I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi probabilitas dapat diterapkan dalam banyak hal seperti pada kehidupan sehari-hari, kegiatan bisnis maupun dalam dunia industri. Salah satu manfaat dari distribusi probabilitas adalah untuk menganalisis suatu kejadian, peluang dalam suatu perusahaan menghasilkan produk yang sukses atau tidak. Dalam kegiatan bisnis juga dapat dicontohkan pada suatu proses pelayanan di suatu Bank menguji apakah dengan disediakan empat teller, nasabah akan menunggu lama atau kapasitas yang berlebih akan membuat boros tempat. Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan distribusi probabilitas yang akan membantu Bank dalam membuat keputusan dalam menyediakan teller. Distribusi probabilitas merupakan suatu daftar atau kumpulan dari probabilitasprobabilitas peristiwa yang mungkin terjadi. Distribusi peluang yang demikian saling berhubungan dengan semua nilai-nilai yang mungkin terjadi dan berasal dari variabel random. Variabel random adalah variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya suatu percobaaan. Fungsi distribusi probabilitas umumnya dibedakan menjadi distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu. Di dalam distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu terdapat beberapa macam distribusi. Untuk lebih memahami dan mengetahui perbedaan dari kedua distribusi tersebut, maka praktikan melakukan praktikum distribusi probabilitas. Dengan melakukan praktikum diharapkan pemahaman serta pengaplikasian distribusi probabilitas diskrit maupun kontinyu dapat dipahami dan dimengerti. 1.2 Tujuan praktikum Berikut merupakan tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk melakukan perhitungan menggunakan software dan secara manual mengenai distribusi probabilitas diskrit. 2. Untuk melakukan perhitungan menggunakan software dan secara manual mengenai distribusi probabilitas kontinyu. 3. Untuk memahami dan menganalisis perbedaan data empiris dan data teoritis. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Distribusi Probabilitas Variabel acak merupakan parameter penting dalam sebuah distribusi probabilitas. Variabel acak adalah variabel yang nilainya ditentukan dari sebuah hasil percobaan. 15
Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil misalnya x. Sebagai contoh, pada pelemparan dua koin, huruf Y menyatakan jumlah gambar yang muncul maka nilainya adalah y = 0, 1 dan 2. Dari setiap nilai variabel acak yang memungkinkan akan memiliki probabilitas masing-masing yang disebut distribusi probabilitas. (Bluman, 2012) Binomial Hipergeometrik Distribusi Probabilitas Diskrit Multinomial Geometrik Binomial Negatif Poisson Uniform Diskrit Distribusi Probabilitas Normal Uniform Erlang Gamma Beta Distribusi Probabilitas Kontinyu Eksponensial Weibull Lognormal Distribusi t Distribusi F Chi-Square Bagan 2.1 Klasifikasi Distribusi Probabilitas 16
2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi probabilitas diskrit adalah suatu daftar atau distribusi di mana variabel acaknya mengasumsikan masing-masing nilainya dengan probabilitas tertentu (Walpole, 2010). Variabel diskrit memiliki jumlah nilai kemungkinan yang terbatas atau jumlah yang tak terhingga dari nilai-nilai yang dapat dihitung. Kata dihitung berarti bahwa variabel acak tersebut dapat dicacah dengah menggunakan angka 1, 2, 3, dst. Misalnya, jumlah panggilan telepon yang diterima setelah siaran TV mengudara adalah contoh variabel diskrit, karena bisa dihitung (Bluman, 2012). 17
