BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing secara optimal, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Sebagai contoh sederhana sebuah bank hendak mengalokasikan dananya untuk mencapai kemungkinan hasil tertinggi. Dalam hal ini bank tersebut harus beroperasi dalam peraturan likuiditas yang dibuat oleh pemerintah dan harus mampu menjaga fleksibilitas yang memadai untuk memenuhi permintaan pinjaman dari para nasabah. Dalam penerapannya program linier menggunakan model matematis dalam pemecahan berbagai persoalan. Kata sifat linier digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel, hubungan yang berlangsung haruslah berupa fungsi yang linier. Sedangkan kata program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu untuk mendapatkan kemungkinan pemecahan terbaik dari persolan yang melibatkan sumber yang serba terbatas memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan Syarat Utama Program Linier Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi: 1. Tujuan Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2 12 2. Alternatif perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah. 3. Sumber daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika. 5. Keterkaitan peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan Asumsi dalam Model Program Linier Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut: 1. Asumsi kesebandingan (proportionality) a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan. b. Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas linier juga sebanding dengan nilai keputusan itu. 2. Asumsi penambahan (additivity) a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi keputusan bersifat bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. b. Konstribusi suatu variabel keputusan pada nilai dari variabel keputusan ruas kiri dari setiap pembatas linier bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. 3. Asumsi pembagian (divisiblity) Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa pecahan.

3 13 4. Asumsi kepastian (certainty) Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien fungsi kendala diasumsikan dapat diketahui secara pasti Karakteristik Program Linier Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier, yaiu: 1. Peubah keputusan Peubah keputusan adalah peubah yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. 2. Fungsi tujuan (objective function) Fungsi tujuan merupakan fungsi dari peubah keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan) atau diminimumkan (untuk ongkos). Untuk menyatakan fungsi tujuan biasanya digunakan peubah z sehingga fungsi tujuan dapat dinyatakan: (2.1) 3. Pembatas Linier (linier constraints) Pembatas linear merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak dapat menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang. Koefisien dari variabel keputusan pada pembatas linear dinamakan koefisien fungsi kendala, sedangkan bilangan yang ada di sisi (ruas) kanan setiap pembatas linear dinamakan ruas kanan pembatas. 4. Pembatas tanda / kondisi pengetat Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga non negatif atau variabel keputusannya tidak terbatas dalam tanda (boleh positif - boleh negatif).

4 14 Secara umum model program linier dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimumkan atau minimumkan: Kendala: di mana: = variabel keputusan = koefisien fungsi tujuan = koefisien fungsi kendala = jumlah masing masing sumber daya yang ada (ruas kanan pembatas) (P. Suyadi, 2005) 2.2 Masalah Transportasi Sejarah Permasalahan Transportasi Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch mempelajari beberapa permasalahan yang berhubungan dengan model transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku, sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang berhubungan dengan program transportasi (PT) atau model transportasi (MT).

5 Definisi dan Tujuan Masalah Transportasi Masalah transportasi membicarakan masalah pendistribusian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) ke sejumlah tujuan (demand, destination) dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi. Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari suatu tempat ke tempat lain dan dari beberapa tempat ke beberapa tempat lain. Tempat atau tempat-tempat asal barang disebut juga dengan istilah sumber atau sumber-sumber (resources). Sedangkan tempat atau tempat-tempat tujuan disebut destination. Hal ini merupakan bagian dari kehidupan nyata manusia untuk memindahkan barang dari satu tempat ke tempat lain sesuai dengan kebutuhannya. Misalnya, di suatu tempat asal barang mempunyai jumlah produk yang berlebih sehingga perlu ditransportasikan ke tempat lain yang memerlukannya. (P, Suyadi, 2005) Masalah transportasi adalah salah satu aplikasi yang paling awal dari masalah program linier (Fegade, 2012). Sedangkan dikemukakan bahwa masalah transportasi adalah biaya transportasi barang dari suatu tempat asal ke tempat tujuan dengan cara menggunakan metode penyelesaiaan program linier (Parlin, 2012). Diartikan juga masalah transportasi yaitu masalah bagaimana mengalokasikan barang yang tepat terhadap biaya agar diperoleh biaya pendistribusian yang minimum (Tofan, 2013). Dalam arti sederhana, masalah transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Masalah transportasi berkaitan dengan penentuan rencana berbiaya rendah untuk mengirimkan suatu barang dari sejumlah sumber (misalnya, pabrik) ke sejumlah tujuan (misalnya, gudang). Dalam arti lain, transportasi adalah aplikasi yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan produk tersebut secara optimal.

