BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Solusi multivalued dapat muncul dalam masalah-masalah fisika. Masalahmasalah yang memerlukan perhitungan solusi multivalued antara lain masalah gelombang dispersi, optika geometri, pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger linear dan nonlinear, kedatangan ganda dalam tomografi dan migrasi seismik, dan lain-lain. Meskipun masalah-masalah ini sering dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial nonlinear atau persamaan Hamilton-Jacobi, solusi viskositas atau solusi entropi klasik tidak memadai untuk menjelaskan perilaku setelah terjadi singularitas. Dalam hal ini solusi multivalued lebih memadai untuk menjelaskan perilaku setelah terjadi singularitas. Terdapat dua golongan metode yang digunakan untuk menghitung solusi multivalued. Teknik klasik yang dapat digunakan adalah ray tracing, yang merupakan metode Lagrangian yang menyelesaikan sekumpulan persamaan diferensial biasa untuk menelusuri muka gelombang (wavefronts). Metode ini mudah untuk diimplementasikan, namun dapat menghadapi kesulitan dalam resolusi spasial/ruang saat titik-titik yang awalnya berdekatan mungkin menjadi divergen pada waktu selanjutnya. Hal ini dapat mengakibatkan kehilangan akurasi numerik. Golongan satunya melibatkan metode Eulerian, yang menyelesaikan persamaan diferensial parsial pada grid konstan (fixed). Metode level set adalah salah satu metode berbasis Eulerian. Beberapa penelitian telah dilakukan untuk menghitung solusi multivalued persamaan diferensial parsial menggunakan metode level set. Jin dan Osher (2003) menerapkan metode level set dalam menghitung solusi multivalued persamaan diferensial parsial hiperbolik quasilinear dan persamaan Hamilton-Jacobi. Selain itu Liu dkk. (2006) menerapkan metode level set dalam menghitung solusi mutivalued persamaan no- 1

2 2 nlinear orde-satu. Secara khusus Liu dan Wang (2007) menerapkan metode level set terhadap persamaan Euler-Poisson 1D. Selain itu Sumardi (2012) menerapkan metode level set terhadap model disipatif dua kanal. Dalam tesis ini penulis tertarik mengkaji secara khusus penerapan metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan transport hiperbolik. Persamaan transport adalah persamaan yang menjelaskan fenomena fisika dimana partikel, energi, atau kuantitas fisika lainnya ditransfer ke dalam suatu sistem fisika karena dua proses: adveksi dan difusi. Persamaan transport hiperbolik menjelaskan fenomena transport dimana hanya terjadi proses konveksi (adveksi) tanpa melibatkan proses difusi. Persamaan transport hiperbolik menjadi merupakan salah satu masalah yang dibahas oleh Jin dan Osher (2003) juga Liu dkk. (2006). Metode level set dapat dikerjakan dengan menggunakan beberapa skema, baik untuk pendiskritan waktu maupun pendiskritan ruang. Untuk itu penulis ingin melakukan perhitungan solusi multivalued persamaan transport hiperbolik dengan menggunakan beberapa skema kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Selain itu penulis ingin melakukan penelitian pada aplikasinya dalam pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger. Dalam pendekatan ini khususnya untuk kasus 1D, akan muncul persamaan transport hiperbolik nonlinear yang akan menghasilkan singularitas dalam waktu berhingga. Solusi viskositas menghasilkan gelombang shock bukanlah solusi yang tepat untuk permasalahan ini karena menyalahi prinsip superposisi. Untuk itu yang perlu dicari adalah solusi multivalued. 1.2 Rumusan Masalah ini adalah Berdasarkan uraian latar belakang di atas, rumusan masalah dari penelitian 1. Bagaimana perumusan level set untuk persamaan transport hiperbolik? 2. Bagaimana merumuskan algoritma dan pemrograman metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan transport hiperbolik? 3. Bagaimana hasil numerik solusi multivalued dari persamaan transport hiper-

