DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York. Casella, G. dan R. L. Berger. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California. Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Grimmett, G. R. and D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helmers, R. 1995. On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea. CWI Note BS-N9501. Helmers, R, and Mangku, I. W. 2007. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Accepted by Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Tokyo. Helmers, R, and Zitikis, R. 1999. On estimation of process Poisson intensity function. Annal Institute of Statistical Mathematics, 51,2,265-280. Helmers, R, Mangku, I. W. and Zitikis, R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate analysis 84 19-39. Helmers, R, Mangku, I. W and Zitikis, R.2005 Statistical properties of a kerneltype estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate analysis 92 1-23. Helmers, R, Mangku, I. W and Zitikis, R. 2007. A non-parametric estimator for the doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology, 4, 481-892. Helms, L.L. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary aplications. New York: W.H. Freeman and Company. Hogg, R. V. and A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed.ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey. Mangku, I. W. 1999. Nearest neighbor estimation of the the intensity function of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R9914. Mangku, I. W. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.
44 Mangku, I. W. 2005. A note on estimaton of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Aplications, 4. Mangku, I. W, Siswadi, and R.Budiarti. 2007. Consistency of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submited for publication. Mangku, I. W, Siswadi, and R.Budiarti. 2008. Statistical properties of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submited for publication. Nurrahmi. 2005. Sifat-Sifat Statistika Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor. Purcell, E.J dan D. Varberg. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Jakarta: Erlangga Ross, S. M. 2003. Introduction to Probability Models. Ed. ke-8. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Serfling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York. Wheeden, R. L. and A. Zygmund. 1977. Measure and Integral : An Introduction to real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
LAMPIRAN 45
46 Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui pengulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksikan dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi 14 (Ruang Contoh) Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dilambangkan dengan. Definisi 15 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh. Definisi 16 (Medan- ) Medan- adalah himpunan F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari yang memenuhi syarat-syarat berikut : a. F b. F maka F c. F maka F Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk (, disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel. Definisi 17 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada (, F ) adalah suatu fungsi P : F [0, 1] yang memenuhi
47 a. P ( ) = 0, P ( ) = 1 b. Jika.. adalah himpunan anggota-anggota F yang saling lepas, yaitu untuk semua pasangan i, j dengan i j maka : Pasangan (, F, P) yang terdiri atas himpunan, medan- F yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari, dan suatu ukuran peluang P pada (, F ) disebut ruang peluang. Definisi 18 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : P (A B) = P (A) P(B). Secara umum, himpunan kejadian { } dikatakan saling bebas jika : untuk semua himpunan bagian berhingga J dari I. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 19 (Peubah Acak) Peubah acak adalah suatu fungsi X : R dengan sifat bahwa { : X( ) x} F untuk setiap x R. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, dan z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.
48 Definisi 20 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari pebah acak X adalah fungsi oleh yang diberikan Definisi 21 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X disebut diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah { } dari R. Definisi 22 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R [0, 1] yang diberikan oleh : Definisi 23 (Peubah Acak Poisson) Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0, 1, 2,.} dengan fungsi kerapatan peluang dengan > 0, maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter. Nilai Harapan, Ragam, Momen Definisi 24 (Nilai Harapan, Momen, Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p(x). Nilai harapan dari peubah acak X adalah
49 Momen ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah Misalkan momen ke-1, E(X) = Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Variance) dari X, dan dilambangkan dengan Var(X) atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu : (Hogg and Craig, 1995) Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 25 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg and Craig, 1995) Definisi 26 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik U = U( ) = U(X) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ) dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ), yang dilambangkan oleh ( ). Nilai U( ) dari U dengan nilai amatan disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ). (Hogg and Craig, 1995)
50 Definisi 27 (Penduga Tak Bias) a. Suatu statistik U(X) yang nilai harapannya sama dengan parameter g( ), dituliskan E[U(X)] = g( ), disebut penduga tak bias bagi g( ). Selainnya statistik dikatakan berbias. b. Jika [U(X)] = g( ), maka penduga U(X) disebut penduga tak bias asimtotik. (Hogg and Craig, 1995) Definisi 28 (Penduga Konsisten) Suatu statistik U(X) yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter g( ), disebut penduga konsisten bagi g( ). (Hogg and Craig, 1995) Definisi 29 (MSE suatu Penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter. Dari sini diperoleh = Var (W) + (Cassela dan Berger, 1990) Definisi 30 (Fungsi Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas dikatakan terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh
51 (Dudley, 1989) Definisi 31 [( (.))] Simbol big-oh ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u (x) = (v(x)), x L, menyatakan bahwa terbatas, untuk x L. Definisi 32 [o(h)] (Serfling, 1980) Suatu fungsi f disebut o(h), h 0, jika Hal ini berarti f(h) 0 lebih cepat dari h 0. Dengan menggunakan definisi 31 dan 32 kita peroleh hal berikut. (Ross, 2003) a. Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis untuk, jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga B < < A untuk semua bilangan asli n. b. Suatu barisan yang konvergen ke nol, untuk n, dapat ditulis untuk (Purcell and Varberg, 1998) Definisi 33 (Fungsi Indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi I : [0, 1], yang diberikan oleh :
52 Definisi 35 (Titik Lebesgue) Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika (Wheeden and Zygmund, 1977) Lema 2 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika P(X = 0)=1 atau P(Y =ax)=1 untuk suatu konstanta a. (Helms, 1996) Bukti : Lihat Lampiran 2 Lema 3 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka g (y) = g (x) + + o untuk y x. Bukti : Lihat Serfling (1980) Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dari ragam, maka untuk setiap k > 0, Bukti : Lihat Lampiran 3 (Helms, 1996)
53 Lampiran 2. Lema 2 ( Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka Dan akan bernilai sama dengan jika dan hanya jika P(X = 0)=1 atau untuk suatu konstanta a. Bukti: Pilihlah salah satu dari P(X =0) =1 atau P(X =0) 1. Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita bisa mengasumsikan P(X =0) <1, yang berarti bahwa X mempunyai suatu nilai dengan peluang positif, sehingga. Definisikan fungsi kuadrat Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat Sehingga Untuk yang real ganti dengan. Sehingga Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa
54 dan di sisi lain jika sama akan Jika menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan didapatkan. Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah P Jadi terbukti
55 Lampiran 3 Lema 5 (Pertidaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan terbatas dan maka (Ross, 2003) Bukti: Misalkan { adalah nilai dari peubah acak konvergen mutlak, maka Sehingga diperoleh Jadi Lema 5 terbukti. Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk setiap k > 0, Bukti :
56 Karena adalah peubah acak tak negatif, kita dapat menggunakan pertidaksamaan Markov di atas, dengan, sehingga kita peroleh Sehingga diperoleh Jadi Lema 3 terbukti.