OPTIMASI HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD) DAN ANT COLONY OPTIMIZATION (ACO) Abstrak

Transkripsi

1 OPTIMASI HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD) DAN ANT COLONY OPTIMIZATION (ACO) Vina Puspita Dewi 1), Hanna Arini Parhusip 2), Lilik Linawati 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2), 3) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro Salatiga ), 2), 3) Abstrak Hasil panen padi di Kota Surakarta pada tahun akan ditentukan periode tanam yang optimal. Untuk mendapatkan periode tanam yang optimal maka perlu menyusun fungsi tujuan. Fungsi tujuan yang dipilih adalah berbentuk kuadratik yang parameter-parameternya ditentukan menggunakan Singular Value Decomposition (SVD). Ant Colony Optimization (ACO) ACO merupakan algoritma optimasi yang menggunakan perilaku semut. ACO menghasilkan periode III (September Desember) sebagai periode yang optimal. Hasil gabah per hektar yang diperoleh adalah 43.8 ton Kata Kunci: Ant Colony Optimization (ACO), Singuler Value Decomposition (SVD) 1 PENDAHULUAN Kajian optimasi hasil panen padi di kota Surakarta berdasarkan data BPS Surakarta untuk mencari periode tanam optimal (maksimal) pernah dilakukan menggunakan pemrograman kuadratik. Ada tiga periode tanam dalam satu tahun yaitu periode I (Januari-April), periode II (Mei-Agustus), dan periode III (September-Desember). Kajian didasarkan pada data hasil panen padi tahun Analisis dilakukan untuk setiap periode tanam, sehingga pada masingmasing periode tanam dibuat fungsi tujuan yang berbentuk kuadratik. Parameter-parameter fungsi tujuan ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil dan diperoleh periode tanam yang optimal (maksimal) adalah periode tanam III. Jadi hampir setiap tahun periode yang optimal adalah pada periode III (Dewi, dkk, 2013). Terdapat beberapa metode optimasi non linear modern diantaranya Simulated Annealing, algoritma genetik, Ant colony optimization (ACO), dan Particle Swarm Optimization (PSO). Pada penelitian ini akan digunakan ACO untuk menentukan periode tanam optimal dan diharapkan akan memberikan hasil yang sama dengan hasil penelitian menggunakan pemrograman kuadratik. ACO dibuat berdasarkan perilaku kooperatif dari koloni semut di alam yang dapat menemukan lintasan terpendek dari sarang semut ke suatu sumber makanan. Metode ini dikembangkan oleh Dorigo pada awal 1990-an (Rao, 2009). Untuk fungsi tujuan disusun menggunakan Singuler Value Decomposition (SDV) dan diharapkan nilai error terhadap parameter-parameter fungsi tujuan yang diperoleh lebih kecil. Penelitian mengenai Ant Colony Optimiation (ACO) sudah pernah dilakukan oleh beberapa peneliti diantaranya untuk menyelesaikan permasalahan penjadwalan mesin pararel (Chang, dkk,

2 2008), menyelesaikan permasalahan job shop dengan menggunakan ACO (Seo & Kim, 2008), dan untuk mengoptimalkan reduksi warna pada sirup stevioside (Parhusip & Martono, 2012). DASAR TEORI Ant Colony Optimization (ACO) Menurut Rao (2009) ACO dapat dijelaskan dengan menampilkan masalah optimasi dalam grafik multilayer sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1 dengan banyaknya variabel sama dengan banyaknya layer. Sedangkan banyaknya titik/node pada tiap layer sama dengan banyaknya titik diskrit yang diijinkan berkaitan dengan variabel keputusan. rumah Layer 1(x 1 ) x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 Layer 2 (x 2 ) x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 Layer 3 (x 3 ) x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 Layer 4 (x 4 ) x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 Tujuan (makanan) Gambar 1. Grafik multilayer untuk Ant Colony Optimization (ACO) x i = variabel ke-i. i=1,2,...,n x ij = lintasan pada node ke-i dan posisi ke-j. j=1,2,...,m 2 Berikut ini model cara semut berjalan dari rumah/sarang menuju ke node tujuan dan kembali lagi ke rumah/ sarangnya:

