oleh RIRIS LISTYA DAHYITA PUTRI M

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD oleh RIRIS LISTYA DAHYITA PUTRI M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i

2

3 ABSTRAK Riris Listya Dahyita Putri ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Pada umumnya fungsi distribusi bersama (fdb) dapat diperoleh melalui beberapa variabel random independen menggunakan perkalian antar distribusi marginalnya. Namun, berbeda dengan fdb yang terdiri atas variabel random dependen, fdb dengan variabel random dependen diperoleh menggunakan copula. Copula adalah fungsi yang digunakan untuk menghubungkan beberapa variabel random dependen menjadi fungsi distribusi bersama. Copula dibagi menjadi beberapa kelas salah satunya Marshall-Olkin copula (MOC). MOC didasarkan pada Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) yang dapat digunakan untuk mengestimasi data nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi parameter salah satunya adalah metode maximum likelihood. Metode ini sering digunakan karena konsisten dan efisien. Tujuan penelitan ini adalah mengestimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood. Pada penelitian ini diperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood yaitu ˆθ = (1+exp( ψ)) 1. Selanjutnya diberikan contoh penerapan pada data suhu dan kelembaban rata-rata kota Semarang dari Januari 2005 sampai dengan bulan Desember Diperoleh estimasi parameternya adalah ˆθ = Kata kunci : estimasi parameter, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood iii

4 ABSTRACT Riris Listya Dahyita Putri MARSHALL-OLKIN COPULA DISTRI- BUTION PARAMETER ESTIMATION USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. Generally, joint distribution function can be obtained through several independent random variables using a multiplication among the marginal distributions. However, joint distribution function with the dependent random variables is obtained by using copula. Copula function is used to connect multiple dependent random variables into a joint distribution function. Copula is divided into several classes, one of them is Marshall-Olkin copula (MOC). MOC is based on Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) that can be used to estimate the parameters of extreme value. There are several methods to estimate the parameter, one of which is maximum likelihood. This method is usually used because of its consistency and efficiency. The purpose of this research is to estimate the parameter of Marshall-Olkin copula distribution using maximum likelihood method. The estimation of Marshall-Olkin copula distribution parameter using maximum likelihood method is ˆθ = (1 + exp( ψ)) 1. Furthermore, we give an example of the application on the data of temperature and humidity on average in Semarang from January 2005 until December We obtained the parameter s estimation ˆθ = Keywords : parameter estimation, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood estimate iv

5 PERSEMBAHAN Karya ini dipersembahkan untuk kedua orang tua, kakak dan adik atas doa, semangat, dan kepercayaan yang diberikan. v

6 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatnya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada 1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan arahan dalam penentuan judul, diskusi materi distribusi nilai ekstrem, bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penyusunan dan penulisan skripsi. 2. Dr. Hasih Pratiwi, S.Si, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penulisan skripsi dan penyusunan alur penulisan. 3. Teman-teman program studi Matematika angkatan 2012 dan atas doa, bantuan, dan semangat yang selalu diberikan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Surakarta, Oktober 2016 Penulis vi

7 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv PERSEMBAHAN v KATA PENGANTAR vi DAFTAR ISI viii DAFTAR GAMBAR ix I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Teori Penunjang Extreme Value Theory Metode Block Maxima Distribusi Marshall-Olkin Fungsi Densitas Probabilitas Bersama dan Fungsi Likelihood Metode Maximum Likelihood Copula vii

8 2.2.7 Distribusi Marshall-Olkin Copula Uji Kesesuaian Distribusi Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 12 IV HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi Densitas Marshall-Olkin Copula Estimasi Parameter Distribusi Marshall-Olkin Copula Penerapan Sampling Nilai Ekstrem dengan Block Maxima Uji Kesesuaian Distribusi Nilai Ekstrem Uji Dependensi Nilai Ekstrem Estimasi Parameter dengan Metode Maximum Likelihood. 23 V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 26 viii

9 DAFTAR GAMBAR 2.1 Contoh sampling dengan metode block maxima Plot data suhu udara (dalam 4 blok) pada tahun Plot data harian kelembaban udara (dalam 4 blok) pada tahun ix