PENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109)

Transkripsi

1 PENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 409)

2 Lecture 9 LINEAR PROGRAMMING

3 Lecture 9 Outline: Analisa Sensitivitas Simple Duality References: Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 7th ed. The McGraw-Hill Companies, Inc, 00. Hamdy A. Taha. Operations Research: An Introduction. 8th Edition. Prentice-Hall, Inc, 007.

4 Sensitivity Analysis Objective Function Contoh kasus: Maimize z = subject to (Operation ) (Operation ) (Operation ),, 0 Hasil Optimal: Basic Solution z /4 0 / -/ / 0 0 / = mainan kereta = mainan truk = mainan - mobil

5 Shadow Price It is often important for managers to determine how a change in a constraint s right-hand side changes the LP s optimal z-value. With this in mind, we define the shadow price for the i th constraint of an LP to be the amount by which the optimal z-value is improved increased in a ma problem and decreased in a min problem if the righthand side of the i th constraint is increased by. This definition applies only if the change in the righthand side of Constraint i leaves the current basis optimal.

6 Contoh: Shadow Price 6

7 Contoh: Shadow Price Ma ST 8 4,,, 4 0 b ditambah unit menjadi 9 Shadow price jika resource b bertambah unit Nilai z bertambah 4/5 (shadow price) 7 + 4/5 = 9/5

8 DUALITAS Terima kasih kepada Prof.Dr.Ir. Abdullah Alkaff, M.Sc. yang telah menyiapkan versi awal dalam tulisan tangan dari materi ini

9 Linear Programming LP dalam bentuk standard

10 Linear Programming

11 Linear Programming Kondisi keoptimalan: z 0 = y b = y b + y b + + y m b m () z j = y a j = y a j + y a j + + y m a mj () sehingga persoalan LP dapat diintepretasikan sebagai berikut: cari y, y,, y m sedemikian hingga () dan () terpenuhi

12 Linear Programming Dapat dilakukan dengan menyelesaikan LP sebagai berikut: Min subject to z 0 = y b + y b + + y m b m y a j +y a j + + y m a mj c j y, y, y m 0 Maka diperoleh problem LP yang baru yang disebut DUAL dari problem semula atau disingkat PROBLEM DUAL

13 Primal and Dual Ma s.t. j Primal Problem 0, n Z j n j Dual Problem c j j, Min b y i i, a ij j b i, for i,,, m. for j,,, n. s.t. W i m i The dual problem uses eactly the same parameters as the primal problem, but in different location. y i 0, a for ij j m y i c j,,,, n. for i,,, m.

14 Primal Dual dalam Matriks Primal Problem Dual Problem Maimize Z c, Minimize W yb, subject to A b 0. subject to ya y c 0. c Where and y y, y, y, m are row vectors but b and are column vectors.

15 Contoh: Primal Dual Primal Problem in Algebraic Form Dual Problem in Algebraic Form Ma s.t. Z 5, 0, Min W s.t. 4y y 8y, y y y y 5 y 0, y 0, y 0

16 Programa Dual Hubungan antara PRIMAL dan DUAL adalah sebagai berikut : PRIMAL RHS MAX Constrain DUAL Fungsi Tujuan MIN Variable

17 DUAL Koefisien Fungsi Objektif (Minimisasi) Programa Dual PRIMAL n RHS y a a a n b y a a a n b y m a m a m a mn b m c c c n Koefisien Fungsi Objektif (Maksimisasi)

18 Contoh Programa Dual PRIMAL : Ma + 5 s.t , 0 DUAL : Min 4y + y + 8y s.t. y + y y + y 5 y, y, y 0 DUAL dari DUAL adalah PRIMAL

19 Primal of Diet problem RI- OR/sew/007/#6

20 Diet Problem Dual RI- OR/sew/007/#6

21 Constraint Variable Variable Constraint PRIMAL DUAL Secara umum hubungan antara DUAL dan PRIMAL dapat digambarkan seperti pada tabel di bawah ini MINIMASI MAKSIMASI Unrestricted = = Unrestricted