Tabel 2.1 Jenis Distribusi Diskrit (Distribusi Binomial, Hipergeometrik, Multinomial) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 1. 2. Distribusi Binomial Distribusi Hipergeometrik Sebuah eksperimen binomial terdiri dari percobaan yang berulang, dengan masingmasing kemungkinan outcome dikategorikan sukses atau gagal Distribusi probabilitas variabel acak hipergeometrik x, yaitu banyaknya sukses dalam ampel acak berukuran n yang diambil dari populasi N (di mana di dalam N terkandung k sukses dan N-k gagal). Distribusi hipergeometrik didasarkan atas sampling yang dilakukan tanpa pengembalian. x = banyaknya peristiwa sukses p = probabilitas peristiwa sukses n = banyaknya percobaan q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal N = total populasi atau sampel n = jumlah percobaan atau jumlah sampel yang dipilih k = jumlah kejadian sukses dalam n Fungsi massa probabilitas : p(x) = { (n x ) px q n x, x = 0, 1, 2,, n 0 Fungsi distribusi kumulatif : 0, x < 0 f(x) = { x p(i) i=0 Fungsi massa probabilitas : p(x) = {, x 0 ( k n ) )(N k x )(N k n x ) ( N, x = 0,1,, min (n, D) 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { x p(i) i=0 0, x < 0, x 0 3. Distribusi Multinomial Eksperimen binomial menjadi eksperimen multinomial jika pada masing-masing percobaan mempunyai lebih dari dua hasil kemungkinan outcome, di mana masing-masing percobaan identik dan independen. x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal Fungsi distribusi kumulatif : f(x 1, x 2,, x k ; p 1, p 2,, p k, n) = ( n x1 x2 ) p x 1, x 2,, x 1 p2 xk pk k Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Probabilitas ditemukannya polutan organik oleh BPOM dari beberapa sampel produk air mineral dalam kemasan Pengujian kualitas permukaan kaleng minuman dengan pengambilan acak tanpa pengembalian sampai produk dinyatakan dalam keadaan baik atau rusak. Tim Reseacrh and Development dari sebuah perusahaan mengadakan kuesioner untuk mengukur tingkat kepuasan pelanggan terhadap produk dari perusahaan tersebut. Peluang jawaban kuesioner terdiri dari sangat puas, puas, cukup puas, dan kurang puas. 18
Tabel 2.2 Jenis Distribusi Diskrit (Distribusi Geometrik, Binomial Negatif, Paascal) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 4. Distribusi Geometrik Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang q = 1 p. Maka distribusi peluang peubah acak x, yaitu banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama. p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal x = jumlah trial/percobaan sampai terjadinya sukses pertama Fungsi massa probabilitas : p(x) = { p(1 p)x 1, x = 1, 2,, 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { 0, x < 1 1 (1 p) x, x 1 5. Distribusi Binomial Negatif (Pascal) Banyaknya x percobaan yang dibutuhkan untuk menghasilkan k sukses disebut variabel acak binomial negatif, dan distribusinya disebut distribusi binomial negatif. Distribusi pascal digunakan untuk mengetahui bahwa sukses ke-k terjadi pada usaha ke-x. p = peluang sukses q = 1 p = peluang gagal x = jumlah percobaan yang diperlukan untuk memperoleh keluaran Fungsi massa probabilitas : p(x) = { (x 1 r 1 ) pr (1 p) x r, x = r, r + 1,, x, x 0 Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { x p(i) i=0 0, x < 0, x 0 6. Distribusi Poisson Distribusi poisson adalah distribusi yang menghasilkan nilai numerik dari peubah acak x pada selang waktu yang tertentu atau daerah tertentu. λ = rata-rata jumlah kejadian dalam setiap unit ukuran e = 2,71828 Fungsi massa probabilitas : p(x) = { (e λ λ x x! ), x = 0, 1, 2,, 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { x p(i) i=0 0, x < 0, x 0 Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Peluang banyak sumur yang dibor sampai sumur yang dibor dapat mengeluarkan minyak. Probabilitas jumlah inspeksi yang dilakukan pada 20 part of product sampai ditemukan 3 part yang harus di rework Jumlah telepon masuk yang diterima dalam waktu satu jam di suatu kantor atau banyaknya kesalahan pengetikan per halaman oleh seorang sekretaris baru. 19
