PENGGUNAAN ALGORITMA GENETIK DALAM MENGOPTIMALKAN KANDUNGAN KARBOHIDRAT DAN PROTEIN PADA MOCORIN

Transkripsi

1 PROSIDING Nov,2013 : Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9 ISBN: , hal. MT PENGGUNAAN ALGORITMA GENETIK DALAM MENGOPTIMALKAN KANDUNGAN KARBOHIDRAT DAN PROTEIN PADA MOCORIN Ruth Kristianingsih 1, Hanna Arini Parhusip 2, Tundjung Mahatma 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2,3 Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No , Salatiga 1 ruthkristianingsihh@yahoo.co.id, 2 hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 3 t.mahatma@staff.uksw.edu Abstrak Makalah ini merupakan hasil penelitian tentang pengoptimalan kandungan karbohidrat dan protein pada mocorin. Data yang digunakan adalah kandungan kadar karbohidrat terhadap massa dan absorbansi, serta kandungan kadar protein terhadap absorbansi. Selanjutnya dibuat pemodelan data dan dicari masing-masing parameter dengan metode kuadrat terkecil. Masing-masing parameter diuji dengan mengamati nilai eigen matriks Hessian residual. Setelah parameter fungsi tujuan optimal, fungsi tujuan dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG). Diperoleh kadar karbohidrat maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 12,5% dan kadar protein maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 50%. Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik, Metode Kuadrat Terkecil, matriks Hessian A. PENDAHULUAN Mocorin merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan bekatul. Latar belakang dari pembuatan mocorin ini adalah upaya pemenuhan kebutuhan makanan pokok khususnya untuk orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras yaitu jagung. Salah satu varietas unggul jagung yang dipilih sebagai benih adalah Bisi 2 (Silvia, 2012). Hasil penelitian Silvia dianalisa secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung kuning varietas Bisi 2 untuk mengoptimalkan kandungan proksimat (kadar karbohidrat, protein, air, abu, lemak, dan serat). Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, akan dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG). AG dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dan pemodelan pada berbagai bidang, seperti pada bidang kimia digunakan untuk mengestimasi parameter pada model kinetic (Katare, dkk., 2008) dan optimasi pada sekumpulan proses kimia (Mokeddem, 2010). Selain digunakan di bidang kimia, AG dapat digunakan di bidang ekonomi, seperti memodelkan cobweb-type (Dawid, dkk., 1998); di bidang penjadwalan telah digunakan untuk mengoptimasi masalah penjadwalan flow-shop (Gunawan, 2003) dan optimasi penjadwalan kegiatan belajar mengajar (Nugraha, 2008); di bidang fisika diaplikasikan untuk mengatasi permasalahan pada acelerator fisika (Hofler, dkk., 2013). Oleh karena itu, AG digunakan pada Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

2 penelitian ini karena algoritma ini termasuk teknik pencarian yang telah terbukti robust (tangguh), adaptif, dan efisien (Goldberg, 1989). B. MODEL DAN ALGORITMA YANG DIGUNAKAN Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat dan protein. Karbohidrat Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah fungsi eksponensial: w = γxe αx2 βy 2 (1) Fungsi ini digunakan untuk menyatakan karbohidrat sebagai fungsi massa dan absorbansi dimana α, β, γ pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan : R = n i=1 (W i,data W i,model ) 2 (2) dimana W i,model adalah persamaan (1). Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis R yang diperoleh harus memenuhi kondisi 0 atau T = 0 (3) Persamaan (3) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik. Algoritma yang digunakan adalah metode Newton (Peressini, 1988). Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah (α, β,γ ). Untuk menyelidiki sifat (α, β,γ ) perlu diamati sifat Hessian R di (α,β, γ ) (Parhusip, 2012), yaitu H R = α 2 β α γ α α β β 2 γ β α γ β γ Jika matrik H R semi positive definite dimana nilai eigen λ 0, maka (α, β, γ ) merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik. Protein Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk protein adalah fungsi eksponensial : p = ae bk (5) Fungsi ini digunakan untuk menyatakan protein sebagai fungsi karbohidrat dimana a dan b pada persamaan (5) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan : R = n i=1 (P i,data P i,model ) 2 (6) dimana P i,model adalah persamaan (5). Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis R yang diperoleh harus memenuhi kondisi 0 atau R = 0 (7) a b Sama seperti persamaan (3), persamaan (7) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah (a,b ). Untuk menyelidiki sifat (a,b ) perlu diamati sifat Hessian R di (a, b ), yaitu H R = a 2 b a a b γ 2 T (4) (8) b 2 Yogyakarta, 9 November

3 Jika matriks H R semi positive definite yaitu dimana nilai eigen λ pada 0, maka (a,b ) merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik. Prosedur Umum Algoritma Genetik Algoritma genetik adalah teknik pencarian dan optimasi yang meniru proses evolusi dan perubahan genetika pada struktur kromosom makhluk hidup (Goldberg, 1989). Algoritma genetik (AG) mulai bekerja pada sekumpulan solusi yang dinamakan solusi awal. Populasi awal ini dibangkitkan secara acak. Setiap individu yang ada dalam populasi awal dinamakan kromosom. Kromosom yang biasanya berbentuk bilangan biner (kode 0 dan 1), dikembangbiakkan oleh operator-operator genetik melalui beberapa generasi (iterasi). Dalam setiap generasi, masing-masing kromosom dievaluasi untuk mengukur nilai kebugaran atau nilai fitness. Untuk mencetak generasi berikutnya, dipilih beberapa kromosom-kromosom hasil evaluasi untuk disilangkan atau dimutasikan. Kromosom-kromosom yang terpilih disebut kromosom induk (parents), sedangkan kromosom-kromosom baru yang terbentuk disebut kromosom anak (offsprings). Proses penyilangan dan mutasi dilakukan oleh operator-operator genetik, yaitu operator penyilangan (crossover) dan operator mutasi (mutation). Setelah melewati beberapa generasi, nilai fitness kromosom akan membaik menuju suatu nilai optimum. Nilai optimum inilah yang diharapkan menjadi solusi masalah yang hendak diselesaikan. AG dapat menemukan solusi optimum walaupun fungsi tujuannya sangat ekstrim dan mempunyai beberapa titik optimum lokal (Yang, 2005). Komponen-komponen Algoritma Genetik Berikut ini adalah komponen-komponen dari algoritma genetic. Representasi Kromosom Untuk dapat mengaplikasikan AG, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkodekan (encoding) calon solusi ke dalam suatu bentuk representasi kromosom. Representasi kromosom yang pertama kali diperkenalkan oleh Holland adalah representasi bilangan biner (Goldberg, 1989). Sebuah kromosom terdiri dari beberapa elemen yang disimbolkan dengan angka nol (0) dan satu (1). Jika setiap calon solusi atau variabel desain x i, i = 1, 2, n dikodekan dalam kromosom sebanyak q, maka vektor desainnya direpresentasikan dalam kromosom dengan panjang nq (Rao, 2009). Setiap untaian elemen memiliki arti khusus yang menunjukkan nilai fitness kromosom yang bersangkutan. Himpunan solusi-solusi ini disebut populasi. Seleksi dan Reproduksi Seleksi adalah pemilihan beberapa kromosom untuk dijadikan sebagai kromosom induk lagi bagi generasi berikutnya. Kromosom terpilih kemudian akan digandakan (direproduksi) lalu hasilnya ditempatkan di mating pool, yaitu tempat berkumpulnya kromosom-kromosom induk yang akan mengalami penyilangan maupun mutasi. Proses seleksi ini juga meniru proses seleksi alam dalam cara kerjanya, yaitu kromosom dengan nilai fitness lebih baik akan memiliki peluang bertahan hidup (survival of fittest) yang lebih baik pada generasi berikutnya, dan sebaliknya. Penyilangan (Crossover) Operator ini adalah operator utama atau primer dalam algoritma