PENERAPAN ALGORITMA EXACT UNTUK PENCARIAN POHON RENTANG DENGAN DAUN TERBANYAK (MAXIMUM LEAF SPANNING TREE)

Transkripsi

1 PENERAPAN ALGORITMA EXACT UNTUK PENCARIAN POHON RENTANG DENGAN DAUN TERBANYAK (MAXIMUM LEAF SPANNING TREE) Mukhamad Sihabudin 1) dan Purwanto 2) Universitas Negeri Malang ABSTRAK : Salah satu permasalahan pada pohon rentang adalah pencarian pohon rentang dengan daun terbanyak. Permasalahan tersebut dapat diterapkan untuk penentuan suatu sistem jaringan komputer dengan memaksimalkan user dan meminimumkan server. Metode dalam penentuan pohon rentang dengan daun terbanyak dapat ditentukan dengan menggunakan algoritma exact, yaitu dengan membangun suatu pohon bagian T (subtree) yang memperluas graph G. Proses tersebut dilakukan berulang-ulang dengan menggunakan aturan reduksi dan algoritma exact. Algoritma exact memberikan beberapa pilihan didalam iterasinya. Hal ini memungkinkan terbentuknya pohon rentang daun terbanyak tidak selalu tunggal. Kata kunci : pohon rentang daun maksimal, algoritma exact, aturan reduksi ABSTRACT : One of the spanning tree problem is maximum leaf spanning tree. That problem can be used for computer network system to get maximum user and minimum server. The method to get a maximum leaf of spanning tree using exact algorithm is generate subtree which extends graph G. This process runs repeatly using reduction rule and exact algorithm. Exact algorithm gives some of choses in its iteration. It is posible to get spanning tree with maximum leaf which is not always unique. Keywords : maximum leaf spanning tree, exact algorithm, reduction rule Di zaman yang modern saat ini, komputer sudah menjadi kebutuhan penting bagi manusia. Kegiatan-kegiatan manusia sekarang ini sudah banyak yang dikerjakan oleh komputer. Salah satu manfaat komputer yaitu internet. Dengan internet manusia akan sangat mudah untuk mencari informasi, berkomunikasi dan kegiatan lain. Teori graph bisa juga diterapkan untuk membantu memaksimalkan kinerja jaringan komputer. Salah satu contohnya adalah permasalahan jaringan adhoc atau juga permasalahan penyiaran. Dalam permasalahan penyiaran / jaringan, ada beberapa titik penyiar (server) dan ada beberapa titik penerima siaran / pengguna (user). Dengan banyaknya pengguna internet pada era modern saat ini, maka dibutuhkan juga banyak server untuk memenuhi kebutuhan pengguna internet. Tentu saja, semakin banyak server akan semakin besar pula pengeluaran bagi perusahaan internet tersebut. Untuk meminimumkan banyaknya titik server, bisa digunakan salah satu konsep pada terapan graph, yaitu daun terbanyak pada pohon rentang (maximum leaf spanning tree). Dengan meminimumkan titik server, maka perusahaan internet akan sedikit mengurangi biaya pengeluarannya. Salah satu penelitian mengenai pohon rentang daun terbanyak untuk suatu graph tidak berarah adalah penelitian dari Fernau (2011) yang menuliskan mengenai permasalahan pohon rentang daun terbanyak dengan menggunakan 1) Mukhamad Sihabudin adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang 2) Purwanto adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang

2 algoritma exact. Penelitian tersebut menghitung analisis waktu penyelesaian (running time) dalam permasalahan pohon rentang daun maksimal. Belum ada penjelasan secara detail mengenai langkah-langkah pencarian pohon rentang daun maksimal dengan menggunakan algoritma exact. Oleh karena itu, di dalam tulisan ini akan dijabarkan secara detail mengenai langkah-langkah pencarian pohon rentang daun terbanyak dengan menggunakan algoritma exact. Selain itu juga akan dicari suatu pohon rentang daun terbanyak untuk beberapa graph khusus, yaitu graph roda dan graph lengkap. G V, E, dengan V adalah himpunan titik-titik dan E Suatu graph adalah himpunan sisi-sisinya. Pohon rentang (spanning tree) T dari graph G dikatakan mempunyai daun terbanyak jika tidak ada pohon rentang lain yang mempunyai daun lebih banyak. Konsep pencarian pohon rentang daun terbanyak yang digunakan adalah membagi himpunan titiknya menjadi beberapa bagian himpunan. Misalkan G V, E, himpunan titik V dibagi menjadi beberapa bagian himpunan, yaitu V Free FL BN LN IN dengan Free adalah titik-titik bebas (free vertices), FL (floating leaves) adalah daun-daun ambang, BN (branching nodes) adalah titik-titik cabang, LN (leaf nodes) adalah titik-titik daun dan IN (internal nodes) adalah titik-titik dalam. Titik-titik dalam (IN / internal nodes) adalah titik-titik yang nantinya tetap menjadi titik dalam. Titik-titik ini tidak mengalami perubahan. Derajat dari titik dalam adalah lebih dari 1. Titik-titik daun (LN / leaf nodes) adalah titik-titik yang mempunyai derajat 1. Titik-titik daun nantinya akan terhubung langsung dengan titik dalam. Titik-titik cabang (BN / branching nodes) adalah titik-titik yang nantinya dapat berubah menjadi titik dalam atau menjadi titik daun. Titik-titik cabang merupakan tetangga dari titik internal. Titik-titik ambang (FL / floating leaves) adalah titik-titik yang nantinya berubah menjadi titik daun. Titik-titik bebas (Free / free vertex) adalah titik-titik pada kondisi awal suatu graph, yang bukan merupakan titik internal dan juga bukan merupakan tetangga dari titik internal. Kunci untuk pencarian pohon rentang daun terbanyak dengan algoritma ini T V, E G dengan adalah membangun suatu pohon bagian (subtree) VT IN BN LN. Titik cabang BN (branching nodes) adalah suatu daun pada pohon bagian (subtree) yang terbentuk saat itu, tetapi bisa juga mengalami perubahan menjadi suatu titik internal atau tetap menjadi suatu titik daun akibat dari pengulangan rekursif dari algoritma yang digunakan. Langkah inilah yang akan digunakan untuk pencarian pohon rentang dengan daun terbanyak dari suatu graph G. Definisi 1. G V, E adalah suatu graph, dan misalkan IN,BN,LN,FL V Misalkan adalah himpunan dari titik yang saling bebas dan T G adalah suatu pohon. Kita katakan T memperluas (extends) (IN, BN, LN, FL) jika dan hanya jika IN internal T, LN leaves T, BN internal T leaves T dan FL internal T. T T

3 Definisi 2. G V, E adalah suatu graph, misalkan IN,BN,LN,FL V adalah Misalkan himpunan titik yang saling bebas dan misalkan x1, x2,..., xl V. Dengan x,..., 1X1 xl Xl dimana masing-masing X i adalah salah satu dari IN,BL,LN atau FL. Dinotasikan operasi dari perubahan masing-masing x i ke himpunan secara berturut-turut, dan selain itu, jika IN y N x Xi maka semua Free i berubah menjadi ke BN dan semua y N x FL i X i menjadi LN. Notasinya diperluas menjadi Y X, dimana Y V. Untuk menyelesaikan suatu hal, algoritma yang akan digunakan menganggap perihal didapatkan dari G,IN, BN, LN, FL dengan memilih suatu himpunan dari operasi pada bentuk x X. Dituliskan x X,..., x X... x X,..., x X 1,1 1,1 1, l1 1, l1 k,1 k,1 k, lk k, lk Untuk menyatakan bahwa algoritma tersebut bercabang menjadi k perihal, dimana pada ke-j, 1 j k, algoritma menganggap perihal didapatkan dari G,IN,BN,LN,FL denga n menggunakan operasi xj,1 X j,1 menjadi xj, l X j, l Definisi 3. Aturan Reduksi G V, E adalah suatu graph, dan misalkan Misalkan IN BN LN FL Free adalah partisi dari V. Didefinisikan aturan reduksi sebagai berikut : (A1) Jika ada dua titik yang terhubung langsung u, v V sedemikian sehingga uv, FL atau, BN (A2) Jika ada suatu titik uv maka hapus sisi, uv dari G. v BN dengan dv 0, maka ubah v menjadi LN. (A3) Jika ada suatu titik bebas v dengan dv 1, maka ubah v menjadi FL. (A4) Jika ada suatu titik bebas v dengan tidak ada tetangga pada Free FL, maka ubah v menjadi FL (A5) Jika ada suatu segitiga x, y, z di G dengan x suatu titik bebas dan dx 2, maka ubah x menjadi FL (A6) Jika ada suatu titik u BN dimana memotong titik pada G, maka pilih aturan u IN (A7) Jika ada dua titik yang terhubung langsung u, v V sedemikian sehingga u LN dan v V \ IN HASIL DAN PEMBAHASAN, maka hapus sisi, uv dari G. Lemma 1 G V, E adalah suatu graph dan misalkan IN,BN,LN,FL V adalah Misalkan himpunan titik-titik yang saling bebas. Misalkan T adalah suatu pohon dengan daun terbanyak yang diperluas (extends) (IN,BN,LN,FL). j j