6 16 Masalah transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier yang dipecahkan oleh metode simpleks biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan. Data dalam masalah ini mencakup: 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan sejunlah permintaan di setiap tujuan. 2. Biaya tranportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan. Asumsi dasar dari masalah transportasi ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. (Bu ul l, F. 2016) Pada intinya, masalah transportasi itu mencari dan menentukan perencanaan pengiriman barang (single commodity) dari tempat asal ke tempat tujuan, dengan total biaya transportasi yang minimal. Oleh karena itu, dalam total biaya transportasi terdapat 3 (tiga) variabel, yakni: 1. Jumlah barang yang tersedia di tempat (sumber) asal, yakni kapasitas pengiriman. 2. Daya tampung di daerah atau tempat tujuan yakni daya tampung tempat tujuan. 3. Biaya transportasi per unit barang yang akan dikirimkan. (P, Suyadi, 2005) Tujuan dari masalah transportasi ini adalah menentukan jumlah yang harus dikirimkan dari setiap sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total diminimumkan. (Bu ul l, F. 2016)

7 Ciri-ciri Masalah Transportasi Ciri-ciri khusus masalah transportasi adalah: 1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu. 3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber. 4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sunber ke suatu tujuan, besarnya tertentu. (Bu ul l, F. 2016) 2.3 Model Umum Masalah Transportasi Asumsi Dasar Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program linier yang di kembangkan khusus untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan transportasi (pengangkutan) dan disribusi produk atau sumber daya dari berbagai sumber (pusat pengadaan, atau titik supply) ke berbagai tujuan (titik permintaan atau pusat pemakaian) yang lebih efisien dalam hal perhitungan. Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proposional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang di kirimkan. Model umum suatu persoalan transportasi dilandasi pada asumsi-asumsi berikut: 1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkat tersedia dalam jumlah yang tetap dan diketahui.

8 18 2. Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transpotasi yang ada dengan memakai cara pengakutan tertentu dari pusat-pusat permintaan. 3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan pun diketahui dalam jumlah tertentu dan tetap. 4. Bahwa ongkos angkutan per-unit produk yang diangkut pun diketahui, sehingga tujuan kita untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat tercapai. Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber Model Transportasi Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan sumber dan tujuan. Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber i adalah dan permintaan di tujuan adalah. Biaya unit transportasi antara sumber dan tujuan adalah. Anggaplah mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber ke tujuan, maka model program linier yang mewakili masalah transprotasi ini secara umum adalah sebagai berikut: Minimalkan: di mana: = jumlah biaya transportasi barang dari tempat asal sebanyak ke tempat tujuan sebanyak j = jumlah barang yang diangkut ke tempat tujuan dari tempat asal sebanyak i ketempat tujuan sebanyak j (S. Parlin, 1997)

9 19 Dilihat dari model matematika persolan program linier terdapat tipe/ ciri/ karakteristik khusus pada permasalahan transportasi, yaitu: 1. Semua fungsi kendala bertanda. 2. Semua nilai bernilai 1 atau 0. Model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Tabel 1. Gambaran Umum Masalah Transportasi Supply Demand di mana: : Sumber ke i, i =1,2,...,m : Tujuan ke j, j =1,2,...,n : Persediaan ke i, i = 1, 2,..., m : Permintaan ke j, j = 1, 2,..., n : Biaya transportasi per unit barang dari asal i ke tujuan j, i = 1, 2,..., m,,j = 1, 2,..., n : Biaya unit barang yang diangkut dari asal i ke tujuan j, i = 1, 2,..., m (Tofan, 2013), j = 1, 2,..., n

