Turunan parsial fungsi terhadap matriks) Misalkan matriks dan fungsi skalar. Turunan parsial terhadap matriks adalah

31 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16 Dengan definisi-definisi tersebut, dapat dihitung turunan parsial dari hasil perkalian antara dua vektor. Misalkan Dengan cara yang sama, diperoleh Untuk bentuk kuadratik turunan parsialnya adalah dan vektor kolom dengan elemen.

32 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17 Jika matriks simetri, maka sehingga diperoleh Definisi 2.4 (Turunan parsial vektor terhadap vektor lain) Misalkan dan Jika salah satu dari. Maka maupun ditranspos, maka turunan parsialnya juga ditranspos, yaitu Dari definisi-definisi di atas, dapat diperoleh persamaan-persamaan berikut. Misalkan matriks dan vektor. Maka

33 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 Definisi 2.5 (Turunan parsial trace matriks Misalkan matriks Turunan parsial Jika dan terhadap matriks ) matriks terhadap matriks simetri, maka diperoleh adalah.

34 19 4. Matriks Definit Positif Bagian selanjutnya akan membahas tentang matriks definit positif. Matriks definit positif berperan penting dalam menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif. Berikut merupakan beberapa hal yang perlu diingat tentang matriks definit positif. Definisi 2.6 Matriks simetri disebut definit positif jika untuk semua vektor yang tak nol. Teorema 2.2 Jka mempunyai rank penuh, maka merupakan matriks definit positif Bukti Karena, maka matriks simetri. Selanjutnya, mempunyai rank penuh, tidak nol untuk sebarang taknol. Jadi perkalian titik. Dan untuk sebarang vektor, diperoleh, jadi berdasarkan definisi, adalah matriks definit positif. Definisi 2.7 Matriks Hessian adalah matriks simetri yang elemen-elemennya merupakan turunan parsial kedua dari suatu fungsi skalar terhadap suatu

35 20 vektor. Misalkan terdapat suatu fungsi dan vektor, matriks Hessian dari fungsi adalah matriks, dimana, yaitu Teorema 2.3 Titik stasioner meminimumkan jika matriks Hessian dari yang dievaluasi pada adalah definit positif. Bukti Ekspansi Taylor sampai orde kedua di sekitar adalah Karena titik stasioner, maka jadi minimumkan fungsi ketika ruas kanan pada persamaan

36 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21 bernilai positif. Padahal jika ruas kanan tersebut ditulis dalam bentuk matriks diperoleh Sedangkan merupakan matriks Hessian dari sehingga pada meminimumkan. Jadi adalah matriks definit positif, ketika matriks Hessian dari yang dievaluasi definit positif. B. Variabel Acak dan Proses Stokastik Sub-bab ini akan membahas mengenai variabel acak dan proses stokastik. Namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu beberapa teori dasar peluang. Peluang kejadian dengan dan didefinisikan dengan merupakan banyaknya anggota ruang sampel pada kejadian, merupakan banyaknya semua anggota ruang sampel, dengan Misalnya dalam pelemparan dadu, Peluang kejadian, maka.. munculnya mata dadu 4 pada permukaan dadu adalah. Sedangkan dalam pelemparan 2 dadu berbeda secara bersamaan,

37 22 terdapat 36 anggota ruang sampel, yaitu, dan peluang kejadian munculnya mata dadu 2 dan 3 dalam sekali pelemparan adalah, sebab, dan. Peluang suatu kejadian juga bisa berkaitan dengan peluang kejadian yang lainnya. Peluang terjadinya kejadian setelah terjadi disebut peluang bersyarat. Secara matematis, peluang bersyarat didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.8 Peluang terjadinya kejadian terjadi setelah kejadian adalah dengan adalah peluang kejadian dan keduanya terjadi. Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian lainnya. Secara matematis, terdapat beberapa cara untuk menyatakan kejadian dan saling bebas, yaitu Variabel acak didefinisikan sebagai suatu pemetaan fungsional dari himpunan hasil percobaan ke himpunan bilangan real. Sebagai contoh, hasil pelemparan dadu dapat dilihat sebagai variabel acak jika munculnya mata dadu 1 pada permukaan dadu dipetakan ke bilangan satu, mata dadu 2 dipetakan ke bilangan dua, dan seterusnya.