3 1. Sifat Perilaku Semut dalam Perjalanan Menuju Tujuan Seekor semut berjalan dari titik awal yaitu rumah menuju ke layer pertama sampai ke layer terakhir dan akan berhenti sampai ke node tujuan (makanan). Semut ke-k pada lokasi node i untuk menuju posisi ke-j sebagai posisi selanjutnya menggunakan jejak feromon ij pada probabilitas (k) ρ ij = α τ ij α (k) τ j N ij i, jika j N i (k) 0, jika j N i (k) (1) dimana menyatakan derajat kepentingan dari feromon dan N i (k) menyatakan himpunan node-node pada persekitaran semut ke-k pada posisi i, kecuali node predesesor ( yaitu node terakhir yang dikunjungi sebelum i). Hal ini akan menjaga semut ke-k kembali ke node yang sama. 2. Lintasan Kembali dan Memperbaharui Feromon Sebelum ke node rumah (arah mundur), semut ke-k menyimpan (k ) feromon pada lintasan yang telah dikunjungi. Nilai feromon ij pada lintasan (i,j) diperbarui dengan τ ij τ ij + τ (k) (2) Karena ada peningkatan pada feromon, probabilitas lintasan tersebut akan dipilih semut lain juga akan semakin meningkat. 3. Penguapan Jejak Feromon Ketika seekor semut ke-k bergerak ke node berikutnya, feromon yang dapat dinyatakan sebagai τ ij 1 ρ τ ij ; i, j εa (3) dimana ρ (0,1 ] adalah laju penguapan (yang dikenal juga sebagai faktor penurunan 3 feromon) dan A menyatakan segmen atau lintasan yang dilalui oleh semut ke-k dari rumah ke tujuan. Penurunan intensitas feromon menyebabkan eksplorasi pada lintasan yang berbeda-beda selama proses pencarian. Hal ini menyebabkan adanya eliminasi dari pemilihan lintasan yang buruk sehingga jejak feromon dapat menghasilkan nilai yang maksimum. Suatu iterasi dikatakan lengkap jika meliputi pergerakan semut, penguapan feromon dan penyimpanan feromon. Setelah semua semut ke-k kembali ke titik sarang (rumah), informasi feromon diperbaharui berdasarkan hubungan τ ij = 1 ρ τ ij + N (k) k=1 τ ij (4)

4 dimana (k ) ij adalah banyaknya feromon yang disimpan pada lintasan ij oleh semut ke-k. Tujuan feromon diperbaharui adalah untuk meningkatkan nilai feromon yang berkaitan dengan baik atau tidaknya lintasan. Feromon disimpan pada lintasan ij terbaik dalam bentuk dimana Q menyatakan suatu konstan dan τ ij (k) = Q L k (5) L k adalah panjang lintasan yang dilalui oleh semut ke-k (seperti dari 1 kota ke kota lain). Persamaan (5) dapat diimplementasikan sebagai ςf terbaik (k) ; jika i, j perjalanan global terbaik τ ij = f terburuk 0; untuk yang lain f terbaik = nilai terbaik fungsi tujuan f terburuk = nilai terburuk fungsi tujuan = parameter yang digunakan untuk mengkontrol pembaharuan feromon (6) Fungsi Tujuan ACO Menggunakan Singular Value Decomposition (SVD) Pada penelitian ini digunakan fungsi tujuan kuadratik dengan parameter-parameternya dicari menggunakan Singuler Value Decomposition (SDV). Parameter-parameter fungsi tujuan yang akan dicari adalah S i = α 1 x 2 i + α 2 y 2 i + α 3 x i y i + α 4 x i + α 5 y i + α 6 (7) Persamaan (7) dalam bentuk matriks dapat ditulis: dimana 2 2 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y A= x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y x n y n x n y n x n y n 1 Av α = S (8) (8a) x = data ke- i variabel 1 i y = data ke- i variabel 2 i S = S i = data ke- i variabel 3 v α = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 i = 1,2,...,n; n= banyaknya data 4 α j = parameter fungsi tujuan j = 1,2,...,6 A = UΣV T (9)

5 Menurut Watkins (1991) pada persamaan (9) jika matriks Aϵ R nxm mempunyai rank r, maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen AA T U ϵ R nxn, Σ adalah matriks diagonal dari akar nilai eigen AA T Σ ϵ R nxm, dan V adalah matriks dengan kolom-kolom dari vektor eigen AA T V ϵ R mxm. Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh: UΣV T v α = S atau ΣV T v α = U T S (10) Misal c = U T S dan y = V T v α, maka Σy = c sehingga y = Σ T c Persamaan (8) diselesaikan dengan: v α = Vy (11) Untuk error : Error= E = S pendekatan S data S data. 100% Selain itu dengan menghitung Conditional Number: κ A A 1 A jika A nonsinguler jika A singuler Menurut Anderson, dkk, (1999) jika Conditional Number dibawah maka error invers dinyatakan baik. Sebaliknya dikatakan tidak baik (ill condition) Setelah mendapatkan fungsi tujuan, agar fungsi tujuan menjadi tidak berkendala maka perlu disusun fungsi Lagrange untuk menyelesaikannya dengan ACO yaitu m L( x, ) f ( x) i gi ( x) untuk x C dan 0 (12) i 1 Kondisi Karush Kuhn Tucker (KKT) pada persamaan (13) dapat digunakan untuk menemukan titik kritis dengan menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dari L 0. Artinya mencari * pemaksimal x dan parameter optimal * yang memenuhi (1).λ i 0 (2). λ i ( x*) 0 g i untuk i = 1,2,,m. (13) m (3). f ( x*) i * g i 1 i ( x*) 0 5 Fungsi tujuan mempunyai titik pemaksimal jika bersifat concave (cekung). Menurut Perresini, dkk, (1998) ada beberapa cara untuk menunjukkan fungsi tujuan yang diperoleh concave:

