TRANSFORMASI BO CO DALAM ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA Welly Frasska, Sgt Nugroho, da fachr Fasal Alum Jurusa Matematka Fakultas MIPA Uverstas Begkulu Staf Pegajar Jurusa Matematka Fakultas MIPA Uverstas Begkulu ABSTRAK Peelta bertujua utuk mempelajar bagamaa mecar parameter dega megguaka Metode Kemugka Maksmum, megkaj Trasformas Box Cox dalam peubah respo, serta utuk megetahu apakah model yag dperoleh setelah trasformas memeuh asums ormaltas pada model regres. Metode peelta yag dguaka adalah stud lteratur da telada peerapa. Trasformas Box Cox adalah trasformas pagkat pada respo. Box Cox mempertmbagka kelas trasformas berparameter tuggal, yatu lamda yag dpagkatka pada varabel respo. Peelta megguaka telada peerapa yag dperoleh dar buku Neter 994 da juga stus teret. Pegolaha data dalam peelta megguaka batua SPSS da Excel. Berdasarka telada peerapa yag dguaka dperoleh hasl bahwa, utuk telada da asums keormala terpeuh setelah trasformas dlakuka, trasformas yag dguaka pada telada adalah, koefse determas megalam pegkata dar 75,7% mejad 86,4%. Sedagka trasformas yag dguaka pada telada adalah, serta koefse determas megalam pegkata dar 5% mejad 85%. Kata kuc : Trasformas Box Cox, Metode Kemugka Maksmum, Asums Normaltas, Koefse determas. PENDAHULUAN Aalss regres merupaka salah satu cabag statstka yag palg bayak dpelajar oleh lmuwa, bak lmuwa bdag sosal maupu eksakta. Melalu aalss regres, model hubuga atar varabel dapat dketahu. Secara umum, model merupaka peyederhaaa da abstraks dar keadaa yag sebearya. Model juga meolog peelt dalam meetuka hubuga kausal sebab akbat atara dua atau lebh varabel bebas. Varabel dalam aalss regres dkeal dega ama varabel terkat da varabel pejelas, atau juga lebh dkeal dega varabel bebas da satu varabel tak bebas Sembrg, 3. Dalam melakuka aalss regres ada beberapa asums yag harus dpeuh yatu model regres ler, galat meyebar ormal dega rataa ol da memlk vara tertetu, homoskedaststas, artya vara galat sama utuk setap perode homo = sama, skedaststas = sebara, tdak ada autokorelas atar galat atara da tdak ada korelasya, tdak terjad multkolertas atar varabel bebas, jumlah observas harus lebh besar darpada jumlah varabel bebas Naftal, 7. Pada beberapa kasus, metrasformas
data aka membuat kecocoka model terhadap asums mejad lebh bak. Trasformas data merupaka salah satu usaha utuk memperbak asums ormaltas, lertas da homoskedaststas. Aalss dega data hasl trasformas mash tetap sah Kuter et. al., 5. Trasformas yag deal harus memeuh beberapa krtera atara la : ragam dar varabel yag baru tdak dpegaruh oleh perubaha rata-rata, varabel yag baru hedakya meyebar ormal, skala pegukura varabel yag baru hedakya sedemka sehgga pegaruh sesugguhya bersfat ler da adtf da skala pegukura varabel yag baru hedakya sedemka sehgga la tegah perhtuga dar cotoh merupaka peduga yag efse terhadap la tegah yag sesugguhya Draper da Smth, 999. Salah satu cara yag dapat dguaka utuk megatas asums kehomogea ragam, lertas da keormala adalah dega megguaka Trasformas Box Cox. Trasformas Box Cox yatu trasformas pagkat berparameter tuggal, katakalah parameter terhadap sehgga mejad. Pada trasformas utuk pedugaa parameter aka megguaka Metode Kemugka Maksmum Maxmum Lkelhood Method. REGRESI LINIER SEDERHANA Istlah regres pertama kal dkemukaka oleh seorag atropolog da ahl meteorolog terkeal dar Iggrs yag berama Sr Fracs Galto pada tahu 855. Istlah regres mucul dalam pdatoya d depa Secto H of The Brtsh Assocato d Aberdee, 855, yag dmuat d majalah Nature September 885 da dalam sebuah makalah Regresso Towards Medocrty Heredtary Stature, yag dmuat dalam Joural