38 23 Sebuah variabel acak bisa kontinu atau diskret. pelemparan dadu merupakan variabel acak diskret, sebab hasil realisasinya merupakan himpunan nilai-nilai yang diskret. Pengukuran temperatur merupakan variabel acak kontinu karena hasil realisasinya merupakan himpunan nilainilai yang kontinu. Baik variabel acak diskret maupun kontinu, keduanya memiliki fungsi densitas peluang dan fungsi distribusi kumulatif. Fungsifungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.9 merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak diskret jika untuk setiap berlaku Definisi 2.10 merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak kontinu jika berlaku untuk semua

39 24 Definisi 2.11 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskret dengan fungsi densitas peluang adalah, dimana Definisi 2.12 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang adalah, dimana Masing-masing variabel acak mempunyai karakteristik, seperti rata-rata atau nilai harapan dan variansi. Definisi rata-rata atau nilai harapan dari variabel acak didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.13 Misalkan variabel acak dengan fungsi densitas peluang. Ratarata atau nilai harapan dari adalah

40 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 Variansi dari variabel acak menunjukkan seberapa besar variabel acak akan bervariasi dari rata-ratanya. Dalam kasus-kasus tertentu, misalnya jika variabel acak hanya memiliki satu nilai (misalnya jika pada saat melempar dadu selalu muncul mata dadu 4), maka disebut bahwa variansi dari dengan 0. Kasus lainnya adalah jika nilai dari berada di antara peluang yang sama, maka disebut bahwa variansi dari sama dengan sama dengan. Variansi dari variabel acak didefinisikan secara formal sebagai berikut. Definisi 2.14 Misalkan variabel acak dengan fungsi densitas peluang rata. Variansi dari dan rata- adalah Standar deviasi dari variabel acak dinotasikan dengan, merupakan akar kuadrat dari variansi. Perhatikan bahwa variansi bisa ditulis Notasi digunakan untuk menyatakan bahwa variabel acak dengan rata-rata dan variansi. merupakan

41 26 Sebuah variabel acak kontinu disebut Gaussian atau normal jika fungsi densitas peluangnya yaitu Selanjutnya misalkan terdapat dua variabel acak yaitu dan. Sama halnya dengan kejadian saling bebas, Variabel acak dan dikatakan saling bebas jika memenuhi Akibatnya, Kovariansi dari variabel acak skalar dan adalah Proses stokastik merupakan variabel random yang berubah-ubah menurut waktu, sehingga fungsi distribusi dan fungsi densitasnya merupakan fungsi terhadap waktu. Fungsi distribusi kumulatif dari adalah Rata-rata dan kovariansi dari juga merupakan fungsi dari waktu, yaitu

42 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27 Perhatikan bahwa pada waktu acak yang berbeda, yaitu dan dan merupakan dua variabel. Jika kedua variabel acak saling bebas, untuk semua (white noise). Jika tidak, maka dan, maka disebut derau putih disebut derau berwarna. C. Penduga Kuadrat Terkecil Penduga kuadrat terkecil adalah dasar dari penurunan algoritma filter Kalman. Sub-bab ini akan membahas mengenai penduga kuadrat terkecil berbobot dan penduga kuadrat terkecil rekursif. 1. Penduga Kuadrat Terkecil Berbobot Misalkan dan adalah vektor konstan dengan -elemen yang tidak diketahui, adalah vektor hasil pengukuran yang mengandung komponen derau dengan elemen. Untuk mencari penduga terbaik elemen pengukuran pada vektor elemen dalam vektor dari, dimisalkan setiap sebagai kombinasi linear dari elemen- dengan ditambah derau pengukuran, yaitu Dalam bentuk matriks,

