LAIRAN
3 Lampra Bukt ersamaa ( Gambar: Kurva Froter da CAL E ( r CAL E ( r ( E r r roter r ( E r r Kemrga gars CAL adalah, merupaka market prce o rsk (rsko harga pasar da dsebut raso mbal hasl terhadap varabltas. salka mbal hasl yag dharapka pada portoolo E ( r, a adalah bobot dar vestor. Dapat dgambarka dalam suatu prospek sederhaa sebaga berkut: E ( r ( a ( ( a ( E r E r + E r. Ragam portoolo ddapat sebaga berkut: rp w'vw a rp ( a a a ( a ( a a ( a a + + a a + a( a + a a + a ( ( ( ( a a a a + + dega w vektor bobot, w' vektor traspose dar w, V matrks ragam-koragam. tadar devas a ( a a( a + +. Var rp etap vestas aka trade o mbal hasl da stadar devasya merupaka perubaha mbal hasl terhadap perubaha stadar devas sebaga berkut: de ( rp E ( rp/ a d / a r ( r a ( E r a E ( r E r E ( r E( r a rp ( a + ( a + a ( a a a + ( a ( + 4a (
4 ( Kemuda de r E r d / a a a + a ( ( a + a + a a ( ( / a r r E( r E( r ( ( ( + a a a + + a a a a.. Karea setap vestor memegag portoolo yag sama yatu portoolo pasar (pada ttk ekulbrum maka a 0. de ( r E ( r E( r. d r a 0 + Kemrga CAL sama dega perubaha mbal hasl yag dharapka terhadap perubaha stadar devas maka dperoleh E( r r E ( r E( r + ( r ( E r ( E r r ( E( r r + ( ( ( (( ( ( E r r + E r r E r r ( ( ( (( ( ( E r r + E r r E r r ( E ( r r + ( E( r r ( E( r r E( r r ( ( E r r E r r ( ( ( E r r + E r r ( ( ( dega β adalah rsko sstemats. ehgga model CA klask adalah ( ( β ( E r r + E r r. terbukt
5 Lampra Bukt ersamaa ( da (9 salka W adalah kekayaa awal tahu oleh dvdu ke-. Kemuda semua kekayaa dvestaska dalam uag pada salah satu sekurtas ke-. salka adalah bayakya vestas yag dlakuka pada salah satu sekurtas ke- oleh dvdu ke-. Kekayaa awal tahu ddeska sebaga berkut W. (L.7 Kekayaa akhr tahuya adalah W % R. (L.8 R + r, r merupaka la mbal hasl sekurtas ke-. Aggap bahwa setap dvdu g E U W % dega kedala W. D maa U adalah ugs utltas memaksmumka ( ( yag terderesal da kotu pada ugs kekayaa oleh dvdu ke-. Ekspas deret Taylor U ( W % d sektar E ( W % sebaga berkut ( U ( ( E W U ( W ( W E( W. (L.9 0! Kemuda la harapa dar ersamaa (L.8 adalah ( U ( ( E W EU ( ( W E W E( W (L.30 0! ( dmaa U adalah turua ke- dar U yag devaluas pada E ( W. Dar ersamaa (L.30 dmsalka mome pusat ke- dar peubah acak W adalah µ E W E ( W. (L.3 Kemuda dega membetuk Lagrage, masg-masg dvdu memaksmumka. E U ( W dega kedala W. ehgga maksmumka EU ( ( W + L( W. (L.3 0 ubsttus ersamaa (L.30 da ersamaa (L.33 ke ersamaa (L.3 sehgga ( U ( E( W µ + L ( W. (L.33! 0 0 Utuk peyederhaaa dmsalka saa da turuka ersamaa (L.33 terhadap, maka dperoleh ( ( U U µ + µ L 0 0!!. (L.34 Dega, kekayaa awal tahuya mead W (L.35 da kekayaa akhr tahuya W R. (L.36 Dmsalka W E( W. (L.37 ubsttus ersamaa (L.36 ke ersamaa (L.37 dperoleh W E( W E( R E( R. (L.38