4 Asumsikan bahwa suatu aturan reduksi, katakan A i, i 1,2,...,7 diaplikasikan pada hal (IN,BN,LN,FL) dari G. Maka, ada pohon T ' dengan daun terbanyak yang diperluas oleh hal yang diperoleh dari (IN,BN,LN,FL) dengan menerapkan aturan reduksi Ai yang mempunyai jumlah daun sama dengan banyak daun dari T. Bukti Anggap bahwa T adalah suatu pohon bagian dari G yang berkorespondensi pada (IN, BN, LN, FL) dan T ' adalah pohon rentang dari G sedemikian sehingga T ' memperluas (IN, BN, LN, FL). Untuk masing-masing aturan dari A1 sampai A7, yaitu Aturan Reduksi 1 (A1) Misalkan uv, FL. Maka keduanya merupakan daun dari T ' dan tidak mungkin terhubung langsung pada T ', jadi hapus sisi uv, dari G. Misalkan uv, BN maka keduanya juga tidak boleh terhubung langsung pada T ', jika tidak maka akan ada suatu lintasan tertutup (cycle) pada T ' yang terdiri dari suatu lintasan dari u ke v pada T (melalui titik internal) dan sisi uv,. Maka dari itu sisi uv, dapat dihapus dari G. Aturan Reduksi 2 (A2) Misalkan BN d v v dan 0. Maka tidak ada titik bebas (free vertex) yang terhubung langsung dengan v. Karena itu tidak ada titik yang dapat dijadikan suatu cabang dari v dan akibatnya v adalah suatu daun dari T '. Karena itu, titik v dapat diubah menjadi LN. Aturan Reduksi 3 (A3) Misalkan v adalah suatu titik bebas (free vertex) dengan dv 1. Maka v mempunyai derajat 1 pada T ' dan akibatnya v adalah suatu daun dari T '. Karena itu titik v dapat diubah menjadi FL. Aturan Reduksi 4 (A4) Misalkan v suatu titik bebas (free vertex) dengan tidak ada tetangga yang merupakan titik pada Free FL. Karena itu v hanya terhubung langsung pada satu titik dari BN pada T '. Akibatnya v adalah suatu daun dari T '. Karena itu titik v dapat diubah menjadi FL. Aturan Reduksi 5 (A5) Misalkan x, y, z adalah suatu segitiga pada G sedemikian sehingga x adalah titik bebas (free vertex) dan dx 2. Anggap bahwa x adalah suatu titik internal dari T ' yang memperluas (IN,BN,LN,FL). Karena itu, x terhubung langsung dengan y dan z pada T ' dan akibatnya satu dari mereka adalah induk dari x pada T ', sebut saja y. Maka, pohon rentang T '' dari G yang diperoleh dari T ' dengan menghapus xy, dan menambahkan yz, yang tidak mempunyai daun lebih sedikit dari T '. Akibatnya, dengan tidak menghilangkan keumuman, x adalah suatu daun pada sebarang pohon rentang dari G yang memperluas (IN,BN,LN,FL) dan mempunyai daun terbanyak yang memungkinkan. Maka dari itu titik x dapat diubah menjadi FL