Tabel 2.3 Jenis Distribusi Diskrit (Distribusi Uniform Diskrit) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 7. Distribusi Uniform Diskrit Variabel acak x berdistribusi diskrit uniform jika setiap n berada pada range, misal x1, x2,..., xn di mana probabilitas sama. n = jumlah sampel Fungsi massa probabilitas : p(x) 1 (b a) + 1 = {, x = a, a + 1,, b 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { 0, x < a (x a) + 1 (b a) + 1 1, x b, a x < b Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Mata dadu dari sebuah dadu terdiri dari angka 1-6. Jika dadu dilempar sekali dan x adalah mata dadu pertama yang muncul, x adalah distribusi uniform dengan probabilitas 1/6 untuk tiap nilai R = {1, 2,..., 6}. 20
2.3 Distribusi Probabilitas Kontinyu Distribusi Probabilitas Kontinyu adalah daftar atau sebaran probabilitas dari setiap nilai variabel acak kontinyu. Variabel acak kontinyu adalah variabel acak dengan interval (baik terbatas maupun tidak terbatas) dalam suatu jarak dari bilangan nyata (Montgomery,2011). Variabel acak kontinyu meliputi nilai yang dapat diukur daripada dihitung. Contohnya adalah tinggi badan, berat badan, suhu, dan waktu. Distribusi Probabilitas Kontinyu dapat digambarkan dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x) yang mempunyai nilai-nilai dalam variabel kontinyu. Seperti pada gambar dibawah ini, daerah dibawah kurva a sampai b merupakan distribusi probabilitas kontinyu yang nilainya berada pada interval dua buah angka a dan b yang termasuk dalam variabel x atau variabel kontinyu. Gambar 2.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Sumber : Montgomery (2003) Probabilitas daerah interval a dan b adalah sebagai berikut. b P(a < x < b) = f(x) a (2-1) 21
No Jenis Distribusi 1. Distribusi Normal 2. Distribusi Uniform 3. Distribusi Eksponensial Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.4 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Normal, Distribusi Uniform, Distribusi Eksponensial) Pengertian Variabel Persamaan Salah satu distribusi yang sering digunakan untuk distribusi variabel acak. Variabel acak yang mempunyai rata-rata dan variansi yang berbeda dapat digambarkan dengan distribusi normal. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris yang ditentukan oleh rata-rata yang dituliskan di tengah kurva dan variansi untuk menentukan lebarnya kurva. e = 2,71828 π = 3,14159 µ = rata-rata populasi σ = standar deviasi x = rata-rata sampel Fungsi Kepadatan Probabilitas: f(x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Variabel X diterjemahkan ke variabel acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1: Z = x μ σ Sebuah distribusi probabilitas yang mempunyai probabilitas yang sama untuk semua kemungkinan variabel acak yang muncul Terdapat batas interval a dan b dimana proporsi probabilitas sepanjang interval (a,b) adalah sama Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = { 1 b a a x b 0 other Fungsi Distribusi Kumulatif f(x) = { 0 x < a (x a) a x < b (b a) 1 x b Distribusi probabilitas yang digunakan untuk mengukur waktu antara dua kejadian sukses atau jarak satu interval proses poisson. x = interval rata-rata λ = parameter skala e = 2,71828 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = { λ e λx x 0 0 other Fungsi Distribusi Kumulatif f(x) = { 0 x < 0 1 e xβ x 0 Mean : μ = β Variansi : σ 2 = β 2 Contoh Distibusi normal banyak dicontohkan dalam kehidupan sehari-hari maupun di dunia industri. Misalnnya pada industri sepatu rata-rata panjang sepatu yang dibuat oleh operator berdistribusi normal. Probabilitas volume minuman kaleng dimana pengisian minuman dilakukan dengan mesin dalam sebuah industri softdrink. waktu selisih operator menerima antara 2 panggilan atau waktu kedatangan pelanggan dalam sistem 22