6 Turuka ersamaa (L.38 terhadap W E ( R. (L.39 Kemuda, lhat ersamaa (L.34 da ersamaa (L.39 maka dperoleh ( ( + ( + U U W U E( R!.!! (L.40 Lhat ersamaa (L.3 da ersamaa (L.34 dperoleh ( µ E W E ( W E R E R ( E R E R E W W R E ( R E W W ( R E ( R. (L.4 ubttuska ersamaa (L.40 da ersamaa (L.4 ke ersamaa (L.4 dperoleh ( ( U U µ + µ L 0!! ( + ( U U E( R µ + E ( R E( R W W L. 0!! (L.4 ( ada ersamaa (L.4, ekspas deret Taylor utuk U d sektar W sebaga berkut ( + U µ. (L.43 0! ubsttus ersamaa (L.43 ke ersamaa (L.4 dperoleh ( ( U E ( R U + E ( R E( R W W L! ( ( U E ( R U + E ( R E( R W W L. (L.44 (! Lhat pada ersamaa (L.3 dega deks maka µ EW EW (. (L.45 Jka 0 µ 0 E W E W da ka µ E W E W 0 E( (L.46 E W E W E W E E W E W E W 0. (L.47
7 elautya, turuka ersamaa (L.46 da ersamaa (L.47 terhadap ( µ 0 ( µ 0. (L.48 ersamaa (L.48 megakbatka,3, 4,...,. Kemuda kuragka sekurtas ke- dega sekurtas ke-k pada ersamaa (L.44 dega L0, sehgga dperoleh ( ( U E( R Rk U + E ( R Rk E( R Rk W W 0 (! ( U E ( R Rk E( R Rk W W E( R Rk ( U (! ( U E ( R Rk ( E( R E( Rk W W E( R E( Rk ( U (! ada ersamaa (L.49, msalka θ U U ( ( (!. (L.49 (L.50 ubsttus ersamaa (L.50 ke ersamaa (L.49 E( R E( Rk + θe ( R Rk ( E( R E( Rk W W. (L.5 Aggap ada sekurtas yag bebas rsko. salka R + r. Kemuda substus R ke R k pada ersamaa (L.5 dperoleh E( R R + θe ( R R ( E( R R W W R + θe ( R R E( R + R W W R + θe ( R E( R W W. (L.5 salka adalah bayakya vestas yag telah dtaamka pada sekurtas bebas rsko. Bayakya vestas yag telah dtaamka pada portoolo dar sekurtas-sekurtas bersko adalah W (L.53 Rp + rp. (L.54 r p adalah la mbal hasl pada portoolo dar sekurtas bersko. ubsttus ersamaa (L.35 da (L.53 ke ersamaa (L.36 meghaslka W% R W% W R W% ( + R W R + R. (L.55 p
8 Nla harapa dar ersamaa (L.55 E W W E( Rp + R. (L.56 ubsttus ersamaa (L.55 da ersamaa (L.56 ke ersamaa (L.5, maka dperoleh E( R R + θe ( R E( R W W R + θ E R E R R + R E R R p p ( ( ( ( { } ( ( ( ( { } ( ( ( ( { } R + θ E R E R R E R p p R + θ E R E R R E R. (L.57 p p salka R R (L.58 Kemuda substtus ersamaa (L.58 ke ersamaa (L.57 sehgga dperoleh {( ( ( ( } + θ ER ( R E R E R R E R. (L.59 Kemuda, ersamaa (L.59 dbuat sedemka sehgga ( ( {( ( ( ( } E( R E( R + θ ER ( R E R E R salka, pada ersamaa (L.60 ( ( E R E R R E R. (L.60 b( θ E R E R (L.6 da v {( ( ( ( } E( R E( R E R E R R E R. (L.6 Utuk lebh memudahka, substtus ersamaa (L.6 da (L.6 ke ersamaa (L.60 mead model CA -mome sebaga berkut ( ( E R R + b v (L.63 Berdasarka ersamaa (L.63 maka utuk CA 3-mome dega,3 dperoleh E R R + b v + b v. (L.64 ( 3 salka v β. (L.65 v3 γ. (L.66 ubsttus ersamaa (L.65 da (L.66 ke ersamaa (L.64 sehgga E R R + b β + b γ. (L.67 ( Utuk koese b da b dperoleh sebaga berkut salka R + r, r adalah la mbal hasl pada keseluruha portoolo yag dmlk oleh suatu dvdu. salka R stadar devas dar la mbal hasl pada keseluruha portoolo yag dmlk oleh suatu dvdu, da τ R kemrga dar la mbal hasl pada keseluruha portoolo yag dmlk oleh suatu dvdu. salka β la beta dar keseluruha portoolo yag dmlk oleh suatu dvdu, da