of The Athropologcal Isttute Draper da Smth, 998. Aalss regres pada dasarya adalah stud megea ketergatuga satu varabel tak bebas dega satu atau lebh varabel bebas, tujuaya adalah utuk megestmas da atau mempredks rata-rata populas atau la rata-rata varabel tak bebas berdasarka la varabel bebas yag dketahu Gujarat, 3. Meurut Draper da Smth 998 aalss regres merupaka metode aalss yag dapat dguaka utuk megaalss data da megambl kesmpula yag bermaka tetag hubuga ketergatuga varabel terhadap varabel laya.regres sebaga suatu tekk aalss telah dperguaka secara luas, tdak haya terbatas dalam bdag statstk amu juga d bdag-bdag la sepert ekoom, pertaa, sosal, tehk rset da bdag-bdag laya. Dalam perkembagaya terdapat dua jes regres yag sagat terkeal, yatu regres ler sederhaa da regres ler bergada. Regres ler sederhaa dguaka utuk meggambarka hubuga atara satu varabel bebas dega satu varabel tak bebas, sedagka jka terdapat lebh dar satu varabel bebas da varabel bebasya berpagkat satu maka persamaa regresya dsebut regres ler bergada. Hubuga atara varabel bebas da varabel tak bebas yag bersfat ler da sederhaa dapat dtulska sebaga berkut : =,,3,...,
Parameter da merupaka parameter yag laya belum dketahu. Parameter basaya dkeal dega tersep, yatu jarak dar ttk asal ttk ke ttk perpotoga atara gars regres dega sumbu. Iterprestas dar adalah la rata-rata dar peduga jka la sama dega ol. Parameter merupaka koefse arah slope atau koefse regres. Parameter da pada persamaa regres ler dduga dega da. Peduga parameter-parameter tersebut dapat dperoleh dega megguaka Metode Maxmum Lkelhood.. Asums-Asums dalam Regres Ler Setelah ddapatka model regres, lakuka terpretas terhadap hasl yag dperoleh. Hal dsebabka karea model regres harus duj terlebh dahulu apakah sudah memeuh asums klask. Gauss Markov telah membuktka peduga dalam regres mempuya sfat BLUE Best Ler Ubased. Beberapa asums yag harus dpeuh dalam aalss regres adalah: a. Model regres ler, artya ler dalam parameter. b. Galat meyebar ormal dega rataa ol da memlk suatu vara tertetu. c.bhomoskedaststas, artya vara kesalaha sama utuk setap perode homo = sama, skedaststas = sebara dalam betuk matemats: Var d. Tdak ada autokorelas atar kesalaha atara da tdak ada korelasya. e. Tdak terjad multkolertas. f.jumlah observas harus lebh besar darpada jumlah parameter yag destmas jumlah varabel bebas Apabla ada satu syarat saja yag tdak terpeuh, maka hasl aalss regres tdak dapat dkataka bersfat BLUE Naftal, 7. Metode Maxmum Lkelhood Peaksra Maxmum Lkelhood merupaka salah satu pedekata terpetg pada peaksra dalam semua statstk feresa yag dperkealka pertama kal oleh Roald Fsher pada tahu 9 Waacott, 99. Bla dketahu pegamata bebas dar fugs kepekata peluag kasus kotu da fugs masa peluag kasus dskrt, maka peaksr Maxmum Lkelhood alah yag memaksmumka fugs Kemugka Maxmum Lkelhood yatu: Walpole ad Myers.995. Dalam regres ler sederhaa, fugs kemugka maksmum dapat dtulska : L, x,,, exp{ } 3
4 = } exp{ utuk meetuka dugaa dar da da, yatu b, b da ˆ, maka persamaa. ekuvale : L } l l,,,, l L 3 L l 4 ˆ ˆ l 4 L 5 peyelesaa persamaa 3, 4 da 5 ddapat peduga dar da berturut-turut adalah da : b = b 6 b = 7 ˆ = b b o 8 b da b adalah tersep da slope, ˆ adalah stadar galat dar regres. TRANSFORMASI BO-CO a. Pegerta Trasformas Box-Cox Trasformas Box-Cox adalah trasformas pagkat pada respo. Trasformas Box-Cox dbahas oleh Box-Cox dalam makalah mereka pada tahu 964. Box-Cox mempertmbagka kelas trasformas berparameter tuggal, yatu yag dpagkatka pada varabel respo, sehgga trasformasya mejad, adalah parameter yag perlu dduga. Tabel dbawah adalah beberapa la dega trasformasya.