No Jenis Distribusi 4. Distribusi Erlang 5. Distribusi Gamma 6. Distribusi Beta Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.5 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Erlang, Distribusi Gamma, Distribusi Beta) Pengertian Variabel Persamaan Sebuah generalisasi dari distribusi eksponensial adalah lama waktu yang dibutuhkan sampai r kejadian terjadi dalam proses Poisson. Disaat X dalam hal ini menunjukkan waktu yang dibutuhkan sampai kejadian ke r dalam proses Poisson, maka probabilitas kepadatan ini didefinisikan sebagai distribusi Erlang λ = parameter skala r = kejadian sukses lebih dari sama dengan 1 x = waktu sampai kejadian r e = 2,71828 Fungsi kepadatan probabilitas f(x) = λr x r 1 e λx (r 1)! Untuk x > 0 dan r = 1,2,.. Fungsi Distribusi Kumulatif : 0 x 0 F(x) = { r 1 1 e λx (λx) k k=0 k! x > 0 Distribusi gamma merupakan teori yang mendasari distribusi erlang dan eksponensial,, r pada distribusi ini dapat bernilai non integer. Distribusi beta merupakan sebuah penjabaran dari distribusi uniform r = parameter bentuk λ = parameter skala Parameter bentuk α dan β Fungsi Gamma Γ(r) = x r 1 e x dx, 0 untuk r > 0 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = λr x r 1 e λx untuk x > 0 Γ (r) Fungsi Distribusi Kumulatif F(x) = { 0 x 0 x f(i)di x > 0 0 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = Γ (α + β) Γ (α)γ (β) xα 1 (1 x) β 1 untuk x ε [0,1] Fungsi Distribusi Kumulatif 0 x 0 x F(x) = { f(i)di x > 0 0 Contoh Probabilitas kesalahan (error) laser ketiga dalam mesin sitogenik lebih dari 50000 jam Diaplikasikan untuk mengukur waktu untuk menyelesaikan pekerjaan dan sering digunakan dalam teori antrian. Digunakan untuk mengetahui keandalan suatu mesin 23
No Jenis Distribusi 7. Distribusi Weibull 8. Distribusi Lognormal 9. Distribusi Student (t) Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.7 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Weibull, Distribusi Lognormal, Distribusi Student (t)) Pengertian Variabel Persamaan Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung waktu yang dicapai sampai terjadinya kerusakan suatu sistem fisik. β = parameter bentuk distribusi δ = Parameter skala yang menunjukkan umur penggunaan suatu alat Fungsi Kepadatan Probabilitas: f(x) = β δ (x δ )β 1 exp( x δ )β untuk x>0 Variabel dalam sistem terkadang mengikuti distribusi eksponensial dengan variabel X adalah exp(w). Saat W ditranformasikan menggunakan logaritma dan menjadi distribusi normal, maka distribusi dari variabel X ini disebut distribusi lognormal. θ = rata-rata ω 2 = variansi Fungsi Kepadatan Probabilitas 1 (ln x θ)2 f(x) = exp [ xω 2π 2ω 2 ] Untuk 0 < x < Misalkan X1, X2,...,Xn merupakan sampel acak dari suatu distribusi normal dengan ratarata dan standar deviasi yang tidak diketahui. Variabel acak berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-1 µ = rata-rata populasi s = standar deviasi x = rata-rata sampel n = jumlah sampel k = derajat kebebasan x μ Tn = s/ n Fungsi Kepadatan Probabilitas : f(x) = + 1 r [k 2 ] μkr ( k. 2 ) Untuk < x < [( x2 k 1 ) + 1] (k+1)/2 Contoh Menentukan waktu lifetime dari penggunaan roller bearing secara mekanis sampai struktur bahan rusak (gagal) Menguji umur pakai suatu alat Untuk menguji dua ratarata dengan sampel kecil (n<30) 24