10 Jenis Masalah Transportasi Masalah Transportasi Seimbang Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang apabila jumlah penawaran dari beberapa sumber sama dengan jumlah permintaan atas beberapa tempat tujuan. (B. Susanta, 1993) Masalah transportasi seimbang adalah masalah biaya angkutan barang di mana jumlah barang yang dipasok dari tempat asal sama dengan jumlah barang yang diminta di tenpat tujuan. (S. Parlin, 1997) Bila barang yang dikirimkan berjumlah buah, sedangkan biaya per unit rupiah, berarti biaya pengiriman adalah rupiah. Akan tetapi, karena banyak sumber, misalnya sumber barang dikirimkan ke berbagai tempat tujuan, maka total biaya menjadi. Oleh karena total biaya pengiriman dari tempat sumber barang ke berbagai tempat tujuan harus minimum maka model program linier yang mewakili masalah transportasi adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan : Fungsi kendala: di mana di mana di mana: = jumlah penawaran ( ) barang dari tempat asal sebanyak tempat asal = jumlah permintaan ( ) barang dari berbagai tempat tujuan sebanyak tempat tujuan (P, Suyadi, 2005)

11 Masalah Transportasi Tidak Seimbang Masalah transportasi yang sering dibahas adalah masalah transportasi seimbang, dimana persediaan sama dengan permintaan. Namun kenyataannya, kasus seimbang sangat jarang dan yang sering ditemui kasus tidak seimbang, dimana persediaan lebih besar dari permintaan atau sebaliknya. (B. Susanta, 1993) Perlu diingat, bahwa jumlah barang yang dikirimkan (dari tempat asal) ke tempat tujuan tidak boleh melebihi supply barang yang tersedia. Artinya jumlah barang yang dikirimkan ke tempat tujuan harus sebesar atau leih kecil dari jumlah barang yang diproduksi. Untuk masalah transportasi tidak seimbang ini terjadi dua kondisi yakni: a. Jumlah barang yang dikirimkan harus lebih kecil dari jumlah barang yang tersedia di tempat asal sebesar. di mana b. Jumlah barang yang dikirmkan ke tempat tujuan harus sama atau dapat juga lebih besar dari permintaan (P). di mana (Bu ul l, F. 2016) Anggaplah mewakili jumlah barang yang dkirimkan dari sumber i ke tujuan j; maka model program linier yang mewakili masalah transportasi adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan : Fungsi kendala: di mana

12 22 di mana di mana: = jumlah penawaran ( ) barang dari tempat asal sebanyak tempat asal = jumlah permintaan ( ) barang dari berbagai tempat tujuan sebanyak tempat tujuan (P, Suyadi, 2005) Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber atau tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula, kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaannya. (Bu ul l, F. 2016) 2.5 Himpunan Fuzzy Sejarah Himpunan Fuzzy Istilah fuzzy lahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California, Barkley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh. Sejak tahun 1960 Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia nyata yang seringkali amat kompleks. Pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul Fuzzy Set. Terobosan baru yang diperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang ditemui dalam kehidupan nyata. Suatu kata/istilah dikatakan fuzzy (kabur) apabila kata/istilah tersebut tidak dapat didefinisikan secara tegas. Dalam arti tidak dapat ditentukan secara tegas apakah suatu objek tertentu memiliki sifat/cirri yang diungkapkan oleh kata/istilah tersebut. Sehingga objek itu akan disebut dengan himpunan kabur (fuzzy). Oleh karena itu, butuh penegasan terhadap himpunan tersebut.

13 23 Dalam kehidupan sehari-hari sering juga digunakan himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah merupakan anggota dari himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat batas yang tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang tidak merupakan anggota dari suatu himpunan. Tetapi dalam kenyataannya tidak semua himpunan yang ada dalam kehidupan sehari-hari tidak semua terdefinisi secara tegas.. Misalnya himpunan orang kaya, mahasiswa pandai, tinggi badan, umur dan sebagainya. Pada himpunan umur, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang muda, setengah baya atau tua, tanpa mendefinisikannya. Misalnya variabel umur dibagi menjadi 3 kategori yaitu: Muda : umur < 35 tahun Setengah baya : 35 umur 55 tahun Tua : umur > 55 tahun. Pemakaian himpunan tegas untuk menyatakan umur sangat tidak adil, karena adanya perubahan kecil saja sudah mengakibatkan kategori yang cukup signifikan. (Frans Susilo, SJ, 2006) Oleh sebab itu, Zadeh memodifikasi teori himpunan yang lazim digunakan menjadi teori himpunan kabur (fuzzy). Teori ini dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, antara lain: algoritma control, diagnosa medis, sistem pendukung keputusan, ekonomi, teknik, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu pengetahuan Pengertian Himpunan Fuzzy Menurut Zadeh, himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah sebuah kelas dari obyek denganserangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Sebuah set dikarakterisasikan oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1.

