BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis dikenal berbagai macam ruang, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik merupakan suatu himpunan tak kosong X, yang dilengkapi dengan fungsi yang memetakan setiap anggota X X ke suatu bilangan real tak negatif dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Fungsi inilah yang kemudian dikenal dengan metrik pada X. Sebagai contoh, di dalam R n dapat dilengkapi dengan metrik Euclid di bidang R n, yaitu n fungsi d : R n R n R, dengan rumus d(x, y) = (x i y i ) 2, untuk setiap x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) di R n. Dalam suatu ruang metrik, dapat pula didefinisikan suatu fungsi, yang kemudian dikenal dengan jarak titik ke himpunan dan jarak himpunan ke himpunan. Hal yang dimaksud adalah, apabila (X, d) ruang metrik, x X, dan A, B X, jarak titik x ke himpunan A adalah d(x, A) = inf{d(x, a) : a A}, serta jarak himpunan A ke himpunan B adalah d(a, B) = inf{d(a, b) : a A, b B}. Pada himpunan semua fungsi dari ruang topologi X ke ruang topologi metrizable Y yang dinotasikan dengan Y X, dapat dilengkapi dengan suatu metrik d u yang dikenal dengan metrik supremum, yaitu untuk setiap f, g Y X d u (f, g) = sup d Y (f(x), g(x)). x X dengan d Y metrik terbatas pada Y. Apabila koleksi semua fungsi kontinu dari X ke Y dinotasikan dengan C(X, Y ), berdasarkan paparan sebelumnya dapat diselidiki jarak sebuah fungsi f Y X ke himpunan C(X, Y ). Hal ini telah banyak diteliti oleh matematikawan, diantaranya Benyamini dan Lindenstrauss (2000), Cascales, Marciszewski, dan Raja (2006). Dalam Benyamini dan Lindenstrauss (2000) disebutkan bahwa apabila X ruang topologi normal, maka untuk setiap fungsi f dari X i=1 1
2 ke R, jarak fungsi f ke C(X, R) sama dengan setengah osilasi fungsi f tersebut. Dalam hal ini, yang dimaksud dengan osilasi fungsi f, ditulis osc(f) adalah osc(f) = sup inf{diam f(u) : x U X, dengan U persekitaran titik x}, x X dengan diam f(u) menyatakan diameter f(u). Salah satu perluasan dari ruang C(X, Y ) adalah ruang B 1 (X, Y ), yaitu himpunan semua fungsi Baire kelas satu dari ruang metrik X ke ruang Banach Y. Suatu fungsi f disebut fungsi Baire kelas satu apabila terdapat barisan fungsi kontinu {f n }, sehingga barisan {f n } konvergen titik demi titik (pointwise) ke f. Banyak hal yang bisa dipelajari yang berkaitan dengan fungsi Baire kelas satu, diantaranya keterkaitannya dengan fungsi semi-kontinu atas maupun semi-kontinu bawah. Atas hasil yang diperoleh oleh Benyamini dan Lindenstrauss (2000), Angosto dkk (2008) kemudian meneliti kejadian apabila C(X, Y ) diperluas menjadi B 1 (X, Y ). Dengan kata lain, Angosto dkk (2008) meneliti estimasi jarak suatu fungsi f : X Y ke B 1 (X, Y ), dengan X ruang metrik dan Y ruang Banach. Untuk meneliti hal tersebut, salah satu alat yang digunakan adalah konsep indeks fragmentability suatu fungsi. Selain itu, untuk meneliti jarak fungsi f : X E ke B 1 (X, Y ), Angosto dkk (2008) juga menggunakan konsep osilasi fungsi. Untuk meneliti hal tersebut, telah diteliti terlebih dahulu jarak antara fungsi F : X R K dengan X ruang metrik dan K ruang kompak, ke ruang fungsi B 1 (X, C(K)) dengan menggunakan hasil Benyamini dan Lindenstrauss (2000). Dalam tugas akhir ini akan dipelajari estimasi jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu yang telah diteliti oleh Angosto dkk (2008). Untuk menentukan estimasi jarak tersebut, akan digunakan konsep indeks fragmentability dan konsep osilasi fungsi. Selanjutnya, dengan menggunakan hasil estimasi jarak fungsi yang diperoleh sebelumnya, akan dipelajari pula hubungan antara fungsi dua variabel f dengan himpunan titik kontinuitas f.