43 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28 dengan adalah vektor dengan elemen,, yang memiliki elemen, vektor pengukuran dengan matriks observasi berukuran elemen. Selisih antara dan, dan vektor derau didefinisikan dengan, yaitu dan disebut sebagai sisa pengukuran. Menurut Karl Gauss, nilai yang paling mungkin untuk vektor adalah vektor kuadrat dari selisih antara nilai dicari yang meminimumkan jumlah yang diamati dengan vektor. Jadi akan yang meminimumkan fungsi objektif, dimana Substitusi, diperoleh mencapai minimum saat turunan parsial pertamanya terhadap sama dengan nol, yaitu Vektor yaitu kemudian diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut,

44 29 Dengan, pseudo invers kiri dari matriks ada jika dan matriks dengan rank penuh. Dalam setiap pengukuran, terdapat derau yang variansinya bisa berbeda. Dengan variansi yang berbeda-beda, dimisalkan Penduga kuadrat terkecil berbobot bisa diperoleh dengan menurunkan fungsi objektif yang sisa pengukurannya berdistribusi normal. Dengan asumsi bahwa derau dari setiap pengukuran mempunyai rata-rata 0 dan saling bebas, matriks kovariansinya adalah Pendugaan yang melibatkan variansi derau pengukuran inilah disebut pendugaan kuadrat terkecil berbobot. Dalam pendugaan ini, fungsi objektif yang akan diminimumkan adalah Fungsi objektif tersebut dapat juga ditulis

45 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30 mencapai minimum ketika sehingga diperoleh Perhatikan bahwa ketika mempunyai rank adalah matriks Hessian yang definit positif, sehingga bisa dipastikan bahwa meminimumkan fungsi objektif. Berikut diberikan contoh pendugaan kuadrat terkecil sebelum dan sesudah diboboti. Contoh 2.3 Misalkan diperoleh data hasil pengukuran ( ) berturut-turut 0.98, 0.37, 0.88, 0.91, 0.79, 0.67, 0.72, 0.65, 0.49, dan Akan dicari garis yang bisa mewakili hasil pengukuran tersebut. Dalam bentuk matriks bisa ditulis

46 31 Dengan metode kuadrat terkecil, diduga dengan, diperoleh persamaan hasil pendugaan yaitu, dengan jumlah kuadrat nya Plot hasil perhitungan dan perhitungannya adalah sebagai berikut. Gambar 2.1 (a) Pendugaan kuadrat terkecil (b) error pendugaan Setelah diboboti, diduga dengan, sehingga diperoleh persamaan hasil pendugaan, dengan. Plot hasil pendugaan dan pendugaan setelah diberi bobot adalah sebagai berikut

47 32 Gambar 2.2 (a) Pendugaan kuadrat terkecil berbobot (b) error pendugaan Meskipun dengan hasil pengukuran yang sama, kedua gambar menampilkan plot yang berbeda. Pada gambar 1, plot diperoleh dengan asumsi bahwa tingkat ketelitian semua data sama besar. Sedangkan pada gambar 2, diasumsikan bahwa masing-masing data memiliki tingkat ketelitian yang berbeda. Data-data yang lebih teliti diberikan bobot yang lebih besar. Pemboboton ini membuat data-data tersebut lebih bernilai, sehingga perhitungan akan lebih memperhatikan data-data dengan bobot lebih besar. 2. Penduga Kuadrat Terkecil Rekursif Setiap diperoleh pengukuran yang baru, diperoleh juga matriks baru yang ukurannya bersesuaian dengan banyaknya pengukuran. Jika pengukuran diperoleh secara berturut-turut, pendugaan dilakukan setiap kali didapat