5 Aturan ke-5 ini yang sangat dibutuhkan sehingga nantinya T ' merupakan suatu pohon rentang dengan daun terbanyak. Aturan Reduksi 6 (A6) Misalkan u BN memotong titik dari G. Maka suatu lintasan tunggal dari akar menuju titik cabang (branching node) u pada pohon T yang melewati satu komponen dari G u. Karena itu, titik u diharuskan menjadi suatu titik internal dari T '. Maka dari itu, titik u dapat diubah menjadi IN. Catat bahwa tetanggatetangga dari u yang merupakan titik bebas akan menjadi BN dan tetanggatetangga dari u yang merupakan titik ambang akan menjadi LN. Aturan Reduksi 7 (A7) Misalkan u, v V adalah titik yang terhubung langsung pada G sedemikian sehingga u LN dan v V \ IN. Karena u adalah suatu daun dari T dan T ', u hanya terhubung langsung pada satu titik internal x dari T ', dimana induknya pada suatu pohon bagian berkorespondensi dengan (IN,BN,LN,FL), yaitu x IN. Akibatnya, titik tersebut tidak terhubung langsung dengan sebarang v V \ IN pada T '. Maka dari itu, sisi uv, dapat dihapus dari G. Lemma 2 Algoritma exact dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pencarian G V, E jika v 3. pohon rentang dengan daun terbanyak untuk suatu graph Dengan kondisi awal, untuk masing-masing v V dengan IN v, BN Nv dan LN FL Bukti Aturan reduksi mengubah suatu partisi Free,IN,BN,LN,FL partisi P' Free',IN',BN',LN',FL' P menjadi suatu, sehingga ada suatu pohon rentang dengan daun terbanyak T ' yang memperluas P ' yang paling sedikit mempunyai daun terbanyak seperti pohon rentang T yang memperluas P. Algoritma Exact Untuk mencari suatu pohon rentang daun terbanyak dari suatu graph G, maka harus dibuat suatu kondisi awal untuk graph G, yaitu dengan membagi himpunan titik-titiknya menjadi beberapa himpunan IN, BN atau Free. Pembagian menjadi himpunan-himpunan tersebut menggunakan Lemma 2, yaitu untuk masing-masing v V IN v BN N v dan LN FL dengan, Berikut langkah-langkah pengulangan rekursif algoritma exact : Reduksi G sesuai dengan aturan reduksi (A1 sampai A7) Jika ada beberapa titik vfree FL yang tidak dapat dicapai, maka kembalikan hasil 0 Jika V IN LN maka kembalikan hasil LN Pilih suatu titik v BN dengan derajat terbesar, d v 2 dan N FL v maka Jika dv 3 atau vln v IN

6 Jika dv 2 maka Misalkan himpunan titik x1, x2 NFree v d x1 d x2 Jika dx maka misalkan z N x v 1 2 Jika Jika sedemikian sehingga 1 \ z Free maka v LN v IN, x IN v IN, x LN z FL maka v IN N x1 N x2 \ FL v dan Jika z NFL x1 NFL x2, d z 3 maka 1 1 v LN v IN, x IN v IN, x LN, x IN v IN, x LN, x LN, N x, x FL, N x, x \ v LN Free 1 2 BN 1 2 Jika tidak v LN v IN, x1 IN v IN, x1 LN, x2 IN Jika tidak dv 1 maka Misalkan P v v v v v 0, 1, 2,..., k suatu lintasan maksimum d v 2, 1 i k, v, v,..., v Free sedemikian sehingga i 1 2 Misalkan z N v \ V P Jika z FL dan 1 k d z maka v0,..., vk IN, z LN Jika z FL dan dz 1 maka v0,..., v k 1 IN, v k LN Jika Jika z BN maka v LN z Free maka v0,..., vk IN, z IN v LN Keterangan : Notasi vin v LN mengartikan suatu korespondensi cabang-cabang, artinya bisa jadi v merupakan suatu titik internal atau v merupakan suatu titik daun. Hasil 0 artinya tidak dapat ditemukan suatu pohon rentang. Jika terjadi demikian, maka harus dilakukan pemilihan titik v sebagai kondisi awal yang lain. Seperti skema algoritma exact seperti pada Gambar 1 berikut ini : k