Tabel Nla da Trasformasya. Trasformas,,5 l -,5 -, / Meurut Drapers da Smth 99 trasformas Box-Cox ddefska : /, W 9 l, Trasformas yag kotu bergatug pada satu parameter yatu. b. Metode kemugka maksmum Lkelhood dalam Trasformas Box Cox Salah satu cara utuk meduga parameter pada persamaa adalah dega megguaka Maxmum Lkelhood Method dega asums ~ N, utuk plha yag sesua. Fugs Kepekata Peluag W ddefska sebaga berkut : Oleh karea tu fugs kepekata peluag mejad: dmaa W J, utuk semua Berdasarka model W= da persamaa dperoleh fugs kemugka maksmumya yatu: l L,, y = l[ exp{ W } ] y l l W } l y 3 5
Persamaa 3 meyataka fugs maksmum log-lkelhood secara parsal yag haya tergatug pada, utuk dduga dega ˆ sehgga dperoleh : L maks l ˆ l 4 dega : = bayak amata ˆ = Dega kata la, memaksmalka la yag dtetapka adalah sama dega memmalka ˆ,yatu memmalka Jumlah kuadrat Galat SSE. c. Metode Kemugka Maksmum Lkelhood utuk pedugaa Adapu Lagkah-lagkah utuk meetuka. Lagkah-lagkah tersebut adalah sebaga berkut : a Plh dar ksara yag dtetapka basaya dambl dar ksara -, atau bahka -, pada mulaya, da kemuda memperlebar ksara bla dperluka. b Trasformaska varabel megguaka persamaa da htug. Utuk yag terplh htuglah : l ˆ l c Setelah meghtug utuk beberapa la dalam ksara yag dtetuka, pasagka terhadap yag memaksmumka. Ilah peduga kemugka maksmum maxmum lkelhood estmator bag parameter. Basaya, la tdak dperguaka dalam perhtuga selajutya, amu megguaka salah satu la dalam barsa,-, -, -,,,,,, yag palg dekat dega la dugaa kemugka maksmum tersebut, tetu saja setelah memerksa apakah la berada dalam ksara yag dtetuka. Msal jka =., mugk aka dguaka =, jka =.94 mugk aka dguaka = amu pemlha bsa megguaka atau membulatka sampa la perempata terdekat. d. Selag Kepercayaa bag Suatu selag kepercayaa utuk merupaka hmpua la-la yag memeuh pertdaksamaa : L ˆ L,5 maks maks, 6
Lmaxlamda Dmaa adalah ttk persetase sebara Kh-Kuadrat dega satu derajat bebas yag luas wlayah dsebelah kaaya sebesar. Pertdaksamaa datas dapat dgambarka dega meark gars medatar setgg Berkut vsualsas dar pertdaksamaa datas: - - Scatterplot of Lmaxlamda vs lamda Lmakslamda=-4,78,5 K-kuadrat,95 db =,9-3 -4-5 -6 -, -,5, lamda,5, gambar meyataka poss selag kepercayaa 95% utuk pada tebara dega. Gars memotog kurva pada la yag merupaka ttk-ttk ujug selag kepercayaa. HASIL DAN PEMBAHASAN Telada yag dambl berdstrbus tdak ormal, hal dlakuka utuk melhat apakah setelah data dtrasformas, asums keormala data yag merupaka salah satu alasa dlakukaya trasformas terpeuh atau tdak. Model yag dbetuk adalah model regres ler sederhaa yag terdr dar varabel bebas da varabel tak bebas. Data yag djadka telada aka daalss keormalaya, selajutya data dtraformas dega megguaka trasformas Box Cox. Telada Suatu peelta dlakuka utuk meetuka model hubuga atara umur da tgkat plasma pada Polyame, dega data sebaga berkut : 7