14 24 Misalkan merupakan kumpulan objek yang dinotasikan dengan { }. disebut semesta dan menyatakan elemen generik dari. Suatu himpunan fuzzy di dalam semesta wacana dikarakteriskan dengan fungsi keanggotaan yang bernilai dalam interval [ ] atau: [ ] Himpunan fuzzy di dalam dan nilai derajat keanggotaan. disajikan sebagai pasangan berurut elemen { } Fungsi Keanggotaan Ide mengenai derajat keanggotaan dalam suatu himpunan diperkenalkan oleh Profesor Zadeh pada tahun 1965 dalam karangan ilmiahnya Fuzzy Sets. Dalam karangan tersebut, Zadeh mendefinisikan himpunan kabur dengan menggunakan fungsi keanggotaan (membership function), yang nilainya berada dalam selang tertutup [ ]. Ada dua cara mendefinisikan keanggotaan himpunan fuzzy, yakni sebagai berikut: 1. Secara Numeris Menyatakan derajat fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy sebagai vector bilangan yang dimensinya tergantung pada level diskretisasi (cacah elemen diskret di dalam semesta). 2. Secara Fungsional Menyatakan fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy dalam ekspresi analitis yang memungkinkan derajat keanggotaan setiap elemen dapat dihitung di dalam semesta wacana yang didefinisikan.

15 25 Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Dengan kata lain, sebuah himpunan fuzzy pada ditandai oleh fungsi keanggotaan yang berhubungan dengan setiap titik di, sebuah bilangan riil pada interval [ ] dengan nilai dari pada mewakili derajat keanggotaan pada. Maka, semakin dekat nilai ke semesta wacana, semakin tinggi derajat keanggotaan pada. Definisi 2.1: X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy pada ditandai oleh fungsi keanggotaannya: [ ] Dan ( ) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada himpunan fuzzy.untuk setiap. Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk mewakili keanggotaan penuh, dan nilai nilai di antaranya digunakan untuk mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan juga disebut sebagai fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy. Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya sama dengan 0 pada Bilangan Fuzzy Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat, misalnya kurang lebih 10 orang, kira-kira 3 jam, sekitar 5 km, dan lain sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan kurang lebih 10 dapat dinyatakan dengan suatu himpunan kabur pada semesta bilangan riil, di mana bilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1, dan semakin jauh bilangan itu dari derajat keanggotaanya semakin mendekati 0.

16 26 Bilangan fuzzy adalah perluasan dari bilangan riil, dalam arti bahwa tidak mengacu pada suatu nilai tunggal. Melainkan pada suatu nilai tunggal yang mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri antara 0 sampai 1. Dalam arti lain, bilangan fuzzy adalah suatu bilangan yang memiliki nilai keanggotaan 1 jika bilangannya termasuk ke dalam anggota penuh dan bernilai 0 jika bilangannya tidak termasuk pada anggota. Definisi 2.3: Sebuah bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy dalam semesta bilangan riil yang memenuhi kondisi normal dan konveks. Definisi 2.4: Sebuah bilangan fuzzy disebut bilangan fuzzy triangular jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh: { Definisi 2.5: Sebuah bilangan fuzzy disebut bilangan fuzzy trapezoidal jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh: { Definisi 2.6: Misalkan dan adalah dua bilangan fuzzy triangular, maka: 1. 2.