48 33 hasil pengukuran yang baru. Dengan demikian, pada setiap pengukuran akan diperoleh juga matriks baru. Selanjutnya ketika pendugaan dilakukan kembali dengan matriks yang baru, pendugaan berikutnya akan menmberikan hasil yang berbeda. Ketika banyaknya hasil pengukuran meningkat, proses penghitungan akan menjadi lebih sulit. Contohnya pengukuran terhadap ketinggian satelit setiap 1 detik. Setelah satu jam, akan terdapat 3600 data hasil pengukuran, dan bahkan pengukurannya masih berlanjut. Dengan menggunakan penduga kuadrat terkecil, setiap detik pendugaan dilakukan dengan matriks baru yang ukurannya semakin membesar. Di sini, masalah pertama yang muncul adalah pengukuran masih terus berlanjut, sedangkan yang diinginkan adalah menduga ketinggian satelit setiap detik. Masalah berikutnya adalah apakah penghitungan bisa tetap dilanjutkan setiap detik. Untuk meminimumkan masalah-masalah tersebut, muncul penduga kuadrat terkecil rekursif yang menghitung hasil pendugaan setiap kali pengukuran dilakukan tanpa mengabaikan hasil pendugaan sebelumnya. Penjelasan mengenai proses pendugaan kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut. Misalkan setelah pengukuran ke, diperoleh, kemudian pengukuran selanjutnya menghasilkan suatu nilai hasil pengukuran baru. Penduga rekursif linearnya adalah

49 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 34 Hal ini menunjukkan bahwa pengukuran baru. diperoleh berdasarkan dan hasil merupakan matriks perolehan (matriks gain) yang nantinya akan ditentukan. Suku suku ini bernilai nol, atau disebut suku koreksi. Jika adalah matriks nol, maka pendugaan tidak mengalami perubahan dari langkah ke langkah. Rata-rata dari pendugaan dapat dihitung sebagai berikut Selanjutnya kriteria optimal untuk menentukan adalah meminimalkan jumlah variansi dari error pendugaan pada saat, yaitu Dengan. Untuk memperoleh perhitungan rekursif dapat digunakan proses yang mirip dengan proses rekursif sebelumnya, yaitu,

50 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35 tidak bergantung pada, maka bisa ditulis karena nilai harapan keduanya sama dengan nol, sehingga diperoleh dengan adalah kovariansi. Rumus ini merupakan bentuk rekursif untuk kovariansi dari error pendugaan kuadrat terkecil. Hal ini sesuai dengan intuisi bahwa pada saat derau pengukuran meningkat, ketidak-pastian dalam pendugaan juga meningkat. Perhatikan bahwa positif, dan rumus di atas menjamin bahwa bahwa dan harus berupa matriks definit definit positif dengan asumsi adalah matriks definit positif. Selanjutnya akan dicari nilai sehingga fungsi objektif menjadi seminimal mungkin. Rata-rata error pendugaan adalah 0 untuk setiap nilai dari. Sehingga jika kita memilih untuk membuat fungsi objektifnya lebih kecil, maka error pendugaan tidak akan hanya mempunyai rata-rata 0, tetapi juga akan semakin mendekati nol. Untuk mencari nilai terbaik untuk ingat kembali bahwa,

51 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36 jika simetri. Selanjutnya dengan menerapkan aturan rantai pada dan, diperoleh Agar diperoleh nilai yang meminimumkan, maka haruslah sehingga,, dan membentuk penduga kuadrat terkecil rekursif. Secara ringkas, langkah-langkah pendugaan kuadrat terkecil rekursif dapat dituliskan sebagai berikut 1. Tetapkan penduga yaitu Jika tidak diketahui sebelum dilakukan pengukuran, maka ditentukan dengan sebuah matriks identitas dimana komponennya berupa sebarang bilangan yang nilainya besar pada diagonalnya. Jika keadaan awalnya telah diketahui sebelum pengukuran, maka.