7 Gambar 1. Skema Algoritma Exact Jika kondisi awal mempunyai lebih dari satu titik dalam (internal nodes), maka harus dibuat sebarang pohong rentang yang mencakup semua titik dalam yang menjadi kondisi awal. Metode yang digunakan untuk penentuan pohon rentang tersebut adalah metode cutting-down, seperti yang dijelaskan pada bab sebelumnya. Contoh : Misalkan diberikan graph berikut : Gambar 2. Graph G Akan dicari suatu pohon rentang dengan daun terbanyak dari graph G pada Gambar 2 di atas. Langkah awal untuk mencari suatu pohon rentang dengan daun terbanyak menggunakan algoritma exact yaitu melakukan aturan reduksi. Sebelumnya, sesuai dengan Lemma 2, dibuat kondisi awal, yaitu menentukan titik v sebagai IN dan tetangga dari titik v sebagai BN. Dipilih titik v dengan derajat terbesar, yaitu titik h. Sehingga N h g, c, d, e, i adalah BN dan LN FL. Diperoleh kondisi awal dengan memilih titik h sebagai titik internal (IN), dan titik g, c, d, e dan i yang merupakan tetangga dari titik h, sebagai titik cabang (BN). Tentu saja, titik selain titik-titik yang telah disebutkan akan menjadi titik bebas (Free). Seperti pada Gambar 3, yaitu gambar graph G1 berikut.

8 Gambar 3. Graph G1 Setelah diperoleh kondisi awal, langkah selanjutnya adalah mereduksi graph G 1 dengan aturan reduksi A1 sampai A7. Langkah ini dilakukan berulang-ulang sampai tidak ada lagi aturan reduksi yang dapat digunakan. Berikut ini adalah hasil reduksi graph G 1 Gambar 4. Graph G 2 Aturan Reduksi 1 (A1) Untuk, BN uv, uv maka sisi dihapus dari G 1 Gambar 5. Graph G 3 Aturan Reduksi 2 (A2) Untuk BN d v v dengan 0 maka titik v diubah menjadi LN, sehingga dihasilkan graph G 3 Gambar 6. Graph G 4 Aturan Reduksi 5 (A5) Ada segitiga (lintasan tertutup dengan 3 titik) dengan himpunan titikb, a, f dan b adalah titik bebas dan db 2, sehingga b diubah menjadi FL, sehingga terbentuk graph G 4 Setelah tidak ada aturan reduksi yang bisa digunakan, maka digunakan langkah selanjutnya pada algoritma exact. Pilih v BN dengan derajat yang terbesar. Perhatikan graph G 4 pada Gambar 6, himpunan titik-titik g, c, d BN dan derajat deg g deg c deg d 1. Karena masing-masing titiknya, yaitu

9 g c d, maka v g, c, d P g. Sehingga z N g \ V P, yaitu z f g IN, dan f IN atau LN deg deg deg 1. Dipilih titik g sebagai titik v, maka. Karena f Free maka ada dua pilihan, yaitu g. Selanjutnya diambil kondisi yang pertama, yaitu g IN, dan f IN. Gambar 7. Graph G 5 Diperoleh suatu graph G 5 seperti pada Gambar 7 di atas. Karena masih belum tercapai suatu pohon rentang, maka dilanjutkan dengan mengulangi langkah awal algoritma exact. Dengan Definisi 2 diperoleh graph G 6 seperti pada Gambar 8 berikut : Gambar 8. Graph G 6 Setelah itu dilanjutkan iterasi kedua algoritma exact. Kembali lagi ke aturan reduksi, selanjutnya reduksi graph G 6 Gambar 9. Graph G 7 Aturan Reduksi 1 (A1) Untuk, BN uv, uv maka sisi dihapus dari G 6, sehingga terbentuk graph G 7 Gambar 10. Graph G 8 Aturan Reduksi 2 (A2) Untuk BN d v v dengan 0 maka titik v diubah menjadi LN, sehingga diperoleh graph G 8.

10 Gambar 11. Graph G 9 Aturan Reduksi 7 (A7) Jika ada dua titik yang terhubung langsung u, v V sehingga u LN dan v V \ IN, maka hapus sisi uv, dari G 8, diperoleh graph G 9 Gambar 13. Pohon T 10 Gambar 12. Graph G 10 Aturan Reduksi 2 (A2) Untuk BN d v v dengan 0 maka titik v diubah menjadi LN, diperoleh graph G 10 Memenuhi Definisi 1. Gambar 13 menunjukkan bahwa T 10 memperluas (IN, BN, LN, FL). Karena titik-titik f, g, hin internal T dan titik-titik b, a, c, d, e, i LN leaves T Karena tidak ada lagi aturan reduksi yang dapat digunakan, maka gunakan langkah selanjutnya pada algoritma exact. Diperoleh V IN LN, maka kembalikan hasil LN, yaitu LN 6 Diperoleh suatu pohon rentang dengan daun terbanyak, yaitu pohon rentang T V T V G dan seperti pada Gambar 3.17 dengan ET b, f, a, f, f, g, g, h, c, h, d, h, e, h, i, h dengan titik f, g, h IN dan titik a, b, c, d, e, i LN, yang mempunyai titik daun sebanyak 6. Gambar Pohon Rentang T