17 27 Definisi 2.7: Misalkan dan adalah dua bilangan fuzzy trapezoidal, maka: Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy Model transportasi sangat penting bagi perencanaan produksi, parameterparameter pada model transportasi adalah biaya, nilai persediaan, dan nilai permintaan. Pada prakteknya besar biaya, nilai permintaan dan jumlah persediaan pada suatu transportasi tidak dapat diketahui secara pasti. Apabila hal ini terjadi, maka salah satu solusinya dapat dicari dengan menggunakan operasi fuzzy. Pada bagian ini, besarnya biaya ditetapkan secara eksak, sedangkan jumlah persediaan dan permintaan belim diketahui secara pasti. Ketidakjelasan ini bisa disebabkan oleh kurangnya informasi atau kebijakan khusus dari suatu perusahaan. Pada masalah transportasi biasa dengan nilai persediaan dan permintaan yang bernilai integer akan selalu menghasilkan solusi yang juga bernilai integer. Masalah transportasi dengan variabel fuzzy adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah pengalokasian barang yang tepat terhadap biaya, di mana semua parameter yaitu koefisien, variabel maupun konstanta dalam model berupa bilangan fuzzy. Untuk menyelesaikan masalah transformasi dengan variabel fuzzy, maka harus dimodelkan dulu ke dalam suatu tabel, adapun fungsi tujuan dari masalah transportasi dengan variabel fuzzy adalah: Minimumkan:

18 28 di mana: i = 1,..., m, j = 1,..., n i = 1,...,m, j = 1,..., n (Pandian, 2010) Tabel untuk masalah transportasi dengan variabel fuzzy dapat dilihat sebagai berikut: Tabel 2 Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy Tujuan 1 N Persediaan Sumber 1 M Permintaan di mana: m = jumlah dari titik persediaan n = jumlah dari titik permintaan = jumlah tidak pasti dari unit barang yang dikirimkan dari titik persediaan i ke titik permintaan j, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n

19 29 = biaya tidak pasti per unit barang yang didistribusikan dari titik persediaan i ke titik permintaan j, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n = persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke i, j = 1, 2,..., m = persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke j, i = 1, 2,..., n (Pandian, 2010:) Defenisi 2.8: Suatu himpunan dari alokasi yang memenuhi baris dan kolom ekuivalen merupakan solusi feasible fuzzy. Definisi 2.9: Suatu solusi feasible fuzzy untuk masalah transportasi dengan variabel fuzzy di mana sebagai sumber dan sebagai tujuan dikatakan solusi feasible dasar fuzzy jika jumlah alokasinya. Jika jumlah alokasi pada solusi dasar fuzzy kurang dari, ini disebut sebagai solusi feasible dasar fuzzy yang merosot. Definisi 2.10: Suatu solusi feasible fuzzy dikatakan solusi fuzzy yang optimal jika total biaya transportasi fuzzy minimum. Teorema 1 (Eksistensi dari Solusi Feasible Fuzzy) Kondisi syarat perlu dan syarat cukup untuk eksistensi dari solusi feasible fuzzy, untuk masalah trnsportasi dengan variabel fuzzy adalah:

20 30 Bukti: 1. Kondisi syarat perlu Misalkan terdapat feasible fuzzy untuk masalah transportasi dengan variabel fuzzy yang diberikan seperti pada penjelasan sebelumnya, maka: dan dari persamaan (2.20) dan (2.21) diperoleh: 2. Kondisi syarat cukup Misalkan diasumsikan bahwa: Lalu distribusikan persediaan pada sumber ke permintaan dari semua tujuan. Misalkan: dengan proporsinya ke dimana: adalah faktor proporsional dari sumber ke. Karena persediaan harus didistribusikan secara keseluruhan. Diperoleh:

21 31 dan, dengan: Dari persamaan (2.24) dan persamaan (2.25) didapat: Demikian juga dengan: 2.7 Metode Pemecahan yang Biasa Digunakan pada Masalah Transportasi Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut: 1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal. 2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila belum lanjutkan ke langkah Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2. Untuk menentukan solusi awal terdapat 3 metode yang dapat digunakan adalah:

22 32 1. Metode pojok kiri atas pojok kanan bawah/ metode pojok barat laut/ nort west corner. 2. Metode ongkos (baris/ kolom) terkecil (least cost). Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengelokasian pada tempat yang mempunyai satuan ongkos terkecil. a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan, apabila terdapat biaya terkecil lebih dari satu, maka dipilih salah satu. b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa mengabaikan jumlah sumber/tujuan. 3. Metode pendekatan vogel (vogel s approximation method s/ VAM). Cara ini merupakan cara yang terbaik dibandingkan dengan cara di atas. Langkah-langkah penerjaan metode diatas adalah: a. Menghitung opportunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan keduanya, hasil perhitungannya disebut dengan penalty cost. b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom. c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan mendistribusikan sejumlah nilai. Baris/kolom penalti yang sudah terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya. d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan. e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi langkah pertama sampai terisi semua.