Tabel Hubuga atara umur da tgkat plasma pada Polyame, 3,44, 7,85,,84, 8,88,,9 3, 7,94,,9 3, 6,, 5,6 3, 5,4,, 3, 6,9,,38 3, 6,77,,8 4, 4,86, 8,86 4, 5,, 8,59 4, 5,67, 9,83 4, 5,75, 9, 4, 6,3, 8,65 Sumber data : Kuter, 5 Data dambl pada aak balta yag sehat, sejumlah 5 aak yag berumur baru lahr, th, th, 3 th da 4 th., masg masg dambl 5 aak. Dar data tersebut datas dapat ddefska bahwa sebaga peubah respo adalah tgkat plasma pada Polyame da sebaga peubah pejelas adalah umur, bayakya data adalah 5, dega Metode kemugka maksmum Lkelhood dperoleh : 9 b =, 8 5 = 9,7--,8. =3,467 3,43,467,8.,843,467,8....6,33,467,8.4 5 Sehgga model regres yag ddapatka adalah:. Selajutya aka dhtug koefse determas :. Artya sebesar 75,7% dar seluruh varas total dteragka oleh, da 4,83% dteragka oleh faktor laya. Dega demka model regres sudah cukup bak karea varabel dapat meeragka varabel cukup bak karea mak dekat dega mak bak kecocoka data dega model. 8
Peguja Asums keormala Berdasarka model tersebut, dlakuka pegeceka asums keormalaya dega batua SPSS. Ketetua aalssya adalah jka varabel bebas da terkat memlk Z htug < Z tabel maka data tersebut berdstrbus ormal, dalam hal dguaka Z tabel yatu,96, pada alpha 5% ddapat Z tabel,96. Dbadgka dega da dar varabel da dsmpulka bahwa data pada telada tdak berdstrbus ormal karea Z htug < Z tabel dkataka bahwa asums keormala tdak dpeuh. Trasformas Box Cox Oleh karea asums keormala tdak terpeuh maka dlakuka trasformas terhadap varabel respo dega megguaka trasformas Box Cox. Setelah melakuka lagkah-lagkah trasformas Box Cox ddapatka Lmaks utuk pada ksara -, utuk telada adalah sebaga berkut : Tabel 3 Lmaks utuk pada ksara -, - -,75 -,5 -,5 - -,75 -,5 -,5-3,9-3, -9,34-8,65-8,3-7,79-7,65-7,7,5,5,75,5,5,75-8, -8,57-9,36-3,4-3,7-33,7-35,9-37,6-39,46 Dar la la datas, dapat dlhat bahwa = -.5 meghaslka la palg maksmum pada ksara,- yatu sebesar -7,65 sehgga traformas yag dguaka adalah -.5, artya data awal dpagkatka dega -.5 yag dber smbol dega, sehgga ddapat data baru setelah trasformas yatu : Tabel 4 Hubuga atara varabel da varabel,,777,,35695,,7973,,335578,,89764 3,,354887,,35 3,,4799,,5385 3,,448,,3453 3,,38693,,96435 3,,38433,,389 4,,45369,,335957 4,,4487,,3496 4,,4996,,3895 4,,479,,333333 4,,464,,34 9