52 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk a., langkah-langkah yang dilakukan adalah Catat hasil pengukuran dengan, dengan asumsi bahwa, dimana ditentukan adalah vektor random yang mempunyai rata-rata 0 dengan kovariansi. Selanjutnya, asumsikan bahwa derau pengukuran setiap langkah kebebas, yaitu ketika dan saling ketika. akibatnya, derau pengukuran merupakan derau putih (white noise). b. Perbaharui nilai pendugaan dan kovariansi error pendugaan sebagai berikut: Contoh 2.4 Dari data pengukuran pada Contoh 2.3, bisa juga diperoleh melalui pendugaan kuadrat terkecil rekursif, yakni dengan sesuai dengan langkah-langkah yang baru saja diperoleh. Pendugaan ini menghasilkan plot seperti pada gambar 2.3. Dibandingkan dengan pendugaan sebelumnya, pendugaan secara rekursif ini memperhitungkan hasil dugaan sebelumnya, sehingga diperoleh bergantung pada berbeda-beda. sebelumnya. Hasilnya, yang untuk setiap hasil pengukuran

53 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38 Gambar 2.3 (a) Pendugaan kuadrat terkecil rekursif (b) pendugaan Dari segi komputasi, bentuk alternatif terkadang lebih menguntungkan. Dengan mempertimbangkan hal ini, maka penting juga untuk mencari bentuk alternatif dari penduga. Untuk memperoleh bentuk alternatif dari penduga yang telah diperoleh sebelumya, langkah pertama adalah mencari bentuk lain dari kovariansi error pendugaan. Sebelumnya telah diperoleh Substitusi diperoleh Dimisalkan suatu variabel bantu atas menjadi. Persamaan di

54 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39 Dalam persamaan tersebut, muncul secara implisit, sehingga dengan menuliskan kembali, diperoleh Persamaan ini lebih sederhana dari bentuk sebelumnya, namun masalah komputasi numeris dapat menyebabkan dan definit positif. tidak definit positif meskipun

55 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 Dengan menerapkan lemma invers matriks, bisa dicari bentuk yang lain dari yaitu Dari persamaan ini, gunakan lemma invers matriks dengan Menurut lemma invers matriks, maka diperoleh Sehingga diperoleh Persamaan ini dapat digunakan untuk mencari bentuk ekuivalen dari persamaan sebagai berikut Mengalikan ruas kanan dengan diperoleh (matriks identitas) di sebelah kiri,

56 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41 Substitusi, diperoleh Secara umum, algoritma kuadrat terkecil rekursif dapat dirangkum dengan persamaan-persamaan di bawah ini. Hasil pengukuran dituliskan: dengan Dugaan awal dari vektor konstan yaitu Algoritma kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut

57 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 Untuk Pada contoh-contoh berikut, akan ditunjukkan bagaimana menerapkan algoritma pendugaan kuadrat terkecil. Contoh 2.5 akan menunjukkan bahwa yang diperoleh tidak akan pernah negatif. Contoh 2.5 Misalkan terdapat parameter observasi skalar dengan pengukuran yang sempurna, yaitu dan. Pemisalan selanjutnya yaitu kovariansi pendugaan awal, dan komputer yang digunakan memberikan skala ketepatan 3 digit desimal untuk setiap perhitungan yang dilakukan. Perhitungan penduga yaitu

58 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43 Selanjutnya untuk mencari, digunakan persamaan yang telah diperbaharui, yaitu Perhatikan bahwa dihitung sebagai 0 karena komputer yang digunakan memiliki ketelitian tiga angka desimal. Bentuk yang diperoleh dari ini menjamin bahwa negatif, meskipun terdapat perhitungan numeris pada,, dan tidak pernah. Contoh 2.6 Penduga kuadrat terkecil rekursif juga bisa diterapkan pada masalah curve fitting. Misalkan akan dicari suatu garis lurus yang cocok dengan himpunan data. Masalah pencocokkan data linear dapat ditulis