genetik. Operator ini bekerja pada sepasang kromosom induk untuk menghasilkan dua kromosom anak dengan cara menukarkan beberapa elemen (gen) yang dimiliki masing-masing kromsom induk. Probabilitas crossover p c digunakan dalam memilih kromosom induk yang akan disilangkan. Dengan demikian hanya 100% p c kromosom dalam mating pool yang akan digunakan dalam operasi penyilangan, sementara itu 100% (1 p c ) kromosom akan tetap bertahan (tidak berubah) dalam generasi baru. Mutasi (Mutation) Mutasi adalah operator sekunder yang berperan dalam mengubah struktur kromosom secara spontan dengan probabilitas mutasi p m yang kecil. Perubahan ini menyebabkan terbentuknya mutan, yaitu kromosom baru yang secara genetik berbeda dari kromosom Yogyakarta, 9 November

4 sebelumnya. Operator ini mengubah bilangan biner 1 menjadi 0 dan sebaliknya. Dipilih bilangan acak antara 0 dan 1, jika bilangan tersebut lebih kecil dari p m maka bilangan biner diubah dan sebaliknya. Dalam mencari solusi optimum, mutasi sangat diperlukan yaitu untuk : (1) mengembalikan gen-gen yang hilang pada generasi-generasi sebelummnya, dan (2) memunculkan gen-gen yang belum pernah muncul pada generasi-generasi sebelumnya. Fungsi Fitness (Fungsi tujuan) Fungsi fitness adalah fungsi yang mengukur tingkat kebugaran suatu kromosom dalam suatu populasi. Semakin besar nilai fitness, semakin bugar pula kromosom dalam suatu pupulasi sehingga semakin besar kemungkinan kromosom tersebut untuk tetap bertahan pada generasi berikutnya. Suatu fungsi fitness dapat sama atau hasil modifikasi terhadap fungsi tujuan masalah yang akan diselesaikan. Secara ringkas, proses komputasi menyangkut memaksimalkan fungsi fitness F ( x1, x2,..., xn ) dalam AG dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : (Rao, 2009) 1) Dipilih panjang kromosom yang tepat l = nq untuk menyatakan variabel desain sebanyak n dari vektor desain X. Asumsikan nilai-nilai parameter : ukuran populasi m, probabilitas crossover p c, probabilitas mutasi p m, nilai-nilai yang diijinkan untuk standar deviasi dari nilai-nilai fitness populasi s j max untuk menggunakan kriteria konvergen, dan iterasi maksimum i max. 2) Dibuat populasi acak dengan ukuran m, setiap populasi terdiri dari suatu kromosom dengan panjang l=nq. Nilai-nilai fitness F i, i 1,2..., m dengan string sebanyak m dievaluasi. 3) Proses reproduksi. 4) Operasi crossover menggunakan probabilitas crossover p c 5) Operasi mutasi menggunakan probabilitas mutasi p m 6) Nilai-nilai fitness F i, i 1,2..., m dari m string dari populasi yang baru dievaluasi. Dicari standard deviasi dari nilai-nilai fitness yang sebanyak m. s, kriteria konvergen 7) Test konvergensi dari algoritma atau proses. Jika j s j max terpenuhi dan oleh karena itu proses dapat berhenti. Sebaliknya menuju langkah 8. 8) Test untuk bilangan generasi (iterasi). Jika i imax, komputasi telah dibentuk untuk banyaknya generasi maksimum yang diijinkan dan oleh karena itu proses dapat dihentikan. Sebaliknya, membuat banyaknya generasi adalah i = i + 1 dan menuju langkah 3. C. METODE PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data percobaan pembuatan Mocorin yang dilakukan Silvia (2012) dengan mengukur kadar karbohidrat dan protein dengan masingmasing proporsi penambahan bekatul sebesar 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Kadar karbohidrat pada percobaan ini dipengaruhi oleh absorbansi dan massa, sedangkan protein dipengaruhi oleh absorbansi. Penelitian dilakukan untuk mengetahui proporsi dimana kadar protein dan karbohidrat maksimal dengan menggunakan AG. Oleh karena itu, pertama-tama akan dilakukan pemodelan untuk menyusun fungsi tujuan. Pencarian parameter pada fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan fungsi lsqnonlin.m pada Matlab. Pada tahap selanjutnya, dilakukan analisa apakah parameter-parameter yang dicari sudah optimal dengan menyelidiki nilai eigen pada matriks Hessian residual. Setelah didapatkan bahwa parameter-parameter yang dicari optimal, fungsi tujuan diselesaikan dengan menggunakan AG dengan bantuan Matlab. Yogyakarta, 9 November