23 33 Untuk mencari solusi optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan yaitu: 1. Metode batu loncatan (Stepping Stone). Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih dahulu harus dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel nonbasis loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel nonbasis tadi. Dimana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. 2. Metode faktor pengali (multiplier)/ Metode MODI (Modified Distribution). Metode MODI merupakan variasi dari model Stepping Stone yang didasarkan pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode Stepping Stone adalah pada metode ini tidak harus menentukan semua jalur tertutup variabel non basis, kecuali pada saat akan melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian MODI merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis. Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut : di mana : = Nilai setiap sel baris = Nilai setiap kolom = Biaya transportasi per unit 2.8 Teknik untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy menjadi Transportasi Linier Dalam menyeleaikan masalah transportasi dengan variabel fuzzy, tablo fuzzy harus diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk linier agar lebih mudah dalam pengerjaannya. Adapun teknik yang digunakan untuk mengubah tablo masalah

24 34 transportasi dengan variabel fuzzy ke tablo permasalahan transportasi linier adalah Robust Ranking Technique. Dalam menggunakan teknik ini diperlukan pemahaman dalam menginterpretasikan suatu bilangan fuzzy ke dalam suatu bilanngan crisp. Interpretasi dari bilangan fuzzy tersebut disebut dengan ranking dan dengan menggunakan ranking dari bilangan fuzzy itu. Jika adalah bilangan fuzzy, maka Robust Ranking dapat didefinisikan sebagai berikut: di mana: : adalah bilangan fuzzy : Robust Ranking untuk himpunan fuzzy Q. : nilai tengah dari interval [ ] : Perhitungan batas atas dan batas bawah dari himpunan fuzzy Q - Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy, atau himpunan biaya fuzzy dengan adalah triangular, maka: { } - Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy, atau himpunan biaya fuzzy dengan adalah trapezoidal, maka: { } (Fegade, 2012) Model masalah transportasi dengan variabel fuzzy dalam bentuk matematika umtuk mencari satu nilai bilangan fuzzy yang terpilih menggunakan teknik Robust Ranking berikut:

25 Metode Zero Suffix untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy Metode Zero Suffix adalah salah satu metode optimalisasi masalah transportasi yang langsung menguji keoptimuman dari tablo transportasi tanpa harus menentukan solusi awal. Jadi untuk mendapatkan solusi yang optimum, metode Zero Suffix tidak perlu menggunakan metode lain lagi seperti MODI atau Stepping Stone. Langkah-langkah metode Zero Suffix adalah sebagai berikut: 1. Menyusun tablo transportasi untuk masalah transportasi yang diberikan. 2. Kurangi entri biaya setiap baris pada tablo transportasi dengan masing-masing baris yang paling minimum dan setelah dihasilkan tablo yang baru atau tereduksi. Lanjutkan dengan mengurangi entri biaya setiap kolom dari tablo transportasi yang dihasilkan dengan dari kolom yang paling minimum. 3. Dalam tablo biaya yang telah dikurangi akan ada setidaknya biaya yang bernilai 0 di setiap baris atau kolom, kemudian cari suffix value. Suffix value dinotasikan dengan. Dimana adalah himpunan penambahan biaya yang berdekatan paling dekat dengan biaya yang bernilai 0 dari kolom tablo transportasi. 4. Pilih maksimum dari, jika memiliki satu nilai maksimum. Jika memiliki dua atau lebih biaya yang bernilai sama maka pilih salah satu dan cari biaya yang bernilai 0 pada kolom suffix value terbesar. Jika tidak ada biaya bernilai 0 maka pilih biaya yang ada atau tersisa lalu pada biaya itu menjadi alokasi barang dengan memperhatikan permintaan dan persediaan.

26 36 5. Ulangi langkah 4, pilih minimum { } lalu alokasikan ke dalam tablo transportasi. Tablo yang dihasilkan harus memiliki setidaknya satu biaya bernilai 0 pada setiap baris atau kolom. Selain itu ulangi langkah Ulangi langkah 3 sampai langkah 5 hingga diperoleh biaya yang optimum. Pada kolom atau baris yang sudah jenuh memiliki suffix value 0.