Setelah ddapatka data baru maka aka dlakuka perhtuga utuk meduga model yatu dega megguaka metode kemugka maksmum lkelhood, ddapatka:. Sehgga dperoleh la, dega SPSS dapat d kataka bahwa asums keormala terpeuh karea la Skewess da Kurtoss setelah data dtrasformas adalah kurag dar Z tabel dega alpha 5% ddapat Z tabel,96. ' Berdasarka model yag ddapat, utuk meetuka bla =5, maka Ŷ =.468, sela tu utuk la determasya juga megalam pegkata yatu dar 75,7% setelah dtrasformas mejad 86,4% yag artya model baru yag ddapatka lebh bak karea dapat meeragka 86,4% dar varabel serta data yag semula tdak memeuh asums keormala setelah dtrasformas juga memeuh asums keormala, artya trasformas yag dlakuka dapat memperbak model yag ada. Gambar berkut adalah scatter plot data sebelum da sesudah trasformas data dlakuka. Gambar Scatterrplot atara varabel da sebelum trasformas Gambar 3 Scatter plot atara varabel da setelah trasformas
Telada Telada terdr dar 79 data yag berasal dar sebuah peelta, d maa data terdr atas varabel yatu varabel bebas da varabel terkat Tabel 5 Hubuga atara varabel da 5 3 3 4 7 4 9 4 3 6 37 6 37 6 36 6 35 8 38 8 36 8 39 3 38 4 8 5, 8 6,5 8 6,4 Aom, 4 8 6 86 5,4 86 6,7 96 6,5 96 7 96 6,7 96 7,8 96 6,6 96 7,8 7, 7,5 6,8 7,5 8 7,7 8 7,6 8 7,5 7,7 8,6 7,5 8,4 7,9 9, 8,7 9 8,9 6,4 5, 6,7 3 7,3 3 8, 3 6,8 3 7 4 4,8 4 4, 5 6,4 5 63, 5 6,9 6 88,5 6 86, 7 7 9, 7,4 8 4,8 8 4, 8 38,9 9 37 4 6 34 39 9 39 4 7 37 8 39 4 6 35 4 8 4 43 38 dega Metode kemugka maksmum Lkelhood aka dcar model utuk telada, da dega cara yag sama pada telada ddapatka : 885,5 b =, 6 74, = 33,4-,6.45,4 =36,33 sehgga model regres yag ddapatka adalah: dhtug koefse determas : R. Selajutya aka
artya haya sebesar 5% dar seluruh varas total dteragka oleh. Mak dekat dega mak bak kecocoka data dega model, utuk megatas hal aka dlakuka trasformas. Peguja Asums keormala Berdasarka model tersebut, dlakuka pegeceka asums keormala dega batua SPSS, dar program SPSS Ddapatka pada taraf yata 5% ddapat Z tabel,96. Dbadgka dega da dar varabel da dsmpulka bahwa data pada telada tdak berdstrbus ormal, dkataka bahwa asums keormala tdak dpeuh. Trasformas Box Cox Setelah melakuka lagkah-lagkah trasformas Box Cox ddapatka Lmaks utuk pada ksara -, sebaga berkut : Tabel 6. Lmaks utuk pada ksara -, - -,75 -,5 -,5 - -,75 -,5 -,5-36,7-9, -36,7-67 -56,7-48,3-4, -38,6,5,5,75,5,5,75-5 -4,7-49, -6, -76,9-96, -37,8-34,8-367,3 Dar la la tersebut datas, dapat dlhat bahwa = meghaslka la sebesar -5 sehgga traformas yag dguaka adalah L, artya data awal d L, sehgga ddapat data setelah trasformas yatu : Tabel 7 Hubuga varabel da,7,48,56,56 4 3,3 4 3,37 4 3,4 6 3,6 6 3,6 6 3,58 6 3,56 8 3,64 8 3,58 8 3,66 3,4 3,64 3,74 8,63 8,87 8,86 8,79 86,69 86,9 96,87 96,95 96,9 96,5 96,89 96,5,97,,9, 8,4 8,3 8,,4,5,,3,7,,6,,9,8,7,8 3 3,3 3 3,34 3 3,9 3 3,3 4 3,73 4 3,69 5 4,3 5 4,4 5 4, 6 4,48 6 4,46 7 4,79 7 4,78 7 4,79 8 4,95 8 4,94 8 4,93 9 3,6 3,7 6 3,53 3,66 9 3,66 3,69 7 3,6 8 3,66 3,74 6 3,56 3,7 8 3,69 3,76 3,64