5 D. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka masing-masing kadar karbohidrat dan protein dioptimasi dengan tahapan sebagai berikut : Karbohidrat Diasumsikan bahwa kadar karbohidrat dipengaruhi oleh massa sampel dan absorbansi. Menurut persamaan (1), γ, α, β dicari berdasarkan data. Sesuai persamaan (2) untuk mencari parameter γ, α, β maka perlu meminimalkan : R = n [w i γx(i)e αx(i)2 βy(i) 2 i=1 ] 2 (9) Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan Matlab dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m. Pada penelitian ini, dilakukan pengolahan data dengan mencari rata-rata dari masingmasing data (kasus 1) dan dibandingkan jika penelitian dilakukan dengan mengolah semua data tanpa mencari rata-rata (kasus 2). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 1 berikut : Tabel 1. Hasil Pencarian paremeter dengan menggunakan lsqnonlin.m Penelitian Kasus 1 Kasus 2 Error 3,3238 % 16,2568 % Parameter α = , β = , γ = α =0.7883,β = ,, γ= Fungsi Tujuan w = xe 1,1162x2 +0,6109y 2 w = 1,2490 xe 0,7883x2 +0,3661y 2 Matriks Hessian R Nilai Eigen Matriks Hessian 1,6555 1,8262 1,1614 1,8262 2,0104 1,2798 1,1614 1,2798 0,8122 0,3115 0,6199 0,5176 0,6199 1,2770 1,0480 0,5176 1,0480 0,9057 [ 0,0019 0,0017 4,4817] [ ] Dari tabel 1, dapat diketahui hasil untuk masing-masing kasus, sebagai berikut : Kasus 1 Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun error untuk penelitian pada kasus 1 cukup kecil yaitu sebesar 3,3238 % yang berarti nilai kadar karbohidrat pada data tidak jauh berbeda dengan nilai kadar karbohidrat pendekatan. Namun berdasarkan dari nilai eigen matriks hessian R pada α, β,γ, menunjukkan bahwa matriks Hessian tidak semi positive definite, sehingga nilai parameternya tidak optimal. Oleh karena itu, kita tidak dapat menggunakan rata-rata data untuk mewakili penelitian dari semua data. Kasus 2 Sedangkan error pada kasus 2 menunjukkan bahwa error cukup kecil yaitu 16,2568% dan nilai eigen matriks Hessian pada α, β,γ menunjukkan bahwa matriks Hessian residual positive definite, sehingga nilai paremeter optimal. Untuk tahap selanjutnya, dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat untuk kasus 2 dengan menggunakan AG. Diperoleh hasil kadar karbohirat maksimum yaitu pada sekitar w = 60,5871% dengan pemaksimum massa 0,1187 dan pemaksimum absorbansi 0,6266. Dapat disimpulkan bahwa diperoleh hasil karbohidrat maksimum adalah pada penambahan bekatul 0%, yang artinya karbohidrat akan maksimum jika tidak ada penambahan bekatul. Namun, diinginkan karbohidrat maksimum dengan ditambahkannya bekatul. Oleh karena itu, selanjutnya akan dilakukan penghitungan untuk menentukan pada proporsi penambahan bekatul berapakah kandungan karbohidrat akan maksimal. Penelitian dilakukan dengan menghilangkan data dengan penambahan bekatul 0%. Maka diperoleh nilai parameter α =0,7799, β =-0,2377, γ=1,2033 dengan error 13,4892% dan nilai eigen matriks Hessiannya adalah λ HR = [0,0428 0,0144 1,0942] dimana menunjukkan bahwa matrik Hessian positive definite, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai parameter optimal. Dengan fungsi tujuan w = 1,2033 xe 0,7799x 2 +0,2377y 2 dicari nilai kadar karbohidrat yang optimal dengan AG. Diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar w = Yogyakarta, 9 November

