BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Permasalahan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali yang bisa diselesaikan dengan matematika. Berawal dari masalah yang timbul, manusia dituntut kreatif bagaimana membawa masalah tersebut ke dalam bentuk model matematika agar bisa diselesaikan secara matematis. Salah satu pemodelan matematika yang sering digunakan adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Terdapat dua macam persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Kajian tentang persamaan diferensial khususnya persamaan diferensial parsial terus berkembang baik secara teori maupun aplikasi. Salah satu bidang yang sangat memerlukan matematika adalah teknik, khususnya teknik fisika dan teknik sipil. Masalah umum yang sering dijumpai dalam bidang teknik adalah Masalah Syarat Batas (MSB), yaitu persamaan diferensial yang dilengkapi dengan syarat batas. Permasalahan ini seringkali ketika di lapangan menemui kesulitan untuk memperoleh solusi eksak, sehingga dibutuhkan metode numerik untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan yang diharapkan memiliki error yang sangat kecil. Perkembangan dari metode-metode numerik hingga kemunculan berbagai macam aplikasi komputasi matematika sangat memudahkan perhitungan khususnya dalam proses iterasi yang sangat banyak. Adanya hal tersebut membuat proses perhitungan menjadi lebih efektif dan efisien. Persamaan diferensial parsial salah satunya adalah persamaan diferensial parsial eliptik. Ada 2 kasus khusus dari persamaan eliptik (dimensi dua) yang akan 1
2 dibahas pada skripsi ini. Kasus yang pertama adalah persamaan Poisson yatu 2 u x + 2 u = f(x, y), 2 y2 dan yang kedua adalah ketika f(x, y) = 0 2 u x + 2 u 2 y = 0, 2 yang disebut persamaan Laplace. Adapun masalah-masalah yang melibatkan persamaan diferensial parsial eliptik diantaranya seperti simulasi aliran panas yang stabil, komputasi tekanan baik untuk aliran yang melalui media berpori atau yang berhubungan dengan aliran kental. Metode numerik yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial eliptik adalah metode beda hingga, yang didapat melalui ekspansi deret Taylor. Skema beda hingga dapat diwakili dengan stensil 5-titik dan juga stensil 9-titik. Penyelesaian dari metode beda hingga ini berupa sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan secara langsung, namun dapat pula diselesaikan menggunakan metode iterasi seperti iterasi Jacobi, Gauss- Seidel, dan Successive Overrelaxation (SOR) 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Macam-macam metode iterasi yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. 2. Penurunan skema beda hingga untuk Laplacian menggunakan stensil 5-titik dan stensil 9-titik, serta menentukan skema mana yang lebih baik. 3. Penyelesaian masalah Laplace dan Poisson menggunakan skema metode beda hingga, dilanjutkan dengan penyelesaian sistem persamaan linear yang didapat dengan menggunakan metode iterasi.
3 1.3. Batasan Masalah Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini dibatasi pada penyelesaian persamaan Laplace dan Poisson dimensi dua dalam plat persegi panjang, dan dengan syarat batas Dirichlet. 1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian Selain untuk memenuhi salah satu syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penulisan skripsi ini memiliki tujuan sebagai berikut: 1. Menjelaskan beberapa metode iterasi yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. 2. Menjelaskan proses penurunan skema beda hingga untuk Laplacian menggunakan stensil 5-titik dan stensil 9-titik, serta menemukan skema mana yang lebih baik. 3. Menyelesaikan masalah Laplace dan Poisson menggunakan skema metode beda hingga, dilanjutkan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang didapat dengan menggunakan metode iterasi. Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan kontribusi terhadap perkembangan ilmu pengetahuan tentang solusi numerik dari persamaan Laplace dan Poisson dan menambah wawasan dalam bidang matematika terapan. 1.5. Tinjauan Pustaka Pada penulisan tugas akhir ini, penulis mengacu pada literatur-literatur yang tercantum dalam daftar pustaka. Pada bagian dasar teori, penulis memberikan beberapa definisi dan contoh yang terkait dengan persamaan diferensial yang penulis kutip dari buku karangan Ross, 1984. Selain itu penulis menggunakan buku karangan Bradie, 2006, Ortega, 1972 dan Isaacson, 1966 untuk menjabarkan tentang hal-hal yang berhubungan dengan matriks dan vektor. Kemudian masih di bagian
4 dasar teori, penulis mencantumkan penyelesaian persamaan diferensial menggunakan metode separasi variabel yang penulis ambil dari Humi, 1992. Berikutnya masuk pada inti pembahasan, LeVeque, 2007 dalam bukunya menjabarkan proses penurunan pendekatan beda hingga untuk Laplacian menggunakan stensil 5-titik dan stensil 9-titik. Pendekatan beda hingga tersebut didapat dengan menggunakan deret Taylor dan metode koefisien tak tentu yang penulis ambil dari buku karangan Hoffman, 1992 dan LeVeque, 2007. Kemudian Bradie, 2006 dalam bukunya memperkenalkan grid komputasi yang merupakan langkah awal dalam menentukan skema beda hingga untuk solusi dari persamaan Laplace dan Poisson. Selanjutnya formula yang telah didapat digunakan untuk menyelesaikan contoh masalah Laplace dan Poisson yang juga diambil dari buku karangan Bradie, 2006. Penyelesaian yang diperoleh menggunakan skema beda hingga akan berupa sistem persamaan linear. Bradie, 2006 dan Isaacson, 1966 menjabarkan beberapa contoh metode iterasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut, diantaranya adalah metode Jacobi, Gauss-Seidel, dan Successive Overrelaxation (SOR). 1.6. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi literatur dari beberapa buku yang membahas topik persamaan diferensial, masalah syarat batas, metode separasi variabel, metode iterasi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, serta metode beda hingga sebagaimana yang telah dipaparkan dalam sub bab tinjauan pustaka di atas. Bab pembahasan diawali dengan metode-metode iterasi yang dapat digunakan untuk mencari solusi sistem persamaan linear. Selanjutnya baru masuk ke penyelesaian numerik yaitu menggunakan skema beda hingga untuk mencari nilai pendekatan dari masalah Laplace dan Poisson pada dimensi dua. Kemudian hasil dari pendekatan tersebut yang berupa sistem persamaan linear, diselesaikan baik secara langsung maupun dengan metode iterasi. Terakhir, penyelesaian menggunakan
5 metode numerik tersebut dibandingkan dengan solusi eksak yang telah diberikan guna melihat seberapa besar error dari solusi pendekatan tersebut. 1.7. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang penulis gunakan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab paling awal ini berisi pendahuluan, latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini memuat definisi dan teorema terkait dengan persamaan diferensial, syarat awal dan syarat batas, diferensiasi numerik, metode separasi variabel, serta matriks dan vektor. BAB III METODE ITERASI UNTUK PENYELESAIAN SISTEM PERSA- MAAN LINEAR Bab ini berisi penjelasan langkah-langkah memperoleh metode iterasi. Adapun metode iterasi yang dibahas pada skripsi ini adalah metode iterasi Jacobi, Gauss- Seidel, dan Successive Overrelaxation. BAB IV PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE DAN POISSON PADA DOMAIN PERSEGI PANJANG Bab ini berisi skema metode beda hingga, yaitu stensil 5-titik dan stensil 9-titik serta metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan Laplace dan Poisson. BAB V PENUTUP Bab ini berisi penarikan kesimpulan berdasarkan hasil pembahasan pada bab sebelumnya serta pemberian saran yang dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.