59 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44 dimana adalah variabel bebas (contohnya variabel waktu), derau, dan akan dicari relasi linear antara dicari nilai dan dan data dengan. Dengan kata lain, akan yang konstan. Matriks pengukurannya yaitu Penduga rekursifnya diawali dengan Dugaan rekursif dari vektor sebagai berikut Untuk, dengan dua anggota kemudian diperoleh

60 BAB III FILTER KALMAN A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut Proses derau dan merupakan derau putih, dengan rata-rata nol, tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut dan, yaitu Karena dan tidak berkorelasi, maka untuk semua. Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan, berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan pengukuran dengan derau. Ketika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia sampai pada saat, dapat dibentuk suatu pendugaan posteriori, yang dilambangkan dengan. Salah satu cara membentuk pendugaan keadaan posteriori adalah dengan menghitung nilai 45

61 46 harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sampai ke- dan pengukuran pada saat, yaitu Jika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia sebelum waktu (data pada saat tidak tersedia), maka bisa dibentuk pendugaan priori. Salah satu cara membentuknya adalah dengan menghitung nilai harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sebelum waktu, tidak termasuk pengukuran pada saat, yaitu Perhatikan bahwa baik maupun keduanya digunakan untuk menduga hal yang sama, yaitu. Meskipun demikian, merupakan pendugaan untuk sebelum diperhitungkan, sedangkan menduga setelah diperhitungkan. Secara intuisi, bisa dikatakan adalah pendugaan yang lebih baik dari karena informasi yang digunakan pada saat mencari lebih banyak. melambangkan pendugaan awal, sebelum hasil pengukuran tersedia. Pengukuran pertama dilakukan pada waktu. Karena tidak ada hasil pengukuran untuk menduga, maka dibentuk sebagai nilai harapan dari keadaan awal, yaitu melambangkan kovariansi dari pendugaan, dan melambangkan kovariansi dari pendugaan, yaitu

62 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 47 Untuk memahami lebih jelas hubungan antara penduga keadaan priori, posteriori, dan kovariansi pendugaannya, perhatikan gambar 3.1. Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori, dan kovariansi pendugaan Dari gambar terlihat hasil pendugaan priori pada waktu dan kovariansi error penduganya pengukuran pada waktu pengukuran posteriori yaitu diperoleh sebelum dilakukan. Setelah pengukuran dilakukan, diperoleh hasil dan. Keduanya kemudian digunakan untuk mencari penduga priori pada waktu pada waktu yaitu Proses pendugaan dimulai dari hitung rata. Setelah. Tetapkan. Setelah pengukuran., yaitu dugaan paling baik untuk diketahui, langkah selanjutnya adalah meng. Lihat kembali bahwa merambat terhadap waktu, yaitu diperoleh dan tersedia, diperoleh hasil pendugaan posteriori pada waktu, dengan kovariansi error pendugaannya kondisi awal yaitu dan rata, maka

63 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48 Persamaan tersebut menunjukkan bagaimana memperoleh dari. Persamaan ini disebut persamaan pembaharuan waktu untuk. Secara umum dapat dituliskan Selanjutnya akan dihitung persamaan pembaharuan waktu untuk bahwa. Jika nilai tidak diketahui, maka. Jelas dimisalkan dengan sebuah matriks identitas dengan komponennya berupa sebarang bilangan besar pada diagonal utamannya. Umumnya dugaan awal mewakili ketidakpastian dari, dimana Sama halnya dengan, juga dapat diperoleh dari merambat terhadap waktu dengan. Kovariansi, sehingga diperoleh Secara umum dapat ditulis yang disebut persamaan update waktu untuk. Selanjutnya yang akan dicari adalah persamaan update pengukuran untuk dan, yakni diketahui kemudiah dihitung ketersediaan hasil pengukuran. Diingat kembali bahwa mempengaruhi pendugaan yaitu