9 γ la gamma dar keseluruha portoolo yag dmlk oleh suatu dvdu. Berdasarka pada rumus CA -mome, maka β R R. (L.68 Berdasarka sat-sat koragam da coskewess yatu β β maka β R R β R R R β (L.69 R da γτ R τ R. (L.70 Berdasarka sat-sat koragam da coskewess yatu γ γ maka τ γ τ R R τ R γ. (L.7 τ R Kemuda dketahu bahwa W. (L.7 R τ W τ. (L.73 R ubsttus ersamaa (L.36 da (L.67 ke ersamaa (L.37 dperoleh W E W W E R ( E R ( E R W ( β γ R + b + b W WR + Wb β + Wb γ. (L.74 Kemuda, substtus ersamaa (L.69, (L.7, (L.7, (L.73 ke ersamaa (L.74 maka dperoleh R τ R W W R + Wb + Wb τ R τ R WR + b b + R τ. (L.75 R Karea portoolo pasar tak berubah, R da τ R berla tetap. Kemuda turuka ersamaa (L.75 terhadap sehgga dperoleh
0 W b R W b. (L.76 ( R Turuka ersamaa (L.75 terhadap τ sehgga dperoleh W b τ τ R W b. (L.77 ( τ R τ terbukt
Lampra 3 Bukt ersamaa ( r u ( tu r( + k( t re +. (.78 Berdasarka ersamaa (7 maka la harapaya maka E r r + bβ + b γ (.79 ( e e e Kemuda, beta (gamma dar ekutas dapat dyataka sebaga kombas ler dar suatu beta (gamma uderwrtg da suatu beta (gamma vestas dyataka sebaga berkut β ( β ( + ( u tu k t βe +. (.80 γ ( γ ( + ( u tu k t γ e +. (.8 ubsttus ersamaa (.78 ke ersamaa (.79 maka ( ( + ( r u tu r k t E + r + bβ + b γ ( ( ( ( + ( e e E ru tu E r k t + r + bβ e + bγ e. (.8 ubstus ersamaa (7, (.80, (.8 ke ersamaa (.8 maka ( ( ( r + bβ + bγ( + k( t E r t u u + ( ( + ( ( γ ( + k( t βu tu β k t γu tu r + b + + b + ( u ( u + ( + β + γ( + ( r b( βu ( tu ( k β( t b( γu ( tu ( k γ( t E r t r b b k t + + + + + + ( u ( u ( + β + γ( + ( + + b( βu ( tu + ( + k β( t + b( γu ( tu + ( + k γ( t E r t r b b k t r ( u ( u ( + β + γ( + ( + + βu ( u + bβ ( + k( t + b γ ( t + b γ ( + k( t E r t r b b k t r b t u u ( u ( u ( + β + γ( + ( + + ( tu[ bβ u + bγu] + ( + k( t[ bβ + bγ] ( ( + ( [ β + γ ] E r t r b b k t r E r t r t b b u u u u u + ( + k( t bβ + bγ r bβ bγ ( u ( u + ( u[ βu + γu] ( + ( ( ( ( ( r ( [ ] r + β γ k + + t E r t r t b b r k t E ru tu tu b u b u r E ( ru( tu ( ( + k( t + ( tu bβu + bγu ( tu r E ( r ( t ( t + k kt + bβ t + bγ t ( ( ( u u u u u u
r E ( ru( tu ( t k+ kt + bβu ( tu + bγu ( tu r E ( ru( tu ( t k( t + bβu ( tu + bγu ( tu tr E ( ru( tu kr ( t + + bβu ( tu + bγu ( tu. (.83 terbukt
3 Lampra 4 Bukt ersamaa (6 ubsttus ersamaa (5 ke ersamaa ( sehgga dperoleh ru ( tu r( + k( t E + r + b( ve E( ru ( tu E( r( + k( t + r + b( ve. (N.84 Kemuda, substtus ersamaa ( da (3 ke ersamaa (N.84 maka dperoleh r ( ( ( ( ( + b v k t E r u t + u + ( ( + ( vu tu k v t r + b( + E r t r b v k t ( ( + + ( + ( u u ( ( ( ( ( r + b v t + + k v t ( u u E ( r ( t r + b v ( + k( t + r u u ( ( ( ( ( + b v t + + k v t ( u u E ( r ( t r + b v ( + k( t + r u u ( ( ( ( + b v t + b + k v t ( u u ( E r t b v r b v k t r b v t ( ( ( + ( + + ( u u ( ( ( u u ( ( ( + ( + + ( E r t r k t r b v t u u ( u u r r E r t k t b v t ( ( ( + ( + + ( u u ( u u r E ( ru( tu ( ( + k( t + b( vu ( tu r E ( ru( tu ( ( t + k kt + b( vu ( tu r E ( ru( tu ( t k+ kt + b( vu ( tu r E ( ru( tu ( t k( t + b( vu ( tu tr E ( ru( tu kr ( t + + b( vu ( tu. (N.85 terbukt