3 3 bolik dengan menggunakan metode level set? 4. Bagaimana menyelesaikan masalah pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger menggunakan metode level set? 1.3 Batasan Masalah Dalam penelitian ini penulis memberikan batasan masalah yang akan dibahas. Walaupun dalam penurunan persamaan transport hiperbolik dan penurunan persamaan level setnya adalah multidimensional, namun algoritma numerik yang disusun dan percobaan numerik dilakukan hanya untuk persamaan transport hiperbolik dalam ruang dimensi satu. Persamaan Schrödinger yang dibahas adalah yang berdimensi satu. 1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menentukan perumusan level set untuk persamaan transport hiperbolik. 2. Merumuskan algoritma dan pemrograman numerik metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan transport hiperbolik. 3. Melakukan percobaan numerik metode level set terhadap persamaan transport hiperbolik serta menganalisis hasil yang diperoleh. 4. Merumuskan dan menyelesakan masalah masalah pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger menggunakan metode level set 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangsih terhadap perkembangan ilmu pengetahuan tentang penerapan metode level set serta untuk menambah wawasan dalam bidang matematika terapan

4 4 2. Secara khusus diharapkan dapat memberikan gambaran tentang penerapan metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan trasnport hiperbolik, serta aplikasinya dalam masalah pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger. 1.6 Tinjauan Pustaka Metode level set terus dikembangkan semenjak dikemukakannya pertama kali dalam artikel oleh Osher dan Sethian (1988). Dalam artikel tersebut dibahas cara menangkap pergerakan front dengan kecepatan yang bergantung pada kurvaturnya, berbasis pada perumusan Hamilton-Jacobi. Namun tidak hanya gerakan dengan kecepatan bergantung kurvatur saja yang dapat dikerjakan dengan metode level set, namun gerakan dengan kecepatan begantung arah normal, kecepatan bergantung medan kecepatan eksternal, serta kecepatan berdasarkan kuantitas geometrik lainnya. Hal tersebut dijelaskan dalam buku karangan Osher dan Fedkiw (2003) dan Sethian (1999). Solusi persamaan diferensial parsial dapat dianggap sebagai interface sehingga dapat dikerjakan dengan metode level set. Metode level set sangat berguna khususnya dalam perhitungan solusi multivaled. Jin dan Osher (2003) dalam artikelnya mengembangkan metode level set untuk menghitung solusi multivalued persamaan hiperbolik quasilinear dan persamaan Hamilton-Jacobi. Kemudian Liu dkk. (2006) dalam artikelnya mengembangkan metode level set untuk menghitung solusi persamaan nonlinear orde satu bentuk umum dalam sebarang dimensi ruang. Lebih khusus lagi Liu dan Wang (2007) mengembangkan metode level set untuk menghitung medan kecepatan dan medan listrik multivalued untuk persamaan Euler-Poisson 1 dimensi (1D). Penurunan persamaan transport hiperbolik dijelaskan dalam Kuzmin (2010). Dalam buku ini dijelaskan fenomena transport secara umum berdasarkan prinsip konservasi serta penurunan fungsi fluks berdasarkan efek konveksi dan difusi. Persamaan transport hiperbolik sendiri merupakan kasus khusus dimana hanya terdapat efek konveksi tanpa memperhitungkan efek difusi.

5 5 Penjelasan mengenai persamaan Schrödinger diambil dari buku karangan Young dan Freedman (2015). Kemudian untuk pembahasan mengenai perhitungan solusi mutivalued dalam masalah pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger diacu dari artikel Jin dkk. (2003). Penulisan tesis ini juga didukung oleh beberapa buku dalam memberikan dasar teori yang digunakan. Buku karangan Ross (1984) dan Farlow (2012) digunakan dalam mempelajari persamaan diferensial. Persamaan difensial parsial ordesatu dipelajari dari buku karangan Zauderer (2006) dan Courant dan Hilbert (1962). LeVeque (1992) memberikan penjelasan mengenai hukum konservasi dan LeVeque (2007) memberikan penjelasan tentang pendekatan beda hingga. Metode numerik yang akan digunakan dalam metode level set beserta persamaan Hamilton-Jacobi dipelajari dari buku karangan Osher dan Fedkiw (2003). Penjelasan metode numerik tersebut didukung beberapa artikel, antara lain Shu dan Osher (1988) dan Shu dan Osher (1989) dalam penjelasan metode total variation diminishing Runge- Kutta dan metode essentially non-oscillatory, Jiang dan Peng (2000) dalam penjelasan metode weighted essentially non-oscillatory. Terakhir, dalam memahami implementasi algoritma metode level set ke dalam pemrograman Matlab, dipelajari toolbox Matlab yang dikembangkan oleh Sumengen (2005). 1.7 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu mempelajari buku-buku dan artikel-artikel ilmiah yang relevan dengan metode level set untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Penelitian diawali dengan mempelajari ide dasar metode level set baik dari buku maupun dari artikel (paper) ilmiah. Penulis menyelidiki kasus metode level set yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan transport hiperbolik. Dari sini didapati bahwa kasus yang sesuai adalah gerakan dengan medan kecepatan yang dibangkitkan secara eksternal. Berdasarkan artikel acuan utama, penurunan rumus level set untuk transport hiperbolik yang merupakan persamaan diferensial parsial