6 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Dicari nilai eigen matriks Hessian fungsi tujuan w yaitu λ Hw = [0,2535 0,0242] yang menunjukkan bahwa nilai x dan y optimal. Dapat disimpulkan karbohidrat maksimum diperoleh pada proporsi penambahan bekatul sebanyak 12,5% yang sesuai dengan hasil statistik. Protein Protein tergantung pada nilai absorbansi. Namun, pada penelitian ini, protein dinyatakan sebagai fungsi karbohidrat, karena keduanya tergantung pada nilai absorbansi. Data protein diinterpolasi dan diketahui hubungan antara karbohidrat dan protein, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Proses ini menggunakan interp() pada Matlab. Dengan interpolasi fungsi tidak perlu didefinisikan secara eksplisit. Interpolasi ini bermanfaat untuk menyatakan data protein sebagai fungsi karbohidrat Gb.1 Hasil interpolasi karbohidrat dengan protein Selanjutnya hubungan keduanya dianggap memenuhi fungsi eksponensial : P x = ae bx + c dengan P(x) merupakan fungsi protein dan x karbohidrat, sehingga P(x) tergantung oleh karbohidrat. Gambar 2 menunjukkan grafik perbandingan data interpolasi dengan pendekatannya. Gb. 2 Perbandingan hasil interpolasi dengan pemodelan Diperoleh error sebesar 33,2679% dengan nilai parameter a = 22,2143, b = 11,8467, dan c = 0,3946. Untuk menguji optimalitas parameter, dicari matriks Hessian R untuk P(x) dan nilai eigen matriks Hessian, didapatkan hasil nilai eigen [0 0 2] yang merupakan semi positive definite sehingga parameter optimal. Dengan menggunakan parameter tersebut, nilai optimal kadar protein dicari dengan menggunakan AG, dan diperoleh hasil nilai optimal pada nilai sekitar 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 19,9167 %. Dicari d2 p diperoleh 0,3946 yang berarti nilai x d 2 x Yogyakarta, 9 November

7 bukan pemaksimal dari p. Hal inilah yang menyebabkan error cukup besar, sehingga protein yang diperoleh belum optimal. Namun diketahui bahwa nilai proporsi penambahan bekatul agar protein optimal adalah 50% yang sudah sesuai dengan hasil statistik. E. PENUTUP Pada makalah ini ditunjukkan optimasi karbohidrat dan protein pada mocorin dengan menggunakan AG. Tujuan untuk mendapatkan kadar karbohidrat optimal dicapai pada penambahan bekatul 12,5%. Nilai dari kadar karbohidrat optimal yaitu sebesar 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Sedangkan kadar protein optimal pada penambahan bekatul 50%. Nilai dari kadar protein optimal yaitu 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 1,9167 %. F. DAFTAR PUSTAKA Dawid, Herbert and Kopel, Michael On economic applications of genetic algorithm : a model of cobweb-type. J Evol Econ 8 : Goldberg, D.E., Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine Learning. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Gunawan, H Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Masalah Penjadwalan Flow- Shop. Skripsi. FTP. Institut Pertanian Bogor, Bogor. Hofler, Alicia. Terzic, Balsa. Kramer, Matthew. Zvezdin, Anton. Morozov, Vasiliy. Roblin, Yves. Lin, Fanglei and Jarvis, Colin Innovative applications of genetic algorithms to problems in accelerator physics. Phys. Rev. ST Accel. Beams 16. Mokeddem, D. and A. Khellaf Multicriteria Optimization of Multiproduct Batch Chemical Process Using Genetic Algorithm. Journal of Food Process Engineering. Vol. 33 Issue 6, pages Nugraha, I Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar. Jurnal. ITB: Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Program Studi Teknik Informatika. Bandung. Parhusip, H.A dan Martono, Y Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science. ISSN: ,Vol1, pp91-101, GMU. Peressini, A.L,et.all, The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc. Rao, S. S Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, Canada. Silvia,L., Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas Bisi 2 Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Katare, S., A. Bhan, J. M. Caruthers, W. N. Delgass and V. Venkatasubramanian A hybrid genetic algorithm for efficient parameter estimation of large kinetic models. Computers and chemical engineering, Vol. 28, pp Yang, W.Y, Cao,W, Chung, T-S, Morris,J. 2005, Applied Numerical Methods Using MATLAB. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, Hoboken. Yogyakarta, 9 November