No Jenis Distribusi 7. Distribusi Weibull 8. Distribusi Lognormal 9. Distribusi Student (t) Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.7 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Weibull, Distribusi Lognormal, Distribusi Student (t)) Pengertian Variabel Persamaan Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung waktu yang dicapai sampai terjadinya kerusakan suatu sistem fisik. β = parameter bentuk distribusi δ = Parameter skala yang menunjukkan umur penggunaan suatu alat Fungsi Kepadatan Probabilitas: f(x) = β δ (x δ )β 1 exp( x δ )β untuk x>0 Variabel dalam sistem terkadang mengikuti distribusi eksponensial dengan variabel X adalah exp(w). Saat W ditranformasikan menggunakan logaritma dan menjadi distribusi normal, maka distribusi dari variabel X ini disebut distribusi lognormal. θ = rata-rata ω 2 = variansi Fungsi Kepadatan Probabilitas 1 (ln x θ)2 f(x) = exp [ xω 2π 2ω 2 ] Untuk 0 < x < Misalkan X1, X2,...,Xn merupakan sampel acak dari suatu distribusi normal dengan ratarata dan standar deviasi yang tidak diketahui. Variabel acak berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-1 µ = rata-rata populasi s = standar deviasi x = rata-rata sampel n = jumlah sampel k = derajat kebebasan x μ Tn = s/ n Fungsi Kepadatan Probabilitas : f(x) = + 1 r [k 2 ] μkr ( k. 2 ) Untuk < x < [( x2 k 1 ) + 1] (k+1)/2 Contoh Menentukan waktu lifetime dari penggunaan roller bearing secara mekanis sampai struktur bahan rusak (gagal) Menguji umur pakai suatu alat Untuk menguji dua ratarata dengan sampel kecil (n<30) 25
Tabel 2.8 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi F dan Distribusi Chi Square) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 10. Distribusi F Distribusi F digunakan apabila terdapat 2 buah populasi yang berdistribusi normal dan independen dimana rata-rata populasi dan variansinya tidak diketahui. W dan Y = variabel random chi-square u dan v = derajat kebebasan F = W/u Y/v Fungsi kepadatan probabilitas : f(x) = r ( u + v 2 ) (u v )( u 2x )(u 2 ) 1 r ( u u+v v ) r (v u ) [(u v ) x + 1] 2 untuk 0 < x < 11. Distribusi Chi Square (X 2 ) Seperti pada distribusi t, distribusi chisquare mempunyai satu parameter, yaitu derajat kebebasan (df). Derajat kebebasannya dapat dihitung menggunakan formula yang berbeda dari pengujian yang berbeda. Bentuk kurva distribusi chi-square berbentuk skewness positif dari df yang terkecil sampai df yang paling besar. e = 2,71828 v = derajat kebebasan Parameter α=ν/2 dan β=2 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = { 2 α x α 1 e x/2 Γ(α) x > 0 0 other Fungsi Distribusi Kumulatif F(x) = { 0 x 0 x f(i)di x > 0 0 Mean : µ=νvariansi : σ 2 = 2ν Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Untuk menguji variansi 2 populasi dan dapat menguji rata-rata pada variansi 3 atau lebih populasi (ANOVA) Digunakan untuk uji Goodness of fit. (menguji suatu data apakah sesuai dengan distribusi tertentu) 26
2.4 Fungsi Massa Probabilitas Misalkan terdapat suatu pembebanan yang diletakan pada titik-titik diskrit (tertentu) di sebuah balok yang panjang dan tipis. Pembebanan tersebut dideskripsikan sebagai suatu fungsi yang menjelaskan bahwa massa (pembebanan) berada di tiap-tiap titik diskrit tersebut. Hampir sama seperti variabel acak diskrit, distribusinya dapat dideskripsikan dengan fungsi tersebut yang menjelaskan bahwa probabilitasnya berada pada tiap-tiap nilai variabel acak X yang mungkin (Montgomery, 2003). Gambar 2.3 Loading at discrete points in a long thin beam Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak diskrit dengan nilai kemungkinan x1, x2,...., xn fungsi probabilitas massanya adalah 1. F(x1) 0 2. n i=1 f(xi) = 1 3. f(xi) = P(X = xi) 2.5 Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi kepadatan pada umumnya digunakan di dunia keteknikan untuk mendeskripsikan sistem fisik. Sebagai contoh, mengingat kepadatan pada suatu balok yang panjang dan tipis seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1. Untuk setiap titik x di sepanjang balok, kepadatannya dapat dideskripsikan sebagai sebuah fungsi (gram/cm). Interval antara pembebanan yang besar berhubungan dengan nilai fungsi yang besar pula. Total pembebanan antara poin a dan b ditentukan sebagai suatu integral dari fungsi kepadatan dari a ke b. Di bawah interval pada fungsi densitas ini, dapat dengan mudah ditafsirkan sebagai jumlah dari keseluruhan pembebanan di interval tersebut. Hampir sama, fungsi kepadatan probabilitas f(x) dapat digunakan unutk mendeskripsikan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinyu X. Jika interval memiliki nilai dari X, probabilitasnya besar dan itu 27