22 Contoh PRIMAL : Ma 8 + s.t = DUAL : Min 4w 4w s.t. w + 5w 8 6w + 7w w 0 w unrestricted

23 Contoh Primal: Ma. z = + (Obj. Func.) subject to + 00 (Finishing constraint) + 80 (Carpentry constraint) 40 (Bound on soldiers), 0 Optimal Solution: z = 80, = 0, = 60 Dual : Min. w = 00y + 80y + 40y subject to y + y + y y + y y, y, y 0 (Obj. Func.) RI- OR/sew/007/#6

24 Complementary Basic Solution Problem Dual : Constraint atau Dalam Tableau z j c j 0 ; z j c j z j Surplus Var = c j Surplus Var. = z j c j Original Variables Slack Variables n n+ n+ n+m Baris 0: z c z c z n c n y y y m

25 Complementary Basic Solution Dalam Tableau Original Variables Slack Variables n n+ n+ n+m Baris 0: z c z c z n c n y y y m PRIMAL VARIABLES DUAL VARIABLES Original Variable : j z j c j : Surplus Variable Slack Variable : n+i y i : Original Variable Basic Nonbasic Nonbasic Basic

26 Complementary Basic Solution PRIMAL VARIABLES DUAL VARIABLES Original Variable : j z j c j : Surplus Variable Slack Variable : n+i y i : Original Variable Basic Nonbasic Nonbasic Basic ) Bila j > 0, maka... ) Bila n+i > 0, maka. ) Bila y i > 0, maka. 4) Bila z j c j > 0, maka....

27 Complementary Basic Solution Dapat diringkas sebagai berikut:. n+i y i = 0. (z j c j ) j = 0 Jadi constraint di satu problem adalah renggang (nonbinding), maka variabel yang berkaitan dengan constrain ini dalam problem yang lain harus nol. Hasil ini biasa dikenal sebagai Complementary Slackness

28 Contoh: The Dakota Furniture Company manufactures desk, tables, and chairs. The manufacture of each type of furniture lumber and two types of skilled labor: finishing and carpentry. The amount of each resource needed to make each type of furniture is given in Table Resource Desk Table Chair Lumber 8 board ft 6 board ft board ft Finishing hours 4 hours hours.5 hours Carpentry hours hours.5 hours 0.5 hours At present, 48 bard feet of lumber, 0 finishing hours, and 8 carpentry hours are available. A desk sells for $60, and a table for $0, and a chair for $0. Dakota believes that demand for desks, chairs and tables is unlimited. Since available resource have already been purchased. Dakota wants to maimize total revenue

29 Ma s. t. z , 0, z s s s 80, , 0, Min w s. t. 48y 8y 6y y 0y 4 y y.5y 8y.5y 0.5y y, y y, y w e e e 80, y 0, y 0, y

30 Contoh 0, 8 Subject to Ma 0,,, 8 Subject to Ma 4 4 z 4 RHS z z z

31 Pada Problem Dual

32 4 z Primal Hubungan Primal - Dual z z Dual

33 Hubungan PRIMAL DUAL DUAL Constraint y A c 0 y A c A b y b c Bila adalah feasible terhadap PRIMAL dan y feasible terhadap DUAL, maka c yb Nilai objektif problem Ma Nilai objektif problem Min

34 Teorema Dualitas Bila * adalah penyelesaian dari PRIMAL dan y * adalah penyelesaian dari DUAL, maka c * = y * b Bila 0 feasible terhadap PRIMAL dan y 0 feasible terhadap DUAL sedemikian hingga c 0 = y 0 b, maka 0 dan y 0 adalah penyelesaian optimal z Menyelesaikan DUAL DUAL FR Menyelesaikan PRIMAL PRIMAL FR Optimal (PRIMAL DUAL FEASIBLE)

35 Teorema Dualitas. P optimal D optimal. P tak terbatas D tak terbatas. P tidak feasible D tidak feasible D tidak feasible P tidak feasible D tak terbatas/tidak feasible P tak terbatas/tidak feasible

36 Lecture 0 Preparation Materi: Integer Linear Programming

37