6 1. Jika matriks Hessian fungsi tujuan negative semi definite (setiap nilai eigen 0) maka x merupakan pemaksimal. 2. Sebuah fungsi f(x) adalah cembung pada sebuah selang (berhingga atau tak berhingga). Jika untuk setiap dua titik x dan y didalam dimana x dan y ϵ R n dan untuk semua 0 λ 1berlaku f λx + 1 λ y λf x + 1 λ f(y) (14) Jika pernyataan diatas berlaku dengan tanda pertidaksamaan yang terbalik, maka f(x) adalah cekung. METODE PENELITIAN Tahap 1. Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh dari BPS kota Surakarta untuk data hasil panen padi tahun Tahap 2. Data hasil panen padi akan dioptimalkan dengan menggunakan algoritma ACO, dengan parameter fungsi tujuan ditentukan dengan menggunakan SVD. Tahap 3. Menyusun dan menyelesaikan model a. Menyusun fungsi tujuan dengan menggunakan SVD b. Menyusun fungsi Lagrange seperti persamaan (12). c. Mengoptimalkan fungsi Lagrange sesuai dengan algoritma ACO. Tahap 4. Menganalisis hasil dan pembahasan Tahap 5. Membuat kesimpulan. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Penyusunan fungsi tujuan dengan menggunakan SVD menghasilkan fungsi tujuan untuk masing-masing periode tanam sebagai berikut: S I = x xy 0.681x y (15) S II = x y xy x y (16) S III = x y xy x y (17) Pada Gambar 1 disajikan data aktual yang dibandingkan dengan data pendekatan untuk setiap periode tanam. Nilai error dari parameter setiap fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil maupun dengan SVD diperlihatkan pada Tabel 1. 6

7 fungsi tujuan fungsi tujuan fungsi tujuan hasil pendekatan hasil pendekatan hasil pendekatan indeks indeks indeks Periode I Periode II Periode III Gambar 2. Grafik hasil panen padi menurut data aktual dan hasil pendekatan fungsi kuadratik pada setiap periode tanam. Number. Tabel 1. Nilai error berdasarkan metode kuadrat terkecil dan SVD serta nilai Conditional Error Conditional number Metode yang Periode I Periode II Periode III digunakan Kuadrat terkecil 9.4% % % SVD 7.27% 11.89% 8.43% Kuadrat terkecil SVD Metode SVD memberikan nilai error dan Conditional Number yang lebih kecil jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Begitu juga dengan Conditional Number yang diperoleh. Hal ini dapat disimpulkan bahwa parameter-parameter fungsi tujuan yang diperoleh menggunakan SVD lebih baik jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Perlu dibuat persamaan Lagrange seperti persamaan (12) dengan kendala yaitu x x maks dan y x. Sehingga persamaan (15) sampai (17) menjadi: L x, λ = x y xy 0.681x y λ 1 x 1 + λ 2 y x λ 3 x λ 4 y (18) L x, λ = x y xy x y λ 1 x 1 + λ 2 (y x) λ 3 x λ 4 y (19) L x, λ = x y xy x y λ 1 x 1 + λ 2 (y x) λ 3 x λ 4 y (20) Masing-masing fungsi tujuan diselesaikan berdasarkan algoritma ACO, dan diperoleh penyelesaian seperti pada Tabel 2.

