IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH SKRIPSI ABNIDAR HARUN POHAN 120803006 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016
IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains ABNIDAR HARUN POHAN 120803006 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016
PERSETUJUAN Judul Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas : Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah : Skripsi : Abnidar Harun Pohan : 1208030006 : Sarjana (S1) Matematika : Matematika : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Disetujui di Medan, Juni 2016 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Drs. Suyanto,M.Kom Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19620901 198803 1 002 Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU, Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D NIP. 19620901 198803 1 002 i
PERNYATAAN IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2016 Abnidar Harun Pohan 120803006 ii
PENGHARGAAN Puji syukur penulis kehadirat Allah Subhanahu wa Ta ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karunianya serta memberikan banyak kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Implementasi Metode Elemen Hingga dalam persoalan Aliran Darah pada Pembuluh Darah. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallalahu Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya. Terima kasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D selaku pembimbing 1 dan ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Drs. Suyanto, M.Kom selaku pembimbing 2, yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan saran untuk perbaikan skripsi ini. Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis. Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, dan seluruh staff administrasi FMIPA USU. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi. Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah semua berikan kepada penulis. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang lain. Medan, Juni 2016 Penulis Abnidar Harun Pohan iii
IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH ABSTRAK Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana distribusi tekanan darah yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan oleh plak (plaque) sebesar 25%, 50% dan 75% dari radius pembuluh darah dengan mengimplementasikan metode elemen hingga pada persamaan Navier-Stokes yang merupakan persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian takmampumampat. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (diskritisasi domain), dalam penelitian ini peneliti menggambarkan aliran darah 2D-Axisimetri, kemudian dipilih fungsi interpolasi linier untuk elemen 2D-Axisimetri, dan menurunkan elemen matriks dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan global. Hasil penelitian dari penelitian dengan bantuan komputer, memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang signifikan, namun untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh darah dapat disimpulkan bahwa semakin besar penyempitan, maka semakin besar tegangan aliran darah. Kata kunci: Navier-Stokes, medan aliran, darah, metode elemen hingga, metode Galerkin iv
IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMENT METHOD FOR THE PROBLEM OF BLOOD FLOW IN BLOOD VESSEL ABSTRACT The process of blood circulation influenced by the speed of blood, sectional area of blood vessels, blood pressure and muscle work which is at the heart and blood vessels. This research aims to see how the distribution of blood pressure that occurs in blood vessels that are not narrowed and narrowed by plaque (plaque) by 25%, 50% and 75% of the radius of the blood vessels. by implementing the finite element method to the Navier-Stokes equations that constitute the basis of differential equations that describe the flow of Newtonian fluid is incompressible. In the finite element method, the flow field is broken down into a set of elements of the fluid is small (discretization of the domain), in this study the researchers describe the flow of water 2D, then have the function of a linear interpolation of the element 2D, and derivation of element matrices and vectors with Galerkin method to get the global equation. The results of the research with the help of computers, the distribution of blood flow from the pressure variation in blood vessels. COMSOL simulation results show that the pressure of the variation in blood vessels did not change significantly, but for the stress that occurs in a variety of shapes blood vessels can be concluded that the greater the constriction, the greater the stress bloodflow. Keywords: Navier-Stokes, the flow field, the blood, the finite element method, Galerkin method v
DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR ISTILAH DAFTAR TABEL Halaman i ii iii vi v vi ix x xi BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Rumusan Masalah 3 1.3 Batasan Masalah 3 1.4 Tujuan Penelitian 4 1.5 Manfaat Penelitian 4 1.6 Metodologi penelitian 4 1.7 Kerangka Penelitian 5 BAB 2 LANDASAN TEORI 6 2.1 Fluida 6 2.1.1 Pengertian Fluida 6 2.1.2 Jenis Jenis Fluida 6 2.1.3. Pergerakan Fluida 7 2.1.4. Jenis Jenis Aliran Fluida 8. 2.1.4.1 Berdasarkan Kemampuan Menahan 8 Tekanan 2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya 9 2.1.4.3 Berdasarkan Sifat Kekentalannya 9 2.2 Darah 9 2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia 9 2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri 10 2.3 Medan Percepatan 11 2.4 Kontinuitas Massa 13 2.5 Persamaan Persamaan Gerak 13 2.6 Hubungan Tegangan-Deformasi 15 2.7 Persamaan Navier-Stokes 16 2.8 Potensial Kecepatan 17 2.9 Fungsi Arus 17 2.10 Metode elemen hingga 18 2.11 Diskritisasi Domain 19 2.12 Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Dua Dimensi) 21 vi
2.13 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor 23 2.13.1. Direct Approach (Pendekatan Langsung) 24 2.13.2. Varitional Approach (Pendekatan Variasi) 24 2.13.3.Weight Residual Approach (Pendekatan Residu 24 Bobot) 2.14 Formula Weak 25 2.15 Metode Galerkin 27 2.16. Software Comsol 29 BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN 30 3.1 Perancangan Geometri 30 3.2 Tahapan Analisis 32 3.2.1.Memaparkan hubungan-hubungan pergerakan 32 aliran darah pada persamaan Navier-Stokes 3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas 32 3.2.3 Menyelesaikan Persamaan Global 32 3.2.3 Simulasi Dan Visualisasi Model Dengan Comsol 32 Mutiphysics 4.2 3.3 Membuat Kesimpulan Dan Menyusun Laporan Penelitian 35 BAB 4 PEMBAHASAN 36 4.1 Persamaan Dasar Dalam Dinamika Fluida 36 4.2 Formulasi Fungsi Potensial 38 4.2.1. Bentuk Persamaan Differensial 38 4.2.2. Bentuk Variasi 38 4.3 Solusi Elemen Hingga 39 4.4 Simulasi Dengan Comsol Multiphysics 41 4.5 Tekanan Pada Pembuluh Darah 43 4.6 Distribusi Tekanan 45 4.7 Tegangan Pada Pembuluh Darah 50 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 55 5.1 Kesimpulan 55 5.2 Saran 55 DAFTAR PUSTAKA 56 KALENDER PENELITIAN 57 vii
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman Gambar 1.1 Aliran darah pada pembuluh darah 1 2.1. Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor 8 Posisinya 2.2 Pembuluh Darah Arteri 11 2.3 Kecepatan Dan Posisi Dari Partikel A Pada Waktu T. 12 2.4 Gaya Gaya Permukaan Dalam Arah X Yang Bekerja Pada 15 Elemen Fluida 2.5 Elemen Satu -Dimensi 19 2.6 Elemen Dua-Dimensi 20 2.7 Elemen Tiga -Dimensi 21 2.8 Elemen Axisimetri 21 2.9 Comsol Multiphysics Versi 4.2 29 3.1 Model Geometri Pembuluh Darah 31 3.2: Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami 33 Penyempitan 3.3 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami 33 Penyempitan Sebesar 25% 3.4 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami 34 Penyempitan Sebesar 50% 3.5 Model Geometri Dari Pembuluh Darah Yang Mengalami 35 Penyempitan Sebesar 75% 4.1 Mesh Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami Penyempitan 41 4.2 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 25% 32 4.3 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 50% 42 4.4 Mesh pada pembuluh darah yang mengalami penyempitan 75% 42 4.5 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang tidak mengalami 43 penyempitan 4.6 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami 44 penyempitan 25% 4.7 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami 44 penyempitan 50% 4.8 Tekanan pada permukaan pembuluh darah yang mengalami 45 penyempitan 75% 4.9 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah tidak Mengalami 46 Penyempitan 4.10 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami 47 Penyempitan Sebesar 25% 4.11 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami 48 Penyempitan Sebesar 50% 4.12 Distribusi Tekanan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami 49 Penyempitan Sebesar 75% 4.13 Grafik Distribusi Tekanan Aliran Darah Pada Pembuluh Darah 50 viii
4.14 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Tidak Mengalami 51 Penyempitan 4.15 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan 51 Sebesar 25% 4.16 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan 52 Sebesar 50% 4.17 Tegangan Pada Pembuluh Darah Yang Mengalami Penyempitan 53 Sebesar 75% 4.18 Grafik Tegangan Pada Variasi Penyempitan Pembuluh Darah 53 ix
DAFTAR ISTILAH Difusi : Peristiwa mengalirnya/berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah Dilatasi : Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperkecil atau memperbesar) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan Diskrititsasi : Membagi sebuah objek kontinu menjadi sejumlah bilangan berhingga dari unsur diskrit Massa jenis : Ukuran kerapatan benda yang homogen Material yang homogen : Material yang komposisi nya sama di semua area Material yang isotropik : Material yang memiliki kesamaan sifat ketika mendapat pembebanan dari arah yang berbeda. Tegangan permukaan : Sebuah gaya tarik dapat yang dianggap bekerja pada bidang permukaan sepanjang suatu garis dipermukaan Thixotropic : Pencair atau pelunak Viskositas dinamik : Sifat fluida yang menghubungkan tegangan geser dengan gerakan fluida Resistansi : kemampuan suatu benda untuk menahan / menghambat aliran arus x
DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman Tabel 3.1 Parameter yang digunakan untuk geometri pembuluh darah 30 3.2 Material properties darah 30 3.3 Material properties pembuluh darah 31 3.4 Tabel besar tekanan yang terjadi di pembuluh darah 49 xi