berhubungan dengan nilai fungsi f(x) yang besar pula. Probabilitas X diantara a dan b ditentukan dari integral dari F(x) dari a ke b (Montgomery, 2003). Gambar 2.4 Fungsi Densitas pada Balok yang Panjang dan Tipis Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak kontinyu dari X, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah 1. F(x1) 0 2. f(x)dx = 1 b 3. P (a X b) = f(x)dx a = area dibawah f(x) untuk semua nilai a dan b 2.6 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Terkadang akan sangat berguna untuk menggunakan probabilitas kumulatif dimana probabilitas tersebut dapat digunakan untuk menemukan fungsi massa probabilitas (PMF) dari suatu variabel acak. Maka dari itu menggunakan probabilitas kumulatif ini merupakan suatu metode alternatif untu mendeskripsikan distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. (Montgomery, 2003) berikut Fungsi probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit X ini dapat dinotasikan sebagai F(x) = P(X x) = f(xi) Sumber : Montgomery(2003:64) x1 x (2-2) Untuk variabel acak diskrit X, F(x) memenuhi ketentuan berikut 1. F(x) = P(X x) = f(xi) x1 x 2. 0 F(x) 1 3. bila x y, kemudian F(x) F(y) Gambar 2.5 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Sumber : Montgomery (2003) 28
2.7 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Metode alternatif untuk mendeskripsikan suatu varuiabel acak diskrit ternyata juga dapat digunakan untuk variabel acak kontinyu. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinyu X adalah F (x) = P( X x ) = f(u)du for < x <. (2-3) Sumber : Montgomery (2003) Menjabarkan definisi dari f(x) ke segala lini memungkinkan kita untuk mendefinisikan distribusi probabilitas kumulatif untuk semua bilangan real/nyata. (Montgomery, 2003) Gambar 2.6 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Sumber: Montgomery (2003) 29
III. METODOLOGI PRAKTIKUM 3.1 Diagram Alir Praktikum Berikut merupakan diagram alir praktikum Distribusi Probabilitas. Mulai Pemilihan tempat studi kasus Identifikasi distribusi probabilitas studi kasus Studi Pustaka Pengambilan data Distribusi Diskrit Distribusi Kontinyu Data Distribusi Diskrit Data Distribusi Kontinyu Pengolahan data Pengolahan Teoritis Pengolahan Empiris Pengolahan Software Pengolahan Manual Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Selesai Gambar 3.1 Diagram Alir Praktikum 3.2 Alat dan Bahan Berikut adalah alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi probabilitas. 1. Stopwatch 2. Lembar Pengamatan 30
3.3 Prosedur Pengolahan Data 3.3.1 Prosedur Pengolahan Data Teoritis Pada pengolahan data secara teoritis berdasarkan data yang diperoleh, dilakukan pengolahan data untuk mengetahui nilai probabilitas dari kejadian tertentu. Pengolahan dilakukan dengan menggunakan software SPSS. 1. Binomial Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Binomial menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Binom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Binom ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.BINOM (?.?.?) dengan PDF.BINOM (x.n.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 2. Geometrik Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Geometrik menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dst). d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Geom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Geom ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.GEOM (?.?) dengan PDF.GEOM (x.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 31