64 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 49 dimana dan hasil pengukuran pendugaan setelah adalah penduga diperoleh, dan dan kovariansi pendugaan sebelum dan adalah penduga dan kovariansi diperoleh. Jadi, untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga priori, diganti dan diganti. Sedangkan untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga posteriori, dan diganti, sehingga diperoleh yang merupakan persamaan pembaharuan pengukuran untuk Matriks diganti dan. di atas disebut Kalman filter gain. Setelah diturunkan, persamaan-persamaan yang telah dibahas dapat dirangkum dalam suatu algoritma yaitu sebagai berikut. 1. Terdapat sistem dinamis berbentuk

65 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Filter Kalman diawali dengan 3. Filter Kalman dihitung untuk setiap waktu ke- Bentuk pertama dari akan menjamin bahwa matriks simetri yang definit positif, selama akan selalu berupa juga merupakan matriks simetri yang definit positif. Bentuk ketiga dari lebih sederhana penghitungannya dibandingan dengan bentuk pertama, tetapi tidak menjamin apakah matriks yang diperoleh merupakan matriks simetri atau definit positif. Jika dalam perhitungan digunakan bentuk kedua dari harus menggunakan bentuk kedua, karena, maka perhitungan bergantung pada jadi

66 51 untuk menghitung digunakan bentuk kedua yang tidak bergantung pada. Adapun bentuk-bentuk ini mirip dengan yang telah dibahas pada pendugaan kuadrat terkecil. Tabel 3.1 berisi hubungan antara pendugaan dan kovariansi errornya pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman. Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman Pendugaan kuadrat terkecil Filter Kalman = pendugaan sebelum diketahui = penduga priori = kovariansi sebelum diketahui = kovariansi priori = pendugaan setelah diketahui = penduga posteriori = kovariansi setelah diketahui = kovariansi posteriori Contoh 3.1 Contoh ini akan menunjukkan penerapan persamaan filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sebuah sistem pengukuran dimana diketahui,,,, dan, dengan,, dan, perhitungan filter Kalman pada saat adalah sebagai berikut

67 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52 Langkah-langkah tersebut kemudian diulangi sampai waktu ke- untuk memperoleh penduga. B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah Persamaan filter Kalman priori dan posteriori dapat digabungkan dalam satu persamaan. Persamaan penduga keadaan priori dengan indeks dinaikkan menjadi Sedangkan persamaan posteriori untuk Dengan substiusi adalah ke persamaan sebelumnya, diperoleh

68 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53 Langkah yang sama diterapkan untuk memperoleh kovariansi pendugaannya. Persamaan priori kovariansi dengan indeks dinaikkan menjadi Substitusi Substitusi diperoleh diperoleh Dengan cara demikian pula, dapat diperoleh persamaan posteriori satu langkah untuk penduga keadaan dan kovariansi penduga. Bentuk awal persamaan penduga keadaan posteriori adalah Substitusi persamaan priori, diperoleh Bentuk awal persamaan posteriori dari kovariansi penduga adalah

69 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 54 Dengan substitusi, diperoleh Contoh 3.2 Misalkan terdapat sistem Newton yang bebas derau dengan vektor posisi, kecepatan, dan percepatan. Dengan kecepatan merupakan turunan dari posisi dan percepatan merupakan turunan dari kecepatan, yaitu. Sistem tersebut dapat dituliskan Dengan memisalkan sistem tersebut menjadi Diskretisasi dari sistem ini dengan sampel waktu dimana yaitu pada waktu sampel ke, dan dapat ditulis dan

70 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 55 Filter Kalman untuk sistem tersebut adalah karena. Diperoleh Kalman gain yaitu kemudian kovariansi posteriorinya yauitu