Gambar Berkut adalah perbadga atara data sebelum trasformas da sesudah trasformas dlakuka. Gambar 4 Scatter plot atara varabel da sebelum trasformas data Gambar 5 Scatter plot atara varabel da sesudah trasformas data Setelah ddapatka data baru maka aka dlakuka perhtuga utuk meduga model yatu dega megguaka metode kemugka maksmum lkelhood, ddapatka:, serta ddapatka la. ' Berdasarka model yag ddapat, utuk meetuka bla =, maka Ŷ = 4,87 karea trasformas yag cocok adalah maka, sela tu utuk la determasya juga megalam pegkata yatu dar 5% setelah dtrasformas mejad 85% yag artya model baru yag ddapatka lebh bak karea dapat meeragka 85% dar varabel serta data yag semula tdak memeuh asums keormala setelah dtrasformas juga memeuh asums keormala, meujukka bahwa trasformas pada data telada memag perlu dlakuka. 3
KESIMPULAN DAN SARAN a. Kesmpula Trasformas Box Cox adalah terasformas pagkat pada respo. Box Cox mempertmbagka kelas trasformas berparameter tuggal, yatu lamda yag dpagkatka pada varabel respo. Pada telada asums ormaltas pada model regres yag semula tdak terpeuh, setelah dtrasformas Box Cox asums tersebut terpeuh. Berdasarka telada peerapa yag dguaka dperoleh hasl bahwa, utuk telada da asums keormala terpeuh setelah trasformas dlakuka, trasformas yag dguaka pada telada adalah, koefse determas megalam pegkata dar 75,7% mejad 86,4%. Sedagka trasformas yag dguaka pada telada adalah, koefse determas megalam pegkata dar 5% mejad 85%. b. Sara Trasformas Box Cox dapat dguaka dalam aalss regres ler sederhaa, aalss regres ler bergada, da multvarat. Dega demka, peelta dapat dlajutka dega membahas Trasformas Box Cox dalam aalss regres bergada da Multvarat. DAFTAR PUSTAKA Aom. 4. Bab C Lertas Homoskedaststas.www.Dal.staff.guadarma.ac.a. Agustus Draper, NR ad H. Smth, S. 998. Aalss Regres Terapa. Grameda Pustaka Utama. Jakarta Gujarat, D. N. 3. Ecoometrc. Erlagga. Jakarta Kuter, M. H, C. J. Nachtshem, J. Neter ad W. L. 5. Appled Ler Statstcal McGraw-Hll. New ork Naftal,. 7. Regres. Http://yohal.wordpress.com. Me Nugroho, S. 8. Pegatar Statstka Matematka, eds.ub Press. Begkulu Satoso, S.. Buku Latha SPSS Statstk Multvarat. PT Elex Meda Komputdo, Jakarta. Sembrg, R. K. 3. Aalss Regres. ITB. Badug Walpole, R. E da Myers, R. H. 995. Ilmu Peluag da Statstk utuk Isyur da Ilmuwa, Terjemaha RK Sembrg, Eds ke-4. ITB. Badug 4
Waacott, T. H & Woacott, R. J. 99. Itroducto to Statstcs. Joh Wlley & Sos. New ork We, W.W.S. 99. Tme Aalyss Uvarate ad Multvarate Method. Addso Wesley Publshg Compay. Ic 5