3. Hipergeometrik Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Hipergeometrik menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. Contohnya 0, 1, 2, 3, 4, 5. d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Hyper. f. Pindahkan fungsi Pdf.Hyper ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.HYPER (?.?.?.?) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 4. Pascal Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Pascal/Binomial Negatif menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Negbin. f. Pindahkan fungsi Pdf.Negbin ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.NEGBIN (?.?.?) dengan PDF.NEGBIN (x.k.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 5. Poisson Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Poisson menggunakan software SPSS 20: 32
a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Poisson. f. Pindahkan fungsi Pdf.Negbin ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.POISSON (?.?) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 6. Normal Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Normal menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan batas_bawah, batas_atas, dan cdf pada kolom Name, setelah itu isikan ketiga kolom Measure dengan Scale. c. Isikan kolom Decimals dengan 2 (dua) pada variabel batas_bawah dan batas_atas serta 5 (lima) pada variabel cdf. d. Klik data view. Lalu isikan nilai batas_atas dan batas_bawah. e. Pada menu bar klik Transform Compute variable. f. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan cdf untuk mencari cdf maksimum. Pada Function group pilih CDF & Noncentral CDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Cdf.Normal. g. Pindahkan fungsi Cdf.Normal ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan CDF.NORMAL (batas_atas. mean, stddev)- CDF.NORMAL (batas_bawah. mean. stddev). Masukkan mean dan stddev sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 7. Eksponensial Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi eksponensial menggunakan software SPSS 20: 33
a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan batas_bawah, batas_atas, dan cdf pada kolom Name, setelah itu isikan ketiga kolom Measure dengan Scale. c. Isikan kolom Decimals dengan 2 (dua) pada variabel batas_bawah dan batas_atas serta 5 (lima) pada variabel cdf. d. Klik data view. Lalu isikan nilai batas_atas dan batas_bawah. e. Pada menu bar klik Transform Compute variable. f. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan cdf untuk mencari cdf maksimum. Pada Function group pilih CDF & Noncentral CDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Cdf.Exp. g. Pindahkan fungsi Cdf.Normal ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan CDF.EXP (batas_atas,scale) - CDF.EXP (batas_bawah, scale). Masukkan scale sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 3.3.2 Prosedur Pengolahan Data Empiris Pada pengolahan data secara empiris dilakukan dengan menggunakan cara manual. empiris didasarkan hasil statistik percobaan. Berikut adalah prosedur perhitungan empiris: 1. Menghitung jumlah frekuensi tiap replikasi pada tabel pengolahan berdasarkan tally setelah dilakukan praktikum. 2. Menghitung jumlah frekuensi kumulatif tiap replikasi pada tabel pengolahan. 3. Mengisi nilai variabel random (x) pada kolom. 4. Melakukan perhitungan empiris dengan membagi frekuensi pada variabel random Fi yang akan dihitung dengan frekuensi kumulatif keseluruhan. F empiris = ΣFi IV. STUDI KASUS 4.1 Pengolahan Distribusi Diskrit 1. Distribusi Binomial Tabel 4.1 Pengolahan Data Distribusi Binomial Replikasi Tally F F Kumulatif x Empiris 1. 2. 3. 4. 5. Teoritis 34