71 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 56 Terlihat bahwa trace dari kurang dari. Dari sini bisa disimpulkan bahwa kovariansi penduga semakin mengecil, dan pendugaan menjadi lebih terpercaya. Simulasi pertama sistem ini dilakukan dengan 5 unit sampel waktu atau, dan standar deviasi 30 unit. Gambar 3.2 menunjukkan variansi dari penduga posisi ( dan ) untuk 5 langkah pertama filter Kalman. Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman

72 57 Bisa dilihat bahwa variansinya membesar di setiap langkah, tetapi berkurang setiap diperoleh hasil pengukuran yang baru. Hal yang sama juga terlihat pada Gambar 3.3 yang menunjukkan variansi dari penduga posisi ( dan ) untuk 60 langkah pertama. Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman Gambar 3.4 Eror pengukuran dan pendugaan untuk contoh 3.2

73 58 Selanjutnya Gambar 3.4 menunjukkan eror pengukuran posisi (dengan standar deviasi dan hasil pendugaannya. Simulasi ini menunjukkan bahwa filter Kalman efektif untuk menduga keadaan. C. Derau Proses Pendugaan Perhatikan sistem waktu diskret di bawah ini dengan matriks identitas keadaan transisi dan sampel waktu : dengan adalah proses derau putih dengan waktu diskret. meyatakan bahwa merupakan variabel acak Gaussian dengan rata-rata 0 dan variansi. Akan dilihat bagaimana pengaruh derau putih terhadap kovariansi dari keadaan tersebut. Sistem waktu diskret dapat diselesaikan sebagai berikut: Kovariansi dari keadaan tersebut menjadi: Nilai dari parameter waktu kontinu sama dengan banyaknya langkah waktu diskret kali sampel waktu, yaitu. Bisa dilihat bahwa

74 59 Kovariansi dari keadaan meningkat secara linear sebanding dengan waktu untuk sampel waktu yang diberikan. Selanjutnya perhatikan sistem waktu kontinu dengan matriks identitas keadaan transisi: dimana adalah derau putih dengan waktu kontinu. Definisi untuk derau putih dengan waktu kontinu yaitu dimana dan memiliki arti yang sama dengan dan pada sistem waktu diskret. merupakan fungsi impuls-respon waktu diskret, yaitu fungsi dengan nilai saat, dan 0 selainnya, dengan luas 1. Kovariansi dari adalah Substitusi ke persamaan di atas diperoleh Karena, maka persamaan di atas bisa ditulis

75 60 Dibandingkan dengan kovariansi keadaan untuk waktu diskret, kovariansi keadaan untuk waktu kontinu juga meningkat secara linear dengan perbandingan yang sama. Dengan kata lain, derau putih waktu diskret dengan kovariansi pada sistem dengan sampel waktu ekuivalen dengan derau putih waktu kontinu dengan kovariansi, dengan. Derau putih waktu kontinu dengan rata-rata nol ditulis yang sama artinya dengan D. Derau Pengukuran Misalkan terdapat pengukuran dengan waktu diskret untuk konstan setiap detik. Waktu pengukuran adalah, Dari persamaan filter Kalman, diperoleh kovariansi error pendugaan posteriori yaitu

76 61 Kovariansi pada waktu independen terhadap sampel waktu jika dengan suatu konstan. Hal ini mengimplikasikan dimana adalah fungsi impuls waktu kontinu. Hal ini memperlihatkan ekuivalensi antara derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret dan waktu kontinu. Pengaruh derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret akan sama dengan pengaruhnya pada sistem waktu kontinu jika Menulis sama artinya dengan mengatakan bahwa E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu Misalkan terdapat sistem waktu kontinu yaitu

77 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 62 Selanjutnya misalkan terdapat sistem hasil diskretisasi dengan sampel waktu. Diperoleh Matriks-matriks pada sistem waktu diskret dihitung sebagai berikut: Maktriks gain filter Kalman untuk sistem ini adalah Kovariansi error pendugaan menjadi Untuk nilai yang kecil, persamaan tersebut menjadi