6 6 orde-satu membutuhkan landasan teori mengenai persamaan karakteristik. Setelah diperoleh rumus level set untuk persamaan transport hiperbolik, penulis meninjau bagian numerik dari metode level set. Bagian numerik pertama adalah metode pendiskritan waktu yaitu metode Euler dan Total Variation Diminishing (TVD) Runge-Kutta. Bagian kedua adalah pendiskritan ruang yaitu skema upwind, serta pendekatan derivatif ruang dengan orde yang lebih tinggi, yaitu Essentially Non-Oscillatory (ENO)dan Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO). Lebih lanjut penulis mempelajari persamaan Hamilton-Jacobi dan pendiskritan numeriknya. Langkah selanjutnya adalah mempelajari fenomena trasport yang memuat dua proses yaitu konveksi dan difusi. Dengan berdasarkan pada hukum konservasi, diturunkan persamaan transport umum yang merepresentasikan fenomena transport. Persamaan transport hiperbolik diperoleh dari persamaan transport umum dengan asumsi efek difusi dapat diabaikan. Langkah berikutnya yang dilakukan adalah menurunkan persamaan level set untuk persamaan transport hiperbolik. Setelah diperoleh persamaan level set, penulis menyusun algoritma numerik dengan menggunakan skema numerik yang telah dipelajari sebelumnya dan mengimplementasikannya ke dalam pemrograman Matlab. Pada tahap berikutnya penulis melakukan percobaan numerik dan analisis terhadap hasil yang diperoleh. Berikutnya dipelajari mengenai perhitungan solusi multivalued pendekatan semiklasik persamaan Schrödinger. Pertama dibahas secara umum persamaan Schrödinger beserta model-model sistem kuantum. Kemudian diteliti masalah persamaan Schrödinger dengan syarat awal berfrekuensi tinggi. Penyelesaian masalah ini didekati dengan pendekatan semiklasik, yaitu dengan metode Wentzel-Kramers- Brillouin (WKB). Kemudian disusun metode perhitungan untuk memperoleh besaran fisis teramati (densitas dan kecepatan) dengan menerapkan metode level set untuk persamaan transport hiperbolik. Setelah disusn prosedur numerik diberikan contoh perhitungan numeriknya.

7 7 1.8 Sistematika Penulisan Pada penelitian ini sistematika penulisan yang digunakan penulis adalah sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi teori-teori yang menunjang dalam pembahasan penelitian ini yaitu persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial orde-satu, metode level set, pendekatan beda hingga, metode pendiskritan waktu, skema pendiferensian upwind, dan persamaan Hamilton-Jacobi. BAB III PERHITUNGAN SOLUSI MULTIVALUED PERSAMAAN TRANS- PORT HIPERBOLIK Bab ini berisi penjelasan rencana penelitian dalam melakukan penelitian metode level set untuk persamaan transport hiperbolik yaitu berupa langkah penelitian dan rencana jadwal penelitian. BAB IV PERHITUNGAN PENDEKATAN SEMIKLASIK PERSAMAAN SCHRO- DINGER DENGAN METODE LEVEL SET Bab ini memuat penjelasan mengenai persamaan transport, perumusan level set level set untuk persamaan transport hiperbolik, metode numerik, prosedur numerik, dan percobaan numerik. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari hasil pembahasan berdasarkan tujuan penelitian. Selain itu juga berisi saran untuk pengembangan penelitian berikutnya.