3 1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan pada Subbab 1.1, tujuan penulisan tesis ini adalah untuk memberikan pemahaman yang lebih baik dalam penentuan estimasi jarak fungsi f : X E ke himpunan semua fungsi Baire kelas satu, B 1 (X, E) dengan X ruang metrik dan E ruang Banach, yang telah ditulis oleh C. Angosto dkk (2008). Penulisan kembali paper Angosto dkk (2008) diharapkan mampu untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam terhadap paper tersebut. Untuk menentukan estimasi tersebut, C. Angosto menggunakan dua konsep, yaitu konsep indeks fragmentability dan konsep osilasi. Penentuan estimasi tersebut diharapkan dapat membantu mengembangkan ilmu di bidang matematika analisis yang berhubungan dengan konsep jarak suatu fungsi ke himpunan dan dapat membantu memberi ide untuk memberikan alternatif untuk menentukan karakterisasi fungsi Baire kelas satu. 1.3. Tinjauan Pustaka Konsep mengenai fungsi Baire kelas satu merupakan salah satu konsep yang dipelajari dalam teori matematika analisis. Gordon (1994) menjelaskan bahwa suatu fungsi f : [a, b] R disebut fungsi Baire kelas satu, apabila terdapat barisan fungsi-fungsi kontinu {f n } sehingga {f n } konvergen titik demi titik ke f. Gordon (1994) juga memberikan sifat-sifat berkaitan dengan fungsi Baire kelas satu, diantaranya setiap fungsi Baire kelas satu merupakan fungsi terukur, dan koleksi semua fungsi Baire kelas satu tertutup terhadap operasi penjumlahan fungsi, perkalian fungsi, serta komposisi dengan fungsi kontinu. Oleh Kharazishvili (2006), definisi fungsi Baire kelas satu mulai diperumum dengan domain E sebagai ruang topologi. Saat diberikan fungsi dari suatu ruang ke ruang lainnya, dapat dicari nilai indeks fragmentability fungsi tersebut. Jayne dkk (1993) menjelaskan bahwa fungsi f : X Z dikatakan ε-fragmented jika untuk setiap himpunan tak kosong F X terdapat himpunan terbuka U X sehingga U F dan diam(f(u F )) ε, serta fungsi f dikatakan ε-σ-fragmented atas himpunanhimpunan tertutup jika terdapat liput tertutup yang terhitung (X n ) untuk X sehing-
4 ga f Xn, merupakan ε fragmented untuk setiap n N. Oleh Jayne (1993), konsep fragmentability digunakan untuk menyelidiki fragmentability fungsi bernilai himpunan. Selain mempunyai nilai indeks fragmentability, setiap fungsi juga dapat dicari nilai osilasinya. Dalam Kechris (1995), osilasi fungsi f, ditulis osc(f) adalah osc(f) = sup inf{diam f(u) : x U X, dengan U persekitaran titik x}, x X dengan diam f(u) menyatakan diameter f(u). Osilasi inilah yang digunakan Benyamini dan Lindenstrauss (2000) untuk menyelidiki jarak fungsi f ke ruang fungsi kontinu C(X) dengan X ruang topologi normal. Benyamini dan Lindenstrauss (2000) menyebutkan bahwa, untuk setiap fungsi f : X R, jarak fungsi f ke ruang C(X) sama dengan setengah osilasi fungsi f tersebut. Nilai indeks fragmentability fungsi dan nilai osilasi fungsi inilah yang kemudian digunakan C. Angosto dkk (2008) untuk mencari estimasi jarak suatu fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu. Untuk mencari jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan konsep fragmentability, Angosto dkk (2008) menggunakan notasi frag(f) dan σ-frag c (f). Notasi frag(f) merupakan nilai infimum dari ε sehingga f fungsi ε-fragmented, sedangkan notasi σ-frag c (f) adalah nilai infimum dari ε sehingga f fungsi ε-σ-fragmented atas himpunan-himpunan tertutup. Untuk mencari estimasi jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan konsep osilasi, akan dicari terlebih dahulu jarak fungsi F : X R K ke ruang fungsi B 1 (X, C(K)), dengan X ruang metrik dan K ruang kompak. Untuk mendapatkan hasil tersebut, akan digunakan hasil Benyamini dan Lindenstrauss (2000) serta Teorema Kuantitatif Mazur yang dijelaskan oleh Todorcevic (1997). Cascales dkk (2006) dan Royden (1989) kemudian memberikan definisi dan teorema berkaitan dengan topologi lemah pada ruang Banach untuk melengkapi akibat dari hasil yang telah diperoleh. Dalam penelitian ini akan lebih difokuskan untuk memberikan bukti lemma, proposisi dan teorema secara mendetail yang terdapat dalam paper Angosto dkk (2008). Angosto dkk (2008) banyak membahas fungsi dari ruang topologi ke ruang topologi lainnya. Munkres (2000) menjelaskan bahwa topologi pada himpunan tak