8 Tabel 2. Penyelesaian optimal berdasarkan ACO untuk ketiga periode tanam. Periode I Periode II Periode III x * y * S * λ λ λ λ Tabel 3. Kondisi KKT untuk setiap periode tanam. Periode Periode II Periode III I Kondisi I Terpenuhi Terpenuhi Terpenuhi Kondisi II Kondisi III Kondisi KKT pada Tabel 3 tidak terpenuhi sehingga x bukan merupakan pemaksimal dan 8 parameter λ tidak optimal. Selain itu dengan mencari niai eigen dari matriks Hessian fungsi Lagrange. Diperoleh nilai eigen untuk setiap periode tanam yaitu: Periode I: [-1.47; -1.01; 0; 0; 1.14; 2.95] Periode II: [-9.24; -0.65; 0; 0; 0.29; 2.81] Periode III: [-0.98; -0.48; 0; 0; 2.27; 4.61] Dari ketiga periode tanam diatas nilai eigen untuk masing-masing periode tanam tidak ada yang bersifat negative semi definite, sehingga x bukan merupakan pemaksimal.

9 Cara selanjutnya yaitu menguji persamaan (14), dari Gambar 3 dapat disimpulkan bahwa untuk setiap periode tidak terlihat secara signifikan bersifat convex atau concave ruas kiri ruas kanan 0.5 ruas kiri ruas kanan ruas kiri ruas kanan Periode I Periode II Periode III Ket: *: ruas kiri o: ruas kanan Gambar 3. Fungsi tujuan convex atau concave. Tabel 4. Penyelesaian optimal untuk ketiga periode tanam dalam bentuk data berdimensi. Luas Tanam Akhir (ha) Luas Panen (ha) Hasil gabah (ton) Metode yang digunakan Periode I Periode II Periode III Pemrograman Kuadratik ACO Pemrograman Kuadratik ACO Pemrograman Kuadratik ACO Dapat dijelaskan dari Tabel 4 bahwa periode tanam yang optimal adalah periode III, dimana hasil gabah yang didapat dalam satu hektar sawah adalah 43.8 ton. Pada penelitian yang pernah dilakukan menggunakan pemrograman kuadratik periode optimal adalah periode III. Secara informal (dari data) periode III merupakan periode yang maksimal hampir di setiap tahunnya. Pada dasarnya ACO tidak baik karena L 0 tidak terpenuhi, untuk itu menggunakan fungsi tujuan seperti persamaan (18) sampai (20) diselesaikan dengan pemrograman kuadratik menurut dewi,dkk, (2013). Hasil untuk pemrograman kuadratik diperoleh pada Tabel 5. 9 Tabel 5. Penyelesaian fungsi tujuan SVD dengan pemrograman kuadratik Periode I Periode II Periode III Luas Tanam Akhir Luas Panen Hasil gabah

10 Menggunakan pemrograman kuadratik diperoleh hasil yang lebih optimal dibandingkan dengan ACO. Hasil optimasinya juga menunjukkan periode III merupakan periode optimal. SIMPULAN DAN SARAN Analisis hasil panen padi berdasarkan ACO yang parameternya ditentukan menggunakan SVD memberikan hasil bahwa periode III merupakan periode optimal. Hal ini mendukung hasil penelitian pada data yang sama dengan analisis menggunakan pemrograman kuadratik dan parameter ditentukan berdasarkan metode kuadrat terkecil bahwa periode III merupakan periode optimal. Menggunakan fungsi tujuan yang diperoleh dari SVD dan mengoptimasi dengan pemrograman kuadratik periode III merupakan periode yang optimal. Hasil ACO jika dibandingkan dengan pemrograman kuadratik lebih optimal pemrograman kuadratik. 10 DAFTAR PUSTAKA Anderson, E. dkk.(1999). LAPACK User's Guide Third Edition, SIAM, Philadelphia. ( Chang, P.T. dkk. (2008). Ant colony optimization system for a multi-quantitative and qualitative objective job-shop parallel-machine-scheduling problem. International Journal of Production Research,Vol. 46, No. 20, 15 October 2008, Dewi, V.P. Parhusip, H.A. & Linawati, L. (2013). Analisis hasil panen padi menggunakan pemodelan kuadratik. Prosiding (dalam proses), Seminar Nasional Matematika VII yang diselenggarakan oleh jurusan Matematika FMIPA dan Prodi Pendidikan Matematika Program Pasca Sarjana UNNES tanggal 26 Oktober 2013.Semarang: Universitas Negeri Semarang. Parhusip, H.A. &Martono, Y.(2012). Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science,ISSN: ,Vol1, pp91-101, GMU. Peressini, A.L. Sullivan, F.E. & Uhl, J. (1998). The Mathematics of Nonlinear Programing, Springer Verlag, New York,Inc. Rao, S.S. (2009). Engineering Optimization, Theory and Practice, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Seo, M. & Kim, D. (2010). Ant colony optimisation with parameterised search space for the job shop scheduling problem. International Journal of Production Research.Vol. 48, No. 4, 15 February 2010, Watkins, D.S. (1991). Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons, New York.