11 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan 1. Untuk menentukan suatu pohon rentang dengan daun terbanyak dari suatu graph G dengan menggunakan algoritma exact, harus dilakukan langkahlangkah berikut : 1. Tentukan suatu graph G 2. Buat kondisi awal, sesuai Lemma 2, yaitu untuk masing-masing v V dengan IN v BN N v dan LN FL, 3. Lakukan aturan reduksi (A1 sampai A7) berulang-ulang sampai tidak ada aturan reduksi yang bisa digunakan lagi. 4. Jika V IN LN maka kembalikan hasil LN (banyaknya titik daun / leaf nodes) dan berhenti. Jika tidak maka pilih titik v yang merupakan titik cabang yang mempunyai derajat terbesar, dan gunakan langkah algoritma exact, selanjutnya kembali ke langkah Pohon rentang daun terbanyak yang terbentuk tidak selalu tunggal. Ada bentuk lain yang mungkin bisa dibuat karena pada bagian dari algoritma exact ada pemilihan yang dilakukan. Jika memang terdapat lebih dari satu pilihan, tentu saja dimungkinkan akan terbentuk pohon rentang dengan daun terbanyak yang lainnya 3. Menentukan pohon rentang daun terbanyak jika ada beberapa titik dalam (internal nodes) yang ditentukan, harus diperhatikan beberapa kondisi. Jika hanya satu titik dalam yang ditentukan, maka pilih titik dalam tersebut sebagai titik v pada kondisi awal. Jika ada lebih dari satu titik dalam pada kondisi awal, maka terlebih dahulu harus dibuat suatu pohon rentang yang memuat semua titik dalam pada kondisi awal. Selanjutnya algoritma exact dapat digunakan. Saran Tulisan ini masih menyajikan pencarian pohon rentang dengan daun terbanyak dengan kondisi titik awal yang ditentukan dan titik awal yang tidak ditentukan. Permasalahan suatu jaringan terkadang mengharuskan bahwa titik dalam hanya mampu mempunyai titik daun terbatas sebanyak n. Hal ini dapat dijadikan sebagai bahan penelitian, yaitu penentuan pohon rentang daun terbanyak dengan membatasi maksimal daun pada masing-masing titik dalam. DAFTAR RUJUKAN Aldous, J.M dan Wilson, R.J Graph and Applications, an Introductory Approach. London: Springer-Verlag. Diestel, Reinhard Graph Theory. New York: Springer-Verlag. Fernau, H., Kneis, J., Kratsch, D., Langer, A., Liedloff, M., Raible, D., & Rossmanith, P An exact algorithm for the Maximum Leaf Spanning Tree problem. Jurnal Komputer dan Sains, TAMU Computer Science Faculty Pages (Online) ( diakses 7 April 2012.

12 Fernau, Henning, dan Raible, Daniel An Amortized Search Tree Analysis for k-leaf Spanning Tree. Jurnal Komputer dan Sains, SOFSEM International Conference Devoted To The Theory And Practice Of Computer (Online) ( diakses 13 april Kneis, J., Langer, A., & Rossmanith, P A New Algorith for Finding Trees with Many Leaves. Dari Theory Group (Online) ( diakses 11 agustus 2012 Kratsch, Dieter Exact Exponential Algorithms. Dari Laboratoire d Informatique Theorique et Appliquee Universite Paul Verlaine-Metz (Online) ( diakses 11 agustus Maculan, N., Lucena, A., & Simonetti, L.G Reformulation and Solution Algorithms for the Maximum Leaf Spanning Tree Problem. Dari Springer Science (Online) ( diakses 7 april 2012 Weisstein, Eric W. Grid Graph. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. ( diakses tanggal 30 Juli 2012