Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini : Apakah yang diusahakan untuk ditentukan oleh model

Transkripsi

1 Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini : Apakah yang diusahakan untuk ditentukan oleh model tersebut? Dengan kata lain, apakah variabel (yang tidak diketahui) dari masalah tersebut? Apakah batasan (kendala) yang harus dikenakan atas variabel untuk memenuhi batasan sistem model tersebut? Apakah tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum (terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut? Cara yang efektif untuk menjawab pertanyaanpertanyaan ini adalah memberikan ringkasan untuk masalah yang bersangkutan. Dapat diaplikasikan pada contoh Pabrik Cat berikut

2 Linear Programing dengan Model Dua Variabel dan Pemecahannya Contoh : Reddy Mikks company memiliki sebuah pabrik yang menghasilkan cat, baik untuk eksterior maupun interior untuk didistribusikan kepada para grosir. Harga jual cat eksterior 3 unit harga, cat interior 2 unit harga. Permintaan cat interior max 1 ton lebih dari cat eksterior, produksi cat interior max 2 ton/hari. Data : Ton Bahan Mentah per Ton Cat Eksterior Interior Ketersedia an Maksimum (Ton) Bahan Mentah A Bahan Mentah B 2 1 8

3 Pengembangan Model Matematis 1 Variabel : Xe = jumlah ton cat eksterior yang diproduksi setiap hari Xi = jumlah ton cat interior yang diproduksi setiap hari 2. Fungsi Tujuan (Objective Function) : Max Z = 3 Xe + 2 Xi 3. Batasan (Constraint) : Xe + 2 Xi 6 (bahan mentah A) 2 Xe + Xi 8 (bahan mentah B) Xi - Xe 1 (perbedaan max cat interior & eksterior) Xi 2 (max cat interior)

4 x I Penyelesaian secara grafis x E + 2x I 6 1 2x E + x I 8 2 -x E + x I 1 3 x I 2 4 x E 0 x I H F A E G D Ruang pemecahan K C B 4 J 6 x E

5 Membuat persamaan bentuk standard untuk penyelesaian secara simplek Max : Z = 3 Xe + 2 Xi +0 S1+ 0 S2 + 0 S3 + 0 S4 Dengan batasan : Xe + 2 Xi + S1 = 6 2 Xe + Xi + S2 = 8 - Xe + Xi + S3 = 1 Xi + S4 = 2 Xe, Xi, S1, S2, S3, S4 0

6 Penyelesaian dengan cara simplek Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Z Persamaan Z S Persamaan S1 S Persamaan S2 S Persamaan S3 S Persamaan S4

7 Penyelesaian dengan cara simplek Iterasi I IN Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Z Titik potong (Ratio) S /1 = 6 Out S2 0 2( titik pivot) /2 = 4 (terkecil) S S (tidak boleh negatif) tidak boleh dibagi 0

8 Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Ratio 0/2 2/2 1/2 0/2 1/2 0/2 0/2 8/2 Pers.Pivot Xe 0 1 1/2 0 1/ /2 =4

9 Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru: 1. Persamaan pivot Xe baru = persamaan S2 lama : 2 2. Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-3) x pers pivot baru 3. Persamaan S1 baru= persamaan S1 lama - (1) x pers pivot baru 4. Persamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (-1) x pers pivot baru 5. Persamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (0) x pers pivot baru

10 Operasi Gauss-Jordan Persamaan Z lama (-3) x Pers pivot baru 0 3 3/2 0 3/ Persamaan Z baru 1 0-1/2 0 3/ Persamaan S1 lama x Pers pivot baru /2 0-1/ Persamaan S1 baru 0 0 3/2 1-1/ Persamaan S3 lama (-1) x Pers pivot baru 0 1 1/2 0 1/ Persamaan S3 baru 0 0 3/2 0 1/

11 Penyelesaian dengan cara simplek Iterasi 2 IN Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Ratio Z 1 0-1/2 0 3/ Out S /2 1-1/ /3/2=4/3 Xe 0 1 1/2 0 1/ /(1/2)=8 S /2 0 1/ /3/2=10/3 S /1=2

12 Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru: 1. Persamaan pivot S1(Xi) baru = persamaan S1 lama : 3/2 2. Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-1/2) x pers pivot baru 3. Persamaan Xe baru= persamaan Xe lama - (1/2) x pers pivot baru 4. Persamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (3/2) x pers pivot baru 5. Persamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (1) x pers pivot baru

13 Iterasi 3 Dasar Z Xe Xi S1 S2 S3 S4 Solution Z /3 4/ ⅔ Xi /3-1/ /3 Xe /3 2/ /3 S S /3 1/ /3 Pemecahan ini optimal karena tidak ada kofisien negatif pada persamaan Z, dengan besaran Xi = 4/3, Xe = 10/3 dan Z = 12 ⅔

14 Structure a linear programming model for estimating the quantities of each of the two crops that should be produced in order to maximize total income. Solve the problem graphically and simplex method, using the following data : Resources Requirements per unit of Maximum Available Crop A Crop B Resources Water Land Fertilizer Labor Unit price 30 25

15 X ) 20 3) , ) 4) X 1

16 Perpotongan pers 1 & 2 merupakan paling maximal 2X1+3 X2 = X2 =(60-2 X1)/3 5 X1+2 X2 = X1=(80-2/3(60-2 X1))/5 X1= X2=12.73 Bentuk standard : Z - 30 X1-25 X2 = 0 2 X1 + 3 X2 + S1 = 60 5 X1 + 2 X2 + S2 = 80 3 X1 + 2 X2 + S3 = 60 X1 + 2 X2 + S4 = 40

17 Basic Z X 1 X 2 S1 S2 S3 S4 Sol Z S /2=30 S /5=16 * S /3=20 S /1=40 Iterasi 1 : X1 masuk S2 keluar X 1 =pivot 0 1 2/5 0 1/ X 1 =pivot Z lama xpivot xpivot Z baru Z baru S1lama xpivot /5 0-2/ xpivot S1baru /5 1-2/ S1baru S3lama S3lama -3xpivot /5 0-3/ xpivot

18 Basic Z X 1 X 2 S1 S2 S3 S4 Sol Z S /5 1-2/ :11/5=12.73 X /5 0 1/ :2/5= 40 S /5 0-3/ :4/5=15 S /5 0-1/ :8/5=15 Iterasi 2 : X2 masuk S1 keluar X2 = pivot /11-2/ /11 Z lama (-13)x pivot /11-26/ Z baru /11 40/ X 1 lama 0 1 2/5 0 1/ /5x pivot 0 0-2/5-2/11 4/ /11 X 1 baru /11 15/ /11 S3 lama 0 0 4/5 0-3/ /5x pivot 0 0-4/5-4/11 8/ /11 S3 baru /11 25/ /11

19 Tabel Optimal koefisien Z positif untuk maximize dengan nilai Basic Z X 1 X 2 S1 S2 S3 S4 Sol Z /11 40/ X /11-2/ /11 X /11 15/ /11 S /11 25/ /11 S /11 5/ /11 Exercise on Irrigation Planning and Operation. In Algeria there are two distinct cropping intensities, depending on the availability of water. Consider a single crop that can be grown under intensive rotation or extensive rotation on a total of A hectare. Assume that the annual water requirements for the intensive rotation policy are 16,000 m 3 per hectare, and for extensive rotation policy