5 kosong X merupakan koleksi himpunan bagian dari X yang memenuhi aksioma tertentu. Untuk memahami lebih banyak tentang ruang topologi, akan digunakan pula buku karya Engelking (1989), Jayne dkk (1993) dan Dugundji (1996). Engelking (1989) menjelaskan definisi tentang basis untuk suatu ruang topologi serta topologi yang dibangkitkan oleh suatu basis. Jayne dkk (1993) menjelaskan tentang keluarga himpunan bagian yang diskrit, terdekomposisi-σ secara diskrit, dan terpartisi dengan baik pada ruang topologi. Definisi tentang keluarga sub himpunan yang terpartisi dengan baik pada suatu ruang topologi akan membantu untuk melengkapi bukti lemma dan proposisi yang berkaitan dengan indeks fragmentability suatu fungsi untuk menentukan estimasi jarak fungi ke ruang fungsi Baire kelas satu. Di pihak lain, Dugundji (1996) memberikan definisi bilangan ordinal yang dikaitkan dengan definisi indeks fragmentability. 1.4. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian tesis ini adalah studi literatur referensi berkaitan dengan paper Angosto dkk (2008). Dalam penelitian ini akan lebih difokuskan untuk memberikan bukti lemma, proposisi dan teorema secara mendetail yang terdapat dalam paper Angosto dkk (2008). Paper tersebut mempelajari estimasi jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan menggunakan konsep indeks fragmentability dan konsep osilasi fungsi. Dalam menentukan estimasi jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan konsep indeks fragmentability, selain memerlukan konsep ruang topologi, akan dibahas mengenai konsep yang berkaitan dengan keluarga subhimpunan yang diskrit, terdekomposisi secara diskrit, dan terpartisi dengan baik pada suatu ruang topologi. Lemma dan proposisi yang berkaitan dengan konsep subhimpunan yang terpartisi dengan baik dalam ruang topologi diperlukan sebagai alat untuk menentukan estimasi jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan menggunakan konsep fragmentability fungsi. Untuk menentukan estimasi jarak fungsi ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan konsep osilasi fungsi, diperlukan teorema yang memberikan estimasi jarak
6 fungsi F : X R K ke ruang fungsi B 1 (X, C(K)), dengan X ruang metrik dan K ruang kompak. Salah satu alat untuk membuktikan teorema tersebut adalah teorema yang tertuang dalam Benyamini dan Lindenstrauss (2000), yang menyebutkan bahwa apabila X ruang topologi normal, jarak fungsi f : X R ke ruang C(X) sama dengan setengah osilasi fungsi f tersebut. Setelah mendapatkan estimasi jarak fungsi F : X R K ke ruang fungsi B 1 (X, C(K)), apabila K = (B E, w ), dengan E ruang Banach, maka akan diperoleh estimasi jarak fungsi F : X E ke ruang fungsi B 1 (X, E). serta estimasi jarak fungsi F : X E ke ruang fungsi B 1 (X, E). 1.5. Sistematika Penulisan Dalam tesis ini, hasil penelitian akan dibagi ke dalam lima bab. Di dalam BAB I yaitu pendahuluan, dibahas mengenai latar belakang permasalahan, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan tesis. Dilanjutkan ke BAB II, yaitu dasar teori. Dalam bab ini, dibahas mengenai konsep yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, diantaranya konsep ruang metrik, ruang topologi, dan fungsi Baire kelas satu. Kemudian dilanjutkan ke dalam BAB III dan BAB IV, yaitu pembahasan dari hasil penelitian. Dalam BAB III, akan difokuskan untuk membahas estimasi jarak suatu fungsi f ke ruang fungsi Baire kelas satu dengan menggunakan konsep indeks fragmentability suatu fungsi, sedangkan dalam BAB IV, difokuskan untuk membahas jarak fungsi f ke ruang ruang Baire kelas satu dengan menggunakan konsep osilasi suatu fungsi. Terakhir, dalam BAB V memuat tentang kesimpulan dari hasil penelitian.