Tabel 4.1 Pengolahan Data Distribusi Binomial (Lanjutan) Replikasi Tally F F Kumulatif x Empiris 6. 7. 8. 9. 10. Teoritis Analisis: 2. Distribusi Geometrik Tabel 4.2 Pengolahan Data Distribusi Geometrik Replikasi Tally F F Kumulatif x Empiris 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Teoritis Analisis: 3. Distribusi Hipergeometrik Tabel 4.3 Pengolahan Data Distribusi Hipergeometrik Replikasi Tally F F Kumulatif x Empiris Teoritis 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Analisis: 35
4. Distribusi Binomial Negatif Tabel 4.4 Pengolahan Data Distribusi Binomial Negatif Replikasi Tally F F x Kumulatif Empiris 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Analisis: Teoritis......... 5. Distribusi Poisson Tabel 4.5 Pengolahan Data Distribusi Poisson Replikasi Tally F F Kumulatif x Empiris Teoritis 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Analisis:...... 4.2 Distribusi Kontinyu Distribusi Normal Pengumpulan Data Tabel 4.6 Pengumpulan Data Distribusi Normal Replikasi Waktu Replikasi Waktu 1. 21. 2. 22. 3. 23. 4. 24. 5. 25. 6. 26 7..27. 8. 28. 9. 29. 10. 30. 36
Tabel 4.6 Pengumpulan Data Distribusi Normal (Lanjutan) Replikasi Waktu Replikasi Waktu 11. 31. 12. 32. 13. 33. 14. 34. 15. 35. 16. 36. 17. 37. 18. 38. 19. 39. 20. 40. Pengelompokkan Data Performansi Cepat Performansi Standard Performansi Lambat Analisis: Interval Total Tabel 4.7 Pengelompokkan Data Distribusi Normal CDF CDF Frekuensi Probabilitas Atas Bawah Teoritis..... Distribusi Eksponensial Pengumpulan Data Tabel 4.8 Pengumpulan Data Distribusi Eksponensial Replikasi Waktu Replikasi Waktu 1. 16. 2. 17. 3. 18. 4. 19. 5. 20. 6. 21. 7. 22. 8. 23. 9. 24. 10. 25. 11. 26. 12. 27. 13. 28. 14. 29. 15. 30. 37
Pengelompokkan Data Time Between Failure I II III Analisis: Interval Total Tabel 4.9 Pengelompokkan Data Distribusi Eksponensial Frekuensi CDF Atas CDF Bawah Probabilitas Teoritis.......... V. SOAL 1. Diketahui suatu perusahaan yang bergerak di bidang produksi sepatu pada hari itu memproduksi 60 pasang sepatu. Dimana untuk tiap pasangnya memiliki probabilitas berhasil sebesar 0,95. Berapakah peluang ditemukannya paling banyak 3 pasang sepatu yang cacat? 2. Diketahui sebuah perusahaan mobil ingin memesan 200 buah sparepart mobil dari supplier. Untuk mengecek kualitas dari barang tersebut, di ambilah sampel sebesar 12 buah sparepart. Jika tidak ada satupun sampel yang diambil cacat, maka dapat disimpulkan bahwa sparepart yang dipesan dapat diterima. Jika diketahui bahwa terdapat 22 buah sparepart yang dimiliki supplier itu adalah cacat, berapakah probabilitas bahwa tidak ada sparepart yang dipilih cacat dan probabilitas dan probabilitas paling banyak ditemukan 2 sparepart yang dipilih cacat? 38
3. Rata rata banyaknya suatu perusahaan parfum memproduksi produknya adalah 30 botol parfum untuk tiap harinya. Berapakah peluang bahwa dalam 1 hari dapat memproduksi sebanyak 35 botol parfum? 4. Sebuah mesin minuman kaleng diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan secara rata-rata 330 ml per kaleng. Bila banyaknya minuman yang dikeluarkan itu berdistribusi normal dengan simpangan baku 15 ml. (A) Berapakah probabilitas sebuah kaleng terisi 321 dan 338 ml? (B) Berapakah probabilitas sebuah kaleng terisi sebanyak 325 ml? 39
5. Sebuah bengkel mobil sedang memberikan promo fantastis sehingga kedatangan customer berdistribusi eksponensial. Kedatangan customer meningkat dari normalnya menjadi 6,1 tiap 30 menitnya. Berapakah probabilitas kedatangan customer dalam selang waktu 5 menit atau lebih?..................... 40